ზოგიერთი ადამიანი სიტყვა „პროგრესიას“ სიფრთხილით ეპყრობა, როგორც ძალიან რთულ ტერმინს უმაღლესი მათემატიკის ფილიალებიდან. იმავდროულად, უმარტივესი არითმეტიკული პროგრესია არის ტაქსის მრიცხველის მუშაობა (სადაც ისინი ჯერ კიდევ არსებობს). და არითმეტიკული თანმიმდევრობის არსის გაგება (და მათემატიკაში არაფერია უფრო მნიშვნელოვანი, ვიდრე „არსის გაგება“) არც ისე რთულია, რამდენიმე ელემენტარული ცნების გაანალიზებით.

მათემატიკური რიცხვების თანმიმდევრობა

ციფრულ თანმიმდევრობას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვების სერიას, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი ნომერი.

a 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი;

და 2 არის რიგითობის მეორე წევრი;

და 7 არის რიგითობის მეშვიდე წევრი;

და n არის მიმდევრობის n-ე წევრი;

თუმცა, რიცხვებისა და რიცხვების რაიმე თვითნებური ნაკრები არ გვაინტერესებს. ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რიცხვით მიმდევრობაზე, რომელშიც n-ე წევრის მნიშვნელობა დაკავშირებულია მის რიგით რიცხვთან ურთიერთობით, რომელიც შეიძლება მკაფიოდ ჩამოყალიბდეს მათემატიკურად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: n-ე რიცხვის რიცხვითი მნიშვნელობა არის n-ის გარკვეული ფუნქცია.

a არის რიცხვითი მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობა;

n - მისი სერიული ნომერი;

f(n) არის ფუნქცია, სადაც n რიცხვითი მიმდევრობის რიგითი რიცხვი არის არგუმენტი.

განმარტება

არითმეტიკულ პროგრესიას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვითი თანმიმდევრობას, რომელშიც ყოველი მომდევნო წევრი უფრო მეტია (ნაკლები) ვიდრე წინა ერთი და იგივე რიცხვით. არითმეტიკული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულა ასეთია:

a n - მიმდინარე წევრის მნიშვნელობა არითმეტიკული პროგრესია;

a n+1 - შემდეგი რიცხვის ფორმულა;

d - განსხვავება (გარკვეული რიცხვი).

ადვილია იმის დადგენა, რომ თუ სხვაობა დადებითია (d>0), მაშინ განხილული სერიების ყოველი მომდევნო წევრი წინაზე მეტი იქნება და ასეთი არითმეტიკული პროგრესია გაიზრდება.

ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე ადვილია იმის გარკვევა, თუ რატომ რიცხვების თანმიმდევრობასახელწოდებით "მზარდი".

იმ შემთხვევებში, როდესაც განსხვავება უარყოფითია (დ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

მითითებული წევრის ღირებულება

ზოგჯერ საჭიროა არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის განსაზღვრა. ეს შეიძლება გაკეთდეს არითმეტიკული პროგრესიის ყველა წევრის მნიშვნელობების თანმიმდევრული გაანგარიშებით, დაწყებული პირველიდან სასურველამდე. თუმცა, ეს გზა ყოველთვის არ არის მისაღები, თუ, მაგალითად, აუცილებელია ხუთათასიანი ან რვამილიონე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა. ტრადიციულ გამოთვლებს დიდი დრო დასჭირდება. თუმცა, კონკრეტული არითმეტიკული პროგრესიის შესწავლა შესაძლებელია გარკვეული ფორმულების გამოყენებით. ასევე არსებობს n-ე წევრის ფორმულა: არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც პროგრესიის პირველი წევრის ჯამი პროგრესიის სხვაობით, გამრავლებული სასურველი წევრის რაოდენობაზე, შემცირებული ერთი.

ფორმულა უნივერსალურია პროგრესირების გაზრდისა და შემცირებისთვის.

მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის გამოთვლის მაგალითი

მოდით გადავჭრათ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგი ამოცანა.

მდგომარეობა: არსებობს არითმეტიკული პროგრესია პარამეტრებით:

მიმდევრობის პირველი წევრია 3;

რიცხვების სერიებში განსხვავება არის 1.2.

ამოცანა: თქვენ უნდა იპოვოთ 214 ტერმინის მნიშვნელობა

ამოხსნა: მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად ვიყენებთ ფორმულას:

a(n) = a1 + d(n-1)

პრობლემის განცხადების მონაცემების გამონათქვამში ჩანაცვლებით, ჩვენ გვაქვს:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

პასუხი: მიმდევრობის 214-ე წევრი უდრის 258,6-ს.

გაანგარიშების ამ მეთოდის უპირატესობები აშკარაა - მთელი გამოსავალი იღებს არაუმეტეს 2 ხაზს.

მოცემული რაოდენობის ტერმინების ჯამი

ძალიან ხშირად, მოცემულ არითმეტიკულ სერიაში აუცილებელია მისი ზოგიერთი სეგმენტის მნიშვნელობების ჯამის დადგენა. ამისათვის ასევე არ არის საჭირო თითოეული ტერმინის მნიშვნელობების გამოთვლა და შემდეგ მათი შეკრება. ეს მეთოდი გამოიყენება, თუ ტერმინების რაოდენობა, რომელთა ჯამი უნდა მოიძებნოს, მცირეა. სხვა შემთხვევებში უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენება.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი 1-დან n-მდე უდრის პირველი და მე-n წევრის ჯამს, გამრავლებული n-ის რიცხვზე და გაყოფილი ორზე. თუ ფორმულაში n-ე ტერმინის მნიშვნელობა შეიცვლება სტატიის წინა პუნქტის გამოსახულებით, მივიღებთ:

გაანგარიშების მაგალითი

მაგალითად, მოვაგვაროთ პრობლემა შემდეგი პირობებით:

მიმდევრობის პირველი წევრი არის ნული;

განსხვავება არის 0.5.

პრობლემა მოითხოვს სერიის ტერმინების ჯამის განსაზღვრას 56-დან 101-მდე.

გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესირების რაოდენობის დასადგენად:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ პროგრესირების 101 ტერმინის მნიშვნელობების ჯამს ჩვენი პრობლემის მოცემული პირობების ფორმულით ჩანაცვლებით:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

ცხადია, 56-დან 101-მდე პროგრესირების ტერმინების ჯამის გასარკვევად საჭიროა S 101-ს გამოვაკლოთ S 55.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ამრიგად, ამ მაგალითისთვის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამია:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782.5

არითმეტიკული პროგრესიის პრაქტიკული გამოყენების მაგალითი

სტატიის დასასრულს დავუბრუნდეთ პირველ აბზაცში მოცემულ არითმეტიკული მიმდევრობის მაგალითს - ტაქსიმეტრი (ტაქსი მანქანის მრიცხველი). განვიხილოთ ეს მაგალითი.

ტაქსიში ჩაჯდომა (რომელიც მოიცავს 3 კმ მგზავრობას) 50 მანეთი ღირს. ყოველი მომდევნო კილომეტრის გადახდა ხდება 22 რუბლი / კმ. მგზავრობის მანძილი 30 კმ. გამოთვალეთ მოგზაურობის ღირებულება.

1. გადავაგდოთ პირველი 3 კმ, რომლის ფასიც შედის დაშვების ღირებულებაში.

30 - 3 = 27 კმ.

2. შემდგომი გამოთვლა სხვა არაფერია, თუ არა არითმეტიკული რიცხვების სერიის გარჩევა.

წევრის ნომერი - გავლილი კილომეტრების რაოდენობა (პირველი სამის გამოკლებით).

წევრის ღირებულება არის ჯამი.

ამ პრობლემის პირველი ვადა იქნება 1 = 50 რუბლის ტოლი.

პროგრესირების სხვაობა d = 22 r.

რიცხვი, რომელიც გვაინტერესებს არის არითმეტიკული პროგრესიის (27+1)-ე წევრის მნიშვნელობა - მრიცხველის მაჩვენებელი 27-ე კილომეტრის ბოლოს არის 27,999... = 28 კმ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

კალენდარული მონაცემების გამოთვლები თვითნებურად ხანგრძლივი პერიოდისთვის ეფუძნება ფორმულებს, რომლებიც აღწერს გარკვეულ რიცხვობრივ თანმიმდევრობას. ასტრონომიაში ორბიტის სიგრძე გეომეტრიულად არის დამოკიდებული ციური სხეულის ვარსკვლავამდე მანძილს. გარდა ამისა, სხვადასხვა რიცხვების სერიები წარმატებით გამოიყენება სტატისტიკაში და მათემატიკის სხვა გამოყენებით სფეროებში.

რიცხვების მიმდევრობის კიდევ ერთი ტიპია გეომეტრიული

გეომეტრიულ პროგრესიას ახასიათებს ცვლილების უფრო დიდი ტემპები არითმეტიკულ პროგრესირებასთან შედარებით. შემთხვევითი არ არის, რომ პოლიტიკაში, სოციოლოგიაში და მედიცინაში, კონკრეტული ფენომენის გავრცელების მაღალი სიჩქარის საჩვენებლად, მაგალითად, დაავადების ეპიდემიის დროს, ამბობენ, რომ პროცესი გეომეტრიული პროგრესიით ვითარდება.

გეომეტრიული რიცხვების სერიის N-ე წევრი განსხვავდება წინადან იმით, რომ ის მრავლდება რაიმე მუდმივ რიცხვზე - მნიშვნელი, მაგალითად, პირველი წევრი არის 1, მნიშვნელი შესაბამისად უდრის 2-ს, შემდეგ:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - გეომეტრიული პროგრესიის მიმდინარე ტერმინის მნიშვნელობა;

b n+1 - გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის ფორმულა;

q არის გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი (მუდმივი რიცხვი).

თუ არითმეტიკული პროგრესიის გრაფიკი სწორი ხაზია, მაშინ გეომეტრიული პროგრესია ოდნავ განსხვავებულ სურათს ქმნის:

როგორც არითმეტიკის შემთხვევაში, გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის ფორმულა. გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი n-ე წევრი უდრის პირველი წევრის ნამრავლს და პროგრესიის მნიშვნელს n-ის ხარისხზე შემცირებული ერთით:

მაგალითი. გვაქვს გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის 3-ს, ხოლო პროგრესიის მნიშვნელი უდრის 1,5-ს. ვიპოვოთ პროგრესიის მე-5 წევრი

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ტერმინების მოცემული რაოდენობის ჯამი ასევე გამოითვლება სპეციალური ფორმულით. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი უდრის სხვაობას პროგრესიის n-ე წევრისა და მისი მნიშვნელის ნამრავლსა და პროგრესიის პირველ წევრს შორის, გაყოფილი მნიშვნელზე შემცირებული ერთით:

თუ b n ჩანაცვლებულია ზემოთ განხილული ფორმულის გამოყენებით, განხილული რიცხვების სერიის პირველი n პუნქტების ჯამის მნიშვნელობა მიიღებს ფორმას:

მაგალითი. გეომეტრიული პროგრესია იწყება პირველი წევრით 1-ის ტოლი. მნიშვნელი დაყენებულია 3. ვიპოვოთ პირველი რვა წევრის ჯამი.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

დიახ, დიახ: არითმეტიკული პროგრესია თქვენთვის სათამაშო არ არის :)

აბა, მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა ქუდი-მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, გრძელი შესავლებით არ დაგტანჯავთ და პირდაპირ საქმეზე გადავალ.

პირველი, რამდენიმე მაგალითი. მოდით შევხედოთ რიცხვების რამდენიმე კომპლექტს:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

რა საერთო აქვს ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით არაფერი. მაგრამ რეალურად არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი შემდეგი ელემენტი წინადან ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდება.

თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები უბრალოდ თანმიმდევრული რიცხვებია, ყოველი შემდეგი წინაზე ერთით მეტია. მეორე შემთხვევაში მეზობელ რიცხვებს შორის სხვაობა უკვე ხუთია, მაგრამ ეს სხვაობა მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში, ფესვები საერთოდ არსებობს. თუმცა, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ და $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ე.ი. და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $\sqrt(2)$-ით (და ნუ გეშინიათ, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).

ასე რომ: ყველა ასეთ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი შემდეგი განსხვავდება წინადან ზუსტად იგივე რაოდენობით, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $d$-ით.

აღნიშვნა: $\left(((a)_(n)) \right)$ არის თავად პროგრესია, $d$ არის მისი განსხვავება.

და მხოლოდ რამდენიმე მნიშვნელოვანი შენიშვნა. პირველ რიგში, მხოლოდ პროგრესირება განიხილება უბრძანარიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. ნომრების გადაწყობა ან გაცვლა შეუძლებელია.

მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, სიმრავლე (1; 2; 3) აშკარად სასრულ არითმეტიკული პროგრესიაა. მაგრამ თუ რამეს წერთ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე უსასრულო პროგრესია. ოთხის შემდეგ ელიფსისი, როგორც ჩანს, მიანიშნებს იმაზე, რომ წინ კიდევ რამდენიმე რიცხვია. უსაზღვროდ ბევრი, მაგალითად.

ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). აქ მოცემულია პროგრესირების შემცირების მაგალითები:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

კარგი, კარგი: ბოლო მაგალითი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, ვფიქრობ, გესმით. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება:

1. იზრდება, თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი მეტია წინაზე;
2. მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.

გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" მიმდევრობები - ისინი შედგება იგივე განმეორებადი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).

რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი კლებისგან? საბედნიეროდ, აქ ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ $d$ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. პროგრესირების განსხვავებები:

1. თუ $d \gt 0$, მაშინ პროგრესია იზრდება;
2. თუ $d \lt 0$, მაშინ პროგრესი აშკარად მცირდება;
3. და ბოლოს, არის შემთხვევა $d=0$ - ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება იდენტური რიცხვების სტაციონარულ მიმდევრობამდე: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.შ.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $d$ ზემოთ მოცემული სამი კლებადი პროგრესიისთვის. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოვაკლოთ მარცხნივ მდებარე რიცხვი მარჯვენა რიცხვს. ეს ასე გამოიყურება:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

როგორც ვხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება რეალურად უარყოფითი აღმოჩნდა. ახლა კი, როდესაც ჩვენ მეტ-ნაკლებად გავარკვიეთ განმარტებები, დროა გაერკვნენ, თუ როგორ არის აღწერილი პროგრესიები და რა თვისებები აქვთ მათ.

პროგრესირების პირობები და განმეორების ფორმულა

ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტების გაცვლა შეუძლებელია, მათი დანომრვა შესაძლებელია:

\[\ მარცხნივ(((ა)_(ნ)) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ\(((ა)_(1)),\ ((ა)_(2)),((ა)_(3 )),... \მარჯვნივ\)\]

ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს პროგრესიის წევრებს უწოდებენ. ისინი მითითებულია რიცხვით: პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ.

გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესირების მეზობელი ტერმინები დაკავშირებულია ფორმულით:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\მარჯვენა ისარი ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

მოკლედ, პროგრესიის $n$th ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ $n-1$th წევრი და სხვაობა $d$. ამ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი მხოლოდ წინა (და სინამდვილეში, ყველა წინა) ცოდნით. ეს ძალიან მოუხერხებელია, ამიტომ არსებობს უფრო მზაკვრული ფორმულა, რომელიც ამცირებს ნებისმიერ გამოთვლას პირველ ტერმინამდე და განსხვავებაზე:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)d\]

თქვენ ალბათ უკვე წააწყდით ამ ფორმულას. მათ მოსწონთ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნში და გადაწყვეტილების წიგნებში. და მათემატიკის ნებისმიერ საღად მოაზროვნე სახელმძღვანელოში ის ერთ-ერთი პირველია.

თუმცა, გირჩევთ, ცოტა ივარჯიშოთ.

დავალება No1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$ თუ $((a)_(1))=8,d=-5$.

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი წევრი $((a)_(1))=8$ და სხვაობა პროგრესიის $d=-5$. მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფორმულა და ჩავანაცვლოთ $n=1$, $n=2$ და $n=3$:

\[\begin(გასწორება) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \მარჯვნივ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\მარცხნივ(1-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: (8; 3; −2)

Სულ ეს არის! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენი პროგრესი მცირდება.

რა თქმა უნდა, $n=1$-ის ჩანაცვლება ვერ მოხერხდა - პირველი ტერმინი ჩვენთვის უკვე ცნობილია. თუმცა, ერთიანობის ჩანაცვლებით დავრწმუნდით, რომ პირველივე ვადითაც კი ჩვენი ფორმულა მუშაობს. სხვა შემთხვევაში ყველაფერი ბანალურ არითმეტიკამდე მიდიოდა.

დავალება No2. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი, თუ მისი მეშვიდე წევრი უდრის -40-ს, ხოლო მეჩვიდმეტე წევრი უდრის -50-ს.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ პრობლემის მდგომარეობა ნაცნობი ტერმინებით:

\[((a)_(7))=-40;\ quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სისტემის ნიშანი დავდე იმიტომ, რომ ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. ახლა აღვნიშნოთ, რომ თუ პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას (ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან გვაქვს სისტემა), მივიღებთ ამას:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \მარჯვნივ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასე ადვილია პროგრესის სხვაობის პოვნა! რჩება მხოლოდ ნაპოვნი რიცხვის ჩანაცვლება სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ქვემოთ \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ა)_(1))=-40+6=-34. \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

ახლა, პირველი ტერმინისა და განსხვავების ცოდნით, რჩება მეორე და მესამე ტერმინების პოვნა:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: (−34; −35; −36)

დააკვირდით პროგრესიის საინტერესო თვისებას, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ავიღებთ $n$th და $m$th წევრებს და გამოვაკლებთ მათ ერთმანეთს, მივიღებთ პროგრესიის სხვაობას გამრავლებული $n-m$ რიცხვზე:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \მარცხნივ(n-m \მარჯვნივ)\]

მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ პროგრესირების მრავალი პრობლემის გადაჭრა. აი ამის ნათელი მაგალითი:

დავალება No3. არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრი არის 8,4, ხოლო მისი მეათე წევრი არის 14,4. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი.

გამოსავალი. ვინაიდან $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(15))$, აღვნიშნავთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5დ. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ პირობით $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, შესაბამისად $5d=6$, საიდანაც გვაქვს:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: 20.4

Სულ ეს არის! ჩვენ არ დაგვჭირდა განტოლებათა სისტემის შექმნა და პირველი წევრის და სხვაობის გამოთვლა - ყველაფერი მოგვარდა მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით შევხედოთ სხვა ტიპის პრობლემას - პროგრესის უარყოფითი და დადებითი ტერმინების ძიებას. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება და მისი პირველი ტერმინი უარყოფითია, ადრე თუ გვიან მასში დადებითი ტერმინები გამოჩნდება. და პირიქით: კლებადი პროგრესირების პირობები ადრე თუ გვიან გახდება უარყოფითი.

ამავდროულად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ამ მომენტის პოვნა „პირისპირ“ ელემენტების თანმიმდევრული გავლის გზით. ხშირად პრობლემები ისე იწერება, რომ ფორმულების ცოდნის გარეშე გამოთვლებს რამდენიმე ფურცელი დასჭირდება - პასუხის პოვნისას უბრალოდ დავიძინებდით. ამიტომ, შევეცადოთ ეს პრობლემები უფრო სწრაფად მოვაგვაროთ.

დავალება No4. რამდენი უარყოფითი წევრია არითმეტიკული პროგრესიაში −38,5; −35,8; ...?

გამოსავალი. ასე რომ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, საიდანაც მაშინვე ვპოულობთ განსხვავებას:

გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესირება იზრდება. პირველი წევრი უარყოფითია, ასე რომ, რაღაც მომენტში ჩვენ წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი საკითხია, როდის მოხდება ეს.

შევეცადოთ გავარკვიოთ რამდენ ხანს (ე.ი. რომელ ბუნებრივ რიცხვამდე $n$) რჩება ტერმინების ნეგატიურობა:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \მარჯვნივ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი გარკვეულ ახსნას მოითხოვს. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ $n \lt 15\frac(7)(27)$. მეორე მხრივ, ჩვენ ვკმაყოფილდებით რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობებით (უფრო მეტიც: $n\in \mathbb(N)$), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვი არის ზუსტად $n=15$ და არავითარ შემთხვევაში 16. .

დავალება No5. არითმეტიკული პროგრესიით $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი დადებითი წევრის რიცხვი.

ეს იქნება ზუსტად იგივე პრობლემა, როგორც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $((a)_(1))$. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $((a)_(5))$ და $((a)_(6))$, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

გარდა ამისა, შევეცადოთ გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველში და განსხვავება სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ წინა დავალების ანალოგიით. მოდით გავარკვიოთ ჩვენი მიმდევრობის რომელ მომენტში გამოჩნდება დადებითი რიცხვები:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\მარჯვენა ისარი ((n)_(\წთ))=56. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამ უტოლობის მინიმალური მთელი რიცხვი არის რიცხვი 56.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ბოლო ამოცანაში ყველაფერი მკაცრ უთანასწორობამდე მივიდა, ასე რომ, ვარიანტი $n=55$ არ მოგვწონს.

ახლა, როდესაც ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულზე. ოღონდ ჯერ შევისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესიების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც დაგვიზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს მომავალში.

საშუალო არითმეტიკული და თანაბარი ჩაღრმავები

განვიხილოთ $\left((a)_(n)) \right)$ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:

რიცხვთა წრფეზე არითმეტიკული პროგრესიის პირობები

მე კონკრეტულად აღვნიშნე თვითნებური ტერმინები $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, და არა ზოგიერთი $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ და ა.შ. იმის გამო, რომ წესი, რომლის შესახებაც ახლა მოგიყვებით, იგივე მუშაობს ნებისმიერი "სეგმენტისთვის".

და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ განმეორებითი ფორმულა და ჩავწეროთ ყველა მონიშნული ტერმინისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად გადაიწეროს:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

აბა, მერე რა? და ის ფაქტი, რომ ტერმინები $((a)_(n-1))$ და $((a)_(n+1))$ ერთსა და იმავე მანძილზეა $((a)_(n)) $-დან. . და ეს მანძილი $d$-ის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას ტერმინებზე $((a)_(n-2))$ და $((a)_(n+2))$ - ისინი ასევე ამოღებულია $((a)_(n)-დან. )$ იმავე მანძილზე უდრის $2d$-ს. ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ უსასრულოდ, მაგრამ მნიშვნელობა კარგად არის ილუსტრირებული სურათზე

პროგრესირების პირობები დევს ცენტრიდან იმავე მანძილზე

რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ $((a)_(n))$ შეიძლება მოიძებნოს, თუ ცნობილია მეზობელი ნომრები:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ჩვენ მივიღეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი უდრის მისი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკულს! უფრო მეტიც: ჩვენ შეგვიძლია დავიხიოთ $((a)_(n))$-დან მარცხნივ და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯით, არამედ $k$ ნაბიჯებით - და ფორმულა მაინც სწორი იქნება:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

იმათ. ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ $((a)_(150))$ თუ ვიცით $((a)_(100))$ და $((a)_(200))$, რადგან $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. ერთი შეხედვით შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ ეს ფაქტი არაფერს გვაძლევს სასარგებლოს. თუმცა, პრაქტიკაში, ბევრი პრობლემა სპეციალურად არის მორგებული საშუალო არითმეტიკის გამოსაყენებლად. Შეხედე:

დავალება No6. იპოვეთ $x$-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც რიცხვები $-6((x)^(2))$, $x+1$ და $14+4((x)^(2))$ არის თანმიმდევრული ტერმინები. არითმეტიკული პროგრესია (მითითებული თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. ვინაიდან ეს რიცხვები პროგრესიის წევრები არიან, მათთვის საშუალო არითმეტიკული პირობა დაკმაყოფილებულია: ცენტრალური ელემენტი $x+1$ შეიძლება გამოისახოს მეზობელი ელემენტების მიხედვით:

\[\begin(გასწორება) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

შედეგი არის კლასიკური კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $x=2$ და $x=-3$ არის პასუხები.

პასუხი: −3; 2.

დავალება No7. იპოვეთ $$-ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც რიცხვები $-1;4-3;(()^(2))+1$ ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას (ამ თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. მოდით კვლავ გამოვხატოთ შუა რიცხვი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკული საშუალებით:

\[\begin(გასწორება) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \მარცხნივ| \cdot 2 \მარჯვნივ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ კვადრატული განტოლება. და ისევ არის ორი ფესვი: $x=6$ და $x=1$.

პასუხი: 1; 6.

თუ პრობლემის გადაჭრის პროცესში გამოგივათ რაღაც სასტიკი რიცხვები, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს შესანიშნავი ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: სწორად გადავწყვიტეთ პრობლემა?

ვთქვათ, მე-6 ამოცანაში მივიღეთ პასუხები −3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით შევაერთოთ ისინი თავდაპირველ მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ გვაქვს სამი რიცხვი ($-6(()^(2))$, $+1$ და $14+4(()^(2))$), რომლებიც არითმეტიკულ პროგრესიას უნდა ქმნიან. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ რიცხვები −54; −2; 50, რომელიც განსხვავდება 52-ით, უდავოდ არის არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $x=2$-ზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x=2\მარჯვენა ისარი \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ პროგრესია, მაგრამ 27-ის სხვაობით. ამრიგად, პრობლემა სწორად მოგვარდა. მსურველებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე პრობლემა, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი სწორია.

ზოგადად, ბოლო პრობლემების გადაჭრისას, ჩვენ წავაწყდით კიდევ ერთ საინტერესო ფაქტს, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:

თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე არის პირველი და ბოლო საშუალო არითმეტიკული, მაშინ ეს რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს ფაქტიურად „ავაშენოთ“ საჭირო პროგრესი პრობლემის პირობებზე დაყრდნობით. მაგრამ სანამ ასეთ „მშენებლობაში“ ჩაერთვებით, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს უკვე განხილულიდან.

ელემენტების დაჯგუფება და შეჯამება

ისევ რიცხვთა ღერძს დავუბრუნდეთ. აქვე აღვნიშნოთ პროგრესის რამდენიმე წევრი, რომელთა შორის, შესაძლოა. ღირს ბევრი სხვა წევრი:

რიცხვთა ხაზზე მონიშნულია 6 ელემენტი

შევეცადოთ გამოვხატოთ „მარცხენა კუდი“ $((a)_(n))$-ით და $d$-ით, ხოლო „მარჯვენა კუდი“ $((a)_(k))$-ით და $d$-ით. ძალიან მარტივია:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ა)_(კ-1))=((ა)_(კ))-დ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი თანხები ტოლია:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ს. \ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, თუ დასაწყისად განვიხილავთ პროგრესიის ორ ელემენტს, რომლებიც მთლიანობაში უდრის რაღაც რიცხვს $S$ და შემდეგ დავიწყებთ ამ ელემენტებიდან გადადგმულ ნაბიჯს საპირისპირო მიმართულებით (ერთმანეთისკენ ან პირიქით გადაადგილებისთვის), მაშინ ელემენტების ჯამები, რომლებზეც ჩვენ წავაწყდებით, ასევე ტოლი იქნება$S$. ეს შეიძლება იყოს ყველაზე ნათლად წარმოდგენილი გრაფიკულად:

თანაბარი ჩაღრმავები იძლევა თანაბარ რაოდენობას

ამ ფაქტის გაგება საშუალებას მოგვცემს გადავჭრათ ფუნდამენტურად უფრო მაღალი დონის სირთულის პრობლემები, ვიდრე ზემოთ განვიხილეთ. მაგალითად, ესენი:

დავალება No8. დაადგინეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი წევრი არის 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე წევრის ნამრავლი ყველაზე მცირეა.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ყველაფერი, რაც ვიცით:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\წთ. \ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით პროგრესირების სხვაობა $d$. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი აგებული იქნება სხვაობის გარშემო, ვინაიდან პროდუქტი $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\begin(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\მარცხნივ(66+d \მარჯვნივ)\cdot \left(66+11d \მარჯვნივ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \მარჯვნივ)\cdot \left(d+6 \მარჯვნივ). \ბოლო (გასწორება)\]

ავზში მყოფთათვის: მეორე ფრჩხილიდან ავიღე ჯამური მამრავლი 11. ამრიგად, სასურველი პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია $d$ ცვლადის მიმართ. ამიტომ, განიხილეთ ფუნქცია $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან თუ ფრჩხილებს გავაფართოვებთ, მივიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & f\ მარცხნივ(d \მარჯვნივ)=11\მარცხნივ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \მარჯვნივ)= \\ & =11(( დ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, უმაღლესი წევრის კოეფიციენტი არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვი, ასე რომ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან აღმავალი ტოტებით:

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი - პარაბოლა

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს პარაბოლა იღებს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას თავის წვეროზე $((d)_(0))$ აბსცისით. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსციზა სტანდარტული სქემის გამოყენებით (არსებობს ფორმულა $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), მაგრამ უფრო გონივრული იქნებოდა აღნიშვნა. რომ სასურველი წვერო დევს პარაბოლას ღერძის სიმეტრიაზე, ამიტომ წერტილი $((d)_(0))$ თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $f\left(d \right)=0$ განტოლების ფესვებისგან:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((დ)_(1))=-66;\ოთხი ((დ)_(2))=-6. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამიტომაც არ ვჩქარობდი ფრჩხილების გახსნას: თავდაპირველი სახით ფესვები ძალიან, ძალიან ადვილი საპოვნელი იყო. მაშასადამე, აბსციზა უდრის −66 და −6 რიცხვების საშუალო არითმეტიკულს:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

რას გვაძლევს აღმოჩენილი რიცხვი? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირეს მნიშვნელობას (სხვათა შორის, ჩვენ არასდროს გამოვთვალეთ $((y)_(\min ))$ - ეს ჩვენგან არ არის საჭირო). ამავდროულად, ეს რიცხვი არის ორიგინალური პროგრესიის განსხვავება, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)

პასუხი: -36

დავალება No9. $-\frac(1)(2)$ და $-\frac(1)(6)$ რიცხვებს შორის ჩადეთ სამი რიცხვი ისე, რომ ამ ციფრებთან ერთად მათ შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

გამოსავალი. არსებითად, ჩვენ უნდა შევქმნათ ხუთი რიცხვის მიმდევრობა, პირველი და ბოლო რიცხვი უკვე ცნობილია. გამოტოვებული რიცხვები ავღნიშნოთ $x$, $y$ და $z$ ცვლადებით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \მარჯვნივ\ )\]

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $y$ არის ჩვენი მიმდევრობის „შუა“ - ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $x$ და $z$ რიცხვებისგან და $-\frac(1)(2)$ და $-\frac რიცხვებისგან. (1)(6)$. და თუ ამჟამად ვერ მივიღებთ $y$-ს $x$ და $z$ რიცხვებიდან, მაშინ სიტუაცია განსხვავებულია პროგრესიის ბოლოებთან დაკავშირებით. გავიხსენოთ საშუალო არითმეტიკული:

ახლა, ვიცით $y$, ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ნომრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $x$ დევს რიცხვებს შორის: $-\frac(1)(2)$ და $y=-\frac(1)(3)$, რომელიც ახლახან ვიპოვეთ. Ამიტომაც

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვპოულობთ დარჩენილ რიცხვს:

მზადაა! სამივე ნომერი ვიპოვეთ. დავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რა თანმიმდევრობით უნდა იყოს ჩასმული თავდაპირველ რიცხვებს შორის.

პასუხი: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

დავალება No10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩასვით რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც ამ რიცხვებთან ერთად ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ იცით, რომ ჩასმული რიცხვებიდან პირველი, მეორე და ბოლო ჯამი არის 56.

გამოსავალი. კიდევ უფრო რთული პრობლემა, რომელიც, თუმცა, წყდება იგივე სქემით, როგორც წინა - საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვის ჩასმაა საჭირო. მაშასადამე, დანამდვილებით დავუშვათ, რომ ყველაფრის ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $n$ რიცხვები და მათგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო არის 42. ამ შემთხვევაში, საჭირო არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ა)_(n-1));42 \მარჯვნივ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $((a)_(2))$ და $((a)_(n-1))$ მიღებულია 2 და 42 რიცხვებიდან კიდეებზე ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ. ე.ი. მიმდევრობის ცენტრამდე. და ეს იმას ნიშნავს

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

მაგრამ შემდეგ ზემოთ დაწერილი გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \მარჯვნივ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ ვიცით $((a)_(3))$ და $((a)_(1))$, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((ა)_(3))-((ა)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\მარჯვენა ისარი d=5. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რჩება მხოლოდ დარჩენილი პირობების პოვნა:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, უკვე მე-9 საფეხურზე მივალთ მიმდევრობის მარცხენა ბოლოში - რიცხვი 42. ჯამში მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა იყო საჭირო: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

სიტყვის პრობლემები პროგრესირებასთან

დასასრულს, მსურს განვიხილო რამდენიმე შედარებით მარტივი პრობლემა. ასე მარტივია: სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებიც მათემატიკას სწავლობენ სკოლაში და არ წაკითხული აქვთ ზემოთ დაწერილი, ეს პრობლემები შეიძლება რთული ჩანდეს. მიუხედავად ამისა, ეს არის პრობლემების ტიპები, რომლებიც ჩნდება OGE-სა და მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

დავალება No11. გუნდმა იანვარში დაამზადა 62 ნაწილი, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში 14-ით მეტი ნაწილი გამოუშვა, ვიდრე წინა თვეში. რამდენი ნაწილი დაამზადა გუნდმა ნოემბერში?

გამოსავალი. ცხადია, თვეების მიხედვით ჩამოთვლილი ნაწილების რაოდენობა წარმოადგენს მზარდ არითმეტიკულ პროგრესს. უფრო მეტიც:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 14. \\ \end (გასწორება)\]

ნოემბერი არის წლის მე-11 თვე, ამიტომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

შესაბამისად, ნოემბერში 202 ნაწილის წარმოება მოხდება.

დავალება No12. წიგნის აკინძვის სახელოსნომ იანვარში 216 წიგნი შეკრა, ყოველი მომდევნო თვეში კი 4 წიგნით მეტი, ვიდრე წინა თვეში. რამდენი წიგნი შეიკრა სახელოსნომ დეკემბერში?

გამოსავალი. Ერთი და იგივე:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 4. \\ \end (გასწორება)$

დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე-12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ეს არის პასუხი - დეკემბერში 260 წიგნი იკვრება.

აბა, თუ აქამდე წაიკითხეთ, მეჩქარება მოგილოცოთ: თქვენ წარმატებით დაასრულეთ არითმეტიკული პროგრესიების "ახალგაზრდა მებრძოლის კურსი". შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადახვიდეთ შემდეგ გაკვეთილზე, სადაც შევისწავლით პროგრესირების ჯამის ფორმულას, ასევე მისგან მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებს.

არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები უკვე ძველ დროში არსებობდა. გამოჩნდნენ და გამოსავალი მოითხოვეს, რადგან პრაქტიკული საჭიროება ჰქონდათ.

ამგვარად, ძველი ეგვიპტის ერთ-ერთი მათემატიკური შინაარსის პაპირუსი, რინდის პაპირუსი (ძვ. წ. XIX ს.), შეიცავს შემდეგ დავალებას: ათი საზომი პურის გაყოფა ათ ადამიანზე, იმ პირობით, რომ თითოეულ მათგანს შორის სხვაობა იყოს მერვე. ზომა.”

ძველი ბერძნების მათემატიკურ ნაშრომებში არის ელეგანტური თეორემები, რომლებიც დაკავშირებულია არითმეტიკულ პროგრესირებასთან. ამგვარად, ალექსანდრიის ჰიპსიკულებმა (II საუკუნე, რომელმაც შეადგინა ბევრი საინტერესო პრობლემა და დაამატა მეთოთხმეტე წიგნი ევკლიდეს ელემენტებს), ჩამოაყალიბა იდეა: „არითმეტიკული პროგრესიით, რომელსაც აქვს ლუწი რიცხვების რაოდენობა, მე-2 ნახევრის წევრთა ჯამი. მეტია წევრთა 1/2 რიცხვის კვადრატზე 1-ის წევრთა ჯამს."

თანმიმდევრობა აღინიშნება ან. მიმდევრობის ნომრებს უწოდებენ მის წევრებს და ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით ინდექსებით, რომლებიც მიუთითებს ამ წევრის სერიულ ნომერზე (a1, a2, a3 ... წაიკითხეთ: "a 1st", "a2nd", "a3" და ასე შემდეგ ).

თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს უსასრულო ან სასრული.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია? ამაში ვგულისხმობთ მიღებულს წინა ტერმინის (n) იმავე რიცხვით d-ის მიმატებით, რაც არის პროგრესიის სხვაობა.

თუ დ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, მაშინ ეს პროგრესი ითვლება მზარდად.

არითმეტიკულ პროგრესიას სასრულს უწოდებენ, თუ მხედველობაში მიიღება მხოლოდ მისი პირველი რამდენიმე წევრი. წევრების ძალიან დიდი რაოდენობით, ეს უკვე გაუთავებელი პროგრესია.

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესია განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით:

an =kn+b, ხოლო b და k არის რამდენიმე რიცხვი.

საპირისპირო განცხადება აბსოლუტურად მართალია: თუ მიმდევრობა მოცემულია მსგავსი ფორმულით, მაშინ ეს არის ზუსტად არითმეტიკული პროგრესია, რომელსაც აქვს თვისებები:

1. პროგრესიის თითოეული წევრი არის წინა და შემდგომი ტერმინის საშუალო არითმეტიკული.
2. საპირისპირო: თუ მე-2-დან დაწყებული, ყოველი წევრი არის წინა და მომდევნო წევრის საშუალო არითმეტიკული, ე.ი. თუ პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ეს თანასწორობა ასევე პროგრესირების ნიშანია, რის გამოც მას ჩვეულებრივ პროგრესირების დამახასიათებელ თვისებას უწოდებენ.
   ანალოგიურად, ჭეშმარიტია თეორემა, რომელიც ასახავს ამ თვისებას: მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს თანასწორობა ჭეშმარიტია მიმდევრობის რომელიმე ტერმინისთვის, დაწყებული მე-2-ით.

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი ოთხი რიცხვისთვის დამახასიათებელი თვისება შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით an + am = ak + al, თუ n + m = k + l (m, n, k არის პროგრესიის რიცხვები).

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი აუცილებელი (Nth) ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

მაგალითად: პირველი წევრი (a1) არითმეტიკულ პროგრესიაში მოცემულია და უდრის სამს, ხოლო სხვაობა (d) უდრის ოთხს. თქვენ უნდა იპოვოთ ამ პროგრესიის ორმოცდამეხუთე ტერმინი. a45 = 1+4 (45-1) = 177

ფორმულა an = ak + d(n - k) საშუალებას გაძლევთ დაადგინოთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი მისი ნებისმიერი kth წევრის მეშვეობით, იმ პირობით, რომ ეს ცნობილია.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი (იგულისხმება სასრული პროგრესიის პირველი n წევრი) გამოითვლება შემდეგნაირად:

Sn = (a1+an) n/2.

თუ პირველი ტერმინი ასევე ცნობილია, მაშინ სხვა ფორმულა მოსახერხებელია გამოსათვლელად:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი, რომელიც შეიცავს n წევრს, გამოითვლება შემდეგნაირად:

გამოთვლების ფორმულების არჩევანი დამოკიდებულია პრობლემების პირობებზე და საწყის მონაცემებზე.

ნებისმიერი რიცხვის ბუნებრივი რიგი, როგორიცაა 1,2,3,...,n,..., არის არითმეტიკული პროგრესიის უმარტივესი მაგალითი.

არითმეტიკული პროგრესიის გარდა, არსებობს გეომეტრიული პროგრესიაც, რომელსაც აქვს თავისი თვისებები და მახასიათებლები.

სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რადგან არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიცხვების ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის სერიული ნომერი მითითებულია ინდექსით:

მიმდევრობის პირველი ელემენტი;

მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;

- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "იდგა რიგში" ნომერზე n.

არსებობს კავშირი მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის მიმდევრობის რიცხვს შორის. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ვთქვათ თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:

თანმიმდევრობა შეიძლება დაინიშნოს სამი გზით:

1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.

მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა აეღო პირადი დროის მენეჯმენტი და დასაწყისისთვის დათვალა რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე კვირის განმავლობაში. ცხრილში დროის ჩაწერით, ის მიიღებს თანმიმდევრობას, რომელიც შედგება შვიდი ელემენტისგან:

ცხრილის პირველი ხაზი მიუთითებს კვირის დღის რაოდენობაზე, მეორეში - დრო წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს მხოლოდ 15.

2 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით.

ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.

მაგალითად, თუ, მაშინ

მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად მოცემული რიცხვით, ელემენტის რიცხვს ვცვლით n-ე წევრის ფორმულაში.

ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:

თუ, მაგალითად, , ეს

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, არგუმენტი შეიძლება იყოს მხოლოდ ნატურალური რიცხვი.

3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის წევრის ნომერი n მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობებზე. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა მისი მნიშვნელობის საპოვნელად. ჩვენ უნდა დავაკონკრეტოთ პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი მიმდევრობის.

მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა ,

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები თანმიმდევრობითმესამედან დაწყებული:

ანუ ყოველ ჯერზე, რომ ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. მიმდევრობის დაზუსტების ამ მეთოდს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი- დაბრუნდი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას.

ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულის ტოლი.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.

მაგალითად, 2; 5; 8; თერთმეტი;...

თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.

მაგალითად, 2; -1; -4; -7;...

თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა პირობა ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.

მაგალითად, 2;2;2;2;...

არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:

მოდით შევხედოთ სურათს.

ჩვენ ამას ვხედავთ

, და ამავე დროს

ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:

.

მოდით გავყოთ ტოლობის ორივე მხარე 2-ზე:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:

უფრო მეტიც, მას შემდეგ

, და ამავე დროს

, ეს

, და, შესაბამისად

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, დაწყებული title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ტერმინის ფორმულა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები აკმაყოფილებს შემდეგ ურთიერთობებს:

და ბოლოს

Მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. პირველი წევრისა და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის გაცნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე ტერმინი.

არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამი.

თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბარი მანძილის მქონე ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრთა ჯამი ტოლი იყოს.

მოდით მოვაწყოთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:

დავამატოთ წყვილებში:

თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.

ჩვენ ვიღებთ:

Ისე, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.

1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მომიჯნავე წევრს შორის ერთი და იგივე რიცხვის ტოლია.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...

ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.

ბ) დაადგინეთ შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.

ა)ჩვენ ვხედავთ ამას;

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.

Ზოგადად

ჩვენს შემთხვევაში , Ამიტომაც

არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის პირობები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინასგან განსხვავდება ახალი ტერმინით, რომელსაც ასევე ე.წ ნაბიჯის ან პროგრესის განსხვავება.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის მითითებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრების საშუალო არითმეტიკული

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მიმდებარე კენტი (ლუწი) წევრთა საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ ტერმინისა, რომელიც დგას მათ შორის, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ განცხადების გამოყენებით, ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე, არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ დაწერთ პირობებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა გამოთვლებში ის შეუცვლელია და საკმაოდ ხშირად გვხვდება ცხოვრების მარტივ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთელი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი k-ე ტერმინიდან, მაშინ შემდეგი ჯამის ფორმულა გამოგადგებათ.

4) პრაქტიკული ინტერესია kth რიცხვიდან დაწყებული არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამის პოვნა. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

ამით სრულდება თეორიული მასალა და გადადის საერთო პრობლემების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეორმოცე წევრი 4;7;...

გამოსავალი:

იმ პირობის მიხედვით, რაც გვაქვს

მოდით განვსაზღვროთ პროგრესის ნაბიჯი

ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე ტერმინს

მაგალითი 2. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრებით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათი ჯამი.

გამოსავალი:

ფორმულების გამოყენებით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მოცემული ელემენტები

პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას რომელიმე განტოლებაში, რათა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი

ჩვენ ვიანგარიშებთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამს

რთული გამოთვლების გამოყენების გარეშე, ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო რაოდენობა.

მაგალითი 3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელით და მისი ერთ-ერთი წევრით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გამოსავალი:

მოდით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვნეთ პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესის ოდენობაა 250.

მაგალითი 4.

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გამოსავალი:

დავწეროთ განტოლებები პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვროთ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში ტერმინების რაოდენობა

ვახორციელებთ გამარტივებებს

და ამოხსენით კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 შეესაბამება პრობლემის პირობებს. ამრიგად, პროგრესიის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

მაგალითი 5.

ამოხსენით განტოლება

1+3+5+...+x=307.

ამოხსნა: ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. მოდით დავწეროთ მისი პირველი ტერმინი და ვიპოვოთ განსხვავება პროგრესირებაში