Хоёр тооны нийтлэг үржвэрийг олох. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр, nok is, бүх тайлбарыг олох арга замууд

Хоёр дахь тоо: b=

Цифр тусгаарлагчЗай тусгаарлагч байхгүй "´

Үр дүн:

LCM-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр( а,б)=468

Хамгийн агуу натурал тоо, түүгээр a ба b тоонууд үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонуудыг дууддаг хамгийн том нийтлэг хуваагчЭдгээр тоонуудын (gcd). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) эсвэл hcf(a,b) гэж тэмдэглэнэ.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр a ба b бүхэл тооны (LCM) нь а ба b-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм. LCM(a,b) эсвэл lcm(a,b) гэж тэмдэглэсэн.

a ба b бүхэл тоонуудыг дуудна хувилгаанхэрэв тэдгээрт +1 ба −1-ээс өөр нийтлэг хуваагч байхгүй бол.

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Хоёр эерэг тоог өгье а 1 ба а 2 1). Эдгээр тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох шаардлагатай, жишээлбэл. ийм тоо олоорой λ , энэ нь тоонуудыг хуваадаг а 1 ба а 2 зэрэг. Алгоритмыг тайлбарлая.

1) Энэ өгүүлэлд тоо гэдэг үг нь бүхэл тоог илэрхийлнэ.

Болъё а 1 ≥ а 2 ба зөвшөөр

хаана м 1 , а 3 нь бүхэл тоо, а 3 <а 2 (хуваалтаас үлдсэн а 1 дээр а 2 нь бага байх ёстой а 2).

Ингэж жүжиглэе λ хуваадаг а 1 ба а 2, тэгвэл λ хуваадаг м 1 а 2 ба λ хуваадаг а 1 −м 1 а 2 =а 3 ("Тоон хуваагдах чадвар. Хуваагдах шинж тэмдэг" өгүүллийн 2-р баталгаа). Үүнээс үзэхэд бүх нийтлэг хуваагч байдаг а 1 ба а 2 нь нийтлэг хуваагч юм а 2 ба а 3 . Хэрэв эсрэг заалт нь бас үнэн юм λ нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3, тэгвэл м 1 а 2 ба а 1 =м 1 а 2 +а 3-т мөн хуваагдана λ . Тиймээс нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3 нь мөн нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2. Учир нь а 3 <а 2 ≤а 1 , тэгвэл тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох асуудлын шийдэл гэж хэлж болно а 1 ба а 2-ыг тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох энгийн бодлого болгон бууруулсан а 2 ба а 3 .

Хэрвээ а 3 ≠0 бол бид хувааж болно а 2 дээр а 3 . Дараа нь

хаана м 1 ба а 4 нь бүхэл тоо, ( аХуваалтын 4 үлдэгдэл а 2 дээр а 3 (а 4 <а 3)). Үүнтэй төстэй үндэслэлээр бид тооны нийтлэг хуваагч гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна а 3 ба а 4 нь тоонуудын нийтлэг хуваагчтай ижил байна а 2 ба а 3 , мөн нийтлэг хуваагчтай а 1 ба а 2. Учир нь а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , ... байнга буурч байгаа тоонууд ба хооронд хязгаарлагдмал тооны бүхэл тоо байдаг тул а 2 ба 0, дараа нь зарим алхамаар n, хэсгийн үлдэгдэл а n дээр а n+1 нь тэгтэй тэнцүү байх болно ( а n+2=0).

Нийтлэг хуваагч бүр λ тоо а 1 ба а 2 нь мөн тооны хуваагч юм а 2 ба а 3 , а 3 ба а 4 , .... а n ба а n+1. Эсрэг заалт нь бас үнэн, тоонуудын нийтлэг хуваагч юм а n ба а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а n−1 ба а n , .... , а 2 ба а 3 , а 1 ба а 2. Гэхдээ нийтлэг хуваагч а n ба а n+1 нь тоо юм а n+1, учир нь а n ба а n+1-д хуваагдана а n+1 (үүнийг санаарай а n+2=0). Үүний үр дүнд а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а 1 ба а 2 .

тоо гэдгийг анхаарна уу а n+1 нь хамгийн их тооны хуваагч юм а n ба а n+1 , хамгийн том хуваагчаас хойш а n+1 нь өөрөө юм а n+1. Хэрвээ а n + 1-ийг бүхэл тоонуудын үржвэрээр илэрхийлж болно, тэгвэл эдгээр тоо нь мөн тооны нийтлэг хуваагч болно. а 1 ба а 2. Тоо а n+1 гэж нэрлэдэг хамгийн том нийтлэг хуваагчтоо а 1 ба а 2 .

Тоонууд а 1 ба а 2 нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Хэрэв тоонуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь нөгөө тооны үнэмлэхүй утгатай тэнцүү байна. Тэг тооны хамгийн их нийтлэг хуваагч тодорхойлогдоогүй байна.

Дээрх алгоритмыг нэрлэдэг Евклидийн алгоритмхоёр бүхэл тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох.

Хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох жишээ

630 ба 434 гэсэн хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.

Алхам 1. 630 тоог 434-т хуваа. Үлдэгдэл нь 196.
Алхам 2. 434 тоог 196-д хуваа. Үлдэгдэл нь 42.
Алхам 3. 196 тоог 42-т хуваа. Үлдэгдэл нь 28.
Алхам 4. 42-ын тоог 28-д хуваа.Үлдсэн нь 14.
Алхам 5. 28-ын тоог 14-т хуваа.Үлдсэн нь 0.

5-р алхамд хуваагдлын үлдэгдэл нь 0 байна. Тиймээс 630 ба 434 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь 14. 2 ба 7 тоо нь 630 ба 434 тоонуудын хуваагч гэдгийг анхаарна уу.

Тоонуудыг харьцуулах

Тодорхойлолт 1. Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг үзье а 1 ба а 2 нь нэгтэй тэнцүү. Дараа нь эдгээр дугаарууд дуудагдана харьцуулах тоонийтлэг хуваагч байхгүй.

Теорем 1. Хэрвээ а 1 ба а 2 харьцангуй энгийн тоо, ба λ зарим тоо, дараа нь тооны нийтлэг хуваагч λa 1 ба а 2 нь мөн тооны нийтлэг хуваагч юм λ болон а 2 .

Баталгаа. Тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох Евклидийн алгоритмыг авч үзье. а 1 ба а 2 (дээрхийг үзнэ үү).

Теоремын нөхцлөөс үзэхэд тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч байна а 1 ба а 2, тиймээс а n ба а n+1 нь 1. өөрөөр хэлбэл. а n+1=1.

Энэ бүх тэгш байдлыг үржүүлье λ , дараа нь

Нийтлэг хуваагчийг үзье а 1 λ болон а 2 нь δ . Дараа нь δ хүчин зүйл болгон оруулдаг а 1 λ , м 1 а 2 λ болон дотор а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ ("Тоон хуваагдах чадвар", мэдэгдэл 2-ыг үзнэ үү). Цаашид δ хүчин зүйл болгон оруулдаг а 2 λ болон м 2 а 3 λ , улмаар хүчин зүйл болгон оруулдаг а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Ийм үндэслэлээр бид үүнд итгэлтэй байна δ хүчин зүйл болгон оруулдаг а n−1 λ болон м n−1 а n λ , тиймээс in а n−1 λ −м n−1 а n λ =а n+1 λ . Учир нь а n+1 =1, тэгвэл δ хүчин зүйл болгон оруулдаг λ . Тиймээс тоо δ тоонуудын нийтлэг хуваагч юм λ болон а 2 .

Теорем 1-ийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

Үр дагавар 1. Болъё аболон ванхны тоонууд харьцангуй б. Дараа нь тэдний бүтээгдэхүүн ac-ын хувьд анхны тоо юм б.

Үнэхээр. Теорем 1-ээс acболон бижил нийтлэг хуваагчтай байна вболон б. Гэхдээ тоонууд вболон б coprime, i.e. нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Дараа нь acболон бмөн нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Тиймээс acболон бхарилцан энгийн.

Үр дагавар 2. Болъё аболон бтоонуудыг харьцуулж, зөвшөөр бхуваадаг ак. Дараа нь бхуваах ба к.

Үнэхээр. Баталгаажуулах нөхцлөөс акболон бнийтлэг хуваагчтай б. Теорем 1-ийн дагуу, бнийтлэг хуваагч байх ёстой бболон к. Үүний үр дүнд бхуваадаг к.

Дүгнэлт 1-ийг ерөнхийд нь хэлж болно.

Үр дагавар 3. 1. Тоонуудыг оруулъя а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m нь тоотой харьцуулахад анхны байна б. Дараа нь а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m , эдгээр тоонуудын үржвэр нь тооны хувьд анхны анхны байна б.

2. Бид хоёр эгнээ тоотой байцгаая

эхний эгнээнд байгаа тоо бүр хоёр дахь эгнээний тоо бүртэй харьцуулахад анхных байхаар. Дараа нь бүтээгдэхүүн

Эдгээр тоо бүрт хуваагдах ийм тоог олох шаардлагатай.

Хэрэв тоо нь хуваагддаг бол а 1 , тэгвэл энэ нь харагдаж байна са 1, хаана сзарим тоо. Хэрвээ qтоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2, тэгвэл

хаана с 1 нь бүхэл тоо юм. Дараа нь

байна тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 ба а 2 .

а 1 ба а 2 хувь, дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 ба а 2:

Эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Дээрхээс харахад аль ч үржвэр тоо байна а 1 , а 2 , а 3 нь олон тооны тоо байх ёстой ε болон а 3 ба эсрэгээр. Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε болон а 3 нь ε нэг . Цаашилбал, олон тооны тоо а 1 , а 2 , а 3 , а 4 нь олон тооны тоо байх ёстой ε 1 ба адөрөв. Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε 1 ба а 4 нь ε 2. Тиймээс бид бүх тооны үржвэрийг олж мэдсэн а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тодорхой тооны үржвэрүүдтэй давхцдаг ε n , үүнийг өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр гэж нэрлэдэг.

Тодорхой тохиолдолд тоонууд а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m хувьсагч, дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 , аДээр үзүүлсэн шиг 2 нь (3) хэлбэртэй байна. Цаашлаад, түүнээс хойш а 3 тоонуудын анхны тоо а 1 , а 2, тэгвэл а 3 нь харьцангуй анхны тоо юм анэг · а 2 (Үндэслэл 1). Тэгэхээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 ,а 2 ,а 3 бол тоо анэг · а 2 · а 3 . Үүнтэй төстэй байдлаар маргаж, бид дараах мэдэгдлүүдэд хүрнэ.

Мэдэгдэл 1. Харьцуулах тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тэдний бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна анэг · а 2 · а 3 ··· ам .

Мэдэгдэл 2. Хоёрдахь анхны тоо бүрт хуваагддаг аливаа тоо а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь мөн тэдгээрийн үржвэрт хуваагдана анэг · а 2 · а 3 ··· ам .

Тодорхойлолт. a ба b тоонууд үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн том нийтлэг хуваагч (gcd)эдгээр тоонууд.

24 ба 35 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олцгооё.
24-ийн хуваагч нь 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35-ын хуваагч нь 1, 5, 7, 35 гэсэн тоонууд байх болно.
24 ба 35 тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай болохыг бид харж байна - 1 тоо. Ийм тоонуудыг нэрлэдэг. хувилгаан.

Тодорхойлолт.Натурал тоонуудыг дууддаг хувилгаанхэрэв тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч (gcd) нь 1 бол.

Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)өгөгдсөн тооны бүх хуваагчийг бичихгүйгээр олж болно.

48 ба 36 тоонуудыг хасч, бид дараахь зүйлийг авна.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Эдгээр тоонуудын эхнийх нь өргөтгөлд багтсан хүчин зүйлсээс бид хоёр дахь тооны өргөтгөлд ороогүй хүмүүсийг (жишээ нь, хоёр дутуу) устгана.
2 * 2 * 3 хүчин зүйлүүд хэвээр үлдэнэ.Тэдний үржвэр нь 12. Энэ тоо нь 48 ба 36 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч юм. Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч мөн олддог.

Олох хамгийн том нийтлэг хуваагч

2) эдгээр тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд багтсан хүчин зүйлсээс бусад тоонуудын өргөтгөлд ороогүй зүйлийг хасах;
3) үлдсэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.

Өгөгдсөн бүх тоо аль нэгэнд нь хуваагддаг бол энэ тоо байна хамгийн том нийтлэг хуваагчөгсөн тоо.
Жишээлбэл, 15, 45, 75, 180-ын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 15, учир нь энэ нь бусад бүх тоонуудыг хуваадаг: 45, 75, 180.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)

Тодорхойлолт. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) a ба b натурал тоонууд нь а ба b хоёрын үржвэр болох хамгийн бага натурал тоо юм. 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) эдгээр тоонуудын үржвэрийг дараалан бичихгүйгээр олж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид 75 ба 60-ыг энгийн хүчин зүйл болгон задалдаг: 75 \u003d 3 * 5 * 5, 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Бид эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд багтсан хүчин зүйлсийг бичиж, хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2 ба 2 хүчин зүйлийг нэмнэ (өөрөөр хэлбэл бид хүчин зүйлсийг нэгтгэдэг).
Бид таван хүчин зүйл авдаг 2 * 2 * 3 * 5 * 5, үржвэр нь 300. Энэ тоо нь 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

Мөн гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

руу хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олхэд хэдэн натурал тоо, танд хэрэгтэй:
1) тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон задлах;
2) тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд орсон хүчин зүйлсийг бичих;
3) үлдсэн тоонуудын өргөтгөлөөс дутуу хүчин зүйлсийг тэдэнд нэмэх;
4) үүсэх хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.

Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь бусад бүх тоонд хуваагддаг бол энэ тоо нь эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно гэдгийг анхаарна уу.
Жишээлбэл, өгөгдсөн бүх тоонд хуваагддаг тул 12, 15, 20, 60-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 60 байх болно.

Пифагор (МЭӨ VI зуун) болон түүний шавь нар тоон хуваагдлын асуудлыг судалжээ. Бүх хуваагчийн нийлбэртэй тэнцүү тоо (тоо өөрөө байхгүй) тэд төгс тоо гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) тоонууд төгс байна. Дараагийн төгс тоо бол 496, 8128, 33,550,336. Пифагорчууд эхний гурван төгс тоог л мэддэг байсан. Дөрөв дэх - 8128 - 1-р зуунд мэдэгдэв. n. д. Тав дахь нь - 33 550 336 - 15-р зуунд олдсон. 1983 он гэхэд 27 төгс тоо аль хэдийн мэдэгдэж байсан. Гэвч өнөөг хүртэл эрдэмтэд сондгой төгс тоо байгаа эсэх, хамгийн том төгс тоо байгаа эсэхийг мэдэхгүй байна.
Эртний математикчдийн анхны тоонуудын сонирхол нь аливаа тоо нь анхны тоо юм уу анхны тоонуудын үржвэрээр дүрслэгдэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл анхны тоонууд нь бусад натурал тоонууд баригдсан тоосго шиг байдагтай холбоотой юм.
Натурал тоонуудын цуврал дахь анхны тоонууд жигд бус тохиолддогийг та анзаарсан байх - цувралын зарим хэсэгт тэдгээр нь илүү олон, заримд нь бага байдаг. Гэхдээ бид тооны цувралын дагуу урагшлах тусам анхны тоонууд ховор болно. Асуулт гарч ирнэ: сүүлчийн (хамгийн том) анхны тоо байдаг уу? Эртний Грекийн математикч Евклид (МЭӨ 3-р зуун) хоёр мянган жилийн турш математикийн үндсэн сурах бичиг болсон "Эхлэл" номондоо хязгааргүй олон анхны тоо, өөрөөр хэлбэл анхны тоо бүрийн ард тэгш тоо байдгийг нотолсон байдаг. илүү анхны тоо.
Анхны тоог олохын тулд тухайн үеийн Грекийн өөр нэг математикч Эратосфен ийм аргыг гаргажээ. Тэрээр 1-ээс зарим тоо хүртэлх бүх тоог бичиж, дараа нь анхны ч биш, нийлмэл тоо ч биш нэгжийг зурж, дараа нь 2-оос хойшхи бүх тоог (2-ын үржвэр, өөрөөр хэлбэл 4, 6, 8 гэх мэт). 2-ын дараа үлдсэн эхний тоо нь 3 байсан. Дараа нь хоёрын дараа 3-аас хойшхи бүх тоог (3-ын үржвэр, өөрөөр хэлбэл 6, 9, 12 гэх мэт) зурсан байна. эцэст нь зөвхөн анхны тоонууд л зураасгүй үлдсэн.

Нийтлэг үржвэрүүд

Энгийнээр хэлбэл, өгөгдсөн тоо бүрт хуваагдах бүхэл тоо нийтлэг олонбүхэл тоо өгөгдсөн.

Та хоёр ба түүнээс дээш бүхэл тооны нийтлэг үржвэрийг олох боломжтой.

Жишээ 1

$2$ ба $5$ гэсэн хоёр тооны нийтлэг үржвэрийг тооцоол.

Шийдэл.

Тодорхойлолтоор $2$ ба $5$-ын нийтлэг үржвэр нь $10$, учир нь энэ нь $2$ ба $5$-ын үржвэр юм:

$2$ ба $5$ тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд нь мөн $–10, 20, –20, 30, –30$ гэх мэт тоонууд байх болно, учир нь Тэд бүгд $2$ ба $5$-д хуваагддаг.

Тайлбар 1

Тэг нь тэгээс бусад бүхэл тоонуудын нийтлэг үржвэр юм.

Хуваагдах шинж чанарын дагуу хэрэв тодорхой тоо нь хэд хэдэн тооны нийтлэг үржвэр бол тэмдгийн эсрэг байгаа тоо нь мөн өгөгдсөн тооны нийтлэг үржвэр болно. Үүнийг авч үзсэн жишээнээс харж болно.

Өгөгдсөн бүхэл тоонуудын хувьд та тэдгээрийн нийтлэг үржвэрийг үргэлж олох боломжтой.

Жишээ 2

$111$ ба $55$-ын нийтлэг үржвэрийг тооцоол.

Шийдэл.

Өгөгдсөн тоог үржүүл: $111\div 55=6105$. $6105$ тоо $111$ болон $55$ тоонд хуваагддаг эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$.

Тиймээс $6105$ нь $111$ ба $55$-ын нийтлэг үржвэр юм.

Хариулт: $111$ ба $55$-ын нийтлэг үржвэр нь $6105$ байна.

Гэхдээ өмнөх жишээнээс харахад энэ нийтлэг үржвэр нь нэг биш юм. Бусад нийтлэг үржвэрүүд нь $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$ гэх мэт байх болно. Тиймээс бид дараах дүгнэлтэд хүрлээ.

Тайлбар 2

Аливаа бүхэл тооны багц хязгааргүй тооны нийтлэг үржвэртэй байдаг.

Практикт тэд зөвхөн эерэг бүхэл (натурал) тооны нийтлэг үржвэрийг олохоор хязгаарлагддаг, учир нь өгөгдсөн тооны үржвэрийн олонлог ба түүний эсрэг тал нь давхцдаг.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тооны бүх үржвэрээс хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) ашигладаг.

Тодорхойлолт 2

Өгөгдсөн бүхэл тоонуудын хамгийн бага эерэг нийтлэг үржвэр нь хамгийн бага нийтлэг үржвэрэдгээр тоонууд.

Жишээ 3

$4$ ба $7$ тоонуудын LCM-ийг тооцоол.

Шийдэл.

Учир нь Эдгээр тоонууд нь нийтлэг хуваагчгүй бөгөөд $LCM(4,7)=28$ байна.

Хариулт: $LCM(4,7)=28$.

ҮОХ-оор дамжуулан ҮОХ-г олох

Учир нь LCM ба GCD хооронд холболт байгаа бөгөөд түүний тусламжтайгаар тооцоолох боломжтой Хоёр эерэг бүхэл тооны LCM:

Тайлбар 3

Жишээ 4

$232$ ба $84$ тоонуудын LCM-ийг тооцоол.

Шийдэл.

GCD-ээр дамжуулан LCM-ийг олох томъёог ашиглацгаая.

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$

$232$ ба $84$ тоонуудын gcd-г Евклидийн алгоритм ашиглан олцгооё.

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Тэдгээр. $gcd (232, 84)=4$.

$LCM (232, 84)$-г олъё:

$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Хариулт: $ NOK(232.84)=4872$.

Жишээ 5

$LCM (23, 46)$-г тооцоол.

Шийдэл.

Учир нь $46$ нь $23$-д жигд хуваагдах бөгөөд $gcd(23, 46)=23$ болно. ҮОХ-г олъё:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Хариулт: $NOK(23.46)=46$.

Тиймээс хүн томъёолж болно дүрэм:

Тайлбар 4

Доор үзүүлсэн материал нь LCM гарчигтай өгүүллийн онолын логик үргэлжлэл юм - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ, LCM ба GCD хоорондын хамаарал. Энд бид ярих болно хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох (LCM), жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд онцгой анхаар. Эхлээд хоёр тооны LCM-ийг эдгээр тоонуудын GCD-ээр хэрхэн тооцдогийг харуулъя. Дараа нь тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох талаар бодож үзээрэй. Үүний дараа бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олоход анхаарлаа төвлөрүүлэхээс гадна сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно.

Хуудасны навигаци.

gcd-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нэг арга нь LCM болон GCD хоорондын хамаарал дээр суурилдаг. LCM болон GCD хоорондын одоо байгаа хамаарал нь мэдэгдэж буй хамгийн том нийтлэг хуваагчаар дамжуулан хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Холбогдох томъёо нь хэлбэртэй байна LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Дээрх томъёоны дагуу LCM-ийг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

126 ба 70 гэсэн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд a=126 , b=70 . Томъёогоор илэрхийлсэн LCM ба GCD хоорондын хамаарлыг ашиглацгаая LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Өөрөөр хэлбэл, эхлээд бид 70 ба 126 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа бид эдгээр тоонуудын LCM-ийг бичсэн томъёоны дагуу тооцоолж болно.

Евклидийн алгоритмыг ашиглан gcd(126, 70)-г ол: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , иймээс gcd(126, 70)=14 .

Одоо бид шаардлагатай хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Хариулт:

LCM(126, 70)=630 .

Жишээ.

LCM(68, 34) гэж юу вэ?

Шийдэл.

Учир нь 68 нь 34-т жигд хуваагдана, тэгвэл gcd(68, 34)=34 болно. Одоо бид хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Хариулт:

LCM(68, 34)=68 .

Өмнөх жишээ нь эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн LCM-ийг олох дараах дүрэмд нийцэж байгааг анхаарна уу: хэрэв a тоо b-д хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a байна.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох өөр нэг арга бол тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм. Хэрэв бид эдгээр тоонуудын бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэрийг гаргасны дараа эдгээр тоонуудын өргөтгөлд байгаа бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг энэ бүтээгдэхүүнээс хасвал үр дүн нь эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно.

LCM-ийг олох зарлагдсан дүрэм нь тэгш байдлаас үүдэлтэй LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Үнэн хэрэгтээ a ба b тоонуудын үржвэр нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд оролцсон бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Хариуд нь gcd(a, b) нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна (үүнийг тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах замаар gcd-ийг олох хэсэгт тайлбарласан болно. ).

Нэг жишээ татъя. 75=3 5 5 ба 210=2 3 5 7 гэдгийг мэдье. Эдгээр тэлэлтийн бүх хүчин зүйлийн үржвэрийг зохио: 2 3 3 5 5 5 7 . Одоо бид энэ бүтээгдэхүүнээс 75-ын тоо болон 210-ын тоог өргөтгөхөд (ийм хүчин зүйлүүд нь 3 ба 5) хоёуланд нь байгаа бүх хүчин зүйлийг хасч, дараа нь бүтээгдэхүүн 2 3 5 5 7 хэлбэрийг авна. Энэ бүтээгдэхүүний утга нь 75 ба 210 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байна. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Жишээ.

441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгосны дараа эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон задалцгаая.

Бид 441=3 3 7 7 ба 700=2 2 5 5 7 болно.

Одоо эдгээр тоонуудын тэлэлтэд хамаарах бүх хүчин зүйлсийн үржвэрийг гаргая: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Энэ бүтээгдэхүүнээс хоёр өргөтгөлд нэгэн зэрэг байгаа бүх хүчин зүйлийг хасъя (зөвхөн нэг ийм хүчин зүйл байдаг - энэ бол 7 тоо): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Энэ замаар, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Хариулт:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах замаар LCM-ийг олох дүрмийг арай өөрөөр томъёолж болно. Хэрэв бид b тооны тэлэлтээс дутуу байгаа хүчин зүйлсийг a тооны тэлэлтийн хүчин зүйлүүд дээр нэмбэл үр дүнгийн үржвэрийн утга нь a ба b тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно..

Жишээлбэл, 75 ба 210 гэсэн ижил тоонуудыг авч үзье, тэдгээрийн анхны үржүүлэгчид нь дараах байдалтай байна: 75=3 5 5 ба 210=2 3 5 7 . 75 тооны задралын 3, 5, 5-р хүчин зүйлүүд дээр бид 210-ын задралаас дутуу байгаа 2, 7-р хүчин зүйлийг нэмж, бид 2 3 5 5 7 бүтээгдэхүүнийг авна, утга нь LCM(75) , 210).

Жишээ.

84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Бид эхлээд 84 ба 648 тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлахыг олж авдаг. Тэд 84=2 2 3 7 ба 648=2 2 2 3 3 3 3 шиг харагдаж байна. 84 тооны задралаас 2, 2, 3, 7 гэсэн хүчин зүйлүүд дээр 648 тооны задралаас дутуу байгаа 2, 3, 3, 3 гэсэн хүчин зүйлсийг нэмээд 2 2 2 3 3 3 3 7 үржвэрийг авна. Энэ нь 4 536-тай тэнцүү байна. Тиймээс 84 ба 648 тоонуудын хүссэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 4536 байна.

Хариулт:

LCM(84, 648)=4 536 .

Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох

Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох замаар олж болно. Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох боломжийг олгодог харгалзах теоремыг эргэн санацгаая.

Теорем.

a 1 , a 2 , …, a k эерэг бүхэл тоонуудыг өгье, эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр m k нь m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a) гэсэн дараалсан тооцоонд олддог. 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээн дээр энэ теоремын хэрэглээг авч үзье.

Жишээ.

140 , 9 , 54 , 250 гэсэн дөрвөн тооны LCM - ийг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 байна.

Эхлээд бид олдог м 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Үүнийг хийхийн тулд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид gcd(140, 9) , бидэнд 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , тиймээс gcd( 140, 9)=1 , хаанаас LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Энэ нь m 2 =1 260 байна.

Одоо бид олдог м 3 \u003d LCM (м 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Үүнийг мөн Евклидийн алгоритмаар тодорхойлдог gcd(1 260, 54) -ээр тооцоолъё: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Дараа нь gcd(1 260, 54)=18 , үүнээс LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Өөрөөр хэлбэл, m 3 \u003d 3 780.

олохын тулд үлдсэн м 4 \u003d LCM (м 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Үүнийг хийхийн тулд бид Евклидийн алгоритмыг ашиглан GCD(3 780, 250)-ийг олно: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Иймээс gcd(3 780, 250)=10 , үүнээс gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Өөрөөр хэлбэл, m 4 \u003d 94 500.

Тэгэхээр анхны дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 94,500 байна.

Хариулт:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Ихэнх тохиолдолд гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг өгөгдсөн тоонуудын анхны үржүүлэх аргыг ашиглан олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдлаар бүрдэнэ: хоёр дахь тоог өргөтгөхөд дутагдаж буй хүчин зүйлүүд нь эхний тооны тэлэлтийн бүх хүчин зүйлс дээр, тэлэлтийн үржвэрийн дутуу хүчин зүйлүүд дээр нэмэгдэнэ. Гурав дахь тоог олж авсан хүчин зүйлүүд дээр нэмдэг гэх мэт.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах аргыг ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 гэсэн таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид эдгээр тоонуудын анхны үржүүлэгчид болох 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 анхны хүчин зүйлүүд) ба 143=11 13 гэсэн тоог гаргаж авна.

Эдгээр тоонуудын LCM-ийг олохын тулд эхний тооны 84 (тэдгээр нь 2 , 2 , 3 ба 7 ) хүчин зүйлүүд дээр та хоёр дахь тооны 6-ын тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх хэрэгтэй. Эхний тооны 84-ийн өргөтгөлд 2 ба 3 хоёулаа аль хэдийн байгаа тул 6-ын тооны өргөтгөл нь дутуу хүчин зүйлийг агуулаагүй болно. Цаашид 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 48-р гурав дахь тооны тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлүүд 2, 2-ыг нэмж, бид 2, 2, 2, 2, 3, 7 хүчин зүйлсийн багцыг авна. Энэ багцад 7 аль хэдийн орсон байгаа тул дараагийн алхамд хүчин зүйл нэмэх шаардлагагүй. Эцэст нь 2, 2, 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр 143 тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 11, 13 гэсэн хүчин зүйлсийг нэмж оруулав. Бид 2 2 2 2 3 7 11 13 бүтээгдэхүүнийг авдаг бөгөөд энэ нь 48 048-тай тэнцүү байна.

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Тодорхойлолт 2

Хэрэв а натурал тоо нь $b$ натурал тоонд хуваагддаг бол $b$-г $a$-ын хуваагч, $a$ тоог $b$-ын үржвэр гэнэ.

$a$ ба $b$ натурал тоо байг. $c$ тоог $a$ ба $b$ хоёрын нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эдгээр хуваагчдын аль нь ч $a$-аас их байж болохгүй тул $a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагчдын олонлог хязгаарлагдмал байна. Энэ нь эдгээр хуваагчдын дунд хамгийн том нь байгаа гэсэн үг бөгөөд үүнийг $a$ ба $b$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашигладаг:

$gcd \ (a;b) \ эсвэл \ D \ (a;b)$

Хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олохын тулд:

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

Жишээ 1

$121$ ба $132.$ тоонуудын gcd-г ол

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоонуудыг сонгоно уу

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$gcd=2\cdot 11=22$

Жишээ 2

$63$ ба $81$ мономиалуудын GCD-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний тулд:

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задалцгаая

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Бид эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоонуудыг сонгоно

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг олцгооё. Үр дүн нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$gcd=3\cdot 3=9$

Та тоо хуваагчийн багцыг ашиглан хоёр тооны GCD-ийг өөр аргаар олох боломжтой.

Жишээ 3

$48$ ба $60$ тоонуудын gcd-г ол.

Шийдэл:

$48$-ын хуваагчийн багцыг ол: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Одоо $60$ хуваагчийн олонлогийг олцгооё:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$$

Эдгээр олонлогуудын огтлолцлыг олцгооё: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - энэ олонлог нь $48$ ба $60 тоонуудын нийтлэг хуваагчдыг тодорхойлох болно. доллар. Энэ багцын хамгийн том элемент нь $12$ байх болно. Тэгэхээр $48$ ба $60$-ын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь $12$ байна.

NOC-ийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 3

натурал тооны нийтлэг үржвэр$a$ ба $b$ нь $a$ ба $b$ хоёрын үржвэр болох натурал тоо юм.

Тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд нь анхны тоонд үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонууд юм.Жишээ нь $25$ ба $50$ тоонуудын хувьд нийтлэг үржвэр нь $50,100,150,200$ гэх мэт тоонууд байх болно.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хамгийн бага нийтлэг үржвэр гэж нэрлээд LCM$(a;b)$ эсвэл K$(a;b)$ гэж тэмдэглэнэ.

Хоёр тооны LCM-ийг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах
Эхний тооны нэг хэсэг болох хүчин зүйлсийг бичээд эхний тоонд ордоггүй хоёр дахь тоонд багтах хүчин зүйлсийг нэмнэ үү.

Жишээ 4

$99$ ба $77$ тоонуудын LCM-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний төлөө

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Эхний хэсэгт орсон хүчин зүйлсийг бич

Тэдэнд хоёр дахь хэсэг болох хүчин зүйлсийг нэмээд эхнийх рүү орохгүй

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд нь хүссэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Тоон хуваагчдын жагсаалтыг гаргах нь ихэвчлэн маш их цаг хугацаа шаарддаг. Евклидийн алгоритм гэж нэрлэгддэг GCD-ийг олох арга бий.

Евклидийн алгоритм дээр үндэслэсэн мэдэгдлүүд:

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоо бөгөөд $a\vdots b$ бол $D(a;b)=b$

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоонууд бол $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-г ашигласнаар бид аль нэг нь нөгөөдөө хуваагдах хос тоонд хүрэх хүртэл авч үзэж буй тоонуудыг дараалан бууруулж болно. Дараа нь эдгээр тоонуудаас бага нь $a$ ба $b$ тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч байх болно.

GCD болон LCM-ийн шинж чанарууд

$a$ ба $b$-ын аливаа нийтлэг үржвэр нь K$(a;b)$-д хуваагдана
Хэрэв $a\vdots b$ бол K$(a;b)=a$ болно

Хэрэв K$(a;b)=k$ ба $m$-натурал тоо бол K$(am;bm)=km$

Хэрэв $d$ нь $a$ ба $b$-ийн нийтлэг хуваагч бол K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Хэрэв $a\vdots c$ болон $b\vdots c$ бол $\frac(ab)(c)$ нь $a$ ба $b$-ын нийтлэг үржвэр болно.

Аливаа натурал тоо $a$ ба $b$-ийн хувьд тэгш байдал

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ ба $b$-н нийтлэг хуваагч нь $D(a;b)$-ийн хуваагч юм.