Интеграли за кукли: како да се реши, правила за пресметување, објаснување. Функцијата F(x) се нарекува антидериват на функцијата f(x) ако F`(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx
Некој интервал X. Ако Забило кој xХ F"(x) = f(x), тогаш функцијаФ повиканиантидеривативЗафункции f на интервалот X. АнтидеривативЗафункцииможеш да се обидеш да најдеш...
Антидериват за функција
Документ... . Функција F(x) повиканиантидеривативЗафункции f(x) на интервалот (a;b), ако Засите x(a;b) важи еднаквоста F(x) = f(x). На пример, Зафункции x2 антидеривативќе функција x3...
Водич за проучување на Основи на интегрален Калкулус
Упатство... ; 5. Најдете го интегралот. ; Б) ; В) ; Г) ; 6. ФункцијаповиканиантидеривативДо функциина сет ако: Засите; во одреден момент; Засите; на некој... интервал. Дефиниција 1. ФункцијаповиканиантидеривативЗафункциина многу...
Антидериватив Неопределен интеграл
ДокументИнтеграција. Антидериватив. Континуирано функција F(x) повиканиантидеривативЗафункции f (x) на интервалот X ако Засекое F’ (x) = f (x). ПРИМЕР Функција F(x) = x 3 е антидеривативЗафункции f(x) = 3x...
ДЕФЕКТОЛОШКА НА СССР Одобрено од Образовно-методолошката управа за високо образование ВИСОКА МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧКИ УПАТСТВА И КОНТРОЛНИ ЗАДАЧИ (СО ПРОГРАМАТА) за вонредни студенти на инженерски и технички специјалности
НасокиПрашања Засамо-тестирање Дефинирај антидеривативфункции. Наведете го геометриското значење на агрегатот примитивнифункции. Што повиканинеизвесно...
Видовме дека дериватот има бројни употреби: изводот е брзината на движење (или, поопшто, брзината на кој било процес); извод е наклонот на тангентата на графикот на функцијата; користејќи го дериватот, можете да ја испитате функцијата за монотоност и екстремност; дериватот помага во решавањето на оптимизациските проблеми.
Но во вистински животТреба да се решат и инверзни проблеми: на пример, заедно со проблемот со наоѓање на брзината според познат закон на движење, постои и проблем со враќање на законот за движење според позната брзина. Да разгледаме еден од овие проблеми.
Пример 1.Материјалната точка се движи по права линија, нејзината брзина во времето t е дадена со формулата u = tg. Најдете го законот за движење.
Решение.Нека s = s(t) е посакуваниот закон на движење. Познато е дека s"(t) = u"(t). Ова значи дека за да го решите проблемот треба да изберете функција s = s(t), чиј извод е еднаков на tg. Тоа не е тешко да се погоди
Веднаш да забележиме дека примерот е решен правилно, но нецелосно. Откривме дека, всушност, проблемот има бесконечно многу решенија: која било функција на формата 
произволна константа може да послужи како закон за движење, бидејќи
За да ја направиме задачата поконкретна, требаше да ја поправиме почетната ситуација: означете ја координатата на подвижна точка во одреден момент во времето, на пример, на t=0. Ако, да речеме, s(0) = s 0, тогаш од еднаквоста добиваме s(0) = 0 + C, т.е. S 0 = C. Сега законот на движење е уникатно дефиниран:
Во математиката, меѓусебните инверзни операции добиваат различни имиња и се измислуваат посебни ознаки: на пример, квадрат (x 2) и извлекување квадратен коренсинус(sinх) и лаксин(arcsin x), итн. Процесот на пронаоѓање на изводот на дадена функција се нарекува диференцијација, а инверзната операција, т.е. процесот на пронаоѓање на функција од даден извод – интеграција.
Самиот поим „дериват“ може да се оправда „во секојдневниот живот“: функцијата y - f(x) „раѓа“ нова функција y"= f"(x). „родител“ , но математичарите, природно, не го нарекуваат „родител“ или „производител“ тие велат дека ова, во однос на функцијата y“=f“(x), е примарна слика, или, во кратко, антидериватот.
Дефиниција 1.Функцијата y = F(x) се нарекува антидериват за функцијата y = f(x) на даден интервал X ако за сите x од X важи еднаквоста F"(x)=f(x).
Во пракса, интервалот X обично не е одреден, туку се подразбира (како природен домен на дефиниција на функцијата).
Еве неколку примери:
1) Функцијата y = x 2 е антидериват за функцијата y = 2x, бидејќи за сите x еднаквоста (x 2)" = 2x е точно.
2) функцијата y - x 3 е антидериват за функцијата y-3x 2, бидејќи за сите x еднаквоста (x 3)" = 3x 2 е точно.
3) Функцијата y-sinх е антидериват за функцијата y = cosx, бидејќи за сите x еднаквоста (sinx)" = cosx е точно.
4) Функцијата е антидериват за функција на интервалот бидејќи за сите x > 0 еднаквоста е точно
Општо земено, знаејќи ги формулите за наоѓање деривати, не е тешко да се состави табела со формули за пронаоѓање на антидеривати.
Се надеваме дека разбирате како е составена оваа табела: изводот на функцијата, кој е запишан во втората колона, е еднаков на функцијата што е напишана во соодветниот ред од првата колона (проверете, не бидете мрзливи, тоа е многу корисно). На пример, за функцијата y = x 5 антидериватот, како што ќе утврдите, е функцијата (видете го четвртиот ред од табелата).
Белешки: 1. Подолу ќе ја докажеме теоремата дека ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x), тогаш функцијата y = f(x) има бесконечно многу антидеривати и сите имаат форма y = F(x) + C. Затоа, би било поправилно да се додаде терминот C насекаде во втората колона од табелата, каде што C е произволен реален број.
2. Заради краткост, понекогаш наместо фразата „функцијата y = F(x) е антидериват на функцијата y = f(x),“ велат дека F(x) е антидериват на f(x) .“
2. Правила за пронаоѓање антидеривати
При пронаоѓање на антидеривати, како и при пронаоѓање на деривати, не се користат само формули (тие се наведени во табелата на стр. 196), туку и некои правила. Тие се директно поврзани со соодветните правила за пресметување на деривати.
Знаеме дека изводот на збирот е еднаков на збирот на неговите изводи. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.
Правило 1.Антидеривативот на збирот е еднаков на збирот на антидериватите.
Ви го привлекуваме вниманието на малку „леснотијата“ на оваа формулација. Всушност, треба да се формулира теоремата: ако функциите y = f(x) и y = g(x) имаат антидеривати на интервалот X, соодветно y-F(x) и y-G(x), тогаш збирот на функциите y = f(x)+g(x) има антидериват на интервалот X, а овој антидериват е функцијата y = F(x)+G(x). Но, обично, кога се формулираат правила (а не теореми), тие оставаат само клучни зборови- ова го прави поудобно да се применува правилото во пракса
Пример 2.Најдете го антидериватот за функцијата y = 2x + cos x.
Решение.Антидериватот за 2x е x"; антидериватот за кокс е sin x. Тоа значи дека антидеривативот за функцијата y = 2x + cos x ќе биде функцијата y = x 2 + sin x (и воопшто која било функција од формата Y = x 1 + sinx + C) .
Знаеме дека константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот. Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.
Правило 2.Константниот фактор може да се извади од знакот на антидериватот.
Пример 3.
Решение.а) Антидериватот за sin x е -soz x; Тоа значи дека за функцијата y = 5 sin x антидеривативната функција ќе биде функцијата y = -5 cos x.
б) Антидеривативот за cos x е sin x; Ова значи дека антидериватот на функцијата е функцијата
в) Антидериватот за x 3 е антидериват за x, антидеривативот за функцијата y = 1 е функцијата y = x. Користејќи ги првото и второто правило за наоѓање антидеривати, откриваме дека антидериватот за функцијата y = 12x 3 + 8x-1 е функцијата
Коментар.Како што е познато, дериватот на производот не е еднаков на производот на дериватите (правилото за диференцирање производ е покомплексно) а дериватот на количникот не е еднаков на количникот на дериватите. Според тоа, не постојат правила за наоѓање на антидериватот на производот или антидериватот на количникот на две функции. Внимавај!
Дозволете ни да добиеме друго правило за наоѓање антидеривати. Знаеме дека изводот на функцијата y = f(kx+m) се пресметува со формулата
Ова правило го генерира соодветното правило за пронаоѓање на антидеривати.
Правило 3.Ако y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x), тогаш антидериватот за функцијата y=f(kx+m) е функцијата
Навистина,
Тоа значи дека е антидериват за функцијата y = f(kx+m).
Значењето на третото правило е следново. Ако знаете дека антидериватот на функцијата y = f(x) е функцијата y = F(x), и треба да го најдете антидериватот на функцијата y = f(kx+m), тогаш постапете вака: земете истата функција F, но наместо аргументот x, заменете го изразот kx+m; дополнително, не заборавајте да напишете „корективен фактор“ пред знакот за функција
Пример 4.Најдете антидеривати за дадени функции:
Решение, а) Антидериватот за sin x е -soz x; Тоа значи дека за функцијата y = sin2x антидериватот ќе биде функцијата
б) Антидеривативот за cos x е sin x; Ова значи дека антидериватот на функцијата е функцијата
в) Антидериватот за x 7 значи дека за функцијата y = (4-5x) 7 антидериватот ќе биде функцијата
3. Неопределен интеграл
Погоре веќе забележавме дека проблемот со наоѓање антидериват за дадена функција y = f(x) има повеќе од едно решение. Ајде да разговараме за ова прашање подетално.
Доказ. 1. Нека y = F(x) е антидериват за функцијата y = f(x) на интервалот X. Тоа значи дека за сите x од X важи еднаквоста x"(x) = f(x). Најдете го изводот на која било функција од формата y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Значи, (F(x)+C) = f(x). Ова значи дека y = F(x) + C е антидериват за функцијата y = f(x).
Така, докажавме дека ако функцијата y = f(x) има антидериват y=F(x), тогаш функцијата (f = f(x) има бесконечно многу антидеривати, на пример, која било функција од формата y = F(x) +C е антидериват.
2. Сега да докажеме дека наведениот тип на функции го исцрпува целиот сет на антидеривати.
Нека y=F 1 (x) и y=F(x) се два антидеривати за функцијата Y = f(x) на интервалот X. Тоа значи дека за сите x од интервалот X важат следните односи: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Да ја разгледаме функцијата y = F 1 (x) -.F(x) и да го најдеме нејзиниот извод: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Познато е дека ако изводот на функција на интервал X е идентично еднаков на нула, тогаш функцијата е константна на интервалот X (види теорема 3 од § 35). Ова значи дека F 1 (x) - F (x) = C, т.е. Fx) = F(x)+C.
Теоремата е докажана.
Пример 5.Даден е законот за промена на брзината со времето: v = -5sin2t. Најдете го законот за движење s = s(t), ако се знае дека во времето t=0 координатата на точката била еднаква на бројот 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).
Решение.Бидејќи брзината е извод на координатата во функција на времето, прво треба да го најдеме антидериватот на брзината, т.е. антидериват за функцијата v = -5sin2t. Еден од таквите антидеривати е функцијата , а множеството од сите антидеривати има форма:
За да ја пронајдеме специфичната вредност на константата C, ги користиме почетните услови, според кои s(0) = 1,5. Заменувајќи ги вредностите t=0, S = 1,5 во формулата (1), добиваме:
Заменувајќи ја пронајдената вредност на C во формулата (1), го добиваме законот за движење што нè интересира:
Дефиниција 2.Ако функцијата y = f(x) има антидериват y = F(x) на интервал X, тогаш множеството од сите антидеривати, т.е. множеството функции од формата y = F(x) + C се нарекува неопределен интеграл на функцијата y = f(x) и се означува со:
(читај: „неопределен интеграл еф од х де х“).
Во следниот пасус ќе дознаеме кое е скриеното значење на оваа ознака.
Врз основа на табелата со антидеривати достапни во овој дел, ќе составиме табела со главните неопределени интеграли:
Врз основа на горенаведените три правила за пронаоѓање на антидеривати, можеме да ги формулираме соодветните правила за интеграција.
Правило 1.Интеграл од збирот на функции еднаков на збиротинтеграли на овие функции:
Правило 2.Константниот фактор може да се извади од интегралниот знак:
Правило 3.Ако
Пример 6.Најдете неопределени интеграли:
Решение, а) Користејќи ги првите и вторите правила на интеграција, добиваме:
Сега да ги користиме третата и четвртата формула за интеграција:
Како резултат добиваме:
б) Користејќи го третото правило за интеграција и формулата 8, добиваме:
в) За директно да најдеме даден интеграл, немаме ниту соодветна формула ниту соодветно правило. Во такви случаи, претходно извршена идентитетски трансформацииизраз содржан под знакот интегрален.
Да ја користиме тригонометриската формула за намалување на степенот:
Потоа наоѓаме последователно:
А.Г. Мордкович Алгебра 10 одделение
Календарско-тематско планирање по математика, Видеопо математика онлајн, Математика на училиште
Неопределен интеграл
Главната задача на диференцијалното сметање беше да се пресмета изводот или диференцијалот на дадена функција. Интегралното сметање, кон чие проучување продолжуваме, го решава инверзниот проблем, имено, наоѓањето на самата функција од неговиот извод или диференцијал. Тоа е, имајќи dF(x)= f(x)d (7.1) или F ′(x)= f(x),
Каде f(x)- позната функција, треба да се најде функцијата F(x).
Дефиниција:Се повикува функцијата F(x). антидеривативФункција f(x) на отсечката ако еднаквоста важи во сите точки од оваа отсечка: F′(x) = f(x)или dF(x)= f(x)d.
На пример, една од антидеривативните функции за функцијата f(x)=3x 2ќе F(x)= x 3, бидејќи ( x 3)′=3x 2. Но, прототип за функцијата f(x)=3x 2ќе има и функции и , бидејќи 
.
Значи, оваа функција f(x)=3x 2има бесконечен број на примитиви, од кои секоја се разликува само со константен член. Да покажеме дека овој резултат важи и во општиот случај.
Теорема Два различни антидеривати со иста функција дефинирани во одреден интервал се разликуваат еден од друг во овој интервал со константен член.
Доказ
Нека функцијата f(x) дефинирани на интервалот (а¸б)И F 1 (x) И F 2 (x) - антидеривати, т.е. F 1 ′(x)= f(x) и F 2 ′(x)= f(x).
Потоа F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C
Од тука, F 2 (x) = F 1 (x) + C
Каде СО - константа (тука се користи последица од теоремата на Лагранж).
Така, теоремата е докажана.
Геометриска илустрација. Ако на = F 1 (x) И на = F 2 (x) – антидеривати со иста функција f(x), потоа тангентата на нивните графикони во точките со заедничка апсциса Xпаралелни едни со други (сл. 7.1).
Во овој случај, растојанието помеѓу овие кривини долж оската ОУостанува константна F 2 (x) - F 1 (x) = C , односно овие криви во некое разбирање„паралелни“ еден на друг.
Последица .
Додавање на некои антидеривати F(x) за оваа функција f(x), дефиниран на интервалот X, сите можни константи СО, ги добиваме сите можни антидеривати за функцијата f(x).Значи изразот F(x)+C , каде и F(x) – некој антидериват на функција f(x)ги вклучува сите можни антидеривати за f(x).
Пример 1.Проверете дали се функциите антидеривати на функцијата
Решение:
Одговори: антидеривати за функција ќе има функции И
Дефиниција: Ако функцијата F(x) е некој антидериват на функцијата f(x), тогаш множеството од сите антидеривати F(x)+ C се вика неопределен интеграл на f(x) и означи:
∫f(х)dх.
А-приоритет:
f(x) - интегранд функција,
f(х)dх - интеграндски израз
Од ова произлегува дека неопределениот интеграл е функција од општ облик, чиј диференцијал е еднаков на интеграндот, а чиј извод во однос на променливата Xе еднаков на интеградот во сите точки.
Од геометриска гледна точканеопределен интеграл е фамилија на криви, од кои секоја се добива со поместување на една од кривите паралелно со себе нагоре или надолу, односно по должината на оската ОУ(Сл. 7.2).
Операцијата на пресметување на неопределен интеграл на одредена функција се нарекува интеграција оваа функција.
Забележете дека ако изводот на елементарна функција е секогаш елементарна функција, тогаш антидериватот на елементарна функција може да не биде претставен со конечен број елементарни функции.
Ајде сега да размислиме својства на неопределен интеграл.
Од дефиницијата 2 следува:
1. Изводот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот, односно ако F′(x) = f(x) , Тоа
2. Диференцијалот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот
. (7.4)
Од дефиницијата за диференцијал и својство (7.3)
3. Неопределениот интеграл на диференцијалот на некоја функција е еднаков на оваа функција до константен член, т.е. 
(7.5)
Постојат три основни правила за пронаоѓање на антидеривативни функции. Тие се многу слични на соодветните правила за диференцијација.
Правило 1
Ако F е антидериват за некоја функција f, а G е антидериват за некоја функција g, тогаш F + G ќе биде антидериват за f + g.
По дефиниција за антидериват, F’ = f. G' = g. А бидејќи овие услови се исполнети, тогаш според правилото за пресметување на изводот за збир на функции ќе имаме:
(F + G)' = F' + G' = f + g.
Правило 2
Ако F е антидериват за некоја функција f, а k е некоја константа. Тогаш k*F е антидериват на функцијата k*f. Ова правило произлегува од правилото за пресметување на изводот комплексна функција.
Имаме: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Правило 3
Ако F(x) е некој антидериват за функцијата f(x), а k и b се некои константи, а k не е еднаква на нула, тогаш (1/k)*F*(k*x+b) ќе биде антидериват за функцијата f (k*x+b).
Ова правило произлегува од правилото за пресметување на изводот на сложена функција:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Ајде да погледнеме неколку примери за тоа како се применуваат овие правила:
Пример 1. Најдете општа формаантидеривати за функцијата f(x) = x^3 +1/x^2. За функцијата x^3 еден од антидериватите ќе биде функцијата (x^4)/4, а за функцијата 1/x^2 еден од антидериватите ќе биде функцијата -1/x. Користејќи го првото правило, имаме:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Пример 2. Да ја најдеме општата форма на антидеривати за функцијата f(x) = 5*cos(x). За функцијата cos(x), еден од антидериватите ќе биде функцијата sin(x). Ако сега го користиме второто правило, ќе имаме:
F(x) = 5*sin(x).
Пример 3.Најдете еден од антидериватите за функцијата y = sin(3*x-2). За функцијата sin(x) еден од антидериватите ќе биде функцијата -cos(x). Ако сега го користиме третото правило, добиваме израз за антидериватот:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Пример 4. Најдете го антидериватот за функцијата f(x) = 1/(7-3*x)^5
Антидериватот за функцијата 1/x^5 ќе биде функцијата (-1/(4*x^4)). Сега, користејќи го третото правило, добиваме.
Прототип. Прекрасен збор.) Прво, малку руски. Овој збор се изговара токму вака, не „прототип“ , како што може да изгледа. Антидеривативот е основниот концепт на сите интегрални пресметки. На ова се изградени сите интеграли - неопределени, одредени (ќе се запознаете со нив овој семестар), како и двојни, тројни, криволиниски, површински (а тоа се веќе главните ликови од втората година) клучен концепт. Има целосна смисла да се совлада. Оди.)
Пред да се запознаеме со концептот на антидериват, ајде прво општ прегледда се потсетиме на најчестиот дериват. Без да навлегуваме во здодевната теорија на граници, зголемувања на аргументи и други работи, можеме да кажеме дека наоѓањето на дериватот (или диференцијација) е едноставно математичка операција на функција. Тоа е се. Се зема која било функција (на пример, f(x) = x2) И Од страна на одредени правила се трансформира во нова карактеристика. И овој е оној нова карактеристикаи се нарекува дериват.
Во нашиот случај, пред диференцијацијата имаше функција f(x) = x2, а по диференцијацијата стана веќе друга функција f’(x) = 2x.
Дериват– затоа што нашата нова функција f’(x) = 2x се случиод функцијата f(x) = x2. Како резултат на операцијата на диференцијација. И конкретно од него, а не од некоја друга функција ( x 3, На пример).
Грубо кажано, f(x) = x2- ова е мама и f’(x) = 2x- нејзината сакана ќерка.) Ова е разбирливо. Само напред.
Математичарите се немирни луѓе. За секоја акција се обидуваат да најдат реакција. :) Има собирање - има и одземање. Има множење и има делење. Подигнувањето до моќ е извлекување на коренот. Синус - лаксин. Сосема исто диференцијација- тоа значи дека има ... интеграција.)
Сега да го ставиме ова интересна задача. На пример, имаме толку едноставна функција f(x) = 1. И ние треба да одговориме на ова прашање:
Изводот на функцијата WHAT ни ја дава функцијатаѓ(x) = 1?
Со други зборови, гледајќи ќерка, користејќи ДНК анализа, дознајте која е нејзината мајка. :) Па од кој? оригиналенфункција (да ја наречеме F(x)) нашата дериватфункција f(x) = 1? Или во математичка форма, за коифункцијата F(x) важи следнава еднаквост:
F’(x) = f(x) = 1?
Елементарен пример. Се обидов.) Едноставно ја избираме функцијата F(x) за да функционира еднаквоста. :) Па, дали го најдовте? Да секако! F(x) = x. Бидејќи:
F'(x) = x' = 1 = f (x).
Се разбира, пронајдената мама F(x) = xТреба да го наречам некако, да.) Запознајте ме!
Антидериват за функцијаѓ(x) се нарекува таква функцијаФ(x), чиј извод е еднаков наѓ(x), т.е. за што важи еднаквостаФ’(x) = ѓ(x).
Тоа е се. Нема повеќе научни трикови. Во строгата дефиниција се додава дополнителна фраза "на интервалот X". Но, засега нема да навлегуваме во овие суптилности, бидејќи нашата примарна задача е да научиме да ги наоѓаме токму овие примитиви.
Во нашиот случај, излегува дека функцијата F(x) = xе антидеривативза функција f(x) = 1.
Зошто? Бидејќи F’(x) = f(x) = 1. Изводот на x е еден. Нема приговори.)
Терминот „прототип“ на заеднички јазик значи „предок“, „родител“, „предок“. Веднаш се сеќаваме на нашите најмили и сакана личност.) А самата потрага по антидериватот е враќање на првобитната функција по неговиот познат дериват. Со други зборови, оваа акција инверзна на диференцијација. Тоа е се! Овој фасцинантен процес сам по себе се нарекува и сосема научно - интеграција. Но за интеграли- Подоцна. Трпение, пријатели!)
Запомнете:
Интеграцијата е математичка операција на функција (како диференцијација).
Интеграцијата е инверзна операција на диференцијација.
Антидеривативот е резултат на интеграција.
Сега да ја комплицираме задачата. Сега да најдеме антидериват за функцијата f(x) = x. Тоа е, ќе најдеме таква функција F(x) , до негов дериватби било еднакво на X:
F'(x) = x
Секој кој е запознаен со деривати веројатно ќе му дојде на ум нешто како:
(x 2)“ = 2x.
Па, почит и почит кон оние што се сеќаваат на табелата со деривати!) Така е. Но, има еден проблем. Нашата оригинална функција f(x) = x, А (x 2)“ = 2 x. Две X. И по диференцијација треба да добиеме само x. Не е во ред. Но…
Јас и ти сме учени луѓе. Ги добивме нашите сертификати.) И уште од училиште знаеме дека двете страни на секоја еднаквост може да се помножат и поделат со ист број (освен нула, се разбира)! Тоа е тоа наредени. Затоа, ајде да ја реализираме оваа можност за наша корист.)
Сакаме чист Х да остане десно, нели? Но, двете паѓаат на патот... Значи, го земаме односот за изводот (x 2)' = 2x и делиме двата нејзини делатокму на овие две:
Значи, нешто веќе станува појасно. Само напред. Знаеме дека секоја константа може да биде извади го дериватот од знакот.Како ова:
Сите формули во математиката работат и од лево кон десно и обратно - од десно кон лево. Ова значи дека, со истиот успех, секоја константа може да биде вметнете под дериватниот знак:
Во нашиот случај, ги криеме двете во именителот (или, што е исто, коефициентот 1/2) под знакот за извод:
И сега внимателноАјде внимателно да ја разгледаме нашата снимка. Што гледаме? Гледаме еднаквост во која се наведува дека дериватот на нешто(Ова нешто- во загради) е еднакво на X.
Добиената еднаквост само значи дека саканиот антидериват за функцијата f(x) = x служи функција F(x) = x 2 /2 . Оној во загради под ударот. Директно во значењето на антидериватот.) Па, ајде да го провериме резултатот. Ајде да го најдеме дериватот:
Одлично! Се добива оригиналната функција f(x) = x. Она од што танцуваа е она на што се вратија. Ова значи дека нашиот антидериват е пронајден правилно.)
И ако f(x) = x2? На што е еднаков неговиот антидериват? Нема проблем! Јас и ти знаеме (повторно, од правилата за диференцијација) дека:
3x 2 = (x 3)“
И, тоа е,
Разбрав? Сега ние, незабележливо за себе, научивме да броиме антидеривати за било кој моќна функција f(x)=x n. Во умот.) Земете го почетниот индикатор n, зголемете го за еден и како компензација поделете ја целата структура со n+1:
Резултирачката формула, патем, е точна не само за природен индикатор степени n, но и за било кој друг – негативен, дробен. Ова го олеснува наоѓањето антидеривати од едноставни дропкиИ корени.
На пример:
Нормално, n ≠ -1 , инаку именителот на формулата се покажува нула, а формулата го губи своето значење.) За ова посебен случај n = -1малку подоцна.)
Што е неопределен интеграл? Табела на интеграли.
Да речеме на што е еднаков изводот на функцијата F(x) = x?Па, еден, еден - слушам незадоволни одговори... Така е. Единица. Но... За функцијата G(x) = x+1дериват исто така ќе биде еднаква на еден:
Исто така, изводот ќе биде еднаков на единство за функцијата x+1234 , и за функцијата x-10 , и за која било друга функција на формата x+C , Каде СО – секоја константа. Бидејќи дериватот на која било константа е еднаков на нула, а со собирање/одземање на нула никој не се чувствува ладно или жешко.)
Ова резултира со нејасност. Излегува дека за функцијата f(x) = 1служи како прототип не само функција F(x) = x , но и функција F 1 (x) = x+1234 и функција F 2 (x) = x-10 и така натаму!
Да. Токму така.) За секој ( континуирано на интервалот) на функцијата не постои само еден антидериват, туку бескрајно многу - целото семејство! Не само една мајка или тато, туку цело семејно стебло, да.)
Но! Сите наши примитивни роднини имаат една заедничка работа: важен имот. Затоа се роднини.) Имотот е толку важен што во процесот на анализа на техниките за интеграција ќе го паметиме повеќе од еднаш. И ние ќе го паметиме долго време.)
Еве го, овој имот:
Било кои два антидеривати Ф 1 (x) ИФ 2 (x) од истата функцијаѓ(x) се разликуваат по константа:
Ф 1 (x) - Ф 2 (x) = С.
Ако некој е заинтересиран за доказ, проучи ја литературата или белешките од предавањата.) Во ред, нека биде, ќе докажам. За среќа, доказот овде е елементарен, во еден чекор. Да ја земеме еднаквоста
Ф 1 (x) - Ф 2 (x) = В
И Ајде да ги разликуваме двата негови делови.Тоа е, ние само глупаво додаваме потези:
Тоа е се. Како што велат, CHT. :)
Што значи овој имот? И за фактот дека два различни антидеривати од истата функција f(x)не може да се разликува по некаков израз со Х . Само строго на константа! Со други зборови, ако имаме некаков распоред еден од оригиналните(нека биде F(x)), потоа графиконите Сите другиНашите антидеривати се конструирани со паралелно пренесување на графикот F(x) долж y-оската.
Ајде да видиме како изгледа со користење на функцијата пример f(x) = x. Сите негови примитиви, како што веќе знаеме, ја имаат општата форма F(x) = x 2 /2+C . На сликата изгледа како бесконечен број на параболи, добиен од „главната“ парабола y = x 2 /2 со поместување нагоре или надолу по оската OY во зависност од вредноста на константата СО.
Запомнете ја училишната графика на функцијата y=f(x)+aсмена на распоредот y=f(x)со единици „а“ по должината на Y-оската?) Истото овде.)
Покрај тоа, обрнете внимание: нашите параболи не се вкрстувајте никаде!Тоа е природно. На крајот на краиштата, две различни функции y 1 (x) и y 2 (x) неизбежно ќе одговараат два различни значењаконстанти – C 1И C 2.
Според тоа, равенката y 1 (x) = y 2 (x) никогаш нема решенија:
C 1 = C 2
x ∊ ∅ , бидејќи C 1 ≠ C2
И сега постепено се приближуваме кон вториот концепт на камен-темелник на интегралното пресметување. Како што штотуку утврдивме, за која било функција f(x) постои бесконечно множество антидеривати F(x) + C, кои се разликуваат едни од други со константа. Овој најбесконечен сет има и свое посебно име.) Па, ве молам сакајте и наклонете!
Што е неопределен интеграл?
Множество од сите антидеривати за функција ѓ(x) се нарекува неопределен интегралод функцијатаѓ(x).
Тоа е целата дефиниција.)
„Неизвесно“ - затоа што множеството од сите антидеривати за иста функција бескрајно. Премногу различни опции.)
„Интегрално“ – со детално декодирање на овој брутален збор ќе се запознаеме во следниот голем дел посветен на определени интеграли . Засега, во груба форма, нешто ќе сметаме како интегрално општи, обединети, целини. И со интеграција - Унија, генерализација, во овој случај, преминот од конкретното (дериват) во општото (антидериватив). Така нешто.
Неопределениот интеграл се означува вака:
Се чита на ист начин како што е напишано: интегрален еф од х де х. Или интегрален одеф од х де х.Па, разбираш.)
Сега да ја погледнеме ознаката.
∫ - интегрална икона.Значењето е исто како и простиот за извод.)
г - иконадиференцијал. Да не се плашиме! Зошто е потребно таму е малку пониско.
f(x) - интегранд(преку „s“).
f(x)dx - интегранд израз.Или, грубо кажано, „пополнување“ на интегралот.
Според значењето на неопределениот интеграл,
Еве F(x)- истиот антидеривативза функција f(x)што ние некако самите го најдовме.Како точно го нашле тоа не е поентата. На пример, го откривме тоа F(x) = x 2 /2За f(x)=x.
"СО" - произволна константа.Или, понаучно, интегрална константа. Или константа на интеграција.Сè е едно.)
Сега да се вратиме на нашите први примери за наоѓање антидериват. Во однос на неопределениот интеграл, сега можеме безбедно да напишеме:
Што е интегрална константа и зошто е потребна?
Прашањето е многу интересно. И многу (МНОГУ!) важно. Од целокупното бесконечно множество на антидеривати, интегралната константа ја издвојува линијата која минува низ дадена точка.
Што е поентата? Од почетната бесконечна група на антидеривати (т.е. неопределен интеграл) треба да ја изберете кривата што ќе помине низ дадената точка. Со некои специфични координати.Таква задача секогаш и секаде се случува при почетното запознавање со интегралите. И на училиште и на универзитет.
Типичен проблем:
Од множеството на сите антидеривати на функцијата f=x, изберете го оној што минува низ точката (2;2).
Почнуваме да размислуваме со главите... Множеството на сите примитивци значи дека прво мораме ја интегрираме нашата оригинална функција.Тоа е, x(x). Ова го направивме малку повисоко и го добивме следниот одговор:
Сега да откриеме што точно добивме. Добивме не само една функција, туку цело семејство на функции.Кои? Вида y=x 2 /2+C . Зависи од вредноста на константата C. И токму оваа вредност на константата сега треба да ја „фатиме“.) Па, да почнеме да фаќаме?)
Нашиот риболовен стап - семејство на криви (параболи) y=x 2 /2+C.
Константи - тоа се риби. Многу и многу. Но, секој има своја кука и мамка.)
Што е мамката? Во право! Поентата ни е (-2;2).
Така, ние ги заменуваме координатите на нашата точка во општата форма на антидеривати! Добиваме:
y(2) = 2
Лесно е да се најде од тука C=0.
Што значи тоа? Тоа значи дека од целокупното бесконечно множество параболи на форматаy=x 2 /2+Cсамо парабола со константа C=0ни одговара! Имено:y=x 2 /2. И само таа. Само оваа парабола ќе помине низ точката што ни треба (-2; 2). И вониз сите други параболи од нашето семејство минуваат оваа точка повеќе нема да бидат.Преку некои други точки на рамнината - да, но преку точката (2; 2) - повеќе не. Разбрав?
За јасност, еве две слики - целото семејство на параболи (т.е. неопределен интеграл) и некои специфична парабола, соодветните специфична вредност на константатаи поминувајќи низ специфична точка:
Гледате колку е важно да се земе предвид константата СОпо интеграција! Затоа, не ја занемарувајте оваа буква „Ц“ и не заборавајте да ја додадете во конечниот одговор.
Сега да откриеме зошто симболот виси насекаде внатре во интегралите dx . Учениците често забораваат на тоа... И ова, патем, исто така е грешка! И доста грубо. Целата поента е дека интеграцијата е инверзна операција на диференцијацијата. И што точно е резултат на диференцијација? Дериват? Вистина, но не целосно. Диференцијал!
Во нашиот случај, за функцијата f(x)диференцијалот на неговиот антидериват F(x), ќе:
За оние кои не го разбираат овој синџир, итно повторете ја дефиницијата и значењето на диференцијалот и како точно се открива! Во спротивно, безмилосно ќе успорите во интегралите...
Дозволете ми да ве потсетам, во најсуровата филистинска форма, дека диференцијалот на која било функција f(x) е едноставно производ f'(x)dx. Тоа е се! Земете го изводот и помножете го на диференцијалниот аргумент(т.е. dx). Тоа е, секој диференцијал, во суштина, се сведува на пресметување на вообичаеното дериват.
Затоа, строго кажано, интегралот не е „земен“ од функции f(x), како што вообичаено се верува, и од диференцијал f(x)dx!Но, во поедноставена верзија, вообичаено е да се каже тоа „интегралот е земен од функцијата“. Или: „Функцијата f е интегрирана(x)". Исто е.И ние ќе зборуваме на ист начин. Но, за значката dxДа не заборавиме! :)
И сега ќе ви кажам како да не го заборавите кога снимате. Прво замислете дека го пресметувате обичниот извод во однос на променливата x. Како обично го пишувате?
Вака: f’(x), y’(x), y’ x. Или посолидно, преку диференцијалниот сооднос: dy/dx. Сите овие записи ни покажуваат дека изводот е земен токму во однос на X. А не со „игрек“, „те“ или некоја друга променлива.)
Истото важи и за интегралите. Снимајте ∫ f(x)dxСАД исто така како дапокажува дека интеграцијата се врши прецизно со променлива x. Се разбира, сето ова е многу поедноставено и грубо, но разбирливо е, се надевам. И шансите заборавиатрибут сеприсутност dxнагло опаѓа.)
Значи, сфативме што е неопределен интеграл. Одлично.) Сега би било добро да ги научиме истите овие неопределени интеграли пресметај. Или, едноставно кажано, „земи“. :) И тука студентите ги чекаат две новости - добри и не толку добри. Засега, да започнеме со добрата.)
Веста е добра. За интегралите, како и за дериватите, постои сопствена табела. И сите интеграли што ќе ги сретнеме по пат, дури и најстрашните и најсофистицираните, ние според одредени правилаНа еден или друг начин ќе го сведеме на овие многу табеларни.)
Па еве ја табела на интеграли!
Еве една толку убава табела со интеграли од најпопуларните функции. Препорачувам да се обрне посебно внимание на групата формули 1-2 (константни и функција за напојување). Ова се најчесто користените формули во интегралите!
Третата група формули (тригонометрија), како што може да претпоставите, се добива со едноставно превртување на соодветните формули за деривати.
На пример:
Со четвртата група формули (експоненцијална функција) сè е слично.
Еве четири најнови групиформули (5-8) за нас нов.Од каде дојдоа и за која заслуга овие егзотични функции наеднаш влегоа во табелата на основните интеграли? Зошто овие групи на функции се издвојуваат толку многу од другите функции?
Така се случувало историски во процесот на развој методи на интеграција . Кога вежбаме да земаме најширок спектар на интеграли, ќе разберете дека интегралите на функциите наведени во табелата се случуваат многу, многу често. Толку често што математичарите ги класифицираат како табеларни.) Преку нив се изразуваат многу други интеграли, од посложени конструкции.
Само за забава, можете да земете една од овие ужасни формули и да ја разликувате. :) На пример, најбруталната 7-ма формула.
Се е во ред. Математичарите не се излажаа. :)
Препорачливо е да се знае напамет табелата со интеграли, како и табелата со деривати. Во секој случај, првите четири групи формули. Не е толку тешко како што изгледа на прв поглед. Запомнете ги последните четири групи (со дропки и корени) Чаоне вреди. Како и да е, прво ќе се збуните каде да го напишете логаритамот, каде арктангенсот, каде лакот, каде 1/a, каде 1/2a... Има само еден излез - решете повеќе примери. Тогаш масата постепено ќе се памети сама по себе, а сомнежите ќе престанат да глодаат.)
Посебно љубопитните лица, внимателно разгледувајќи ја табелата, може да прашаат: каде во табелата се интегралите на другите основни „училишни“ функции - тангента, логаритам, „лаци“? Да речеме зошто има интеграл од синус во табелата, но НЕМА, да речеме, интеграл од тангента tg x? Или нема интеграл од логаритамот во x? Од лаксин arcsin x? Зошто се полоши? Но, тој е полн со некои „левак“ функции - со корени, фракции, квадрати...
Одговори. Нема полошо.) Само горенаведените интеграли (од тангента, логаритам, лак, итн.) не се табеларни . И тие се случуваат во пракса многу поретко од оние претставени во табелата. Затоа, знајте напамет, на што се еднакви не е воопшто потребно. Доволно е само да се знае како се се пресметуваат.)
Што, некој сè уште не може да издржи? Така нека биде, особено за вас!
Па, дали ќе го запаметите? :) Нели? И немој.) Но, не грижете се, дефинитивно ќе ги најдеме сите такви интеграли. Во соодветните лекции. :)
Па, сега да преминеме на својствата на неопределен интеграл. Да, да, ништо не може да се направи! Воведен е нов концепт и веднаш се разгледуваат некои од неговите својства.
Својства на неопределен интеграл.
Сега не толку добри вести.
За разлика од диференцијацијата, општи стандардни правила за интеграција, фер за сите прилики, не во математиката. Тоа е фантастично!
На пример, сите вие многу добро го знаете (се надевам!) тоа било којработа било којдве функции f(x) g(x) се диференцираат вака:
(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).
Било којколичникот се диференцира вака:
И секоја сложена функција, колку и да е комплицирана, се разликува вака:
И без разлика кои функции се скриени под буквите f и g, општите правила сепак ќе работат и дериватот, на овој или оној начин, ќе се најде.
Но, со интеграли, таков број повеќе нема да работи: за производ, количник (дропка), како и сложена функција општи формулиинтеграција не постои! Нема стандардни правила!Или подобро кажано, тие постојат. Јас залудно ја навредив математиката.) Но, прво, ги има многу помалку од општи правилаза диференцијација. И второ, повеќето од методите за интеграција за кои ќе зборуваме во следните лекции се многу, многу специфични. И тие важат само за одредена, многу ограничена класа на функции. Да речеме само за фракционо рационални функции. Или некои други.
А некои интеграли, иако постојат во природата, воопшто не се изразуваат преку елементарните „училишни“ функции! Да, да, и има многу такви интеграли! :)
Затоа интеграцијата е многу повеќе време и напорна задача отколку диференцијацијата. Но, и ова има свој пресврт. Оваа активност е креативна и многу возбудлива.) А, ако добро ја совладате табелата со интеграли и совладате барем две основни техники, за кои ќе зборуваме подоцна ( и ), тогаш навистина ќе ви се допадне интеграцијата. :)
Сега да се запознаеме со својствата на неопределен интеграл. Воопшто ги нема. Тука се.
Првите две својства се целосно аналогни на истите својства за деривати и се нарекуваат линеарност својства на неопределен интеграл . Овде сè е едноставно и логично: интегралот на збирот/разликата е еднаков на збирот/разликата на интегралите, а константниот фактор може да се извади од знакот на интегралот.
Но, следните три имоти се фундаментално нови за нас. Да ги погледнеме подетално. Тие звучат на руски како што следува.
Трет имот
Изводот на интегралот е еднаков на интеграндот
Сè е едноставно, како во бајка. Ако интегрирате функција и потоа го најдете изводот на резултатот назад, тогаш... ја добивате оригиналната интегранд функција. :) Ова својство може секогаш (и треба) да се користи за проверка на конечниот резултат од интеграцијата. Го пресметавте интегралот - диференцирајте го одговорот! Ја добивме функцијата интегранд - ОК. Ако не сме го примиле, тоа значи дека сме збркале некаде. Побарајте ја грешката.)
Се разбира, одговорот може да резултира со такви брутални и незгодни функции што нема желба да се разликуваат назад, да. Но, подобро е, ако е можно, да се обидете да се проверите. Барем во оние примери каде што е лесно.)
Четвртиот имот
Диференцијалот на интегралот е еднаков на интеграндот .
Ништо посебно овде. Суштината е иста, само dx се појавува на крајот. Според претходните правила за својство и диференцијално отворање.
Петти имот
Интегралот на диференцијалот на некоја функција е еднаков на збирот на оваа функција и произволна константа .
Ова е исто така многу едноставна сопственост. Редовно ќе го користиме и во процесот на решавање интеграли. Особено - во и.
Тука се корисни карактеристики. Нема да ви досадувам со нивните ригорозни докази овде. Предлагам оние кои сакаат да го направат тоа сами да го направат тоа. Директно во смисла на дериват и диференцијал. Ќе го докажам само последното, петтото својство, бидејќи е помалку очигледно.
Значи имаме изјава:
Го вадиме „полнењето“ на нашиот интеграл и го отвораме, според дефиницијата на диференцијалот:
За секој случај, ве потсетувам дека, според нашата нотација за дериват и антидериват, Ф’(x) = ѓ(x) .
Сега го вметнуваме нашиот резултат назад во интегралот:
Примено точно дефиниција на неопределен интеграл (нека ми прости рускиот јазик)! :)
Тоа е се.)
Па. Со ова нашето првично запознавање со мистериозниот свет на интегралите го сметам за целосно. За денес предлагам да ги заокружиме работите. Веќе сме доволно вооружени за да одиме на извидување. Ако не митралез, тогаш барем воден пиштол со основни својства и маса. :) Во следната лекција не чекаат наједноставните безопасни примери на интеграли за директна примена на табелата и пишаните својства.
Се гледаме!