બે સંખ્યાઓનો નોડ અને નોક, યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ. LCM નો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક

સૌથી મોટું સામાન્ય વિભાજકઅને ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ મુખ્ય અંકગણિત ખ્યાલો છે જે તમને વિના પ્રયાસે કાર્ય કરવા દે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. LCM અને મોટાભાગે અનેક અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદ શોધવા માટે વપરાય છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો

પૂર્ણાંક X નો વિભાજક એ બીજો પૂર્ણાંક Y છે જેના દ્વારા X ને શેષ છોડ્યા વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4 નો વિભાજક 2 છે, અને 36 4, 6, 9 છે. પૂર્ણાંક X નો ગુણાકાર એ સંખ્યા Y છે જે શેષ વિના X વડે ભાગી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3 એ 15 નો ગુણાંક છે, અને 6 એ 12 નો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી માટે આપણે તેમના સામાન્ય વિભાજકો અને ગુણાંક શોધી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 6 અને 9 માટે, સામાન્ય ગુણાંક 18 છે, અને સામાન્ય વિભાજક 3 છે. દેખીતી રીતે, જોડીમાં અનેક વિભાજકો અને ગુણાંક હોઈ શકે છે, તેથી ગણતરીઓ સૌથી મોટા વિભાજક GCD અને સૌથી નાના બહુવિધ LCMનો ઉપયોગ કરે છે.

લઘુત્તમ વિભાજક અર્થહીન છે, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યા માટે તે હંમેશા એક જ હોય ​​છે. સૌથી મહાન ગુણાંક પણ અર્થહીન છે, કારણ કે ગુણાંકનો ક્રમ અનંત સુધી જાય છે.

જીસીડી શોધવી

સૌથી સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટેની ઘણી પદ્ધતિઓ છે, જેમાંથી સૌથી પ્રસિદ્ધ છે:

• વિભાજકોની અનુક્રમિક શોધ, જોડી માટે સામાન્યની પસંદગી અને તેમાંથી સૌથી મોટાની શોધ;
• અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓનું વિઘટન;
• યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ;
• દ્વિસંગી અલ્ગોરિધમનો.

આજે મુ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓપ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશનની પદ્ધતિઓ અને યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ સૌથી વધુ લોકપ્રિય છે. બાદમાં, બદલામાં, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વપરાય છે: પૂર્ણાંકોમાં રીઝોલ્યુશનની શક્યતા માટે સમીકરણ તપાસવા માટે GCD માટે શોધ કરવી જરૂરી છે.

NOC શોધવી

લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક પણ અનુક્રમિક ગણતરી દ્વારા અથવા અવિભાજ્ય પરિબળોમાં અવયવીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધુમાં, જો સૌથી મોટો વિભાજક પહેલેથી જ નક્કી કરવામાં આવ્યો હોય તો LCM શોધવાનું સરળ છે. X અને Y નંબરો માટે, LCM અને GCD નીચેના સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

ઉદાહરણ તરીકે, જો GCM(15,18) = 3, તો LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM નો ઉપયોગ કરવાનું સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણ સામાન્ય છેદ શોધવાનું છે, જે સૌથી ઓછા સામાન્ય ગુણાંક છે. આપેલ અપૂર્ણાંક.

કોપ્રાઈમ નંબરો

જો સંખ્યાઓની જોડીમાં કોઈ સામાન્ય વિભાજકો ન હોય, તો આવી જોડીને કોપ્રાઈમ કહેવામાં આવે છે. આવા જોડીઓ માટેનું gcd હંમેશા એક સમાન હોય છે, અને વિભાજકો અને ગુણાંક વચ્ચેના જોડાણના આધારે, coprime જોડીઓ માટે gcd તેમના ઉત્પાદનની બરાબર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 25 અને 28 સંખ્યાઓ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, કારણ કે તેમની પાસે કોઈ સામાન્ય વિભાજક નથી, અને LCM(25, 28) = 700, જે તેમના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે. કોઈપણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યા હંમેશા પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય હશે.

સામાન્ય વિભાજક અને બહુવિધ કેલ્ક્યુલેટર

અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને તમે પસંદ કરવા માટે સંખ્યાઓની મનસ્વી સંખ્યા માટે GCD અને LCM ની ગણતરી કરી શકો છો. સામાન્ય વિભાજકો અને ગુણાંકની ગણતરી કરવાના કાર્યો ગ્રેડ 5 અને 6 અંકગણિતમાં જોવા મળે છે, પરંતુ GCD અને LCM મુખ્ય ખ્યાલોગણિત અને તેનો ઉપયોગ નંબર થિયરી, પ્લાનિમેટ્રી અને કોમ્યુનિકેટિવ બીજગણિતમાં થાય છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણો

અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ

કેટલાક અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદને શોધતી વખતે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકનો ઉપયોગ થાય છે. ચાલો કહીએ કે અંકગણિત સમસ્યામાં તમારે 5 અપૂર્ણાંકનો સરવાળો કરવાની જરૂર છે:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવી આવશ્યક છે, જે LCM શોધવાની સમસ્યાને ઘટાડે છે. આ કરવા માટે, કેલ્ક્યુલેટરમાં 5 નંબરો પસંદ કરો અને યોગ્ય કોષોમાં છેદના મૂલ્યો દાખલ કરો. પ્રોગ્રામ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ની ગણતરી કરશે. હવે તમારે દરેક અપૂર્ણાંક માટે વધારાના પરિબળોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, જેને LCM અને છેદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી વધારાના ગુણક આના જેવા દેખાશે:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

આ પછી, અમે અનુરૂપ વધારાના પરિબળ દ્વારા તમામ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

આપણે સરળતાથી આવા અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ અને પરિણામ 159/360 મેળવી શકીએ છીએ. અમે અપૂર્ણાંકને 3 થી ઘટાડીએ છીએ અને અંતિમ જવાબ જુઓ - 53/120.

રેખીય ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ઉકેલવા

લીનિયર ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો એ ax + by = d સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે. જો ગુણોત્તર d/gcd(a, b) પૂર્ણાંક છે, તો સમીકરણ પૂર્ણાંકોમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે. ચાલો કેટલાક સમીકરણો તપાસીએ કે તેમની પાસે પૂર્ણાંક ઉકેલ છે કે નહીં. પ્રથમ, ચાલો સમીકરણ 150x + 8y = 37 તપાસીએ. કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, આપણે GCD (150.8) = 2 શોધીએ છીએ. 37/2 = 18.5 ને વિભાજિત કરો. સંખ્યા પૂર્ણાંક નથી, તેથી સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ નથી.

ચાલો સમીકરણ 1320x + 1760y = 10120 તપાસીએ. GCD(1320, 1760) = 440 શોધવા માટે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો. 10120/440 = 23 ને વિભાજિત કરો. પરિણામે, આપણને પૂર્ણાંક મળે છે, તેથી, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણમાં સમીકરણ યોગ્ય છે. .

નિષ્કર્ષ

નંબર થિયરીમાં GCD અને LCM મોટી ભૂમિકા ભજવે છે, અને ગણિતના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વિભાવનાઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ગણતરી કરવા માટે અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો મહાન વિભાજકોઅને સંખ્યાઓની કોઈપણ સંખ્યાના ઓછામાં ઓછા ગુણાંક.

બીજો નંબર: b=

હજાર વિભાજકજગ્યા વિભાજક વિના "´

પરિણામ:

ગ્રેટેસ્ટ સામાન્ય વિભાજક જીસીડી( a,b)=6

LCM નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક( a,b)=468

મહાનતમ કુદરતી સંખ્યા, જેના દ્વારા સંખ્યાઓ a અને b ને શેષ વગર વિભાજિત કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સૌથી સામાન્ય વિભાજક(GCD) આ સંખ્યાઓમાંથી. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) અથવા hcf(a,b) દ્વારા સૂચિત.

ન્યૂનતમ સામાન્ય બહુવિધબે પૂર્ણાંકો a અને b નો LCM એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે બાકીના વિના a અને b વડે વિભાજ્ય છે. સૂચિત LCM(a,b), અથવા lcm(a,b).

પૂર્ણાંક a અને b કહેવામાં આવે છે પરસ્પર મુખ્ય, જો તેમની પાસે +1 અને −1 સિવાય કોઈ સામાન્ય વિભાજકો નથી.

મહાન સામાન્ય વિભાજક

બે હકારાત્મક સંખ્યાઓ આપવા દો a 1 અને a 2 1). આ સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક શોધવો જરૂરી છે, એટલે કે. આવી સંખ્યા શોધો λ , જે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરે છે a 1 અને aએક જ સમયે 2. ચાલો અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કરીએ.

1) આ લેખમાં, શબ્દ સંખ્યાને પૂર્ણાંક તરીકે સમજવામાં આવશે.

દો a 1 ≥ a 2 અને દો

જ્યાં m 1 , a 3 કેટલાક પૂર્ણાંકો છે, a 3 <a 2 (વિભાજનનો બાકીનો ભાગ a 1 પ્રતિ a 2 ઓછા હોવા જોઈએ a 2).

ચાલો તે ડોળ કરીએ λ વિભાજન a 1 અને a 2 પછી λ વિભાજન m 1 a 2 અને λ વિભાજન a 1 −m 1 a 2 =a 3 (લેખનું નિવેદન 2 “સંખ્યાઓની વિભાજ્યતા. વિભાજ્યતા પરીક્ષણ”). તે દરેક સામાન્ય વિભાજકને અનુસરે છે a 1 અને a 2 એ સામાન્ય વિભાજક છે a 2 અને a 3. વિપરીત પણ સાચું છે જો λ સામાન્ય વિભાજક a 2 અને a 3 પછી m 1 a 2 અને a 1 =m 1 a 2 +a 3 દ્વારા પણ વિભાજ્ય છે λ . તેથી સામાન્ય વિભાજક a 2 અને a 3 એ સામાન્ય વિભાજક પણ છે a 1 અને a 2. કારણ કે a 3 <a 2 ≤a 1, તો પછી આપણે કહી શકીએ કે સંખ્યાઓના સામાન્ય વિભાજક શોધવાની સમસ્યાનો ઉકેલ a 1 અને a 2 સંખ્યાઓના સામાન્ય ભાજક શોધવાની સરળ સમસ્યામાં ઘટાડો થયો a 2 અને a 3 .

જો a 3 ≠0, પછી આપણે ભાગી શકીએ a 2 પર a 3. પછી

,

જ્યાં m 1 અને a 4 કેટલાક પૂર્ણાંકો છે, ( aવિભાગમાંથી 4 બાકી a 2 પર a 3 (a 4 <a 3)). સમાન તર્ક દ્વારા આપણે એવા નિષ્કર્ષ પર પહોંચીએ છીએ કે સંખ્યાઓના સામાન્ય વિભાજકો a 3 અને a 4 સંખ્યાઓના સામાન્ય વિભાજકો સાથે એકરુપ છે a 2 અને a 3, અને સામાન્ય વિભાજકો સાથે પણ a 1 અને a 2. કારણ કે a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... એવી સંખ્યાઓ છે જે સતત ઘટી રહી છે, અને કારણ કે તેમની વચ્ચે પૂર્ણાંકોની મર્યાદિત સંખ્યા છે a 2 અને 0, પછી અમુક પગલા પર n, વિભાગનો બાકીનો ભાગ a n ચાલુ a n+1 શૂન્ય ની બરાબર હશે ( a n+2 =0).

.

દરેક સામાન્ય વિભાજક λ સંખ્યાઓ a 1 અને a 2 એ સંખ્યાઓનો વિભાજક પણ છે a 2 અને a 3 , a 3 અને a 4 , .... a n અને a n+1 . વાતચીત પણ સાચી છે, સંખ્યાઓના સામાન્ય વિભાજકો a n અને a n+1 એ સંખ્યાઓના વિભાજક પણ છે a n−1 અને a n , .... , a 2 અને a 3 , a 1 અને a 2. પરંતુ સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક a n અને a n+1 એ એક સંખ્યા છે a n+1 , કારણ કે a n અને a n+1 વડે વિભાજ્ય છે a n+1 (તે યાદ રાખો a n+2 =0). આથી a n+1 એ સંખ્યાઓનો વિભાજક પણ છે a 1 અને a 2 .

નોંધ કરો કે નંબર a n+1 એ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો વિભાજક છે a n અને a n+1 , સૌથી મોટા વિભાજકથી a n+1 પોતે છે a n+1 . જો a n+1 ને પૂર્ણાંકોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, તો પછી આ સંખ્યાઓ સંખ્યાઓના સામાન્ય વિભાજકો પણ છે a 1 અને a 2. નંબર a n+1 કહેવાય છે સૌથી સામાન્ય વિભાજકસંખ્યાઓ a 1 અને a 2 .

સંખ્યાઓ a 1 અને a 2 હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. જો કોઈ એક સંખ્યા શૂન્યની બરાબર હોય, તો આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક બીજી સંખ્યાના સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલો હશે. શૂન્ય સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક અવ્યાખ્યાયિત છે.

ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમ કહેવામાં આવે છે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમબે પૂર્ણાંકોનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે.

બે સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવાનું ઉદાહરણ

બે સંખ્યાઓ 630 અને 434 નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધો.

• પગલું 1. સંખ્યા 630 ને 434 વડે વિભાજીત કરો. શેષ 196 છે.
• પગલું 2. સંખ્યા 434 ને 196 વડે ભાગો. બાકી 42 છે.
• પગલું 3. 196 નંબરને 42 વડે વિભાજીત કરો. શેષ 28 છે.
• પગલું 4. સંખ્યા 42 ને 28 વડે ભાગો. બાકી 14 છે.
• પગલું 5. સંખ્યા 28 ને 14 વડે વિભાજીત કરો. શેષ 0 છે.

પગલું 5 માં, ભાગાકારનો શેષ ભાગ 0 છે. તેથી, 630 અને 434 નંબરોનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક 14 છે. નોંધ કરો કે સંખ્યાઓ 2 અને 7 એ સંખ્યાઓ 630 અને 434ના પણ વિભાજક છે.

કોપ્રાઈમ નંબરો

વ્યાખ્યા 1. સંખ્યાઓના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને દો a 1 અને a 2 બરાબર એક. પછી આ નંબરો બોલાવવામાં આવે છે કોપ્રાઈમ નંબરો, કોઈ સામાન્ય વિભાજક નથી.

પ્રમેય 1. જો a 1 અને a 2 કોપ્રાઈમ નંબરો, અને λ અમુક સંખ્યા, પછી સંખ્યાઓનો કોઈપણ સામાન્ય વિભાજક λa 1 અને a 2 એ સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક પણ છે λ અને a 2 .

પુરાવો. સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરો a 1 અને a 2 (ઉપર જુઓ).

.

પ્રમેયની શરતો પરથી તે અનુસરે છે કે સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક a 1 અને a 2 અને તેથી a n અને a n+1 એટલે 1. એટલે કે a n+1 =1.

ચાલો આ બધી સમાનતાને વડે ગુણાકાર કરીએ λ , પછી

.

સામાન્ય વિભાજક દો a 1 λ અને a 2 હા δ . પછી δ માં ગુણક તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે a 1 λ , m 1 a 2 λ અને માં a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (જુઓ "સંખ્યાઓની વિભાજ્યતા", વિધાન 2). આગળ δ માં ગુણક તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે a 2 λ અને m 2 a 3 λ , અને, તેથી, એક પરિબળ છે a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

આ રીતે તર્ક કરતાં, અમને ખાતરી છે કે δ માં ગુણક તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે a n−1 λ અને m n−1 a n λ , અને તેથી માં a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . કારણ કે a n+1 =1, પછી δ માં ગુણક તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે λ . તેથી સંખ્યા δ સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક છે λ અને a 2 .

ચાલો પ્રમેય 1 ના વિશેષ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

પરિણામ 1. દો aઅને cપ્રાઇમ નંબરો પ્રમાણમાં છે b. પછી તેમનું ઉત્પાદન એસીના સંદર્ભમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા છે b.

ખરેખર. પ્રમેય 1 થી એસીઅને bસમાન સામાન્ય વિભાજકો ધરાવે છે cઅને b. પરંતુ સંખ્યાઓ cઅને bપ્રમાણમાં સરળ, એટલે કે એક સામાન્ય વિભાજક હોય 1. પછી એસીઅને bએક સામાન્ય વિભાજક પણ છે 1. તેથી એસીઅને bપરસ્પર સરળ.

પરિણામ 2. દો aઅને b coprime નંબરો અને દો bવિભાજન એક. પછી bવિભાજીત કરે છે અને k.

ખરેખર. મંજૂરીની શરતમાંથી એકઅને bએક સામાન્ય વિભાજક છે b. પ્રમેય 1 ના આધારે, bસામાન્ય વિભાજક હોવો જોઈએ bઅને k. આથી bવિભાજન k.

કોરોલરી 1 સામાન્ય કરી શકાય છે.

પરિણામ 3. 1. નંબરો દો a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m સંખ્યાની સાપેક્ષમાં અવિભાજ્ય છે b. પછી a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, આ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન સંખ્યાની સાપેક્ષ અવિભાજ્ય છે b.

2. ચાલો આપણે સંખ્યાઓની બે પંક્તિઓ રાખીએ

જેમ કે પ્રથમ શ્રેણીની દરેક સંખ્યા બીજી શ્રેણીની દરેક સંખ્યાના ગુણોત્તરમાં અવિભાજ્ય છે. પછી ઉત્પાદન

તમારે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જે આ દરેક સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય હોય.

જો સંખ્યા વડે વિભાજ્ય હોય a 1, પછી તે ફોર્મ ધરાવે છે સા 1 જ્યાં sઅમુક સંખ્યા. જો qસંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે a 1 અને a 2, પછી

જ્યાં s 1 એ અમુક પૂર્ણાંક છે. પછી

છે સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક a 1 અને a 2 .

a 1 અને a 2 પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, પછી સંખ્યાઓનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક a 1 અને a 2:

આપણે આ સંખ્યાઓનો ઓછામાં ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની જરૂર છે.

ઉપરથી તે અનુસરે છે કે સંખ્યાઓનો કોઈપણ ગુણાંક a 1 , a 2 , a 3 સંખ્યાઓનો ગુણાંક હોવો જોઈએ ε અને a 3 અને પાછળ. સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક દો ε અને a 3 હા ε 1 આગળ, સંખ્યાઓનો ગુણાંક a 1 , a 2 , a 3 , a 4 સંખ્યાઓનો ગુણાંક હોવો જોઈએ ε 1 અને a 4 સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક દો ε 1 અને a 4 હા ε 2. આમ, અમને જાણવા મળ્યું કે સંખ્યાઓના તમામ ગુણાંક a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ચોક્કસ સંખ્યાના ગુણાંક સાથે મેળ ખાય છે ε n, જે આપેલ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક કહેવાય છે.

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે નંબરો a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, પછી સંખ્યાઓનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક a 1 , a 2, ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, ફોર્મ (3) ધરાવે છે. આગળ, ત્યારથી aસંખ્યાઓના સંબંધમાં 3 અવિભાજ્ય a 1 , a 2 પછી a 3 અવિભાજ્ય સંખ્યા a 1 · a 2 (કોરોલરી 1). એટલે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક a 1 ,a 2 ,a 3 એક સંખ્યા છે a 1 · a 2 · a 3. એ જ રીતે તર્ક કરતાં, અમે નીચેના વિધાન પર પહોંચીએ છીએ.

નિવેદન 1. કોપ્રાઈમ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે a 1 · a 2 · a 3 ··· a m

નિવેદન 2. કોઈપણ સંખ્યા કે જે પ્રત્યેક કોપ્રાઈમ સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m તેમના ઉત્પાદન દ્વારા પણ વિભાજ્ય છે a 1 · a 2 · a 3 ··· a m

ચાલો ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ વિશેની વાતચીત ચાલુ રાખીએ, જે અમે વિભાગમાં શરૂ કરી છે "LCM - ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ, વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો." આ વિષયમાં, આપણે ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓ માટે LCM શોધવાની રીતો જોઈશું, અને નકારાત્મક સંખ્યાના LCMને કેવી રીતે શોધી શકાય તે પ્રશ્ન જોઈશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD દ્વારા ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) ની ગણતરી

અમે પહેલાથી જ લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ અને સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી લીધો છે. હવે ચાલો શીખીએ કે GCD દ્વારા LCM કેવી રીતે નક્કી કરવું. પ્રથમ, ચાલો આકૃતિ કરીએ કે ધન સંખ્યાઓ માટે આ કેવી રીતે કરવું.

વ્યાખ્યા 1

તમે ફોર્મ્યુલા LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) નો ઉપયોગ કરીને સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 1

તમારે 126 અને 70 નંબરના LCM શોધવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

ચાલો a = 126, b = 70 લઈએ. ચાલો સૌથી સામાન્ય વિભાજક LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) દ્વારા લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી માટે સૂત્રમાં મૂલ્યોને બદલીએ.

70 અને 126 નંબરોની gcd શોધે છે. આ માટે આપણને યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમની જરૂર છે: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, તેથી GCD (126 , 70) = 14 .

ચાલો LCM ની ગણતરી કરીએ: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

જવાબ: LCM(126, 70) = 630.

ઉદાહરણ 2

68 અને 34 નંબર શોધો.

ઉકેલ

આ કિસ્સામાં GCD શોધવાનું મુશ્કેલ નથી, કારણ કે 68 34 વડે વિભાજ્ય છે. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીએ: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

જવાબ: LCM(68, 34) = 68.

આ ઉદાહરણમાં, અમે ધન પૂર્ણાંક a અને b ના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કર્યો છે: જો પ્રથમ સંખ્યા બીજા વડે વિભાજ્ય હોય, તો તે સંખ્યાઓનો LCM પ્રથમ સંખ્યાની બરાબર હશે.

સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળમાં ફેક્ટર કરીને LCM શોધવી

હવે ચાલો LCM શોધવાની પદ્ધતિ જોઈએ, જે સંખ્યાને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ પર આધારિત છે.

વ્યાખ્યા 2

લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, અમારે સંખ્યાબંધ સરળ પગલાં ભરવાની જરૂર છે:

• અમે જે સંખ્યાઓ માટે LCM શોધવાની જરૂર છે તેના તમામ અવિભાજ્ય અવયવોનું ઉત્પાદન બનાવીએ છીએ;
• અમે તેમના પરિણામી ઉત્પાદનોમાંથી તમામ મુખ્ય પરિબળોને બાકાત રાખીએ છીએ;
• સામાન્ય અવિભાજ્ય પરિબળોને દૂર કર્યા પછી મેળવેલ ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓના LCM જેટલું હશે.

લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની આ પદ્ધતિ સમાનતા LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) પર આધારિત છે. જો તમે સૂત્રને જોશો, તો તે સ્પષ્ટ થઈ જશે: સંખ્યાઓ a અને bનું ઉત્પાદન આ બે સંખ્યાઓના વિઘટનમાં ભાગ લેતા તમામ પરિબળોના ગુણાંક સમાન છે. આ કિસ્સામાં, બે સંખ્યાઓની gcd એ તમામ અવિભાજ્ય પરિબળોના ગુણાંક સમાન છે જે આ બે સંખ્યાઓના અવયવીકરણમાં વારાફરતી હાજર છે.

ઉદાહરણ 3

અમારી પાસે બે નંબરો 75 અને 210 છે. અમે તેમને નીચે મુજબ પરિબળ કરી શકીએ છીએ: 75 = 3 5 5અને 210 = 2 3 5 7. જો તમે બે મૂળ સંખ્યાઓના તમામ અવયવોનું ઉત્પાદન કંપોઝ કરો છો, તો તમને મળશે: 2 3 3 5 5 5 7.

જો આપણે 3 અને 5 બંને નંબરો માટે સામાન્ય પરિબળોને બાકાત રાખીએ, તો આપણને નીચેના સ્વરૂપનું ઉત્પાદન મળે છે: 2 3 5 5 7 = 1050. આ ઉત્પાદન નંબર 75 અને 210 માટે આપણું LCM હશે.

ઉદાહરણ 4

સંખ્યાઓનો LCM શોધો 441 અને 700 , બંને સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં ફેક્ટરિંગ.

ઉકેલ

ચાલો શરતમાં આપેલ સંખ્યાઓના તમામ મુખ્ય પરિબળો શોધીએ:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

આપણને સંખ્યાઓની બે સાંકળો મળે છે: 441 = 3 3 7 7 અને 700 = 2 2 5 5 7.

આ સંખ્યાઓના વિઘટનમાં ભાગ લેનારા તમામ પરિબળોના ઉત્પાદનમાં આ સ્વરૂપ હશે: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. ચાલો સામાન્ય પરિબળો શોધીએ. આ નંબર 7 છે. ચાલો તેને કુલ ઉત્પાદનમાંથી બાકાત કરીએ: 2 2 3 3 5 5 7 7. તે એન.ઓ.સી (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

જવાબ: LOC(441, 700) = 44,100.

ચાલો સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિઘટન કરીને LCM શોધવા માટેની પદ્ધતિનું બીજું સૂત્ર આપીએ.

વ્યાખ્યા 3

અગાઉ, અમે બંને સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય પરિબળોની કુલ સંખ્યામાંથી બાકાત રાખ્યા હતા. હવે આપણે તેને અલગ રીતે કરીશું:

• ચાલો બંને સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ:
• પ્રથમ નંબરના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાંકમાં બીજી સંખ્યાના ખૂટતા પરિબળો ઉમેરો;
• અમે ઉત્પાદન મેળવીએ છીએ, જે બે સંખ્યાઓનો ઇચ્છિત LCM હશે.

ઉદાહરણ 5

ચાલો નંબરો 75 અને 210 પર પાછા ફરીએ, જેના માટે આપણે અગાઉના ઉદાહરણોમાંના એકમાં એલસીએમ માટે પહેલેથી જ જોયું છે. ચાલો તેમને સરળ પરિબળોમાં તોડીએ: 75 = 3 5 5અને 210 = 2 3 5 7. પરિબળ 3, 5 અને ના ગુણાંકમાં 5 75 નંબરો ખૂટતા પરિબળો ઉમેરે છે 2 અને 7 નંબરો 210. અમને મળે છે: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .આ 75 અને 210 નંબરનો LCM છે.

ઉદાહરણ 6

84 અને 648 નંબરના એલસીએમની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો શરતમાંથી સંખ્યાઓને સરળ પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ: 84 = 2 2 3 7અને 648 = 2 2 2 3 3 3 3. ચાલો ઉત્પાદનમાં પરિબળ 2, 2, 3 અને ઉમેરીએ 7 સંખ્યા 84 ખૂટે છે પરિબળ 2, 3, 3 અને
3 નંબરો 648. અમે ઉત્પાદન મેળવીએ છીએ 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.આ 84 અને 648 નો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક છે.

જવાબ: LCM(84, 648) = 4,536.

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો LCM શોધવો

આપણે કેટલી સંખ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, આપણી ક્રિયાઓનું અલ્ગોરિધમ હંમેશા સમાન રહેશે: આપણે ક્રમિક રીતે બે સંખ્યાઓનો LCM શોધીશું. આ કેસ માટે એક પ્રમેય છે.

પ્રમેય 1

ચાલો ધારીએ કે આપણી પાસે પૂર્ણાંકો છે a 1 , a 2 , … , a k. એનઓસી m kઆ સંખ્યાઓ અનુક્રમે m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) ની ગણતરી કરીને જોવા મળે છે.

હવે ચાલો જોઈએ કે ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પ્રમેય કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય.

ઉદાહરણ 7

તમારે ચાર નંબરો 140, 9, 54 અને ના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરવાની જરૂર છે 250 .

ઉકેલ

ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

ચાલો m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) ની ગણતરી કરીને શરૂઆત કરીએ. ચાલો 140 અને 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 નંબરોની GCD ની ગણતરી કરવા માટે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ લાગુ કરીએ. અમને મળે છે: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. તેથી, m 2 = 1,260.

હવે ચાલો સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). ગણતરી દરમિયાન આપણે m 3 = 3 780 મેળવીએ છીએ.

આપણે માત્ર m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) ની ગણતરી કરવાની છે. અમે સમાન અલ્ગોરિધમનું પાલન કરીએ છીએ. આપણને m 4 = 94 500 મળે છે.

ઉદાહરણ શરતમાંથી ચાર સંખ્યાઓનો LCM 94500 છે.

જવાબ: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ગણતરીઓ સરળ છે, પરંતુ તદ્દન શ્રમ-સઘન છે. સમય બચાવવા માટે, તમે બીજી રીતે જઈ શકો છો.

વ્યાખ્યા 4

અમે તમને ક્રિયાઓની નીચેની અલ્ગોરિધમ ઓફર કરીએ છીએ:

• આપણે બધી સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરીએ છીએ;
• પ્રથમ સંખ્યાના અવયવોના ગુણાંકમાં આપણે બીજી સંખ્યાના ગુણાંકમાંથી ખૂટતા પરિબળો ઉમેરીએ છીએ;
• અગાઉના તબક્કે મેળવેલા ઉત્પાદનમાં આપણે ત્રીજા નંબરના ખૂટતા પરિબળો વગેરે ઉમેરીએ છીએ;
• પરિણામી ઉત્પાદન શરતમાંથી તમામ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક હશે.

ઉદાહરણ 8

તમારે પાંચ નંબરો 84, 6, 48, 7, 143 ના LCM શોધવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

ચાલો તમામ પાંચ સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવમાં પરિબળ કરીએ: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, જે સંખ્યા 7 છે, તેને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરી શકાતી નથી. આવી સંખ્યાઓ મુખ્ય પરિબળોમાં તેમના વિઘટન સાથે સુસંગત છે.

હવે ચાલો સંખ્યા 84 ના અવિભાજ્ય અવયવો 2, 2, 3 અને 7 નો ગુણાંક લઈએ અને તેમની સાથે બીજી સંખ્યાના ખૂટતા અવયવો ઉમેરીએ. અમે નંબર 6 ને 2 અને 3 માં વિઘટિત કર્યું. આ પરિબળો પહેલાથી જ પ્રથમ નંબરના ઉત્પાદનમાં છે. તેથી, અમે તેમને છોડી દઈએ છીએ.

અમે ગુમ થયેલ ગુણક ઉમેરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. ચાલો આપણે 2 અને 2 ને કોના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાંકમાંથી લઈએ છીએ તેમાંથી 48 નંબર પર જઈએ. પછી આપણે ચોથી સંખ્યામાંથી 7 નો અવિભાજ્ય અવયવ અને પાંચમા નંબરના 11 અને 13 ના અવયવ ઉમેરીશું. અમને મળે છે: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. મૂળ પાંચ સંખ્યાઓનો આ લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

જવાબ: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

નકારાત્મક સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવો

ઋણ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, આ સંખ્યાઓ પ્રથમ વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથેની સંખ્યાઓ દ્વારા બદલવી આવશ્યક છે, અને પછી ગણતરીઓ ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે.

ઉદાહરણ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) અને LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

આવી ક્રિયાઓ એ હકીકતને કારણે માન્ય છે કે જો આપણે તે સ્વીકારીએ aઅને - એ- વિરોધી સંખ્યાઓ,
પછી સંખ્યાના ગુણાંકનો સમૂહ aસંખ્યાના ગુણાંકના સમૂહ સાથે મેળ ખાય છે - એ.

ઉદાહરણ 10

નકારાત્મક સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવી જરૂરી છે − 145 અને − 45 .

ઉકેલ

ચાલો નંબરો બદલીએ − 145 અને − 45 તેમની વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ માટે 145 અને 45 . હવે, અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે અગાઉ યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને GCD નક્કી કર્યા પછી, LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305 ની ગણતરી કરીએ છીએ.

આપણે મેળવીએ છીએ કે સંખ્યાઓનો LCM − 145 અને છે − 45 બરાબર 1 305 .

જવાબ: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

વ્યાખ્યા.સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જેના દ્વારા સંખ્યાઓ a અને b ને શેષ વગર વિભાજિત કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સૌથી સામાન્ય વિભાજક (GCD)આ નંબરો.

ચાલો 24 અને 35 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક શોધીએ.
24 ના વિભાજકો સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 છે અને 35 ના વિભાજક સંખ્યાઓ 1, 5, 7, 35 છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે 24 અને 35 નંબરોમાં માત્ર એક જ સામાન્ય વિભાજક છે - નંબર 1. આવી સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. પરસ્પર મુખ્ય.

વ્યાખ્યા.કુદરતી નંબરો કહેવામાં આવે છે પરસ્પર મુખ્ય, જો તેમનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક (GCD) 1 છે.

ગ્રેટેસ્ટ કોમન ડિવાઈઝર (GCD)આપેલ સંખ્યાઓના તમામ વિભાજકો લખ્યા વિના શોધી શકાય છે.

48 અને 36 નંબરોને ફેક્ટર કરીને, અમને મળે છે:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
આમાંના પ્રથમ નંબરના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અમે બીજા નંબર (એટલે ​​​​કે, બે બે) ના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરીએ છીએ.
બાકીના અવયવો 2 * 2 * 3 છે. તેમનો ગુણાંક 12 ની બરાબર છે. આ સંખ્યા 48 અને 36 સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક છે. ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક પણ જોવા મળે છે.

શોધવા માટે સૌથી સામાન્ય વિભાજક

2) આમાંની એક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરો;
3) બાકીના પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

જો બધી આપેલ સંખ્યાઓ તેમાંથી એક વડે ભાગી શકાય છે, તો આ સંખ્યા છે સૌથી સામાન્ય વિભાજકઆપેલ નંબરો.
ઉદાહરણ તરીકે, 15, 45, 75 અને 180 નંબરોનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક એ 15 નંબર છે, કારણ કે અન્ય તમામ સંખ્યાઓ તેના દ્વારા વિભાજ્ય છે: 45, 75 અને 180.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM)

વ્યાખ્યા. લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM)કુદરતી સંખ્યાઓ a અને b એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે a અને b બંનેનો ગુણાંક છે. 75 અને 60 નંબરોના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક (LCM) આ સંખ્યાઓના ગુણાંકને એક પંક્તિમાં લખ્યા વિના શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચાલો 75 અને 60 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ: 75 = 3 * 5 * 5, અને 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
ચાલો આમાંની પ્રથમ સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોને લખીએ, અને તેમાં બીજા નંબરના વિસ્તરણથી ગુમ થયેલ પરિબળ 2 અને 2 ઉમેરીએ (એટલે ​​​​કે, આપણે પરિબળોને જોડીએ છીએ).
આપણને પાંચ અવયવ 2 * 2 * 3 * 5 * 5 મળે છે, જેનું ઉત્પાદન 300 છે. આ સંખ્યા 75 અને 60 સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

તેઓ ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક પણ શોધે છે.

પ્રતિ ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ શોધોઘણી કુદરતી સંખ્યાઓ, તમારે જરૂર છે:
1) તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરો;
2) સંખ્યાઓમાંથી એકના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો;
3) બાકીની સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને તેમાં ઉમેરો;
4) પરિણામી પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

નોંધ કરો કે જો આમાંની એક સંખ્યા અન્ય તમામ સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યા આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 12, 15, 20 અને 60 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 60 છે કારણ કે તે તે બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે.

પાયથાગોરસ (છઠ્ઠી સદી બીસી) અને તેના વિદ્યાર્થીઓએ સંખ્યાઓની વિભાજ્યતાના પ્રશ્નનો અભ્યાસ કર્યો. તેઓએ તેના તમામ વિભાજકોના સરવાળા સમાન સંખ્યાને (સંખ્યા વિના) એક સંપૂર્ણ સંખ્યા ગણાવી. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) સંપૂર્ણ છે. પછીની સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે 496, 8128, 33,550,336 પાયથાગોરિયનો ફક્ત પ્રથમ ત્રણ સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ જાણતા હતા. ચોથું - 8128 - 1 લી સદીમાં જાણીતું બન્યું. n ઇ. પાંચમી - 33,550,336 - 15મી સદીમાં મળી આવી હતી. 1983 સુધીમાં, 27 સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પહેલેથી જ જાણીતી હતી. પરંતુ વૈજ્ઞાનિકો હજુ પણ જાણતા નથી કે વિચિત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ છે કે શું સૌથી મોટી સંપૂર્ણ સંખ્યા છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓની રુચિ એ હકીકતને કારણે છે કે કોઈપણ સંખ્યા કાં તો અવિભાજ્ય છે અથવા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ઇંટો જેવી છે જેમાંથી બાકીની કુદરતી સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવી છે.
તમે કદાચ નોંધ્યું છે કે કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અસમાન રીતે થાય છે - શ્રેણીના કેટલાક ભાગોમાં તેમાંથી વધુ છે, અન્યમાં - ઓછા. પરંતુ આપણે સંખ્યા શ્રેણીમાં જેટલા આગળ વધીએ છીએ, તેટલી ઓછી સામાન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું છેલ્લી (સૌથી મોટી) અવિભાજ્ય સંખ્યા છે? પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડ (3જી સદી પૂર્વે), તેમના પુસ્તક "એલિમેન્ટ્સ" માં, જે બે હજાર વર્ષ માટે ગણિતનું મુખ્ય પાઠ્યપુસ્તક હતું, તેણે સાબિત કર્યું કે અનંતપણે અનેક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, એટલે કે દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યાની પાછળ એક તેનાથી પણ મોટો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. સંખ્યા
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, તે જ સમયના અન્ય ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી, એરાટોસ્થેનિસ, આ પદ્ધતિ સાથે આવ્યા. તેણે 1 થી અમુક સંખ્યા સુધીની બધી સંખ્યાઓ લખી, અને પછી એકને વટાવી, જે ન તો અવિભાજ્ય છે કે ન તો સંયુક્ત સંખ્યા, પછી 2 પછી આવતી બધી સંખ્યાઓ (સંખ્યાઓ કે જે 2 ના ગુણાંક છે, એટલે કે 4, 6, 8, વગેરે). 2 પછી પ્રથમ બાકી રહેલી સંખ્યા 3 હતી. પછી, બે પછી, 3 પછી આવતી બધી સંખ્યાઓ (સંખ્યાઓ કે જે 3 ના ગુણાંક હતા, એટલે કે 6, 9, 12, વગેરે) ને વટાવી દેવામાં આવી. અંતે માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ જ અનક્રોસ્ડ રહી.

ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ અને સમસ્યાઓ માટે ઘણાં વધારાના જ્ઞાનની જરૂર છે. એનઓસી એ મુખ્ય પૈકી એક છે, ખાસ કરીને આ વિષયનો ઉચ્ચ શાળામાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને તે વિશેષતાઓ અને ગુણાકાર કોષ્ટકથી પરિચિત વ્યક્તિને જરૂરી સંખ્યાઓ ઓળખવામાં અને શોધવામાં મુશ્કેલી ન પડે તે ખાસ મુશ્કેલ નથી; પરિણામ.

વ્યાખ્યા

સામાન્ય બહુવિધ એ એવી સંખ્યા છે જેને એક જ સમયે બે સંખ્યાઓમાં સંપૂર્ણપણે વિભાજિત કરી શકાય છે (a અને b). મોટેભાગે, આ સંખ્યા મૂળ સંખ્યાઓ a અને b નો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. સંખ્યા વિચલનો વિના, એકસાથે બંને સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.

NOC એ હોદ્દો માટે અપનાવવામાં આવેલું ટૂંકું નામ છે, જે પ્રથમ અક્ષરોમાંથી એકત્રિત કરવામાં આવે છે.

નંબર મેળવવાની રીતો

સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની પદ્ધતિ હંમેશા LCM શોધવા માટે યોગ્ય નથી; પરિબળોમાં વિભાજીત કરવાનો રિવાજ છે;

ઉદાહરણ #1

સૌથી સરળ ઉદાહરણ તરીકે, શાળાઓ સામાન્ય રીતે પ્રાઇમ, સિંગલ- અથવા ડબલ-અંકની સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે નીચેના કાર્યને હલ કરવાની જરૂર છે, સંખ્યાઓ 7 અને 3 નો ઓછામાં ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધો, ઉકેલ એકદમ સરળ છે, ફક્ત તેમને ગુણાકાર કરો. પરિણામે, ત્યાં 21 નંબર છે, ત્યાં કોઈ નાની સંખ્યા નથી.

ઉદાહરણ નંબર 2

કાર્યનું બીજું સંસ્કરણ વધુ મુશ્કેલ છે. 300 અને 1260 નંબર આપવામાં આવ્યા છે, LOC શોધવું ફરજિયાત છે. સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, નીચેની ક્રિયાઓ ધારવામાં આવે છે:

પ્રથમ અને બીજી સંખ્યાઓનું સરળ અવયવોમાં વિઘટન. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. પ્રથમ તબક્કો પૂર્ણ થયો છે.

બીજા તબક્કામાં પહેલાથી મેળવેલ ડેટા સાથે કામ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. પ્રાપ્ત થયેલા દરેક નંબરોએ અંતિમ પરિણામની ગણતરીમાં ભાગ લેવો આવશ્યક છે. દરેક પરિબળ માટે, સૌથી મોટી સંખ્યામાં ઘટનાઓ મૂળ સંખ્યાઓમાંથી લેવામાં આવે છે. LCM એ સામાન્ય સંખ્યા છે, તેથી સંખ્યાઓના પરિબળો તેમાં પુનરાવર્તિત થવું જોઈએ, દરેક એક, એક નકલમાં હાજર હોય તે પણ. બંને પ્રારંભિક સંખ્યાઓ 2, 3 અને 5 ધરાવે છે, વિવિધ શક્તિઓમાં 7 માત્ર એક કિસ્સામાં હાજર છે.

અંતિમ પરિણામની ગણતરી કરવા માટે, તમારે દરેક સંખ્યાને સમીકરણમાં રજૂ કરાયેલી સૌથી મોટી શક્તિઓમાં લેવાની જરૂર છે. જે બાકી છે તે ગુણાકાર કરવાનું અને જવાબ મેળવવાનું છે જો યોગ્ય રીતે ભરવામાં આવે, તો કાર્ય સમજૂતી વિના બે પગલામાં બંધબેસે છે:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

આ આખી સમસ્યા છે, જો તમે ગુણાકાર દ્વારા જરૂરી સંખ્યાની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જવાબ ચોક્કસપણે સાચો નહીં હોય, કારણ કે 300 * 1260 = 378,000 છે.

પરીક્ષા:

6300 / 300 = 21 - સાચું;

6300 / 1260 = 5 - સાચો.

પ્રાપ્ત પરિણામની શુદ્ધતા તપાસ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - બંને મૂળ સંખ્યાઓ દ્વારા જો સંખ્યા પૂર્ણાંક હોય, તો જવાબ સાચો છે.

ગણિતમાં NOC નો અર્થ શું છે?

જેમ તમે જાણો છો, ગણિતમાં એક પણ નકામું કાર્ય નથી, આ કોઈ અપવાદ નથી. આ સંખ્યાનો સૌથી સામાન્ય હેતુ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવાનો છે. સામાન્ય રીતે માધ્યમિક શાળાના ધોરણ 5-6માં શું અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જો આવી સ્થિતિઓ સમસ્યામાં હાજર હોય તો તે તમામ ગુણાંક માટે એક સામાન્ય વિભાજક પણ છે. આવી અભિવ્યક્તિ માત્ર બે સંખ્યાઓનો જ નહીં, પણ ઘણી મોટી સંખ્યાના ગુણાંક શોધી શકે છે - ત્રણ, પાંચ અને તેથી વધુ. વધુ સંખ્યાઓ, કાર્યમાં વધુ ક્રિયાઓ, પરંતુ જટિલતા વધતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, 250, 600 અને 1500 નંબરો જોતાં, તમારે તેમના સામાન્ય LCM શોધવાની જરૂર છે:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - આ ઉદાહરણ ઘટાડ્યા વિના, પરિબળીકરણનું વિગતવાર વર્ણન કરે છે.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

અભિવ્યક્તિ કંપોઝ કરવા માટે, તમામ પરિબળોનો ઉલ્લેખ કરવો જરૂરી છે, આ કિસ્સામાં 2, 5, 3 આપવામાં આવે છે - આ બધી સંખ્યાઓ માટે મહત્તમ ડિગ્રી નક્કી કરવી જરૂરી છે.

ધ્યાન આપો: તમામ પરિબળોને સંપૂર્ણ સરળીકરણના બિંદુ પર લાવવામાં આવશ્યક છે, જો શક્ય હોય તો, એક અંકોના સ્તરે વિઘટિત.

પરીક્ષા:

1) 3000/250 = 12 - સાચો;

2) 3000/600 = 5 - સાચું;

3) 3000 / 1500 = 2 - સાચો.

આ પદ્ધતિને કોઈપણ યુક્તિઓ અથવા પ્રતિભા સ્તરની ક્ષમતાઓની જરૂર નથી, બધું સરળ અને સ્પષ્ટ છે.

બીજી રીતે

ગણિતમાં, ઘણી વસ્તુઓ જોડાયેલ છે, ઘણી વસ્તુઓને બે અથવા વધુ રીતે ઉકેલી શકાય છે, તે જ લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ, LCM શોધવા માટે જાય છે. નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ સરળ બે-અંકની અને એક-અંકની સંખ્યાના કિસ્સામાં થઈ શકે છે. એક કોષ્ટક સંકલિત કરવામાં આવે છે જેમાં ગુણાકારને ઊભી રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે, ગુણકને આડી રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે, અને ઉત્પાદનને કૉલમના છેદાયેલા કોષોમાં સૂચવવામાં આવે છે. તમે લીટીનો ઉપયોગ કરીને કોષ્ટક પ્રદર્શિત કરી શકો છો, સંખ્યા લઈ શકો છો અને આ સંખ્યાને પૂર્ણાંકો દ્વારા ગુણાકાર કરવાના પરિણામો લખી શકો છો, 1 થી અનંત સુધી, કેટલીકવાર 3-5 પોઈન્ટ પૂરતા હોય છે, બીજી અને અનુગામી સંખ્યાઓ સમાન ગણતરી પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે. જ્યાં સુધી સામાન્ય ગુણાંક ન મળે ત્યાં સુધી બધું થાય છે.

30, 35, 42 નંબરો જોતાં, તમારે તમામ નંબરોને જોડતો LCM શોધવાની જરૂર છે:

1) 30 ના ગુણાકાર: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, વગેરે.

2) 35 ના ગુણાકાર: 70, 105, 140, 175, 210, 245, વગેરે.

3) 42 ના ગુણાકાર: 84, 126, 168, 210, 252, વગેરે.

તે નોંધનીય છે કે તમામ નંબરો તદ્દન અલગ છે, તેમાંથી એકમાત્ર સામાન્ય સંખ્યા 210 છે, તેથી તે NOC હશે. આ ગણતરીમાં સામેલ પ્રક્રિયાઓમાં સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક પણ છે, જેની ગણતરી સમાન સિદ્ધાંતો અનુસાર કરવામાં આવે છે અને ઘણીવાર પડોશી સમસ્યાઓનો સામનો કરવો પડે છે. તફાવત નાનો છે, પરંતુ ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે, LCM માં આપેલ તમામ પ્રારંભિક મૂલ્યો દ્વારા વિભાજિત થયેલ સંખ્યાની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે, અને GCDમાં સૌથી મોટા મૂલ્યની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે જેના દ્વારા મૂળ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે છે.