Эскиз графика функции. Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции). Защита персональной информации

1. Методика построения эскизов графиков функций

2. Решение примера №1

3. Решение примера №2

Сбор и использование персональной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании


Построение графиков функций. . . . . . . . . . . .
1. План исследования функции при построении графика. .
2. Основные понятия и этапы исследования функции. . . .
1. Область определения функции D f и множество
значений функции E f . Специальные свойства
функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Исследование асимптот. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Вертикальные асимптоты. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты. . . . . . .
2.3. Методы исследования невертикальных асимптот. .
2.4. Взаимное расположение графика функции
и его асимптоты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Построение эскиза графика функции. . . . . . . . . .
4. Участки возрастания и убывания функции
Точки минимума и максимума. . . . . . . . . . . . . . .
5. Выпуклость функции вверх и вниз
Точки перегиба. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Дифференцирование функции, аналитическое
выражение которой содержит модуль. . . . . . . . . . . . .
4. Основные требования к результатам исследования
и построению графика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Примеры исследования функций и построения
графиков функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Построение кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.План исследования и построения кривых. . . . . . . . . .

2. Основные понятия и этапы исследования кривой. . . . .
	Исследование функций x x t и y y t . . . . . . .
	Использование результатов исследования x x t . .
2.1. Вертикальные асимптоты кривой. . . . . . . . . . .
2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты кривой. .
	Анализ результатов и построение эскиза
графика функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Участки возрастания и убывания кривой
Точки минимума и максимума функций
x x y и y y x , точки возврата кривой. . . . . . .
	Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегиба. .
3. Построение параметрически заданных кривых. . . . . .
Пример 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задачи для самостоятельного решения . . . . . .
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Построение графиков функций

1. План исследования функции при построении графика

1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность; периодичность, свойства симметрии.

2. Исследовать асимптоты графика функции: вертикальные, наклонные. Проанализировать взаимное расположение графика функции и его наклонных (горизонтальных) асимптот.

3. Построить эскиз графика.

4. Найти участки монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

Найти односторонние производные в точках разрыва производной функции и в граничных точках области определения функции (если односторонние производные существуют).

5. Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба.

2. Основные понятия и этапы исследования функции

1. Область определения функции D f и множество значе-

ний функции E f . Специальные свойства функции

Указать область определения функции, на оси абсцисс отметить ее граничными точками и выколотыми точками, указать абсциссы этих точек. Нахождение области определения функции приводить не обязательно.

Множество значений функции находить не обязательно. Легко исследуемые свойства множества значений: неотрицательность, ограниченность снизу или сверху и т.п., используются для построения эскиза графика, контроля результатов исследования и правильности построения графика.

x как

График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Четные и нечетные функции исследуют на положительной половине области определения.

Периодическую функцию исследуют на одном периоде, а

график приводят на 2-3-х периодах.
2. Исследование асимптот
2.1. Вертикальные асимптоты
Определение 1.				x x0		называется		вертикальной
асимптотой графика функции				y f x ,			если выполнено
бы одно из условий:			lim f x 1				lim f x .
			x x0 0				x x0 0
2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты

ной) асимптотой графика функции					y f x при x ,
lim f x kx b 0 .
					при x
	определения асимптоты
k lim		b lim f x kx . Вычисляя соответствующие


пределы, получаем уравнение асимптоты y kx b .
Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда

Если k 0 , то асимптота называется наклонной.
k 0 , то асимптота			y b называется горизонтальной.
Аналогично вводятся понятия наклонной и горизонтальной
асимптоты графика функции y f x						при x .

2.3. Методы исследования невертикальных асимптот Исследование асимптот при x и при

правило проводят отдельно.

1 Символ мы будем использовать, подразумевая выполнение одного случая, либо

В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при x и при x , например, для

1) рациональных функций;

2) четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.

Метод выделения главной части. Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при x . Аналогично при x .

Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби:

Пример 1. Найти наклонные асимптоты графика функции

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 при	x , то пря-

мая y 2 x 5 является искомой асимптотой. ◄

Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы представления функции формулой Тейлора при x .

Пример 2. Найти наклонную асимптоту графика функции

x4 3 x 1

при x .

x 4 o1

при x , то прямая		y x 4 является искомой асимптотой.

		иррациональных
		f x 3		удобно нахо-
	ax2 bx c и		ax3 bx2 cx d

дить соответственно методом выделения полного квадрата или полного куба подкоренного выражения.

Пример 3. Найти наклонные асимптоты графика функции f x x 2 6 x 14 при x и x .

В подкоренном выражении выделим полный квадрат

x 3 2

5 . Так как график функции

f x симметричен

относительно прямой x 3 и

то f x ~

при x .

x 3 2 5

Значит, прямая

y x 3 является

асимптотой при x , а прямая y 3 x

Асимптотой при

x . ◄

Для нахождения асимптот можно использовать метод выделения главной части.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

То функция

имеет асимптоту

y 2 x

и асимптоту

y 2 x

при x .◄

Для трансцендентных функций приемлемы оба метода ис-

следования асимптот при решении практических примеров.

Замечание 1. При исследовании асимптот иррациональных, трансцендентных функций , а также функций, аналитическое выражение которых содержит модуль, целесообразно рассматривать два случая: x и x . Совместное исследование асимптот при x и при x может привести к ошибкам в исследовании. При нахождении пределов или главной части при x необходимо выполнить замену переменной x t .

2.4. Взаимное расположение графика функции и его асимптоты

а) Если функция y f x имеет асимптоту при x ,

дифференцируема и строго выпукла вниз на луче x x 0 , то гра-

фик функции лежит выше асимптоты (рис. 1.1).

б) Если функция y f x имеет асимптоту при x ,

дифференцируема и строго выпукла вверх на луче x x 0 , то

график функции лежит ниже асимптоты (рис. 1.2).

в) Могут быть другие случаи поведения графика функции при стремлении к асимптоте. Например, возможно, что, график функции бесконечное число раз пересекает асимптоту (рис. 1.3 и 1.4).

Аналогичное утверждение справедливо и при x .

До исследования свойств выпуклости графика функции взаимное расположения графика функции и его асимптоты можно определить по знаку o 1 в методе выделения главной части.

Пример 5. Определить взаимное расположение графика

функции f x 2 x 2 3 x 2 и его асимптот. x 1

0 при x , то график функции лежит ниже асимпто-

ты y 2 x 5 . ◄

Пример 6. Определить взаимное расположение графика

функции f x

x4 3 x 1

и его асимптоты при x .

x 2 1

Из равенства

x следует, что график функции лежит ниже асимптоты y x 4 . ◄

Пример 7. Определить взаимное расположение графика функции f x x 2 6 x 14 и его асимптот.

Так как f x x 3 (см. пример 3), то

x 3 2 5 x 3

график функции лежит выше асимптоты y x 3 при x и при x . ◄

Пример 8. Определить взаимное расположение графика

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 и его асимптот.

как x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6 , то применяя

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , получаем f x x 2

14x 6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

разность положительна при x

и отрицательна при x

Поэтому при x график функции лежит ниже асимптоты y x 2 , а при x - выше асимптоты y x 2 .◄

Метод вычисления пределов для исследования асимптот не позволяет оценить взаимное расположение графика функции и его асимптоты.

3. Построение эскиза графика функции Для построения эскиза графика отмечаются вертикальные и

наклонные асимптоты, точки пересечения графика функции с осями. Учитывая взаимное расположение графика функции и асимптот, строится эскиз графика. Если график функции лежит выше (ниже) асимптоты при x , то, предполагая, что суще-

ствует такая точка x 0 , что среди точек x x 0 нет точек перегиба,

получаем, что функция выпукла вниз(вверх), то есть к асимптоте. Аналогично можно прогнозировать направление выпуклости к асимптоте для вертикальных асимптот и для асимптоты при x . Однако, как показывает приведенный выше пример

функции y x sin 2 x , такие предположения могут быть не x

4. Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и максимума

Определение 3.	Функция f x называется	возрастающей
(убывающей) на интервале a , b , если для любых		x1 , x2 a, b ,
таких что x 1 x 2	имеет место неравенство	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

Дифференцируемая на интервале a , b функция f x воз-

растает (убывает) на интервале a , b , тогда и только тогда, когда

мума функции f x .

Необходимое условие экстремума. Если

Точка экс-

тремума функции f x , то в этой точке либо

f x 0 0 , либо

производная не существует.

Достаточные условия экстремума.

f x диффе-

1. Пусть существует 0 , такое что функция

ренцируема в проколотой -окрестности точки x 0

и непрерывна

в точке x 0 . Тогда,

а) если ее производная меняет знак минус на плюс при пере-

ходе через точку		x 0 ,

			x x 0 , x 0 , то x 0 - точка максимума
	x 0 для любого
функции f x ;
	б) если ее производная меняет знак плюс на минус при пере-
ходе через точку		x 0 ,
			т.е. f x 0 для любого x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , то x 0 - точка минимума
	x 0 для любого

функции f x .

Модельными примерами могут служить y x (рис. 2.1) и

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В данном уроке мы рассмотрим методику построения эскиза графика функции, приведем разъясняющие примеры.

Тема: Повторение

Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)

Наша цель - построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:

Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.

Методика построения эскиза такова:

1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)

Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.

Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:

Найдем корни:

Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения - корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:

На интервале функция имеет знак плюс

На интервале функция имеет знак минус.

В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.

Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.

1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции и :

Рис. 2. График в окрестностях корней

Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.

2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :

Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ

Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.

Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.

Рис. 4. Эскиз графика функции

Рассмотрим следующую важную задачу - построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Иногда можно встретить такую запись данного факта:

Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек

Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.

Пример 1 - построить эскиз графика функции:

Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.

Найдем производную функции:

Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.

Проиллюстрируем:

Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1

при x , то гра-

y 2 x 5 . Так как

фик функции лежит

выше асимптоты

Пример 2 - построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечетная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

«Задачи на производную» - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. А как Вы представляете себе мгновенную скорость? Задача о мгновенной скорости. y. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? ?Х=х-х0. Сказанное записывают в виде. Сначала мы определили «территорию» своих исследований. А л г о р и т м. Скорость v постепенно возрастает.

«Исследование функции производной» - Пушка стреляет под углом к горизонту. Вариант 1 А В Г Вариант2 Г Б Б. МОУ Мешковская сош Учитель математики Ковалева т.в. Функция определена на отрезке [-4;4] . Как связаны производная и функция? Ответы: ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ возрастание и убывание функции. ЗАДАЧА Помните рассказ о бароне Мюнхгаузене?

«Производная сложной функции» - Сложная функция. Правило нахождения производной сложной функции. Производная простой функции. Производная сложной функции. Сложная функция: Примеры:

«Применение производной к исследованию функций» - 6. -1. 8. Укажите критические точки функции, используя график производной функции. 1. =. 1 июля 1646 - 14 ноября 1716, Разминка. Признак возрастания и убывания функции. Определите знак производной функции на промежутках.

«Урок производная сложной функции» - Производная сложной функции. Вычислить скорость движения точки: а) в момент времени t; б) в момент t=2 c. Найдите производные функций: , Если. Брук Тейлор. Найти дифференциал функции: При каких значениях х выполняется равенство. Точка движется прямолинейно по закону s(t) = s(t) = (s – путь в метрах, t – время в секундах).

«Определение производной» - 1. Доказательство: f(x+ ?x). Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная. f(x). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: По формуле бинома Ньютона имеем: Теорема. Тогда: Производная сложной функции.

Всего в теме 31 презентация

В данном уроке мы рассмотрим методику построения эскиза графика функции, приведем разъясняющие примеры.

Тема: Повторение

Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)

Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.

Методика построения эскиза такова:

1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)

Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:

Найдем корни:

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции

На интервале функция имеет знак плюс

На интервале функция имеет знак минус.

1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции и :

Рис. 2. График в окрестностях корней

2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :

Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ

Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.

Рис. 4. Эскиз графика функции

Рассмотрим следующую важную задачу - построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Иногда можно встретить такую запись данного факта:

Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек

Пример 1 - построить эскиз графика функции:

Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.

Найдем производную функции:

Проиллюстрируем:

Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1

Пример 2 - построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечетная.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Найдем производную функции:

Выделяем интервалы знакопостоянства производной: при . ОДЗ здесь . Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства производной и три участка монотонности исходной функции. Определим знаки производной на каждом интервале. Когда производная положительна, функция возрастает; когда производная отрицательна, функция убывает. При этом - точка минимум, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс; наоборот, точка максимума.