Rješavanje kompleksnih nejednačina. Kompleksne logaritamske nejednakosti III. Učenje novog gradiva

Šta trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti sa ikonom više (> ), ili manje (< ) su pozvani strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) su pozvani nije stroga. Ikona nije jednako (≠ ) stoji posebno, ali morate cijelo vrijeme rješavati primjere sa ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)

Sama ikona nema mnogo uticaja na proces rešavanja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone se pojavljuje u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku na primjerima. Ima tu nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netačno.

Ova priprema radi za nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Potrebno je samo pravilno izvršiti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove radnje su svima poznate. Ali, karakteristično, greške u ovim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednakosti, da... Dakle, ove radnje se moraju ponoviti. Ove radnje se zovu na sljedeći način:

Identične transformacije nejednakosti.

Identične transformacije nejednačina su vrlo slične identičnim transformacijama jednačina. Zapravo, ovo je glavni problem. Razlike vam prelaze preko glave i... eto vas.) Stoga ću posebno istaći ove razlike. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz može se dodati (oduzeti) objema stranama nejednakosti. Bilo koji. Ovo neće promijeniti predznak nejednakosti.

U praksi se ovo pravilo koristi kao prijenos pojmova s ​​lijeve strane nejednakosti na desnu (i obrnuto) s promjenom predznaka. Promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan je isto kao i pravilo za jednačine. Ali sljedeće identične transformacije u nejednačinama značajno se razlikuju od onih u jednačinama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) sa istom stvaripozitivnobroj. Za bilo kojepozitivno Neće se promijeniti.

3. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) sa istom stvarinegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromeniće se u suprotno.

Sjećate se (nadam se...) da se jednačina može pomnožiti/podijeliti sa bilo čim. I za bilo koji broj, i za izraz sa X. Samo da nije nula. To ga čini, po jednačini, ni vrućim ni hladnim.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Jasan primjer za dugo pamćenje. Napišimo nejednakost koja ne izaziva sumnje:

5 > 2

Pomnožite obje strane sa +3, dobijamo:

15 > 6

Ima li primjedbi? Nema prigovora.) A ako obje strane izvorne nejednakosti pomnožimo sa -3, dobijamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Obmana naroda! Ali čim promijenite znak nejednakosti u suprotan, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

Ne kunem se samo u laži i prevaru.) "Zaboravio sam da promenim znak jednakosti..."- Ovo Dom greška u rješavanju nejednačina. Ovo trivijalno i jednostavno pravilo je povrijedilo toliko ljudi! Što su zaboravili...) Pa kunem se. Možda se setim...)

Posebno pažljivi ljudi će primijetiti da se nejednakost ne može pomnožiti izrazom sa X. Poštovanje onima koji su pažljivi!) Zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo predznak ovog izraza sa X. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Da li da ga promenim ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo ograničenje (zabrana množenja/dijeljenja nejednakosti izrazom sa x) može se zaobići. Ako ti zaista treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Da vas još jednom podsjetim da rade za bilo koji nejednakosti Sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednakosti. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednakosti su nejednakosti u kojima je x u prvom stepenu i nema podjele sa x. Vrsta:

x+3 > 5x-5

Kako se takve nejednakosti rješavaju? Veoma ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjujuću linearnu nejednakost pravo na odgovor. To je rešenje. Istaknut ću glavne tačke odluke. Da izbjegnemo glupe greške.)

Riješimo ovu nejednakost:

x+3 > 5x-5

Rješavamo ga na potpuno isti način kao i linearnu jednačinu. sa jedinom razlikom:

Pažljivo pratimo znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. Sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti predznake prenesenih pojmova.

Znak nejednakosti ostaje:

x-5x > -5-3

Evo sličnih.

Znak nejednakosti ostaje:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: podijeliti obje strane sa -4.

Podijeli po negativan broj.

Predznak nejednakosti će se promijeniti u suprotan:

X < 2

Ovo je odgovor.

Tako se rješavaju sve linearne nejednakosti.

Pažnja! Tačka 2 je nacrtana bijelom bojom, tj. neobojen. Prazan unutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva tačka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove punktirana tačka.

Preostali brojevi na osi mogu se označiti, ali nisu neophodni. Strani brojevi koji nisu vezani za našu nejednakost mogu biti zbunjujući, da... Samo treba zapamtiti da se brojevi povećavaju u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno su dvojke, a brojevi su 1, 0, -1, itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - stroga. X je striktno manji od dva. Ako ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Zamjenjujemo sumnjiv broj u nejednakost i mislimo: "Dva je manje od dva, naravno!" Upravo. Nejednakost 2 < 2 netačno. Dvojka zauzvrat nije prikladna.

Je li jedan u redu? Svakako. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi koji su manji od dva su dobri! Pa čak i 1,9999.... Bar malo, ali manje!

Dakle, označimo sve ove brojeve na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija - sjenčanje. Pomaknemo miša preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje svih x-ova koji ispunjavaju uvjet x zasjenjeno < 2 . To je sve.

Pogledajmo drugu opciju koristeći drugi primjer:

X ≥ -0,5

Nacrtajte osu i označite broj -0,5. Volim ovo:

Primećujete razliku?) Pa, da, teško je ne primetiti... Ova tačka je crna! Prefarbano. To znači -0,5 je uključeno u odgovor. Ovdje, inače, provjera može nekoga zbuniti. Zamenimo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije više od -0,5! I ima još ikona...

Uredu je. U nestriktnoj nejednakosti, sve što odgovara ikoni je prikladno. I jednaki dobro, i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostaje da označimo sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam područje odgovarajućih x vrijednosti luk(od reči arc), umjesto sjenčanja. Prelazimo kursorom preko crteža i vidimo ovaj luk.

Nema posebne razlike između sjenčanja i krakova. Uradi kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte lukove. U složenijim zadacima, sjenčanje je manje očito. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednakosti na osi. Pređimo na sljedeću karakteristiku nejednakosti.

Pisanje odgovora za nejednakosti.

Jednačine su bile dobre.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x=3. Postoje dva oblika pisanja odgovora u nejednačinama. Jedan je u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

X< 2.

Ovo je potpuni odgovor.

Ponekad treba da zapišete istu stvar, ali u drugom obliku, u brojčanim intervalima. Tada snimak počinje da izgleda veoma naučno):

x ∈ (-∞; 2)

Ispod ikone ∈ riječ je skrivena "pripada".

Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačnosti do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačnost do dva. Ne može postojati dvostruki X, što nam govori riječ "ne uključujući".

A gde je u odgovoru to jasno "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru round zagrada odmah iza dva. Da su ova dva uključena, zagrada bi bila kvadrat. Evo ga:]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 u intervalima:

x ∈ [-0,5; +∞)

Čita: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačnost.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga je u takvim notacijama beskonačnost uvijek susedna zagradi.

Ovaj oblik snimanja je pogodan za složene odgovore koji se sastoje od nekoliko mjesta. Ali - samo za konačne odgovore. U srednjim rezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednakosti. O tome ćemo se baviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci sa nejednakostima.

Same linearne nejednakosti su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Dakle, trebalo je razmisliti. Ovo, ako niste navikli, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Ne morate da ih naučite, to je nepotrebno. I kako se ne bi plašili pri susretu s takvim primjerima. Samo malo razmislite - i jednostavno je!)

1. Nađi bilo koja dva rješenja nejednačine 3x - 3< 0

Ako nije baš jasno šta da radite, zapamtite glavno pravilo matematike:

Ako ne znaš šta ti treba, uradi šta možeš!)

X < 1

I šta? Ništa posebno. Šta nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva specifična broja koji su rješenje za nejednakost. One. odgovara odgovoru. Dva bilo koji brojevi. Zapravo, ovo je zbunjujuće.) Par 0 i 0,5 je pogodan. Par -3 i -8. Postoji beskonačan broj ovih parova! Koji je odgovor tačan?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, će biti tačan odgovor. Napišite koju želite. Idemo dalje.

2. Riješite nejednačinu:

4x - 3 ≠ 0

Zadaci u ovoj formi su rijetki. Ali, kao pomoćne nejednakosti, kod pronalaženja ODZ-a, na primjer, ili kod pronalaženja domene definicije funkcije, one se javljaju stalno. Takva linearna nejednakost može se riješiti kao obična linearna jednačina. Samo svugdje osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nije jednako). Ovako pristupate odgovoru, sa znakom nejednakosti:

X ≠ 0,75

U složenijim primjerima, bolje je raditi stvari drugačije. Napravite nejednakost od jednakosti. Volim ovo:

4x - 3 = 0

Mirno riješi to kako je naučeno i dobij odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je da na samom kraju, kada zapisujete konačni odgovor, ne zaboravite da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam ovaj X zapravo i ne treba.) I moramo ga zapisati ispravnim simbolom:

X ≠ 0,75

Ovaj pristup rezultira manjim brojem grešaka. Oni koji automatski rješavaju jednačine. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti su, zapravo, ni od kakve koristi...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednakosti:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo jednostavno rješavamo nejednakost. Otvaramo zagrade, pomeramo ih, donosimo slične... Dobijamo:

X > - 6

Zar nije tako ispalo!? Da li ste pratili znakove!? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Hajde da razmislimo ponovo. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam odmah ne padne na pamet, možete jednostavno uzeti bilo koji broj i shvatiti ga. Dva preko minus šest? Svakako! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanja moguća stvar! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo prolaziti kroz brojeve, zar ne?)

Uzmimo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor je ispunjen, -5 > - 6. Da li je moguće pronaći drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5... Stani! Rečeno nam je cijeli rješenje! Ne valja -5,5! Šta je sa minus šest? Uh-uh! Nejednakost je stroga, minus 6 ni na koji način nije manji od minus 6!

Dakle, tačan odgovor je -5.

Nadam se da je sve jasno sa izborom vrednosti iz opšteg rešenja. Drugi primjer:

4. Riješite nejednakost:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ovaj izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni oblik sistema nejednakosti. Ali takve trostruke nejednakosti se još moraju riješiti u nekim zadacima... Može se riješiti bez ikakvih sistema. Prema istim identičnim transformacijama.

Moramo pojednostaviti, dovesti ovu nejednakost na čisti X. Ali... Šta da se prenese gde?! Ovdje je vrijeme da zapamtite da je kretanje lijevo i desno skraćeni oblik prva transformacija identiteta.

A puni obrazac zvuči ovako: Bilo koji broj ili izraz može se dodati/oduzeti na obje strane jednačine (nejednakost).

Ovdje postoje tri dijela. Tako ćemo primijeniti identične transformacije na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmimo jedan od cijelog srednjeg dijela. Kako se nejednakost ne bi promijenila, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Volim ovo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, zar ne?) Ostaje samo podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < X < 4

To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj odgovor se također piše u intervalima; Tamo su najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponoviću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednačina zavisi od sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednačina. Ako u isto vreme pazi na znak nejednakosti, neće biti nikakvih problema. To ti želim. Nema problema.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Među čitavim nizom logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednakosti sa promjenjivom bazom. Oni se rješavaju pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Umjesto “∨” polja za potvrdu možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.

Na ovaj način se oslobađamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednakost. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali pri odbacivanju logaritma mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odsjekli, dovoljno je pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, toplo preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Šta je logaritam”.

Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ove četiri nejednakosti čine sistem i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada je raspon prihvatljivih vrijednosti pronađen, ostaje samo da ga presječemo rješenjem racionalne nejednakosti - i odgovor je spreman.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Prvo, napišimo ODZ logaritma:

Prve dvije nejednakosti su zadovoljene automatski, ali će posljednja morati biti ispisana. Pošto je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednakost:

Vršimo prijelaz sa logaritamske nejednakosti na racionalnu. Originalna nejednakost ima predznak “manje od”, što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak “manje od”. Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štaviše, x = 0 je korijen drugog višestrukosti, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:

Dobijamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ-u logaritma, što znači da je ovo odgovor.

Pretvaranje logaritamskih nejednakosti

Često je originalna nejednakost drugačija od gornje. Ovo se lako može ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritma”. naime:

1. Bilo koji broj se može predstaviti kao logaritam sa datom bazom;
2. Zbir i razlika logaritama sa istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.

Zasebno, želio bih da vas podsjetim na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednakosti može biti nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednačina je sljedeća:

1. Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednakost;
2. Nejednakost svesti na standardnu ​​koristeći formule za sabiranje i oduzimanje logaritama;
3. Riješi rezultirajuću nejednačinu koristeći gornju shemu.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Nađimo domen definicije (DO) prvog logaritma:

Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojilaca:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Zatim - nule imenioca:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:

Dobijamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:

Kao što vidite, trojke u osnovi i ispred logaritma su smanjene. Dobili smo dva logaritma sa istom bazom. Hajde da ih zbrojimo:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardnu ​​logaritamsku nejednakost. Riješimo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednakost sadrži znak “manje od”, rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva seta:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Ostaje presijecati ove skupove - dobijamo pravi odgovor:

Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale koji su zasjenjeni na obje strelice. Dobijamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve tačke su izbušene.

U članku ćemo razmotriti rješavanje nejednačina. Jasno ćemo vam reći kako konstruisati rešenje za nejednakosti, sa jasnim primjerima!

Prije nego što pogledamo rješavanje nejednačina na primjerima, razumijemo osnovne koncepte.

Opće informacije o nejednakostima

Nejednakost je izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacija >, . Nejednakosti mogu biti i numeričke i doslovne.
Nejednakosti sa dva znaka omjera nazivaju se dvostrukim, sa tri - trostrukim, itd. Na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednakosti koje sadrže znak > ili ili - nisu stroge.
Rješavanje nejednakosti je bilo koja vrijednost varijable za koju će ova nejednakost biti istinita.
"Riješite nejednakost" znači da moramo pronaći skup svih njegovih rješenja. Postoje različita metode za rješavanje nejednačina. Za rješenja nejednakosti Koriste brojevnu pravu, koja je beskonačna. Na primjer, rješenje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u ovaj interval, stoga je tačka na pravoj označena praznim krugom, jer nejednakost je stroga.
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, tako da je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti je uvijek označen zagradom. Znak znači "pripadanje".
Pogledajmo kako riješiti nejednakosti koristeći još jedan primjer sa znakom:
x 2
-+
Vrijednost x=2 je uključena u skup rješenja, tako da je zagrada kvadratna, a tačka na pravoj je označena popunjenim krugom.
Odgovor će biti: x)