ഏത് സംഖ്യയെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം. സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സ്: എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് സ്കൂളിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തത്

Evgeniy Shiryaev, അധ്യാപകനും പോളിടെക്നിക് മ്യൂസിയത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ലബോറട്ടറി മേധാവിയും, പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് AiF.ru-നോട് പറഞ്ഞു:

1. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അധികാരപരിധി

സമ്മതിക്കുക, നിയമത്തെ പ്രത്യേകിച്ച് പ്രകോപനപരമാക്കുന്നത് നിരോധനമാണ്. ഇതെങ്ങനെ ചെയ്യാതിരിക്കും? ആരാണ് നിരോധിച്ചത്? നമ്മുടെ പൗരാവകാശങ്ങളുടെ കാര്യമോ?

റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ ഭരണഘടനയോ ക്രിമിനൽ കോഡോ നിങ്ങളുടെ സ്കൂളിൻ്റെ ചാർട്ടറോ പോലും ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ബൗദ്ധിക പ്രവർത്തനത്തെ എതിർക്കുന്നില്ല. ഇതിനർത്ഥം നിരോധനത്തിന് നിയമപരമായ ശക്തിയില്ല, കൂടാതെ AiF.ru ൻ്റെ പേജുകളിൽ പൂജ്യമായി എന്തെങ്കിലും വിഭജിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിങ്ങളെ ഒന്നും തടയുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ആയിരം.

2. പഠിപ്പിച്ചതുപോലെ വിഭജിക്കാം

ഓർക്കുക, നിങ്ങൾ ആദ്യം വിഭജിക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് പഠിച്ചപ്പോൾ, ആദ്യ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഗുണനം പരിശോധിച്ച് പരിഹരിച്ചു: ഹരിച്ചാൽ ഗുണിച്ച ഫലം ഹരിക്കാവുന്നതിന് തുല്യമായിരിക്കണം. ഇത് പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, അവർ തീരുമാനിച്ചില്ല.

ഉദാഹരണം 1. 1000: 0 =...

വിലക്കപ്പെട്ട നിയമത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു നിമിഷം മറന്ന് ഉത്തരം ഊഹിക്കാൻ നിരവധി ശ്രമങ്ങൾ നടത്താം.

ചെക്ക് വഴി തെറ്റായവ വെട്ടിമാറ്റും. ഇനിപ്പറയുന്ന ഓപ്ഷനുകൾ പരീക്ഷിക്കുക: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000 അവയിൽ ഓരോന്നിനും, പരിശോധന ഒരേ ഫലം നൽകും:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

പൂജ്യത്തെ ഗുണിച്ചാൽ, എല്ലാം സ്വയം മാറുന്നു, ഒരിക്കലും ആയിരമായി മാറുന്നില്ല. നിഗമനം രൂപപ്പെടുത്താൻ എളുപ്പമാണ്: ഒരു നമ്പറും പരീക്ഷയിൽ വിജയിക്കില്ല. അതായത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഒരു സംഖ്യയും ഉണ്ടാകില്ല. അത്തരം വിഭജനം നിരോധിച്ചിട്ടില്ല, പക്ഷേ ഫലമില്ല.

3. ന്യൂനൻസ്

നിരോധനം നിരാകരിക്കാനുള്ള ഒരു അവസരം ഞങ്ങൾ മിക്കവാറും നഷ്ടപ്പെടുത്തി. അതെ, പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയെ 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നു. എന്നാൽ 0-ന് തന്നെ കഴിയുമോ?

ഉദാഹരണം 2. 0: 0 = ...

സ്വകാര്യത്തിനുള്ള നിങ്ങളുടെ നിർദ്ദേശങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? 100? ദയവായി: 100-ൻ്റെ ഘടകഭാഗം 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ അത് ലാഭവിഹിതം 0-ന് തുല്യമാണ്.

കൂടുതൽ ഓപ്ഷനുകൾ! 1? യോജിക്കുന്നതും. കൂടാതെ −23, കൂടാതെ 17, അത്രമാത്രം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഏത് നമ്പറിനും പരിശോധന പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. സത്യസന്ധമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ ഉദാഹരണത്തിലെ പരിഹാരത്തെ ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു കൂട്ടം അക്കങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കണം. എല്ലാവരും. ആലീസ് ആലീസല്ല, മേരി ആൻ ആണെന്നും, രണ്ടുപേരും ഒരു മുയലിൻ്റെ സ്വപ്നമാണെന്നും സമ്മതിക്കാൻ അധിക സമയം ആവശ്യമില്ല.

4. ഉയർന്ന ഗണിതത്തെക്കുറിച്ച്?

പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു, സൂക്ഷ്മതകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു, ഡോട്ടുകൾ സ്ഥാപിച്ചു, എല്ലാം വ്യക്തമായി - പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുള്ള ഉദാഹരണത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഒരൊറ്റ സംഖ്യ ആയിരിക്കരുത്. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് നിരാശാജനകവും അസാധ്യവുമാണ്. അതിനർത്ഥം... രസകരമാണ്! രണ്ടെണ്ണം എടുക്കുക.

ഉദാഹരണം 3. 1000 നെ 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് കണ്ടെത്തുക.

പക്ഷേ വഴിയില്ല. എന്നാൽ 1000 മറ്റ് സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് എളുപ്പത്തിൽ ഹരിക്കാം. കൊള്ളാം, നമുക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നത് ചെയ്യട്ടെ, കൈയിലുള്ള ചുമതല മാറ്റിയാലും. എന്നിട്ട്, നിങ്ങൾ കാണും, ഞങ്ങൾ അകന്നുപോകുന്നു, ഉത്തരം സ്വയം പ്രത്യക്ഷപ്പെടും. നമുക്ക് പൂജ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു മിനിറ്റ് മറന്ന് നൂറ് കൊണ്ട് ഹരിക്കാം:

നൂറ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്. വിഭജനം കുറച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് അതിലേക്ക് ഒരു ചുവടുവെക്കാം:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

ചലനാത്മകത വ്യക്തമാണ്: വിഭജനം പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുന്തോറും ഘടകഭാഗം വലുതായിരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് നീങ്ങി ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കുന്നത് തുടരുന്നതിലൂടെ ട്രെൻഡ് കൂടുതൽ നിരീക്ഷിക്കാനാകും:

നമുക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളതുപോലെ പൂജ്യത്തോട് അടുക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഘടകത്തെ നമുക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളത്ര വലുതാക്കാം.

ഈ പ്രക്രിയയിൽ പൂജ്യവും അവസാന ഘടകവും ഇല്ല. ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള നമ്പറിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന ഒരു ക്രമം ഉപയോഗിച്ച് നമ്പർ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അവരുടെ നേരെയുള്ള ചലനം സൂചിപ്പിച്ചു:

ഇത് ഡിവിഡൻ്റിന് സമാനമായ ഒരു പകരക്കാരനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

അമ്പടയാളങ്ങൾ ഇരട്ട-വശങ്ങളുള്ളത് വെറുതെയല്ല: ചില ശ്രേണികൾ അക്കങ്ങളിലേക്ക് ഒത്തുചേരാം. അപ്പോൾ നമുക്ക് ക്രമത്തെ അതിൻ്റെ സംഖ്യാ പരിധിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം.

ക്വാട്ടൻറുകളുടെ ക്രമം നോക്കാം:

ഇത് പരിധിയില്ലാതെ വളരുന്നു, ഒരു സംഖ്യയ്ക്കും വേണ്ടി പരിശ്രമിക്കുന്നില്ല, ഒന്നിനെയും മറികടക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അക്കങ്ങളിൽ ചിഹ്നങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു ∞ അത്തരം ഒരു ശ്രേണിക്ക് അടുത്തായി ഒരു ഇരട്ട-വശങ്ങളുള്ള അമ്പടയാളം സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും:

പരിധിയുള്ള സീക്വൻസുകളുടെ എണ്ണവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് മൂന്നാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നിർദ്ദേശിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

1000 ലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് 0 ആയി വിഭജിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ∞ ആയി മാറുന്ന ഒരു ശ്രേണി ലഭിക്കും.

5. രണ്ട് പൂജ്യങ്ങളുള്ള സൂക്ഷ്മത ഇതാ

പൂജ്യത്തിലേക്ക് സംയോജിക്കുന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ രണ്ട് ശ്രേണികളെ ഹരിച്ചാൽ എന്ത് ഫലം ലഭിക്കും? അവ സമാനമാണെങ്കിൽ, യൂണിറ്റ് സമാനമാണ്. ഡിവിഡൻ്റ് സീക്വൻസ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് വേഗത്തിൽ ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, ഘടകത്തിൽ സീക്വൻസിന് പൂജ്യം പരിധിയുണ്ട്. ഡിവിഡൻ്റിനേക്കാൾ വളരെ വേഗത്തിൽ ഡിവിസറിൻ്റെ മൂലകങ്ങൾ കുറയുമ്പോൾ, ഘടകത്തിൻ്റെ ക്രമം വളരെയധികം വളരും:

അനിശ്ചിതാവസ്ഥ. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: തരത്തിലുള്ള അനിശ്ചിതത്വം 0/0 . ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അത്തരം അനിശ്ചിതത്വത്തിന് അനുയോജ്യമായ സീക്വൻസുകൾ കാണുമ്പോൾ, ഒരേ രണ്ട് സംഖ്യകൾ പരസ്പരം വിഭജിക്കാൻ അവർ തിരക്കുകൂട്ടുന്നില്ല, എന്നാൽ ഏത് ശ്രേണിയാണ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് വേഗത്തിൽ ഓടുന്നത്, എത്ര കൃത്യമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് കണ്ടെത്തുക. ഓരോ ഉദാഹരണത്തിനും അതിൻ്റേതായ പ്രത്യേക ഉത്തരം ഉണ്ടായിരിക്കും!

6. ജീവിതത്തിൽ

ഓമിൻ്റെ നിയമം ഒരു സർക്യൂട്ടിലെ കറൻ്റ്, വോൾട്ടേജ്, റെസിസ്റ്റൻസ് എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത് പലപ്പോഴും ഈ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

സൂക്ഷ്മമായ ശാരീരിക ധാരണയെ അവഗണിക്കാനും ഔപചാരികമായി നോക്കാനും നമുക്ക് സ്വയം അനുവദിക്കാം വലത് വശംരണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഘടകമായി. ഞങ്ങൾ വൈദ്യുതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സ്കൂൾ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. വ്യവസ്ഥ വോൾട്ടിൽ വോൾട്ടേജും ഓമ്മിൽ പ്രതിരോധവും നൽകുന്നു. ചോദ്യം വ്യക്തമാണ്, പരിഹാരം ഒരു പ്രവർത്തനത്തിലാണ്.

ഇനി നമുക്ക് സൂപ്പർകണ്ടക്റ്റിവിറ്റിയുടെ നിർവചനം നോക്കാം: പൂജ്യം വൈദ്യുത പ്രതിരോധം ഉള്ള ചില ലോഹങ്ങളുടെ സ്വത്താണ് ഇത്.

ശരി, ഒരു സൂപ്പർകണ്ടക്റ്റിംഗ് സർക്യൂട്ടിൻ്റെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം? അത് പോലെ സെറ്റ് ചെയ്താൽ മതി R= 0 അത് പ്രവർത്തിക്കില്ല, ഭൗതികശാസ്ത്രം എറിയുന്നു രസകരമായ ചുമതല, അതിനു പിന്നിൽ വ്യക്തമായും ഒരു ശാസ്ത്രീയ കണ്ടുപിടുത്തമുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ച ആളുകൾക്ക് നോബൽ സമ്മാനം ലഭിച്ചു. ഏതെങ്കിലും വിലക്കുകൾ മറികടക്കാൻ കഴിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്!

"നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല!" - മിക്ക സ്കൂൾ കുട്ടികളും ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാതെ തന്നെ ഈ നിയമം പഠിക്കുന്നു. “നിങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല” എന്താണെന്ന് എല്ലാ കുട്ടികൾക്കും അറിയാം, അതിനോട് നിങ്ങൾ ചോദിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും: “എന്തുകൊണ്ട്?” എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എന്തുകൊണ്ട് കഴിയില്ലെന്ന് അറിയുന്നത് വളരെ രസകരവും പ്രധാനമാണ്.

ഗണിതത്തിൻ്റെ നാല് പ്രവർത്തനങ്ങൾ - സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ - യഥാർത്ഥത്തിൽ അസമമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേ സാധുതയുള്ളതായി തിരിച്ചറിയുന്നുള്ളൂ - സങ്കലനവും ഗുണനവും. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ തന്നെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. മറ്റെല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഈ രണ്ടിൽ നിന്ന് ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ നിർമ്മിച്ചതാണ്.

നമുക്ക് കുറയ്ക്കൽ നോക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്. 5-3 എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? വിദ്യാർത്ഥി ഇതിന് ലളിതമായി ഉത്തരം നൽകും: നിങ്ങൾ അഞ്ച് ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം എടുത്തുകളയുക (നീക്കംചെയ്യുക) കൂടാതെ എത്രയെണ്ണം അവശേഷിക്കുന്നുവെന്ന് കാണുക. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ പ്രശ്നത്തെ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായി കാണുന്നു. കുറയ്ക്കലില്ല, കൂട്ടൽ മാത്രം. അതിനാൽ, 5 - 3 എന്ന നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, 3 എന്ന സംഖ്യയോട് ചേർക്കുമ്പോൾ, 5 എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്. അതായത്, 5 - 3 എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ചുരുക്കെഴുത്ത് മാത്രമാണ്: x 3 = 5. ഇതിൽ വ്യവകലനം ഇല്ല. ഈ സമവാക്യം. ഒരു ടാസ്ക് മാത്രമേയുള്ളൂ - അനുയോജ്യമായ ഒരു നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

ഗുണനത്തിലും ഹരിക്കലിലും ഇതുതന്നെ സത്യമാണ്. എട്ട് ഇനങ്ങളെ നാല് തുല്യ പൈലുകളായി വിഭജിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി എൻട്രി 8:4 മനസ്സിലാക്കാം. എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് 4 * x = 8 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഹ്രസ്വ രൂപം മാത്രമാണ്.

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട് അസാധ്യമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ പകരം അസാധ്യമാണ്) എന്ന് ഇവിടെയാണ് വ്യക്തമാകുന്നത്. റെക്കോർഡിംഗ് 5: 0 എന്നത് 0 * x = 5 എന്നതിൻ്റെ ചുരുക്കെഴുത്താണ്. അതായത്, 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 5 ലഭിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഈ ടാസ്‌ക്. എന്നാൽ 0 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും 0 ലഭിക്കുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. പൂജ്യത്തിൻ്റെ അന്തർലീനമായ സ്വത്താണ്, കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഭാഗമാണ്.

0 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നൽകുന്ന സംഖ്യയില്ല. അതായത് നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരമില്ല. (അതെ, ഇത് സംഭവിക്കുന്നു; എല്ലാ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കും ഒരു പരിഹാരമില്ല.) ഇതിനർത്ഥം എൻട്രി 5:0 ഏതെങ്കിലും നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, മാത്രമല്ല ഇത് വെറുതെ ഒന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ അർത്ഥമില്ല. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല എന്ന് പറഞ്ഞുകൊണ്ട് ഈ എൻട്രിയുടെ അർത്ഥശൂന്യത സംക്ഷിപ്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഈ സ്ഥലത്തെ ഏറ്റവും ശ്രദ്ധയുള്ള വായനക്കാർ തീർച്ചയായും ചോദിക്കും: പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ? വാസ്തവത്തിൽ, 0 * x = 0 എന്ന സമവാക്യം സുരക്ഷിതമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് x = 0 എടുക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് 0 * 0 = 0 ലഭിക്കും. അപ്പോൾ, 0: 0=0? എന്നാൽ നമുക്ക് തിരക്കുകൂട്ടരുത്. നമുക്ക് x = 1 എടുക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. നമുക്ക് 0 * 1 = 0 ലഭിക്കും. അല്ലേ? അപ്പോൾ 0:0 = 1? എന്നാൽ ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയും എടുത്ത് 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 മുതലായവ ലഭിക്കും.

എന്നാൽ ഏതെങ്കിലും നമ്പർ അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ, അവയിലേതെങ്കിലും തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കാരണമില്ല. അതായത്, 0:0 എന്ന എൻട്രി ഏത് സംഖ്യയുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാനാവില്ല, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഈ എൻട്രിയും അർത്ഥശൂന്യമാണെന്ന് സമ്മതിക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകുന്നു. പൂജ്യത്തെ പോലും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. (ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അധിക സാഹചര്യങ്ങൾ കാരണം, ഒരാൾക്ക് മുൻഗണന നൽകാൻ കഴിയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്. സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ 0 * x = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ; അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "അൺലോക്കിംഗ് അനിശ്ചിതത്വത്തെക്കുറിച്ച്" സംസാരിക്കുന്നു, എന്നാൽ അത്തരം കേസുകൾ ഗണിതത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ല. ഇതാണ് ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഗുണനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനവും അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയും പൂജ്യമാണ്.

ശരി, ഏറ്റവും സൂക്ഷ്മതയുള്ളവർ, ഇത് വരെ വായിച്ച ശേഷം, ചോദിച്ചേക്കാം: നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? ഒരർത്ഥത്തിൽ ഇവിടെയാണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം ആരംഭിക്കുന്നത്. സംഖ്യാ സെറ്റുകളുടെയും അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഔപചാരിക ഗണിത നിർവചനങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയൂ. ഇത് അത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, പക്ഷേ ചില കാരണങ്ങളാൽ ഇത് സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രഭാഷണങ്ങളിൽ, ഒന്നാമതായി, അവർ ഇത് കൃത്യമായി നിങ്ങളെ പഠിപ്പിക്കും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തത്? - മിക്ക സ്കൂൾ കുട്ടികളും ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാതെ തന്നെ ഈ നിയമം പഠിക്കുന്നു. “നിങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല” എന്താണെന്ന് എല്ലാ കുട്ടികൾക്കും അറിയാം, അതിനോട് നിങ്ങൾ ചോദിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും: “എന്തുകൊണ്ട്?” എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, അത് സാധ്യമല്ലാത്തത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് അറിയാൻ വളരെ രസകരവും പ്രധാനമാണ്. ഗണിതത്തിൻ്റെ നാല് പ്രവർത്തനങ്ങൾ - സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ - യഥാർത്ഥത്തിൽ അസമമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേ സാധുതയുള്ളതായി തിരിച്ചറിയുന്നുള്ളൂ - സങ്കലനവും ഗുണനവും. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ തന്നെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. മറ്റെല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഈ രണ്ടിൽ നിന്ന് ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ നിർമ്മിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, കുറയ്ക്കൽ പരിഗണിക്കുക. 5-3 എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? വിദ്യാർത്ഥി ഇതിന് ലളിതമായി ഉത്തരം നൽകും: നിങ്ങൾ അഞ്ച് ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം എടുത്തുകളയുക (നീക്കംചെയ്യുക) കൂടാതെ എത്രയെണ്ണം അവശേഷിക്കുന്നുവെന്ന് കാണുക. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ പ്രശ്നത്തെ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായി കാണുന്നു. കുറയ്ക്കലില്ല, കൂട്ടൽ മാത്രം. അതിനാൽ, 5 - 3 എന്ന നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, 3 എന്ന സംഖ്യയോട് ചേർക്കുമ്പോൾ, 5 എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്. അതായത്, 5 - 3 എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ചുരുക്കെഴുത്താണ്: x + 3 = 5. വ്യവകലനം ഇല്ല. ഈ സമവാക്യത്തിൽ. ഒരു ടാസ്ക് മാത്രമേയുള്ളൂ - അനുയോജ്യമായ ഒരു നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.ഗുണനത്തിലും ഹരിക്കലിലും ഇതുതന്നെ സത്യമാണ്. എട്ട് ഇനങ്ങളെ നാല് തുല്യ പൈലുകളായി വിഭജിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി എൻട്രി 8:4 മനസ്സിലാക്കാം. എന്നാൽ ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ 4 x = 8 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഹ്രസ്വരൂപം മാത്രമാണ്.പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട് അസാധ്യമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ പകരം അസാധ്യമാണ്) എന്ന് ഇവിടെയാണ് വ്യക്തമാകുന്നത്. റെക്കോർഡിംഗ് 5: 0 എന്നത് 0 x = 5 എന്നതിൻ്റെ ചുരുക്കെഴുത്താണ്. അതായത്, 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 5 ലഭിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഈ ടാസ്‌ക്. എന്നാൽ 0 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഫലം എപ്പോഴും 0 ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. പൂജ്യത്തിൻ്റെ അന്തർലീനമായ സ്വത്താണ്, കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഭാഗമാണ്.0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ പൂജ്യമല്ലാതെ മറ്റൊന്ന് നൽകുന്ന സംഖ്യയില്ല. അതായത് നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരമില്ല. (അതെ, ഇത് സംഭവിക്കുന്നു; എല്ലാ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കും പരിഹാരമില്ല.) ഇതിനർത്ഥം എൻട്രി 5:0 ഏതെങ്കിലും നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, മാത്രമല്ല ഇത് വെറുതെ ഒന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ അർത്ഥമില്ല. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല എന്ന് പറഞ്ഞുകൊണ്ട് ഈ എൻട്രിയുടെ അർത്ഥശൂന്യത സംക്ഷിപ്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.ഈ സ്ഥലത്തെ ഏറ്റവും ശ്രദ്ധയുള്ള വായനക്കാർ തീർച്ചയായും ചോദിക്കും: പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ? തീർച്ചയായും, 0 x = 0 എന്ന സമവാക്യം സുരക്ഷിതമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് x = 0 എടുക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് 0 · 0 = 0 ലഭിക്കും. അപ്പോൾ, 0: 0=0? എന്നാൽ നമുക്ക് തിരക്കുകൂട്ടരുത്. നമുക്ക് x = 1 എടുക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. നമുക്ക് 0 · 1 = 0 ലഭിക്കും. ശരിയാണോ? അപ്പോൾ 0:0 = 1? എന്നാൽ ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയും എടുത്ത് 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 മുതലായവ ലഭിക്കും.എന്നാൽ ഏതെങ്കിലും നമ്പർ അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ, അവയിലേതെങ്കിലും തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കാരണമില്ല. അതായത്, 0:0 എന്ന എൻട്രി ഏത് സംഖ്യയുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാനാവില്ല, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഈ എൻട്രിയും അർത്ഥശൂന്യമാണെന്ന് സമ്മതിക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകുന്നു. പൂജ്യത്തെ പോലും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. (ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അധിക വ്യവസ്ഥകൾ കാരണം, 0 x = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളിലൊന്നിന് മുൻഗണന നൽകാൻ കഴിയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്; അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ “അനിശ്ചിതത്വം വെളിപ്പെടുത്തുന്ന”തിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു, പക്ഷേ അത്തരം കേസുകൾ ഗണിതത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ല.)ഇതാണ് ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഗുണനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനവും അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയും പൂജ്യമാണ്. ശരി, ഏറ്റവും സൂക്ഷ്മതയുള്ളവർ, ഇത് വരെ വായിച്ച ശേഷം, ചോദിച്ചേക്കാം: നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? ഒരർത്ഥത്തിൽ ഇവിടെയാണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം ആരംഭിക്കുന്നത്. സംഖ്യാ സെറ്റുകളുടെയും അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഔപചാരിക ഗണിത നിർവചനങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയൂ. ഇത് അത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, പക്ഷേ ചില കാരണങ്ങളാൽ ഇത് സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രഭാഷണങ്ങളിൽ, ഇതാണ് നിങ്ങളെ ആദ്യം പഠിപ്പിക്കുക.

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരണംഗണിതത്തിൽ, വിഭജനം പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന വിഭജനം. അത്തരമൊരു വിഭജനം ഔപചാരികമായി ⁄ 0 എന്ന് എഴുതാം, ഡിവിഡൻ്റ് എവിടെയാണ്.

സാധാരണ ഗണിതത്തിൽ (യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളോടെ), ഈ പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം:

• ≠ 0 ന് 0 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ നൽകുന്ന സംഖ്യയില്ല, അതിനാൽ ഒരു സംഖ്യയും ഘടകമായി ⁄ 0 ആയി എടുക്കാൻ കഴിയില്ല;
• at = 0, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതും നിർവചിച്ചിട്ടില്ല, കാരണം ഏത് സംഖ്യയും 0 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ 0 നൽകുന്നു, കൂടാതെ 0 ⁄ 0 ആയി കണക്കാക്കാം.

ചരിത്രപരമായി, ⁄ 0 മൂല്യം നൽകുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അസാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ പരാമർശങ്ങളിലൊന്ന്, അനന്തമായ കാൽക്കുലസിനെക്കുറിച്ചുള്ള ജോർജ്ജ് ബെർക്ക്‌ലിയുടെ വിമർശനത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ലോജിക്കൽ പിശകുകൾ

നമ്മൾ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പൂജ്യത്താൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ് ലഭിക്കുന്നത്, × 0 = × 0 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ മൂല്യം പരിഗണിക്കാതെ ശരിയാണ്, കൂടാതെ 0 കൊണ്ട് നമുക്ക് തെറ്റായ ഒന്ന് ലഭിക്കും. ഏകപക്ഷീയമായി നൽകിയ കേസ് വേരിയബിൾ എക്സ്പ്രഷൻ= . പൂജ്യം വ്യക്തമായി അല്ല, മറിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ ഗണിത പദപ്രയോഗം, ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ, പരസ്പരം ചുരുക്കി ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾ, അത്തരമൊരു വിഭജനം തികച്ചും അവ്യക്തമായ തെറ്റായിരിക്കാം. വ്യക്തമായും വ്യത്യസ്ത അളവുകളുടെ ഐഡൻ്റിറ്റി കാണിക്കുന്നതിനും അതുവഴി ഏതെങ്കിലും അസംബന്ധ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കുന്നതിനുമായി തെളിവ് പ്രക്രിയയിലേക്ക് അത്തരമൊരു വിഭജനത്തിൻ്റെ അദൃശ്യമായ ആമുഖം ഗണിതശാസ്ത്ര സോഫിസത്തിൻ്റെ ഇനങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ

പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ, പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷ, ഡാറ്റ തരം, ലാഭവിഹിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് വ്യത്യസ്തമായ പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കും. പൂർണ്ണസംഖ്യയിലും യഥാർത്ഥ ഗണിതത്തിലും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമാണ്:

• ശ്രമം പൂർണ്ണസംഖ്യപൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഗുരുതരമായ പിശകാണ്, അത് പ്രോഗ്രാമിൻ്റെ കൂടുതൽ നിർവ്വഹണം അസാധ്യമാക്കുന്നു. ഇത് ഒന്നുകിൽ ഒരു അപവാദം (പ്രോഗ്രാമിന് സ്വയം കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയും, അതുവഴി ഒരു ക്രാഷ് ഒഴിവാക്കാം) അല്ലെങ്കിൽ പ്രോഗ്രാം ഉടനടി നിർത്താൻ ഇടയാക്കുന്നു, ശരിയാക്കാനാവാത്ത ഒരു പിശക് സന്ദേശവും ഒരുപക്ഷേ കോൾ സ്റ്റാക്കിൻ്റെ ഉള്ളടക്കവും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു. Go പോലുള്ള ചില പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിൽ, പൂജ്യം സ്ഥിരാങ്കം കൊണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യ വിഭജനം ചെയ്യുന്നത് വാക്യഘടന പിശകായി കണക്കാക്കുകയും പ്രോഗ്രാം അസാധാരണമായി കംപൈൽ ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു.
• IN യഥാർത്ഥമായഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അനന്തരഫലങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത ഭാഷകളിൽ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും:

• പൂർണ്ണസംഖ്യ വിഭജനം പോലെ ഒരു അപവാദം എറിയുകയോ പ്രോഗ്രാം നിർത്തുകയോ ചെയ്യുക;
• ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു പ്രത്യേക നോൺ-നമ്പറിക് മൂല്യം നേടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തടസ്സപ്പെടുന്നില്ല, അവരുടെ ഫലം പിന്നീട് പ്രോഗ്രാമിന് തന്നെ അല്ലെങ്കിൽ ഉപയോക്താവിന് അർത്ഥവത്തായ മൂല്യമായി അല്ലെങ്കിൽ തെറ്റായ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ തെളിവായി വ്യാഖ്യാനിക്കാം. വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു തത്വം, ⁄ 0 പോലെ ഹരിക്കുമ്പോൾ, ≠ 0 ഒരു ഫ്ലോട്ടിംഗ് പോയിൻ്റ് സംഖ്യയാണ്, ഫലം പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് (ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ച്) അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമാണ് - അല്ലെങ്കിൽ, എപ്പോൾ = 0 ഫലം ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യം NaN (abbr. . ഇംഗ്ലീഷിൽ നിന്ന് "ഒരു സംഖ്യയല്ല"). IEEE 754 സ്റ്റാൻഡേർഡിലാണ് ഈ സമീപനം സ്വീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഇതിനെ പലരും പിന്തുണയ്ക്കുന്നു ആധുനിക ഭാഷകൾപ്രോഗ്രാമിംഗ്.

പൂജ്യത്തിൽ ക്രമരഹിത വിഭജനം കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാംചിലപ്പോൾ പ്രോഗ്രാം നിയന്ത്രിത ഉപകരണങ്ങളിൽ ചെലവേറിയതോ അപകടകരമോ ആയ തകരാറുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 1997 സെപ്റ്റംബർ 21-ന്, യുഎസ് നേവി ക്രൂയിസർ USS യോർക്ക്ടൗണിൻ്റെ (CG-48) കമ്പ്യൂട്ടറൈസ്ഡ് കൺട്രോൾ സിസ്റ്റത്തിൽ പൂജ്യമായി വിഭജിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി, സിസ്റ്റത്തിലെ എല്ലാ ഇലക്ട്രോണിക് ഉപകരണങ്ങളും ഓഫായി, കപ്പലിൻ്റെ പ്രൊപ്പൽഷൻ സിസ്റ്റം പ്രവർത്തനം നിർത്തുക.

ഇതും കാണുക

കുറിപ്പുകൾ

പ്രവർത്തനം = 1⁄ . വലതുവശത്ത് നിന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചായുമ്പോൾ, അത് അനന്തതയിലേക്ക് ചായുന്നു; ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചായുമ്പോൾ, അനന്തതയിൽ നിന്ന് കുറയുന്നു

ഒരു സാധാരണ കാൽക്കുലേറ്ററിൽ നിങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, അത് നിങ്ങൾക്ക് E എന്ന അക്ഷരമോ പിശക് എന്ന വാക്കോ നൽകും, അതായത് "പിശക്".

സമാനമായ സാഹചര്യത്തിൽ, കമ്പ്യൂട്ടർ കാൽക്കുലേറ്റർ എഴുതുന്നു (വിൻഡോസ് എക്സ്പിയിൽ): "പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് നിരോധിച്ചിരിക്കുന്നു."

നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ലെന്ന സ്കൂളിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന നിയമവുമായി എല്ലാം പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

എന്തുകൊണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഗുണനത്തിന് വിപരീതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ് ഡിവിഷൻ. ഗുണനത്തിലൂടെയാണ് വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

ഒരു സംഖ്യ വിഭജിക്കുക എ(വിഭജിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന് 8) സംഖ്യ പ്രകാരം ബി(ഡിവൈസർ, ഉദാഹരണത്തിന് നമ്പർ 2) - അത്തരമൊരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് x(ഘടകം), ഒരു ഹരിച്ചാൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ ബിഅത് ലാഭവിഹിതമായി മാറുന്നു എ(4 2 = 8), അതായത് എവിഭജിക്കുക ബി x · b = a എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

a: b = x എന്ന സമവാക്യം x · b = a എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഞങ്ങൾ വിഭജനത്തെ ഗുണനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: 8: 2 = x ന് പകരം ഞങ്ങൾ x · 2 = 8 എന്ന് എഴുതുന്നു.

8: 2 = 4 എന്നത് 4 2 = 8 ന് തുല്യമാണ്

18: 3 = 6 എന്നത് 6 3 = 18 ന് തുല്യമാണ്

20: 2 = 10 എന്നത് 10 2 = 20 ന് തുല്യമാണ്

വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലം എപ്പോഴും ഗുണനത്തിലൂടെ പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. ഒരു ഘടകത്തെ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം ഡിവിഡൻ്റ് ആയിരിക്കണം.

ഇതേ രീതിയിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 6: 0 = ... 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 6 ലഭിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ പൂജ്യത്താൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യം ലഭിക്കുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. പൂജ്യത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ പൂജ്യമല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നൽകുന്ന സംഖ്യയില്ല.

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമോ നിരോധിതമോ ആണെന്ന് അവർ പറയുമ്പോൾ, അത്തരം വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു സംഖ്യയും ഇല്ല എന്നാണ് അവർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്, പക്ഷേ ഹരിക്കൽ അല്ല :)).

നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് അവർ സ്കൂളിൽ പറയുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

അതിനാൽ ഇൻ നിർവചനം a യെ b കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രവർത്തനം ഉടൻ തന്നെ b ≠ 0 എന്ന് ഊന്നിപ്പറയുന്നു.

മുകളിൽ എഴുതിയതെല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നിയാൽ, ഒന്ന് ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ: 8 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം 8 ലഭിക്കാൻ എത്ര രണ്ടെണ്ണം എടുക്കണമെന്ന് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് (ഉത്തരം: 4). 18 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം 18 ലഭിക്കാൻ നിങ്ങൾ എത്ര മൂന്നെണ്ണം എടുക്കണമെന്ന് കണ്ടെത്തുകയാണ് (ഉത്തരം: 6).

6-നെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് 6 ലഭിക്കാൻ എത്ര പൂജ്യങ്ങൾ എടുക്കണമെന്ന് കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. എത്ര പൂജ്യം എടുത്താലും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പൂജ്യം ലഭിക്കും, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കലും 6 ലഭിക്കില്ല, അതായത്, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

ഒരു ആൻഡ്രോയിഡ് കാൽക്കുലേറ്ററിൽ ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ രസകരമായ ഒരു ഫലം ലഭിക്കും. സ്‌ക്രീൻ ∞ (അനന്തം) (അല്ലെങ്കിൽ - ∞ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ) പ്രദർശിപ്പിക്കും ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ). ഈ ഫലംനമ്പർ ∞ നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ തെറ്റാണ്. പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, പ്രോഗ്രാമർമാർ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കി - അക്കങ്ങൾ വിഭജിച്ച് പരിധി കണ്ടെത്തുന്നു സംഖ്യാ ക്രമം n/x, ഇവിടെ x → 0. പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിക്കുമ്പോൾ, NaN (ഒരു സംഖ്യയല്ല) എഴുതപ്പെടും.

"നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല!" - മിക്ക സ്കൂൾ കുട്ടികളും ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാതെ തന്നെ ഈ നിയമം പഠിക്കുന്നു. "നിങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല" എന്താണെന്ന് എല്ലാ കുട്ടികൾക്കും അറിയാം, അതിനോട് നിങ്ങൾ ചോദിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും: "എന്തുകൊണ്ട്?" എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, അത് സാധ്യമല്ലാത്തത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് അറിയാൻ വളരെ രസകരവും പ്രധാനമാണ്.

ഗണിതത്തിൻ്റെ നാല് പ്രവർത്തനങ്ങൾ - സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ - യഥാർത്ഥത്തിൽ അസമമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേ സാധുതയുള്ളതായി തിരിച്ചറിയുന്നുള്ളൂ: സങ്കലനവും ഗുണനവും. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ തന്നെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. മറ്റെല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഈ രണ്ടിൽ നിന്ന് ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ നിർമ്മിച്ചതാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, കുറയ്ക്കൽ പരിഗണിക്കുക. എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് 5 - 3 ? വിദ്യാർത്ഥി ഇതിന് ലളിതമായി ഉത്തരം നൽകും: നിങ്ങൾ അഞ്ച് ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം എടുത്തുകളയുക (നീക്കംചെയ്യുക) കൂടാതെ എത്രയെണ്ണം അവശേഷിക്കുന്നുവെന്ന് കാണുക. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ പ്രശ്നത്തെ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായി കാണുന്നു. കുറയ്ക്കൽ ഇല്ല, കൂട്ടൽ മാത്രം. അതിനാൽ പ്രവേശനം 5 - 3 ഒരു സംഖ്യയുമായി ചേർക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യ എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് 3 ഒരു നമ്പർ തരും 5 . അതാണ് 5 - 3 സമവാക്യത്തിൻ്റെ ചുരുക്കെഴുത്ത് മാത്രമാണ്: x + 3 = 5. ഈ സമവാക്യത്തിൽ വ്യവകലനം ഇല്ല.

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരണം

ഒരു ടാസ്ക് മാത്രമേയുള്ളൂ - അനുയോജ്യമായ ഒരു നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

ഗുണനത്തിലും ഹരിക്കലിലും ഇതുതന്നെ സത്യമാണ്. രേഖപ്പെടുത്തുക 8: 4 എട്ട് വസ്തുക്കളെ നാല് തുല്യ പൈലുകളായി വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി മനസ്സിലാക്കാം. എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ ഇത് സമവാക്യം എഴുതുന്നതിനുള്ള ഒരു ഹ്രസ്വ രൂപം മാത്രമാണ് 4 x = 8.

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട് അസാധ്യമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ പകരം അസാധ്യമാണ്) എന്ന് ഇവിടെയാണ് വ്യക്തമാകുന്നത്. രേഖപ്പെടുത്തുക 5: 0 എന്നതിൻ്റെ ചുരുക്കെഴുത്താണ് 0 x = 5. അതായത്, ഗുണിച്ചാൽ ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഈ ടാസ്ക് 0 കൊടുക്കും 5 . എന്നാൽ ഗുണിച്ചാൽ നമുക്കറിയാം 0 അത് എപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്നു 0 . ഇത് പൂജ്യത്തിൻ്റെ അന്തർലീനമായ സ്വത്താണ്, കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഭാഗമാണ്.

അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു സംഖ്യ, ഗുണിക്കുമ്പോൾ 0 പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും തരും, അത് നിലവിലില്ല. അതായത്, നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരമില്ല. (അതെ, ഇത് സംഭവിക്കുന്നു; എല്ലാ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കും ഒരു പരിഹാരമില്ല.) അതായത് രേഖകൾ 5: 0 ഏതെങ്കിലും നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, മാത്രമല്ല ഇത് വെറുതെ ഒന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ അർത്ഥമില്ല. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല എന്ന് പറഞ്ഞുകൊണ്ട് ഈ എൻട്രിയുടെ അർത്ഥശൂന്യത ചുരുക്കമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഈ സ്ഥലത്തെ ഏറ്റവും ശ്രദ്ധയുള്ള വായനക്കാർ തീർച്ചയായും ചോദിക്കും: പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ?

തീർച്ചയായും, സമവാക്യം 0 x = 0വിജയകരമായി പരിഹരിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് എടുക്കാം x = 0, എന്നിട്ട് നമുക്ക് ലഭിക്കും 0 0 = 0. അത് മാറുന്നു 0: 0=0 ? എന്നാൽ നമുക്ക് തിരക്കുകൂട്ടരുത്. എടുക്കാൻ ശ്രമിക്കാം x = 1. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു 0 1 = 0. ശരിയാണോ? അർത്ഥമാക്കുന്നത്, 0: 0 = 1 ? എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് നമ്പറും എടുത്ത് ലഭിക്കും 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 തുടങ്ങിയവ.

എന്നാൽ ഏതെങ്കിലും നമ്പർ അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ, അവയിലേതെങ്കിലും തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കാരണമില്ല. അതായത്, എൻട്രി ഏത് നമ്പറുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയില്ല 0: 0 . അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഈ പ്രവേശനത്തിനും അർത്ഥമില്ലെന്ന് സമ്മതിക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകുന്നു. പൂജ്യത്തെ പോലും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. (ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അധിക വ്യവസ്ഥകൾ കാരണം, സമവാക്യത്തിന് സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളിലൊന്നിന് മുൻഗണന നൽകാൻ കഴിയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്. 0 x = 0; അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "അനിശ്ചിതത്വത്തെക്കുറിച്ച്" സംസാരിക്കുന്നു, എന്നാൽ അത്തരം കേസുകൾ ഗണിതത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ല.)

ഇതാണ് ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഗുണനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനവും അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയും പൂജ്യമാണ്.

ശരി, ഏറ്റവും സൂക്ഷ്മതയുള്ളവർ, ഇത് വരെ വായിച്ച ശേഷം, ചോദിച്ചേക്കാം: നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? ഒരർത്ഥത്തിൽ ഇവിടെയാണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം ആരംഭിക്കുന്നത്. സംഖ്യാ ഗണങ്ങളുടേയും അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടേയും ഔപചാരിക ഗണിത നിർവചനങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിന് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയൂ. ഇത് അത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, പക്ഷേ ചില കാരണങ്ങളാൽ ഇത് സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രഭാഷണങ്ങളിൽ, ഇതാണ് നിങ്ങളെ ആദ്യം പഠിപ്പിക്കുക.

വിഭജനം പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന ശ്രേണിക്ക് ഡിവിഷൻ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. നിങ്ങൾക്ക് വിഭജിക്കാം, പക്ഷേ ഫലം ഉറപ്പില്ല

നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ ഗ്രേഡ് 2 മാത്തമാറ്റിക്സ്.

എൻ്റെ മെമ്മറി എന്നെ ശരിയായി സേവിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പൂജ്യത്തെ അനന്തമായ മൂല്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അതിനാൽ അനന്തതയുണ്ടാകും. സ്കൂൾ "പൂജ്യം - ഒന്നുമില്ല" എന്നത് ഒരു ലളിതവൽക്കരണം മാത്രമാണ്; സ്കൂൾ ഗണിതത്തിൽ അവയിൽ പലതും ഉണ്ട്). എന്നാൽ അവയില്ലാതെ ഇത് അസാധ്യമാണ്, എല്ലാം കൃത്യസമയത്ത് സംഭവിക്കും.

ഒരു മറുപടി എഴുതാൻ ലോഗിൻ ചെയ്യുക

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരണം

ഉദ്ധരണിയിൽ നിന്ന് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരണംപൂജ്യമല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യയുമില്ല.

ഇവിടെ ന്യായവാദം ഇപ്രകാരമാണ്: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ നിർവചനം തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ കഴിയില്ല.

നമുക്ക് എഴുതാം, ഉദാഹരണത്തിന്,

നിങ്ങൾ ഏത് നമ്പർ പരീക്ഷിച്ചാലും (പറയുക, 2, 3, 7), അത് അനുയോജ്യമല്ല കാരണം:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

0 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും?

മുതലായവ, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ 2,3,7 ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരമില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. എന്നിരുന്നാലും, പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഒരു സംഖ്യയെ ഇഷ്ടാനുസരണം പൂജ്യത്തിനടുത്തുള്ള ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, കൂടാതെ വിഭജനം പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുന്തോറും ഘടകഭാഗം വലുതായിരിക്കും. അതിനാൽ, നമ്മൾ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

അപ്പോൾ നമുക്ക് 70, 700, 7000, 70,000 മുതലായവ ലഭിക്കുന്നു, അത് പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, 7 ൻ്റെ ഘടകഭാഗം 0 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ "അനന്തമായി വലുതാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "അനന്തത്തിന് തുല്യമാണ്" എന്ന് അവർ പലപ്പോഴും പറയുകയും എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

\[ 7: 0 = \infin \]

ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം, വിഭജനം പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുകയും ലാഭവിഹിതം 7-ന് തുല്യമായി തുടരുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ 7-നെ സമീപിക്കുന്നു), അപ്പോൾ ഘടകം പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് എന്ന് പലരും പലപ്പോഴും ചിന്തിക്കാറുണ്ട്. ഈ നിയമം എവിടെ നിന്നാണ് വന്നതെന്നതിനെക്കുറിച്ചും പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ച് എന്ത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താമെന്നതിനെക്കുറിച്ചും ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ വിശദമായി സംസാരിക്കും.

എന്നിവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടു

പൂജ്യത്തെ ഏറ്റവും കൂടുതൽ എന്ന് വിളിക്കാം രസകരമായ സംഖ്യകൾ. ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് അർത്ഥമില്ല, വാക്കിൻ്റെ ശരിയായ അർത്ഥത്തിൽ ശൂന്യത എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. എന്നിരുന്നാലും, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ അടുത്തായി പൂജ്യം സ്ഥാപിച്ചാൽ, ഈ സംഖ്യയുടെ മൂല്യം പല മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കും.

നമ്പർ തന്നെ വളരെ നിഗൂഢമാണ്. ഞാൻ അത് വീണ്ടും ഉപയോഗിച്ചു പുരാതന ആളുകൾമായൻ. മായന്മാർക്ക്, പൂജ്യം എന്നാൽ "ആരംഭം", എണ്ണൽ എന്നിവ അർത്ഥമാക്കുന്നു കലണ്ടർ ദിവസങ്ങൾആദ്യം മുതൽ തുടങ്ങി.

വളരെ രസകരമായ വസ്തുതപൂജ്യ ചിഹ്നവും അനിശ്ചിതത്വ ചിഹ്നവും സമാനമായിരുന്നു എന്നതാണ്. ഇതിലൂടെ, പൂജ്യം അനിശ്ചിതത്വത്തിൻ്റെ അതേ അടയാളമാണെന്ന് കാണിക്കാൻ മായന്മാർ ആഗ്രഹിച്ചു. യൂറോപ്പിൽ, പൂജ്യം എന്ന പദവി താരതമ്യേന അടുത്തിടെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

പൂജ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരോധനവും പലർക്കും അറിയാം. അത് ഏതൊരു വ്യക്തിയും പറയും നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. സ്കൂളിലെ അധ്യാപകർ ഇത് പറയുന്നു, കുട്ടികൾ സാധാരണയായി അവരുടെ വാക്ക് സ്വീകരിക്കുന്നു. സാധാരണയായി, കുട്ടികൾക്ക് ഒന്നുകിൽ ഇത് അറിയാൻ താൽപ്പര്യമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രധാന നിരോധനം കേട്ടാൽ, അവർ ഉടൻ തന്നെ “എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തത്?” എന്ന് ചോദിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് അവർക്കറിയാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രായമാകുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ താൽപ്പര്യം ഉണരും, ഈ നിരോധനത്തിൻ്റെ കാരണങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ അറിയാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ന്യായമായ തെളിവുകളുണ്ട്.

പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ച് എന്ത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താമെന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിലവിലുണ്ട് നിരവധി തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

• കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ;
• ഗുണനം;
• കുറയ്ക്കൽ;
• വിഭജനം (സംഖ്യ പ്രകാരം പൂജ്യം);
• എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ.

പ്രധാനം!കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയോട് പൂജ്യം ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യ അതേപടി നിലനിൽക്കും, അതിൻ്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം മാറ്റില്ല. ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയിൽ നിന്ന് പൂജ്യം കുറച്ചാൽ ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കും.

ഗുണിക്കുമ്പോഴും ഹരിക്കുമ്പോഴും കാര്യങ്ങൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്. എങ്കിൽ ഏത് സംഖ്യയെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അപ്പോൾ ഉൽപ്പന്നവും പൂജ്യമായി മാറും.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

നമുക്ക് ഇത് ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കലായി എഴുതാം:

ആകെ അഞ്ച് പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ അത് മാറുന്നു

ഒന്നിനെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഫലവും പൂജ്യമായിരിക്കും.

പൂജ്യത്തെ അതിന് തുല്യമല്ലാത്ത മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫലം ആയിരിക്കും, അതിൻ്റെ മൂല്യവും പൂജ്യമായിരിക്കും. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും ഇതേ നിയമം ബാധകമാണ്. പൂജ്യത്തെ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഫലം പൂജ്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ഏത് നമ്പറും നിർമ്മിക്കാനും കഴിയും പൂജ്യം ഡിഗ്രി വരെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫലം 1 ആയിരിക്കും. "പൂജ്യം മുതൽ പൂജ്യം വരെ" എന്ന പ്രയോഗം തികച്ചും അർത്ഥശൂന്യമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. പൂജ്യം ഏതെങ്കിലും ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ ശ്രമിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കും. ഉദാഹരണം:

ഞങ്ങൾ ഗുണന നിയമം ഉപയോഗിക്കുകയും 0 നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

അപ്പോൾ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ പറ്റുമോ?

അതിനാൽ, ഇവിടെ നമ്മൾ പ്രധാന ചോദ്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ പറ്റുമോ?എന്തായാലും? പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ മറ്റെല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും നിലനിൽക്കുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനാൽ, എന്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലേക്ക് തിരിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, എന്താണ് പൂജ്യം? പൂജ്യം ഒന്നുമല്ലെന്നാണ് സ്കൂൾ അധ്യാപകർ പറയുന്നത്. ശൂന്യത. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് 0 ഹാൻഡിലുകളുണ്ടെന്ന് പറയുമ്പോൾ, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് ഹാൻഡിലുകൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, "പൂജ്യം" എന്ന ആശയം വിശാലമാണ്. അതിനർത്ഥം ശൂന്യത എന്നല്ല. ഇവിടെ പൂജ്യത്തെ അനിശ്ചിതത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം നമ്മൾ ഒരു ചെറിയ ഗവേഷണം നടത്തിയാൽ, പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയിൽ അവസാനിക്കാം, അത് പൂജ്യമാകണമെന്നില്ല.

നിങ്ങൾ സ്കൂളിൽ പഠിച്ച ആ ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരസ്പരം അത്ര തുല്യമല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? ഏറ്റവും അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, "", "വ്യവകലനം" എന്നീ ആശയങ്ങൾ നിലവിലില്ല. നമുക്ക് പറയാം: നിങ്ങൾ അഞ്ചിൽ നിന്ന് മൂന്ന് കുറച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ശേഷിക്കും. കുറയ്ക്കൽ ഇങ്ങനെയാണ് കാണപ്പെടുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതും:

അങ്ങനെ, അജ്ഞാതമായ വ്യത്യാസം 5 ലഭിക്കാൻ 3-ലേക്ക് ചേർക്കേണ്ട ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണെന്ന് മാറുന്നു. അതായത്, നിങ്ങൾ ഒന്നും കുറയ്ക്കേണ്ടതില്ല, നിങ്ങൾ ഉചിതമായ നമ്പർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ നിയമം കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന് ബാധകമാണ്.

കൂടെ കാര്യങ്ങൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ് ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും നിയമങ്ങൾ.പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് പൂജ്യ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് അറിയാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 3:0=x ആണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ എൻട്രി റിവേഴ്സ് ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് 3*x=0 ലഭിക്കും. 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ പൂജ്യം നൽകും. പൂജ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൽ പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റൊരു മൂല്യവും നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയും ഇല്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഇതിനർത്ഥം പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് അർത്ഥശൂന്യമാണ്, അതായത്, അത് നമ്മുടെ നിയമത്തിന് അനുയോജ്യമാണ്.

എന്നാൽ പൂജ്യം സ്വയം ഹരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? നമുക്ക് ചില അനിശ്ചിത സംഖ്യകൾ x ആയി എടുക്കാം. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം 0*x=0 ആണ്. അത് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

x ന് പകരം പൂജ്യം എടുക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ നമുക്ക് 0:0=0 ലഭിക്കും. അത് ലോജിക്കൽ ആയി തോന്നുമോ? എന്നാൽ നമ്മൾ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ എടുക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 1, x-ന് പകരം, 0:0=1 എന്നതിൽ അവസാനിക്കും. മറ്റേതെങ്കിലും നമ്പർ എടുത്താലും ഇതേ അവസ്ഥയുണ്ടാകും ഇത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പ്ലഗ് ചെയ്യുക.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയെ ഒരു ഘടകമായി എടുക്കാം. അനന്തമായ സംഖ്യയായിരിക്കും ഫലം വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ. ചിലപ്പോൾ ഉയർന്ന ഗണിതത്തിൽ 0 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് ഇപ്പോഴും അർത്ഥവത്താണ്, പക്ഷേ സാധാരണയായി ഒരു പ്രത്യേക അവസ്ഥ ദൃശ്യമാകും, അതിന് നന്ദി നമുക്ക് ഇപ്പോഴും അനുയോജ്യമായ ഒരു നമ്പർ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ "അനിശ്ചിതത്വ വെളിപ്പെടുത്തൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സാധാരണ ഗണിതത്തിൽ, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതിൻ്റെ അർത്ഥം വീണ്ടും നഷ്ടപ്പെടും, കാരണം നമുക്ക് സെറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു നമ്പർ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

പ്രധാനം!നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

പൂജ്യവും അനന്തതയും

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അനന്തത പലപ്പോഴും കണ്ടെത്താനാകും. അനന്തതയോടുകൂടിയ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് അറിയുന്നത് പ്രധാനമല്ലാത്തതിനാൽ, പൂജ്യത്താൽ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് കുട്ടികളോട് ശരിയായി വിശദീകരിക്കാൻ അധ്യാപകർക്ക് കഴിയില്ല.

ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൻ്റെ ആദ്യ വർഷത്തിൽ മാത്രമാണ് വിദ്യാർത്ഥികൾ അടിസ്ഥാന ഗണിത രഹസ്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നത്. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം പരിഹാരമില്ലാത്ത ഒരു വലിയ സമുച്ചയം നൽകുന്നു. ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ പ്രശ്നങ്ങൾ അനന്തതയുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങളാണ്. അവ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ് ഗണിത വിശകലനം.

അനന്തതയിലും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ് പ്രാഥമിക ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ:കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണനം. സാധാരണയായി അവ കുറയ്ക്കലും വിഭജനവും ഉപയോഗിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവസാനം അവ ഇപ്പോഴും രണ്ട് ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് വരുന്നു.