Как измерить прямой угол. Измерения и построение углов при проведении различных работ. Золотой египетский треугольник

Посмотрите на картинку. (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Из каких знакомых вам геометрических фигур она состоит?

Конечно, вы увидели, что картинка состоит из треугольников и прямоугольников. Какое слово спряталось в названии обеих этих фигур? Это слово - угол (рис. 2).

Рис. 2. Определение угла

Сегодня мы будем учиться чертить прямой угол.

В названии этого угла уже есть слово «прямой». Чтобы правильно изобразить прямой угол, нам понадобится угольник. (Рис. 3)

Рис. 3. Угольник

В самом угольнике уже есть прямой угол. (Рис. 4)

Рис. 4. Прямой угол

Он и поможет нам изобразить эту геометрическую фигуру.

Чтобы правильно изобразить фигуру, мы должны приложить угольник к плоскости (1), обвести его стороны (2), назвать вершину угла (3) и лучи (4).

Давайте определим, есть ли среди имеющихся углов прямые (Рис. 5). В этом нам поможет угольник.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Найдем прямой угол угольника и приложим его к имеющимся углам (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что прямой угол совпал с углом ВОМ. Это значит, что угол ВОМ прямой. Проделаем эту же операцию еще раз. (Рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что прямой угол нашего угольника не совпал с углом СOD. Это значит, что угол COD не прямой. Еще раз приложим прямой угол угольника к углу АОТ. (Рис. 8)

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что угол АОТ гораздо больше, чем прямой угол. Это значит, что угол АОТ не является прямым.

На этом уроке мы учились строить прямой угол с помощью угольника.

Слово «угол» дало название многим вещам, а также геометрическим фигурам: прямоугольник, треугольник, угольнику, с помощью которого можно начертить прямой угол.

Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех углов. Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным треугольником.

Часто домашнему мастеру необходимо срочно произвести какое либо измерение или сделать разметку под определенным углом, а под рукой нет либо угольника, либо транспортира. В этом случае его выручат несколько простых правил.

Угол 90 градусов.

Если нужно срочно построить прямой угол, а угольника нет, можно воспользоваться любым печатным изданием. Угол бумажного листа — очень точный прямой угол (90 град.). Резательные (вырубочные) машины в типографиях настроены очень точно. Иначе исходный рулон бумаги начнет резаться вкривь и вкось. Поэтому вы можете быть уверены, что этот угол — именно прямой.

А если нет даже печатного издания или необходимо построить угол на местности, например при разметке фундамента или листа фанеры с неровными краями? В этом случае нам поможет правило золотого (или египетского) треугольника.

Золотым (или египетским, или Пифагоровым) треугольником называется треугольник со сторонами, которые соотносятся друг с другом как 5:4:3. По теореме Пифагора, у прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. 5х5 = 4х4 + 3х3. 25=16+9 и это неоспоримо.

Поэтому для построения прямого угла достаточно на заготовке провести прямую линию длиной 5 (10,15,20 и т.д. кратной 5 см). А затем, из краев этой линии начать отмерять с одной стороны 4 (8,12,16 и т.д кратно 4 см), а с другой — 3 (6,9,12,15 и т.д. кратно 3 см) расстояния. Должны получиться дуги с радиусом 4 и 3 см. Где эти дуги пересекутся между собой и будет прямой (90 градусов) угол.

Угол 45 градусов.

Такие углы обычно применяют при изготовлении прямоугольных рамок. Материал из которого делается рамка (багет) пилится под углом 45 градусов и стыкуется. Если под рукой нет стусла или транспортира, получить шаблон угла в 45 градусов можно следующим образом. Необходимо взять лист писчей бумаги или любого печатного издания и согнуть его так, что бы линия сгиба проходила точно через угол, а края загнутого листа совпадали. Получившийся угол и будет равен 45 градусам.

Угол 30 и 60 градусов.

Угол в 60 градусов требуется для построения равносторонних треугольников. Например, вам надо напилить такие треугольники для декоративных работ или точно установить силовой укос. Угол в 30 градусов редко применяется в чистом виде. Однако с его помощью (и с помощью угла в 90 градусов) строится угол 120 градусов. А это угол, необходимый для построения равносторонних шестиугольников, фигуры весьма популярной у столяров.

Для построения весьма точного шаблона этих углов в любой момент необходимо запомнить константу (число) 173. Они вытекает из соотношений синусов и косинусов этих углов.

Возьмите лист бумаги из любого печатного издания. Его угол равен точно 90 градусам. От угла по одной стороне отмерьте 100 мм (10 см.), а по другой — 173 мм (17,3 см). Соедините эти точки. Таким образом мы и получили шаблон, у которого один угол 90 градусов, один 30 градусов и один 60 градусов. Можете проверить на транспортире — все точно!

Запомните это число — 173, и вы всегда сможете построить углы в 30 и 60 градусов.

Прямоугольность заготовки.

При разметке заготовок или построений на деталях кроме самих углов весьма важно и их соотношение. Особенно это важно при изготовлении прямоугольных деталей или например при разметке фундамента, раскрое больших листов материала. Неправильное построение или разметка приносит впоследствии много лишней работы или к появлению большого числа отходов.

К сожалению, даже весьма точные разметочные инструменты, даже профессиональные, всегда имеют определенную погрешность.

Между тем, существует весьма простой метод определения прямоугольности детали или построения. В прямоугольнике диагонали абсолютно равны! Значит, после построения необходимо измерить длины диагоналей прямоугольника. Если они равны, все в порядке, это действительно прямоугольник. А если нет — вы построили параллелограмм или ромб. В этом случае следует немного «поиграть» смежными сторонами, что бы добиться точного (для данного случая) равенства диагоналей размечаемого прямоугольника.

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре - прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол - это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол - это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие - он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла - от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных - острого, тупого, прямого и развернутого - в геометрии существует много других их видов.

Прямой угол между стенами необходим довольно часто. Например, чтобы грамотно установить ванну, кухонную мойку или стол. Но большинство людей просто не берут в расчет такую необходимость, а потом жалеют, когда между ванной и стеной возникает сантиметровая щель. Также непрямой угол выявляется по напольной плитке, когда подрезка по бокам получается разной. А бывают ситуации и еще хуже. Поэтому отнеситесь к данному материалу со всей серьезностью.

Строители, возводящие современные дома, вопреки мнению большинства, не заботятся о близости углов в квартирах к 90 градусам. Им важен только объем работы, а часто им даже не дают никакого измерительного . Только мастерок, да полутерок. «Ваяй, Ровшан!»

Как сделать прямой угол между стенами после такой халтуры? Здесь есть два варианта: либо мы штукатурим по маякам, либо выравниваем стены гипсокартоном. И если во втором случае никаких сложностей возникнуть не должно – просто крутим профили по угольнику, то с все немного сложнее. Кстати, вариант «да я плиткой все выровняю» тоже не прокатит. Практика показывает, что все те, кто пытается сделать прямой угол путем плавного наращивания слоя плиточного клея, неизменно косячат. Причем и угол у них прямой не получается, и плитка лежит криво. Если вы нашли в себе силы и смелость штукатурить по маякам, то без проблем сможете сделать идеальный прямой угол. На который совершенно спокойно уложите плитку «под гребенку».

Первый основополагающий принцип штукатурки под прямой угол – сначала штукатурим одну стену обычным образом.

Обычно самую длинную. Целиком. Гораздо проще и быстрее строить угол уже от готовой плоскости.

Что дальше? Вам понадобятся два штукатурных правила. Желательно длиной во всю стену. Часто ванные имеют размеры в районе 175х175, так что, в таком случае, берете две «двушки» и болгаркой или ножовкой укорачиваете их.

Предположим, что одну стену вы уже оштукатурили в идеале. А смежная имеет размеры 175х275 см. В этом случае понадобятся два маяка. Размечаем их. Все как положено, на расстоянии 30 см от стен. Но здесь есть один важный нюанс. Пара нижних саморезов должна находиться строго в одном уровне. Соответственно, пара верхних – тоже. Немного позже узнаете, почему. И еще рекомендуется отбить на оштукатуренной стене линию, лежащую в одном уровне с нижней парой саморезов.

Дальше бурятся отверстия, в них загоняются дюбели и саморезы. Что теперь? С простым полуметровым угольником ничего вы, понятное дело, не сделаете. Решение лежит на поверхности – нужен угольник побольше. Он делается из двух правил. Но как сделать так, что бы они образовали строго угол в 90 градусов? Не по маленькому же угольнику, в этом ведь никакого смысла. Все гораздо проще.

Есть теорема Пифагора. Которая однозначно устанавливает соотношения сторон прямоугольного треугольника. Корень из суммы квадратов катетов равен гипотенузе. Вспоминайте школьный курс геометрии. Это все значит, что, если вы сможете построить на полу треугольник, стороны которого будут соотноситься таким же образом, один из его углов будет абсолютно точно равен 90 градусам. Самый простой случай – это т.н. Египетский треугольник, у которого стороны соотносятся как 3:4:5. Обычно удобно взять на практике 120:160:200 см.

Итак, на полу рисуется линия карандашом. Маркером — нежелательно, здесь же важна точность. На ней ставятся две точки: одна с краю, вторая – на удалении 120 см от первой. Затем берется отрезок маяка, либо можно воспользоваться рулеткой. Нужно будет отложить от первой точки 160 см, а от второй – 200 см. Точнее построить фрагменты окружностей указанных радиусов. Точка пересечения этих фигур и будет являться третьей вершиной треугольника. Остается только соединить вершины. Все, вы построили прямоугольный треугольник с высокой точностью.

Следующий шаг – положить на пол два правила в точности по линиям. Так как они будут лежать скошенными гранями наружу, это будет не так просто. Придется воспользоваться угольником. Итак, правила совмещаются с линиями:

Теперь необходимо надежно скрепить их между собой. Это обычно делается саморезами с прессшайбой или черными саморезами по металлу. Главное при этом – не допустить смещения правил относительно линий под воздействием вибрации от шуруповерта или дрели. Достаточно скрепить правила в двух точках:

Но, в целом, этого недостаточно. Нужно применить дополнительную планку из защитного уголка Кнауф, например. Крепим ее, как показано на рисунке:

Теперь у вас есть огромный, жесткий, а главное, точный угольник. Вы возвращаетесь в помещение, где у вас будут маяки. Там уже намечена линия, по которой вы и будете прикладывать угольник. Да, нужно располагать его строго в горизонтальной плоскости, иначе получится погрешность.

Вы уже предварительно должны были оценить степень отклонения угла от 90 градусов, поэтому знаете, какой саморез из нижней пары взять за основу. Предположим, что угол был тупой, поэтому выкручивается на минимум (7-8 мм) ближний к уже оштукатуренной стене саморез. А дальний уже будет выкручиваться по угольнику. Прикладываете его к линии на уже готовой стене и к выставленному саморезу нижней пары на размечаемой. Смотрите. Допустим, дальний саморез не достает до угольника примерно 4 мм. Выкручиваете его примерно на это расстояние и снова оцениваете ситуацию угольником. Возможно, придется прикладывать его несколько раз, но, в целом, процесс установки самореза займет у вас не более пары минут. Если же изначально угол был острый – первым выставляйте дальний саморез. А ближний – по угольнику.

Верхнюю же пару саморезов выставлять этим же угольником неудобно – он тяжелый, поднимать его сложно, он постоянно соскальзывает со шляпок. Поэтому проще будет выставить их просто вертикально относительно нижней пары. По отвесу или пузырьковому уровню. В любом случае, если первая стена у вас выровнена в идеале, получится идеально прямой угол и сверху, и снизу, автоматически.

Если вам нужно выставить прямой угол и на противоположной стене – то нет проблем, делаете все точно так же. Такое бывает необходимо, например, если ванна по габаритам встает впритык к стенам. Заодно и подрезка плитки на полу получится в идеале. Рекомендуется не выставлять заранее все маяки, а потом штукатурить. Гораздо лучше, хоть и дольше, будет поочередная разметка и штукатурка каждой стены. Зато вы будете точно знать, что нигде не ошиблись.

Теперь вы знаете, как сделать прямой угол между стенами при штукатурке. Потратив пару часов на разметку, вы сэкономите больше на укладке плитки, и получить профессиональное качество будет гораздо проще.

Июн 6, 2014 ADMIN

Это - древнейшая геометрическая задача .

Пошаговая инструкция

1й способ. - С помощью «золотого», или «египетского», треугольника . Стороны этого треугольника имеют соотношение сторон 3:4:5, а угол равен строго 90град . Этим качеством широко пользовались древние египтяне и другие пракультуры.

Илл.1. Построение Золотого, или египетского треугольника

Изготавливаем три мерки (или веревочных циркуля – веревка на двух гвоздях или колышках) с длинами 3; 4; 5 метров . Древние в качестве единиц измерения часто пользовались способом завязывания узелков с равными расстояниями между ними. Единица длины - «узелок ».
Вбиваем в точке О колышек, цепляем на него мерку «R3 - 3 узелка».
Протягиваем веревку вдоль известной границы – в сторону предполагаемой точки А.
В момент натяжения на линии границы – точка А, вбиваем колышек.
Затем - снова от точки О, протягиваем мерку R4 – вдоль второй границы. Колышек пока не вбиваем.
После этого натягиваем мерку R5 – от А до В.
В месте пересечения мерок R2 и R3 вбиваем колышек. – Это искомая точка В – третья вершина золотого треугольника , со сторонами 3;4;5 и с прямым углом в точке О .

2й способ. С помощью циркуля .

Циркуль может быть веревочный или в виде шагомера . См:

Наш циркуль-шагомер имеет шаг в 1 метр.

Илл.2. Циркуль-шагомер

Построение – также по Илл.1.

От точки отсчета – точки О – угла соседа, проводим отрезок произвольной длины - но больше, чем радиус циркуля = 1м – в каждую сторону от центра (отрезок АВ).
Ставим ногу циркуля в точку О.
Проводим окружность с радиусом (шагом циркуля) = 1м. Достаточно провести короткие дуги – сантиметров по 10-20, в местах пересечения с отмеченным отрезком (через точки А и В.). Этим действием мы нашли равноудаленные точки от центра - А и В. Величина удаления от центра здесь не имеет значения. Можно эти точки просто отметить рулеткой.
Далее нужно провести дуги с центрами в точках А и В, но несколько (произвольно) большего радиуса, чем R=1м. Можно перенастроить наш циркуль на больший радиус, если он имеет регулируемый шаг. Но для такой небольшой текущей задачи не хотелось бы его «дергать». Или когда регулировки нет. Можно сделать за полминуты веревочный циркуль .
Ставим первый гвоздь (или ножку циркуля с радиусом больше, чем 1м) поочередно в точки А и В. И проводим вторым гвоздем - в натянутом состоянии веревки, две дуги - так чтобы они пересеклись друг с дружкой. Можно в двух точках: C и D, но достаточно одной – C. И снова хватит коротких засечек на пересечении в точке С.
Проводим прямую (отрезок) через точки С и D.
Все! Полученный отрезок, или прямая, - есть точное направление на север:). Простите, - на прямой угол .
На рисунке показаны два случая несоответствия границы по участку соседа. На Илл.3а приведен случай, когда забор соседа уходит от нужного направления в ущерб себе. На 3б – он залез на Ваш участок. В ситуации 3а возможно построение двух «направляющих» точек: и C, и D. На 3б же – только С.
Поставьте на углу О колышек, а в точке C - временный колышек, и протяните от С шнур до задней границы участка. – Так, чтобы шнур едва касался колышка О. Замерив от точки О – в направлении D, длину стороны по генплану, получите достоверный задний правый угол участка.

Илл.3. Построение прямого угла – от угла соседа, с помощью циркуля-шагомера и веревочного циркуля

Если у Вас есть циркуль-шагомер, то можно и вовсе обойтись без веревочного . Веревочный в предыдущем примере мы применили для проведения дуг большего радиуса, чем у шагомера. Большего потому, что эти дуги должны где-нибудь пересечься. Для того чтобы дуги можно было провести шагомером с тем же радиусом – 1м с гарантией их пересечения, надо чтобы точки А и В находились внутри окружности c R =1м.

Отмерьте тогда эти равноудаленные точки рулеткой - в разные стороны от центра, но обязательно по линии АВ (линии забора соседа). Чем точки А и В будут ближе к центру – тем дальше от него направляющие точки: C и D, и тем точнее измерения. На рисунке это расстояние принято равным около четверти радиуса шагомера = 260мм.

Илл.4. Построение прямого угла с помощью циркуля-шагомера и рулетки

Не менее актуальна эта схема действий и при построении любого прямоугольника, в частности - контура прямоугольного фундамента. Вы получите его идеальным. Его диагонали, конечно, нужно проверить, но разве не уменьшаются усилия? – По сравнению, когда диагонали, углы и стороны контура фундамента двигают туда-сюда, пока углы не сойдутся..

Собственно, мы решили геометрическую задачу на земле. Для того чтобы Ваши действия были более уверенными на участке, потренируйтесь на бумаге – с помощью обычного циркуля. Что ничем в принципе не отличается.