ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა. ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა: ძირითადი მეთოდები

უმრავლესობის გადაწყვეტილება მათემატიკური ამოცანებიგარკვეულწილად დაკავშირებულია რიცხვითი, ალგებრული ან ფუნქციური გამოსახულებების ტრანსფორმაციასთან. ზემოაღნიშნული განსაკუთრებით ეხება გადაწყვეტილებას. მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვერსიებში ამ ტიპის პრობლემა მოიცავს, კერძოდ, დავალებას C3. C3 ამოცანების ამოხსნის სწავლა მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ მიზნისთვის წარმატებული დასრულებაერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, არამედ იმ მიზეზით, რომ ეს უნარი გამოადგება უმაღლეს სკოლაში მათემატიკის კურსის შესწავლისას.

C3 დავალებების შესრულებისას თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ განსხვავებული სახეობებიგანტოლებები და უტოლობა. მათ შორისაა რაციონალური, ირაციონალური, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, შემცველი მოდულები ( აბსოლუტური ღირებულებები), ისევე როგორც კომბინირებული. ამ სტატიაში განხილულია ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების ძირითადი ტიპები, აგრეთვე სხვადასხვა მეთოდებიმათი გადაწყვეტილებები. წაიკითხეთ სხვა ტიპის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის შესახებ "" განყოფილებაში, სტატიებში, რომლებიც ეძღვნება C3 ამოცანების ამოხსნის მეთოდებს მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან.

სანამ კონკრეტულ ანალიზს დავიწყებთ ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა, როგორც მათემატიკის დამრიგებელს, გირჩევთ გაეცნოთ თეორიულ მასალას, რომელიც დაგვჭირდება.

ექსპონენციალური ფუნქცია

რა არის ექსპონენციალური ფუნქცია?

ფორმის ფუნქცია წ = ნაჯახი, სად ა> 0 და ა≠ 1 ეწოდება ექსპონენციალური ფუნქცია.

ძირითადი ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები წ = ნაჯახი:

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი არის ექსპონენტი:

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები (ექსპონენტები)

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა

საჩვენებელიეწოდება განტოლებებს, რომლებშიც უცნობი ცვლადი გვხვდება მხოლოდ ზოგიერთი სიძლიერის მაჩვენებლებში.

გადაწყვეტილებისთვის ექსპონენციალური განტოლებებითქვენ უნდა იცოდეთ და შეძლოთ შემდეგი მარტივი თეორემას გამოყენება:

თეორემა 1. ექსპონენციალური განტოლება ა ვ(x) = ა გ(x) (სად ა > 0, ა≠ 1) განტოლების ტოლფასია ვ(x) = გ(x).

გარდა ამისა, სასარგებლოა დამახსოვრება ძირითადი ფორმულები და ოპერაციები გრადუსით:

Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულებს და ჩანაცვლებას:

შემდეგ განტოლება ხდება:

მიღებული კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი დადებითია:

Title="წარმოებულია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ჩვენ ვპოულობთ მათ:

საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას მივიღებთ:

მეორე განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად დადებითია განსაზღვრების მთელ დომენში. გადავწყვიტოთ მეორე:

თეორემა 1-ში ნათქვამის გათვალისწინებით, გადავდივართ ეკვივალენტურ განტოლებაზე: x= 3. ეს იქნება ამოცანის პასუხი.

პასუხი: x = 3.

მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:განტოლებას არ აქვს შეზღუდვები დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონზე, რადგან რადიკალური გამოხატულება აზრი აქვს ნებისმიერ მნიშვნელობას x(ექსპონენციალური ფუნქცია წ = 9 4 -xდადებითი და არა ტოლი ნულის).

განტოლებას ვხსნით ეკვივალენტური გარდაქმნებით, ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესების გამოყენებით:

ბოლო გადასვლა განხორციელდა თეორემა 1-ის შესაბამისად.

პასუხი:x= 6.

მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ორიგინალური განტოლების ორივე მხარე შეიძლება დაიყოს 0.2-ზე x. ეს გარდამავალი იქნება ეკვივალენტური, რადგან ეს გამოხატულება ნულზე მეტია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x(ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად დადებითია მისი განმარტების დომენში). შემდეგ განტოლება იღებს ფორმას:

პასუხი: x = 0.

მაგალითი 4.ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ჩვენ ვამარტივებთ განტოლებას ელემენტარულს ეკვივალენტური გარდაქმნების საშუალებით, სტატიის დასაწყისში მოცემული ძალაუფლების გაყოფისა და გამრავლების წესების გამოყენებით:

განტოლების ორივე მხარის გაყოფა 4-ზე x, როგორც წინა მაგალითში, არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, რადგან ეს გამოხატულება არ არის ნულის ტოლი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x.

პასუხი: x = 0.

მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ფუნქცია წ = 3xგანტოლების მარცხენა მხარეს მდგომი, იზრდება. ფუნქცია წ = —xგანტოლების მარჯვენა მხარეს -2/3 მცირდება. ეს ნიშნავს, რომ თუ ამ ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება, მაშინ მაქსიმუმ ერთი წერტილი. ამ შემთხვევაში, ადვილი მისახვედრია, რომ გრაფიკები იკვეთება წერტილში x= -1. სხვა ფესვები არ იქნება.

პასუხი: x = -1.

მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:ჩვენ ვამარტივებთ განტოლებას ეკვივალენტური გარდაქმნების საშუალებით, ყველგან მხედველობაში გვაქვს, რომ ექსპონენციალური ფუნქცია მკაცრად აღემატება ნულს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის xდა სტატიის დასაწყისში მოცემული პროდუქციისა და სიმძლავრის კოეფიციენტის გამოთვლის წესების გამოყენებით:

პასუხი: x = 2.

ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა

საჩვენებელიეწოდება უტოლობები, რომლებშიც უცნობი ცვლადი შეიცავს მხოლოდ ზოგიერთი სიძლიერის მაჩვენებლებს.

გადაწყვეტილებისთვის ექსპონენციური უტოლობები საჭიროა შემდეგი თეორემის ცოდნა:

თეორემა 2.თუ ა> 1, შემდეგ უტოლობა ა ვ(x) > ა გ(x) უდრის იგივე მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) > გ(x). თუ 0< ა < 1, то показательное неравенство ა ვ(x) > ა გ(x) უდრის საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) < გ(x).

მაგალითი 7.ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:წარმოგიდგენთ თავდაპირველ უტოლობას სახით:

მოდით გავყოთ ამ უტოლობის ორივე მხარე 3 2-ზე x, ამ შემთხვევაში (ფუნქციის პოზიტიურობის გამო წ= 3 2x) უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება:

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლება:

მაშინ უტოლობა მიიღებს ფორმას:

ასე რომ, უტოლობის გამოსავალი არის ინტერვალი:

საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადავდივართ, მივიღებთ:

ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო მარცხენა უტოლობა ავტომატურად კმაყოფილდება. ლოგარითმის კარგად ცნობილი თვისების გამოყენებით გადავდივართ ეკვივალენტურ უტოლობაზე:

ვინაიდან ხარისხის საფუძველი არის ერთზე მეტი რიცხვი, ექვივალენტი (თეორემა 2-ით) არის გადასვლა შემდეგ უტოლობაზე:

ასე რომ, ჩვენ საბოლოოდ მივიღებთ პასუხი:

მაგალითი 8.ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ხელახლა ვწერთ უტოლობას სახით:

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:

ამ ჩანაცვლების გათვალისწინებით, უტოლობა იღებს ფორმას:

წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის 7-ზე გამრავლებით მივიღებთ შემდეგ ეკვივალენტურ უტოლობას:

ასე რომ, ცვლადის შემდეგი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს უთანასწორობას ტ:

შემდეგ, საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას, ვიღებთ:

ვინაიდან ხარისხის საფუძველი აქ ერთზე მეტია, უტოლობაზე გადასვლა ექვივალენტური იქნება (თეორემა 2-ით):

ბოლოს მივიღებთ პასუხი:

მაგალითი 9.ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:

ჩვენ ვყოფთ უტოლობის ორივე მხარეს გამოსახულებით:

ის ყოველთვის მეტია ნულზე (ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო), ამიტომ არ არის საჭირო უტოლობის ნიშნის შეცვლა. ჩვენ ვიღებთ:

t მდებარეობს ინტერვალში:

საპირისპირო ჩანაცვლებაზე გადასვლისას აღმოვაჩენთ, რომ თავდაპირველი უტოლობა ორ შემთხვევად იყოფა:

პირველ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები ექსპონენციალური ფუნქციის პოზიტიურობის გამო. გადავწყვიტოთ მეორე:

მაგალითი 10.ამოხსენით უტოლობა:

გამოსავალი:

პარაბოლას ტოტები წ = 2x+2-x 2 მიმართულია ქვევით, ამიტომ ის ზემოდან შემოიფარგლება იმ მნიშვნელობით, რომელსაც აღწევს თავის წვეროზე:

პარაბოლას ტოტები წ = x 2 -2xინდიკატორში +2 მიმართულია ზემოთ, რაც იმას ნიშნავს, რომ ის ქვემოდან შემოიფარგლება იმ მნიშვნელობით, რომელსაც იგი აღწევს თავის წვეროზე:

ამავდროულად, ფუნქციაც ქვემოდან შემოსაზღვრული აღმოჩნდება წ = 3 x 2 -2x+2, რომელიც არის განტოლების მარჯვენა მხარეს. ის აღწევს თავის უმცირეს მნიშვნელობას იმავე წერტილში, როგორც პარაბოლა ექსპონენტში, და ეს მნიშვნელობა არის 3 1 = 3. ასე რომ, საწყისი უტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუნქცია მარცხნივ და ფუნქცია მარჯვნივ მიიღებს მნიშვნელობას. 3-ის ტოლია (ამ ფუნქციების მნიშვნელობების დიაპაზონის კვეთა მხოლოდ ეს რიცხვია). ეს პირობა დაკმაყოფილებულია ერთ წერტილში x = 1.

პასუხი: x= 1.

იმისათვის, რომ ვისწავლოთ გადაწყვეტილების მიღება ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები,აუცილებელია მუდმივად ვარჯიში მათ გადაჭრაში. ამ რთულ ამოცანაში სხვადასხვა რამ დაგეხმარებათ. მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელოები, პრობლემური წიგნები დაწყებით მათემატიკაში, საკონკურსო ამოცანების კრებულები, მათემატიკის გაკვეთილები სკოლაში, ასევე ინდივიდუალური გაკვეთილები პროფესიონალ დამრიგებელთან. გულწრფელად გისურვებთ წარმატებებს მომზადებაში და გამოცდაში შესანიშნავ შედეგებს.

სერგეი ვალერიევიჩი

P.S. ძვირფასო სტუმრებო! გთხოვთ, კომენტარებში არ დაწეროთ მოთხოვნები თქვენი განტოლებების ამოხსნის შესახებ. სამწუხაროდ, ამის დრო აბსოლუტურად არ მაქვს. ასეთი შეტყობინებები წაიშლება. გთხოვთ წაიკითხოთ სტატია. ალბათ მასში იპოვით პასუხებს კითხვებზე, რომლებიც არ გაძლევთ საშუალებას დამოუკიდებლად გადაჭრათ თქვენი ამოცანა.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ სხვადასხვა ექსპონენციალურ უტოლობას და ვისწავლით როგორ ამოხსნათ ისინი უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნის ტექნიკის საფუძველზე.

1. ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და თვისებები

გავიხსენოთ ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და ძირითადი თვისებები. ყველა ექსპონენციალური განტოლებისა და უტოლობის ამოხსნა ემყარება ამ თვისებებს.

ექსპონენციალური ფუნქციაარის ფორმის ფუნქცია, სადაც საფუძველი არის ხარისხი და x არის დამოუკიდებელი ცვლადი, არგუმენტი; y არის დამოკიდებული ცვლადი, ფუნქცია.

ბრინჯი. 1. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

გრაფიკზე ნაჩვენებია მზარდი და კლებადი მაჩვენებლები, რაც ასახავს ექსპონენციალურ ფუნქციას ერთზე მეტი და ერთზე ნაკლები, მაგრამ ნულზე მეტი ფუძით, შესაბამისად.

ორივე მრუდი გადის წერტილში (0;1)

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები:

დომენი: ;

მნიშვნელობების დიაპაზონი: ;

ფუნქცია მონოტონურია, იზრდება ერთად, მცირდება.

მონოტონური ფუნქცია იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას ერთი არგუმენტის მნიშვნელობით.

როდესაც, როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია იზრდება ნულიდან პლიუს უსასრულობამდე, ანუ არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობებისთვის გვაქვს მონოტონურად მზარდი ფუნქცია (). პირიქით, როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია მცირდება უსასრულობიდან ნულის ჩათვლით, ანუ არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობებისთვის გვაქვს მონოტონურად კლებადი ფუნქცია ().

2. უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობები, ამოხსნის მეთოდი, მაგალითი

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, წარმოგიდგენთ მარტივი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნის მეთოდს:

უტოლობების ამოხსნის ტექნიკა:

გრადუსების საფუძვლების გათანაბრება;

შეადარეთ ინდიკატორები უთანასწორობის ნიშნის შენარჩუნებით ან საპირისპიროდ შეცვლით.

რთული ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა ჩვეულებრივ მოიცავს მათ უმარტივეს ექსპონენციალურ უტოლობამდე შემცირებას.

ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, რაც ნიშნავს, რომ უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:

მოდით გარდავქმნათ მარჯვენა მხარეხარისხის თვისებების მიხედვით:

ხარისხის საფუძველი ერთზე ნაკლებია, უთანასწორობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს:

კვადრატული უტოლობის ამოსახსნელად ჩვენ ვხსნით შესაბამის კვადრატულ განტოლებას:

ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვიპოვით ფესვებს:

პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს უთანასწორობის გამოსავალი:

ადვილი მისახვედრია, რომ მარჯვენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით:

ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, უთანასწორობის ნიშანი არ იცვლება, ვიღებთ:

გავიხსენოთ ასეთი უტოლობების ამოხსნის ტექნიკა.

განვიხილოთ წილადი-რაციონალური ფუნქცია:

ჩვენ ვპოულობთ განმარტების დომენს:

ფუნქციის ფესვების პოვნა:

ფუნქციას აქვს ერთი ფესვი,

ჩვენ ვირჩევთ მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს და ვადგენთ ფუნქციის ნიშნებს თითოეულ ინტერვალზე:

ბრინჯი. 2. ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები

ასე მივიღეთ პასუხი.

პასუხი:

3. სტანდარტული ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა

განვიხილოთ უტოლობები ერთი და იგივე მაჩვენებლებით, მაგრამ განსხვავებული საფუძვლებით.

ექსპონენციალური ფუნქციის ერთ-ერთი თვისება ის არის, რომ არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ის იღებს მკაცრად დადებით მნიშვნელობებს, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაიყოს ექსპონენციალურ ფუნქციად. მოცემული უტოლობა გავყოთ მის მარჯვენა მხარეს:

ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია.

მოდით ილუსტრაციულად წარმოვადგინოთ გამოსავალი:

სურათი 6.3 გვიჩვენებს ფუნქციების გრაფიკებს და . ცხადია, როცა არგუმენტი ნულზე მეტია, ფუნქციის გრაფიკი უფრო მაღალია, ეს ფუნქცია უფრო დიდია. როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობები უარყოფითია, ფუნქცია უფრო დაბალია, ის უფრო მცირეა. თუ არგუმენტი ტოლია, ფუნქციები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ეს წერტილიც არის მოცემული უტოლობის ამოხსნა.

ბრინჯი. 3. ილუსტრაცია მაგალითად 4

მოდით გადავცვალოთ მოცემული უტოლობა ხარისხის თვისებების მიხედვით:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი ტერმინი:

მოდით გავყოთ ორივე ნაწილი:

ახლა ჩვენ ვაგრძელებთ ამოხსნას მე-4 მაგალითის მსგავსად, გავყოთ ორივე ნაწილი:

ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, უთანასწორობის ნიშანი რჩება:

4. ექსპონენციალური უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა

მაგალითი 6 - უტოლობის ამოხსნა გრაფიკულად:

მოდით შევხედოთ ფუნქციებს მარცხენა და მარჯვენა მხარეს და ავაშენოთ გრაფიკი თითოეული მათგანისთვის.

ფუნქცია ექსპონენციალურია და იზრდება მისი განმარტების მთელ დომენზე, ანუ არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის.

ფუნქცია წრფივია და მცირდება მისი განმარტების მთელ დომენზე, ანუ არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის.

თუ ეს ფუნქციები იკვეთება, ანუ სისტემას აქვს გამოსავალი, მაშინ ასეთი გამოსავალი უნიკალურია და ადვილად მისახვედრია. ამისათვის ჩვენ ვიმეორებთ მთელ რიცხვებზე ()

ადვილი მისახვედრია, რომ ამ სისტემის საფუძველია:

ამრიგად, ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება წერტილში ერთის ტოლი არგუმენტით.

ახლა პასუხი უნდა მივიღოთ. მოცემული უტოლობის მნიშვნელობა არის ის, რომ მაჩვენებელი უნდა იყოს მეტი ან ტოლი წრფივ ფუნქციაზე, ანუ იყოს უფრო მაღალი ან ემთხვევა მას. პასუხი აშკარაა: (სურათი 6.4)

ბრინჯი. 4. ილუსტრაცია მაგალითად 6

ასე რომ, ჩვენ გადავხედეთ სხვადასხვა სტანდარტული ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნას. შემდეგ ჩვენ გადავდივართ უფრო რთული ექსპონენციალური უტოლობების განხილვაზე.

ბიბლიოგრაფია

Mordkovich A.G. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. - მ.: მნემოსინე. Muravin G. K., Muravin O. V. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. - მ.: ბუსტარდი. კოლმოგოროვი A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn P. et al. და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი - მ.: განმანათლებლობა.

Მათემატიკა. მდ. მათემატიკა-გამეორება. com. დიფური. კემსუ. ru.

Საშინაო დავალება

1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, კლასები 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. ამოხსენით უტოლობა:

3. უტოლობის ამოხსნა.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „ექსპონენციალური განტოლებები და ექსპონენციალური უტოლობა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-11 კლასისთვის
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 9-11 კლასებისთვის "ტრიგონომეტრია"
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 10-11 კლასებისთვის "ლოგარითმები"

ექსპონენციალური განტოლებების განმარტება

ბიჭებო, ჩვენ შევისწავლეთ ექსპონენციალური ფუნქციები, ვისწავლეთ მათი თვისებები და ავაშენეთ გრაფიკები, გავაანალიზეთ განტოლებების მაგალითები, რომლებშიც აღმოჩნდა ექსპონენციალური ფუნქციები. დღეს ჩვენ შევისწავლით ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობას.

განმარტება. ფორმის განტოლებები: $a^(f(x))=a^(g(x))$, სადაც $a>0$, $a≠1$ ეწოდება ექსპონენციალურ განტოლებებს.

გავიხსენოთ თეორემები, რომლებიც შევისწავლეთ თემაზე „ექსპონენციალური ფუნქცია“, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ახალი თეორემა:
თეორემა. ექსპონენციალური განტოლება $a^(f(x))=a^(g(x))$, სადაც $a>0$, $a≠1$ უდრის $f(x)=g(x) განტოლებას. $.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები

მაგალითი.
განტოლებების ამოხსნა:
ა) $3^(3x-3)=27$.
ბ) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
გ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
გამოსავალი.
ა) ჩვენ კარგად ვიცით, რომ $27=3^3$.
მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება: $3^(3x-3)=3^3$.
ზემოთ მოყვანილი თეორემის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ ჩვენი განტოლება მცირდება $3x-3=3$ განტოლებამდე, მივიღებთ $x=2$;
პასუხი: $x=2$.

ბ) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
მაშინ ჩვენი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
პასუხი: $x=0$.

გ) თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ და $x_2=-3$.
პასუხი: $x_1=6$ და $x_2=-3$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
გამოსავალი:
მოდით შევასრულოთ მოქმედებების სერია თანმიმდევრულად და მივიყვანოთ ჩვენი განტოლების ორივე მხარე იმავე ფუძემდე.
მოდით შევასრულოთ რამდენიმე ოპერაცია მარცხენა მხარეს:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
მოდით გადავიდეთ მარჯვენა მხარეს:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
პასუხი: $x=0$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
გამოსავალი:
მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
მოდით შევცვალოთ ცვლადები, მოდით $a=3^x$.
ახალში ცვლადი განტოლებამიიღებს ფორმას: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ და $a_2=3$.
მოდით შევასრულოთ ცვლადების საპირისპირო ცვლილება: $3^x=-12$ და $3^x=3$.
ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ, რომ ექსპონენციალურ გამონათქვამებს შეუძლიათ მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება, დაიმახსოვრე გრაფიკი. ეს ნიშნავს, რომ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, მეორე განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი: $x=1$.
პასუხი: $x=1$.

მოდით შევახსენოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები:
1. გრაფიკული მეთოდი.განტოლების ორივე მხარეს წარმოვადგენთ ფუნქციების სახით და ვაშენებთ მათ გრაფიკებს, ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებს. (ეს მეთოდი გამოვიყენეთ ბოლო გაკვეთილზე).
2. ინდიკატორთა თანასწორობის პრინციპი.პრინციპი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ ორი გამონათქვამი ერთად იმავე საფუძვლითტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ფუძეების გრადუსები (ინდიკატორები) ტოლია. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.ეს მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული, თუ განტოლება, ცვლადების ჩანაცვლებისას, ამარტივებს მის ფორმას და ბევრად უფრო ადვილი ამოსახსნელია.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა: $\begin (შემთხვევები) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \დასრულება (შემთხვევები)$.
გამოსავალი.
განვიხილოთ სისტემის ორივე განტოლება ცალ-ცალკე:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
განვიხილოთ მეორე განტოლება:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
გამოვიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი, მოდით $y=2^(x+y)$.
შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ და $y_2=-3$.
გადავიდეთ საწყის ცვლადებზე, პირველი განტოლებიდან მივიღებთ $x+y=2$. მეორე განტოლებას ამონახსნები არ აქვს. მაშინ ჩვენი საწყისი განტოლებათა სისტემა ექვივალენტურია სისტემის: $\begin (შემთხვევები) x+3y=0, \\ x+y=2. \დასრულება (შემთხვევები)$.
გამოვაკლოთ მეორე პირველ განტოლებას, მივიღებთ: $\begin (შემთხვევები) 2y=-2, \\ x+y=2. \დასრულება (შემთხვევები)$.
$\ დასაწყისი (შემთხვევები) y=-1, \\ x=3. \დასრულება (შემთხვევები)$.
პასუხი: $(3;-1)$.

ექსპონენციური უტოლობები

მოდით გადავიდეთ უთანასწორობაზე. უტოლობების ამოხსნისას საჭიროა ყურადღება მიაქციოთ ხარისხის საფუძველს. უტოლობების ამოხსნისას მოვლენების განვითარების ორი შესაძლო სცენარი არსებობს.

თეორემა. თუ $a>1$, მაშინ ექსპონენციალური უტოლობა $a^(f(x))>a^(g(x))$ უდრის $f(x)>g(x)$ უტოლობას.
თუ $0 a^(g(x))$ უდრის $f(x) უტოლობას

მაგალითი.
უტოლობების ამოხსნა:
ა) $3^(2x+3)>81$.
ბ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) გ) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
გამოსავალი.
ა) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
ჩვენი უტოლობა უდრის უთანასწორობას:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

ბ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ჩვენს განტოლებაში ფუძეა, როდესაც ხარისხი არის 1-ზე ნაკლები, მაშინ უტოლობის ეკვივალენტით ჩანაცვლებისას აუცილებელია ნიშნის შეცვლა.
$2x-4>2$.
$x>3$.

გ) ჩვენი უტოლობა უდრის უტოლობას:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალის ამოხსნის მეთოდი:
პასუხი: $(-∞;-5]U)