Дефиниција на бројна низа. Низа од природни броеви

Математиката е наука која го гради светот. И научникот и обичниот човек - никој не може без него. Прво, малите деца се учат да бројат, потоа да собираат, одземаат, множат и делат со средно училиште, симболите на буквите влегуваат во игра, а во средно училиште тие повеќе не можат да се избегнат.

Но, денес ќе зборуваме за тоа на што се заснова целата позната математика. За заедницата на броеви наречени „ограничувања на низа“.

Што се секвенци и каде е нивната граница?

Значењето на зборот „секвенца“ не е тешко да се протолкува. Ова е распоред на работи каде што некој или нешто се наоѓа во одреден редослед или редица. На пример, редот за билети за зоолошката градина е низа. И може да има само еден! Ако, на пример, погледнете во редот во продавницата, ова е една низа. И ако едно лице од оваа редица одеднаш замине, тогаш ова е друга редица, различен редослед.

Зборот „граница“ исто така лесно се толкува - тоа е крај на нешто. Меѓутоа, во математиката, границите на низите се оние вредности на бројната линија кон која се стреми низа од броеви. Зошто се стреми и не завршува? Едноставно е, бројната линија нема крај, а повеќето секвенци, како зраците, имаат само почеток и изгледаат вака:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Оттука, дефиницијата за низа е функција на природниот аргумент. Повеќе со едноставни зборовие низа членови на одредено множество.

Како е конструирана броевната низа?

Наједноставниот пример броена низаможе да изгледа вака: 1, 2, 3, 4, …n…

Во повеќето случаи, за практични цели, секвенците се градат од броеви, а секој следен член на серијата, да го означиме X, има свое име. На пример:

x 1 е првиот член на низата;

x 2 е вториот член од низата;

x 3 е третиот член;

x n е n-тиот член.

Во практичните методи, редоследот е даден општа формула, во која има некоја променлива. На пример:

X n =3n, тогаш самата серија на броеви ќе изгледа вака:

Вреди да се запамети дека кога пишувате секвенци воопшто, можете да користите какви било латински букви, а не само X. На пример: y, z, k итн.

Аритметичка прогресија како дел од низите

Пред да ги барате границите на низите, препорачливо е да се нурне подлабоко во самиот концепт на таква серија на броеви, со кој секој се сретнал кога биле во средно училиште. Аритметичка прогресија е серија од броеви во кои разликата помеѓу соседните членови е константна.

Задача: „Нека 1 = 15, а чекорот на прогресија на броената серија d = 4. Конструирај ги првите 4 термини од оваа серија“

Решение: a 1 = 15 (по услов) е првиот член од прогресијата (бројна серија).

а 2 = 15+4=19 е вториот член од прогресијата.

а 3 =19+4=23 е третиот член.

а 4 =23+4=27 е четврти член.

Меѓутоа, со користење на овој метод е тешко да се постигнат големи вредности, на пример до 125. . Посебно за такви случаи, изведена е формула погодна за вежбање: a n =a 1 +d(n-1). Во овој случај, 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Видови секвенци

Повеќето од секвенците се бесконечни, вреди да се сеќавате до крајот на животот. Постојат два интересни типа на серии на броеви. Првиот е даден со формулата a n =(-1) n. Математичарите често ја нарекуваат оваа низа трепкач. Зошто? Ајде да ја провериме нејзината бројна серија.

1, 1, -1, 1, -1, 1, итн. Со ваков пример, станува јасно дека броевите во низи лесно може да се повторат.

Факториска низа. Лесно е да се погоди - формулата што ја дефинира низата содржи фактор. На пример: a n = (n+1)!

Тогаш низата ќе изгледа вака:

a 2 = 1x2x3 = 6;

и 3 = 1x2x3x4 = 24, итн.

Дадена низа аритметичка прогресија, се нарекува бесконечно опаѓачки ако неравенството -1 се набљудува за сите негови членови

и 3 = - 1/8, итн.

Постои дури и низа која се состои од ист број. Значи, n =6 се состои од бесконечен број шестки.

Одредување на границата на низата

Ограничувањата на низата одамна постојат во математиката. Се разбира, тие заслужуваат свој компетентен дизајн. Значи, време е да ја научиме дефиницијата за границите на низата. Прво, детално да ја разгледаме границата за линеарна функција:

Сите граници се скратени како lim.
Ознаката за ограничување се состои од кратенката lim, која било променлива која се стреми кон одреден број, нула или бесконечност, како и самата функција.

Лесно е да се разбере дека дефиницијата на границата на низата може да се формулира на следниов начин: тоа е одреден број до кој бесконечно се приближуваат сите членови на низата. Едноставен пример: a x = 4x+1. Тогаш самата низа ќе изгледа вака.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Така, оваа низа ќе се зголемува бесконечно, што значи дека нејзината граница е еднаква на бесконечноста како x→∞, и треба да се напише вака:

Ако земеме слична низа, но x се стреми кон 1, добиваме:

А серијата на броеви ќе биде вака: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 итн. Секој пат кога ќе треба да го замените бројот поблиску до еден (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Од оваа серија е јасно дека границата на функцијата е пет.

Од овој дел вреди да се потсетиме која е границата на нумеричката низа, дефиницијата и методот за решавање едноставни проблеми.

Општа ознака за граница на низи

Откако ќе ја испитате границата на броена низа, нејзината дефиниција и примери, можете да продолжите на посложена тема. Апсолутно сите граници на низи може да се формулираат со една формула, која обично се анализира во првиот семестар.

Значи, што значи овој сет на букви, модули и знаци за нееднаквост?

∀ е универзален квантификатор, кој ги заменува фразите „за сите“, „за сè“ итн.

∃ е егзистенцијален квантификатор, во овој случај тоа значи дека има некоја вредност N што припаѓа на множеството природни броеви.

Долг вертикален стап кој следи N значи дека даденото множество N е „такво“. Во пракса, тоа може да значи „такво тоа“, „таквото“ итн.

За да го зајакнете материјалот, прочитајте ја формулата гласно.

Несигурност и сигурност на границата

Методот за наоѓање на границата на секвенците, кој беше дискутиран погоре, иако е едноставен за употреба, не е толку рационален во пракса. Обидете се да ја пронајдете границата за оваа функција:

Ако замениме различни вредности на „x“ (се зголемува секој пат: 10, 100, 1000 итн.), тогаш добиваме ∞ во броителот, но и ∞ во именителот. Ова резултира со прилично чудна фракција:

Но, дали е ова навистина така? Пресметувањето на границата на бројна низа во овој случај изгледа прилично лесно. Би можело се да се остави како што е, бидејќи одговорот е готов, а е добиен под разумни услови, но има и друг начин конкретно за вакви случаи.

Прво, да го најдеме највисокиот степен во броителот на дропката - ова е 1, бидејќи x може да се претстави како x 1.

Сега да го најдеме највисокиот степен во именителот. Исто така 1.

Да ги поделиме и броителот и именителот со променливата до највисок степен. Во овој случај, поделете ја дропот со x 1.

Следно, ќе откриеме кон која вредност има тенденција секој поим што содржи променлива. Во овој случај, се земаат предвид фракциите. Како x→∞, вредноста на секоја дропка се стреми кон нула. Кога ја поднесувате вашата работа во писмена форма, треба да ги направите следните фусноти:

Ова резултира со следниов израз:

Се разбира, дропките што содржат x не станале нули! Но, нивната вредност е толку мала што е сосема дозволено да не се земе предвид во пресметките. Всушност, x никогаш нема да биде еднаква на 0 во овој случај, бидејќи не можете да делите со нула.

Што е маало?

Да претпоставиме дека професорот има на располагање сложена низа, дадена, очигледно, со еднакво сложена формула. Професорот го најде одговорот, но дали е во право? На крајот на краиштата, сите луѓе прават грешки.

Огист Коши еднаш смисли одличен начин да ги докаже границите на секвенците. Неговиот метод беше наречен манипулација со соседството.

Да претпоставиме дека постои одредена точка a, нејзиното соседство во двете насоки на бројната права е еднакво на ε („епсилон“). Бидејќи последната променлива е растојанието, нејзината вредност е секогаш позитивна.

Сега да дефинираме некоја низа x n и да претпоставиме дека десеттиот член од низата (x 10) е вклучен во соседството на a. Како можеме да го напишеме овој факт на математички јазик?

Да речеме дека x 10 е десно од точката a, а потоа растојанието x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Сега е време да се објасни во пракса формулата дискутирана погоре. Праведно е да се нарече одреден број a крајна точка на низата ако за која било од неговите граници неравенката ε>0 е исполнета, а целото соседство има свој природен број N, така што сите членови на низата со повисоки броеви ќе биде внатре во низата |x n - a|< ε.

Со такво знаење лесно е да се решат границите на низата, да се докаже или побие готовиот одговор.

Теореми

Теоремите за границите на низите се важна компонента на теоријата, без која практиката е невозможна. Постојат само четири главни теореми, запомнувањето што може да го олесни решението или докажувањето:

Уникатност на границата на низа. Секоја низа може да има само една граница или воопшто да нема. Истиот пример со редица која може да има само еден крај.
Ако серијата од броеви има ограничување, тогаш низата од овие броеви е ограничена.
Границата на збирот (разлика, производ) на низите е еднаква на збирот (разлика, производ) на нивните граници.
Границата на количникот на делење на две низи е еднаква на количникот на границите ако и само ако именителот не исчезне.

Доказ за секвенци

Понекогаш треба да решите инверзен проблем, за да докажете дадена граница на нумеричка низа. Ајде да погледнеме на пример.

Докажете дека границата на низата дадена со формулата е нула.

Според правилото дискутирано погоре, за која било низа неравенката |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Да го изразиме n преку „епсилон“ за да покажеме постоење на одреден број и да докажеме присуство на граница на низата.

Во овој момент, важно е да се запамети дека „epsilon“ и „en“ се позитивни броеви и не се еднакви на нула. Сега е можно да се продолжат понатамошните трансформации користејќи ги знаењата за нееднаквостите стекнати во средно училиште.

Како излегува дека n > -3 + 1/ε. Бидејќи вреди да се запамети дека зборуваме за природни броеви, резултатот може да се заокружи со ставање во квадратни загради. Така, докажано е дека за која било вредност на соседството „епсилон“ на точката a = 0 е пронајдена вредност таква што почетната неравенка е задоволена. Од тука можеме безбедно да кажеме дека бројот a е граница на дадена низа. Q.E.D.

Овој пригоден метод може да се користи за докажување на границата на нумеричка низа, без разлика колку е сложена таа на прв поглед. Главната работа е да не паничите кога ќе ја видите задачата.

Или можеби тој не е таму?

Постоењето на граница на конзистентност не е неопходно во пракса. Лесно може да наидете на серии на бројки на кои навистина им нема крај. На пример, истото „светло кое трепка“ x n = (-1) n. очигледно е дека низата која се состои од само две цифри, циклично повторувани, не може да има граница.

Истата приказна се повторува со низи составени од еден број, фракциони, кои имаат несигурност на кој било ред при пресметките (0/0, ∞/∞, ∞/0, итн.). Сепак, треба да се запомни дека се случуваат и неточни пресметки. Понекогаш двојната проверка на сопственото решение ќе ви помогне да го пронајдете ограничувањето на низата.

Монотона низа

Неколку примери на секвенци и методи за нивно решавање беа дискутирани погоре, а сега да се обидеме да земеме поконкретен случај и да го наречеме „монотона низа“.

Дефиниција: секоја низа со право може да се нарече монотоно растечка ако за неа важи строгата неравенка x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Заедно со овие два услови, постојат и слични нестроги нееднаквости. Соодветно на тоа, x n ≤ x n +1 (ненамалувачка низа) и x n ≥ x n +1 (секвенца што не се зголемува).

Но, полесно е да се разбере ова со примери.

Низата дадена со формулата x n = 2+n ја формира следната серија на броеви: 4, 5, 6, итн. Ова е монотоно растечка низа.

И ако земеме x n =1/n, ја добиваме серијата: 1/3, ¼, 1/5, итн. Ова е монотоно опаѓачка низа.

Граница на конвергентна и ограничена низа

Ограничена низа е низа што има граница. Конвергентна низа е низа од броеви кои имаат бесконечно мала граница.

Така, границата на ограничена низа е кој било реален или комплексен број. Запомнете дека може да има само една граница.

Границата на конвергентна низа е бесконечно мала (реална или сложена) големина. Ако нацртате дијаграм со низа, тогаш во одреден момент ќе изгледа дека се спојува, има тенденција да се претвори во одредена вредност. Оттука и името - конвергентна низа.

Граница на монотона низа

Може или не може да има ограничување на таквата низа. Прво, корисно е да се разбере кога постои оттука можете да започнете кога докажувате отсуство на ограничување.

Меѓу монотоните низи, се разликуваат конвергентни и дивергентни. Конвергентна е низа која е формирана од множеството x и има реална или сложена граница во ова множество. Дивергентна е низа која нема ограничување во своето множество (ниту реална, ниту сложена).

Згора на тоа, низата конвергира ако, во геометриски приказ, нејзините горни и долни граници се спојуваат.

Границата на конвергентна низа може да биде нула во многу случаи, бидејќи секоја бесконечно мала низа има позната граница (нула).

Без оглед на конвергентната низа што ја земате, сите тие се ограничени, но не се спојуваат сите ограничени низи.

Збирот, разликата, производот на две конвергентни низи е исто така конвергентна низа. Меѓутоа, количникот може да биде и конвергентен ако е дефиниран!

Различни акции со ограничувања

Ограничувањата на низата се исто толку значајни (во повеќето случаи) како и цифрите и броевите: 1, 2, 15, 24, 362, итн. Излегува дека некои операции може да се изведат со ограничувања.

Прво, како и цифрите и броевите, границите на која било низа може да се додаваат и одземаат. Врз основа на третата теорема за границите на низите, важи следната еднаквост: границата на збирот на низите е еднаква на збирот на нивните граници.

Второ, врз основа на четвртата теорема за границите на низите, следнава еднаквост е точно: границата на производот од n-тиот број низи е еднаква на производот на нивните граници. Истото важи и за делењето: границата на количникот на две низи е еднаква на количникот на нивните граници, под услов границата да не е нула. На крајот на краиштата, ако границата на низите е еднаква на нула, тогаш ќе резултира поделба со нула, што е невозможно.

Својства на низа величини

Се чини дека границата на нумеричката низа е веќе дискутирана во некои детали, но фразите како што се „бесконечно мали“ и „бесконечно големи“ броеви се споменуваат повеќе од еднаш. Очигледно, ако има низа 1/x, каде што x→∞, тогаш таквата дропка е бесконечно мала, а ако истата низа, но границата се стреми кон нула (x→0), тогаш дропот станува бесконечно голема вредност. И таквите количини имаат свои карактеристики. Својствата на границата на низа со какви било мали или големи вредности се како што следува:

Мала количина ќе биде и збирот на кој било број од кој било број мали количини.
Збирот на кој било број на големи количини ќе биде бескрајно голема количина.
Производот на произволно мали количини е бесконечно мал.
Производот на кој било број на големи броеви е бесконечно голем.
Ако оригиналната низа се стреми кон бесконечно голем број, тогаш нејзината инверзна ќе биде бесконечно мала и ќе има тенденција на нула.

Всушност, пресметувањето на границата на низата не е толку тешка задача ако знаете едноставен алгоритам. Но, границите на конзистентноста се тема која бара максимално внимание и упорност. Се разбира, доволно е едноставно да се сфати суштината на решението на таквите изрази. Почнувајќи од мали, можете да постигнете големи височини со текот на времето.

Да разгледаме одредено множество (класа) множества, од кои секоја содржи по еден елемент. Секој природен број е карактеристика на класата на еквивалентни конечни множества, потоа да го поврземе природниот број „еден“ со оваа класа и да го означиме со симболот „1“. Дозволете ни да избереме кое било множество „единица“ од оваа класа, нека , и додадете уште еден елемент на ова множество, добиваме ново множество. Ако формираме класа на конечни множества еквивалентни на множеството, тогаш на новата класа ќе и го доделиме природниот број „два“ и ќе го означиме со симболот „2“. Понатамошното продолжување на овој бесконечен процес на формирање на нови конечни множества и соодветни класи доведува до формирање на две бесконечни низи:

(а) бесконечна низа од множества (1); секое од овие множества служи како претставник на соодветната класа;

(б) бесконечна низа природни броеви 1;2;3;…р...(2), секој од овие броеви е карактеристика на соодветната класа.

Споредбата на низите (1) и (2) води до следните заклучоци:

1). Во (1) има почетен елемент и во (2) има почетен елемент 1;

2). Во (1) по секое множество веднаш следи едно множество во кое има еден елемент повеќе отколку во множеството од претходната класа, затоа во (2) по секој природен број веднаш следи само еден природен број поголем од претходниот по еден.

3). Во (1) секоја класа освен почетната веднаш следи само една класа, така што во (2) секој природен број освен еден веднаш следи само еден природен број.

4). Во (1) секое множество од дадена класа е или подмножество на кое било множество од класата што следи или е еквивалентно на подмножество од кое било множество од класата што следи, затоа во (2) природните броеви се подредени така што секоја од нив е помала од која било што ја следи: 1<2<3<…..<n<n+ 1<… (3).

Врз основа на основните принципи на методот на математичка индукција, можеме да тврдиме дека (2) е низа од природни броеви.

3. Користење на низа од природни броеви за одредување на големината на конечно множество.

Одредувањето на големината на конечното множество значи броење на бројот на елементи во ова множество за такво броење, се користи концептот на сегмент;

Деф. 4. Отсечка од низата (2) е множество од први природни броеви од низата (2) кои не го надминуваат бројот " n».

Пример. .

За да го одредиме бројот, на пример, на множество, ја доведуваме низата на неговите елементи во кореспонденција еден на еден со елементите на сегментот:

. Оттогаш на многумина ДОможе да се поврзе со бројот „6“, овој број се нарекува број на елементи од множеството К: n(K)=6,велат дека бројот „6“ го изразува бројот на луѓе ДО.

ОДА. 5. Со броењеелементи на множеството е процес на доведување на елементите на множеството во кореспонденција еден-на-еден ДОсо елементи на сегмент од природната серија.

При повторно пресметување на елементите на конечно множество природни броеви не се одредува само бројот на елементите на множеството, туку се одредува и редоследот на распоредот на елементите во множеството. Во првиот случај, природниот број „n“ покажува колку елементи содржи множеството, се нарекува „n“. квантитативниброј. Во вториот случај, природниот број „n“ го претставува редниот број на некој елемент од множеството тој се нарекува реден број;

4. Операција на собирање броеви во множеството Н.

Во множеството N природни броеви, покрај односите на еднаквост и неравенство, воведени се и голем број операции. Секоја од операциите може да се воведе во теорија заснована на теоријата на множества.

ОДА .6 . Збир на два дадени природни броја

се нарекува природен број, каде што .

5), - својството на монотоност на збирот (при собирање на нееднакви броеви добиваме нееднакви броеви со исто значење).

Природниот број е квантитативна карактеристика на едно непроменливо множество, меѓутоа, во пракса, бројот на предмети постојано се менува, на пример, бројот на добиток на одредена фарма. Покрај тоа, наједноставната, но и најважната низа веднаш се појавува во процесот на броење - ова е низата природни броеви: 1, 2, 3, ....

Ако промената на бројот на предмети во одредена популација е фиксирана во форма на одредена низа природни броеви (членови на низата), веднаш природно се појавува друга низа - низа од броеви, на пример.

Во овој поглед, се јавува проблемот со именување на членовите на низата. Назначувањето на секој член со посебна буква е крајно незгодно од следните причини. Прво, низата може да содржи многу голем, па дури и бесконечен број поими. Второ, различни букви го кријат фактот дека членовите на низата припаѓаат на иста популација, иако го менуваат бројот на елементи. Конечно, во овој случај нема да се рефлектираат членовите во низата.

Овие причини го прават неопходно да се назначат членовите на низата со една буква и да се разликуваат по индекс. На пример, низа составена од десет члена може да се означи со буквата А: А 1 , А 2 , А 3 , …, А 10 . Фактот дека низата е бесконечна се изразува со елипса, како да ја продолжува оваа низа бесконечно: А 1 , А 2 , А 3, ... Понекогаш низата почнува да се нумерира од нула: : А 0 , А 1 , А 2 , А 3 , …

Некои секвенци може да се сфатат како случајни множества на броеви, бидејќи законот за формирање на членовите на низата е непознат, па дури и отсутен. Сепак, посебно внимание се обрнува на секвенците по кои е познат таков закон.

За да се означи законот за формирање на членовите на низата, најчесто се користат два методи. Првиот од нив е како што следува. Се одредува првиот член, а потоа се одредува методот според кој се добива следниот со користење на последниот, веќе познат поим. За да се напише закон, се користи член на низа со неодреден број, на пример, и ки следниот член и k +1, по што се запишува формулата што ги поврзува.

Најпознати и најважни примери се аритметичките и геометриските прогресии. Аритметичката прогресија се дефинира со формулата и k +1 = и k + r(или и k +1 = и k – r). Условите на аритметичката прогресија или се зголемуваат рамномерно (како скала) или се намалуваат рамномерно (исто така како скала). Магнитуда рсе нарекува прогресивна разлика бидејќи и k +1 – и k = r. Примери за аритметички прогресии со природни членови се

а) природни броеви ( а 1 = 1 ;и k +1 = и k + 1);

б) бесконечна низа 1, 3, 5, 7, ... ( а 1 = 1 ;и k +1 = и k + 2);

в) последната низа 15, 12, 9, 6, 3 ( а 1 = 15 ;и k +1 = и к–3 ).

Геометриската прогресија е дадена со формулата b k +1 = b k ∙q. Магнитуда qсе нарекува именител на геометриска прогресија бидејќи b k +1:b k = q. Геометриските прогресии со природни термини и именител поголем од еден растат и растат брзо, дури и како лавина. Примери за геометриски прогресии со природни поими се

а) бесконечна низа 1, 2, 4, 8, ... ( б 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

б) бесконечна низа 3, 12, 48, 192, 768,... ( б 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

Вториот начин да се означи законот за одредување на условите на низата е да се наведе формула која ви овозможува да пресметате член на низа со неодреден број (заеднички член), на пример, и к, користејќи го бројот к.

На овој начин може да се пресметаат и термините за аритметички и геометриски прогресии. Бидејќи аритметичката прогресија се дефинира со формулата и k +1 = и k + r, лесно е да се разбере како се изразува членот и ккористејќи го бројот к:

а 1– определено произволно;

а 2 = a 1 + r= a 1 + 1∙r;

а 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;

а 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;

…………………………………

и к = а 1 + (к–1)∙р– конечна формула.

За геометриска прогресија, формулата за општиот термин е изведена на сличен начин: b k = b 1 ∙ q k –1 .

Покрај аритметичките и геометриските прогресии, на ист начин може да се одредат и други низи кои имаат посебен карактер на промена. Како пример, даваме низа квадрати од природни броеви: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Постојат посложени начини на формирање на секвенци, на пример, еден се гради со помош на друг. Од особено значење за аритметиката е геометриската прогресија одредена со параметрите б 1 = 1, q= 10, односно низата на сили од десет: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Се користи за претставување на природни броеви во позиционен број систем. Притоа, за секој природен број nсе појавува низа составена од броеви со кои се запишува дадениот број: a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Број и кпокажува колку члена од типот 10 ксодржи број n.

Концептот на низа води до најважните концепти на количина и функција за математиката. Количеството е променлива нумеричка карактеристика на објект или феномен. Неговата промена се перцепира како низа од броеви. Постоењето на врска помеѓу самите поими и нивниот број, како и нејзиното изразување со помош на формули, води блиску до концептот на функција.

10. Децимален броен систем.

Најважното математичко откритие, кое го користи речиси секој член на прилично развиено општество, е позициониот броен систем. Тоа овозможи да се реши главниот проблем на броењето, а тоа е можноста да се именуваат се повеќе и повеќе нови броеви, користејќи ознаки (цифри) само за првите неколку броеви.

Позициониот броен систем традиционално се поврзува со бројот десет, но други системи, на пример, бинарни, можат да се градат на истите принципи. При конструирање на декаден позиционен броен систем се воведуваат десет арапски бројки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Со нивна помош може да се напише број кој го изразува бројот на предмети од секое конечно множество. За таа цел се користи посебен алгоритам, односно јасно дефинирана низа на елементарни дејства.

Предметите што се бројат се комбинираат во групи од десет, што одговара на делење за десет со остаток. Како резултат на тоа, се формираат две множества - едни и десетици. Десетките повторно се групирани по десетици во стотици. Јасно е дека бројот на десетици (го означуваме со а 1) е нужно помалку од десет, и затоа, а 1може да се означи со број. Потоа стотиците се групираат во илјадници, илјадниците во десетици илјади итн. додека не се групираат сите ставки. Конструкцијата на бројот се завршува со запишување на добиените броеви од лево кон десно од големи индекси на помали. Дигитален и кодговараат на бројот на групи на објекти од 10 к. Конечниот запис на број се состои од конечна низа од цифри a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Соодветниот број е еднаков на изразот

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

Зборот „позиционен“ во името на броевниот систем се должи на фактот што бројот го менува своето значење во зависност од неговата позиција во ознаката на бројот. Последната цифра го одредува бројот на единици, претпоследната цифра го одредува бројот на десетици итн.

Забележете дека алгоритмот за добивање запис на броеви во броен систем со која било основа Н: се состои од секвенцијално групирање на објекти според Нработи. Кога пишувате броеви мора да користите Нброеви

Вовед…………………………………………………………………………………… 3

1. Теоретски дел………………………………………………………………….4

Основни поими и поими……………………………………………………………………………………………………………………………………

1.1 Видови низи……………………………………………………………………………

1.1.1. Секвенци со ограничен и неограничен број…..6

1.1.2. Монотоничност на низите……………………………………………6

1.1.3. Бесконечно големи и бесконечно мали низи…….7

1.1.4. Својства на бесконечно мали низи………………………8

1.1.5.Конвергентни и дивергентни низи и нивните својства.....9

1.2 Ограничување на низа………………………………………………………….11

1.2.1.Теореми за границите на низите……………………………………15

1.3 Аритметичка прогресија………………………………………………………

1.3.1. Својства на аритметичката прогресија…………………………………..17

1.4 Геометриска прогресија………………………………………………………………..19

1.4.1. Својства на геометриската прогресија……………………………………….19

1.5. Фибоначи броеви…………………………………………………………………..21

1.5.1 Поврзување на броевите на Фибоначи со други области на знаење……………………….22

1.5.2. Користење на серијата броеви Фибоначи за опишување на жива и нежива природа…………………………………………………………………………………………………………….23

2. Сопствено истражување……………………………………………………….28

Заклучок……………………………………………………………………………….30

Список на референци……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Вовед.

Секвенците на броеви се многу интересна и едукативна тема. Оваа тема се среќава во задачите со зголемена сложеност што им ги нудат на студентите авторите на дидактички материјали, во проблемите на математичките олимпијади, приемните испити на високообразовните институции и Единствениот државен испит. Заинтересиран сум да научам како математичките секвенци се поврзани со други области на знаење.

Цел на истражувачката работа: Да ги прошири знаењата за низата на броеви.

1. Размислете за низата;

2. Размислете за неговите својства;

3. Размислете за аналитичката задача на низата;

4. Да ја покаже својата улога во развојот на други области на знаење.

5. Покажете ја употребата на серијата броеви Фибоначи за опишување на жива и нежива природа.

1. Теоретски дел.

Основни поими и поими.

Дефиниција. Нумеричка низа е функција од формата y = f(x), x О N, каде N е збир од природни броеви (или функција од природен аргумент), означени y = f(n) или y1, y2, …, да,…. Вредностите y1, y2, y3,... се нарекуваат први, втори, трети,... членови на низата, соодветно.

Бројот a се нарекува граница на низата x = (x n ) ако за произволен однапред одреден произволно мал позитивен број ε постои природен број N таков што за сите n>N неравенката |x n - a|< ε.

Ако бројот a е граница на низата x = (x n ), тогаш велат дека x n се стреми кон a и пишуваат

Секвенцата (yn) се вели дека се зголемува ако секој член (освен првиот) е поголем од претходниот:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Низата (yn) се нарекува опаѓачка ако секој член (освен првиот) е помал од претходниот:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > ….

Зголемувачките и намалувачките низи се комбинираат под заедничкиот термин - монотони секвенци.

Низата се нарекува периодична ако има природен број T таков што, почнувајќи од некое n, важи еднаквоста yn = yn+T. Бројот Т се нарекува должина на период.

Аритметичка прогресија е низа (an), чиј член, почнувајќи од вториот, е еднаков на збирот на претходниот член и истиот број d, се нарекува аритметичка прогресија, а бројот d е разлика на аритметичка прогресија.

Така, аритметичка прогресија е нумеричка низа (an) дефинирана периодично со односите

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Геометриска прогресија е низа во која сите членови се различни од нула и чиј член, почнувајќи од вториот, се добива од претходниот член со множење со истиот број q.

Така, геометриската прогресија е нумеричка низа (bn) дефинирана повторливо со релациите

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Видови низи.

1.1.1 Ограничени и неограничени секвенци.

Низата (bn) се вели дека е ограничена погоре ако има број M таков што за кој било број n важи неравенството bn≤ M;

Низата (bn) се нарекува ограничена подолу ако има број M таков што за кој било број n важи неравенката bn≥ M;

На пример:

1.1.2 Монотонија на низите.

Низата (bn) се нарекува нерастечка (неопаѓачка) ако за кој било број n неравенството bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) е точно;

Низата (bn) се нарекува намалување (зголемување) ако за кој било број n неравенката bn> bn+1 (bn

Намалувачките и растечките низи се нарекуваат строго монотони, секвенците кои не се зголемуваат се нарекуваат монотони во широка смисла.

Низите кои се ограничени и горе и долу се нарекуваат ограничени.

Низата од сите овие типови се нарекува монотона.

1.1.3 Бесконечно големи и мали низи.

Бесконечно мала низа е нумеричка функција или низа што се стреми кон нула.

Секвенцата an се вели дека е бесконечно мала ако

Функцијата се нарекува бесконечно мала во соседството на точката x0 ако ℓimx→x0 f(x)=0.

Функцијата се нарекува бесконечно мала во бесконечност ако ℓimx→.+∞ f(x)=0 или ℓimx→-∞ f(x)=0

Исто така бесконечно мала е функцијата што е разлика помеѓу функцијата и нејзината граница, односно ако ℓimx→.+∞ f(x)=a, тогаш f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Бесконечно голема низа е нумеричка функција или низа што се стреми кон бесконечност.

Секвенцата an се вели дека е бесконечно голема ако

ℓimn→0 an=∞.

Се вели дека функцијата е бесконечно голема во соседството на точката x0 ако ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Се вели дека функцијата е бесконечно голема во бесконечност ако

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ или ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Својства на бесконечно мали низи.

Збирот на две бесконечно мали низи сам по себе е исто така бесконечно мала низа.

Разликата на две бесконечно мали низи сама по себе е исто така бесконечно мала низа.

Алгебарскиот збир на кој било конечен број на бесконечно мали низи е и самата бесконечно мала низа.

Производот на ограничена низа и бесконечно мала низа е бесконечно мала низа.

Производот на кој било конечен број на бесконечно мали низи е бесконечно мала низа.

Секоја бесконечно мала низа е ограничена.

Ако стационарната низа е бесконечно мала, тогаш сите нејзини елементи, почнувајќи од одредена точка, се еднакви на нула.

Ако целата бесконечно мала низа се состои од идентични елементи, тогаш овие елементи се нули.

Ако (xn) е бесконечно голема низа која не содржи нула членови, тогаш има низа (1/xn) која е бесконечно мала. Меѓутоа, ако (xn) содржи нула елементи, тогаш низата (1/xn) сепак може да се дефинира почнувајќи од некој број n и сепак ќе биде бесконечно мала.

Ако (an) е бесконечно мала низа која не содржи нула членови, тогаш има низа (1/an) која е бесконечно голема. Ако (an) сепак содржи нула елементи, тогаш низата (1/an) сепак може да се дефинира почнувајќи од некој број n и сепак ќе биде бесконечно голема.

1.1.5 Конвергентни и дивергентни низи и нивните својства.

Конвергентна низа е низа од елементи од множеството X што има граница во ова множество.

Дивергентна низа е низа што не е конвергентна.

Секоја бесконечно мала низа е конвергентна. Нејзината граница е нула.

Отстранувањето на кој било конечен број елементи од бесконечна низа не влијае ниту на конвергенцијата ниту на границата на таа низа.

Секоја конвергентна низа е ограничена. Сепак, не секоја ограничена низа конвергира.

Ако низата (xn) конвергира, но не е бесконечно мала, тогаш, почнувајќи од одреден број, се дефинира низа (1/xn), која е ограничена.

Збирот на конвергентни низи е исто така конвергентна низа.

Разликата на конвергентни низи е исто така конвергентна низа.

Производот на конвергентни низи е исто така конвергентна низа.

Количникот на две конвергентни низи е дефиниран почнувајќи од некој елемент, освен ако втората низа е бесконечно мала. Ако е дефиниран количникот на две конвергентни низи, тогаш тоа е конвергентна низа.

Ако конвергентна низа е ограничена подолу, тогаш ниту еден од нејзините инфимуми не ја надминува нејзината граница.

Ако конвергентна низа е ограничена погоре, тогаш нејзината граница не надминува ниту една од нејзините горни граници.

Ако за кој било број членовите на една конвергентна низа не ги надминуваат членовите на друга конвергентна низа, тогаш границата на првата низа исто така не ја надминува границата на втората.

Размислете за низа природни броеви: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Ако го замениме секој природен број nво оваа серија за одреден број а n, по некој закон, добиваме нова серија на броеви:

а 1 , а 2 , а 3, , а n –1 , а n , ,

накратко назначен и повикан нумеричка низа. Магнитуда а nсе нарекува заеднички член на бројна низа. Обично нумеричката низа е дадена со некоја формула а n = ѓ(n) овозможувајќи ви да пронајдете кој било член на низата според неговиот број n; оваа формула се нарекува општ термин формула. Забележете дека не е секогаш можно да се дефинира нумеричка низа користејќи формула за општ термин; понекогаш низа се одредува со опишување на нејзините членови.

По дефиниција, низата секогаш содржи бесконечен број елементи: кои било два различни елементи се разликуваат барем во нивниот број, од кои има бесконечно многу.

Бројната низа е посебен случај на функција. Низа е функција дефинирана на множеството природни броеви и зема вредности во множеството реални броеви, т.е. функција од формата ѓ : Н  Р.

Последователија
повикани се зголемува(се намалува), доколку има некој n  Н
Таквите низи се нарекуваат строго монотоно.

Понекогаш е погодно да се користат не сите природни броеви како броеви, туку само некои од нив (на пример, природните броеви кои почнуваат од некој природен број n 0). За нумерирање, исто така е можно да се користат не само природни броеви, туку и други броеви, на пример, n= 0, 1, 2,  (тука нулата се додава како друг број на множеството природни броеви). Во такви случаи, кога ја одредувате низата, наведете кои вредности ги земаат броевите n.

Ако во некоја низа за било кој n  Н
тогаш се нарекува низата неопаѓачки(не-зголемување). Таквите низи се нарекуваат монотоно.

Пример 1 . Бројната низа 1, 2, 3, 4, 5, ... е низа природни броеви и има заеднички член а n = n.

Пример 2 . Бројната низа 2, 4, 6, 8, 10, ... е низа парни броеви и има заеднички член а n = 2n.

Пример 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... - нумеричка низа од приближни вредности со зголемена точност.

Во последниот пример невозможно е да се даде формула за општиот член на низата.

Пример 4 . Напиши ги првите 5 члена од бројната низа користејќи го нејзиниот заеднички член
. Да се пресмета а 1 е потребен во формулата за општиот термин а nнаместо nзамени 1 за пресметување а 2 − 2 итн. Тогаш имаме:

Тест 6 . Заедничкиот член на низата 1, 2, 6, 24, 120,  е:

Тест 7 .
е:

Тест 8 . Заеднички член на низата
е:

Ограничување на низата на броеви

Размислете за бројна низа чиј заеднички член се приближува до одреден број Акога серискиот број се зголемува n. Во овој случај, се вели дека низата на броеви има ограничување. Овој концепт има построга дефиниција.

Број Анаречена граница на бројна низа
:

(1)

ако за било кој  > 0 има таков број n 0 = n 0 (), во зависност од , што
на n > n 0 .

Оваа дефиниција значи дека Аима ограничување за бројна низа ако нејзиниот заеднички член се приближува без ограничување Асо зголемување n. Геометриски, тоа значи дека за било кој  > 0 може да се најде таков број n 0 , што, почнувајќи од n > n 0, сите членови на низата се наоѓаат во интервалот ( А – , А+ ). Се нарекува низа со граница конвергентен; инаку - дивергентни.

Бројната низа може да има само една граница (конечна или бесконечна) на одреден знак.

Пример 5 . Хармонична низа го има граничниот број 0. Навистина, за кој било интервал (–; +) како број Н 0 може да биде кој било цел број поголем од . Потоа за сите n > n 0 > имаме

Пример 6 . Низата 2, 5, 2, 5,  е дивергентна. Навистина, ниту еден интервал со должина помала од, на пример, еден, не може да ги содржи сите членови на низата, почнувајќи од одреден број.

Низата се нарекува ограничен, доколку постои таков број М, Што
за сите n. Секоја конвергентна низа е ограничена. Секоја монотона и ограничена низа има граница. Секоја конвергентна низа има единствена граница.