Многу луѓе мислат дека експоненцијалните нееднаквости се нешто сложено и неразбирливо. А дека учењето да се решаваат е речиси голема уметност, која само избраните се способни да ја сфатат...

Целосна глупост! Експоненцијалните неравенки се лесни. И тие секогаш се решаваат едноставно. Па, скоро секогаш.

Денес ќе ја разгледаме оваа тема внатре и надвор. Оваа лекција ќе биде многу корисна за оние кои штотуку почнуваат да го разбираат овој дел од училишната математика. Да почнеме со едноставни проблеми и да преминеме на посложени прашања. Денес нема да има напорна работа, но она што ќе го прочитате сега ќе биде доволно за да ги решите повеќето нееднаквости во сите видови тестови и самостојна работа. И на овој твој испит.

Како и секогаш, да почнеме со дефиниција. Експоненцијална неравенка е секоја неравенка која содржи експоненцијална функција. Со други зборови, секогаш може да се сведе на нееднаквост на формата

\[((а)^(x)) \gt b\]

Каде што улогата на $b$ може да биде обичен број, или можеби нешто потешко. Примери? Да молам:

\[\ почеток (порамни) & ((2) ^ (x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\четири ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\крај (порамни)\]

Мислам дека значењето е јасно: постои експоненцијална функција $((a)^(x))$, се споредува со нешто, а потоа се бара да се најде $x$. Во особено клинички случаи, наместо променливата $x$, тие можат да стават некоја функција $f\left(x \десно)$ и со тоа малку да ја комплицираат нееднаквоста :)

Се разбира, во некои случаи нееднаквоста може да изгледа потешка. На пример:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Или дури и ова:

Општо земено, сложеноста на таквите неравенки може да биде многу различна, но на крајот тие сепак се сведуваат на едноставната конструкција $((a)^(x)) \gt b$. И ние некако ќе сфатиме таква конструкција (во особено клинички случаи, кога ништо не ми паѓа на ум, логаритмите ќе ни помогнат). Затоа, сега ќе ве научиме како да решавате такви едноставни конструкции.

Решавање едноставни експоненцијални неравенки

Да разгледаме нешто многу едноставно. На пример, ова:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Очигледно, бројот од десната страна може да се препише како моќ од два: $4=((2)^(2))$. Така, оригиналната нееднаквост може да се препише во многу погодна форма:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

И сега рацете ми се чешаат да ги „пречкртам“ двајцата во основите на моќта за да го добијам одговорот $x \gt 2$. Но, пред да прецртаме нешто, да се потсетиме на моќта на две:

\[((2)^(1))=2;\четири ((2)^(2))=4;\четири ((2)^(3))=8;\четири ((2)^( 4))=16;...\]

Како што можете да видите, колку е поголем бројот во експонентот, толку е поголем излезниот број. "Благодарам, капа!" - ќе извика еден од учениците. Дали е поинаку? За жал, тоа се случува. На пример:

\[((\left(\frac(1)(2) \десно))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ десно)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ лево (\ frac (1) (2) \ десно)) ^ (3)) =\ frac (1) (8 );...\]

И овде сè е логично: колку е поголем степенот, толку повеќе пати бројот 0,5 се множи сам по себе (т.е. поделен на половина). Така, добиената низа на броеви се намалува, а разликата помеѓу првата и втората низа е само во основата:

• Ако основата на степенот $a \gt 1$, тогаш како што се зголемува експонентот $n$, ќе се зголемува и бројот $((a)^(n))$;
• И обратно, ако $0 \lt a \lt 1$, тогаш како што се зголемува експонентот $n$, бројот $((a)^(n))$ ќе се намалува.

Сумирајќи ги овие факти, ја добиваме најважната изјава на која се заснова целото решение на експоненцијални неравенки:

Ако $a \gt 1$, тогаш неравенката $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогаш неравенката $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $x \lt n$.

Со други зборови, ако основата е поголема од една, можете едноставно да ја отстраните - знакот за нееднаквост нема да се промени. И ако основата е помала од една, тогаш таа исто така може да се отстрани, но во исто време ќе треба да го промените знакот за нееднаквост.

Ве молиме имајте предвид дека не ги разгледавме опциите $a=1$ и $a\le 0$. Бидејќи во овие случаи се јавува неизвесност. Да речеме како да се реши неравенка од формата $((1)^(x)) \gt 3$? Еден на која било моќ повторно ќе даде еден - никогаш нема да добиеме три или повеќе. Оние. нема решенија.

Со негативни причини сè е уште поинтересно. На пример, земете ја оваа нееднаквост:

\[((\лево(-2 \десно))^(x)) \gt 4\]

На прв поглед, сè е едноставно:

нели? Но не! Доволно е да замените неколку парни и неколку непарни броеви наместо $x$ за да се уверите дека решението е неточно. Погледни:

\[\почеток(порамни) & x=4\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(7))=-128 \lt 4. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, знаците се наизменично. Но, има и фракциони моќи и други глупости. Како, на пример, би наредиле да се пресмета $((\left(-2 \десно))^(\sqrt(7)))$ (минус два до моќта од седум)? Нема шанси!

Затоа, за дефинитивно, претпоставуваме дека во сите експоненцијални неравенки (и равенки, патем, исто така) $1\ne a \gt 0$. И тогаш сè е решено многу едноставно:

" \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \десно). \\\крај (порамни) \десно.\]

Во принцип, запомнете го главното правило уште еднаш: ако основата во експоненцијалната равенка е поголема од една, можете едноставно да ја отстраните; а ако основата е помала од една, може и таа да се отстрани, но знакот на нееднаквост ќе се промени.

Примери на решенија

Значи, да погледнеме неколку едноставни експоненцијални неравенки:

\[\begin(порамни) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\крај (порамни)\]

Примарната задача во сите случаи е иста: да се намалат неравенките до наједноставната форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Токму тоа сега ќе го правиме со секоја неравенка, а во исто време ќе ги повториме својствата на степените и експоненцијалните функции. Значи, ајде да одиме!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Што можете да направите овде? Па, лево веќе имаме индикативен израз - ништо не треба да се менува. Но, од десната страна има некаква глупост: дропка, па дури и корен во именителот!

Сепак, да се потсетиме на правилата за работа со дропки и сили:

\[\begin(порамни) & \frac(1)((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\крај (порамни)\]

Што значи тоа? Прво, лесно можеме да се ослободиме од дропката со тоа што ќе ја претвориме во моќност со негативен експонент. И второ, бидејќи именителот има корен, би било убаво да се претвори во моќност - овој пат со дробен експонент.

Применете ги овие дејства последователно на десната страна на нееднаквоста и видете што се случува:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \десно))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \десно))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \лево(-1 \десно)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Не заборавајте дека при подигање на степен до моќ, експонентите на овие степени се собираат. И воопшто, кога работите со експоненцијални равенки и неравенки, апсолутно е неопходно да се знаат барем наједноставните правила за работа со моќи:

\[\begin(порамни) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\лево(((а)^(x)) \десно))^(y))=((а)^(x\cdot y)). \\\крај (порамни)\]

Всушност, ние само го применивме последното правило. Затоа, нашата оригинална нееднаквост ќе биде препишана на следниов начин:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\десна стрелка ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ фрак (1) (3)))\]

Сега се ослободуваме од двете во основата. Од 2 > 1, знакот за нееднаквост ќе остане ист:

\[\begin(порамни) & x-1\le -\frac(1)(3)\Десна стрелка x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \десно]. \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението! Главната тешкотија воопшто не е во експоненцијалната функција, туку во компетентната трансформација на оригиналниот израз: треба внимателно и брзо да го доведете до наједноставната форма.

Размислете за втората неравенка:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Така-така. Децималните дропки не чекаат овде. Како што реков многу пати, во секој израз со моќ треба да се ослободите од децимали - ова е често единствениот начин да видите брзо и едноставно решение. Тука ќе се ослободиме од:

\[\ почеток (порамни) & 0,1=\frac(1) (10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\лево(\frac(1)(10) \ десно))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\десно стрелка ((\лево(\frac(1)(10) \десно))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \десно))^(2)). \\\крај (порамни)\]

Тука повторно имаме наједноставна неравенка, па дури и со основа 1/10, т.е. помалку од еден. Па, ги отстрануваме основите, истовремено менувајќи го знакот од „помалку“ во „повеќе“, и добиваме:

\[\почеток(порамни) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\крај (порамни)\]

Го добивме конечниот одговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Ве молиме запомнете: одговорот е точно множество, и во никој случај конструкција од формата $x \lt -1$. Бидејќи формално, таквата конструкција воопшто не е множество, туку нееднаквост во однос на променливата $x$. Да, многу е едноставно, но не е одговорот!

Важна забелешка. Оваа нееднаквост би можела да се реши на друг начин - со намалување на двете страни на моќност со основа поголема од една. Погледни:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\десно стрелка ((\лево(((10)^(-1)) \десно))^(1-x)) \ lt ((\лево(((10)^(-1)) \десно))^(2))\Десна стрелка ((10)^(-1\cdot \лево(1-x \десно)) \lt ((10)^(-1\cточка 2))\]

По таквата трансформација, повторно ќе добиеме експоненцијална неравенка, но со основа 10 > 1. Тоа значи дека можеме едноставно да ја пречкртаме десетката - знакот за неравенство нема да се промени. Добиваме:

\[\почеток(порамни) & -1\cdot \left(1-x \десно) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, одговорот беше сосема ист. Во исто време, се спасивме од потребата да го смениме знакот и генерално да запомниме какви било правила :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Сепак, не дозволувајте ова да ве плаши. Без разлика што има во индикаторите, самата технологија за решавање на нееднаквоста останува иста. Затоа, прво да забележиме дека 16 = 2 4. Ајде да ја преработиме првобитната нееднаквост земајќи го предвид овој факт:

\[\ begin(порамни) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Ура! Ја добивме вообичаената квадратна нееднаквост! Знакот не се промени никаде, бидејќи основата е два - број поголем од еден.

Нули на функција на бројната права

Ги распоредуваме знаците на функцијата $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очигледно, неговиот график ќе биде парабола со гранки нагоре, па ќе има „плусови “ на страните. Ние сме заинтересирани за регионот каде што функцијата е помала од нула, т.е. $x\in \left(2;5 \десно)$ е одговорот на оригиналниот проблем.

Конечно, разгледајте уште една нееднаквост:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Повторно гледаме експоненцијална функција со децимална дропка во основата. Ајде да ја претвориме оваа дропка во заедничка дропка:

\[\ почеток (порамни) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Десна стрелка \\ & \Десна стрелка ((0 ,2 )^(1+((x)^(2)))=((\лево(((5)^(-1)) \десно))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \десно)))\крај (порамни)\]

Во овој случај, ја искористивме забелешката дадена претходно - ја намаливме основата на бројот 5 > 1 со цел да го поедноставиме нашето понатамошно решение. Ајде да го сториме истото со десната страна:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \десно))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ десно))^(2))=((5)^(-1\cточка 2))=((5)^(-2))\]

Дозволете ни да ја преработиме првобитната нееднаквост земајќи ги предвид двете трансформации:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\десно стрелка ((5)^(-1\cdot \лево(1+ ((x)^(2))\десно)))\ge ((5)^(-2))\]

Основите на двете страни се исти и надминуваат една. Нема други термини десно и лево, па едноставно ги „пречкртаме“ петките и добиваме многу едноставен израз:

\[\begin(порамни) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \десно)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\крај (порамни)\]

Ова е местото каде што треба да бидете повнимателни. Многу студенти сакаат едноставно да го земат квадратниот корен од двете страни на нееднаквоста и да напишат нешто како $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Во никој случај не треба да се прави тоа , бидејќи коренот на точниот квадрат е модул, и во никој случај оригинална променлива:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\лево| x\десно|\]

Сепак, работата со модули не е најпријатното искуство, нели? Значи нема да работиме. Наместо тоа, ние едноставно ги преместуваме сите поими налево и ја решаваме вообичаената нееднаквост користејќи го методот на интервал:

$\begin(порамни) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \лево(x-1 \десно)\лево(x+1 \десно)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\четири ((x)_(2)) =-1; \\\крај (порамни)$

Повторно ги означуваме добиените точки на бројната линија и ги гледаме знаците:

Ве молиме имајте предвид: точките се засенчени

Бидејќи решававме нестрога неравенка, сите точки на графикот се засенчени. Затоа, одговорот ќе биде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, туку сегмент.

Во принцип, би сакал да забележам дека нема ништо комплицирано за експоненцијалните нееднаквости. Значењето на сите трансформации што ги извршивме денес се сведува на едноставен алгоритам:

• Најдете ја основата на која ќе ги намалиме сите степени;
• Внимателно изведете ги трансформациите за да добиете неравенство од формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Се разбира, наместо променливите $x$ и $n$ може да има многу посложени функции, но значењето нема да се промени;
• Пречкртајте ги основите на степените. Во овој случај, знакот за нееднаквост може да се промени ако основата $a \lt 1$.

Всушност, ова е универзален алгоритам за решавање на сите такви нееднаквости. А се друго што ќе ви кажат на оваа тема се само конкретни техники и трикови кои ќе ја поедностават и забрзаат трансформацијата. Сега ќе зборуваме за една од овие техники.

Метод на рационализација

Да разгледаме уште еден сет на нееднаквости:

\[\begin(порамни) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\текст( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\лево(\frac(1)(9) \десно))^(16-x)); \\ & ((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\крај (порамни)\]

Значи, што е толку посебно за нив? Тие се лесни. Иако, застани! Дали бројот π е подигнат на некоја моќ? Какви глупости?

Како да се подигне бројот $2\sqrt(3)-3$ на моќност? Или $3-2\sqrt(2)$? Проблематичните писатели очигледно испиле премногу глог пред да седнат на работа :)

Всушност, нема ништо страшно во овие задачи. Дозволете ми да ве потсетам: експоненцијална функција е израз на формата $((a)^(x))$, каде што основата $a$ е кој било позитивен број освен еден. Бројот π е позитивен - тоа веќе го знаеме. Броевите $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ се исто така позитивни - ова е лесно да се види дали ги споредувате со нула.

Излегува дека сите овие „застрашувачки“ нееднаквости се решени не се разликуваат од едноставните дискутирани погоре? И дали се решаваат на ист начин? Да, тоа е апсолутно точно. Сепак, користејќи го нивниот пример, би сакал да разгледам една техника која во голема мера заштедува време на самостојна работа и испити. Ќе зборуваме за методот на рационализација. Значи, внимание:

Секоја експоненцијална неравенка од формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ десно) \gt 0 $.

Тоа е целиот метод :) Мислевте дека ќе има некоја друга игра? Ништо вакво! Но, овој едноставен факт, напишан буквално во еден ред, во голема мера ќе ја поедностави нашата работа. Погледни:

\[\begin(матрица) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2)-3x+2)) \\ \Надолу \\ \лево(x+7-\лево(((x)^(2)) -3x+2 \десно) \десно)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \десно) \gt 0 \\\end (матрица)\]

Значи, нема повеќе експоненцијални функции! И не треба да се сеќавате дали знакот се менува или не. Но, се појавува нов проблем: што да се прави со проклетиот множител \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Не знаеме која е точната вредност на бројот π. Сепак, капитенот се чини дека го навестува очигледното:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приближно 3,14... \gt 3\Десна стрелка \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Во принцип, точната вредност на π навистина не нè засега - важно е само да разбереме дека во секој случај $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. ова е позитивна константа и можеме да ги поделиме двете страни на нееднаквоста со неа:

\[\почеток(порамни) & \лево(x+7-\лево(((x)^(2))-3x+2 \десно) \десно)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \десно) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \десно) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \лево(x-5 \десно)\лево(x+1 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, во одреден момент моравме да се поделиме со минус еден - и знакот на нееднаквост се промени. На крајот, го проширив квадратниот трином користејќи ја теоремата на Виета - очигледно е дека корените се еднакви на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=-1$ . Потоа сè е решено користејќи го класичниот метод на интервал:

Решавање на неравенство со методот на интервал

Сите точки се отстранети бидејќи првобитната нееднаквост е строга. Ние сме заинтересирани за регионот со негативни вредности, па одговорот е $x\in \left(-1;5 \десно)$. Тоа е решението :)

Ајде да продолжиме на следната задача:

\[((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Сè овде е генерално едноставно, бидејќи има единица десно. И се сеќаваме дека еден е кој било број подигнат на нулта моќност. Дури и ако овој број е ирационален израз во основата лево:

\[\ почеток (порамни) & ((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\лево(2 \sqrt(3)-3 \десно))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \десно))^(0)); \\\крај (порамни)\]

Па, ајде да рационализираме:

\[\почеток(порамни) & \лево(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \десно) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\ ]

Останува само да се откријат знаците. Факторот $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не ја содржи променливата $x$ - тоа е само константа и треба да го дознаеме нејзиниот знак. За да го направите ова, забележете го следново:

\[\begin(матрица) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Надолу \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 2\cdot \left(2 -2 \десно)=0 \\\крај (матрица)\]

Излегува дека вториот фактор не е само константа, туку негативна константа! И кога се дели со него, знакот на првобитната нееднаквост се менува на спротивното:

\[\почеток(порамни) & \лево(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\лево(x-2 \десно) \gt 0. \\\крај (порамни)\]

Сега сè станува сосема очигледно. Корените на квадратниот трином од десната страна се: $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Ги означуваме на нумеричката линија и ги гледаме знаците на функцијата $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Случајот кога сме заинтересирани за странични интервали

Заинтересирани сме за интервалите означени со знакот плус. Останува само да се запише одговорот:

Ајде да продолжиме на следниот пример:

\[((\left(\frac(1)(3) \десно))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ десно)) ^ (16-x))\]

Па, овде сè е сосема очигледно: основите содржат моќи со ист број. Затоа, ќе напишам сè накратко:

\[\begin(матрица) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Надолу \\ ((\лево(((3)^(-1)) \десно))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\лево(((3)^(-2)) \десно))^(16-x)) \\\крај (матрица)\]

\[\ begin(порамни) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \десно))) \gt ((3)^(-2\cdot \ лево (16-x \десно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \десно) \десно)\cdot \left(3-1 \десно) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \lt 0; \\ & \лево(x+8 \десно)\лево(x-4 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, за време на процесот на трансформација моравме да се множиме со негативен број, па знакот за нееднаквост се промени. На самиот крај, повторно ја применив теоремата на Виета за да го факторизирам квадратниот трином. Како резултат на тоа, одговорот ќе биде следниот: $x\in \left(-8;4 \десно)$ - секој може да го потврди ова со цртање бројна линија, означување на точките и броење на знаците. Во меѓувреме, ќе преминеме на последната нееднаквост од нашето „множество“:

\[((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Како што можете да видите, во основата повторно има ирационален број, а десно повторно единица. Затоа, ја препишуваме нашата експоненцијална нееднаквост на следниов начин:

\[((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\лево(3-2\sqrt(2) \ десно))^(0))\]

Ние применуваме рационализација:

\[\почеток(порамни) & \лево(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \десно) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\ ]

Сепак, сосема е очигледно дека $1-\sqrt(2) \lt 0$, бидејќи $\sqrt(2)\приближно 1,4... \gt 1$. Затоа, вториот фактор е повторно негативна константа, со која може да се поделат двете страни на нееднаквоста:

\[\почеток(матрица) \лево(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \десно) \lt 0 \\ \Надолу \ \\крај (матрица)\]

\[\почеток(порамни) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\ лево(x-3 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Премести во друга база

Посебен проблем при решавање на експоненцијални неравенки е потрагата по „точната“ основа. За жал, не секогаш на прв поглед на задачата е очигледно што да се земе како основа, а што да се направи според степенот на оваа основа.

Но, не грижете се: тука нема магија или „тајна“ технологија. Во математиката, секоја вештина што не може да се алгоритмизира може лесно да се развие преку пракса. Но, за ова ќе мора да решите проблеми од различни нивоа на сложеност. На пример, вака:

\[\ begin(порамни) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\лево(0,16 \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(6,25 \десно))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \десно))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ крај (порамни)\]

Тешко? Страшно? Полесно е отколку да удриш кокошка на асфалт! Да пробаме. Првата нееднаквост:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Па, мислам дека сè е јасно овде:

Ја препишуваме првобитната нееднаквост, намалувајќи сè на две основа:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\десна стрелка \лево(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \десно)\cdot \лево(2-1 \десно) \lt 0\]

Да, да, добро слушнавте: само што го применив методот на рационализација опишан погоре. Сега треба внимателно да работиме: имаме фракционо-рационална нееднаквост (ова има променлива во именителот), па пред да изедначиме нешто на нула, треба да доведеме сè до заеднички именител и да се ослободиме од постојаниот фактор .

\[\begin(порамни) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \десно)\cdot \left(2-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \десно)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Сега го користиме стандардниот метод на интервал. Нули на броител: $x=\pm 4$. Именителот оди на нула само кога $x=0$. Вкупно има три точки што треба да се означат на бројната права (сите точки се закачени затоа што знакот за нееднаквост е строг). Добиваме:

Покомплексен случај: три корени

Како што може да претпоставите, засенчувањето ги означува оние интервали во кои изразот лево зема негативни вредности. Затоа, конечниот одговор ќе вклучува два интервали одеднаш:

Краевите на интервалите не се вклучени во одговорот бидејќи првичната нееднаквост била строга. Не е потребна дополнителна проверка на овој одговор. Во овој поглед, експоненцијалните неравенки се многу поедноставни од логаритамските: без ODZ, без ограничувања итн.

Ајде да продолжиме на следната задача:

\[((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

И тука нема проблеми, бидејќи веќе знаеме дека $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така што целата неравенка може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(((3)^(-1)) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Десна стрелка ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \десно) \десно)\cdot \left(3-1 \десно)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \десно)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \десно) \десно. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\крај (порамни)\]

Ве молиме запомнете: во третата линија решив да не губам време на ситници и веднаш да поделам сè со (-2). Минул влезе во првата заграда (сега има плус насекаде), а два беа намалени со постојан фактор. Ова е токму она што треба да го направите кога подготвувате вистински пресметки за независна и тест работа - не треба директно да ја опишувате секоја акција и трансформација.

Следно, познатиот метод на интервали стапува во игра. Нули на броител: но нема. Затоа што дискриминаторот ќе биде негативен. За возврат, именителот се ресетира само кога $x=0$ - исто како и минатиот пат. Па, јасно е дека десно од $x=0$ дропот ќе зема позитивни вредности, а лево - негативни. Бидејќи сме заинтересирани за негативни вредности, конечниот одговор е: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\лево(0,16 \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(6,25 \десно))^(x))\ge 1\]

Што треба да направите со децималните дропки во експоненцијални неравенки? Така е: ослободете се од нив, претворајќи ги во обични. Еве ние ќе преведеме:

\[\ begin(порамни) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Десна стрелка ((\лево(0,16 \десно))^(1+2x)) =((\ лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\десна стрелка ((\лево(6,25 \десно))^(x)=((\лево(\ frac(25) (4)\десно))^(x)). \\\крај (порамни)\]

Значи, што добивме во основите на експоненцијалните функции? И добивме два меѓусебно инверзни броеви:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \десно))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ десно))^(x))=((\лево(((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(-1)) \десно))^(x))=(\ лево(\frac(4)(25) \десно))^(-x))\]

Така, оригиналната нееднаквост може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(\frac(4)(25) \десно) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x+\лево(-x \десно))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0)); \\ & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(x+1))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0) ). \\\крај (порамни)\]

Се разбира, кога се множат силите со иста основа, нивните експоненти се собираат, што се случи во вториот ред. Дополнително, ја претставивме единицата десно, исто така како моќност во основата 4/25. Останува само да се рационализира:

\[((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(x+1))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0)) \Десна стрелка \лево(x+1-0 \десно)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \десно)\ge 0\]

Забележете дека $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вториот фактор е негативна константа и кога се дели со неа, знакот за нееднаквост ќе се промени:

\[\почеток(порамни) & x+1-0\le 0\Десна стрелка x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \десно]. \\\крај (порамни)\]

Конечно, последната неравенка од сегашното „множество“:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \десно))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Во принцип, идејата за решението овде е исто така јасна: сите експоненцијални функции вклучени во нееднаквоста мора да се сведат на основата „3“. Но, за ова ќе треба малку да се почекаш со корените и моќите:

\[\begin(порамни) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\четири 81=((3)^(4)). \\\крај (порамни)\]

Земајќи ги предвид овие факти, оригиналната нееднаквост може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(((3)^(\frac(8)(3))) \десно))^(-x)) \lt ((\лево(((3)) ^(2))\десно))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\крај (порамни)\]

Обрнете внимание на 2-ри и 3-ти линии од пресметките: пред да направите нешто со неравенството, задолжително доведете го до формата за која зборувавме од самиот почеток на лекцијата: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Сè додека имате некои левораки фактори, дополнителни константи итн. лево или десно, не може да се изврши рационализација или „преминување“ на основите! Безброј задачи се завршени погрешно поради неуспехот да се разбере овој едноставен факт. Јас самиот постојано го набљудувам овој проблем со моите студенти кога штотуку почнуваме да ги анализираме експоненцијалните и логаритамските неравенки.

Но, да се вратиме на нашата задача. Ајде да се обидеме овој пат да направиме без рационализација. Да се ​​потсетиме: основата на степенот е поголема од една, така што тројките едноставно може да се прецртаат - знакот за нееднаквост нема да се промени. Добиваме:

\[\begin(порамни) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\крај (порамни)\]

Тоа е се. Конечен одговор: $x\in \left(-\infty ;3 \десно)$.

Изолирање стабилен израз и замена на променлива

Како заклучок, предлагам да се решат уште четири експоненцијални неравенки, кои се веќе доста тешки за неподготвените студенти. За да се справите со нив, треба да ги запомните правилата за работа со дипломи. Особено, ставање на заеднички фактори надвор од заградите.

Но, најважно е да научите да разберете што точно може да се извади од заградите. Таквиот израз се нарекува стабилен - може да се означи со нова променлива и на тој начин да се ослободи од експоненцијалната функција. Значи, да ги погледнеме задачите:

\[\почеток(порамни) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\лево(0,5 \десно))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\крај (порамни)\]

Да почнеме од првата линија. Ајде да ја напишеме оваа нееднаквост одделно:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Забележете дека $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така што десната рака страната може да се преработи:

Забележете дека нема други експоненцијални функции освен $((5)^(x+1))$ во неравенката. И генерално, променливата $x$ не се појавува никаде на друго место, па да воведеме нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Ја добиваме следната конструкција:

\[\почеток(порамни) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\крај (порамни)\]

Се враќаме на оригиналната променлива ($t=((5)^(x+1))$), а во исто време запомниме дека 1=5 0 . Ние имаме:

\[\begin(порамни) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението! Одговор: $x\in \лево[ -1;+\infty \десно)$. Да преминеме на втората неравенка:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Сè е исто овде. Забележете дека $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Потоа левата страна може да се препише:

\[\почеток(порамни) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\десно. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Десна стрелка ((3)^(x))\ge 9\Десна стрелка ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Десна стрелка x\во \лево[ 2;+\infty \десно). \\\крај (порамни)\]

Вака приближно треба да подготвите решение за вистински тестови и независна работа.

Па, ајде да пробаме нешто покомплицирано. На пример, тука е нееднаквоста:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Што е тука проблемот? Како прво, основите на експоненцијалните функции лево се различни: 5 и 25. Меѓутоа, 25 = 5 2, така што првиот член може да се трансформира:

\[\почеток(порамни) & ((25)^(x+1,5))=((\лево(((5)^(2)) \десно))^(x+1,5))= ((5) ^ (2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cточка 5. \\\крај (порамни )\]

Како што можете да видите, на почетокот донесовме сè на истата основа, а потоа забележавме дека првиот член лесно може да се сведе на вториот - само треба да го проширите експонентот. Сега можете безбедно да воведете нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и целата нееднаквост ќе се препише на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ и x\ge 1. \\\крај (порамни)\]

И повторно, без тешкотии! Конечен одговор: $x\in \лево[ 1;+\infty \десно)$. Ајде да преминеме на конечната нееднаквост во денешната лекција:

\[((\лево(0,5 \десно))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Првото нешто на што треба да обрнете внимание е, се разбира, децималната дропка во основата на првата моќност. Неопходно е да се ослободите од него, а во исто време да ги доведете сите експоненцијални функции на иста основа - бројот „2“:

\[\ почеток (порамни) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Десна стрелка ((\лево(0,5 \десно))^(-4x- 8))= ((\лево(((2)^(-1)) \десно))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\десна стрелка ((16)^(x+1,5))=((\лево(((2)^(4)) \десно))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\крај (порамни)\]

Одлично, го направивме првиот чекор - сè доведе до истата основа. Сега треба да изберете стабилен израз. Забележете дека $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако воведеме нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогаш оригиналната нееднаквост може да се препише на следниов начин:

\[\ почеток (порамни) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\крај (порамни)\]

Природно, може да се појави прашањето: како откривме дека 256 = 2 8? За жал, тука само треба да ги знаете силите на два (а во исто време и моќите на три и пет). Па, или поделете 256 со 2 (можете да поделите, бидејќи 256 е парен број) додека не го добиеме резултатот. Ќе изгледа отприлика вака:

\[\ почеток (порамни) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cточка 2= \\ & =2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2= \\ & =((2)^(8)).\крај (порамни )\]

Истото важи и со три (броевите 9, 27, 81 и 243 се неговите степени), и со седум (броевите 49 и 343 исто така би било убаво да се запаметат). Па, петте имаат и „убави“ степени што треба да ги знаете:

\[\почеток(порамни) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\крај (порамни)\]

Се разбира, ако сакате, сите овие бројки може да се вратат во вашиот ум со едноставно множење последователно еден со друг. Меѓутоа, кога треба да решите неколку експоненцијални неравенки, а секоја следна е потешка од претходната, тогаш последното нешто на што сакате да размислите е моќта на некои броеви. И во оваа смисла, овие проблеми се посложени од „класичните“ нееднаквости што се решаваат со методот на интервал.

Се надевам дека оваа лекција ви помогна да ја совладате оваа тема. Ако нешто не е јасно, прашајте ги во коментарите. И се гледаме на следните часови :)

Алгебра и почеток на математичка анализа. Одделение 10. Тетратка. Николски С.М. и сл.

Основни и профилни нивоа

8-ми ед. - М.: Образование, 2009. - 430 стр.

Учебникот одговара на федералните компоненти на државниот стандард за општо образование по математика и содржи материјал и за основно и за специјализирано ниво. Може да се користи без оглед на тоа какви учебници учеле учениците во претходните години.

Учебникот има за цел да ги подготви студентите за влез на универзитети.

Формат:дјву

Големина: 15,2 MB

Гледајте, преземете:диск.google ; Rghost

Формат: pdf

Големина: 42,3 MB

Гледајте, преземете:диск.google ; Rghost

Забелешка:Квалитетот на PDF е подобар, речиси одличен. Направено од истото скенирање, 150 dpi, боја. Но, во DJVU излегува малку полошо. Ова е случај кога големината е важна.

СОДРЖИНА
ГЛАВА I. КОРЕНИ, МОЌНИ, ЛОГАРИТМИ
§ 1. Реални броеви 3
1.1. Концепт на реален број 3
1.2. Многу бројки. Својства на реалните броеви. ... 10
1.3*. Метод на математичка индукција 16
1.4. Пермутации 22
1.5. Пласмани 25
1.6. Комбинации 27
1,7*. Доказ за нумерички неравенки 30
1,8*. Деливост на цели броеви 35
1,9*. Споредба на модуло t 38
1,10*. Проблеми со целобројни непознати 40
§ 2. Рационални равенки и неравенки 44
2.1. Рационални изрази 44
2.2. Њутнови биномни формули, збирови и разлики на моќи. . 48
2.3*. Делење полиноми со остаток. Евклидов алгоритам... 53
2.4*. Теорема на Безут 57
2,5*. Корен на полиномот 60
2.6. Рационални равенки 65
2.7. Системи на рационални равенки 70
2.8. Интервален метод за решавање на неравенки 75
2.9. Рационални неравенки 79
2.10. Нестроги неравенки 84
2.11. Системи на рационални неравенки 88
§ 3. Корен на степен n 93
3.1. Концептот на функција и нејзиниот график 93
3.2. Функција y = x" 96
3.3. Концептот на корен од степен n 100
3.4. Корени на парни и непарни сили 102
3.5. Аритметички корен 106
3.6. Својства на корените од степен l 111
3,7*. Функција y = nx (x > 0) 114
3,8*. Функција y = nVx 117
3,9*. Корен n на природниот број 119
§ 4. Моќност на позитивниот број 122
4.1. Моќност со рационален експонент 122
4.2. Својства на степени со рационален експонент 125
4.3. Концептот на граница на низа 131
4.4*. Својства на лимитите 134
4.5. Бесконечно опаѓачка геометриска прогресија. . . 137
4.6. Број е 140
4.7. Концептот на степен со ирационален експонент.... 142
4.8. Експоненцијална функција 144
§ 5. Логаритми 148
5.1. Поим за логаритам 148
5.2. Својства на логаритмите 151
5.3. Логаритамска функција 155
5,4*. Децимални логаритми 157
5,5*. Функции за напојување 159
§ 6. Експоненцијални и логаритамски равенки и неравенки. . 164
6.1. Наједноставни експоненцијални равенки 164
6.2. Едноставни логаритамски равенки 166
6.3. Равенките се сведени на наједноставните со замена на непознатата 169
6.4. Наједноставни експоненцијални неравенки 173
6.5. Наједноставни логаритамски неравенки 178
6.6. Неравенките се сведени на наједноставните со замена на непознатата 182
Историски информации 187
ГЛАВА II. ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФОРМУЛИ. ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ
§ 7. Синус и косинус на агол 193
7.1. Поим за агол 193
7.2. Радијанска мерка за агол 200
7.3. Определување на синус и косинус на агол 203
7.4. Основни формули за sin a и cos a 211
7.5. Арксин 216
7.6. Лачен косинус 221
7,7*. Примери за употреба на арксин и аркозин.... 225
7,8*. Формули за арксин и аркозин 231
§ 8. Тангента и котангента на аголот 233
8.1. Определување на тангента и котангента на агол 233
8.2. Основни формули за tg a и ctg a 239
8.3. Арктангенс 243
8.4*. Тангента на лак 246
8,5*. Примери за употреба на арктангенс и аркотангенс. . 249
8,6*. Формули за арктангенс и лактангенс 255
§ 9. Формули за собирање 258
9.1. Косинусот на разликата и косинусот од збирот на два агли 258
9.2. Формули за дополнителни агли 262
9.3. Синус од збирот и синус на разликата на два агли 264
9.4. Збир и разлика на синусите и косинусите 266
9.5. Формули за двојни и полуагли 268
9,6*. Производ на синуси и косинуси 273
9,7*. Формули за тангенти 275
§ 10. Тригонометриски функции на нумерички аргумент 280
10.1. Функција y = sin x 281
10.2. Функција y = cos x 285
10.3. Функција y = tg * 288
10.4. Функција y = ctg x 292
§ 11. Тригонометриски равенки и неравенки 295
11.1. Едноставни тригонометриски равенки 295
11.2. Равенките се сведени на наједноставните со замена на непознатата 299
11.3. Примена на основни тригонометриски формули за решавање на равенките 303
11.4. Хомогени равенки 307
11,5*. Наједноставните неравенки за синус и косинус... 310
11,6*. Наједноставните неравенки за тангента и котангента. . . 315
11,7*. Неравенките се сведени на наједноставни со замена на непознатата 319
11,8*. Воведување на помошен агол 322
11,9*. Замена на непознатата t = sin x + cos x 327
Историски информации 330
ГЛАВА III. ЕЛЕМЕНТИ НА ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ
§ 12. Веројатност за настан 333
12.1. Концептот на веројатност за настан 333
12.2. Својства на веројатностите на настанот 338
§ 13*. Фреквенција. Условна веројатност 342
13.1*. Релативна фреквенција на настанот 342
13,2*. Условна веројатност. Независни настани 344
§ 14*. Очекувана вредност. Закон за големи броеви 348
14.1*. Математичко очекување 348
14.2*. Тешко искуство 353
14,3*. Формулата на Бернули. Закон за големи броеви 355
Историски информации 359
ПРЕГЛЕД ЗАДАЧИ 362
Индекс на тема 407
Одговори 410

Место на работа, позиција: - MOU-SOSH р.п. Пушкино, учител

Регион: - Саратовскиот регион

Карактеристики на часот (сесија) Степен на образование: - средно (целосно) општо образование

Целна публика: - ученик (студент)
Целна публика: - Наставник (наставник)

Одделение(и): – 10-то одделение

Предмет(и): – Алгебра

Целта на часот: - дидактичка: да се подобрат основните техники и методи за решавање на логаритамски и експоненцијални неравенки и да се осигура дека сите ученици ги совладаат основните алгоритамски техники за решавање експоненцијални и логаритамски неравенки; развојни: развиваат логично размислување, меморија, когнитивен интерес, продолжуваат со формирањето на математички говор, развиваат способност за анализа и споредба; едукативни: да се научи естетскиот дизајн на белешките во тетратка, способноста да се слушаат другите и способноста да се комуницира, да се всади точност и напорна работа.

Тип на час: – Час за генерализација и систематизација на знаењата

Ученици во паралелка (публика): - 25

Краток опис: - Решавањето на експоненцијални и логаритамски неравенки се смета за една од сложените теми во математиката и бара од учениците да имаат добро теоретско знаење, способност да ги применуваат во пракса, бара внимание, напорна работа и интелигенција. Темата за која се дискутира на лекцијата се разгледува и за приемните испити на универзитетите и завршните испити. Овој тип на лекција развива логично размислување, меморија, когнитивен интерес и помага да се развие способноста за анализа, споредба и слушање на другите.

Фази на лекцијата и нивната содржина

Време

(мин.)

активност

наставниците

студент

1.Организациска фаза

организациски

Пријавени се отсутни.

2. Поставување цели

Денес во лекцијата ќе продолжиме да ги практикуваме научените основни методи и методи за решавање на експоненцијални и логаритамски неравенки, а исто така ќе разгледаме и други начини за решавање на логаритамски и експоненцијални неравенки: ова е премин кон рационални неравенки со замена на непознатото, како и метод на делење на двете страни на неравенката со позитивен број.

Ја информира темата на часот, датумот на часот, целта на часот

Запишете во тетратки

3.Проверка на домашната задача

Повикува 3 лица на табла по барање на студенти, а во исто време води фронтален разговор за теоретски прашања

Во одборот работат четири лица, а останатите учествуваат во теоретско истражување

За домашна задача, од вас беше побарано да решите логаритамски и експоненцијални неравенки на две нивоа на сложеност. Ајде да го видиме решението за некои од нив на табла

6.49 (а); 6,52 (г) 6,56 (б), 6,54 (б).

4.Ажурирање на знаењата на учениците

Ајде да се потсетиме на кои методи разговаравме во последната лекција.

Денеска ќе ги разгледаме нееднаквостите кои по воведувањето на нова непозната се претвораат во рационални неравенки.

За да го направиме ова, да се потсетиме кое е решението за рационална неравенка од формата A(x) / B(x)>0? Кој метод се користи за решавање на рационални нееднаквости?

5. Подобрување на знаењата и вештините на учениците

xx

Пример1)2 - 9 / (2 -1)0

3 мин

x +0,5xx +0,5

3). 25- 710+4>0

3 мин

5. Консолидација на нови работи.

Правење вежби на табла

6.48 (.г);6.58(б);6.59(б) -на табла 6.62(в)

Ве води да изберете метод на рационално решение. ја следи исправноста на расудувањето и правилното евидентирање на решението на неравенството. Дава оценка за работата

Еден ученик одлучува на табла. Останатите го запишуваат решението во тетратка.

6) Диференцирана самостојна работа (Задача на екранот)

Ниво 1:

Опција 12 опција

Бр.6.48(б);Бр.6.48(д);

Бр. 6.58(а) ;бр.6.58(в)

Ниво 2:

Опција 12 опција

Бр.6.61(б);Бр.6.61(г);

Бр. 6.62 (в); бр. 6.62 (г).

5 минути

2 лица работат индивидуално на странична табла. Останатите вршат повеќестепена самостојна работа на терен

7) Проверка на самостојната работа

3 мин

8) Домашна работа (на екранот)

1-ви нивоа клаузула 6.6; бр. 6.57 (а.);

Ниво 2: клаузула 6.6 бр. 6.59 (в); бр. 6.62 (а. бр. 158 (стр. 382) (а, б) (стр. 383);

2 минути

Ја објаснува домашната задача, привлекувајќи им го вниманието на учениците на фактот дека слични задачи биле покриени на часот.

Последните две задачи беа понудени по приемот на Московскиот државен универзитет и МТИТФ.

Откако внимателно го слушате наставникот, запишете ја вашата домашна задача. Нивото на тежина го избирате сами.

8) Сумирање на часот: Решавањето на експоненцијални и логаритамски неравенки се смета за една од сложените теми на училишниот курс по математика и бара од студентите да имаат добро теоретско знаење, способност да ги применуваат во пракса, бара внимание, напорна работа и интелигенција; Токму поради оваа причина, нееднаквостите за кои се дискутираше на часот се вклучени во воведните испити за универзитетите и завршните испити Денеска сите работеа многу добро и ги добија следните оценки

Ви благодарам на сите.

2 минути

Датотеки:
Големина на Фајлот: 6789120 бајти.

Наставник по математика Општинска образовна установа - средно училиште бр.2, веб-страница Степное Труфјакова Галина Ивановна

Слајд 2

Резиме на лекција

Темата Експоненцијални неравенки е суштинска тема во математиката. Според учебникот на S. M. Nikolsky, се изучува во 10-то одделение и за негово изучување се издвојуваат 2 часа во планирањето: 1 час - Наједноставните експоненцијални неравенки; 1 час – Неравенките намалени до наједноставни со замена на непознатото. За тоа време, неопходно е да се запознаат студентите со нов и многу обемен материјал, да се научат да ги решаваат сите видови експоненцијални нееднаквости и добро да ги практикуваат овие вештини и способности и комуникациската технологија овозможуваат брзо и со поголема ефикасност решавање на овие проблеми.

Слајд 3

Слајд 4

Алберт Ајнштајн

„Морам да го поделам времето помеѓу политиката и решавањето равенки и нееднаквости. Меѓутоа, решавањето равенки и нееднаквости, според мене, е многу поважно, бидејќи политиката постои само за овој момент, но равенките и нееднаквостите ќе постојат засекогаш.

Слајд 5

Структура на лекцијата

Организациски момент Поставување цели и задачи План за предавање Ажурирање на знаењата на учениците во форма на повторување на претходно изучениот материјал Воведување на нови знаења Консолидирање на знаењата во форма на интервју Сумирање на часот Домашна задача

Слајд 6

Време на организирање

Поздравете ги учениците Обележете ги имињата на учениците кои отсуствуваат од часот во класниот регистар

Слајд 7

Поставување цели и задачи

Објавете им ги на студентите на почетокот на часот неговите цели и задачи Запознајте ги студентите со планот за предавање и запишете го во нивните тетратки.

Слајд 8

Цели на часот

Образовни Формирање на концептот на експоненцијални неравенки Запознавање на учениците со видовите експоненцијални неравенки Формирање вештини и способности за решавање на експоненцијални неравенки

Слајд 9

Образовни Негување напорна работа Негување независност во постигнување цели Формирање компјутерски вештини Формирање естетски вештини при правење белешки

Слајд 10

Развојен Развој на ментална активност Развој на креативна иницијатива Развој на когнитивна активност Развој на говор и меморија

Слајд 11

Цели на часот

Преглед на својствата на експоненцијалната функција Прегледајте ги правилата за решавање квадратни и дробни рационални неравенки Разработка на алгоритам за решавање на наједноставните експоненцијални неравенки Научете ги учениците да разликуваат типови експоненцијални неравенки Научете ги учениците да решаваат експоненцијални неравенки

Слајд 12

Тип на лекција

Лекција за формирање на нови знаења

Слајд 13

Тип на лекција

Лекција - предавање

Слајд 14

Наставни методи

Објаснувачко и илустративно Евристичко пребарување проблематично

Слајд 15

Образовна технологија

Информациска и комуникациска технологија заснована на учење базирано на проблем

Слајд 16

Преглед на предавање

Повторување на својствата на експоненцијалната функција. стандардни нееднаквости

Слајд 17

Повторување на претходно проучен материјал

Решете ги на табла и во тетратки: а) квадратни неравенки: x² – 2x – 1≥0 x² – 2x - 3 ≤0 б) дробна рационална неравенка: (x – 5) \ (x - 2) ≤ 0

Слајд 18

Повторување на својствата на експоненцијалната функција

Слајд 19

се намалува монотоно на R Оската Ox е хоризонтална асимптота монотоно се зголемува на R 8. За сите реални вредности на x и y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Асимптота 6. Екстремност 5. Монотоничност 4. Парно, непарно 3. Интервали за споредување на вредностите на функцијата со единство 2. Опсег на вредности на функција 1 Опсег на дефиниција на функција Својства на експоненцијална функција Експоненцијални неравенки, нивните видови и методи на решавање Експоненцијалната функција нема екстреми Функцијата не е ниту парна, ниту непарна (функција од општ облик).

Слајд 20

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Задача бр. 1 Најдете го доменот на дефинирање на функцијата

Слајд 21

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Задача бр.2 Определете ги вредностите

Слајд 22

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Задача бр. 3 Определи го типот на функцијата зголемување намалувајќи зголемувајќи намалувајќи

Слајд 23

Воведување на нови знаења

Слајд 24

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање ДЕФИНИЦИЈА на наједноставните експоненцијални неравенки: Нека a е даден позитивен број не еднаков на еден, а b даден реален број. Тогаш неравенките ax>b (ax≥b) и ax

Слајд 25

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање ШТО СЕ вика решавањето на неравенки? Решението на неравенка со непозната x е бројот x0, кој, кога ќе се замени во неравенката, произведува вистинска нумеричка неравенка.

Слајд 26

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање ШТО ЗНАЧИ да се реши неравенство? Решавањето на нееднаквоста значи да се најдат сите нејзини решенија или да се покаже дека нема.

Слајд 27

Да ја разгледаме релативната положба на графикот на функцијата y=ax, a>0, a≠1 и правата y=b, нивните видови и методи на решение y x y x y=b, b 0 y=b, b>. 0 0 1 0 1 x0 x0

Слајд 28

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање ЗАКЛУЧОК бр.1: Кога b≤0, правата y=b не го пресекува графикот на функцијата y=ax, бидејќи се наоѓа под кривата y=ax, затоа неравенките ax>b(ax≥b) се задоволни за xR, а неравенките ax

Слајд 29

ЗАКЛУЧОК бр. 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Експоненцијални неравенки, нивните видови и методи на решавање Ако a>1 и b > 0, тогаш за секој x1 x0- под права линија y=b . 1 За b> 0, правата y = b го сече графикот на функцијата y = ax во една точка, чија апсциса е x0 = логаб

Слајд 30

ЗАКЛУЧОК бр. 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Експоненцијални неравенки, нивните видови и методи на решавање Ако a>1 и b > 0, тогаш за секој x1 >x0 соодветната точка на графиконот на функцијата y=ax се наоѓа над правата y=b, а за секоја x2 0 правата y = b го пресекува графикот на функцијата y = ax во една точка, чија апсциса е x0 = logab x2

Слајд 31

Наједноставни експоненцијални неравенки Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање

Слајд 32

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решение Пример бр. 1.1 Одговор: се зголемува во целиот домен на дефиниција, Решение:

Слајд 33

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање Пример бр. 1.2 Решение: Одговор: се намалува во целиот домен на дефиниција,

Слајд 34

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање Пример бр. 1.3 Решение: Одговор: се зголемува во целиот домен на дефиниција,

Слајд 35

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Видови експоненцијални неравенки и методи за нивно решавање 1) Експоненцијалните неравенки, сведувајќи се на наједноставните, се зголемуваат во целиот домен на дефиниција Пример бр. 1 Одговор: Решение:

Слајд 36

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање Пример бр. 1.4 Решение: се зголемува во целиот домен на дефиниција, Одговор:

Слајд 37

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Видови експоненцијални неравенки и методи за нивно решавање Експоненцијалните неравенки, сведени на наједноставниот Пример бр. 2 се зголемуваат во целиот домен на дефиниција Одговор: Решение:

Слајд 38

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Видови експоненцијални неравенки и методи за нивно решавање 2) Експоненцијални неравенки, сведување на квадратни неравенки Пример Да се ​​вратиме на променливата x се зголемува за сите x од доменот на дефиниција Одговор: Решение:

Слајд 39

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Видови експоненцијални неравенки и методи за нивно решавање 3) Хомогени експоненцијални неравенки од прв и втор степен. Хомогени експоненцијални неравенки од прв степен Пример бр. 1 се зголемува во целиот домен на дефиниција Одговор: Решение:

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Видови експоненцијални неравенки и методи за нивно решавање 4) Експоненцијални неравенки, сведување на рационални неравенки Пример Да се ​​вратиме на променливата x се зголемува во целиот домен на дефиниција Одговор: Решение:

Слајд 43

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Видови експоненцијални неравенки и методи за нивно решавање 5) Експоненцијални нестандардни неравенки Пример Решение: Да го решиме секој исказ од множеството посебно. Нееднаквоста е еднаква на агрегат

Слајд 44

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи за решавање Видови експоненцијални неравенки и методи за нивно решавање 5) Експоненцијални нестандардни неравенки Пример Одговор: Решение: Проверете Проверката покажа дека x=1, x=3, x=1,5 се решенија на равенка, а x=2 не е решение на равенката. Значи,

Слајд 45

Консолидација на знаењето

Кои неравенки се нарекуваат експоненцијални? Кога експоненцијална неравенка има решение за која било вредност на x? Кога експоненцијалната неравенка нема решенија? Какви видови нееднаквости научивте на оваа лекција? Како се решаваат наједноставните неравенки? Како се решаваат неравенки кои се сведуваат на квадратни неравенки? Како се решаваат хомогени неравенки? Како се решаваат нееднаквостите кои можат да се сведат на рационални?

Слајд 46

Резиме на лекција

Дознајте што научиле новите ученици на овој час Дајте им оценки на учениците за нивната работа на часот со детални коментари

Слајд 47

Домашна работа

Учебник за 10 одделение „Алгебра и почетоци на анализа“ автор С.М.Николски Студија параграфи 6.4 и 6.6, бр.6.31-6.35 и бр.6.45-6.50 решаваат.

Слајд 48

Експоненцијални неравенки, нивни видови и методи на решавање

Тема 6. Експоненцијални и логаритамски равенки и неравенки (11 часа)
Тема на лекцијата. Неравенките се сведени на наједноставни со замена на непознатото.
Цел на часот: Да се ​​развијат вештини за решавање на експоненцијални и логаритамски неравенки, со нивно сведување на наједноставно, со замена на непознатото.
Задачи:
Образовни: повторете и консолидирајте го знаењето на тема „решавање на наједноставните експоненцијални и логаритамски неравенки“, научете да решавате логаритамски и експоненцијални неравенки користејќи го методот на замена.
Развојно: да се развие способноста на ученикот да идентификува два вида нееднаквост и да определи начини за нивно решавање (логично и интуитивно размислување, оправдување на судовите, класификација, споредба), да развие вештини за самоконтрола и самотестирање, способност за движење. според даден алгоритам проценете го и поправете го добиениот резултат.
Образовни: продолжи да развива такви квалитети на учениците како што се: способност да се слушаат едни со други; способност за остварување меѓусебна контрола и самопочит.
Тип на лекција: комбиниран.
Учебник Алгебра одделение 10 С.М. Николски, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
За време на часовите
Време на организирање.
Проверка на домашната задача.
Ажурирање на основните знаења.
Фронтална:
1. Кои неравенки се нарекуваат наједноставни експоненцијални неравенки?
2. Објасни го значењето на решавање на едноставни експоненцијални неравенки.
3. Кои неравенки се нарекуваат наједноставни логаритамски неравенки?
4. Објасни го значењето на решавање на едноставни логаритамски неравенки.
Со пишување на табла (по 1 ученик):
Решавање на неравенки
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Објаснување на новиот материјал и негово чекор-по-чекор засилување.
1.1. Објаснување на нов материјал.
1. Решете ја неравенката:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2 т<142t<2-2т. к. основание 2>1, тогаш
т<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Ние сме заинтересирани за знакот „−− Потоа добиваме“.
Одговор:x∈(1;2)
2. Решете ја неравенството

1.2. Чекор-по-чекор консолидација.
Бр. 6.49 (а, в).
Бр. 6.52 (г).
а) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Одговор: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Одговор: -15;1г) log5x2-2x-3<1
лог5х2-2х-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Одговор: -2;-1∪3;42.1. Објаснување на нов материјал.
3. Решете ја неравенството

Тогаш 1 неравенство има смисла за сите x, а втората

2.2. Чекор-по-чекор консолидација.
Решете ја неравенката бр. 6.56(в)
3.1. Објаснување на нов материјал.
4. Решете ја неравенството

3.2. Чекор-по-чекор консолидација.
Решете ја неравенката бр. 6.60(а)
Сумирање на лекцијата.
Рефлексија.
Домашна работа.
Стр. 6.6
Бр. 6.49 (б, г)
Бр. 6.52 (а, б)
Бр. 6.56 (г)
Бр. 6.60 (б)

Прикачени датотеки