ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെയാണ് ഗുണിക്കുന്നത്? ഭിന്നസംഖ്യ. പൊതുവായ, ദശാംശ, മിക്സഡ് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം

ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പുരാതന ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകനായ എലിയയിലെ സെനോ തൻ്റെ പ്രശസ്തമായ അപ്പോറിയകൾ രൂപപ്പെടുത്തി, അതിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത് "അക്കില്ലസും ആമയും" അപ്പോറിയയാണ്. ഇത് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് ഇതാ:

ആമയെക്കാൾ പത്തിരട്ടി വേഗത്തിലാണ് അക്കില്ലസ് ഓടുന്നത്, അതിന് ആയിരം ചുവടുകൾ പിന്നിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഈ ദൂരം ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ ഒരേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അക്കില്ലസ് നൂറ് ചുവടുകൾ ഓടുമ്പോൾ, ആമ മറ്റൊരു പത്ത് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു, അങ്ങനെ. ഈ പ്രക്രിയ അനന്തമായി തുടരും, അക്കില്ലസ് ഒരിക്കലും ആമയെ പിടിക്കില്ല.

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാ തുടർന്നുള്ള തലമുറകൾക്കും ഒരു ലോജിക്കൽ ഷോക്കായി മാറി. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ, ഡയോജെനിസ്, കാന്ത്, ഹെഗൽ, ഹിൽബർട്ട്... ഇവരെല്ലാം ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സെനോയുടെ അപ്പോറിയയെ പരിഗണിച്ചു. ഞെട്ടൽ വളരെ ശക്തമായിരുന്നു " ... ചർച്ചകൾ ഇന്നും തുടരുന്നു വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു അഭിപ്രായത്തിലേക്ക് വരാൻ ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന് ഇതുവരെ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല ... ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം, സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം, പുതിയ ഭൗതികവും ദാർശനികവുമായ സമീപനങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പഠനത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു. ; അവയൊന്നും പ്രശ്നത്തിന് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പരിഹാരമായില്ല..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". തങ്ങൾ വഞ്ചിക്കപ്പെടുകയാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ വഞ്ചന എന്താണ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്ന് ആർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ, സെനോ തൻ്റെ അപ്പോറിയയിൽ അളവിൽ നിന്ന് എന്നതിലേക്കുള്ള മാറ്റം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കി. ഈ പരിവർത്തനം സ്ഥിരമായവയ്ക്ക് പകരം പ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം, അളവിൻ്റെ വേരിയബിൾ യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഒന്നുകിൽ ഇതുവരെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് സെനോയുടെ അപ്പോറിയയിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തി പ്രയോഗിക്കുന്നത് നമ്മെ ഒരു കെണിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. നാം, ചിന്തയുടെ നിഷ്ക്രിയത്വം കാരണം, പരസ്പര മൂല്യത്തിന് സമയത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഭൗതിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അക്കില്ലസ് ആമയെ പിടിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ ഇത് പൂർണ്ണമായും നിർത്തുന്നത് വരെ സമയം മന്ദഗതിയിലാണെന്ന് തോന്നുന്നു. സമയം നിലച്ചാൽ, അക്കില്ലസിന് ആമയെ മറികടക്കാൻ കഴിയില്ല.

നമ്മൾ നമ്മുടെ പതിവ് യുക്തിയിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാം ശരിയാകും. അക്കില്ലസ് കൂടെ ഓടുന്നു സ്ഥിരമായ വേഗത. അവൻ്റെ പാതയുടെ തുടർന്നുള്ള ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി ചെറുതാണ്. അതനുസരിച്ച്, അതിനെ മറികടക്കാൻ ചെലവഴിച്ച സമയം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി കുറവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്മൾ "അനന്തം" എന്ന ആശയം പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "അക്കില്ലസ് ആമയെ അനന്തമായി വേഗത്തിൽ പിടിക്കും" എന്ന് പറയുന്നത് ശരിയായിരിക്കും.

ഈ ലോജിക്കൽ കെണി എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം? സമയത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകളിൽ തുടരുക, അതിലേക്ക് കുതിക്കരുത് പരസ്‌പരം. സെനോയുടെ ഭാഷയിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ആയിരം ചുവടുകൾ ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ആദ്യത്തേതിന് തുല്യമായ അടുത്ത ഇടവേളയിൽ, അക്കില്ലസ് മറ്റൊരു ആയിരം പടികൾ ഓടും, ആമ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ഇപ്പോൾ ആമയെക്കാൾ എണ്ണൂറോളം പടി മുന്നിലാണ് അക്കില്ലസ്.

ഈ സമീപനം യുക്തിപരമായ വിരോധാഭാസങ്ങളില്ലാതെ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് പ്രശ്നത്തിന് പൂർണ്ണമായ പരിഹാരമല്ല. പ്രകാശവേഗത്തിൻ്റെ അപ്രതിരോധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഐൻസ്റ്റീൻ്റെ പ്രസ്താവന സെനോയുടെ അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസ് ആൻഡ് ആമ" യുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഈ പ്രശ്നം നമ്മൾ ഇനിയും പഠിക്കുകയും പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യുകയും പരിഹരിക്കുകയും വേണം. പരിഹാരം തേടേണ്ടത് അനന്തമായ സംഖ്യകളിലല്ല, മറിച്ച് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിലാണ്.

സെനോയുടെ മറ്റൊരു രസകരമായ അപ്പോറിയ പറക്കുന്ന അമ്പടയാളത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു:

പറക്കുന്ന അസ്ത്രം ചലനരഹിതമാണ്, കാരണം ഓരോ നിമിഷവും അത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എല്ലാ സമയത്തും അത് വിശ്രമിക്കുന്നതിനാൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിശ്രമത്തിലാണ്.

ഈ അപ്പോറിയയിൽ, ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസം വളരെ ലളിതമായി മറികടക്കുന്നു - ഓരോ നിമിഷവും ഒരു പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ബഹിരാകാശത്തിൻ്റെ വിവിധ പോയിൻ്റുകളിൽ നിശ്ചലമാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ചലനമാണ്. ഇവിടെ മറ്റൊരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. റോഡിലെ ഒരു കാറിൻ്റെ ഒരു ഫോട്ടോയിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ വസ്തുതയോ അതിലേക്കുള്ള ദൂരമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാർ നീങ്ങുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരേ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാറിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമയത്ത് ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചലനത്തിൻ്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല (തീർച്ചയായും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അധിക ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്, ത്രികോണമിതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ). ഞാൻ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ, സമയത്തിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും ബഹിരാകാശത്തിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ പാടില്ലാത്ത വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളാണ്, കാരണം അവ ഗവേഷണത്തിന് വ്യത്യസ്ത അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു.

2018 ജൂലൈ 4 ബുധനാഴ്ച

സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ വിക്കിപീഡിയയിൽ നന്നായി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമുക്ക് കാണാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്", എന്നാൽ ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സെറ്റിനെ "മൾട്ടിസെറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം അസംബന്ധ യുക്തികൾ യുക്തിസഹമായ ജീവികൾ ഒരിക്കലും മനസ്സിലാക്കുകയില്ല. "പൂർണ്ണമായി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് ബുദ്ധിയില്ലാത്ത, സംസാരിക്കുന്ന തത്തകളുടെയും പരിശീലനം ലഭിച്ച കുരങ്ങുകളുടെയും നിലവാരമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണ പരിശീലകരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അവരുടെ അസംബന്ധ ആശയങ്ങൾ നമ്മോട് പ്രസംഗിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് പാലം പണിത എൻജിനീയർമാർ പാലത്തിൻ്റെ പരീക്ഷണ വേളയിൽ പാലത്തിനടിയിൽ ബോട്ടിലിരുന്നു. പാലം തകർന്നാൽ, സാധാരണക്കാരനായ എഞ്ചിനീയർ തൻ്റെ സൃഷ്ടിയുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾക്കടിയിൽ മരിച്ചു. പാലത്തിന് ഭാരം താങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കഴിവുള്ള എഞ്ചിനീയർ മറ്റ് പാലങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "എന്നെ ശ്രദ്ധിക്കൂ, ഞാൻ വീട്ടിലാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു" എന്ന വാക്യത്തിന് പിന്നിൽ എങ്ങനെ മറഞ്ഞാലും, അവയെ യാഥാർത്ഥ്യവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൊക്കിൾക്കൊടിയുണ്ട്. ഈ പൊക്കിൾക്കൊടി പണമാണ്. നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് തന്നെ പ്രയോഗിക്കാം.

ഞങ്ങൾ കണക്ക് നന്നായി പഠിച്ചു, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ശമ്പളം നൽകി ക്യാഷ് രജിസ്റ്ററിൽ ഇരിക്കുകയാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തൻ്റെ പണത്തിനായി ഞങ്ങളുടെ അടുക്കൽ വരുന്നു. ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ തുകയും അവനു കണക്കാക്കി വ്യത്യസ്ത കൂമ്പാരങ്ങളിൽ ഞങ്ങളുടെ മേശപ്പുറത്ത് വയ്ക്കുക, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിൻ്റെ ബില്ലുകൾ ഇടുന്നു. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ചിതയിൽ നിന്നും ഒരു ബില്ല് എടുത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അവൻ്റെ "ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ശമ്പളം" നൽകുന്നു. സമാന മൂലകങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു കൂട്ടം സമാന ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്ന ബില്ലുകൾ അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിക്കൂ എന്ന് നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനോട് വിശദീകരിക്കാം. ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്.

ഒന്നാമതായി, ഡെപ്യൂട്ടിമാരുടെ യുക്തി പ്രവർത്തിക്കും: "ഇത് മറ്റുള്ളവർക്ക് ബാധകമാക്കാം, പക്ഷേ എനിക്കല്ല!" അപ്പോൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിലുള്ള ബില്ലുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ബിൽ നമ്പറുകളുണ്ടെന്ന് അവർ ഉറപ്പുനൽകാൻ തുടങ്ങും, അതായത് അവ ഒരേ ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല. ശരി, നമുക്ക് ശമ്പളം നാണയങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാം - നാണയങ്ങളിൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെ ഭ്രാന്തമായി ഓർക്കാൻ തുടങ്ങും: വ്യത്യസ്ത നാണയങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള അഴുക്കുകൾ ഉണ്ട്, ആറ്റങ്ങളുടെ ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയും ക്രമീകരണവും ഓരോ നാണയത്തിനും അദ്വിതീയമാണ് ...

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉണ്ട് താൽപ്പര്യം ചോദിക്കുക: ഒരു മൾട്ടിസെറ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളായി മാറുന്നതിനും തിരിച്ചും എന്നതിനപ്പുറം രേഖ എവിടെയാണ്? അത്തരമൊരു വരി നിലവിലില്ല - എല്ലാം തീരുമാനിക്കുന്നത് ജമാന്മാരാണ്, ശാസ്ത്രം ഇവിടെ കള്ളം പറയാൻ പോലും അടുത്തില്ല.

ഇവിടെ നോക്കുക. ഒരേ ഫീൽഡ് ഏരിയയുള്ള ഫുട്ബോൾ സ്റ്റേഡിയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. വയലുകളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ് - അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മൾട്ടിസെറ്റ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഇതേ സ്റ്റേഡിയങ്ങളുടെ പേരുകൾ നോക്കിയാൽ നമുക്ക് പലതും ലഭിക്കും, കാരണം പേരുകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരേ കൂട്ടം ഘടകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും ആണ്. ഏതാണ് ശരി? ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ഷാമൻ-ഷാർപിസ്റ്റ് തൻ്റെ സ്ലീവിൽ നിന്ന് ട്രംപിൻ്റെ ഒരു ഏസ് പുറത്തെടുത്ത് ഒരു സെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ മൾട്ടിസെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ ഞങ്ങളോട് പറയാൻ തുടങ്ങുന്നു. എന്തായാലും താൻ പറഞ്ഞത് ശരിയാണെന്ന് അവൻ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും.

ആധുനിക ജമാന്മാർ സെറ്റ് തിയറിയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിയാൽ മതി: ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? "ഒറ്റ മുഴുവനായി സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നത്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒറ്റ മൊത്തമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്നൊന്നും കൂടാതെ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.

2018 മാർച്ച് 18 ഞായർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്ത ഒരു ടാംബോറിനൊപ്പം ജമാന്മാരുടെ നൃത്തമാണ്. അതെ, ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും അത് ഉപയോഗിക്കാനും ഞങ്ങളെ പഠിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ അതുകൊണ്ടാണ് അവർ ജമാന്മാർ, അവരുടെ പിൻഗാമികളെ അവരുടെ കഴിവുകളും ജ്ഞാനവും പഠിപ്പിക്കാൻ, അല്ലാത്തപക്ഷം ജമാന്മാർ മരിക്കും.

തെളിവ് വേണോ? വിക്കിപീഡിയ തുറന്ന് "ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന പേജ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അവൾ നിലവിലില്ല. ഏത് സംഖ്യയുടെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിൽ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഭാഷയിൽ ടാസ്‌ക് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു: “ഏത് സംഖ്യയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.” ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ജമാന്മാർക്ക് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യുമെന്നും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 12345 എന്ന നമ്പർ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ക്രമത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു കടലാസിൽ നമ്പർ എഴുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ നമ്പർ ചിഹ്നമാക്കി മാറ്റി. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒരു ചിത്രം ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയ നിരവധി ചിത്രങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മുറിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനമല്ല.

3. വ്യക്തിഗത ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ ഇതാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം.

12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 15 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷാമൻമാർ പഠിപ്പിക്കുന്ന "കട്ടിംഗ് ആൻഡ് തയ്യൽ കോഴ്സുകൾ" ഇവയാണ്. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഏത് സംഖ്യ സിസ്റ്റത്തിലാണ് നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. അതിനാൽ, ഇൻ വ്യത്യസ്ത സംവിധാനങ്ങൾകാൽക്കുലസിൽ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമ്പർ സിസ്റ്റം സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സബ്സ്ക്രിപ്റ്റായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. കൂടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യ 12345 എൻ്റെ തലയെ കബളിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള നമ്പർ 26 നോക്കാം. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ ബൈനറി, ഒക്ടൽ, ഡെസിമൽ, ഹെക്സാഡെസിമൽ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ എഴുതാം. ഞങ്ങൾ ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ ഓരോ ഘട്ടവും നോക്കുകയില്ല; ഫലം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫലത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. നിങ്ങൾ ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം മീറ്ററിലും സെൻ്റിമീറ്ററിലും നിർണ്ണയിച്ചതിന് സമാനമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും.

എല്ലാ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലും പൂജ്യം ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമില്ല. എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് അനുകൂലമായ മറ്റൊരു വാദമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ചോദ്യം: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയല്ലാത്ത ഒന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു? എന്താണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അക്കങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നിലവിലില്ല? ജമാന്മാർക്ക് ഇത് അനുവദിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അനുവദിക്കില്ല. യാഥാർത്ഥ്യം അക്കങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല.

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ സംഖ്യകൾ അളക്കുന്നതിനുള്ള യൂണിറ്റുകളാണെന്നതിൻ്റെ തെളിവായി ലഭിച്ച ഫലം കണക്കാക്കണം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരേ അളവിൻ്റെ വ്യത്യസ്‌ത യൂണിറ്റുകളുള്ള ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്‌തതിന് ശേഷം വ്യത്യസ്‌ത ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇതിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല.

എന്താണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം? ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം, സംഖ്യയുടെ വലിപ്പം, ഉപയോഗിച്ച അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റ്, ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നവർ എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

വാതിലിൽ ഒപ്പിടുക അവൻ വാതിൽ തുറന്ന് പറയുന്നു:

ഓ! ഇത് സ്ത്രീകളുടെ വിശ്രമമുറിയല്ലേ?
- യുവതി! സ്വർഗ്ഗാരോഹണ വേളയിൽ ആത്മാക്കളുടെ അവിഭാജ്യമായ വിശുദ്ധിയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിനുള്ള ഒരു പരീക്ഷണശാലയാണിത്! മുകളിൽ ഹാലോ, അമ്പടയാളം. വേറെ ഏത് ടോയ്‌ലറ്റ്?

സ്ത്രീ... മുകളിലെ പ്രഭാവലയവും താഴേക്കുള്ള അമ്പും പുരുഷനാണ്.

അത്തരമൊരു ഡിസൈൻ ആർട്ട് നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾക്ക് മുന്നിൽ ദിവസത്തിൽ പല തവണ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ,

നിങ്ങളുടെ കാറിൽ പെട്ടെന്ന് ഒരു വിചിത്ര ഐക്കൺ കണ്ടെത്തിയതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല:

വ്യക്തിപരമായി, മലമൂത്രവിസർജ്ജനം നടത്തുന്ന ഒരാളിൽ മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി കാണാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കുന്നു (ഒരു ചിത്രം) (നിരവധി ചിത്രങ്ങളുടെ ഒരു രചന: ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം, നമ്പർ നാല്, ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു പദവി). പിന്നെ ഈ പെൺകുട്ടി ഫിസിക്‌സ് അറിയാത്ത ഒരു വിഡ്ഢിയാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നില്ല. ഗ്രാഫിക് ഇമേജുകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ് അവൾക്കുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഇതാ ഒരു ഉദാഹരണം.

1A എന്നത് "മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി" അല്ലെങ്കിൽ "വൺ എ" അല്ല. ഇതാണ് "പൂപ്പിംഗ് മാൻ" അല്ലെങ്കിൽ ഹെക്സാഡെസിമൽ നൊട്ടേഷനിൽ "ഇരുപത്തിയാറ്" എന്ന സംഖ്യ. ഈ നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ നിരന്തരം പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആളുകൾ ഒരു സംഖ്യയും അക്ഷരവും ഒരു ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നമായി യാന്ത്രികമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.

മിഡിൽ, ഹൈസ്കൂൾ കോഴ്‌സുകളിൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾ "ഫ്രാക്ഷൻസ്" എന്ന വിഷയം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ആശയം പഠന പ്രക്രിയയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ വിശാലമാണ്. ഇന്ന്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന ആശയം പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടുന്നു, എല്ലാവർക്കും ഒരു പദപ്രയോഗവും കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക.

എന്താണ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ?

ചരിത്രപരമായി അങ്ങനെ സംഭവിച്ചു ഭിന്നസംഖ്യകൾഅളക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിൽ നിന്ന് ഉയർന്നു. പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളവും ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ അളവും നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉണ്ട്.

തുടക്കത്തിൽ, ഒരു ഷെയർ എന്ന ആശയം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു തണ്ണിമത്തനെ 8 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചാൽ, ഓരോ വ്യക്തിക്കും തണ്ണിമത്തൻ്റെ എട്ടിലൊന്ന് ലഭിക്കും. എട്ടിൻ്റെ ഈ ഒരു ഭാഗത്തെ ഷെയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിൻ്റെ ½ ന് തുല്യമായ ഒരു ഓഹരിയെ പകുതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ⅓ - മൂന്നാമത്; ¼ - നാലിലൊന്ന്. 5/8, 4/5, 2/4 ഫോമിൻ്റെ രേഖകളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അവയ്ക്കിടയിൽ ഫ്രാക്ഷൻ ബാർ അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷൻ ബാർ ഉണ്ട്. ഫ്രാക്ഷണൽ രേഖ തിരശ്ചീനമായോ ചരിഞ്ഞ വരയായോ വരയ്ക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് വിഭജന ചിഹ്നത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഡിനോമിനേറ്റർ, അളവ് അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുവിനെ എത്ര തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു; ഒരേപോലെ എത്ര ഓഹരികൾ എടുക്കുന്നു എന്നതാണ് ന്യൂമറേറ്റർ. ന്യൂമറേറ്റർ ഫ്രാക്ഷൻ ലൈനിന് മുകളിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്, ഡിനോമിനേറ്റർ അതിന് താഴെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്.

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് റേയിൽ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കാണിക്കുന്നത് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഒരൊറ്റ സെഗ്‌മെൻ്റിനെ 4 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചാൽ, ഓരോ ഭാഗവും ഒരു ലാറ്റിൻ അക്ഷരത്താൽ നിയുക്തമാക്കിയാൽ, ഫലം മികച്ചതായിരിക്കും വിഷ്വൽ മെറ്റീരിയൽ. അതിനാൽ, പോയിൻ്റ് എ മൊത്തം 1/4 ന് തുല്യമായ ഒരു പങ്ക് കാണിക്കുന്നു യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റ്, ബി പോയിൻ്റ് ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ 2/8 അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തരങ്ങൾ

ഭിന്നസംഖ്യകൾ സാധാരണ, ദശാംശം, മിക്സഡ് സംഖ്യകൾ ആകാം. കൂടാതെ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ശരിയായതും അനുചിതവും ആയി തിരിക്കാം. ഈ വർഗ്ഗീകരണം കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ കുറവുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യ. അതനുസരിച്ച്, അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ അതിൻ്റെ സംഖ്യയെക്കാൾ കൂടുതലുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്. രണ്ടാമത്തെ തരം സാധാരണയായി ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയായി എഴുതുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 1½. 1 എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, ½ എന്നത് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ചില കൃത്രിമങ്ങൾ നടത്തണമെങ്കിൽ ( ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഗുണിക്കുക, അവയെ കുറയ്ക്കുക അല്ലെങ്കിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക), മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടും അനുചിതമായ അംശം.

ശരിയാണ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻഎല്ലായ്‌പ്പോഴും ഒന്നിൽ കുറവ്, തെറ്റ് - 1-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ.

ഈ പദപ്രയോഗത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു റെക്കോർഡ് എന്നാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ നിരവധി പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഒന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം. ഭിന്നസംഖ്യ ശരിയാണെങ്കിൽ, ദശാംശ നൊട്ടേഷനിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ എഴുതാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം മുഴുവൻ ഭാഗവും എഴുതണം, ഒരു കോമ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുക, തുടർന്ന് ഫ്രാക്ഷൻ എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക. ഡെസിമൽ പോയിൻ്റിന് ശേഷം, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ള അതേ എണ്ണം ഡിജിറ്റൽ പ്രതീകങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

ഉദാഹരണം. ഭിന്നസംഖ്യ 7 21 / 1000 ദശാംശ നൊട്ടേഷനിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയെ മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്കും തിരിച്ചും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരത്തിൽ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യ എഴുതുന്നത് തെറ്റാണ്, അതിനാൽ ഇത് ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

• നിലവിലുള്ള ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഹരിക്കുക;
• ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു അപൂർണ്ണമായ ഘടകഭാഗം മൊത്തമാണ്;
• ബാക്കിയുള്ളത് ഭിന്നഭാഗത്തിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.

ഉദാഹരണം. അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയെ മിക്സഡ് സംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക: 47/5.

പരിഹാരം. 47: 5. ഭാഗിക ഘടകം 9 ആണ്, ബാക്കി = 2. അതിനാൽ, 47 / 5 = 9 2 / 5.

ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയെ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടർന്ന് നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഭാഗം ഗുണിക്കുന്നു;
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു;
• ഫലം ന്യൂമറേറ്ററിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.

ഉദാഹരണം. സംഖ്യയെ മിക്സഡ് രൂപത്തിൽ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയായി അവതരിപ്പിക്കുക: 9 8 / 10.

പരിഹാരം. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ആണ് ന്യൂമറേറ്റർ.

ഉത്തരം: 98 / 10.

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ വിവിധ ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം. രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മാത്രമല്ല, വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നത് ഒരേ വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല.

ഫലം കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. IN നിർബന്ധമാണ്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം നിങ്ങൾ കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഒരു ഉത്തരത്തിലെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ ഒരു പിശകാണെന്ന് പറയാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ അതിനെ ശരിയായ ഉത്തരം എന്ന് വിളിക്കാനും പ്രയാസമാണ്.

ഉദാഹരണം. രണ്ട് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക: ½, 20/18.

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, കുറയ്ക്കാവുന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ നൊട്ടേഷൻ ലഭിക്കും. ഈ കേസിലെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, ഫലം ഉത്തരം 5/9 ആണ്.

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം അതിൻ്റെ തത്വത്തിൽ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമാണ്. അതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്:

• രണ്ട് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒന്നിനു കീഴിൽ മറ്റൊന്നായി എഴുതണം, അങ്ങനെ വലതുവശത്തെ അക്കങ്ങൾ ഒന്നിനു കീഴിലായിരിക്കും;
• കോമകൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും നിങ്ങൾ എഴുതിയ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായി;
• ഓരോ സംഖ്യയിലും ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം എണ്ണുക;
• ഗുണനത്തിനു ശേഷം ലഭിച്ച ഫലത്തിൽ, ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷമുള്ള രണ്ട് ഘടകങ്ങളിലും തുകയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അത്രയും ഡിജിറ്റൽ ചിഹ്നങ്ങൾ നിങ്ങൾ വലതുവശത്ത് നിന്ന് കണക്കാക്കുകയും വേർതിരിക്കുന്ന ചിഹ്നം ഇടുകയും വേണം;
• ഉല്പന്നത്തിൽ അക്കങ്ങൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യ മറയ്ക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ അവയുടെ മുന്നിൽ എത്ര പൂജ്യങ്ങൾ എഴുതണം, ഒരു കോമ ഇടുക, കൂടാതെ മുഴുവൻ ഭാഗവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി ചേർക്കുക.

ഉദാഹരണം. രണ്ട് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക: 2.25, 3.6.

പരിഹാരം.

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു

രണ്ട് മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാൻ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• മിശ്രിത സംഖ്യകളെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുക;
• സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക;
• ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക;
• ഫലം എഴുതുക;
• പദപ്രയോഗം കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കുക.

ഉദാഹരണം. 4½, 6 2/5 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ)

രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും മിക്സഡ് സംഖ്യകളുടെയും ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നതിന് പുറമേ, നിങ്ങൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ട ടാസ്ക്കുകൾ ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താൻ ദശാംശംഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

• ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് കീഴിൽ സംഖ്യ എഴുതുക, അങ്ങനെ വലതുവശത്തെ അക്കങ്ങൾ ഒന്നിനു മുകളിൽ മറ്റൊന്നായിരിക്കും;
• കോമ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക;
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യയിലെ ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം വലതുവശത്ത് നിന്ന് കണക്കാക്കി കോമ ഉപയോഗിച്ച് ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗത്തിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേർതിരിക്കുക.

ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നവും സ്വാഭാവിക ഘടകവും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഉത്തരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം.

ഉദാഹരണം. 5/8, 12 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

ഉത്തരം: 7 1 / 2.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലം കുറയ്ക്കുകയും തെറ്റായ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു മിക്സഡ് നമ്പറാക്കി മാറ്റുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലം മിശ്ര രൂപത്തിലും സ്വാഭാവിക ഘടകത്തിലും കണ്ടെത്തുന്നതിനെയും ബാധിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളും ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മിക്സഡ് ഘടകത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഭാഗവും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ന്യൂമറേറ്ററിനെ അതേ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുകയും വേണം. ആവശ്യമെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലം കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. 9 5 / 6, 9 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

ഉത്തരം: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 അല്ലെങ്കിൽ 0.1 ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം; 0.01; 0.001

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം പിന്തുടരുന്നു. ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയെ 10, 100, 1000, 10000, മുതലായവ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, ഒന്നിന് ശേഷമുള്ള ഘടകത്തിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ നിങ്ങൾ ദശാംശ പോയിൻ്റിനെ വലത്തേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 1. 0.065, 1000 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

ഉത്തരം: 65.

ഉദാഹരണം 2. 3.9, 1000 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

ഉത്തരം: 3900.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും 0.1-ഉം ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ; 0.01; 0.001; 0.0001, മുതലായവ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിലെ കോമ ഒന്നിന് മുമ്പ് പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളത്ര അക്ക പ്രതീകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇടത്തേക്ക് നീക്കണം. ആവശ്യമെങ്കിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് മുമ്പ് മതിയായ പൂജ്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

ഉദാഹരണം 1. 56, 0.01 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

ഉത്തരം: 0,56.

ഉദാഹരണം 2. 4, 0.001 എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

ഉത്തരം: 0,004.

അതിനാൽ, വ്യത്യസ്‌ത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നത് ഒരു പക്ഷേ ഫലം കണക്കാക്കുകയല്ലാതെ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കരുത്; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന മറ്റൊരു പ്രവർത്തനം ഗുണനമാണ്. പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാമെന്നും മൂന്ന് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളോ അതിൽ കൂടുതലോ എങ്ങനെ ശരിയായി ഗുണിക്കാമെന്നും കാണിക്കുക.

ആദ്യം നമുക്ക് അടിസ്ഥാന നിയമം എഴുതാം:

നിർവ്വചനം 1

നമ്മൾ ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിച്ചാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ആയിരിക്കും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ന്യൂമറേറ്ററുകൾ, ഡിനോമിനേറ്റർ അവയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്. അക്ഷരരൂപത്തിൽ, a / b, c / d എന്നീ രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക്, ഇത് ഒരു b · c d = a · c b · d ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാം.

ഈ നിയമം എങ്ങനെ ശരിയായി പ്രയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. നമുക്ക് ഒരു ചതുരം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, അതിൻ്റെ വശം ഒരു സംഖ്യാ യൂണിറ്റിന് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 1 ചതുരമായിരിക്കും. യൂണിറ്റ്. സമചതുരത്തെ 1 4, 1 8 സംഖ്യാ യൂണിറ്റുകൾക്ക് തുല്യമായ വശങ്ങളുള്ള തുല്യ ദീർഘചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ ഇപ്പോൾ 32 ദീർഘചതുരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (കാരണം 8 4 = 32). അതനുസരിച്ച്, അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം മുഴുവൻ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ 1 32 ന് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത്. 1 32 ചതുരശ്ര അടി യൂണിറ്റുകൾ.

ഞങ്ങൾക്ക് 5 8 സംഖ്യാ യൂണിറ്റുകൾക്കും 3 4 സംഖ്യാ യൂണിറ്റുകൾക്കും തുല്യമായ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ഷേഡുള്ള ശകലം ഉണ്ട്. അതനുസരിച്ച്, അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് 5 8 · 3 4 ചതുരശ്ര മീറ്ററിന് തുല്യമായിരിക്കും. യൂണിറ്റുകൾ. എന്നാൽ ശകലത്തിൽ എത്ര ദീർഘചതുരങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: അവയിൽ 15 എണ്ണം ഉണ്ട്, അതായത് മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണം 15 32 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റാണ്.

5 3 = 15 ഉം 8 4 = 32 ഉം ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം എഴുതാം:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തിയ നിയമം ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു, ഇത് b · c d = a · c b · d ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ശരിയായതും അനുചിതവുമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് ഇത് ഒരേപോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു; വ്യത്യസ്തവും സമാനവുമായ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഉൾപ്പെടുന്ന നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

7 11 നെ 9 8 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

പരിഹാരം

ആദ്യം, 7-നെ 9 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് സൂചിപ്പിച്ച ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം കണക്കാക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് 63 ലഭിച്ചു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു: 11 · 8 = 88. നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകൾ രചിക്കാം, ഉത്തരം: 63 88.

മുഴുവൻ പരിഹാരവും ഇതുപോലെ എഴുതാം:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

ഉത്തരം: 7 11 · 9 8 = 63 88.

നമ്മുടെ ഉത്തരത്തിൽ കുറയ്ക്കാവുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടൽ പൂർത്തിയാക്കി അതിൻ്റെ കുറവ് നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് അനുചിതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ ഭാഗവും വേർതിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക 4 15 ഉം 55 6 ഉം.

പരിഹാരം

മുകളിൽ പഠിച്ച നിയമമനുസരിച്ച്, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. പരിഹാര രേഖ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു കുറയ്ക്കാവുന്ന അംശം ലഭിച്ചു, അതായത്. 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒന്ന്.

നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് അനുചിതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ ഭാഗവും തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഒരു മിക്സഡ് നമ്പർ നേടുന്നു: 22 9 = 2 4 9.

ഉത്തരം: 4 15 55 6 = 2 4 9.

കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പത്തിനായി, ഗുണന പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നതിന് മുമ്പ് യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാനും കഴിയും, ഇതിനായി നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ a · c b · d എന്ന രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ലളിതമായ ഘടകങ്ങളാക്കി വിഘടിപ്പിച്ച് അവ കുറയ്ക്കാം.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്‌ട ടാസ്‌ക്കിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെയിരിക്കുമെന്ന് വിശദീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3

ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക 4 15 55 6.

പരിഹാരം

ഗുണനനിയമത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എഴുതാം. നമുക്ക് ലഭിക്കും:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5, 6 = 2 3 എന്നതിനാൽ, 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

ഉത്തരം: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം, അതിൽ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം നടക്കുന്നു, ഒരു കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്, അതായത്, ആവശ്യമെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമം മാറ്റാൻ കഴിയും:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം

നമുക്ക് അടിസ്ഥാന നിയമം ഉടൻ എഴുതാം, തുടർന്ന് അത് പ്രായോഗികമായി വിശദീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ആ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അന്തിമ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ യഥാർത്ഥ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു നിശ്ചിത ഭിന്നസംഖ്യയെ a b എന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് a b · n = a · n b എന്ന ഫോർമുലയായി എഴുതാം.

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഒന്നിന് തുല്യമായ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ ഈ ഫോർമുല മനസ്സിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതായത്:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമ്മുടെ ആശയം വിശദീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 4

ഉൽപ്പന്നം 2 27 തവണ 5 കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം

യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ രണ്ടാമത്തെ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് 10 ലഭിക്കും. മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന നിയമത്തിൻ്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് 10 27 ലഭിക്കും. മുഴുവൻ പരിഹാരവും ഈ പോസ്റ്റിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

ഉത്തരം: 2 27 5 = 10 27

നാം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് പലപ്പോഴും ഫലം ചുരുക്കുകയോ ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടിവരും.

ഉദാഹരണം 5

വ്യവസ്ഥ: ഉൽപ്പന്നം 8 കൊണ്ട് 5 12 കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം

മുകളിലുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച്, നമ്മൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, നമുക്ക് 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 ലഭിക്കും. അവസാന ഭിന്നസംഖ്യയിൽ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ കുറയ്ക്കൽ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്:

LCM (40, 12) = 4, അതിനാൽ 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത് മുഴുവൻ ഭാഗവും തിരഞ്ഞെടുത്ത് തയ്യാറായ ഉത്തരം എഴുതുക: 10 3 = 3 1 3.

ഈ എൻട്രിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് മുഴുവൻ പരിഹാരവും കാണാൻ കഴിയും: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പ്രൈം ഫാക്ടറുകളായി ഫാക്ടർ ചെയ്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാനും കഴിയും, ഫലം കൃത്യമായി തന്നെ ആയിരിക്കും.

ഉത്തരം: 5 12 8 = 3 1 3.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിന് സ്ഥാനചലനത്തിൻ്റെ സ്വഭാവമുണ്ട്, അതായത്, ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമം ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല:

a b · n = n · a b = a · n b

മൂന്നോ അതിലധികമോ പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യകളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതകളായ സമാന ഗുണങ്ങളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് നമുക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കാം. ഈ ആശയങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

സംയോജനവും കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ഗുണങ്ങളും ഉള്ള അറിവിന് നന്ദി, നിങ്ങൾക്ക് മൂന്നോ അതിലധികമോ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. കൂടുതൽ സൗകര്യത്തിനായി ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയോ എണ്ണുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്ന വിധത്തിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ ക്രമീകരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് സ്വീകാര്യമാണ്.

ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമുക്ക് കാണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 6

നാല് പൊതു ഭിന്നസംഖ്യകൾ 1 20, 12 5, 3 7, 5 8 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

പരിഹാരം: ആദ്യം, നമുക്ക് ജോലി രേഖപ്പെടുത്താം. നമുക്ക് 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 ലഭിക്കുന്നു. നമുക്ക് എല്ലാ ന്യൂമറേറ്ററുകളും എല്ലാ ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ഒരുമിച്ച് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

ഗുണനം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് കാര്യങ്ങൾ കുറച്ചുകൂടി എളുപ്പമാക്കുകയും കൂടുതൽ കുറയ്ക്കുന്നതിന് ചില സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുകയും ചെയ്യാം. ഇതിനകം തയ്യാറായിട്ടുള്ള തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഇത് എളുപ്പമായിരിക്കും.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

ഉത്തരം: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.

ഉദാഹരണം 7

5 സംഖ്യകൾ 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 ഗുണിക്കുക.

പരിഹാരം

ഭാവിയിലെ ചുരുക്കെഴുത്തുകൾ നമുക്ക് വ്യക്തമാകുമെന്നതിനാൽ സൗകര്യാർത്ഥം, 7 8 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയെ 8-ഉം സംഖ്യ 12-നെ 5 36-ഉം കൂട്ടാം. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കും:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 3 = 310 3 = 310 6 2 3

ഉത്തരം: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ടോ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ടോ ശരിയായി ഗുണിക്കാൻ, നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഈ നിയമങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും.

ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററുകളുടെ ഗുണനവും ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഗുണനവും കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:
ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററുമായി ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഛേദത്തെ രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഛേദവും ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ തവണ 3)(7 \ തവണ 3) = \frac(4)(7)\\\)

ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 ആയി കുറഞ്ഞു.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ആദ്യം, നമുക്ക് നിയമം ഓർമ്മിക്കാം, ഏത് സംഖ്യയെയും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഈ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) ആയി പരിവർത്തനം ചെയ്തു മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ.

മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുകയും ചെയ്യുന്നു.ഉദാഹരണം:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു.

മിശ്ര ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ഓരോ മിശ്ര ഭിന്നസംഖ്യയെയും തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം, തുടർന്ന് ഗുണന നിയമം ഉപയോഗിക്കണം. ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ന്യൂമറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുന്നു, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും സംഖ്യകളുടെയും ഗുണനം.

a≠0,b≠0 നൽകിയിട്ടുള്ള \(\bf \frac(b)(a)\) ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ് \(\bf \frac(a)(b)\).
ഭിന്നസംഖ്യകൾ \(\b \frac(a)(b)\) ഒപ്പം \(\bf \frac(b)(a)\) എന്നിവയെ പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം 1 ന് തുല്യമാണ്.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

ഉദാഹരണം:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങൾ:
ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒരു ന്യൂമറേറ്ററുള്ള ഒരു ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഗുണനമാണ്, ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ. മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റുകയും നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് ഗുണിക്കുകയും വേണം.

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: അവ സമാനമാണോ അല്ലയോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക്, ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഗുണനഫലം ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം, ഡിനോമിനേറ്ററിനൊപ്പം ഡിനോമിനേറ്ററും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച് ഗുണനം സംഭവിക്കുന്നു.

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷനെ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഗുണന നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?
ഉത്തരം: ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനൊപ്പം സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി വിടുക.

ഉദാഹരണം #1:
ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക: a) \(\frac(8)(9) \time \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

പരിഹാരം:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( ചുവപ്പ്) (5))(3 \ തവണ \നിറം(ചുവപ്പ്) (5) \ തവണ 13) = \frac(4)(39)\)

ഉദാഹരണം #2:
ഒരു സംഖ്യയുടെയും ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുക: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

പരിഹാരം:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

ഉദാഹരണം #3:
\(\frac(1)(3)\) എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പരസ്‌പരം എഴുതുക?
ഉത്തരം: \(\frac(3)(1) = 3\)

ഉദാഹരണം #4:
രണ്ട് പരസ്പര വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം കണക്കാക്കുക: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

പരിഹാരം:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

ഉദാഹരണം #5:
പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകൾ ആകാം:
a) ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കൊപ്പം ഒരേസമയം;
ബി) ഒരേസമയം അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ;
സി) അതേ സമയം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ?

പരിഹാരം:
a) ആദ്യ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം. ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(2)(3)\) ഉചിതമാണ്, അതിൻ്റെ വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(3)(2)\) - ഒരു അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. ഉത്തരം: ഇല്ല.

b) ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യകളിലും ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ ഒരേസമയം അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന വ്യവസ്ഥ നിറവേറ്റുന്ന ചില സംഖ്യകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(3)(3)\), അതിൻ്റെ വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(3)(3)\) ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് രണ്ട് അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. ഉത്തരം: ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ അല്ല.

സി) എണ്ണുമ്പോൾ നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 2, 3, .... നമ്മൾ \(3 = \frac(3)(1)\) എന്ന സംഖ്യ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(1)(3)\) ആയിരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(1)(3)\) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയല്ല. നമ്മൾ എല്ലാ സംഖ്യകളിലൂടെയും പോയാൽ, 1 ഒഴികെ, സംഖ്യയുടെ പരസ്പരബന്ധം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. നമ്മൾ നമ്പർ 1 എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(1)(1) = \frac(1 ആയിരിക്കും. )(1) = 1\). നമ്പർ 1 ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ഉത്തരം: ഇത് നമ്പർ 1 ആണെങ്കിൽ അവ ഒരേസമയം ഒരു സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രമേ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാകൂ.

ഉദാഹരണം #6:
മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷനുകളുടെ ഗുണനം ചെയ്യുക: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

പരിഹാരം:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

ഉദാഹരണം #7:
ഒരേ സമയം രണ്ട് പരസ്പര സംഖ്യകൾ നിലനിൽക്കുമോ? മിശ്രിത സംഖ്യകൾ?

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. നമുക്ക് ഒരു മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ എടുക്കാം \(1\frac(1)(2)\), അതിൻ്റെ വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ കണ്ടെത്തുക, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് നമ്മൾ അതിനെ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യയായി \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . അതിൻ്റെ വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(2)(3)\) ന് തുല്യമായിരിക്കും. അംശം \(\frac(2)(3)\) ഒരു ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. ഉത്തരം: പരസ്പരം വിപരീതമായ രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരേ സമയം മിക്സഡ് സംഖ്യകളാകാൻ കഴിയില്ല.