x ൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ റൂട്ടിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം (x to the power of a). x ൻ്റെ വേരുകളിൽ നിന്നുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഉയർന്ന ഓർഡർ പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

x എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് a യുടെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, ഒരു തവണ x ഒരു മൈനസ് ഒന്നിൻ്റെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്:
(1) .

x ൻ്റെ nth റൂട്ട് മുതൽ mth പവർ വരെയുള്ളതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതാണ്:
(2) .

ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

കേസ് x > 0

എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് a ഉള്ള വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കുക:
(3) .
ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. ആദ്യം കേസ് പരിഗണിക്കാം.

ഫംഗ്‌ഷൻ (3) ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുകയും അതിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു:
.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത്:
;
.
ഇവിടെ .

ഫോർമുല (1) തെളിയിച്ചു.

x ൻ്റെ n ഡിഗ്രി മുതൽ m വരെയുള്ള ഒരു റൂട്ടിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൻ്റെ റൂട്ടായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക:
(4) .

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ റൂട്ടിനെ ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റുന്നു:
.
ഫോർമുലയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ (3) നമുക്ക് അത് കാണാം
.
പിന്നെ
.

ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
(1) ;
;
(2) .

പ്രായോഗികമായി, ഫോർമുല (2) ഓർമ്മിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ആദ്യം വേരുകളെ പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, തുടർന്ന് ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക (പേജിൻ്റെ അവസാനത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണുക).

കേസ് x = 0

എങ്കിൽ, x = എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് പവർ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു 0 . x = എന്നതിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ (3) ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം 0 . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
.

നമുക്ക് x = പകരം വയ്ക്കാം 0 :
.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നതുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതിനുള്ള വലതുവശത്തുള്ള പരിധിയാണ് .

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി:
.
ഇതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്, .
, .
, .
ഈ ഫലവും ഫോർമുല (1) ൽ നിന്നും ലഭിക്കുന്നു:
(1) .
അതിനാൽ, ഫോർമുല (1) x = എന്നതിനും സാധുതയുള്ളതാണ് 0 .

കേസ് x< 0

പ്രവർത്തനം (3) വീണ്ടും പരിഗണിക്കുക:
(3) .
സ്ഥിരമായ a യുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്കായി, ഇത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾവേരിയബിൾ x. അതായത്, ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ അതിനെ കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
,
ഇവിടെ m ഉം n ഉം ഇല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് പൊതു വിഭജനം.

n ഒറ്റയടി ആണെങ്കിൽ, x വേരിയബിളിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കും പവർ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, എപ്പോൾ n = 3 കൂടാതെ m = 1 നമുക്ക് ഉണ്ട് ക്യൂബ് റൂട്ട് x-ൽ നിന്ന്:
.
x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കും ഇത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ (3) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ x സങ്കൽപ്പിക്കുക:
.
പിന്നെ,
.
ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് പുറത്ത് സ്ഥിരാങ്കം സ്ഥാപിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

.
ഇവിടെ . പക്ഷേ
.
അന്ന് മുതൽ
.
പിന്നെ
.
അതായത്, ഫോർമുല (1) ഇതിനും സാധുതയുള്ളതാണ്:
(1) .

ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ഇനി നമുക്ക് പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താം
(3) .
ആദ്യ ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി:
.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് പുറത്തുള്ള സ്ഥിരാങ്കം എടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
.
അതുപോലെ, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;

.

ഇതിൽ നിന്ന് അത് വ്യക്തമാണ് അനിയന്ത്രിതമായ n-ആം ക്രമത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ട്:
.

ശ്രദ്ധിക്കുക, അത് എ ആണെങ്കിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ , അപ്പോൾ nth ഡെറിവേറ്റീവ് സ്ഥിരമാണ്:
.
തുടർന്നുള്ള എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:
,
യിൽ.

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
.

പരിഹാരം

നമുക്ക് വേരുകളെ ശക്തികളാക്കി മാറ്റാം:
;
.
അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം ഫോം എടുക്കുന്നു:
.

ശക്തികളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തൽ:
;
.
സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്:
.

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധിയായി ഡെറിവേറ്റീവിനെ നിർവചിച്ചുകൊണ്ട് ഏറ്റവും ലളിതമായ (വളരെ ലളിതമല്ല) ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു പട്ടിക പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ചില നിയമങ്ങൾവ്യത്യാസം. ഐസക് ന്യൂട്ടൺ (1643-1727), ഗോട്ട്‌ഫ്രൈഡ് വിൽഹെം ലീബ്നിസ് (1646-1716) എന്നിവരാണ് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്ന മേഖലയിൽ ആദ്യമായി പ്രവർത്തിച്ചത്.

അതിനാൽ, നമ്മുടെ കാലത്ത്, ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച പരിധി നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതില്ല, പക്ഷേ നിങ്ങൾ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവുകളും വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങളും. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം അനുയോജ്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ആവശ്യമാണ് ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുകഏതൊക്കെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്ന് തീരുമാനിക്കുക (ഉൽപ്പന്നം, തുക, ഭാഗം)ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകളും സം, ഘടകവും - ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ആദ്യ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടികയും ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളും നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് "x" ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്നും സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈന് തുല്യമാണെന്നും കണ്ടെത്തുന്നു. ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് മാറ്റി, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് ആവശ്യമായ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

ഉദാഹരണം 2.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന് സ്ഥിരമായ ഘടകം ഉള്ള ഒരു തുകയുടെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി ഞങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നു, അത് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് എടുക്കാം:

എന്തെങ്കിലും എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ഉയർന്നുവരുന്നുവെങ്കിൽ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയും വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ നിയമങ്ങളും സ്വയം പരിചയപ്പെടുത്തിയതിന് ശേഷം അവ സാധാരണയായി മായ്‌ക്കപ്പെടും. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അവയിലേക്ക് നീങ്ങുകയാണ്.

ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക

1. സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ (സംഖ്യ) ഡെറിവേറ്റീവ്. ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനിലുള്ള ഏത് സംഖ്യയും (1, 2, 5, 200...). എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്
2. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. മിക്കപ്പോഴും "എക്സ്". എപ്പോഴും ഒന്നിന് തുല്യം. ഇത് വളരെക്കാലം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതും പ്രധാനമാണ്
3. ബിരുദത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ നോൺ-സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളെ ശക്തികളാക്കി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്.
4. പവർ -1-ലേക്കുള്ള വേരിയബിളിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
5. ഡെറിവേറ്റീവ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്
6. സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
7. കോസൈൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
8. ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
9. കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
10. ആർക്സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
11. ആർക്കോസിൻ ഡെറിവേറ്റീവ്
12. ആർക്റ്റാൻജൻ്റ് എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
13. ആർക്ക് കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
14. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
15. ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
16. ഘാതകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
17. ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ

1. ഒരു തുകയുടെയോ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെയോ ഡെറിവേറ്റീവ്
2. ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
2a. ഒരു സ്ഥിരമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
3. ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
4. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

നിയമം 1.പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണ്, തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഒരേ ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണ്

ഒപ്പം

ആ. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് തുല്യമാണ് ബീജഗണിത തുകഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.

അനന്തരഫലം. രണ്ട് ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ സ്ഥിരമായ പദത്താൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ തുല്യമാണ്, അതായത്.

നിയമം 2.പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരേ ബിന്ദുവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

ഒപ്പം

ആ. രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും മറ്റൊന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്.

അനന്തരഫലം 1. സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അനന്തരഫലം 2. നിരവധി ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഓരോ ഘടകത്തിൻ്റെയും മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് ഗുണിതങ്ങൾക്ക്:

നിയമം 3.പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒപ്പം , അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിൽ അവയുടെ ഘടകവും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുu/v, ഒപ്പം

ആ. രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ വർഗ്ഗമാണ് മുൻ ന്യൂമറേറ്റർ.

മറ്റ് പേജുകളിലെ കാര്യങ്ങൾ എവിടെയാണ് തിരയേണ്ടത്

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും യഥാർത്ഥ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ഒരു ഘടകവും കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഒരേസമയം നിരവധി ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ ലേഖനത്തിൽ ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്."ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകവും".

അഭിപ്രായം.നിങ്ങൾ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തെ (അതായത്, ഒരു സംഖ്യ) ഒരു തുകയിലെ ഒരു പദമായും സ്ഥിരമായ ഘടകമായും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്! ഒരു പദത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, സ്ഥിരമായ ഘടകത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അത് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഈ സാധാരണ തെറ്റ്, സംഭവിക്കുന്നത് പ്രാരംഭ ഘട്ടംഡെറിവേറ്റീവുകൾ പഠിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവ ഒന്നോ രണ്ടോ ഭാഗങ്ങളുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ശരാശരി വിദ്യാർത്ഥി ഇനി ഈ തെറ്റ് വരുത്തില്ല.

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെയോ ഘടകത്തെയോ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പദമുണ്ടെങ്കിൽ യു"വി, അതിൽ യു- ഒരു സംഖ്യ, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 അല്ലെങ്കിൽ 5, അതായത്, ഒരു സ്ഥിരാങ്കം, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതിനാൽ മുഴുവൻ പദവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും (ഈ കേസ് ഉദാഹരണം 10 ൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു).

മറ്റുള്ളവ സാധാരണ തെറ്റ്- ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ പരിഹാരം ഒരു ലളിതമായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒരു പ്രത്യേക ലേഖനം സമർപ്പിക്കുന്നു. എന്നാൽ ആദ്യം നമ്മൾ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താൻ പഠിക്കും.

വഴിയിൽ, എക്സ്പ്രഷനുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പുതിയ വിൻഡോകളിൽ മാനുവൽ തുറക്കേണ്ടതുണ്ട്. ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾഒപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ .

ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്ക് നിങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങൾ തേടുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെ കാണുമ്പോൾ , തുടർന്ന് "ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന പാഠം പിന്തുടരുക.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടാസ്ക് ഉണ്ടെങ്കിൽ , അപ്പോൾ നിങ്ങൾ "ലളിതമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ" എന്ന പാഠം എടുക്കും.

ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ - ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഉദാഹരണം 3.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു: മുഴുവൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനും ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ തുകകളാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ പദങ്ങളിലൊന്നിൽ സ്ഥിരമായ ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്ന വ്യത്യാസ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക മറ്റൊന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്:

അടുത്തതായി, തുകയുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓരോ തുകയിലും രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്. ഓരോ തുകയിലും നമ്മൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും കാണുന്നു, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സ്ഥിരാങ്കം (സംഖ്യ), അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, "എക്സ്" ഒന്നായി മാറുന്നു, മൈനസ് 5 പൂജ്യമായി മാറുന്നു. രണ്ടാമത്തെ എക്സ്പ്രഷനിൽ, "x" എന്നത് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ നമ്മൾ "x" ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അതേ യൂണിറ്റ് കൊണ്ട് രണ്ടെണ്ണം ഗുണിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കും:

കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവുകളെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് ആവശ്യമായ മുഴുവൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉദാഹരണം 4.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഘടകത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. ഡിനോമിനേറ്റർ, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ മുൻ ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ചതുരമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 2-ൽ ന്യൂമറേറ്ററിലെ ഘടകങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. നിലവിലെ ഉദാഹരണത്തിലെ ന്യൂമറേറ്ററിലെ രണ്ടാമത്തെ ഘടകമായ ഉൽപ്പന്നം ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിലാണ് എടുത്തിരിക്കുന്നതെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക് നിങ്ങൾ പരിഹാരം തേടുകയാണെങ്കിൽ, അവിടെ തുടർച്ചയായ വേരുകളുടെയും ശക്തികളുടെയും കൂമ്പാരം ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, , പിന്നെ ക്ലാസ്സിലേക്ക് സ്വാഗതം "ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക" .

സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ, മറ്റ് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് കൂടുതലറിയണമെങ്കിൽ, അതായത്, ഫംഗ്‌ഷൻ ഇതുപോലെ കാണുമ്പോൾ , പിന്നെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പാഠം "ലളിതമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ" .

ഉദാഹരണം 5.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ നമ്മൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നം കാണുന്നു, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നമുക്ക് പരിചിതമാണ്. ഉൽപ്പന്നത്തെയും വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പട്ടിക മൂല്യത്തെയും വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 6.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ, ഡിവിഡൻ്റ് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമായ ഒരു ഘടകത്തെ നാം കാണുന്നു. ഉദാഹരണം 4-ൽ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്‌ത ഘടകങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമവും സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയ മൂല്യവും ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ന്യൂമറേറ്ററിലെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കാൻ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

അതിൽ ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പരിശോധിച്ചു, കൂടാതെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങളും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചില സാങ്കേതിക സാങ്കേതികതകളും പരിചയപ്പെട്ടു. അതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ നിങ്ങൾ മികച്ച ആളല്ലെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഈ ലേഖനത്തിലെ ചില പോയിൻ്റുകൾ പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, ആദ്യം മുകളിലുള്ള പാഠം വായിക്കുക. ദയവായി ഗൗരവമായ മാനസികാവസ്ഥയിലാകുക - മെറ്റീരിയൽ ലളിതമല്ല, പക്ഷേ ഞാൻ അത് ലളിതമായും വ്യക്തമായും അവതരിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കും.

പ്രായോഗികമായി, ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുമ്പോൾ, മിക്കവാറും എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഞാൻ പറയും.

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വേർതിരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ റൂളിലെ (നമ്പർ 5) പട്ടിക നോക്കുന്നു:

നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാം. ആദ്യം തന്നെ പ്രവേശനം ശ്രദ്ധിക്കാം. ഇവിടെ നമുക്ക് രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുണ്ട് - കൂടാതെ , ഫംഗ്‌ഷൻ, ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഫംഗ്‌ഷനിൽ നെസ്റ്റഡ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ (ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മറ്റൊന്നിനുള്ളിൽ കൂടുകൂട്ടുമ്പോൾ) ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഞാൻ ചടങ്ങിന് വിളിക്കാം ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം, ഒപ്പം ചടങ്ങും - ആന്തരിക (അല്ലെങ്കിൽ നെസ്റ്റഡ്) പ്രവർത്തനം.

! ഈ നിർവചനങ്ങൾ സൈദ്ധാന്തികമല്ല, അസൈൻമെൻ്റുകളുടെ അന്തിമ രൂപകൽപ്പനയിൽ അവ ദൃശ്യമാകരുത്. ഞാൻ അപേക്ഷിക്കുന്നു അനൗപചാരിക പദപ്രയോഗങ്ങൾ"ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം", "ആന്തരിക" ഫംഗ്‌ഷൻ നിങ്ങൾക്ക് മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കാൻ മാത്രം.

സാഹചര്യം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, പരിഗണിക്കുക:

ഉദാഹരണം 1

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

സൈനിന് കീഴിൽ നമുക്ക് “X” എന്ന അക്ഷരം മാത്രമല്ല, ഒരു മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഉണ്ട്, അതിനാൽ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഉടനടി ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രവർത്തിക്കില്ല. ആദ്യത്തെ നാല് നിയമങ്ങൾ ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, ഒരു വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ സൈൻ “കഷണങ്ങളായി കീറാൻ” കഴിയില്ല എന്നതാണ് വസ്തുത:

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷനാണെന്നും പോളിനോമിയൽ ആണെന്നും എൻ്റെ വിശദീകരണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇതിനകം തന്നെ അവബോധപൂർവ്വം വ്യക്തമാണ്. ആന്തരിക പ്രവർത്തനം(നിക്ഷേപം), കൂടാതെ - ഒരു ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം.

ആദ്യത്തെ പടിസങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഇതാണ് ഏത് ഫംഗ്‌ഷൻ ആന്തരികമാണെന്നും ഏതാണ് ബാഹ്യമാണെന്നും മനസ്സിലാക്കുക.

എപ്പോൾ ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾസൈനിനു കീഴിൽ ഒരു ബഹുപദം ഉൾച്ചേർത്തിരിക്കുന്നതായി വ്യക്തമായി തോന്നുന്നു. എന്നാൽ എല്ലാം വ്യക്തമല്ലെങ്കിലോ? ഏത് പ്രവർത്തനമാണ് ബാഹ്യവും ആന്തരികവും എന്ന് കൃത്യമായി എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, അത് മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഡ്രാഫ്റ്റിൽ ചെയ്യാം.

ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ എക്സ്പ്രഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം (ഒന്നിനുപകരം ഏത് സംഖ്യയും ഉണ്ടാകാം).

ആദ്യം നമ്മൾ എന്താണ് കണക്കാക്കുക? ഒന്നാമതായിചെയ്യേണ്ടി വരും അടുത്ത നടപടി: , അതിനാൽ ബഹുപദം ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമായിരിക്കും:

രണ്ടാമതായികണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ സൈൻ - ഒരു ബാഹ്യ പ്രവർത്തനമായിരിക്കും:

ഞങ്ങൾക്ക് ശേഷം വിറ്റുതീർത്തുആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ ഫംഗ്ഷനുകൾക്കൊപ്പം, സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം പ്രയോഗിക്കേണ്ട സമയമാണിത് .

നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാൻ തുടങ്ങാം. പാഠത്തിൽ നിന്ന് ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?ഏതെങ്കിലും ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ രൂപകൽപ്പന എല്ലായ്പ്പോഴും ഇതുപോലെയാണ് ആരംഭിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു - ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും മുകളിൽ വലതുവശത്ത് ഒരു സ്ട്രോക്ക് ഇടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ആദ്യംഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം(സൈൻ), പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക നോക്കുക, അത് ശ്രദ്ധിക്കുക . "x" ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ എല്ലാ പട്ടിക സൂത്രവാക്യങ്ങളും ബാധകമാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ആന്തരിക പ്രവർത്തനം ശ്രദ്ധിക്കുക മാറിയിട്ടില്ല, ഞങ്ങൾ തൊടുന്നില്ല.

ശരി, അത് വളരെ വ്യക്തമാണ്

ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം അതിൻ്റെ അവസാന രൂപത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

സ്ഥിരമായ ഘടകം സാധാരണയായി പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു:

എന്തെങ്കിലും തെറ്റിദ്ധാരണയുണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരം കടലാസിൽ എഴുതി വിശദീകരണങ്ങൾ വീണ്ടും വായിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

നമുക്ക് ഒരു ബാഹ്യ ഫംഗ്‌ഷൻ എവിടെയാണെന്നും ആന്തരികമായത് എവിടെയാണെന്നും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ (മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഡ്രാഫ്റ്റിൽ) ശ്രമിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ ആദ്യം എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ഒന്നാമതായി, അടിസ്ഥാനം എന്താണ് തുല്യമെന്ന് നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്: അതിനാൽ, പോളിനോമിയൽ ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണ്:

അതിനുശേഷം മാത്രമേ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ നടത്തുകയുള്ളൂ, അതിനാൽ, പവർ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ബാഹ്യ പ്രവർത്തനമാണ്:

ഫോർമുല പ്രകാരം , ആദ്യം നിങ്ങൾ ബാഹ്യ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബിരുദം. പട്ടികയിൽ ആവശ്യമായ ഫോർമുല ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു: . ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ആവർത്തിക്കുന്നു: ഏത് പട്ടിക സൂത്രവാക്യവും "X" ന് മാത്രമല്ല, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിനും സാധുതയുള്ളതാണ്. അങ്ങനെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം അടുത്തത്:

ബാഹ്യ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുമ്പോൾ, നമ്മുടെ ആന്തരിക പ്രവർത്തനം മാറില്ലെന്ന് ഞാൻ വീണ്ടും ഊന്നിപ്പറയുന്നു:

ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ഫലം അൽപ്പം മാറ്റുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്:

ഉദാഹരണം 4

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരം).

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിങ്ങളുടെ ധാരണ ഏകീകരിക്കാൻ, ഞാൻ അഭിപ്രായങ്ങളില്ലാതെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകും, അത് സ്വന്തമായി കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ പ്രവർത്തനം എവിടെയാണ്, എന്തുകൊണ്ടാണ് ജോലികൾ ഈ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നത്?

ഉദാഹരണം 5

a) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

b) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 6

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇവിടെ നമുക്ക് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, റൂട്ടിനെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ, അത് ഒരു ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം. അതിനാൽ, ആദ്യം നമ്മൾ ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യസ്തതയ്ക്ക് അനുയോജ്യമായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു:

ഫംഗ്‌ഷൻ വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണെന്നും ഒരു പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് ഒരു ബാഹ്യ പ്രവർത്തനമാണെന്നും ഞങ്ങൾ നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു :

ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ബിരുദത്തെ ഒരു റാഡിക്കൽ (റൂട്ട്) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി തുകയെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു ലളിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു:

തയ്യാറാണ്. നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗം ബ്രാക്കറ്റിലെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാനും എല്ലാം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാനും കഴിയും. തീർച്ചയായും ഇത് മനോഹരമാണ്, പക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള നീണ്ട ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ലഭിക്കുമ്പോൾ, ഇത് ചെയ്യാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് (ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അനാവശ്യമായ തെറ്റ് വരുത്തുക, അധ്യാപകന് പരിശോധിക്കുന്നത് അസൗകര്യമായിരിക്കും).

ഉദാഹരണം 7

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരം).

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിനുപകരം, ഒരു ഘടകത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ചട്ടം ഉപയോഗിക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്. , എന്നാൽ അത്തരമൊരു പരിഹാരം അസാധാരണമായ വികൃതി പോലെ കാണപ്പെടും. ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 8

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഘടകത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം , എന്നാൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമത്തിലൂടെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്:

വ്യതിരിക്തതയ്‌ക്കായി ഞങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ തയ്യാറാക്കുന്നു - ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മൈനസ് നീക്കുകയും കോസൈൻ ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് ഉയർത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

കോസൈൻ ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണ്, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ ഒരു ബാഹ്യ പ്രവർത്തനമാണ്.
നമുക്ക് നമ്മുടെ ഭരണം ഉപയോഗിക്കാം :

ഞങ്ങൾ ആന്തരിക ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും കോസൈൻ താഴേക്ക് റീസെറ്റ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു:

തയ്യാറാണ്. പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, അടയാളങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. വഴിയിൽ, ഭരണം ഉപയോഗിച്ച് അത് പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക , ഉത്തരങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടണം.

ഉദാഹരണം 9

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരം).

ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു നെസ്റ്റിംഗ് മാത്രമുണ്ടായിരുന്ന കേസുകൾ ഞങ്ങൾ ഇതുവരെ പരിശോധിച്ചു. പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പലപ്പോഴും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താനാകും, അവിടെ, നെസ്റ്റിംഗ് പാവകൾ പോലെ, ഒന്നിനുള്ളിൽ മറ്റൊന്ന്, 3 അല്ലെങ്കിൽ 4-5 ഫംഗ്ഷനുകൾ പോലും ഒരേസമയം കൂടുകൂട്ടിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 10

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അറ്റാച്ച്‌മെൻ്റുകൾ നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. പരീക്ഷണാത്മക മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കും?

ആദ്യം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിനർത്ഥം ആർക്സൈൻ ഏറ്റവും ആഴത്തിലുള്ള ഉൾച്ചേർക്കലാണ്:

ഒന്നിൻ്റെ ഈ ആർക്സൈൻ ചതുരാകൃതിയിലായിരിക്കണം:

ഒടുവിൽ, ഞങ്ങൾ ഏഴെണ്ണം ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു:

അതായത്, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നമുക്ക് മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ഫംഗ്ഷനുകളും രണ്ട് എംബെഡിംഗുകളും ഉണ്ട്, അതേസമയം ഏറ്റവും ഉള്ളിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ ആർക്സൈൻ ആണ്, ഏറ്റവും പുറം ഫംഗ്ഷൻ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനാണ്.

നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാൻ തുടങ്ങാം

ചട്ടം അനുസരിച്ച് ആദ്യം നിങ്ങൾ ബാഹ്യ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക നോക്കുകയും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു: ഒരേയൊരു വ്യത്യാസം "x" ന് പകരം നമുക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗമുണ്ട്, അത് ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുതയെ നിരാകരിക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം അടുത്തത്.