Эрдэмтэн муурны тэгш байдал үнэн байж чадах уу? Математикийн таавар. Багшийн ажилд зориулсан математикийн таавар

Эрдэмтэн P ба NP ангиудын тэгш байдлыг нотолсон бөгөөд үүний шийдлийн төлөө Клей математикийн хүрээлэн нэг сая ам.долларын шагнал гардуулав.

Анатолий Васильевич Панюков 30 орчим жилийн турш мянганы хамгийн хэцүү асуудлын нэгийг шийдвэрлэх арга замыг эрэлхийлсэн. Дэлхийн өнцөг булан бүрт математикчид P ба NP ангиллын тэгш байдлыг батлах эсвэл үгүйсгэхийг олон жилийн турш оролдсон боловч зуу орчим шийдэл байдаг боловч тэдгээрийн аль нь ч хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй байна. Энэ асуудалтай холбоотой энэ сэдвээр СУИС-ийн тэнхимийн дарга нэр дэвшигч, докторын зэрэг хамгаалсан боловч одоо л зөв хариултыг олсон бололтой.

P = NP тэгш байдлын асуудал нь: хэрэв асуултын эерэг хариултыг хурдан шалгаж чадвал (олон гишүүнт хугацаанд) энэ асуултын хариултыг хурдан олох боломжтой (олон гишүүнт цаг болон олон гишүүнт санах ой ашиглан) )? Өөрөөр хэлбэл аливаа асуудлын шийдлийг шалгах нь түүнийг олохоос илүү амар биш гэж үү?
Жишээлбэл, тоонуудын дунд (−2, −3, 15, 14, 7, −10, ...) нийлбэр нь 0 (дэд олонлогуудын нийлбэрийн асуудал) байдаг нь үнэн үү? Хариулт нь тийм, учир нь −2 −3 + 15 −10 = 0-ийг хэд хэдэн нэмэлтээр хялбархан шалгаж болно (эерэг хариултыг баталгаажуулахад шаардлагатай мэдээллийг гэрчилгээ гэж нэрлэдэг). Эдгээр тоонуудыг олоход хялбар байдаг гэсэн үг үү? Сертификат шалгах нь түүнийг олохтой адил хялбар уу? Тоонуудыг гаргахад илүү хэцүү мэт санагдаж байгаа ч энэ нь нотлогдоогүй байна.
P ба NP ангиудын хоорондын хамаарлыг тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлын онолд (тооцооллын онолын салбар) авч үздэг бөгөөд энэ нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардагдах нөөцийг судалдаг. Хамгийн түгээмэл нөөц бол цаг хугацаа (хэдэн алхам хийх шаардлагатай) болон санах ой (асуудлыг шийдвэрлэхэд хэр их санах ой хэрэгтэй) юм.

“Ажлынхаа үр дүнг хэд хэдэн дүүрэг дундын хурал, мэргэжлийн хүмүүсийн дунд хэлэлцсэн. Үр дүнг ОХУ-ын ШУА-ийн Уралын салбарын Математик, механикийн хүрээлэн болон Оросын ШУА-аас эрхлэн гаргадаг "Автоматжуулалт ба механик" сэтгүүлд танилцуулсан, физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор Анатолий Панюков Сайн мэдээнд хэлэв. . - Мэргэжилтнүүд няцаалт олж чадахгүй байх тусам үр дүн нь илүү зөв гэж тооцогддог.

Математикийн ертөнц дэх P ба NP ангиудын тэгш байдал нь мянганы тулгамдсан асуудлын нэг гэж тооцогддог. Гол нь хэрэв тэгш байдал үнэн бол одоогийн оновчлолын ихэнх асуудлыг хүлээн зөвшөөрөгдсөн хугацаанд, жишээлбэл, бизнес эсвэл үйлдвэрлэлд шийдэж болно. Өнөө үед ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь харгис хүч дээр суурилдаг бөгөөд нэг жилээс илүү хугацаа шаардагддаг.

"Ихэнх эрдэмтэд P ба NP ангиуд нь давхцдаггүй гэсэн таамаглалд дуртай байдаг, гэхдээ танилцуулсан нотолгоонд алдаа байхгүй бол энэ нь тийм биш юм" гэж Анатолий Панюков тэмдэглэв.

Хэрэв Челябинскийн эрдэмтний нотолгоо зөв болбол математик, эдийн засаг, техникийн шинжлэх ухааны хөгжилд ихээхэн нөлөөлнө. Бизнесийн оновчлолын асуудлууд илүү нарийвчлалтай шийдэгдэх тул ийм асуудлыг шийдэхийн тулд тусгай програм хангамж ашигладаг компанид илүү их ашиг, бага зардал гарах болно.

Челябинскийн эрдэмтний бүтээлийг хүлээн зөвшөөрөх дараагийн алхам бол мянганы асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулж сая долларын шагнал зарласан Клей математикийн хүрээлэнд нотлох баримтыг нийтлэх явдал юм.

Одоогийн байдлаар мянганы долоон асуудлын зөвхөн нэг нь (Пуанкарегийн таамаглал) шийдэгдээд байна. Үүнийг шийдсэнийх нь төлөө Филдсийн медалийг Григорий Перелман гардуулж, татгалзсан хариу өгсөн.

Лавлах: Анатолий Васильевич Панюков (1951 онд төрсөн) Физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор, профессор, Тооцооллын математик, мэдээлэл зүйн факультетийн Эдийн засаг, математикийн арга, статистикийн тэнхимийн эрхлэгч, Математикийн програмчлалын холбооны гишүүн, Шинжлэх ухааны нарийн бичгийн дарга, ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яамны Математикийн шинжлэх ухаан, арга зүйн зөвлөлийн гишүүн (Челябинск дахь салбар), Челябинск мужийн Холбооны улсын статистикийн албаны нутаг дэвсгэрийн байгууллагын шинжлэх ухаан, арга зүйн зөвлөлийн гишүүн, Өмнөд дэх диссертацийн зөвлөлийн гишүүн. Урал ба Пермийн улсын их сургуулиуд. Шинжлэх ухаан, боловсролын 200 гаруй нийтлэл, 20 гаруй шинэ бүтээлийн зохиогч. ОХУ-ын Суурь судалгааны сан, Боловсролын яам, Олон улсын шинжлэх ухаан, технологийн төвийн буцалтгүй тусламжаар "Эдийн засаг, технологи, байгалийн шинжлэх ухааны үндэслэлийн тооцоолол" эрдэм шинжилгээний семинарын дарга. Тэрээр долоон нэр дэвшигч, хоёр шинжлэх ухааны доктор бэлтгэсэн. Тэрээр "ОХУ-ын дээд боловсролын гавьяат ажилтан" (2007), "Дээд мэргэжлийн боловсролын гавьяат ажилтан" (2001), "ЗХУ-ын зохион бүтээгч" (1979), ЗХУ-ын Дээд боловсролын яамны медалиар шагнагджээ. Боловсрол (1979), Челябинск мужийн захирагчийн нэрэмжит өргөмжлөл.

Арваад хоногийн өмнө Энэтхэгийн математикч Винай Деолаликар өөрийнх нь хэлснээр математикийн хамгийн чухал тэгш бус байдлын нэг болох P ба NP ангиллын нарийн төвөгтэй байдлын тэгш бус байдлыг нотолсон нийтлэлээ онлайн нийтэлсэн байна. Энэ мессеж Деолаликарын хамтрагчдын дунд урьд өмнө байгаагүй их резонанс үүсгэсэн - эрдэмтэд үндсэн ажлаа орхиж, нийтлэлийг бөөнөөр нь уншиж, хэлэлцэж эхлэв. Бараг тэр даруй шинжээчид нотлох баримтын алдааг олж илрүүлсэн бөгөөд долоо хоногийн дараа математикийн нийгэмлэг Деолаликар даалгавраа даван туулж чадаагүй гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ.

Саяын өргөдөл

P ба NP ангиллын тэгш бус байдлын асуудал нь математикийн хамгийн сонирхолтой асуудлуудын нэг бөгөөд ихэнх мэргэжилтнүүд ижил тэнцүү биш гэдэгт аль хэдийн итгэлтэй байдаг (итгэлийн үндэс нь хатуу нотлох баримт дээр суурилдаггүй гэдгийг бүх эрдэмтэд хүлээн зөвшөөрдөг. Энэ нь шинжлэх ухаанд бус зөн совингийн талбарт үлдэх болно). Математикийн Клей институтээс Мянганы долоон сорилын жагсаалтад оруулсан энэхүү асуудлын ач холбогдол нь асар их бөгөөд зөвхөн "таамгийн" математик төдийгүй компьютерийн шинжлэх ухаан, тооцооллын онолд ч хамаатай.

Товчхондоо, P ба NP ангиллын нарийн төвөгтэй байдлын тэгш бус байдлын асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон: "Хэрэв тодорхой асуултын эерэг хариултыг хурдан шалгаж чадвал энэ асуултын хариултыг хурдан олох боломжтой гэж үнэн үү." Энэ асуудалтай холбоотой асуудлууд нь NP-ийн нарийн төвөгтэй байдлын ангилалд хамаарна (P нарийн төвөгтэй байдлын ангиллын асуудлыг илүү энгийн гэж нэрлэж болно - тэдгээрийн шийдлийг боломжийн хугацаанд олох нь гарцаагүй гэсэн утгаараа).

NP нарийн төвөгтэй байдлын ангиллын асуудлын нэг жишээ бол шифрийг эвдэх явдал юм. Одоогийн байдлаар энэ асуудлыг шийдэх цорын ганц арга бол боломжит бүх хослолыг туршиж үзэх явдал юм. Энэ үйл явц нь гайхалтай удаан үргэлжилж болно. Гэхдээ зөв код олдвол халдагчид асуудал шийдэгдсэн гэдгийг шууд ойлгох болно (өөрөөр хэлбэл шийдлийг боломжийн хугацаанд шалгаж болно). Хэрэв P ба NP нарийн төвөгтэй байдлын ангиуд тэнцүү биш хэвээр байгаа бол (өөрөөр хэлбэл боломжийн хугацаанд шийдэл нь олдохгүй байгаа асуудлыг хурдан шийдэж болох энгийн асуудал болгон бууруулж болохгүй) дэлхийн бүх гэмт хэрэгтнүүдэд үргэлж байх болно. шифрийг эвдэх харгис хүч. Гэвч хэрэв тэгш бус байдал нь тэгш бус байдал гэдэг нь гэнэт илэрвэл (өөрөөр хэлбэл NP ангиллын нарийн төвөгтэй бодлогуудыг P ангиллын энгийн бодлого болгон бууруулж болно) ухаалаг хулгайч нар онолын хувьд илүү тохиромжтой алгоритмыг гаргаж авах боломжтой болно. ямар ч шифрийг илүү хурдан эвдэх.

Маш хялбаршуулж хэлэхэд, P ба NP ангиллын нарийн төвөгтэй байдлын тэгш бус байдлын хатуу нотолгоо нь хүн төрөлхтнийг боломжтой бүх зүйлийг тэнэг эрэлхийлэхээс өөрөөр нарийн төвөгтэй асуудлыг (БЦГ-ын нарийн төвөгтэй байдлын ангийн асуудлууд) шийдвэрлэх итгэл найдвараас эцсийн эцэст, эргэлт буцалтгүй хасах болно гэж хэлж болно. шийдлийн сонголтууд.

Онцгой чухал асуудалд үргэлж тохиолддог шиг, P ба NP ангиуд тэнцүү эсвэл тэгш бус гэдгийг хатуу нотлох оролдлого тогтмол хийдэг. Ер нь Мянганы сорилтыг шийдвэрлэх хүсэлтийг шинжлэх ухааны ертөнц дэх нэр хүнд нь бага багаар хэлэхэд эргэлзээтэй хүмүүс, тэр ч байтугай тусгай боловсролгүй ч сорилтуудын цар хүрээг гайхшруулсан сонирхогчид гаргадаг. Харьцангуйн ерөнхий онол эсвэл Ньютоны хуулиуд үндсээрээ буруу гэдгийг физикчид нотлох оролдлогыг нухацтай авч үздэггүйтэй адил жинхэнэ хүлээн зөвшөөрөгдсөн мэргэжилтнүүдийн хэн нь ч ийм ажилд нухацтай ханддаггүй.

Гэхдээ энэ тохиолдолд "P нь NP-тэй тэнцүү биш" гэж нэрлэсэн уг бүтээлийн зохиогч нь псевдо-шинжлэх ухааны галзуу хүн биш, харин ажиллаж буй эрдэмтэн байсан бөгөөд маш нэр хүндтэй газар ажилладаг - Пало дахь Хьюлетт-Пакардын судалгааны лаборатори. Альто. Түүгээр ч зогсохгүй P ба NP-ийн тэгш бус байдлын талаарх Мянганы асуудлын зохиогчдын нэг Стивен Күүк нийтлэлийнхээ талаар эерэг үнэлгээ өгсөн. Кук цаасны хамт хамтран ажиллагсаддаа илгээсэн захидалдаа (Күүк нь Энэтхэгчүүд бүтээлээ хянуулахаар илгээсэн хэд хэдэн тэргүүлэх математикчдын нэг байсан) тэрээр Деолаликарын ажил нь "Ангиудын тэгш бус байдлыг нотлох харьцангуй ноцтой санал" гэж бичжээ. P ба NP."

Нарийн төвөгтэй байдлын онолын чиглэлээр гэрэлтүүлэгчийн зөвлөмж (энэ нь P ба NP тэгш бус байдлын асуудлыг шийддэг математикийн салбар) үүрэг гүйцэтгэсэн эсэх, эсвэл асуудлын өөрөө чухал ач холбогдолтой эсэх нь тодорхойгүй боловч олон математикчид өөр өөр улс орнууд үндсэн ажлаасаа татгалзаж, Деолаликарын тооцооллыг ойлгож эхлэв. Хэлэлцүүлэгт P ба NP ангиллын нарийн төвөгтэй байдлын тэгш бус байдлын талаар мэддэг боловч энэ сэдэвт шууд оролцдоггүй хүмүүс идэвхтэй оролцов. Жишээлбэл, тэд Массачусетсийн Технологийн Институтын (MIT) компьютерийн эрдэмтэн Скотт Ааронсоныг нотлох баримтын талаар асуултаар бөмбөгдөв.

Деолаликарын нийтлэл гарах үед Ааронсон амралтаа авч байсан бөгөөд нотлох баримтыг шууд ойлгож чадаагүй юм. Гэсэн хэдий ч түүний ач холбогдлыг онцлон тэмдэглэхийн тулд математикийн нийгэмлэг болон Клей институт зөв гэж үзвэл Энэтхэгт 200,000 доллар өгнө гэж мэдэгдэв. Энэхүү үрэлгэн үйлдлийнхээ төлөө олон хамт олон Ааронсоныг буруушааж, жинхэнэ эрдэмтэн зөвхөн баримтад найдах ёстой бөгөөд олон нийтийг үзэсгэлэнтэй дохио зангаагаар цочирдуулах ёсгүй гэж мэдэгджээ.

Шоулууд

Деолаликарын нийтлэлийг "сорох" эхний өдрүүдэд мэргэжилтнүүд үүнээс хэд хэдэн ноцтой дутагдлыг илрүүлжээ. Үүнийг хамгийн түрүүнд олон нийтэд зарласан хүмүүсийн нэг нь хачирхалтай нь (эсвэл эсрэгээрээ, огт сонин биш) Ааронсон байв. Блогынхоо уншигчдаас яаран дүгнэлт гаргасан гэж шүүмжилсний хариуд Ааронсон Энэтхэгийн гүйцэтгэлийг хурдан үнэлэхийн тулд ашигласан хэд хэдэн арга барилаа хуваалцав.

Ааронсон, нэгдүгээрт, Деолаликар математикчдад зориулсан сонгодог лемма-теоремын баталгааны бүтцээр илтгэлээ танилцуулаагүй нь таалагдаагүй. Эрдэмтэд энэ маргаан нь түүний төрөлхийн консерватизмаас үүдэлтэй биш, харин ажлын ийм бүтэцтэй бол "бүүргийг" барихад хялбар байдагтай холбоотой гэж тайлбарлав. Хоёрдугаарт, нотлох баримтын мөн чанар нь юу болох, зохиогч асуудлыг шийдвэрлэхэд саад болж байсан бэрхшээлийг хэрхэн даван туулж чадсаныг тайлбарлах ёстой нийтлэлийн хураангуй нь туйлын бүрхэг бичигдсэн болохыг Ааронсон тэмдэглэв. Эцэст нь Ааронсоныг төөрөлдүүлсэн гол зүйл бол нарийн төвөгтэй байдлын онолтой холбоотой зарим нэг чухал асуудлыг шийдвэрлэхэд үүнийг хэрхэн ашиглаж болох талаар Деолаликарын нотолгоо байхгүй байсан явдал юм.

Хэдхэн хоногийн дараа Массачусетсийн их сургуулийн Нейл Иммерман Энэтхэгийн ажилд "маш ноцтой цоорхой" байгааг олж мэдсэн гэж мэдэгдэв. Иммерманы бодлыг Жоржиагийн их сургуулийн компьютер судлаач Ричард Липтоны блог дээр нийтэлсэн бөгөөд P ба NP тэгш бус байдлын талаархи гол хэлэлцүүлэг болсон. Эрдэмтэн Деолаликар NP-ийн нарийн төвөгтэй байдлын ангилалд хамаарах асуудлуудыг буруу тодорхойлсон, харин P биш, тиймээс түүний бусад бүх аргументууд бас хүчингүй болохыг уриалав.

Иммерманы дүгнэлт нь Энэтхэгийн ажлын талаарх үнэлгээгээ "тийм байж магадгүй"-ээс "бараг үгүй" болгон өөрчлөхөд хамгийн үнэнч мэргэжилтнүүдийг хүртэл тулгасан. Түүгээр ч барахгүй математикчид Деолаликарын ажил нь тэгш бус байдлыг ойлгох цаашдын оролдлогод хэрэг болохуйц чухал ойлголтуудыг өгч чадна гэдэгт эргэлзэж байв. Математикийн нийгэмлэгийн шийдвэрийг (англи хэл дээр, математикийн олон тооны нэр томъёогоор) уншиж болно.

Деолаликар өөрөө хамт ажиллагсдынхаа шүүмжлэлд хариулж, нийтлэлийн эцсийн хувилбарыг ойрын ирээдүйд бэлтгэх болно (8-р сарын 6-нд Энэтхэгийн анхны хувилбарыг илгээснээс хойш). түүний ажилд тэр аль хэдийн нэг удаа өөрчлөлт оруулсан). Хэрэв математикчийн баталгаа үнэн болж, нотлох баримтын эцсийн хувилбар өдөр гэрэлтэж байвал мэргэжилтнүүд Деолаликарын гаргасан аргументуудыг дахин судлах болно гэж бодох хэрэгтэй. Гэвч өнөөдөр шинжлэх ухааны нийгэмлэг үнэлгээгээ аль хэдийн шийджээ.

Шинэ шат?

Мянганы сорилтын ач холбогдлыг үл тоомсорлож байсан ч энэ түүхэнд бас нэг сонирхолтой тал бий. Деолаликарын бүтээлийг хэлэлцэх асар том цар хүрээ нь өөрөө үнэхээр гайхалтай үйл явдал юм. Олон зуун математикч, компьютерийн эрдэмтэд хийж байсан бүх зүйлээ орхиж, 100 гаруй хуудас судлахад анхаарлаа төвлөрүүлжээ. уу!) Энэтхэгийн хөдөлмөр. Эрдэмтэд алдааг олж илрүүлсэн хурдаас нь харахад тэд "P нь NP-тэй тэнцэхгүй" нийтлэлийг хичээнгүйлэн уншиж, чөлөөт цагаа, тэр байтугай ажиллахад зарцуулсан байх ёстой. Википедиа шиг сайтуудын нэг дээр хүн бүр өгсөн нотлох баримтын талаар санал бодлоо илэрхийлэх хуудас яаралтай үүсгэсэн.

Энэ бүх улайран үйл ажиллагаа нь Деолаликарын бүтээлээр дамжуулан шинжлэх ухааны нийтлэл бичих шинэ арга бий болсны гэрч болж байгааг харуулж байна. Урьдчилсан хэвлэлийг албан ёсоор хэвлэхээс өмнө олон нийтэд нээлттэй болгох нь яг нарийн болон байгалийн шинжлэх ухаанд удаан хугацаанд хэрэглэгдэж ирсэн боловч энэ тохиолдолд сөрөг ч гэсэн шинэ үр дүн нь дэлхийн өнцөг булан бүрээс олон арван мэргэжилтнүүдийн хийсэн оюуны довтолгооны үр дүн юм. ертөнц.

Мэдээжийн хэрэг, шинжлэх ухааны мэдээлэл олж авах энэ арга нь олон асуултыг дагуулсаар байна (хамгийн ойлгомжтой нь үр дүнгийн зохиогчийн эрх, нээлтийн тэргүүлэх чиглэлийн асуудал юм), гэхдээ эцэст нь ихэнх шинэ ажлууд эхэндээ эргэлзээ, эсэргүүцэлтэй тулгарсан. Ийм ажлуудын оршин тогтнох эсэх нь нийгмийн хандлагаас бус харин хэр эрэлттэй байгаагаар тодорхойлогддог. Хэрэв тархи довтолж, үр дүнд хүрэх нь шинжлэх ухааны ажлын уламжлалт аргуудаас илүү үр дүнтэй байдаг бол ирээдүйд ийм практикийг нийтээр хүлээн зөвшөөрч магадгүй юм.

6-р ангийн клуб

Тэргүүн Евгений Александрович Асташов
2012/2013 оны хичээлийн жил

Хичээл 1. Бие биенээ таньж мэдэхэд тулгардаг бэрхшээлүүд

Багш нар бичгийн ажлыг цуглуулж, шалгахын өмнө тоолж байна. Ирина Сергеевна тэднийг зуун бүтээлээр овоолжээ. Даниил Алексеевич таван бүтээлийг хоёр секундэд тоолж чаддаг. Тэр хамгийн богино хугацаанд 75 цаасыг тоолж шалгах вэ? a) Тус бүр нь бүхэл тооны грамм жинтэй гурван жингийн багцыг санал болго, ингэснээр тэдний тусламжтайгаар аяганы жинг хуваахгүйгээр 1-ээс 7 грамм хүртэл бүхэл жинг авч болно. б) Энэ зорилгоор хоёр жингийн багц (бүхэл масстай байх албагүй) хангалттай байх уу?

Шийдэл.Зөвхөн математик сонирхдог хүмүүс энэ хоёр хичээлийг 4 дахин их сонирхдог; Зөвхөн биологи сонирхдог хүмүүс энэ хоёр хичээлийг гурав дахин их сонирхдог. Энэ нь хоёр хичээлийн аль нэгийг нь сонирхож байгаа хүмүүсийн тоог 8-д хуваах ёстой гэсэн үг юм (бүгд нийлээд хоёр хичээлийг сонирхож байгаа хүмүүсээс 8 дахин их). 8 ба 16 хангалттай биш, учир нь 16 + 2 = 18< 20 (не забудем посчитать Олега и Пашу); 32, 40 и т.д. — много; 24 подходит. Итак, в классе 24 человека, которые интересуются математикой или биологией (а может быть, и тем, и другим), а ещё есть Олег и Паша. Таким обраом, всего в классе 24 + 2 = 26 человек.

Могойн бүх толгой, сүүлийг 9 цохилтоор таслах аргыг хариултанд өгсөн болно. Одоо бид үүнийг цөөн тооны цохилтоор хийх боломжгүй гэдгийг батлах болно.

Иван Царевич гурван төрлийн халдлагыг ашиглаж болно.
A) хоёр сүүлийг таслах, нэг толгой ургах болно;
B) хоёр толгойг таслах;
C) нэг сүүлийг таславал хоёр сүүл ургах болно (үнэндээ зөвхөн нэг сүүл нэмнэ).
Нэг толгойг нь цавчих нь дэмий болохоор ийм цохилт хэрэглэхгүй.

1. А төрлийн цохилтын тоо сондгой байх ёстой. Ер нь ийм цохилтоор л гоолын тооны харьцаа өөрчлөгддөг. Мөн гоолын тооны паритет өөрчлөгдөх ёстой: эхлээд 3 нь байсан, эцэст нь 0 байх ёстой. Хэрэв ийм цохилтыг тэгш тоогоор хийвэл гоолын тоо сондгой хэвээр байх болно (тиймээс гоол оруулахгүй. тэгтэй тэнцүү байх).
2. Зөвхөн А хэлбэрийн цохилт нь сүүлний тоог цөөрүүлж чаддаг тул нэг ийм цохилт хангалтгүй болно. Тиймээс дор хаяж хоёр ийм ажил хаялт байх ёстой бөгөөд өмнөх цэгийг харгалзан үзвэл дор хаяж гурваас доошгүй байх ёстой.
3. Гурван удаа А хэлбэрийн цохилтын дараа гурван шинэ толгой ургах бөгөөд нийт 6 толгойг таслах шаардлагатай болно. Үүнд дор хаяж 3 төрлийн В цохилт шаардлагатай болно.
4. А хэлбэрийн цохилтоор хоёр сүүлийг 3 удаа цавчихын тулд 6 сүүлтэй байх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд C төрлийн 3 цохилт хийх замаар нэмэлт гурван сүүлийг "ургах" хэрэгтэй.
Тиймээс, та заасан төрөл тус бүрээс дор хаяж гурван цохилт хийх хэрэгтэй; нийтдээ - дор хаяж 9 цохилт.

Манай сургуулийн сурагч бүр математикийн хичээл үздэг. Тэдний ихэнх нь энэ сэдвийг хэцүү гэж үздэг нь үнэн юм. Суралцагчдыг сурах бэрхшээлийг даван туулахдаа бууж өгөхгүй, ангид идэвхгүй байх тал дээр багш, эцэг эхчүүд их зүйлийг хийдэг... гэхдээ энэ явцад гарч буй бэрхшээл багасдаггүй. Тиймээс сурагчдын өчүүхэн ч гэсэн сонирхлыг ашиглан математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх шаардлагатай байна. Энэ зорилгоор бид математикийн хичээлээс гадуурх ажилд (математикийн долоо хоног, КВН, орой гэх мэт) илүү их хэрэглэгдэх боломжтой уралдаануудыг сонгон авсан боловч бүтээлчээр ажилладаг багш нар заримыг нь ангид байрлуулах байр сууриа олдог. .

< Рисунок 1> .

I. AUNCION

a) Тоотой зүйр цэцэн үг, зүйр цэцэн үгсийн дуудлага худалдаа.

Сугалаагаар удирдагч алх цохисны дараа зүйр цэцэн үгийг нэрлэх эхний баг тодорхойлогдоно; Хамгийн сүүлд зүйр үгийг нэрлэсэн хүн ялна.

Та өөрийгөө тодорхой тоогоор хязгаарлаж болно гэдгийг анхаарна уу. Долоо гэсэн үг орсон зүйр цэцэн үгсийг нэрлэ. Жишээ нь: "Долоо хэмжиж, нэг удаа огтол", "Долоо нэгийг хүлээхгүй", "Долоон асрагч нүдгүй хүүхэдтэй", "Нэг нь шарсан махтай, долоо нь халбагатай", "Долоон зовлон - нэг хариулт" ”, “Долоон цоожны цаана” ”, “Долоо хоногийн долоон баасан гариг” гэх мэт.

б) Гарчиг нь дугаартай кинонуудыг дуудлага худалдаагаар худалдаалах.

в) Дугаартай дууны дуудлага худалдаа.

Энэ дугаартай мөрийг нэрлэх эсвэл дуулахад хангалттай.

г) Дуудлага худалдаа.

Чарад бол онцгой оньсого юм. Та доторх үгийг таах хэрэгтэй, гэхдээ хэсэг хэсгээр нь. Та математикийн элементтэй ба агуулаагүй дүрүүдийн хооронд ээлжлэн сольж болно.

Эхнийх нь дугуй объект,
Хоёр дахь нь энэ ертөнцөд байхгүй зүйл юм.
Гэхдээ хүмүүсийг юу айлгадаг вэ?
Гуравдугаарт - нэгдэл. (Хариулт: Charade).

Амьтны нэрээр
Арга хэмжээнүүдийн аль нэгийг нь тавь.
Та бүрэн авах болно
Хуучин ЗХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх гол. (Хариулт: Волга).

Та тэмдэглэлийн эхний үеийг олох болно.
Тэгээд бух хоёр дахь нь тээж явдаг.
Тиймээс түүнийг замдаа хай,
Та бүх зүйлийг олохыг хүсч байна уу? (Хариулт: зам).

Та хэмжүүрийн ард гэнэт тэмдэглэл оруулаарай

Мөн та найзуудынхаа дундаас бүх зүйлийг олох болно. (Хариулт: Галя).

e) Өгөгдсөн сэдвээр дуудлага худалдаа. Оюутнуудад урьдчилан мэдээлсэн аливаа сэдвийн даалгаврыг дуудлага худалдаанд оруулдаг. Жишээлбэл, сэдвийг "Алгебрийн бутархайтай үйлдэл" гэж үзье.

Тэмцээнд 4-5 баг оролцдог. Багц №1-ийг дэлгэцэн дээр харуулсан - бутархайг багасгах таван даалгавар. Эхний баг даалгавраа сонгож, 1-ээс 5 оноогоор үнэлнэ. Хэрэв энэ багийн үнэ бусад хүмүүсийн өгсөнөөс өндөр байвал энэ даалгаврыг хүлээн авч дуусгавал үлдсэн даалгаврыг бусад багууд худалдаж авах ёстой. Хэрэв даалгаврыг зөв шийдсэн бол баг оноо өгдөг - энэ даалгаврын үнэ буруу байвал эдгээр оноо (эсвэл тэдгээрийн хэсэг) хасагдана. Энэ тэмцээний нэг давуу тал дээр анхаарлаа хандуулаарай: жишээ сонгохдоо оюутнууд бүх таван жишээг харьцуулж, тэдгээрийг шийдвэрлэх үйл явцыг толгойдоо "гүйлгэх" болно.

II. ҮГИЙН ГИНЖ

Хөтлөгч нэг үг хэлдэг. Эхний ахмад (хэрэв энэ нь KVN-д тохиолдвол) энэ үгийг давтаж, өөрийнхөөрөө нэмнэ. Хоёрдахь ахмад эхний хоёр үгийг давтаж, өөрийнхөө үгийг нэмнэ гэх мэт. Шүүгчдийн нэг нь тоглолтыг үзэж, үгсийг дарааллаар нь бичдэг. Бүрэн өгүүлбэр үүсгэхийн тулд хамгийн олон үгийг нэрлэж чадсан хүн ялна.

A). Бүх өнцөг нь тэнцүү эсвэл бүх талууд тэнцүү бол гурвалжин тэгш талт байна.

б). Гэсэн хэдий ч тэгш өнцөгтүүд байдаг бөгөөд энэ нь суурийн өнцөг нь дөчин таван градус байна гэсэн үг юм.

III. ГАР БҮР БИЗНЕСТЭЙ

Тоглогчид гар бүрт нэг хуудас цаас, харандаа өгдөг. Даалгавар: зүүн гараараа 3 гурвалжин, баруун гараараа 3 тойрог зурах; эсвэл зүүн тал нь тэгш тоо (0, 2, 4, 6, 8), баруун тал нь сондгой тоо (1, 3, 5, 7, 9) бичнэ.

IV. АЛХАМ - БОДОХ

Энэ тэмцээнд оролцогчид хөтлөгчийн хажууд зогсож байна. Хүн бүр эхний алхмуудаа хийдэг бөгөөд тэр үед удирдагч нэг тоо, жишээ нь 7 гэж нэрлэнэ. Дараагийн алхмуудад залуус 7-ын үржвэр болох тоонуудыг нэрлэх ёстой: 14, 21, 28 гэх мэт. Алхам бүрийн хувьд - тоо. Удирдагч тэдэнтэй хөл нийлүүлэн алхаж, удаашруулахыг зөвшөөрдөггүй. Хэн нэгэн алдаа гаргасны дараа бусдын хөдөлгөөн дуустал байрандаа үлддэг. Бусад сэдэв: үржүүлэх хүснэгтийн тойм; эрх мэдлийн тоог нэмэгдүүлэх; квадрат үндэс олборлолт; тооны хэсгийг олох.

V. ЧИ – НАДАД, БИ – ЧАМД

< Рисунок 2>

Тэмцээний мөн чанар нэрнээсээ тодорхой харагдаж байна. KVN-д ахмадуудын солилцсон асуудлын жишээ энд байна.

1. Чоно жишээг шийдсэн: 4872? 895 = 4360340 ба хуваалтаар шалгаж эхэлсэн. Туулай энэ тэгш байдлыг хараад: "Нэмэлт ажил бүү хий! Мөн та эндүүрсэн нь тодорхой байна." Чоно гайхаж: "Чи үүнийг яаж харж байна?" Туулай юу гэж хариулав?

(Хариулт: хүчин зүйлсийн нэг нь гурвын үржвэр боловч бүтээгдэхүүн нь тийм биш).

2. 9-р сард Петя, Стёпа хоёр хөгжмийн хичээлд явав: Петя - 4-т хуваагдах тоогоор, Стёпа - 5-д хуваагддаг тоогоор. Хоёулаа 7-д хуваагдах тоогоор спортын секцэнд очсон. Үлдсэн өдрүүдийг загас барихад зарцуулсан. . Залуус загас барихад хэдэн өдөр зарцуулсан бэ?

(Хариулт: 15).

3. "Цаг хэд болж байна?" гэж чоно туулайгаас асуув. "Өгөгдсөн цаг нь 5-ын үржвэр, өдрийн цаг нь өгөгдсөн цагийн үржвэр" гэж Туулай хариулав. "Энэ байж болохгүй!" - Чоно уурлав. Тэгээд юу гэж бодож байна?

(Хариулт: 15).

4. Вова энэ жил таван ням, таван лхагва гарагтай сар болно гэж мэдэгджээ. Түүний зөв үү?

Шийдэл. Сард 31 хоног байх үед хамгийн таатай тохиолдлыг авч үзье.

31 = 4 * 7 + 3 болон дунд гуравДолоо хоногийн дараалсан өдрүүд нь Ням, Лхагва гараг хоёулаа байж болохгүй, гэхдээ эдгээр өдрүүдийн зөвхөн нэг нь бол энэ сард 5 Ням, 4 Лхагва, эсвэл 4 Ням, 5 Лхагва гараг байж болно. Тиймээс Вова буруу байна.

5. Гурван хайрцагт үр тариа, вермишель, элсэн чихэр орно. Тэдний нэг дээр "Үр тариа", нөгөө талд нь "Вермишелли", гурав дахь нь "Үр тариа эсвэл элсэн чихэр" гэж бичдэг. Хайрцаг бүрийн агуулга шошготой таарахгүй байвал ямар хайрцагт багтах вэ?

(Хариулт. "Үр тариа эсвэл элсэн чихэр" гэсэн бичээстэй хайрцагт вермишелли, "Вермишелли" гэсэн бичээстэй - үр тариа, "Үр тариа" гэсэн бичээстэй - элсэн чихэр).

6. Зураг дээр Игорь, Павлик, Андрей, Глеб нар амьдардаг байшингуудыг харуулав. Игорийн байшин, Павлик хоёр ижил өнгөтэй, Павлик, Андрей хоёр ижил өндөртэй. Хэн аль байшинд байна< Рисунок 3>

VI. УДИРДЛАГЫН ТӨЛӨӨ УРАЛДАА

< Рисунок 4>

Залуус ялагдалдаа сэтгэл дундуур үлдэхгүйн тулд энэ тэмцээнийг зохион байгуулж, тэнцээг үзээрэй. Одоогийн нөхцөл байдлын улмаас энэ үед доор санал болгож буй даалгаврын хариултыг багийн гишүүд эсвэл тэдний шүтэн бишрэгчид өгөх боломжтой.

Ямар акробатын дүр вэ!
Хэрэв энэ нь таны толгойд орвол
Энэ нь яг гурав дутуу болно. (Хариулт: дугаар 9).

Би 10-аас бага тоо.
Чи намайг олоход амархан
Гэхдээ хэрэв та "Би" үсгийг тушаавал
Миний хажууд зогсоо, - Би бол бүх зүйл!
Аав, өвөө, та бид хоёр. (Хариулт: гэр бүл).

Би бол арифметик тэмдэг
Асуудлын номонд та намайг олон мөрөөр олох болно.
Зөвхөн "o"-г та яаж оруулахыг мэддэг,
Тэгээд би газарзүйн цэг. (Хариулт: нэмэх туйл.)

Тэг ахаасаа нүүр буруулж,
Тэр аажмаар дээш авирав.
Ах нар шинэ дугаар болсон
Үүний төгсгөлийг бид олж чадахгүй байна.
Та үүнийг эргүүлж болно
Толгойгоо доошлуул.
Тоо нь хэвээрээ байх болно
За, бодоо юу?
Ингэж хэлээрэй! (Хариулт: 8 дугаар).

Тэр арвыг хэдэн зуу болгон хувиргаж,
Эсвэл сая сая болж хувирах боломжтой.
Тэр тоонуудын дунд тэнцүү,
Гэхдээ үүнийг хувааж болохгүй. (Хариулт: 0 тоо).

Даалгаврыг “Чи миний төлөө, би чиний төлөө” уралдааных шиг бодлого хэлбэрээр өгөөгүй, харин яруу найргийн хувьд учиртайг анхаарна уу. Энэ тэмцээний өмнө залуус аль хэдийн шаргуу ажилласан. Хүсэл тэмүүллийн эрчмийг өөрчлөхийг хичээж, аль хэдийн сарнисан олонхийн анхаарлыг татах хэрэгтэй. Жишээлбэл, зөөврийн самбар дээр урьдчилан бэлтгэсэн шүлэг нь үүнд тусална. Хэрэв тэнд тавьсан асуултад зөв хариулсан бол (даалгавар 5) илтгэгчид энэ хариултыг дараахь өнгөлөг зургаар толилуулж байна.

< Рисунок 5>

Өөр нэг боломжит арга бол багийн уран бүтээлчдийг ашиглах явдал юм. Загвар дээр үндэслэн тэд самбар дээр хурдан зураг зурах болно. Та тэдгээрийг янз бүрийн эх сурвалжаас хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, лавлагааны жагсаалтыг харна уу.

VII. ХАР МОРЬ

< Рисунок 6>

Энэхүү уралдааны хувьд бид тавьсан асуултанд хариулт өгөх боломжтой эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай даалгавруудыг сонгосон.

1. 9>5 тэгш бус байдлын хоёр талыг 4-өөр үржүүл. 9a 4 >5a 4 тэгш бус байдлыг үнэн гэж хэлж болох уу?

(Хариулт: үгүй. a=0-ийн хувьд бид 0=0 тул 9a 4 =5a 4-ийг авна).

2. Тэгш байдал үнэн байж чадах уу?

(Хариулт: тийм, чадна. Жишээлбэл, x=y=1 үед).

3. Гурвалжинг огтолж гурван дөрвөн өнцөгт үүсгэх боломжтой юу? (Хариулт: тийм).

Жишээлбэл:

< Рисунок 7>

4. 2 шулуун зурсан гурвалжинг а) хоёр гурвалжин, нэг дөрвөн өнцөгт, б) хоёр гурвалжин, хоёр дөрвөн өнцөгт, нэг таван өнцөгт болгон хуваах боломжтой юу.

A)< рисунок 8>

б)< рисунок 9>

VIII. ХӨРӨГИЙН УРАЛДААН

Багийнханд математикчийн хөргийг үзүүлэв. Та түүний овог нэрийг хэлэх хэрэгтэй. Та үйл ажиллагааны чиглэлээ нэрлэхийг хүсэх замаар өрсөлдөөнийг улам хүндрүүлж болно.

IX. ЭРУДИТИЙН ТЭМЦЭЭН

a) Нэг багийн мэдлэгтэй оролцогч математикчийн овог нэрийг, нөгөө нь овог нь анхны эрдэмтний сүүлчийн үсгээр эхэлсэн математикчийг нэрлэх гэх мэт.

Эсвэл хоёрдугаар багийн мэдлэгтэй хүмүүс математикчийн овог нэрийг эхний эрдэмтний овог нэрийн аль ч үсгээр эхлүүлдэг гэх мэт.

б) Эрдэм мэдлэгийн тэмцээнд тус бүр хоёр оюутан оролцдог: А ба Б.

Эрудитын цолны төлөөх тэмцэлд оролцогч бүрээс асуулт асуудаг.

A. 5 2 =?; 7 2 =?, мөн квадрат дахь өнцөг хэд вэ? (Хариулт: 25; 49; 90 0).

B. Цэцэрлэгийн орон дээр долоон бор шувуу сууж байв. Тэдэн дээр нэг муур мөлхөж ирээд нэгийг нь барьж авав. Цэцэрлэгт хэдэн бор шувуу үлдсэн бэ? (Хариулт: нэг).

A. “Математик” гэдэг үг анх ямар утгатай байсан бэ? (Хариулт: мэдлэг, шинжлэх ухаан).

B. Тэг нэр ямар үгнээс гаралтай вэ? (Хариулт: "nulla" гэсэн латин үгнээс - хоосон).

A. Тооцоолох:(-2)? (-1)...3=? (Хариулт: 0.)

B. Тооцоолох: (-3)+(-2)+…+3+4=? (Хариулт: 4.)

A; B. Эртний Оросын уртын хэмжүүрүүдийг нэг нэгээр нь нэрлэ. (Хариулт: өргөн, зай, дөрөвний нэг ...)

X. ТҮҮХЧДИЙН УРАЛДААН

Та алдартай математикчийн амьдралаас сонирхолтой түүхийг ярих эсвэл скит хэлбэрээр тодорхой харуулсан баримтын мөн чанарыг тодруулах хэрэгтэй. Жишээ: Нэгэн хөгшин зураг дээр бөхийж, түүний ард чинжаал барьсан дайчин байв.

Домог. Зөвхөн урваснаас болж Сиракузыг Ромчууд эзлэн авав. "Тэр үед Архимед зарим зургийг сайтар судалж үзээд Ромын довтолгоо, хотыг эзлэн авсныг анзаарсангүй. Гэнэт нэг дайчин түүний урд зогсоод Марселлус түүнийг дуудаж байна гэж мэдэгдэхэд Архимед даалгавраа хийж, нотлох баримтыг олох хүртэл түүнийг дагахаас татгалзав. Дайчин уурлаж, сэлмээ сугалж, Архимедийг алав."

Архимед МЭӨ 287 онд төрсөн. одоогийн Италийн нутаг дэвсгэрийн нэг хэсэг болох Сицили арлын Сиракуз хотод. Архимед бага наснаасаа математик, одон орон, механикийг сонирхож эхэлсэн. Архимедийн санаанууд цаг үеэсээ бараг 2 мянган жилийн өмнө байсан. Архимед МЭӨ 212 онд Сиракузыг эзлэх үеэр нас баржээ.

XI. БҮХНИЙГ МЭДЭХ ТЭМЦЭЭН

Энэхүү тэмцээнд оролцогчид дараах асуултуудад хариулт өгнө.

а) математикчдын тухай;

б) нэр томъёоны тухай;

в) томъёоны тухай;

г) кроссворд, оньсого таавар.

Ребусын жишээ:

< Рисунок 10>

(Хариулт: бутархай).

Сурагчдыг бэлтгэх, эрдэмтэн, түүхч, мэдлэгтэй хүмүүсийн дунд уралдаан зохион байгуулахын тулд хүүхдүүдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг баримтлах нь ашигтай. Тэр таны бүх асуултанд хариулах болно. Та "Нэрсийн индекс" хэсгээс хоёр зуу орчим математикчийг олох болно, энэ номын хуудасны холбоосууд байдаг: тэд ямар чухал зүйл хийсэн бэ.

Уран зохиол

1. Александрова Е.Б. Карликания болон Аль-Жебрагаар аялах / E.B. Алесандрова, В.А. Левшин. – М.: Хүүхдийн уран зохиол, 1967. – 256 х.
2. Грицаенко, Н.П. За, шийдээрэй!: ном. оюутнуудад зориулсан / N.P. Грицаенко. – М: Боловсрол, 1998. – 192 х.
3. Ланина И.Я. Зөвхөн хичээл биш: Физикийн сонирхлыг хөгжүүлэх. - М.: Боловсрол, 1991.-223 х.
4. Миракова Т.Н. V-VIII ангийн математикийн хичээлийг хөгжүүлэх даалгавар: багш нарт зориулсан гарын авлага.
5. Петровская Н.А. Дөрөвдүгээр ангийн хөгжилтэй, ухаантай хүмүүсийн үдэш / "Сургуулийн математик" - 1988. - № 3. - Х. 56.
6. Самойлик Г. Боловсролын тоглоомууд.-2002.-No24.
7. Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Т.11. Математик / Ч. ed. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта +, 2002. – 688 х.

Энэ хуудсан дээр би 5-6-р ангийн олимпиадын ангиудад зориулсан тааваруудыг нийтэлдэг. Хэрэв таны математикийн багш танд анхны оньсого өгсөн бөгөөд та үүнийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байгаа бол үүнийг над руу имэйлээр илгээх эсвэл санал хүсэлтийн хэсэгт харгалзах бичгийг үлдээгээрэй. Энэ нь бусад математикийн багш нар, мөн дугуйлан, сонгон хичээлийн багш нарт хэрэг болно. Би өөр өөр сайтууд дээрх олимпиадын бодлогуудыг үзэж, тэдгээрийг ангиудад ангилж, сайтад байршуулахад хүндрэлтэй байдаг. Энэ хуудсанд олон жилийн сургалтын явцад цуглуулсан хөгжилтэй тоглоомуудын цуглуулга багтсан болно. Энэ хуудас аажмаар дүүрэх болно. Даалгаврын үг хэллэг нь стандарт юм. Ижил үсэг нь ижил тоог, өөр үсэг нь өөр өөр тоог илэрхийлдэг. Та энэ захиалгын дагуу бүртгэлийг сэргээх хэрэгтэй. Би 4-р ангидаа Курчатовын сургуульд бэлтгэхдээ математикийн хайрыг сэрээхийн тулд оньсого ашигладаг.

Багшийн ажилд зориулсан математикийн таавар

1)A, B, C үсгүүдийг давтах тоо үржүүлэх оньсогоҮржүүлэх жишээн дээрх ижил үсгүүдийг ижил тоогоор солих ёстой.

2) Ребус математикХүлээн авсан таван үйлдэл бүгд ижил хариулттай байхын тулд "математик" гэсэн үг дэх ижил үсгийг ижил тоогоор солино.

3) Ребус Чай-Ай. Ребусыг шийдэх ямар нэг шийдлийг заана уу (уламжлал ёсоор ижил үсэг нь ижил тоог, өөр үсэг нь өөр өөр тоог нуудаг).

4) "Эрдэмтэн муур" математикийн оньсого. Хэрэв үсгүүдийн оронд 0-ээс 9 хүртэлх тоонуудыг оруулбал заасан тэгш байдал үнэн болж чадах уу? Өөрөөс өөр, ижилээс ижил.

математикийн багшийн тэмдэглэл: О үсэг нь О тоотой тохирч байх албагүй.

5) 4-р ангийн математикийн сүүлийн интернет олимпиадад миний сурагчид сонирхолтой ребус санал болгосон.