ორი რიცხვის საერთო ჯერადის პოვნა. უმცირესი საერთო ჯერადი, nok is და ყველა ახსნა

მეორე ნომერი: b=

ციფრების გამყოფიარ არის სივრცის გამყოფი "'

შედეგი:

LCM-ის უმცირესი საერთო ჯერადი( ა,ბ)=468

უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი, რომლითაც რიცხვები a და b იყოფა ნაშთების გარეშე, ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი(gcd) ამ რიცხვებიდან. აღინიშნება gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ან hcf(a,b).

უმცირესი საერთო ჯერადი(LCM) ორი მთელი რიცხვის a და b არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა a-ზე და b-ზე ნაშთის გარეშე. აღინიშნება LCM(a,b) ან lcm(a,b).

მთელი რიცხვები a და b ეწოდება კოპრაიმთუ მათ არ აქვთ საერთო გამყოფები გარდა +1 და −1.

უდიდესი საერთო გამყოფი

მიეცით ორი დადებითი რიცხვი ა 1 და ა 2 1). საჭიროა ამ რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნა, ე.ი. იპოვნეთ ასეთი რიცხვი λ , რომელიც ყოფს რიცხვებს ა 1 და ა 2 ერთდროულად. მოდით აღვწეროთ ალგორითმი.

1) ამ სტატიაში სიტყვა რიცხვი ნიშნავს მთელ რიცხვს.

დაე ა 1 ≥ ა 2 და ნება

სადაც მ 1 , ა 3 არის რამდენიმე მთელი რიცხვი, ა 3 <ა 2 (ნარჩენი გაყოფიდან ა 1-ზე ა 2 ნაკლები უნდა იყოს ა 2).

მოდი ვიჩვენოთ, რომ λ ყოფს ა 1 და ა 2, მაშინ λ ყოფს მ 1 ა 2 და λ ყოფს ა 1 −მ 1 ა 2 =ა 3 (სტატიის მე-2 მტკიცება „ რიცხვთა გაყოფა. გაყოფის ნიშანი“). აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 არის საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3 . საპირისპირო ასევე მართალია თუ λ საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3, მაშინ მ 1 ა 2 და ა 1 =მ 1 ა 2 +ა 3 ასევე იყოფა λ . აქედან მოდის საერთო გამყოფი ა 2 და ა 3 ასევე არის საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2. იმიტომ რომ ა 3 <ა 2 ≤ა 1 , მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნის ამოცანის ამოხსნა ა 1 და ა 2 დაყვანილია რიცხვების საერთო გამყოფის პოვნის მარტივ ამოცანამდე ა 2 და ა 3 .

Თუ ა 3 ≠0, მაშინ შეგვიძლია გავყოთ ა 2-ზე ა 3 . მერე

სადაც მ 1 და ა 4 არის რამდენიმე მთელი რიცხვი, ( აგაყოფის 4 დარჩენილი ა 2-ზე ა 3 (ა 4 <ა 3)). მსგავსი მსჯელობით მივდივართ დასკვნამდე, რომ რიცხვების საერთო გამყოფები ა 3 და ა 4 იგივეა, რაც რიცხვების საერთო გამყოფები ა 2 და ა 3 და ასევე საერთო გამყოფებით ა 1 და ა 2. იმიტომ რომ ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4 , ... რიცხვები, რომლებიც მუდმივად კლებულობენ, და ვინაიდან არსებობს მთელი რიცხვების სასრული რაოდენობა ა 2 და 0, შემდეგ რაღაც საფეხურზე ნ, დაყოფის დარჩენილი ნაწილი ა n-ზე ა n+1 ტოლი იქნება ნულის ( ა n+2=0).

ყველა საერთო გამყოფი λ ნომრები ა 1 და ა 2 ასევე არის რიცხვების გამყოფი ა 2 და ა 3 , ა 3 და ა 4 , .... ა n და ა n+1 . საპირისპირო ასევე მართალია, რიცხვების საერთო გამყოფები ა n და ა n+1 ასევე რიცხვების გამყოფია ა n−1 და ა n, ...., ა 2 და ა 3 , ა 1 და ა 2. მაგრამ საერთო გამყოფი ა n და ა n+1 არის რიცხვი ა n+1, რადგან ა n და ა n+1 იყოფა ა n+1 (გაიხსენეთ ა n+2=0). შესაბამისად ა n+1 ასევე არის რიცხვების გამყოფი ა 1 და ა 2 .

გაითვალისწინეთ, რომ ნომერი ა n+1 არის უდიდესი რიცხვის გამყოფი ა n და ა n+1 , რადგან უდიდესი გამყოფი ა n+1 არის თავად ა n+1 . Თუ ა n + 1 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მთელი რიცხვების ნამრავლი, მაშინ ეს რიცხვები ასევე არის რიცხვების საერთო გამყოფები ა 1 და ა 2. ნომერი ა n+1 ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფინომრები ა 1 და ა 2 .

ნომრები ა 1 და ა 2 შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვები. თუ რომელიმე რიცხვი ნულის ტოლია, მაშინ ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი უდრის მეორე რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. ნულოვანი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არ არის განსაზღვრული.

ზემოთ მოყვანილი ალგორითმი ე.წ ევკლიდეს ალგორითმიიპოვონ ორი მთელი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი.

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნის მაგალითი

იპოვეთ ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი 630 და 434.

ნაბიჯი 1. რიცხვი 630 გაყავით 434-ზე. დარჩენილი არის 196.
ნაბიჯი 2. რიცხვი 434 გაყავით 196-ზე. დარჩენილი არის 42.
ნაბიჯი 3. რიცხვი 196 გაყავით 42-ზე. დარჩენილი არის 28.
ნაბიჯი 4. რიცხვი 42 გაყავით 28-ზე. დარჩენილი არის 14.
ნაბიჯი 5. რიცხვი 28 გაყავით 14-ზე. დარჩენილი არის 0.

მე-5 საფეხურზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის 0. მაშასადამე, 630 და 434 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის 14. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 2 და 7 ასევე 630 და 434 რიცხვების გამყოფია.

კოპრიმი რიცხვები

განმარტება 1. მოდით რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 უდრის ერთს. შემდეგ ამ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვებირომლებსაც არ აქვთ საერთო გამყოფი.

თეორემა 1. Თუ ა 1 და ა 2 შედარებით მარტივი რიცხვი და λ ზოგიერთი რიცხვი, შემდეგ რიცხვების ნებისმიერი საერთო გამყოფი λa 1 და ა 2 ასევე არის რიცხვების საერთო გამყოფი λ და ა 2 .

მტკიცებულება. განვიხილოთ ევკლიდის ალგორითმი რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნისთვის ა 1 და ა 2 (იხ. ზემოთ).

თეორემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2 და ამიტომ ა n და ა n+1 არის 1. ე.ი. ა n+1=1.

მოდით გავამრავლოთ ყველა ეს თანასწორობა λ , მაშინ

მოდით საერთო გამყოფი ა 1 λ და ა 2 არის δ . მერე δ შედის როგორც ფაქტორი ა 1 λ , მ 1 ა 2 λ და ში ა 1 λ -მ 1 ა 2 λ =ა 3 λ (იხ. „რიცხვების გაყოფა“, დებულება 2). Უფრო δ შედის როგორც ფაქტორი ა 2 λ და მ 2 ა 3 λ , და, შესაბამისად, შედის როგორც ფაქტორი ა 2 λ -მ 2 ა 3 λ =ა 4 λ .

ამგვარად მსჯელობით ვრწმუნდებით, რომ δ შედის როგორც ფაქტორი ა n−1 λ და მ n−1 ან λ და, შესაბამისად, შიგნით ა n−1 λ −მ n−1 ან λ =ა n+1 λ . იმიტომ რომ ა n+1 =1, მაშინ δ შედის როგორც ფაქტორი λ . აქედან გამომდინარეობს ნომერი δ არის რიცხვების საერთო გამყოფი λ და ა 2 .

განვიხილოთ თეორემა 1-ის განსაკუთრებული შემთხვევები.

შედეგი 1. დაე ადა გმარტივი რიცხვები შედარებითია ბ. შემდეგ მათი პროდუქტი აწარის მარტივი რიცხვი მიმართ ბ.

მართლა. თეორემა 1-დან აწდა ბაქვთ იგივე საერთო გამყოფები, რაც გდა ბ. მაგრამ ნომრები გდა ბკოპრაიმი, ე.ი. აქვს ერთი საერთო გამყოფი 1. მაშინ აწდა ბასევე აქვთ ერთი საერთო გამყოფი 1. აქედან გამომდინარე აწდა ბორმხრივ მარტივი.

შედეგი 2. დაე ადა ბთანაპრიმი რიცხვები და მოდით ბყოფს აკ. მერე ბყოფს და კ.

მართლა. მტკიცების პირობიდან აკდა ბაქვს საერთო გამყოფი ბ. თეორემა 1-ის ძალით, ბუნდა იყოს საერთო გამყოფი ბდა კ. შესაბამისად ბყოფს კ.

დასკვნა 1 შეიძლება განზოგადდეს.

შედეგი 3. 1. მოდით ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3 , ..., ა m რიცხვთან შედარებით მარტივია ბ. მერე ა 1 ა 2 , ა 1 ა 2 · ა 3 , ..., ა 1 ა 2 ა 3 ··· ა m , ამ რიცხვების ნამრავლი არის მარტივი რიცხვის მიმართ ბ.

2. გვქონდეს რიცხვების ორი მწკრივი

ისე, რომ პირველი რიგის ყველა რიცხვი არის მარტივი მეორე რიგის ყველა რიცხვთან მიმართებაში. შემდეგ პროდუქტი

საჭიროა ისეთი რიცხვების პოვნა, რომლებიც იყოფა თითოეულ ამ რიცხვზე.

თუ რიცხვი იყოფა ა 1, მაშინ ასე გამოიყურება სა 1, სადაც სრაღაც ნომერი. Თუ ქარის რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ა 1 და ა 2, მაშინ

სადაც ს 1 არის გარკვეული მთელი რიცხვი. მერე

არის რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 და ა 2 .

ა 1 და ა 2 თანაპირველი, შემდეგ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 და ა 2:

იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვების ნებისმიერი ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 უნდა იყოს რიცხვების ჯერადი ε და ა 3 და პირიქით. მოდით რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ε და ა 3 არის ε ერთი . გარდა ამისა, რიცხვების მრავალჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4 უნდა იყოს რიცხვების ჯერადი ε 1 და აოთხი . მოდით რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ε 1 და ა 4 არის ε 2. ამრიგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ რიცხვების ყველა ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m ემთხვევა რაიმე კონკრეტული რიცხვის ჯერადებს ε n , რომელსაც ეწოდება მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m თანაპირველი, მაშინ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 , ა 2, როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები, აქვს ფორმა (3). შემდგომ, მას შემდეგ ა 3 მარტივი რიცხვების მიმართ ა 1 , ა 2, მაშინ ა 3 არის მარტივი შედარებითი რიცხვი აერთი · ა 2 (დასკვნა 1). ასე რომ, რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 ,ა 2 ,ა 3 არის რიცხვი აერთი · ა 2 · ა 3 . ანალოგიურად კამათით მივდივართ შემდეგ მტკიცებებამდე.

განცხადება 1. თანაპირდაპირი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m უდრის მათ ნამრავლს აერთი · ა 2 · ა 3 ··· ამ .

განცხადება 2. ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თანაპირ რიცხვზე ა 1 , ა 2 , ა 3 ,...,ა m ასევე იყოფა მათ ნამრავლზე აერთი · ა 2 · ა 3 ··· ამ .

განმარტება.ყველაზე დიდი ნატურალური რიცხვი, რომლითაც რიცხვები a და b იყოფა ნაშთის გარეშე, ეწოდება უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd)ეს ნომრები.

ვიპოვოთ 24 და 35 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.
24-ის გამყოფები იქნება რიცხვები 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ხოლო 35-ის გამყოფები იქნება რიცხვები 1, 5, 7, 35.
ჩვენ ვხედავთ, რომ 24 და 35 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ რიცხვებს უწოდებენ. კოპრაიმ.

განმარტება.ნატურალურ რიცხვებს უწოდებენ კოპრაიმთუ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd) არის 1.

უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD)შეიძლება მოიძებნოს მოცემული რიცხვების ყველა გამყოფის ამოწერის გარეშე.

48 და 36 რიცხვების ფაქტორზე გაანგარიშებით, მივიღებთ:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
ამ რიცხვებიდან პირველის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან ჩვენ ვშლით იმ ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მეორე რიცხვის გაფართოებაში (ანუ, ორი დუუსი).
რჩება ფაქტორები 2 * 2 * 3. მათი ნამრავლია 12. ეს რიცხვი არის 48 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ასევე გვხვდება სამი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი.

Პოვნა ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი

2) ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან გადახაზეთ ისინი, რომლებიც არ შედის სხვა რიცხვების გაფართოებაში;
3) იპოვნეთ დარჩენილი ფაქტორების პროდუქტი.

თუ ყველა მოცემული რიცხვი იყოფა ერთ მათგანზე, მაშინ ეს რიცხვი არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფიმოცემული ნომრები.
მაგალითად, 15-ის, 45-ის, 75-ისა და 180-ის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 15, რადგან ის ყოფს ყველა სხვა რიცხვს: 45, 75 და 180.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM)

განმარტება. უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM)ნატურალური რიცხვები a და b არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის როგორც a, ასევე b-ის ჯერადი. 75 და 60 რიცხვების უმცირესი ჯერადი (LCM) შეიძლება მოიძებნოს ამ რიცხვების ზედიზედ ჯერადების ჩაწერის გარეშე. ამისათვის ჩვენ ვშლით 75 და 60 მარტივ ფაქტორებად: 75 \u003d 3 * 5 * 5 და 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
ჩვენ ვწერთ ფაქტორებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვებიდან პირველის გაფართოებაში და მათ ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მეორე რიცხვის გაფართოებიდან (ანუ ვაერთებთ ფაქტორებს).
ვიღებთ ხუთ ფაქტორს 2 * 2 * 3 * 5 * 5, რომლის ნამრავლი არის 300. ეს რიცხვი არის 75 და 60 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

ასევე იპოვეთ სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.

რომ იპოვნეთ უმცირესი საერთო ჯერადირამდენიმე ბუნებრივი რიცხვი გჭირდებათ:
1) მათი დაშლა პირველ ფაქტორებად;
2) ჩამოწერეთ ერთ-ერთი რიცხვის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორები;
3) დაამატეთ მათ დარჩენილი რიცხვების გაფართოებებიდან გამოტოვებული ფაქტორები;
4) იპოვნეთ მიღებული ფაქტორების პროდუქტი.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი იყოფა ყველა სხვა რიცხვზე, მაშინ ეს რიცხვი არის ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.
მაგალითად, 12-ის, 15-ის, 20-ის და 60-ის უმცირესი საერთო ჯერადი იქნება 60, რადგან ის იყოფა ყველა მოცემულ რიცხვზე.

პითაგორა (ძვ. წ. VI ს.) და მისმა მოსწავლეებმა შეისწავლეს რიცხვების გაყოფის საკითხი. რიცხვი, რომელიც უდრის მისი ყველა გამყოფის ჯამს (თვით რიცხვის გარეშე), მათ უწოდეს სრულყოფილი რიცხვი. მაგალითად, რიცხვები 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) არის სრულყოფილი. შემდეგი სრულყოფილი რიცხვებია 496, 8128, 33,550,336. პითაგორაელებმა იცოდნენ მხოლოდ პირველი სამი სრულყოფილი რიცხვი. მეოთხე - 8128 - ცნობილი გახდა I საუკუნეში. ნ. ე. მეხუთე - 33 550 336 - ნაპოვნია XV საუკუნეში. 1983 წლისთვის უკვე ცნობილი იყო 27 სრულყოფილი რიცხვი. მაგრამ აქამდე მეცნიერებმა არ იციან არის თუ არა კენტი სრულყოფილი რიცხვები, არის თუ არა ყველაზე დიდი სრულყოფილი რიცხვი.
ძველი მათემატიკოსების ინტერესი მარტივი რიცხვების მიმართ განპირობებულია იმით, რომ ნებისმიერი რიცხვი ან მარტივია, ან შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად, ანუ მარტივი რიცხვები აგურივითაა, საიდანაც აგებულია დანარჩენი ნატურალური რიცხვები.
თქვენ ალბათ შენიშნეთ, რომ ნატურალური რიცხვების რიგის მარტივი რიცხვები არათანაბრად ჩნდება - სერიის ზოგიერთ ნაწილში უფრო მეტია, ზოგში - ნაკლები. მაგრამ რაც უფრო შორს მივდივართ რიცხვთა სერიების გასწვრივ, მით უფრო იშვიათია მარტივი რიცხვები. ჩნდება კითხვა: არსებობს თუ არა ბოლო (ყველაზე დიდი) მარტივი რიცხვი? ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ (ძვ. წ. III ს.), თავის წიგნში „დასაწყისები“, რომელიც ორი ათასი წლის განმავლობაში იყო მათემატიკის მთავარი სახელმძღვანელო, დაამტკიცა, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია, ანუ თითოეული მარტივი რიცხვის უკან არის ლუწი. უფრო დიდი მარტივი რიცხვი.
მარტივი რიცხვების საპოვნელად ასეთი მეთოდი მოიფიქრა იმავე დროის სხვა ბერძენმა მათემატიკოსმა ერატოსთენესმა. მან ჩაწერა ყველა რიცხვი 1-დან ზოგიერთ რიცხვამდე, შემდეგ გადახაზა ერთეული, რომელიც არც მარტივია და არც შედგენილი რიცხვი, შემდეგ გადაკვეთა ერთის მეშვეობით ყველა რიცხვი 2-ის შემდეგ (რიცხვები, რომლებიც მრავლდებიან 2-ზე, ე.ი. 4, 6, 8 და ა.შ.). პირველი დარჩენილი რიცხვი 2-ის შემდეგ იყო 3. შემდეგ, ორის შემდეგ, 3-ის შემდეგ ყველა რიცხვი გადაიხაზა (3-ის ჯერადი რიცხვები, ანუ 6, 9, 12 და ა.შ.). საბოლოოდ მხოლოდ მარტივი რიცხვები დარჩა გადაკვეთილი.

საერთო ჯერადები

მარტივად რომ ვთქვათ, ნებისმიერი მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მოცემულ რიცხვზე არის საერთო მრავლობითიმოცემული მთელი რიცხვები.

შეგიძლიათ იპოვოთ ორი ან მეტი მთელი რიცხვის საერთო ჯერადი.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ ორი რიცხვის საერთო ჯერადი: $2$ და $5$.

გამოსავალი.

განსაზღვრებით, $2$ და $5$-ის საერთო ჯერადი არის $10$, რადგან ეს არის $2$ და $5$-ის ჯერადი:

$2$ და $5$ რიცხვების საერთო ჯერადები ასევე იქნება $–10, 20, –20, 30, –30$ და ა.შ., რადგან ისინი ყველა იყოფა $2$-ზე და $5$-ზე.

შენიშვნა 1

ნულოვანი არის ნებისმიერი რიცხვის არა-ნულოვანი მთელი რიცხვის საერთო ჯერადი.

გაყოფის თვისებების მიხედვით, თუ გარკვეული რიცხვი არის რამდენიმე რიცხვის საერთო ჯერადი, მაშინ ნიშნის საპირისპირო რიცხვიც იქნება მოცემული რიცხვების საერთო ჯერადი. ეს ჩანს განხილული მაგალითიდან.

მოცემული მთელი რიცხვებისთვის ყოველთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მათი საერთო ჯერადი.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი.

გამოსავალი.

გაამრავლეთ მოცემული რიცხვები: $111\div 55=6105$. ადვილია იმის შემოწმება, რომ რიცხვი $6105$ იყოფა რიცხვზე $111$ და რიცხვზე $55$:

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$.

ამრიგად, $6105$ არის $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი.

უპასუხე: $111$ და $55$-ის საერთო ჯერადი არის $6105$.

მაგრამ, როგორც უკვე ვნახეთ წინა მაგალითიდან, ეს საერთო ჯერადი არ არის ერთი. სხვა საერთო ჯერადები იქნება -6105$, 12210, -12210, 61050, -61050$ და ა.შ. ამრიგად, ჩვენ მივედით შემდეგ დასკვნამდე:

შენიშვნა 2

მთელი რიცხვების ნებისმიერ სიმრავლეს აქვს საერთო ჯერადების უსასრულო რაოდენობა.

პრაქტიკაში, ისინი შემოიფარგლება მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვების (ბუნებრივი) რიცხვების საერთო ჯერადების მოძიებით, რადგან მოცემული რიცხვის ჯერადების სიმრავლეები და მისი საპირისპირო ემთხვევა.

უმცირესი საერთო მრავლობითის პოვნა

ყველაზე ხშირად, მოცემული რიცხვის ყველა ჯერადიდან გამოიყენება უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM).

განმარტება 2

მოცემული მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი საერთო ჯერადიეს ნომრები.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ რიცხვების LCM $4$ და $7$.

გამოსავალი.

იმიტომ რომ ამ რიცხვებს არ აქვთ საერთო გამყოფები, მაშინ $LCM(4,7)=28$.

უპასუხე: $LCM(4,7)=28$.

NOC-ის პოვნა NOD-ის საშუალებით

იმიტომ რომ არსებობს კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის, მისი დახმარებით შესაძლებელია გამოთვლა ორი დადებითი მთელი რიცხვის LCM:

შენიშვნა 3

მაგალითი 4

გამოთვალეთ რიცხვების LCM $232$ და $84$.

გამოსავალი.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა GCD-ის საშუალებით LCM-ის მოსაძებნად:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$

მოდით ვიპოვოთ ევკლიდური ალგორითმის გამოყენებით რიცხვების gcd $232$ და $84$:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

იმათ. $gcd (232, 84)=4$.

ვიპოვოთ $LCM (232, 84)$:

$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

უპასუხე: $NOK(232.84)=4872$.

მაგალითი 5

გამოთვალეთ $LCM (23, 46)$.

გამოსავალი.

იმიტომ რომ $46$ თანაბრად იყოფა $23$-ზე, შემდეგ $gcd(23, 46)=23$. მოდი ვიპოვოთ NOC:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

უპასუხე: $NOK(23.46)=46$.

ამრიგად, შეიძლება ჩამოყალიბდეს წესი:

შენიშვნა 4

ქვემოთ წარმოდგენილი მასალა არის თეორიის ლოგიკური გაგრძელება სტატიიდან სათაურით LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები, ურთიერთობა LCM-სა და GCD-ს შორის. აქ ჩვენ ვისაუბრებთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა (LCM), და განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ მაგალითების ამოხსნას. ჯერ ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოითვლება ორი რიცხვის LCM ამ რიცხვების GCD-ის მიხედვით. შემდეგი, განიხილეთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნაზე და ასევე ყურადღებას მივაქცევთ უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლას.

გვერდის ნავიგაცია.

უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) გამოთვლა gcd-ის მეშვეობით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ერთ-ერთი გზა ემყარება LCM-სა და GCD-ს შორის ურთიერთობას. LCM-სა და GCD-ს შორის არსებული ურთიერთობა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ცნობილი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით. შესაბამის ფორმულას აქვს ფორმა LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . განვიხილოთ LCM-ის პოვნის მაგალითები ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით.

მაგალითი.

იპოვეთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 126 და 70.

გამოსავალი.

ამ მაგალითში a=126, b=70. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულით გამოხატული კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). ანუ ჯერ უნდა ვიპოვოთ 70 და 126 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც შეგვიძლია დაწერილი ფორმულის მიხედვით გამოვთვალოთ ამ რიცხვების LCM.

იპოვეთ gcd(126, 70) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , აქედან გამომდინარე gcd(126, 70)=14 .

ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

პასუხი:

LCM(126, 70)=630.

მაგალითი.

რა არის LCM(68, 34)?

გამოსავალი.

იმიტომ რომ 68 თანაბრად იყოფა 34-ზე, შემდეგ gcd(68, 34)=34. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს საერთო ჯერადს: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

პასუხი:

LCM(68, 34)=68 .

გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითი ერგება შემდეგ წესს დადებითი მთელი რიცხვებისთვის a და b-სთვის LCM-ის საპოვნელად: თუ რიცხვი a იყოფა b-ზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის a.

LCM-ის პოვნა რიცხვების ძირითად ფაქტორებად გადაყვანით

უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის კიდევ ერთი გზა ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადაქცევას. თუ ამ რიცხვების ყველა უბრალო ფაქტორების ნამრავლს გავაკეთებთ, რის შემდეგაც ამ ნამრავლიდან გამოვრიცხავთ ყველა საერთო მარტივ ფაქტორს, რომელიც გვხვდება ამ რიცხვების გაფართოებებში, მაშინ მიღებული ნამრავლი ტოლი იქნება ამ რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს.

LCM-ის პოვნის გამოცხადებული წესი თანასწორობიდან გამომდინარეობს LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). მართლაც, a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია a და b რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორის ნამრავლის. თავის მხრივ, gcd(a, b) უდრის ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება a და b რიცხვების გაფართოებებში (რაც აღწერილია განყოფილებაში gcd-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით. ).

ავიღოთ მაგალითი. გავიგოთ, რომ 75=3 5 5 და 210=2 3 5 7 . შეადგინეთ ამ გაფართოების ყველა ფაქტორის ნამრავლი: 2 3 3 5 5 5 7 . ახლა ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხავთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც წარმოდგენილია როგორც 75 რიცხვის გაფართოებაში, ასევე 210 რიცხვის გაფართოებაში (ასეთი ფაქტორებია 3 და 5), მაშინ პროდუქტი მიიღებს 2 3 5 5 7 ფორმას. ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის 75 და 210 რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს, ანუ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

მაგალითი.

441 და 700 რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლების შემდეგ იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

გამოსავალი.

მოდით დავშალოთ რიცხვები 441 და 700 მარტივ ფაქტორებად:

ვიღებთ 441=3 3 7 7 და 700=2 2 5 5 7 .

ახლა მოდით შევადგინოთ ყველა ფაქტორი, რომელიც მონაწილეობს ამ რიცხვების გაფართოებაში: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . მოდით ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხოთ ყველა ის ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის ორივე გაფართოებაში (არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ფაქტორი - ეს არის ნომერი 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Ამგვარად, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

პასუხი:

LCM(441, 700)= 44 100 .

რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით LCM-ის პოვნის წესი შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს. თუ b რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებს a რიცხვის გაფართოების ფაქტორებს დავუმატებთ, მაშინ მიღებული ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის a და b რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს..

მაგალითად, ავიღოთ ყველა იგივე რიცხვი 75 და 210, მათი გაფართოებები მარტივ ფაქტორებად არის შემდეგი: 75=3 5 5 და 210=2 3 5 7 . 75 რიცხვის დაშლის 3, 5 და 5 ფაქტორებს ვუმატებთ 210 რიცხვის დაშლის გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 7, მივიღებთ ნამრავლს 2 3 5 5 7, რომლის ღირებულებაა LCM(75. , 210).

მაგალითი.

იპოვეთ 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.

გამოსავალი.

ჩვენ ჯერ ვიღებთ 84 და 648 რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას. ისინი ჰგავს 84=2 2 3 7 და 648=2 2 2 3 3 3 3 . 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორებს 84 რიცხვის დაშლის შედეგად ვუმატებთ 648 რიცხვის დაშლის გამოტოვებულ 2 , 3 , 3 და 3 ფაქტორებს , მივიღებთ ნამრავლს 2 2 2 3 3 3 3 7 , რომელიც უდრის 4 536-ს. ამრიგად, 84 და 648 რიცხვების სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი არის 4536.

პასუხი:

LCM(84, 648)=4 536.

სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა

სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით. გავიხსენოთ შესაბამისი თეორემა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM.

თეორემა.

მიეცით დადებითი მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , …, a k, ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი m k გვხვდება მიმდევრობით გამოთვლაში m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .

განვიხილოთ ამ თეორემის გამოყენება ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითზე.

მაგალითი.

იპოვეთ ოთხი რიცხვის LCM 140 , 9 , 54 და 250 .

გამოსავალი.

ამ მაგალითში a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

ჯერ ვიპოვით m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). ამისათვის ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით განვსაზღვრავთ gcd(140, 9) , გვაქვს 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , შესაბამისად, gcd( 140, 9)=1, საიდანაც LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . ანუ m 2 =1 260 .

ახლა ჩვენ ვიპოვით m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). გამოვთვალოთ gcd(1 260, 54) მეშვეობით, რომელიც ასევე განისაზღვრება ევკლიდეს ალგორითმით: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . შემდეგ gcd(1 260, 54)=18, საიდანაც LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . ანუ m 3 \u003d 3 780.

დარჩა საპოვნელად m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). ამისათვის ვპოულობთ GCD(3 780, 250) ევკლიდის ალგორითმის გამოყენებით: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . ამიტომ, gcd(3 780, 250)=10, საიდანაც gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . ანუ, m 4 \u003d 94 500.

ასე რომ, თავდაპირველი ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 94500.

პასუხი:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ხშირ შემთხვევაში, სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი მოხერხებულად არის ნაპოვნი მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, შემდეგი წესი უნდა დაიცვან. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ტოლია ნამრავლის, რომელიც შედგება შემდეგნაირად: მეორე რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებული ფაქტორები ემატება პირველი რიცხვის გაფართოების ყველა ფაქტორს, გამოტოვებული ფაქტორები გაფართოებიდან. მიღებულ ფაქტორებს ემატება მესამე რიცხვი და ა.შ.

განვიხილოთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითი რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის გამოყენებით.

მაგალითი.

იპოვეთ ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

გამოსავალი.

ჯერ ვიღებთ ამ რიცხვების გაფართოებებს მარტივ ფაქტორებად: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 უბრალო ფაქტორებად) და 143=11 13 .

ამ რიცხვების LCM-ის საპოვნელად, პირველი რიცხვის 84-ის ფაქტორებს (ისინი არის 2, 2, 3 და 7) თქვენ უნდა დაამატოთ დაკარგული ფაქტორები მეორე რიცხვ 6-ის გაფართოებიდან. რიცხვი 6-ის გაფართოება არ შეიცავს გამოტოვებულ ფაქტორებს, რადგან 2 და 3 უკვე წარმოდგენილია პირველი რიცხვის 84-ის გაფართოებაში. 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორების შემდეგ ვამატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მესამე ნომრის გაფართოებიდან 48 , მივიღებთ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 და 7 ფაქტორების ერთობლიობას . არ არის საჭირო ამ ნაკრებისთვის ფაქტორების დამატება შემდეგ ეტაპზე, რადგან მასში 7 უკვე შედის. და ბოლოს, 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ 11 და 13 ფაქტორებს 143 რიცხვის გაფართოებიდან. ვიღებთ ნამრავლს 2 2 2 2 3 7 11 13, რომელიც უდრის 48 048-ს.

უდიდესი საერთო გამყოფი

განმარტება 2

თუ ნატურალური რიცხვი a იყოფა ნატურალურ რიცხვზე $b$, მაშინ $b$-ს ეწოდება $a$-ის გამყოფი, ხოლო $a$ რიცხვს ეწოდება $b$-ის ჯერადი.

დაე, $a$ და $b$ იყოს ნატურალური რიცხვები. რიცხვს $c$ ეწოდება საერთო გამყოფი როგორც $a$, ასევე $b$.

$a$ და $b$ რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლე სასრულია, რადგან არცერთი ეს გამყოფი არ შეიძლება იყოს $a$-ზე მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ამ გამყოფებს შორის არის ყველაზე დიდი, რომელსაც უწოდებენ $a$ და $b$ რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფს და მის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა:

$gcd \ (a;b) \\ ან \ D \ (a;b)$

ორი რიცხვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნა:

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

მაგალითი 1

იპოვეთ რიცხვების gcd $121$ და $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

აირჩიეთ რიცხვები, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$gcd=2\cdot 11=22$

მაგალითი 2

იპოვეთ მონომების GCD $63$ და $81$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის:

მოდით დავშალოთ რიცხვები მარტივ ფაქტორებად

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ჩვენ ვირჩევთ ნომრებს, რომლებიც შედის ამ რიცხვების გაფართოებაში

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ვიპოვოთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

$gcd=3\cdot 3=9$

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ორი რიცხვის GCD სხვა გზით, რიცხვების გამყოფთა სიმრავლის გამოყენებით.

მაგალითი 3

იპოვეთ რიცხვების gcd $48$ და $60$.

გამოსავალი:

იპოვეთ $48$-ის გამყოფების სიმრავლე: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

ახლა ვიპოვოთ გამყოფების სიმრავლე $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$$

ვიპოვოთ ამ სიმრავლეთა კვეთა: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - ეს ნაკრები განსაზღვრავს $48$ და $60 რიცხვების საერთო გამყოფთა სიმრავლეს. $. ამ ნაკრების ყველაზე დიდი ელემენტი იქნება რიცხვი $12$. ასე რომ, $48$ და $60$-ის უდიდესი საერთო გამყოფი არის $12$.

NOC-ის განმარტება

განმარტება 3

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი$a$ და $b$ არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის $a$ და $b$-ის ჯერადი.

რიცხვების საერთო ჯერადები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა ორიგინალზე ნაშთის გარეშე. მაგალითად, რიცხვებისთვის $25$ და $50$, საერთო ჯერადები იქნება რიცხვები $50,100,150,200$ და ა.შ.

უმცირეს საერთო ჯერადს ეწოდება უმცირესი საერთო ჯერადი და აღინიშნება LCM$(a;b)$ ან K$(a;b).$-ით.

ორი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად დაგჭირდებათ:

რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად
ჩამოწერეთ პირველი რიცხვის შემადგენელი ფაქტორები და დაუმატეთ მეორეს შემადგენელი ფაქტორები და არ გადადით პირველზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ რიცხვების LCM $99$ და $77$.

ჩვენ ვიპოვით წარმოდგენილი ალგორითმის მიხედვით. Ამისთვის

რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად

$99=3\cdot 3\cdot 11$

დაწერეთ პირველში შემავალი ფაქტორები

დაუმატეთ მათ ფაქტორები, რომლებიც მეორეს ნაწილია და არ მიდის პირველზე

იპოვეთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნი რიცხვების ნამრავლი. შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

რიცხვების გამყოფთა სიების შედგენა ხშირად ძალიან შრომატევადია. არსებობს გზა, რომ იპოვოთ GCD, რომელსაც ეწოდება ევკლიდის ალგორითმი.

განცხადებები, რომლებზეც დაფუძნებულია ევკლიდეს ალგორითმი:

თუ $a$ და $b$ ნატურალური რიცხვებია და $a\vdots b$, მაშინ $D(a;b)=b$

თუ $a$ და $b$ ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-ის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევამციროთ განსახილველი რიცხვები, სანამ არ მივაღწევთ რიცხვების წყვილს ისე, რომ ერთი მათგანი იყოფა მეორეზე. მაშინ ამ რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი $a$ და $b$ რიცხვებისთვის.

GCD და LCM-ის თვისებები

$a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა K$(a;b)$-ზე
თუ $a\vdots b$, მაშინ K$(a;b)=a$

თუ K$(a;b)=k$ და $m$-ბუნებრივი რიცხვი, მაშინ K$(am;bm)=km$

თუ $d$ არის $a$-ისა და $b$-ის საერთო გამყოფი, მაშინ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

თუ $a\vdots c$ და $b\vdots c$ , მაშინ $\frac(ab)(c)$ არის $a$ და $b$-ის საერთო ჯერადი.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$ ტოლობა

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$-ისა და $b$-ის ნებისმიერი საერთო გამყოფი არის $D(a;b)$-ის გამყოფი