პრიზმა. პარალელეპიპედი

პრიზმაეწოდება პოლიედრონს, რომლის ორი სახე ტოლია n-გონებით (საფუძვლები) , დევს პარალელურ სიბრტყეში, ხოლო დარჩენილი n სახე პარალელოგრამებია (გვერდითი კიდეები) . გვერდითი ნეკნი პრიზმა არის გვერდითი სახის მხარე, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს.

პრიზმას, რომლის გვერდითი კიდეები ფუძეების სიბრტყეზე პერპენდიკულარულია, ეწოდება სწორი პრიზმა (სურ. 1). თუ გვერდითი კიდეები არ არის პერპენდიკულარული ფუძეების სიბრტყეზე, მაშინ პრიზმა ეწოდება ირიბი . სწორი პრიზმა არის სწორი პრიზმა, რომლის ფუძეები არის რეგულარული მრავალკუთხედები.

სიმაღლეპრიზმა ეწოდება მანძილი ფუძეების სიბრტყეებს შორის. დიაგონალი პრიზმა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წვეროს, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს. დიაგონალური განყოფილება პრიზმის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს. პერპენდიკულარული მონაკვეთი პრიზმის მონაკვეთს უწოდებენ პრიზმის გვერდითი კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყით.

გვერდითი ზედაპირის ფართობი პრიზმა არის ყველა მხარის ფართობის ჯამი. სრული ზედაპირის ფართობი პრიზმის ყველა სახის ფართობების ჯამს ეწოდება (ე.ი. გვერდითა და ფუძეების ფართობების ჯამი).

თვითნებური პრიზმისთვის, ფორმულები მართალია:

სადაც ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პ

ქ

S მხარე

S სავსე

S მთავარიარის ბაზების ფართობი;

ვარის პრიზმის მოცულობა.

სწორი პრიზმისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე.

პარალელეპიპედიპრიზმას, რომლის ფუძე პარალელოგრამია, ეწოდება. პარალელეპიპედს, რომლის გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია, ეწოდება პირდაპირი (ნახ. 2). თუ გვერდითი კიდეები არ არის ფუძეების პერპენდიკულარული, მაშინ პარალელეპიპედი ეწოდება ირიბი . მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი, ეწოდება მართკუთხა. მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება კუბი.

პარალელეპიპედის სახეებს, რომლებსაც საერთო წვეროები არ აქვთ, ეწოდება საწინააღმდეგო . ერთი წვეროდან გამომავალი კიდეების სიგრძეს უწოდებენ გაზომვები პარალელეპიპედი. ვინაიდან ყუთი არის პრიზმა, მისი ძირითადი ელემენტები განისაზღვრება ისევე, როგორც ისინი განისაზღვრება პრიზმებისთვის.

თეორემები.

1. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ორად ყოფს მას.

2. მართკუთხა პარალელეპიპედში დიაგონალის სიგრძის კვადრატი მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამის ტოლია:

3. მართკუთხა პარალელეპიპედის ოთხივე დიაგონალი ერთმანეთის ტოლია.

თვითნებური პარალელეპიპედისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პარის პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრი;

ქ- პერპენდიკულარული მონაკვეთის ფართობი;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მთავარიარის ბაზების ფართობი;

ვარის პრიზმის მოცულობა.

მარჯვენა პარალელეპიპედისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი ფორმულები:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლარის გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰარის მარჯვენა პარალელეპიპედის სიმაღლე.

მართკუთხა პარალელეპიპედისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი ფორმულები:

(3)

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ჰ- სიმაღლე;

დ- დიაგონალი;

ა, ბ, გ- პარალელეპიპედის გაზომვები.

კუბის სწორი ფორმულებია:

სადაც აარის ნეკნის სიგრძე;

დარის კუბის დიაგონალი.

მაგალითი 1მართკუთხა კუბოიდის დიაგონალი არის 33 დმ და მისი ზომები დაკავშირებულია 2:6:9. იპოვეთ კუბოიდის ზომები.

გამოსავალი.პარალელეპიპედის ზომების საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (3), ე.ი. ის ფაქტი, რომ კუბოიდის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს. აღნიშნეთ კპროპორციულობის კოეფიციენტი. მაშინ პარალელეპიპედის ზომები იქნება 2-ის ტოლი კ, 6კდა 9 კ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (3) პრობლემის მონაცემებისთვის:

ამ განტოლების ამოხსნა კ, ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე, პარალელეპიპედის ზომებია 6 დმ, 18 დმ და 27 დმ.

პასუხი: 6 დმ, 18 დმ, 27 დმ.

მაგალითი 2იპოვეთ დახრილი სამკუთხა პრიზმის მოცულობა, რომლის ფუძე არის 8 სმ გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედი, თუ გვერდითი კიდე უდრის ფუძის მხარეს და დახრილია ფუძის მიმართ 60º კუთხით.

გამოსავალი . დავხატოთ ნახატი (სურ. 3).

იმისათვის, რომ იპოვოთ დახრილი პრიზმის მოცულობა, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი. ამ პრიზმის ფუძის ფართობი არის ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი, რომლის გვერდია 8 სმ. მოდით გამოვთვალოთ:

პრიზმის სიმაღლე არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. Ზევიდან მაგრამზედა ფუძის 1 ჩვენ ვამცირებთ პერპენდიკულარულს ქვედა ბაზის სიბრტყეზე მაგრამ 1 დ. მისი სიგრძე იქნება პრიზმის სიმაღლე. განვიხილოთ დ მაგრამ 1 ახ.წ: ვინაიდან ეს არის გვერდითი ნეკნის დახრის კუთხე მაგრამ 1 მაგრამსაბაზო სიბრტყემდე მაგრამ 1 მაგრამ= 8 სმ. ამ სამკუთხედიდან ვპოულობთ მაგრამ 1 დ:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მოცულობას ფორმულის გამოყენებით (1):

პასუხი: 192 სმ3.

მაგალითი 3რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი კიდე არის 14 სმ. ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთის ფართობია 168 სმ 2. იპოვნეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 4)

ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი აა 1 DD 1, დიაგონალიდან ახ.წრეგულარული ექვსკუთხედი ABCDEFარის ყველაზე დიდი. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად აუცილებელია ვიცოდეთ ფუძის მხარე და გვერდითი ნეკნის სიგრძე.

დიაგონალური მონაკვეთის (მართკუთხედის) ფართობის გაცნობით, ჩვენ ვპოულობთ ფუძის დიაგონალს.

იმიტომ რომ, მაშინ

Მას შემდეგ AB= 6 სმ.

მაშინ ბაზის პერიმეტრია:

იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი 6 სმ გვერდით არის:

იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4მარჯვენა პარალელეპიპედის ფუძე არის რომბი. დიაგონალური მონაკვეთების ფართობია 300 სმ 2 და 875 სმ 2. იპოვეთ პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 5).

აღნიშნეთ რომბის გვერდი ა, რომბის დიაგონალები დ 1 და დ 2, ყუთის სიმაღლე თ. სწორი პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად საჭიროა ფუძის პერიმეტრის გამრავლება სიმაღლეზე: (ფორმულა (2)). ბაზის პერიმეტრი p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, იმიტომ Ა Ბ Გ Დ- რომბი. H = AA 1 = თ. რომ. საჭიროა მოძებნა ადა თ.

განვიხილოთ დიაგონალური მონაკვეთები. აა 1 SS 1 - მართკუთხედი, რომლის ერთი მხარე არის რომბის დიაგონალი AC = დ 1, მეორე - გვერდითი კიდე აა 1 = თ, მაშინ

ანალოგიურად განყოფილებისთვის BB 1 DD 1 ვიღებთ:

პარალელოგრამის ისეთი თვისების გამოყენებით, რომ დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის მისი ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს, მივიღებთ ტოლობას ვიღებთ შემდეგს.

განმარტება.

ეს არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეები ორი თანაბარი კვადრატია, ხოლო გვერდითი სახეები თანაბარი მართკუთხედებია.

გვერდითი ნეკნიარის ორი მიმდებარე გვერდითი სახის საერთო მხარე

პრიზმის სიმაღლეარის პრიზმის ფუძეების პერპენდიკულარული ხაზის სეგმენტი

პრიზმის დიაგონალი- სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფუძის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს

დიაგონალური თვითმფრინავი- სიბრტყე, რომელიც გადის პრიზმის დიაგონალზე და მის გვერდით კიდეებზე

დიაგონალური განყოფილება- პრიზმისა და დიაგონალური სიბრტყის გადაკვეთის საზღვრები. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი

პერპენდიკულარული მონაკვეთი (ორთოგონალური მონაკვეთი)- ეს არის პრიზმისა და მისი გვერდითი კიდეების პერპენდიკულარულად დახატული სიბრტყის კვეთა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ელემენტები

ნახატზე ნაჩვენებია ორი რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა, რომლებიც აღნიშნულია შესაბამისი ასოებით:

• ABCD და A 1 B 1 C 1 D 1 ფუძეები ტოლია და ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდითი სახეები AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C და CC 1 D 1 D, რომელთაგან თითოეული მართკუთხედია
• გვერდითი ზედაპირი - პრიზმის ყველა გვერდითი სახის ფართობების ჯამი
• მთლიანი ზედაპირი - ყველა ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი (გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობის ჯამი)
• გვერდითი ნეკნები AA 1 , BB 1 , CC 1 და DD 1 .
• დიაგონალი B 1 D
• ბაზის დიაგონალი BD
• დიაგონალური მონაკვეთი BB 1 D 1 D
• პერპენდიკულარული მონაკვეთი A 2 B 2 C 2 D 2 .

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები

• ფუძეები ორი თანაბარი კვადრატია
• ფუძეები ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდები მართკუთხედია.
• გვერდითი სახეები ერთმანეთის ტოლია
• გვერდითი სახეები ბაზების პერპენდიკულარულია
• გვერდითი ნეკნები ერთმანეთის პარალელურია და თანაბარია
• პერპენდიკულური მონაკვეთი პერპენდიკულარული ყველა გვერდითი ნეკნებისა და ბაზების პარალელურად
• პერპენდიკულარული მონაკვეთის კუთხეები - მარჯვენა
• რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი
• პერპენდიკულარული (ორთოგონალური მონაკვეთი) ფუძეების პარალელურად

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფორმულები

ინსტრუქციები პრობლემების გადასაჭრელად

თემის პრობლემების გადაჭრისას " რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა"იგულისხმება, რომ:

სწორი პრიზმა- პრიზმა, რომლის ძირში დევს რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეებზე. ანუ, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შეიცავს მის ძირში კვადრატი. (იხილეთ ზემოთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები) შენიშვნა. ეს არის გაკვეთილის ნაწილი გეომეტრიის დავალებებით (განყოფილება მყარი გეომეტრია - პრიზმა). აქ არის ამოცანები, რომლებიც სირთულეებს იწვევს ამოხსნაში. თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომელიც აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. ამოცანების ამოხსნისას კვადრატული ფესვის ამოღების მოქმედების აღსანიშნავად გამოიყენება სიმბოლო√ .

Დავალება.

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძის ფართობია 144 სმ 2 და სიმაღლე 14 სმ. იპოვეთ პრიზმის დიაგონალი და მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი.
რეგულარული ოთხკუთხედი არის კვადრატი.
შესაბამისად, ბაზის მხარე ტოლი იქნება

√144 = 12 სმ.
საიდანაც რეგულარული მართკუთხა პრიზმის ფუძის დიაგონალი ტოლი იქნება
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

რეგულარული პრიზმის დიაგონალი ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს ფუძის დიაგონალთან და პრიზმის სიმაღლესთან. შესაბამისად, პითაგორას თეორემის მიხედვით, მოცემული რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალი ტოლი იქნება:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 სმ

უპასუხე: 22 სმ

Დავალება

იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი, თუ მისი დიაგონალი არის 5 სმ, ხოლო გვერდითი სახის დიაგონალი 4 სმ.

გამოსავალი.
ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი, მაშინ ფუძის მხარე (აღნიშნული როგორც a) გვხვდება პითაგორას თეორემით:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

გვერდითი სახის სიმაღლე (აღნიშნულია როგორც h) მაშინ იქნება ტოლი:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
სთ 2 + 12,5 = 16
სთ 2 \u003d 3.5
სთ = √3.5

მთლიანი ზედაპირის ფართობი ტოლი იქნება გვერდითი ზედაპირის ჯამის და ბაზის ფართობის ორჯერ

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 სმ 2.

პასუხი: 25 + 10√7 ≈ 51.46 სმ 2.

სივრცით გეომეტრიაში, პრიზმებით ამოცანების გადაჭრისას, ხშირად ჩნდება პრობლემა გვერდების ან სახეების ფართობის გამოთვლასთან დაკავშირებით, რომლებიც ქმნიან ამ სამგანზომილებიან ფიგურებს. ეს სტატია ეძღვნება პრიზმის ფუძის ფართობის და მისი გვერდითი ზედაპირის განსაზღვრის საკითხს.

ფიგურული პრიზმა

სანამ ამა თუ იმ სახის პრიზმის ფუძის ფართობისა და ზედაპირის ფორმულების განხილვაზე გადავიდოდეთ, უნდა გვესმოდეს, რა სახის ფიგურაზეა საუბარი.

პრიზმა გეომეტრიაში არის სივრცითი ფიგურა, რომელიც შედგება ორი ერთმანეთის ტოლი პარალელური მრავალკუთხედისა და რამდენიმე ოთხკუთხედის ან პარალელოგრამისგან. ამ უკანასკნელთა რიცხვი ყოველთვის უდრის ერთი მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობას. მაგალითად, თუ ფიგურა შედგება ორი პარალელური n-გონებით, მაშინ პარალელოგრამების რაოდენობა იქნება n.

პარალელოგრამის დამაკავშირებელ n-გონებს უწოდებენ პრიზმის გვერდებს და მათი საერთო ფართობი არის ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. თავად n-გონებს ფუძეები ეწოდებათ.

ზემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ქაღალდის პრიზმის მაგალითს. ყვითელი მართკუთხედი არის მისი ზედა საფუძველი. ამავე ფიგურის მეორე ფუძეზე დგას. წითელი და მწვანე მართკუთხედები გვერდითი სახეებია.

რა არის პრიზმები?

არსებობს რამდენიმე სახის პრიზმები. ყველა მათგანი განსხვავდება ერთმანეთისგან მხოლოდ ორი პარამეტრით:

• ნ-გონის ტიპი, რომელიც ქმნის ფუძეებს;
• კუთხე n-გონსა და გვერდით სახეებს შორის.

მაგალითად, თუ ფუძეები სამკუთხედია, მაშინ პრიზმას ეწოდება სამკუთხედი, თუ ოთხკუთხედები, როგორც წინა ფიგურაში, მაშინ ფიგურას ეწოდება ოთხკუთხა პრიზმა და ა.შ. გარდა ამისა, n-gon შეიძლება იყოს ამოზნექილი ან ჩაზნექილი, შემდეგ ეს თვისება ასევე დაემატება პრიზმის სახელს.

კუთხე გვერდებსა და ფუძეს შორის შეიძლება იყოს სწორი ან მწვავე ან ბლაგვი. პირველ შემთხვევაში ისინი საუბრობენ მართკუთხა პრიზმაზე, მეორეში - დახრილ ან ირიბზე.

რეგულარული პრიზები გამოიყოფა ფიგურების განსაკუთრებულ ტიპად. მათ აქვთ უმაღლესი სიმეტრია სხვა პრიზმებს შორის. სწორი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის მართკუთხაა და მისი ფუძე არის რეგულარული n-გონი. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს რეგულარული პრიზმების ერთობლიობას, რომელშიც n-გონის გვერდების რაოდენობა მერყეობს სამიდან რვამდე.

პრიზმული ზედაპირი

თვითნებური ტიპის განხილული ფიგურის ზედაპირის ქვეშ გაგებულია ყველა წერტილის მთლიანობა, რომელიც ეკუთვნის პრიზმის სახეებს. მოსახერხებელია პრიზმის ზედაპირის შესწავლა მისი განვითარების გათვალისწინებით. ქვემოთ მოცემულია სამკუთხა პრიზმისთვის ასეთი გადახვევის მაგალითი.

ჩანს, რომ მთელ ზედაპირს ორი სამკუთხედი და სამი მართკუთხედი ქმნის.

ზოგადი ტიპის პრიზმის შემთხვევაში, მისი ზედაპირი შედგება ორი n-გონალური ფუძისა და n ოთხკუთხედისაგან.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ სხვადასხვა ტიპის პრიზმების ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების საკითხი.

პრიზმის ბაზის ფართობი

ალბათ ყველაზე მარტივი ამოცანა პრიზმებთან მუშაობისას არის რეგულარული ფიგურის საბაზისო ფართობის პოვნის პრობლემა. ვინაიდან იგი იქმნება n-გონით, რომელშიც ყველა კუთხე და გვერდის სიგრძე ერთნაირია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაყოფა იდენტურ სამკუთხედებად, რისთვისაც ცნობილია კუთხეები და გვერდები. სამკუთხედების მთლიანი ფართობი იქნება n-გონის ფართობი.

პრიზმის (ბაზის) ზედაპირის ნაწილის განსაზღვრის კიდევ ერთი გზა არის ცნობილი ფორმულის გამოყენება. ეს ასე გამოიყურება:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

ანუ n-გონის ფართობი S n ცალსახად არის განსაზღვრული მისი a მხარის სიგრძის ცოდნის საფუძველზე. ფორმულის გამოთვლის გარკვეული სირთულე შეიძლება იყოს კოტანგენსის გამოთვლა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც n>4 (n≤4-ისთვის კოტანგენტის მნიშვნელობები არის ცხრილის მონაცემები). ამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის დასადგენად რეკომენდებულია კალკულატორის გამოყენება.

გეომეტრიული პრობლემის დაყენებისას ფრთხილად უნდა იყოთ, რადგან შეიძლება დაგჭირდეთ პრიზმის ფუძის ფართობის პოვნა. შემდეგ ფორმულით მიღებული მნიშვნელობა უნდა გავამრავლოთ ორზე.

სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი

სამკუთხა პრიზმის მაგალითის გამოყენებით, განიხილეთ, თუ როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფიგურის ფუძის ფართობი.

პირველი, განიხილეთ მარტივი შემთხვევა - რეგულარული პრიზმა. ბაზის ფართობი გამოითვლება ზემოთ მოცემულ პუნქტში მოცემული ფორმულის მიხედვით, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მასში n \u003d 3. ჩვენ ვიღებთ:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

რჩება გამოსახულებაში ჩანაცვლება ტოლგვერდა სამკუთხედის a გვერდის სიგრძის კონკრეტული მნიშვნელობები, რათა მივიღოთ ერთი ფუძის ფართობი.

ახლა დავუშვათ, რომ გვაქვს პრიზმა, რომლის ფუძე არის თვითნებური სამკუთხედი. ცნობილია მისი ორი გვერდი a და b და კუთხე მათ შორის α. ეს ფიგურა ნაჩვენებია ქვემოთ.

როგორ მოვძებნოთ ამ შემთხვევაში სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი? უნდა გვახსოვდეს, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობი უდრის გვერდის ნამრავლის ნახევარს და ამ მხარეს დაშვებულ სიმაღლეს. ნახაზი გვიჩვენებს სიმაღლეს h მხარეს b. სიგრძე h შეესაბამება ალფა კუთხის სინუსის ნამრავლს და a გვერდის სიგრძეს. მაშინ მთელი სამკუთხედის ფართობია:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

ეს არის გამოსახული სამკუთხა პრიზმის ძირითადი ფართობი.

გვერდითი ზედაპირი

ჩვენ გავარკვიეთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ პრიზმის ფუძის ფართობი. ამ ფიგურის გვერდითი ზედაპირი ყოველთვის შედგება პარალელოგრამებისგან. სწორი პრიზმებისთვის პარალელოგრამები მართკუთხედებად იქცევა, ამიტომ მათი საერთო ფართობის გამოთვლა ადვილია:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

აქ b არის გვერდითი კიდის სიგრძე, ხოლო i არის i-ე მართკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომელიც ემთხვევა n-გონის გვერდის სიგრძეს. რეგულარული n-გონალური პრიზმის შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ მარტივ გამონათქვამს:

თუ პრიზმა დახრილია, მაშინ მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობის დასადგენად, უნდა გაკეთდეს პერპენდიკულური ჭრილი, გამოითვალოს მისი პერიმეტრი P sr და გამრავლდეს გვერდითი ნეკნის სიგრძეზე.

ზემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა გაკეთდეს ეს ჭრილი ირიბი ხუთკუთხა პრიზმისთვის.

სხვადასხვა პრიზმები განსხვავდება ერთმანეთისგან. ამავე დროს, მათ ბევრი საერთო აქვთ. პრიზმის ფუძის ფართობის გასარკვევად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, როგორ გამოიყურება იგი.

ზოგადი თეორია

პრიზმა არის ნებისმიერი პოლიედონი, რომლის გვერდებს აქვთ პარალელოგრამის ფორმა. უფრო მეტიც, ნებისმიერი პოლიედონი შეიძლება იყოს მის ბაზაზე - სამკუთხედიდან n-გონამდე. უფრო მეტიც, პრიზმის ფუძეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია. რაც არ ეხება გვერდით სახეებს - ისინი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ზომით.

პრობლემების გადაჭრისას, ეს არ არის მხოლოდ პრიზმის ფუძის ფართობი, რომელიც გვხვდება. შეიძლება საჭირო გახდეს გვერდითი ზედაპირის ცოდნა, ანუ ყველა სახე, რომელიც არ არის ფუძე. სრული ზედაპირი უკვე იქნება პრიზმის შემადგენელი ყველა სახის გაერთიანება.

ზოგჯერ სიმაღლეები ჩნდება ამოცანებში. იგი პერპენდიკულარულია ფუძეებზე. პოლიედრონის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც წყვილად აკავშირებს ნებისმიერ ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

უნდა აღინიშნოს, რომ სწორი ან დახრილი პრიზმის ფუძის ფართობი არ არის დამოკიდებული მათსა და გვერდითა სახეებს შორის არსებულ კუთხეზე. თუ მათ აქვთ იგივე ფიგურები ზედა და ქვედა სახეებზე, მაშინ მათი არეები თანაბარი იქნება.

სამკუთხა პრიზმა

მას ძირში აქვს ფიგურა სამი წვერით, ანუ სამკუთხედი. ცნობილია, რომ განსხვავებულია. თუ საკმარისია გავიხსენოთ, რომ მისი ფართობი განისაზღვრება ფეხების პროდუქტის ნახევარით.

მათემატიკური აღნიშვნა ასე გამოიყურება: S = ½ av.

ძირის ფართობის ზოგადი ფორმით გასარკვევად, სასარგებლოა ფორმულები: ჰერონი და ის, რომელშიც გვერდის ნახევარი მიიღება მისკენ მიზიდულ სიმაღლეზე.

პირველი ფორმულა ასე უნდა დაიწეროს: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). ეს ჩანაწერი შეიცავს ნახევრად პერიმეტრს (p), ანუ სამი მხარის ჯამს გაყოფილი ორზე.

მეორე: S = ½ n a * a.

თუ გსურთ იცოდეთ სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი, რომელიც რეგულარულია, მაშინ სამკუთხედი აღმოჩნდება ტოლგვერდა. მას აქვს საკუთარი ფორმულა: S = ¼ a 2 * √3.

ოთხკუთხა პრიზმა

მისი ფუძე არის რომელიმე ცნობილი ოთხკუთხედი. ეს შეიძლება იყოს მართკუთხედი ან კვადრატი, პარალელეპიპედი ან რომბი. თითოეულ შემთხვევაში, პრიზმის ფუძის ფართობის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ საკუთარი ფორმულა.

თუ ფუძე არის მართკუთხედი, მაშინ მისი ფართობი განისაზღვრება შემდეგნაირად: S = av, სადაც a, b არის მართკუთხედის გვერდები.

როდესაც საქმე ეხება ოთხკუთხა პრიზმას, ჩვეულებრივი პრიზმის ბაზის ფართობი გამოითვლება კვადრატის ფორმულის გამოყენებით. რადგან სწორედ ის წევს ბაზაზე. S \u003d a 2.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ბაზა არის პარალელეპიპედი, საჭირო იქნება შემდეგი თანასწორობა: S \u003d a * n a. ეს ხდება, რომ მოცემულია პარალელეპიპედის გვერდი და ერთ-ერთი კუთხე. შემდეგ, სიმაღლის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ დამატებითი ფორმულის გამოყენება: na \u003d b * sin A. უფრო მეტიც, კუთხე A არის "b" მხარის მიმდებარედ, ხოლო სიმაღლე არის na ამ კუთხის საპირისპირო.

თუ რომბი დევს პრიზმის ძირში, მაშინ მისი ფართობის დასადგენად იგივე ფორმულა იქნება საჭირო, რაც პარალელოგრამისთვის (რადგან ეს მისი განსაკუთრებული შემთხვევაა). მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს: S = ½ d 1 d 2. აქ d 1 და d 2 არის რომბის ორი დიაგონალი.

რეგულარული ხუთკუთხა პრიზმა

ეს შემთხვევა მოიცავს მრავალკუთხედის დაყოფას სამკუთხედებად, რომელთა არეების გარკვევა უფრო ადვილია. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ხდება, რომ ფიგურები შეიძლება იყოს სხვადასხვა რაოდენობის წვეროებით.

ვინაიდან პრიზმის საფუძველი არის რეგულარული ხუთკუთხედი, ის შეიძლება დაიყოს ხუთ ტოლგვერდა სამკუთხედად. მაშინ პრიზმის ფუძის ფართობი უდრის ერთი ასეთი სამკუთხედის ფართობს (ფორმულა ზემოთ ჩანს), გამრავლებული ხუთზე.

რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა

ხუთკუთხა პრიზმისთვის აღწერილი პრინციპის მიხედვით შესაძლებელია ფუძის ექვსკუთხედის დაყოფა 6 ტოლგვერდა სამკუთხედად. ასეთი პრიზმის ფუძის ფართობის ფორმულა წინა მსგავსია. მხოლოდ მასში უნდა გამრავლდეს ექვსზე.

ფორმულა ასე გამოიყურება: S = 3/2 და 2 * √3.

Დავალებები

No 1. მოცემულია რეგულარული სწორი ხაზი.მისი დიაგონალი არის 22 სმ, პოლიედრონის სიმაღლე 14სმ. გამოთვალეთ პრიზმის ფუძის ფართობი და მთელი ზედაპირი.

გამოსავალი.პრიზმის საფუძველი არის კვადრატი, მაგრამ მისი გვერდი უცნობია. მისი მნიშვნელობა შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატის დიაგონალიდან (x), რომელიც დაკავშირებულია პრიზმის (d) დიაგონალთან და მის სიმაღლესთან (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. მეორეს მხრივ, ეს სეგმენტი "x" არის ჰიპოტენუზა სამკუთხედში, რომლის ფეხები ტოლია კვადრატის გვერდის. ანუ x 2 \u003d a 2 + a 2. ამრიგად, გამოდის, რომ 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

შეცვალეთ რიცხვი 22-ის ნაცვლად d-ის ნაცვლად და შეცვალეთ „n“ მისი მნიშვნელობით - 14, გამოდის, რომ კვადრატის გვერდი 12 სმ. ახლა ადვილია ბაზის ფართობის გარკვევა: 12 * 12 \u003d 144 სმ 2. .

მთელი ზედაპირის ფართობის გასარკვევად, თქვენ უნდა დაამატოთ ბაზის ფართობის ორჯერ მნიშვნელობა და გააოთხმაგოთ მხარე. ამ უკანასკნელის პოვნა მარტივია მართკუთხედის ფორმულით: გავამრავლოთ მრავალწახნაგა სიმაღლე და ფუძის მხარე. ანუ 14 და 12, ეს რიცხვი იქნება 168 სმ 2-ის ტოლი. პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის 960 სმ 2.

უპასუხე.პრიზმის ბაზის ფართობია 144 სმ2. მთლიანი ზედაპირი - 960 სმ 2.

No 2. დანა ძირში დევს სამკუთხედი გვერდით 6 სმ, ამ შემთხვევაში გვერდითი სახის დიაგონალი 10 სმ. გამოთვალეთ ფართობები: ფუძე და გვერდითი ზედაპირი.

გამოსავალი.ვინაიდან პრიზმა რეგულარულია, მისი ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი. მაშასადამე, მისი ფართობი ტოლია 6-ის კვადრატში გამრავლებული ¼-ისა და კვადრატული ფესვი 3-ის. მარტივი გაანგარიშებით მივყავართ შედეგს: 9√3 სმ 2. ეს არის პრიზმის ერთი ფუძის ფართობი.

ყველა გვერდითი სახე ერთნაირია და არის მართკუთხედები გვერდებით 6 და 10 სმ. მათი ფართობის გამოსათვლელად საკმარისია ამ რიცხვების გამრავლება. შემდეგ გაამრავლეთ ისინი სამზე, რადგან პრიზმას ზუსტად ამდენი გვერდითი სახე აქვს. შემდეგ გვერდითი ზედაპირის ფართობი იჭრება 180 სმ 2.

უპასუხე.ფართობი: ძირი - 9√3 სმ 2, პრიზმის გვერდითი ზედაპირი - 180 სმ 2.

მყარი გეომეტრიის კურსის სასკოლო სასწავლო გეგმაში სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება მარტივი გეომეტრიული სხეულით - პრიზმული პოლიედრონით. მისი ფუძეების როლს ასრულებს 2 თანაბარი მრავალკუთხედი, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში. განსაკუთრებული შემთხვევაა რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. მისი ფუძეები არის 2 იდენტური რეგულარული ოთხკუთხედი, რომლებზეც გვერდები პერპენდიკულარულია, პარალელოგრამების (ან მართკუთხედების თუ პრიზმის დახრილობის გარეშე) ფორმის მქონე.

რას ჰგავს პრიზმა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეებზე არის 2 კვადრატი, ხოლო გვერდითი სახეები წარმოდგენილია ოთხკუთხედებით. ამ გეომეტრიული ფიგურის კიდევ ერთი სახელია სწორი პარალელეპიპედი.

ფიგურა, რომელიც გამოსახავს ოთხკუთხა პრიზმას, ნაჩვენებია ქვემოთ.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ სურათზე ყველაზე მნიშვნელოვანი ელემენტები, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიულ სხეულს. მათ ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ, როგორც:

ზოგჯერ გეომეტრიის პრობლემებში შეგიძლიათ იპოვოთ მონაკვეთის კონცეფცია. განმარტება ასე ჟღერს: მონაკვეთი არის მოცულობითი სხეულის ყველა წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება ჭრის სიბრტყეს. მონაკვეთი პერპენდიკულარულია (ფიგურის კიდეებს კვეთს 90 გრადუსიანი კუთხით). მართკუთხა პრიზმისთვის ასევე განიხილება დიაგონალური მონაკვეთი (სექციების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც შეიძლება აშენდეს არის 2), რომელიც გადის 2 კიდეზე და ფუძის დიაგონალებზე.

თუ მონაკვეთი ისეა დახატული, რომ ჭრის სიბრტყე არ იყოს პარალელურად არც ფუძეებთან და არც გვერდით გვერდებთან, შედეგი არის შეკვეცილი პრიზმა.

შემცირებული პრიზმული ელემენტების მოსაძებნად გამოიყენება სხვადასხვა კოეფიციენტები და ფორმულები. ზოგიერთი მათგანი ცნობილია პლანიმეტრიის კურსიდან (მაგალითად, პრიზმის ფუძის ფართობის მოსაძებნად, საკმარისია გავიხსენოთ კვადრატის ფართობის ფორმულა).

ზედაპირის ფართობი და მოცულობა

ფორმულის გამოყენებით პრიზმის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი:

V = Sprim h

ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი გვერდით ა,თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ფორმულა უფრო დეტალური ფორმით:

V = a² სთ

თუ ვსაუბრობთ კუბზე - ჩვეულებრივ პრიზმაზე თანაბარი სიგრძით, სიგანე და სიმაღლე, მოცულობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ მისი გადახვევა.

ნახატიდან ჩანს, რომ გვერდითი ზედაპირი შედგება 4 თანაბარი ოთხკუთხედისგან. მისი ფართობი გამოითვლება ფუძის პერიმეტრისა და ფიგურის სიმაღლის ნამრავლით:

Sside = Pos h

ვინაიდან კვადრატის პერიმეტრი არის P = 4a,ფორმულა იღებს ფორმას:

გვერდი = 4ა სთ

კუბისთვის:

გვერდი = 4a²

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ 2 ძირითადი ფართობი გვერდით ფართობზე:

Sfull = Sside + 2Sbase

როგორც ოთხკუთხა რეგულარულ პრიზმაზე გამოიყენება, ფორმულას აქვს ფორმა:

სავსე = 4a h + 2a²

კუბის ზედაპირის ფართობისთვის:

სავსე = 6a²

მოცულობის ან ზედაპირის ფართობის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გეომეტრიული სხეულის ცალკეული ელემენტები.

პრიზმის ელემენტების მოძიება

ხშირად არის პრობლემები, რომლებშიც მოცემულია მოცულობა ან ცნობილია გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა, სადაც აუცილებელია ფუძის მხარის სიგრძის ან სიმაღლის დადგენა. ასეთ შემთხვევებში, ფორმულები შეიძლება გამოვიდეს:

• ბაზის მხარის სიგრძე: a = გვერდითი / 4სთ = √(V / სთ);
• სიმაღლე ან გვერდითი ნეკნის სიგრძე: h = გვერდი / 4a = V / a²;
• ბაზის ფართობი: სპრიმი = V / სთ;
• გვერდითი სახის ფართობი: მხარე გრ = გვერდი / 4.

იმის დასადგენად, თუ რამდენი ფართობი აქვს დიაგონალურ მონაკვეთს, უნდა იცოდეთ დიაგონალის სიგრძე და ფიგურის სიმაღლე. კვადრატისთვის d = a√2.ამიტომ:

Sdiag = ah√2

პრიზმის დიაგონალის გამოსათვლელად გამოიყენება ფორმულა:

dპრიზი = √(2a² + h²)

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული კოეფიციენტები, შეგიძლიათ ივარჯიშოთ და გადაჭრათ რამდენიმე მარტივი ამოცანა.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომელიც ჩნდება მათემატიკაში სახელმწიფო ფინალურ გამოცდებზე.

სავარჯიშო 1.

ქვიშა შეედინება ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პრიზმის ფორმის ყუთში. მისი დონის სიმაღლეა 10 სმ. როგორი იქნება ქვიშა, თუ მას იმავე ფორმის, მაგრამ ძირის სიგრძით 2-ჯერ მეტი კონტეინერში გადაიტანთ?

ამის მსჯელობა შემდეგნაირად უნდა მოხდეს. პირველ და მეორე კონტეინერებში ქვიშის რაოდენობა არ შეცვლილა, ანუ მისი მოცულობა მათში იგივეა. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ბაზის სიგრძე, როგორც ა. ამ შემთხვევაში, პირველი ყუთისთვის, ნივთიერების მოცულობა იქნება:

V1 = ჰა² = 10 ა²

მეორე ყუთისთვის ბაზის სიგრძეა 2ა, მაგრამ ქვიშის დონის სიმაღლე უცნობია:

V₂ = h(2a)² = 4ჰა²

Იმიტომ რომ V1 = V2, გამონათქვამები შეიძლება გაიგივდეს:

10a² = 4ჰა²

განტოლების ორივე მხარის a²-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ:

შედეგად, ქვიშის ახალი დონე იქნება სთ = 10 / 4 = 2.5სმ.

დავალება 2.

ABCDA1B1C1D1 არის რეგულარული პრიზმა. ცნობილია, რომ BD = AB₁ = 6√2. იპოვნეთ სხეულის მთლიანი ზედაპირი.

იმისათვის, რომ გაადვილოთ იმის გაგება, თუ რომელი ელემენტებია ცნობილი, შეგიძლიათ დახაზოთ ფიგურა.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ რეგულარულ პრიზმაზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუძე არის კვადრატი, რომლის დიაგონალია 6√2. გვერდითი სახის დიაგონალს აქვს იგივე მნიშვნელობა, შესაბამისად, გვერდით სახეს ასევე აქვს კვადრატის ფორმა, რომელიც ტოლია ფუძისა. გამოდის, რომ სამივე განზომილება - სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე - თანაბარია. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ABCDA1B1C1D1 არის კუბი.

ნებისმიერი კიდის სიგრძე განისაზღვრება ცნობილი დიაგონალის საშუალებით:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გვხვდება კუბის ფორმულით:

სავსე = 6a² = 6 6² = 216

დავალება 3.

ოთახის რემონტი მიმდინარეობს. ცნობილია, რომ მის იატაკს აქვს კვადრატის ფორმა, რომლის ფართობია 9 მ². ოთახის სიმაღლეა 2,5 მ. რა ღირს ოთახის შპალერის დახატვა, თუ 1 მ² ღირს 50 მანეთი?

ვინაიდან იატაკი და ჭერი არის კვადრატები, ანუ რეგულარული ოთხკუთხედები, ხოლო მისი კედლები პერპენდიკულარულია ჰორიზონტალურ ზედაპირებზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის რეგულარული პრიზმა. აუცილებელია განისაზღვროს მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ოთახის სიგრძე არის a = √9 = 3მ.

მოედანი გადაიფარება შპალერით გვერდი = 4 3 2.5 = 30 მ².

ამ ოთახისთვის ფონის ყველაზე დაბალი ღირებულება იქნება 50 30 = 1500რუბლები.

ამრიგად, მართკუთხა პრიზმისთვის ამოცანების გადასაჭრელად საკმარისია კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობისა და პერიმეტრის გამოთვლა, აგრეთვე მოცულობისა და ზედაპირის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა.

როგორ მოვძებნოთ კუბის ფართობი