Корни вычитание. Как вычесть корень из числа

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\) , \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) .
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\) . Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) , а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\) ! Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\) , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\) . Таким образом, так как \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\) ?
Так как \(\sqrt{49}=7\) , \(\sqrt{64}=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, √x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания.

Инструкция

Во-первых, при сложении квадратных корней попробуйте извлечь эти корни. Это будет возможно, если числа под знаком корня являются полными квадратами. Например, пусть задано выражение √4 + √9. Первое число 4 – это квадрат числа 2. Второе число 9 – это квадрат числа 3. Таким образом получается, что: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Если под знаком корня нет полных квадратов, то попробуйте вынести из под знака корня множитель числа. Например, пусть дано выражение √24 + √54. Разложите числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числе 24 имеется множитель 4, который можно вынести из под знака квадратного корня. В числе 54 - множитель 9. Таким образом, получается что: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. В данном примере в результате выноса множителя из под знака корня получилось упростить заданное выражение.
Пусть сумма двух квадратных корней является знаменателем дроби, например, A / (√a + √b). И пусть перед вами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Тогда можно воспользоваться следующим способом. Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение √a - √b. Таким образом в знаменателе получится формула сокращенного умножения: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. По аналогии, если в знаменателе дана разность корней: √a - √b, то числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на выражение √a + √b. Для примера, пусть дана дробь 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Рассмотрите более сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе. Пусть дана дробь 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
И наконец, если вам необходимо только приблизительное значение, то можно посчитать значения квадратных корней на калькуляторе. Вычислите значения отдельно для каждого числа и запишите с необходимой точностью (например, два знака после запятой). А затем совершите требуемые арифметические операции, как с обычными числами. Например, пусть необходимо узнать приблизительное значение выражения √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

В математике любое действие имеет свою пару-противоположность – в сущности, это представляет собою одно из проявлений гегелевского закона диалектики: «единство и борьба противоположностей». Одно из действий в такой «паре» направлено на увеличение числа, а другое, обратное ему – на уменьшение. Например, действие, противоположное сложению – это вычитание, умножению соответствует деление. Имеется и своя диалектическая пара-противоположность и у возведения в степень. Речь идет об извлечении корня.

Извлечь из числа корень такой-то степени – это значит вычислить, какое число необходимо возвести в соответствующую степень, чтобы в итоге получилось данное число. Две степени имеют свои отдельные названия: вторая степень называется «квадратом», а третья – «кубом». Соответствено, корни данных степеней приятно именовать квадратным корнем и кубическим. Действия с кубическими корнями – тема для отдельного разговора, а сейчас поговорим о сложении квадратных корней.

Начнем с того, что в ряде случаев квадратные корни проще сначала извлечь, а потом уже складывать результаты. Предположим, нам необходимо найти значение такого выражения:

Ведь совсем не сложно вычислить, что корень квадратный из 16 равен 4, а из 121 – 11. Следовательно,

√16+√121=4+11=15

Впрочем, это самый простой случай – здесь речь идет о полных квадратах, т.е. о таких числах, которые получаются при возведении в квадрат целых чисел. Но так бывает не всегда. Например, число 24 – это не полный квадрат (не найти такого целого числа, которое при возведении его во вторую степень дало бы в результате 24). То же самое относится к такому числу, как 54… Что делать, если нам необходимо сложить корни квадратные из этих чисел?

В таком случае мы получим в ответе не число, а другое выражение. Максимум, что мы можем тут сделать – это максимально упростить исходное выражение. Для этого придется вынести множители из-под корня квадратного. Посмотрим, как это делается, на примере упомянутым чисел:

Для начала разложим на множители 24 – таким образом, чтобы из одного из них легко можно было извлечь корень квадратный (т.е., чтобы он был полным квадратом). Такое числи есть – это 4:

Теперь проделаем то же самое с 54. В его составе таким числом будет 9:

Т.о., у нас получается следующее:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Теперь извлечем корни из того, из чего можем их извлечь: 2*√6+3*√6

Здесь есть общий множитель, который мы можем вынести за скобки:

(2+3)* √6=5*√6

Это и будет результатом сложения – больше ничего тут извлечь нельзя.

Правда, можно прибегнуть к помощи калькулятора – правда, результат будет приблизительным и с огромным количеством знаков после запятой:

√6=2,449489742783178

Постепенно округляя его, мы получим приблизительно 2,5. Если нам все-таки хотелось бы довести до логического завершения решение предыдущего примера, мы можем умножить этот результат на 5 – и получится у нас 12,5. Более точного результата при таких исходных данных получить нельзя.

В наше время современных электронных вычислительных машин вычисление корня из числа не представляется сложной задачей. Например, √2704=52, это вам подсчитает любой калькулятор. К счастью, калькулятор есть не только в Windows, но и в обычном, даже самом простеньком, телефоне. Правда если вдруг (с малой долей вероятности, вычисление которой, между прочим, включает в себя сложение корней) вы окажитесь без доступных средств, то, увы, придется рассчитывать только на свои мозги.

Тренировка ума никогда не помещает. Особенно для тех, кто не так часто работает с цифрами, а уж тем более с корнями. Сложение и вычитание корней - хорошая разминка для скучающего ума. А еще я покажу поэтапно сложение корней. Примеры выражений могут быть следующие.

Уравнение, которое нужно упростить:

√2+3√48-4×√27+√128

Это иррациональное выражение. Для того чтобы его упростить нужно привести все подкоренные выражения к общему виду. Делаем поэтапно:

Первое число упростить уже нельзя. Переходим ко второму слагаемому.

3√48 раскладываем 48 на множители: 48=2×24 или 48=3×16. из 24 не является целочисленным, т.е. имеет дробный остаток. Так как нам нужно точное значение, то приблизительные корни нам не подходят. Квадратный корень из 16 равен 4, выноси его из-под Получаем: 3×4×√3=12×√3

Следующее выражение у нас является отрицательным, т.е. написано со знаком минус -4×√(27.) Раскладываем 27 на множители. Получаем 27=3×9. Мы не используем дробные множители, потому что из дробей вычислять квадратный корень сложнее. Выносим 9 из-под знака, т.е. вычисляем квадратный корень. Получаем следующее выражение: -4×3×√3 = -12×√3

Следующее слагаемое √128 вычисляем часть, которую можно вынести из-под корня. 128=64×2, где √64=8. Если вам будет легче можно представить это выражение так: √128=√(8^2×2)

Переписываем выражение с упрощенными слагаемыми:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Теперь складываем числа одним и тем же подкоренным выражением. Нельзя складывать или вычитать выражения с разными подкоренными выражениями. Сложение корней требует соблюдение этого правила.

Ответ получаем следующий:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - надеюсь, то, что в алгебре принято опускать подобные элементы, не станет для вас новостью.

Выражения могут быть представлены не только квадратным корнем, но так же и с кубическим или корнем n-ной степени.

Сложение и вычитание корней с разными показателями степени, но с равнозначным подкоренным выражением, происходит следующим образом:

Если мы имеем выражение вида √a+∛b+∜b, то мы можем упростить это выражение так:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Мы привели два подобных члена к общему показателю корня. Здесь использовалось свойство корней, которое гласит: если число степени подкоренного выражения и число показателя корня умножить на одно и то же число, то его вычисление останется неизменным.

На заметку: показатели степени складываются только при умножении.

Рассмотрим пример, когда в выражении присутствуют дроби.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Будем решать по этапам:

5√8=5*2√2 - мы выносим из-под корня извлекаемую часть.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Если в тело корня представлено дробью, то часто этой дроби не измениться, если извлечь квадратный корень из делимого и делителя. В итоге мы получили описанное выше равенство.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Вот и получился ответ.

Главное помнить, что из отрицательных чисел не извлекается корень с четным показателем степени. Если четной степени подкоренное выражение является отрицательным, то выражение является нерешаемым.

Сложение корней возможно только при совпадении подкоренных выражений, так как они являются подобными слагаемыми. То же самое относиться и к разности.

Сложение корней с разными числовыми показателями степени производиться посредством приведения к общей корневой степени обоих слагаемых. Это закон действует так же как приведение к общему знаменателю при сложении или вычитании дробей.

Если в подкоренном выражении имеется число, возведенное в степень, то это выражение можно упростить при условии, что между показателем корня и степени существует общий знаменатель.

Корень из числа проще всего вычесть с помощью калькулятора. Но, если у вас нет калькулятора, тогда надо знать алгоритм вычисления квадратного корня. Дело в том, что под корнем сидит число в квадрате. Например, 4 в квадрате - это 16. То есть корень квадратный из 16 будет равен четырем. Так же 5 в квадрате - это 25. Поэтому корень из 25 будет 5. И так далее.

Если число небольшое, то его можно легко вычесть устно, к примеру, корень из 25 будет равен 5, а корень из 144-12. Также на калькуляторе можно посчитать, есть специальный значок корня, нужно вбить число и нажать на значок.

Поможет также таблица квадратных корней:

Есть еще способы, которые более сложные, однако очень эффективные:

Корень из какого либо числа можно вычесть с помощью калькулятора, тем более они есть в каждом телефоне на сегодняшний день.

Можно попробовать примерно прикинуть как может получится данное число, умножив одно число само на себя.

Вычислить корень квадратный из числа не сложно, особенно, если есть специальная таблица. Всем хорошо известная таблица еще с уроков алгебры. Такая операция называется извлечение квадратного корня из числа a, другими словами решение уравнения. Почти все калькуляторы, в смартфонах имеют функцию определения квадратного корня.

Результатом извлечения квадратного корня из известного числа будет другое число, которое, при возведении во вторую степень (квадрат), даст то самое число, которое нам известно. Рассмотрим одно из описаний расчтов, которое представляется кратким и понятным:

Вот видео по теме:

Вычеслить корень квадратный из числа можно несколькими способами.

Самым популярным способом - является использование специальной таблицы кореня (смотрите ниже).

Также на каждом калькуляторе есть функция при помощи которой можно узнать корень.

Или при помощи специальной формулы.

Извлечь квадратный корень из числа можно несколькими способами. Один из них - самый быстрый, с помощью калькулятора.

Но если нет калькулятора, то можно это сделать вручную.

Результат получится точным.

Принцип практически такой же как деление столбиком:

Попробуем без калькулятора найти значение квадратного корняот числа, к примеру, 190969.

Таким образом, вс предельно просто. В вычислениях главное придерживаться определнных простых правил и логически размышлять.

Для этого нужна таблица квадратов

Вот например, корень из 100 = 10, из 20 = 400 из 43 = 1849

Сейчас практически все калькуляторы, в том числе и на смартфонах умеют высчитывать квадратный корень из числа. НО если калькулятора у вас нет, то можно найти корень из числа несколькими простыми способами:

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, являющиеся квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратные множители это множители, являющиеся квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16, которое также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.

Запишите это как: 400 = (25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть (а х b) = a x b . Воспользовавшись этим правилом, извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а это происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:

Теперь вы можете оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Таким образом, значение 3 расположено между 1 и 2. Та как значение 3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: 3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.

Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим 35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Таким образом, значение 35 расположено между 5 и 6. Та как значение 35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что 35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.

Еще один способ разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, 45 = (3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: 45 = 35. Теперь можно оценить 5.

Рассмотрим другой пример: 88.

= (2 х 4 х 11)

= (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.

2(2 х 11) = 22 х 11. Теперь можно оценить 2 и 11 и найти приблизительный ответ.

Может быть полезным будет еще это обучающее видео:

Чтобы извлечь корень из числа следует воспользоваться калькулятором, либо если нет подходящего, советую зайти вот на этот сайт и решить задачу с помощью онлайн калькулятора, который за секунды выдаст правильное значение.