Экспоненциал тэгш бус байдал нь нарийн төвөгтэй, ойлгомжгүй зүйл гэж олон хүмүүс боддог. Мөн тэдгээрийг шийдэж сурах нь зөвхөн Сонгогдсон хүмүүсийн л ойлгох чадвартай бараг л агуу урлаг юм ...

Бүрэн утгагүй зүйл! Экспоненциал тэгш бус байдал нь хялбар байдаг. Мөн тэд үргэлж энгийн байдлаар шийдэгддэг. За, бараг үргэлж. :)

Өнөөдөр бид энэ сэдвийг дотор болон гадна талаас нь авч үзэх болно. Сургуулийн математикийн энэ хэсгийг дөнгөж ойлгож эхэлж буй хүмүүст энэ хичээл маш их хэрэг болно. Энгийн асуудлаас эхлээд илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Өнөөдөр ямар ч хэцүү ажил байхгүй, гэхдээ таны одоо унших зүйл нь бүх төрлийн шалгалт, бие даасан ажлын тэгш бус байдлын ихэнхийг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно. Мөн таны энэ шалгалтанд.

Ердийнх шигээ тодорхойлолтоос эхэлцгээе. Экспоненциал тэгш бус байдал нь экспоненциал функц агуулсан аливаа тэгш бус байдлыг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь үргэлж хэлбэрийн тэгш бус байдал руу буурч болно

\[((a)^(x)) \gt b\]

$b$-ын үүрэг нь энгийн тоо, эсвэл илүү хатуу зүйл байж болно. Жишээ нь? Тиймээ:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ дөрвөлжин ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Утга нь ойлгомжтой гэж бодож байна: $((a)^(x))$ экспоненциал функц байдаг, түүнийг ямар нэгэн зүйлтэй харьцуулж, дараа нь $x$-ийг олохыг хүссэн. Ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдлуудад $x$ хувьсагчийн оронд $f\left(x \right)$ функцийг тавьж, улмаар тэгш бус байдлыг бага зэрэг хүндрүүлдэг.

Мэдээжийн хэрэг, зарим тохиолдолд тэгш бус байдал илүү ноцтой харагдаж болно. Жишээлбэл:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Эсвэл бүр энэ:

Ерөнхийдөө ийм тэгш бус байдлын нарийн төвөгтэй байдал нь маш өөр байж болох ч эцэст нь тэдгээр нь $((a)^(x)) \gt b$ энгийн бүтэц рүү буурдаг. Бид ямар нэгэн байдлаар ийм бүтээн байгуулалтыг олох болно (ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдлуудад, юу ч санаанд орохгүй бол логарифм бидэнд туслах болно). Тиймээс, одоо бид ийм энгийн бүтээн байгуулалтыг хэрхэн шийдэхийг танд заах болно.

Энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Маш энгийн зүйлийг харцгаая. Жишээлбэл, энэ нь:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Мэдээжийн хэрэг, баруун талд байгаа тоог хоёрын зэрэглэлээр дахин бичиж болно: $4=((2)^(2))$. Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг маш тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичиж болно.

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Одоо миний гар $x \gt 2$ гэсэн хариултыг авахын тулд эрх мэдлийн суурь дахь хоёрыг "гатлах" гэж загатнаж байна. Гэхдээ ямар нэг зүйлийг хасахын өмнө хоёрын хүчийг санацгаая.

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Таны харж байгаагаар экспонент дахь тоо их байх тусам гаралтын тоо их болно. - Баярлалаа, кап! - гэж оюутнуудын нэг нь хашгирах болно. Энэ нь өөр үү? Харамсалтай нь ийм зүйл тохиолддог. Жишээлбэл:

\[((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ баруун))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Энд бас бүх зүйл логик юм: зэрэг нь их байх тусам 0.5 тоог өөрөө үржүүлнэ (өөрөөр хэлбэл, хагаст хуваагдана). Тиймээс үүссэн тоонуудын дараалал буурч байгаа бөгөөд эхний ба хоёр дахь дарааллын ялгаа нь зөвхөн үндсэн дээр байна:

• Хэрэв градусын суурь $a \gt 1$ бол илтгэгч $n$ нэмэгдэх тусам $((a)^(n))$ тоо мөн нэмэгдэх болно;
• Мөн эсрэгээр, хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $n$ экспонент өсөх тусам $((a)^(n))$ тоо буурах болно.

Эдгээр баримтуудыг нэгтгэн дүгнэснээр бид экспоненциал тэгш бус байдлын бүх шийдэлд үндэслэсэн хамгийн чухал мэдэгдлийг олж авна.

Хэрэв $a \gt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \gt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. Хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \lt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, суурь нь нэгээс их байвал та үүнийг зүгээр л арилгаж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв суурь нь нэгээс бага бол үүнийг арилгаж болно, гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн та тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх хэрэгтэй болно.

Бид $a=1$ болон $a\le 0$ гэсэн сонголтыг авч үзээгүйг анхаарна уу. Учир нь эдгээр тохиолдолд тодорхойгүй байдал үүсдэг. $((1)^(x)) \gt 3$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхийг хэлье? Нэг нь ямар ч хүчинд дахин нэгийг өгөх болно - бид гурав ба түүнээс дээш удаа хэзээ ч авахгүй. Тэдгээр. шийдэл байхгүй.

Сөрөг шалтгаанаар бүх зүйл илүү сонирхолтой байдаг. Жишээлбэл, энэ тэгш бус байдлыг авч үзье:

\[((\left(-2 \баруун))^(x)) \gt 4\]

Эхлээд харахад бүх зүйл энгийн:

Тийм үү? Гэхдээ үгүй! Шийдэл буруу эсэхийг шалгахын тулд $x$-ын оронд хос тэгш, хоёр сондгой тоог орлуулахад хангалттай. Энийг хар даа:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=4\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(7))=-128 \lt 4. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар тэмдгүүд ээлжлэн солигддог. Гэхдээ бас бутархай эрх мэдэл болон бусад утгагүй зүйл байдаг. Жишээ нь, та $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (хоёрыг хасвал долоогийн зэрэглэлд) хэрхэн тооцоолох вэ? Арга ч үгүй!

Тиймээс тодорхой байхын тулд бид бүх экспоненциал тэгш бус байдалд (мөн тэгшитгэлд мөн адил) $1\ne a \gt 0$ байна гэж үздэг. Тэгээд бүх зүйл маш энгийнээр шийдэгддэг:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Баруун сум \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \баруун), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Ерөнхийдөө гол дүрмийг дахин санаарай: хэрэв экспоненциал тэгшитгэлийн суурь нь нэгээс их бол та үүнийг зүгээр л устгаж болно; ба суурь нь нэгээс бага бол түүнийг мөн арилгаж болох боловч тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Шийдлийн жишээ

Тиймээс хэд хэдэн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг харцгаая.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бүх тохиолдолд үндсэн ажил нь адилхан: тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн хэлбэрт $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ болгон багасгах. Үүнийг бид одоо тэгш бус байдал бүрээр хийх бөгөөд үүний зэрэгцээ градус болон экспоненциал функцүүдийн шинж чанаруудыг давтах болно. За, явцгаая!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Та энд юу хийж чадах вэ? За, зүүн талд бид аль хэдийн заагч илэрхийлэлтэй байна - юу ч өөрчлөх шаардлагагүй. Гэхдээ баруун талд нь ямар нэгэн тэнэг зүйл байдаг: бутархай, бүр хуваагч дахь үндэс!

Гэсэн хэдий ч бутархай ба хүчнүүдтэй ажиллах дүрмийг санацгаая.

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Нэгдүгээрт, бид бутархайг сөрөг илтгэгчтэй хүч болгон хувиргаснаар амархан салж чадна. Хоёрдугаарт, хуваагч нь язгууртай тул түүнийг хүч болгон хувиргавал зүгээр байх болно - энэ удаад бутархай илтгэгчээр.

Эдгээр үйлдлүүдийг тэгш бус байдлын баруун талд дараалан хэрэглэж, юу болохыг харцгаая.

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \баруун))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \баруун))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \баруун)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Нэг зэрэглэлийг хүч болгон өсгөхөд эдгээр зэрэглэлийн илтгэгчүүд нийлдэг гэдгийг бүү мартаарай. Ерөнхийдөө экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдалтай ажиллахдаа хүч чадалтай ажиллах хамгийн энгийн дүрмийг мэдэх нь зайлшгүй шаардлагатай.

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \баруун))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэндээ бид сүүлийн дүрмийг л хэрэгжүүлсэн. Тиймээс бидний анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Баруун сум ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Одоо бид хоёр баазаас салж байна. 2 > 1 тул тэгш бус байдлын тэмдэг ижил хэвээр байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x-1\le -\frac(1)(3)\Баруун сум x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл! Гол бэрхшээл нь экспоненциал функцэд огтхон ч биш, харин анхны илэрхийлэлийг чадварлаг хувиргах явдал юм: та үүнийг хамгийн энгийн хэлбэрт нь болгоомжтой, хурдан оруулах хэрэгтэй.

Хоёр дахь тэгш бус байдлыг авч үзье.

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Тийм болохоор. Энд аравтын бутархайнууд биднийг хүлээж байна. Би олон удаа хэлсэнчлэн, ямар ч эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлд та аравтын бутархайг арилгах хэрэгтэй - энэ нь ихэвчлэн хурдан бөгөөд энгийн шийдлийг олж харах цорын ганц арга зам юм. Энд бид дараахь зүйлийг арилгах болно.

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ баруун))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Баруун сум ((\left(\frac(1)(10) \баруун))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энд дахин бид хамгийн энгийн тэгш бус байдал, тэр ч байтугай 1/10 суурьтай, i.e. нэгээс бага. За, бид суурийг арилгаж, тэмдгийг "бага" -аас "илүү" болгон өөрчилснөөр бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид эцсийн хариултыг авсан: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Анхаарна уу: хариулт нь тодорхой багц бөгөөд ямар ч тохиолдолд $x \lt -1$ хэлбэрийн бүтээн байгуулалт биш юм. Учир нь албан ёсоор ийм бүтээн байгуулалт нь олонлог биш, харин $x$ хувьсагчийн хувьд тэгш бус байдал юм. Тийм ээ, энэ нь маш энгийн, гэхдээ энэ нь хариулт биш юм!

Чухал тэмдэглэл. Энэ тэгш бус байдлыг өөр аргаар шийдэж болох юм - хоёр талыг нэгээс их суурьтай хүч болгон бууруулж болно. Энийг хар даа:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(1-x)) \ lt ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(2))\Баруун сум ((10)^(-1\cdot \left(1-x \баруун)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Ийм хувиргалт хийсний дараа бид дахин экспоненциал тэгш бус байдлыг олж авах болно, гэхдээ суурь нь 10 > 1. Энэ нь бид аравыг зүгээр л зурж болно гэсэн үг юм - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар хариулт нь яг адилхан байсан. Үүний зэрэгцээ бид тэмдгийг өөрчлөх шаардлагаас өөрийгөө аварч, ямар ч дүрмийг санаж байна :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Гэсэн хэдий ч энэ нь таныг айлгахыг бүү зөвшөөр. Шалгуур үзүүлэлтэд юу ч байсан хамаагүй, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх технологи нь өөрөө хэвээр байна. Тиймээс эхлээд 16 = 2 4 гэдгийг тэмдэглэе. Энэ баримтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өө! Бид ердийн квадрат тэгш бус байдлыг олж авлаа! Суурь нь хоёр буюу нэгээс их тоо тул тэмдэг нь хаана ч өөрчлөгдөөгүй.

Тооны шулуун дээрх функцын тэг

Бид $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ функцийн тэмдгүүдийг цэгцлэв - мэдээжийн хэрэг түүний график нь дээш салбарласан парабол байх тул "нэмэх" байх болно. ” тал дээр. Бид функц нь тэгээс бага байгаа бүс нутгийг сонирхож байна, i.e. $x\in \left(2;5 \right)$ нь анхны бодлогын хариулт юм.

Эцэст нь өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Дахин бид аравтын бутархай суурьтай экспоненциал функцийг харж байна. Энэ бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Баруун сум \\ & \Баруун сум ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\зүүн(((5)^(-1)) \баруун))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \баруун)))\төгсгөл(эгц)\]

Энэ тохиолдолд бид өмнө нь өгсөн тайлбарыг ашигласан - бид цаашдын шийдлийг хялбарчлахын тулд суурийг 5>1 тоо болгон бууруулсан. Баруун талд нь ижил зүйлийг хийцгээе:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \баруун))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ баруун))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Хоёр хувиргалтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Баруун сум ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \баруун)))\ge ((5)^(-2))\]

Хоёр талын суурь нь ижил бөгөөд нэгээс давсан. Баруун болон зүүн талд өөр нэр томъёо байхгүй тул бид тавыг "тасалж" маш энгийн илэрхийлэлийг олж авна.

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эндээс та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй. Олон оюутнууд тэгш бус байдлын хоёр талын квадрат язгуурыг аваад $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ гэх мэт зүйлийг бичих дуртай. Ямар ч тохиолдолд үүнийг хийж болохгүй. , учир нь яг квадратын үндэс нь модуль бөгөөд ямар ч тохиолдолд анхны хувьсагч биш:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Гэсэн хэдий ч модультай ажиллах нь хамгийн таатай туршлага биш, тийм үү? Тиймээс бид ажиллахгүй. Үүний оронд бид бүх нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж, интервалын аргыг ашиглан ердийн тэгш бус байдлыг шийднэ.

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\төгсгөл(зохицуулах)$

Бид олж авсан цэгүүдийг тоон шулуун дээр дахин тэмдэглээд тэмдгүүдийг харна.

Анхаарна уу: цэгүүд сүүдэртэй байна

Бид хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байсан тул график дээрх бүх цэгүүд сүүдэртэй байна. Тиймээс хариулт нь: $x\in \left[ -1;1 \right]$ нь интервал биш харин сегмент юм.

Ерөнхийдөө экспоненциал тэгш бус байдлын хувьд төвөгтэй зүйл байхгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Өнөөдөр бидний хийсэн бүх өөрчлөлтийн утга нь энгийн алгоритм дээр бууж байна.

• Бид бүх зэрэглэлийг бууруулах үндэслэлийг олох;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авахын тулд хувиргалтыг болгоомжтой хийнэ. Мэдээжийн хэрэг, $x$ ба $n$ хувьсагчийн оронд илүү төвөгтэй функцүүд байж болох ч утга нь өөрчлөгдөхгүй;
• Зэрэглэлийн суурийг хөндлөн зур. Энэ тохиолдолд суурь $a \lt 1$ байвал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүх тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нийтийн алгоритм юм. Мөн энэ сэдвээр танд хэлэх бусад бүх зүйл бол өөрчлөлтийг хялбаршуулж, хурдасгах тодорхой арга техник, заль мэх юм. Бид одоо эдгээр техникүүдийн талаар ярих болно.

оновчтой болгох арга

Өөр нэг тэгш бус байдлын багцыг авч үзье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Тэгвэл тэдний юугаараа онцлог вэ? Тэд хөнгөн. Гэсэн хэдий ч зогсоо! π тоог тодорхой хэмжээнд өсгөсөн үү? Ямар утгагүй юм бэ?

$2\sqrt(3)-3$ тоог хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? Эсвэл $3-2\sqrt(2)$? Асуудлын зохиолчид ажилдаа суухаасаа өмнө хэт их долоогоно уусан нь ойлгомжтой.

Үнэндээ эдгээр ажлуудад аймшигтай зүйл байхгүй. Танд сануулъя: экспоненциал функц нь $((a)^(x))$ хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд $a$ суурь нь нэгээс бусад эерэг тоо юм. π тоо эерэг байна - бид үүнийг аль хэдийн мэддэг. $2\sqrt(3)-3$ болон $3-2\sqrt(2)$ гэсэн тоонууд ч эерэг байдаг - хэрэв та тэдгээрийг тэгтэй харьцуулж үзвэл үүнийг харахад хялбар болно.

Энэ бүх "аймшигтай" тэгш бус байдлыг дээр дурдсан энгийн зүйлсээс ялгаагүй шийдэж байгаа юм болов уу? Мөн тэд адилхан шийдэгдсэн үү? Тийм ээ, энэ үнэхээр зөв. Гэсэн хэдий ч тэдний жишээн дээр би бие даасан ажил, шалгалтын цагийг ихээхэн хэмнэдэг нэг техникийг авч үзэхийг хүсч байна. Бид оновчтой болгох аргын талаар ярих болно. Тиймээс, анхаарал:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн аливаа экспоненциал тэгш бус байдал нь $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. баруун) \gt 0 $.

Энэ бол бүхэл бүтэн арга. :) Та өөр төрлийн тоглоом болно гэж бодож байсан уу? Ийм зүйл байхгүй! Гэхдээ нэг мөрөнд шууд утгаар нь бичсэн энэ энгийн баримт нь бидний ажлыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Энийг хар даа:

\[\эхлэх(матриц) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Дотоод \\ \зүүн(x+7-\зүүн(((x)^(2)) -3x+2 \баруун) \баруун)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\\end(матриц)\]

Тиймээс экспоненциал функц байхгүй болно! Мөн тэмдэг өөрчлөгдсөн эсэхийг санах шаардлагагүй. Гэвч шинэ асуудал гарч ирнэ: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] хараал идсэн үржүүлэгчийг яах вэ? π тооны яг ямар утгатай болохыг бид мэдэхгүй. Гэсэн хэдий ч ахмад тодорхой зүйлийг сануулж байх шиг байна:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ойролцоогоор 3.14... \gt 3\Баруун сум \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ерөнхийдөө π-ийн яг утга нь бидэнд огт хамаагүй - ямар ч тохиолдолд $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 гэдгийг ойлгох нь бидний хувьд чухал юм. $, t.e. Энэ нь эерэг тогтмол бөгөөд тэгш бус байдлын хоёр талыг түүгээр хувааж болно.

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \баруун) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \зүүн(x-5 \баруун)\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Таны харж байгаагаар тодорхой мөчид бид хасах нэгээр хуваах шаардлагатай болсон бөгөөд тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би квадрат гурвалжийг Виетийн теоремыг ашиглан өргөжүүлсэн - язгуурууд нь $((x)_(1))=5$ ба $((x)_(2))=-1$-тэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. . Дараа нь бүх зүйлийг сонгодог интервалын аргыг ашиглан шийддэг.

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Анхны тэгш бус байдал нь хатуу тул бүх оноо хасагдсан. Бид сөрөг утгатай бүс нутгийг сонирхож байгаа тул хариулт нь $x\in \left(-1;5 \right)$ байна. Энэ бол шийдэл.

Дараагийн даалгавар руу шилжье:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Энд бүх зүйл ерөнхийдөө энгийн, учир нь баруун талд нэгж байдаг. Нэг нь тэг зэрэглэлд хүрсэн ямар ч тоо гэдгийг бид санаж байна. Хэдийгээр энэ тоо нь зүүн талын суурь дахь иррационал илэрхийлэл байсан ч:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\зүүн(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

За ингээд оновчтой болгоё:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \баруун)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]

Үлдсэн зүйл бол шинж тэмдгийг олж мэдэх явдал юм. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ хүчин зүйл нь $x$ хувьсагчийг агуулаагүй - энэ нь зүгээр л тогтмол бөгөөд бид түүний тэмдгийг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу.

\[\begin(матриц) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Дотоод \\ 2\зүүн(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 2\cdot \left(2) -2 \баруун)=0 \\\төгсгөл(матриц)\]

Хоёрдахь хүчин зүйл нь тогтмол биш, харин сөрөг тогтмол юм! Үүнийг хуваахдаа анхны тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \баруун) \gt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бүх зүйл бүрэн тодорхой болж байна. Баруун талын гурвалсан квадратын язгуурууд нь: $((x)_(1))=0$ ба $((x)_(2))=2$. Бид тэдгээрийг тооны мөрөнд тэмдэглээд $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ функцийн тэмдгүүдийг харна:

Бид хажуугийн интервалыг сонирхож байгаа тохиолдол

Бид нэмэх тэмдгээр тэмдэглэгдсэн интервалуудыг сонирхож байна. Хариултаа бичих л үлдлээ:

Дараагийн жишээ рүү шилжье:

\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ баруун))^(16-x))\]

Энд бүх зүйл тодорхой байна: суурь нь ижил тооны хүчийг агуулдаг. Тиймээс би бүгдийг товчхон бичих болно:

\[\begin(матриц) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Доошоо \\ ((\зүүн(((3)^(-1)) \баруун))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \баруун))^(16-x)) \\\төгсгөл(матриц)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ зүүн(16-x \баруун)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \зүүн(x+8 \баруун)\зүүн(x-4 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Таны харж байгаагаар хувиргах явцад бид сөрөг тоогоор үржүүлэх шаардлагатай болсон тул тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би дахин Виетийн теоремыг ашиглан квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгон ашигласан. Үүний үр дүнд хариулт нь дараах байх болно: $x\in \left(-8;4 \right)$ - хэн ч үүнийг тоон шугам татаж, цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдгийг тоолж баталгаажуулж болно. Үүний зэрэгцээ бид "иж бүрдэл"-ээс сүүлчийн тэгш бус байдал руу шилжих болно.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Таны харж байгаагаар суурь дээр дахин иррационал тоо байгаа бөгөөд баруун талд дахин нэгж байна. Тиймээс бид экспоненциал тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ баруун))^(0))\]

Бид оновчтой байдлыг ашигладаг:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \баруун) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]

Гэсэн хэдий ч $1-\sqrt(2) \lt 0$ байх нь маш ойлгомжтой, учир нь $\sqrt(2)\ойролцоогоор 1,4... \gt 1$. Тиймээс хоёр дахь хүчин зүйл нь дахин сөрөг тогтмол бөгөөд түүгээр тэгш бус байдлын хоёр талыг хувааж болно.

\[\эхлэх(матриц) \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0 \\ \Дотоод \ \\төгсгөл(матриц)\]

\[\эхлэх(зохицуулах) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр суурь руу шилжих

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусдаа асуудал бол "зөв" суурийг хайх явдал юм. Харамсалтай нь аливаа ажлыг эхлээд харахад юуг үндэс болгон авах, энэ суурийн зэрэглэлд нийцүүлэн юу хийх нь тодорхой байдаггүй.

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй: энд ид шид, "нууц" технологи байхгүй. Математикийн хувьд алгоритмчлах боломжгүй аливаа чадварыг дадлага хийх замаар хялбархан хөгжүүлж болно. Гэхдээ үүний тулд та янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, иймэрхүү:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \баруун))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ төгсгөл(тэгцүүлэх)\]

Хэцүү үү? Аймшигтай юу? Асфальт дээр тахиа цохихоос хамаагүй амархан! Оролдоод үзье. Эхний тэгш бус байдал:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Энд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна:

Бид анхны тэгш бус байдлыг дахин бичиж, бүх зүйлийг хоёр суурь болгон бууруулна.

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Баруун сум \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0\]

Тийм ээ, тийм ээ, та зөв сонссон: Би дээр дурдсан оновчтой аргыг ашигласан. Одоо бид анхааралтай ажиллах хэрэгтэй: бидэнд бутархай-рациональ тэгш бус байдал байгаа (энэ нь хуваарьт хувьсагчтай байдаг) тул аливаа зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэхийн өмнө бид бүх зүйлийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, тогтмол хүчин зүйлээс салах хэрэгтэй. .

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \баруун)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид стандарт интервалын аргыг ашиглаж байна. Тоологч тэг: $x=\pm 4$. Зөвхөн $x=0$ үед хуваагч тэг болно. Нийтдээ 3 цэгийг тоон шулуун дээр тэмдэглэх шаардлагатай (тэгш бус байдлын тэмдэг нь хатуу тул бүх цэгүүдийг хавчуулсан). Бид авах:

Илүү төвөгтэй тохиолдол: гурван үндэс

Таны таамаглаж байгаачлан сүүдэрлэх нь зүүн талын илэрхийлэл сөрөг утгатай байх интервалуудыг тэмдэглэдэг. Тиймээс эцсийн хариулт нь нэг дор хоёр интервалыг агуулна.

Анхны тэгш бус байдал нь хатуу байсан тул интервалын төгсгөлийг хариултанд оруулаагүй болно. Энэ хариултыг дахин баталгаажуулах шаардлагагүй. Үүнтэй холбогдуулан экспоненциал тэгш бус байдал нь логарифмынхаас хамаагүй хялбар байдаг: ODZ байхгүй, хязгаарлалт байхгүй гэх мэт.

Дараагийн даалгавар руу шилжье:

\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Энд бас асуудал байхгүй, учир нь бид $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ гэдгийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(((3)^(-1)) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Баруун сум ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Анхаарна уу: гурав дахь мөрөнд би жижиг зүйлд цаг үрэхгүй байхаар шийдсэн бөгөөд тэр даруй бүх зүйлийг (−2) хуваана. Минул эхний хаалтанд орсон (одоо хаа сайгүй давуу тал байгаа), хоёрыг тогтмол хүчин зүйлээр бууруулсан. Бие даасан болон туршилтын ажилд бодит тооцооллыг бэлтгэхдээ үүнийг хийх ёстой зүйл бол та үйлдэл, өөрчлөлт бүрийг шууд тайлбарлах шаардлагагүй болно.

Дараа нь интервалын танил арга хэрэгжиж байна. Тоологч тэг: гэхдээ байхгүй. Учир нь ялгаварлагч сөрөг байх болно. Хариуд нь, хуваагчийг зөвхөн $x=0$ үед л шинэчилнэ - яг өмнөх үеийнх шиг. За, $x=0$-ийн баруун талд бутархай эерэг утгыг, зүүн талд нь сөрөг утгыг авах нь тодорхой байна. Бид сөрөг утгыг сонирхож байгаа тул эцсийн хариулт нь: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \баруун))^(x))\ge 1\]

Экспоненциал тэгш бус байдлын аравтын бутархайг юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв: тэднээс салж, энгийн зүйл болгон хувирга. Энд бид орчуулах болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Баруун сум ((\зүүн(0.16 \баруун))^(1+2х)) =(\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2х)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Баруун сум ((\зүүн(6.25 \баруун))^(x))=((\зүүн(\ frac(25)) (4)\баруун))^(x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид экспоненциал функцийн үндэс дээр юу олж авсан бэ? Мөн бид хоёр урвуу тоог авсан:

\[\frac(25)(4)=((\зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(\frac(25)(4) \ баруун))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(-1)) \баруун))^(x))=((\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-x))\]

Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \баруун) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x+\left(-x \баруун)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0) ). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгчүүд нэмэгдэх бөгөөд энэ нь хоёр дахь мөрөнд болсон явдал юм. Нэмж дурдахад бид баруун талд байгаа нэгжийг, мөн 4/25-ын үндсэн дээр хүч болгон төлөөлсөн. Үлдсэн зүйл бол оновчтой болгох явдал юм:

\[((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0)) \Баруун сум \left(x+1-0 \баруун)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \баруун)\ge 0\]

$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. Хоёрдахь хүчин зүйл нь сөрөг тогтмол бөгөөд үүнийг хуваах үед тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+1-0\le 0\Баруун сум x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь, одоогийн "багц" -ын сүүлчийн тэгш бус байдал:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Зарчмын хувьд энд байгаа шийдлийн санаа нь тодорхой байна: тэгш бус байдалд багтсан бүх экспоненциал функцийг "3" суурь болгон бууруулах ёстой. Гэхдээ үүний тулд та үндэс, хүч чадлын талаар бага зэрэг оролдох хэрэгтэй болно.

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр баримтуудыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \баруун))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\баруун))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооцооллын 2, 3-р мөрөнд анхаарлаа хандуулаарай: тэгш бус байдалтай ямар нэгэн зүйл хийхээсээ өмнө үүнийг хичээлийн эхнээс ярьж байсан хэлбэрт оруулахаа мартуузай: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Хэрэв та зүүн эсвэл баруун талд зарим нэг солгой хүчин зүйл, нэмэлт тогтмол гэх мэт зүйлс байгаа бол, үндэслэлийг үндэслэлтэй болгох, "таслах" боломжгүй! Энэхүү энгийн баримтыг ойлгоогүйн улмаас тоо томшгүй олон ажлыг буруу гүйцэтгэсэн. Экспоненциал болон логарифмын тэгш бус байдлын шинжилгээг дөнгөж эхэлж байх үед би өөрөө оюутнуудтайгаа энэ асуудлыг байнга ажигладаг.

Гэхдээ даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Энэ удаад оновчтой үндэслэлгүйгээр хийхийг оролдъё. Санаж үзье: зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их байдаг тул гурвалсан тоог зүгээр л зурж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:

\[\эхлэх(зохицуулах) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо. Эцсийн хариулт: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Тогтвортой илэрхийллийг тусгаарлаж, хувьсагчийг орлуулах

Эцэст нь хэлэхэд, би бэлтгэлгүй оюутнуудад нэлээд хэцүү болсон дөрвөн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэхийг санал болгож байна. Тэдгээрийг даван туулахын тулд та зэрэгтэй ажиллах дүрмийг санах хэрэгтэй. Ялангуяа нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтанд оруулах.

Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол хаалтнаас яг юу гаргаж болохыг ойлгож сурах явдал юм. Ийм илэрхийллийг тогтвортой гэж нэрлэдэг - үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар экспоненциал функцээс салж болно. Тиймээс, даалгавруудыг авч үзье:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\төгсгөл(эгц)\]

Эхний мөрөөс эхэлцгээе. Энэ тэгш бус байдлыг тусад нь бичье.

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ гэдгийг анхаарна уу, тиймээс баруун гар талыг дахин бичиж болно:

Тэгш бус байдалд $((5)^(x+1))$-аас бусад экспоненциал функц байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхийдөө $x$ хувьсагч өөр хаана ч байхгүй тул шинэ хувьсагчийг танилцуулъя: $((5)^(x+1))=t$. Бид дараах бүтээн байгуулалтыг авна.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид анхны хувьсагч руу буцна ($t=((5)^(x+1))$), мөн тэр үед 1=5 0 гэдгийг санаарай. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл! Хариулт: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Хоёр дахь тэгш бус байдал руу шилжье:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Энд бүх зүйл адилхан. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь зүүн талыг дахин бичиж болно:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\баруун. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10т\ge 90; \\ & t\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Баруун сум x\in \left[ 2;+\infty \баруун). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бодит туршилт, бие даасан ажлын шийдлийг ойролцоогоор ингэж гаргах хэрэгтэй.

За, илүү төвөгтэй зүйлийг туршиж үзье. Жишээлбэл, тэгш бус байдал энд байна:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Энд ямар асуудал байна вэ? Юуны өмнө, зүүн талын экспоненциал функцүүдийн суурь нь өөр: 5 ба 25. Гэхдээ 25 = 5 2, тиймээс эхний гишүүнийг хувиргаж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \баруун))^(x+1.5))= ((5) ^(2х+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\төгсгөл(зохицуулах) )\]

Таны харж байгаагаар эхлээд бид бүгдийг нэг суурь дээр авчирсан бөгөөд дараа нь эхний нэр томъёог хоёрдугаарт амархан буулгаж болохыг анзаарсан - та зөвхөн экспонентыг өргөжүүлэх хэрэгтэй. Одоо та шинэ хувьсагчийг аюулгүйгээр оруулж болно: $((5)^(2x+2))=t$, тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мөн дахин хэлэхэд ямар ч бэрхшээл гарахгүй! Эцсийн хариулт: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Өнөөдрийн хичээлээр эцсийн тэгш бус байдал руу шилжье.

\[((\left(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

Таны анхаарах ёстой хамгийн эхний зүйл бол мэдээжийн хэрэг эхний түвшний суурь дахь аравтын бутархай юм. Үүнээс салах шаардлагатай бөгөөд нэгэн зэрэг бүх экспоненциал функцийг нэг суурь болох "2" тоонд оруулах хэрэгтэй.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \баруун))^(-4х-8))=((2)^(4х+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Баруун сум ((16)^(x+1.5))=((\зүүн(((2)^(4)) \баруун))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4х+8))-((2)^(4х+6)) \gt 768. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Гайхалтай, бид эхний алхмыг хийлээ - бүх зүйл ижил суурь руу хөтөлсөн. Одоо та тогтвортой илэрхийлэл сонгох хэрэгтэй. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид $((2)^(4x+6))=t$ шинэ хувьсагчийг оруулбал анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, асуулт гарч ирж магадгүй юм: 256 = 2 8 гэдгийг бид хэрхэн олж мэдсэн бэ? Харамсалтай нь энд та хоёрын хүчийг (мөн гурав ба тавын хүчийг) мэдэх хэрэгтэй. За, эсвэл үр дүн гарах хүртэл 256-г 2-т хуваа (256 бол тэгш тоо тул та хувааж болно). Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) )\]

Гурав (9, 27, 81, 243 тоонууд нь түүний градусууд), долоо (49, 343 гэсэн тоонуудыг санахад таатай байх болно) нь мөн адил юм. Тав нь бас "сайхан" зэрэгтэй байдаг бөгөөд үүнийг та мэдэх хэрэгтэй:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл эдгээр бүх тоог зүгээр л нэг нэгээр нь дараалан үржүүлснээр таны оюун ухаанд сэргэж болно. Гэсэн хэдий ч, та хэд хэдэн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэх ёстой бөгөөд дараагийнх бүр нь өмнөхөөсөө илүү хэцүү байвал таны хамгийн сүүлд бодох зүйл бол зарим тоонуудын хүч юм. Энэ утгаараа эдгээр асуудлууд нь интервалын аргаар шийдэгддэг "сонгодог" тэгш бус байдлаас илүү төвөгтэй байдаг.

Энэ хичээл танд энэ сэдвийг эзэмшихэд тусалсан гэж найдаж байна. Хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал сэтгэгдэл дээр асуугаарай. Тэгээд дараагийн хичээлүүд дээр уулзацгаая. :)

Алгебр ба математик анализын эхлэл. 10-р анги. Сурах бичиг. Никольский С.М. гэх мэт.

Үндсэн болон профайл түвшин

8-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 430 х.

Сурах бичиг нь математикийн ерөнхий боловсролын улсын стандартын холбооны бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд нийцэж байгаа бөгөөд үндсэн болон тусгай түвшний аль алиных нь материалыг агуулсан болно. Оюутнууд өмнөх жилүүдэд ямар сурах бичиг судалсанаас үл хамааран ашиглах боломжтой.

Сурах бичиг нь оюутнуудыг их, дээд сургуульд элсэн суралцахад бэлтгэх зорилготой юм.

Формат: djvu

Хэмжээ: 15.2 MB

Үзэх, татаж авах:drive.google ; Зөв сүнс

Формат: pdf

Хэмжээ: 42.3 MB

Үзэх, татаж авах:drive.google ; Зөв сүнс

Жич: PDF чанар илүү сайн, бараг маш сайн. Ижил сканнераар хийгдсэн, 150 dpi, өнгө. Гэхдээ DJVU-д энэ нь арай дорддог. Энэ бол хэмжээ чухал ач холбогдолтой тохиолдол юм.

АГУУЛГА
БҮЛЭГ I. Үндэс, эрх мэдэл, логарифм
§ 1. Бодит тоо 3
1.1. Бодит тоо 3-ын тухай ойлголт
1.2. Маш олон тоо. Бодит тооны шинж чанарууд. ... 10
1.3*. Математик индукцийн арга 16
1.4. Сэлгээ 22
1.5. Байршил 25
1.6. Хослол 27
1.7*. Тоон тэгш бус байдлын баталгаа 30
1.8*. Бүхэл тоонд хуваагдах чадвар 35
1.9*. Харьцуулалтын модуль t 38
1.10*. Бүхэл тоо үл мэдэгдэх асуудлууд 40
§ 2. Рационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал 44
2.1. Рационал илэрхийлэл 44
2.2. Ньютоны бином томьёо, нийлбэр ба чадлын зөрүү. . 48
2.3*. Олон гишүүнтийг үлдэгдэлтэй хуваах. Евклидийн алгоритм... 53
2.4*. Безутын теорем 57
2.5*. 60 олон гишүүнтийн үндэс
2.6. Рационал тэгшитгэл 65
2.7. Рационал тэгшитгэлийн системүүд 70
2.8. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервалын арга 75
2.9. Рационал тэгш бус байдал 79
2.10. Хатуу бус тэгш бус байдал 84
2.11. Рационал тэгш бус байдлын системүүд 88
§ 3. Зэрэглэлийн үндэс n 93
3.1. Функцийн тухай ойлголт ба түүний график 93
3.2. y = x" 96 функц
3.3. n 100 зэрэглэлийн язгуурын тухай ойлголт
3.4. Тэгш ба сондгой зэрэглэлийн үндэс 102
3.5. Арифметик үндэс 106
3.6. l 111 зэрэглэлийн үндэсийн шинж чанарууд
3.7*. y = nx (x > 0) функц 114
3.8*. Функц y = nVx 117
3.9*. 119 натурал тооны үндэс n
§ 4. Эерэг тооны 122-ын хүч
4.1. Рационал илтгэгч 122-той хүч
4.2. Рационал илтгэгч 125-тай зэрэглэлийн шинж чанарууд
4.3. Дарааллын хязгаарын тухай ойлголт 131
4.4*. Хязгаарын шинж чанарууд 134
4.5. Хязгааргүй буурах геометр прогресс. . . 137
4.6. e 140 дугаар
4.7. Иррационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ойлголт.... 142
4.8. Экспоненциал функц 144
§ 5. Логарифм 148
5.1. Логарифмын тухай ойлголт 148
5.2. Логарифмын шинж чанарууд 151
5.3. Логарифм функц 155
5.4*. Аравтын логарифм 157
5.5*. Эрчим хүчний функцууд 159
§ 6. Экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. . 164
6.1. Хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл 164
6.2. Энгийн логарифм тэгшитгэл 166
6.3. Үл мэдэгдэх 169-ийг орлуулах замаар тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон бууруулсан
6.4. Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдал 173
6.5. Хамгийн энгийн логарифм тэгш бус байдал 178
6.6. Үл мэдэгдэх 182-ыг орлуулах замаар тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн болгож бууруулсан
Түүхэн мэдээлэл 187
II БҮЛЭГ. ТРИГОНОМЕТРИЙН Формулууд. ТРИГОНОМЕТРИЙН функцууд
§ 7. Өнцгийн синус ба косинус 193
7.1. Өнцгийн тухай ойлголт 193
7.2. Өнцгийн радиан хэмжүүр 200
7.3. Өнцгийн синус ба косинусыг тодорхойлох 203
7.4. Sin a болон cos a 211-ийн үндсэн томьёо
7.5. Арксин 216
7.6. Нуман косинус 221
7.7*. Арксин ба арккосиныг ашиглах жишээ.... 225
7.8*. Арксин ба аркозины томъёо 231
§ 8. Өнцгийн тангенс ба котангенс 233
8.1. Өнцгийн тангенс ба котангенсыг тодорхойлох 233
8.2. tg a ба ctg a 239-ийн үндсэн томьёо
8.3. Арктангенс 243
8.4*. Нуман тангенс 246
8.5*. Арктангенс ба арккотангенс ашиглах жишээ. . 249
8.6*. Арктангенс ба арккотангенсийн томъёо 255
§ 9. Нэмэлтийн томъёо 258
9.1. Хоёр өнцгийн нийлбэрийн ялгаварын косинус ба косинус 258
9.2. Нэмэлт өнцгийн томъёо 262
9.3. Хоёр өнцгийн зөрүүний нийлбэрийн синус ба синус 264
9.4. Синус ба косинусын нийлбэр ба ялгаа 266
9.5. Давхар ба хагас өнцгийн томьёо 268
9.6*. Синус ба косинусын үржвэр 273
9.7*. Шүргэгчийн томъёо 275
§ 10. Тоон аргументын тригонометрийн функцууд 280
10.1. y = sin x 281 функц
10.2. y = cos x 285 функц
10.3. Функц y = tg * 288
10.4. Функц y = ctg x 292
§ 11. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал 295
11.1. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэл 295
11.2. Үл мэдэгдэх 299-ийг орлуулах замаар тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгож бууруулсан
11.3. Тригонометрийн үндсэн томъёог тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэглэх нь 303
11.4. Нэг төрлийн тэгшитгэл 307
11.5*. Синус ба косинусын хамгийн энгийн тэгш бус байдал.... 310
11.6*. Тангенс ба котангенсийн хамгийн энгийн тэгш бус байдал. . . 315
11.7*. Үл мэдэгдэх 319-ийг орлуулах замаар тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн болгож бууруулсан
11.8*. Туслах өнцгийн танилцуулга 322
11.9*. Үл мэдэгдэх t = sin x + cos x 327-г орлуулах
Түүхэн мэдээлэл 330
III БҮЛЭГ. МАГАДЛАЛЫН ОНОЛЫН ЭЛЕМЕНТҮҮД
§ 12. Үйл явдлын магадлал 333
12.1. Үйл явдлын магадлалын тухай ойлголт 333
12.2. Үйл явдлын магадлалын шинж чанарууд 338
§ 13*. Давтамж. Нөхцөлт магадлал 342
13.1*. Үйл явдлын харьцангуй давтамж 342
13.2*. Нөхцөлт магадлал. Бие даасан үйл явдлууд 344
§ 14*. Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ. Их тооны тухай хууль 348
14.1*. Математикийн хүлээлт 348
14.2*. Хэцүү туршлага 353
14.3*. Бернуллигийн томъёо. Их тооны тухай хууль 355
Түүхэн мэдээлэл 359
ХЯНАЛТЫН ДААЛГАВАР 362
Сэдвийн индекс 407
Хариултууд 410

Ажлын байр, албан тушаал: - MOU-SOSH r.p. Пушкино, багш

Бүс нутаг: - Саратов муж

Хичээлийн шинж чанар (сургалт) Боловсролын түвшин: - дунд (бүрэн) ерөнхий боловсрол

Зорилтот үзэгчид: - Сурагч (оюутан)
Зорилтот үзэгчид: - Багш (багш)

Анги(ууд): – 10-р анги

Сэдвүүд: – Алгебр

Хичээлийн зорилго: - дидактик: логарифм ба экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн арга, аргуудыг боловсронгуй болгох, бүх сурагчид экспоненциал ба логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмын үндсэн аргуудыг эзэмшсэн байх; хөгжүүлэх: логик сэтгэлгээ, ой санамж, танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх, математикийн яриаг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх, дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах чадварыг хөгжүүлэх; боловсролын: дэвтэр дээрх тэмдэглэлийн гоо зүйн дизайн, бусдыг сонсох чадвар, харилцах, үнэн зөв, шаргуу ажиллах чадварыг сургах.

Хичээлийн төрөл: – Мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх хичээл

Ангид байгаа оюутнууд (үзэгчид): - 25

Товч тайлбар: - Экспоненциал болон логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь математикийн нийлмэл сэдвүүдийн нэгд тооцогддог бөгөөд сурагчдаас онолын сайн мэдлэгтэй байх, түүнийгээ практикт хэрэгжүүлэх чадварыг шаарддаг, анхаарал, хичээл зүтгэл, оюун ухаан шаарддаг. Хичээл дээр хэлэлцсэн сэдвийг мөн их дээд сургуулийн элсэлтийн шалгалт, төгсөлтийн шалгалтанд оруулна. Энэ төрлийн хичээл нь логик сэтгэлгээ, ой санамж, танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлж, дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, бусдыг сонсох чадварыг хөгжүүлэхэд тусалдаг.

Хичээлийн үе шатууд ба тэдгээрийн агуулга

Цаг хугацаа

(мин)

үйл ажиллагаа

багш нар

оюутан

1. Зохион байгуулалтын үе шат

зохион байгуулалтын

Оролцогчдыг мэдээлдэг.

2. Зорилгоо тодорхойлох

Өнөөдөр хичээлээр бид экспоненциал ба логарифм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн арга, аргуудыг үргэлжлүүлэн дадлагажуулж, логарифм ба экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бусад аргуудыг авч үзэх болно: энэ бол үл мэдэгдэхийг орлуулах замаар оновчтой тэгш бус байдалд шилжих явдал юм. тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоонд хуваах арга.

Хичээлийн сэдэв, хичээлийн огноо, хичээлийн зорилгыг мэдээлнэ

Тэмдэглэлийн дэвтэрт бичээрэй

3. Гэрийн даалгавраа шалгах

Оюутны хүсэлтээр 3 хүнийг самбарт дуудаж, онолын асуудлаар нүүрэн талын яриа өрнүүлдэг.

Удирдах зөвлөлд дөрвөн хүн ажиллаж, үлдсэн нь онолын судалгаанд оролцдог

Гэрийн даалгаврын хувьд логарифм ба экспоненциал тэгш бус байдлыг хоёр түвшний нарийн төвөгтэй байдлаар шийдэхийг танаас хүссэн. Тэдгээрийн заримын шийдлийг самбар дээр харцгаая

6.49(а); 6.52(г) 6.56(б), 6.54(б).

4. Сурагчдын мэдлэгийг шинэчлэх

Өнгөрсөн хичээл дээр ямар аргуудыг ярилцсанаа санацгаая.

Өнөөдөр бид үл мэдэгдэх шинэ зүйлийг оруулсны дараа оновчтой тэгш бус байдал болж хувирдаг тэгш бус байдлыг авч үзэх болно.

Үүнийг хийхийн тулд A(x) / B(x)>0 хэлбэрийн оновчтой тэгш бус байдлын шийдэл юу болохыг санацгаая? Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ямар аргыг ашигладаг вэ?

5. Сурагчдын мэдлэг, ур чадварыг дээшлүүлэх

хх

Жишээ1)2 - 9 / (2 -1)0

3 мин

x +0.5xx +0.5

3). 25- 710+4>0

3 мин

5). Шинэ зүйлийг нэгтгэх.

Самбар дээр дасгал хийж байна

6.48(.g);6.58(б);6.59(б) - самбар дээр 6.62(в)

Шийдвэрлэх оновчтой аргыг сонгоход чиглүүлнэ. үндэслэлийн зөв эсэх, тэгш бус байдлын шийдлийг зөв бүртгэхийг хянадаг. Ажилдаа үнэлгээ өгдөг

Нэг оюутан самбар дээр шийдвэр гаргадаг. Үлдсэн хэсэг нь дэвтэр дээрээ шийдлийг бичнэ.

6) Ялгаварласан бие даасан ажил (Дэлгэц дээрх даалгавар)

1-р түвшин:

Сонголт 12

No6.48(b);No6.48(e);

No 6.58(a) ;No 6.58(c)

2-р түвшин:

Сонголт 12

No6.61(b);No6.61(d);

No 6.62(c);No 6.62(d).

5 минут

Хажуугийн самбар дээр 2 хүн тус тусад нь ажилладаг. Үлдсэн хэсэг нь талбарт олон түвшний бие даасан ажлыг гүйцэтгэдэг

7) Бие даасан ажлыг шалгах

3 мин

8) Гэрийн даалгавар (дэлгэцэн дээр)

1-р түвшний заалт 6.48 (а. № 6.50);

2-р түвшин: 6.6-р зүйл; 6.59(c); No 6.62 (а) No 158 (х. 168 (а, б) (х. 383);

2 минут

Гэрийн даалгаврыг тайлбарлаж, оюутнуудын анхаарлыг ижил төстэй даалгавруудыг ангид тусгасан болно.

Сүүлийн хоёр даалгаврыг Москвагийн Улсын Их Сургууль болон MTITF-д элсэхэд санал болгосон.

Багшийг анхааралтай сонссоны дараа гэрийн даалгавраа бич. Та хүндрэлийн түвшинг өөрөө сонгоно.

8) Хичээлийг нэгтгэн дүгнэх: Экспоненциал ба логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь сургуулийн математикийн хичээлийн цогц сэдвүүдийн нэгд тооцогддог бөгөөд оюутнуудаас онолын сайн мэдлэгтэй байх, тэдгээрийг практикт хэрэгжүүлэх чадварыг шаарддаг, анхаарал, шаргуу хөдөлмөр, оюун ухаан шаарддаг; Энэ шалтгааны улмаас хичээл дээр яригдсан тэгш бус байдлыг их, дээд сургуулийн танилцуулах шалгалт, төгсөлтийн шалгалтанд оруулсан болно

Бүгдэд нь баярлалаа.

2 минут

Файлууд:
Файлын хэмжээ: 6789120 байт.

Математикийн багш Хотын боловсролын байгууллага - 2-р дунд сургууль, Степное Труфякова Галина Ивановна вэбсайт

Слайд 2

Хичээлийн хураангуй

Экспоненциал тэгш бус байдал нь Математикийн чухал сэдэв юм. С.М.Никольскийн сурах бичигт зааснаар үүнийг 10-р ангид судалж, төлөвлөлтөд судлахад 2 цаг хуваарилдаг: 1 цаг - Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдал; 1 цаг – Үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах замаар тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн болгон бууруулсан. Энэ хугацаанд оюутнуудад шинэ, маш их хэмжээний материалтай танилцах, бүх төрлийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд сургах, эдгээр ур чадвар, чадварыг сайтар дадлагажуулах шаардлагатай байна харилцаа холбооны технологи нь эдгээр асуудлыг хурдан бөгөөд илүү үр дүнтэй шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

Слайд 3

Слайд 4

Альберт Эйнштейн

“Би улс төр, тэгшитгэл, тэгш бус байдлын асуудлыг шийдвэрлэх хооронд цагаа хуваах ёстой. Гэхдээ миний бодлоор тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдэх нь хамаагүй чухал, учир нь улс төр зөвхөн энэ мөчид оршин тогтнож байгаа ч тэгшитгэл, тэгш бус байдал үүрд байх болно."

Слайд 5

Хичээлийн бүтэц

Зохион байгуулалтын мөч Зорилго, зорилт дэвшүүлэх Лекцийн төлөвлөгөө Өмнө нь судалсан материалыг давтах хэлбэрээр сурагчдын мэдлэгийг шинэчлэх Шинэ мэдлэгийг танилцуулах Ярилцлагын хэлбэрээр мэдлэгээ нэгтгэх Хичээлийг дүгнэх Гэрийн даалгавар

Слайд 6

Зохион байгуулах цаг

Сурагчидтай мэндлэх Ангийн бүртгэлд хичээл тасалсан сурагчдын нэрийг тэмдэглэ

Слайд 7

Зорилго, зорилтуудыг тодорхойлох

Хичээлийн эхэнд оюутнуудад лекцийн төлөвлөгөөг танилцуулж, дэвтэртээ бичнэ.

Слайд 8

Хичээлийн зорилго

Боловсрол Экспоненциал тэгш бус байдлын тухай ойлголтыг төлөвшүүлэх Сурагчдыг экспоненциал тэгш бус байдлын төрлүүдтэй танилцуулах Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар, чадварыг бүрдүүлэх

Слайд 9

Боловсрол Шаргуу хөдөлмөрийг төлөвшүүлэх Зорилгодоо хүрэх бие даасан байдлыг төлөвшүүлэх Тооцоолох чадварыг бүрдүүлэх Тэмдэглэл бичихдээ гоо зүйн ур чадварыг төлөвшүүлэх

Слайд 10

Хөгжүүлэлт Сэтгэцийн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх Бүтээлч санаачилгыг хөгжүүлэх Танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх хэл яриа, ой санамжийг хөгжүүлэх

Слайд 11

Хичээлийн зорилго

Экспоненциал функцийн шинж чанарыг эргэн харах Квадрат ба бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх дүрмийг эргэн харах Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмыг боловсруулах Суралцагчдыг экспоненциал тэгш бус байдлын төрлүүдийг ялгаж сургах Суралцагчдыг экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд сургах

Слайд 12

Хичээлийн төрөл

Шинэ мэдлэгийг бий болгох хичээл

Слайд 13

Хичээлийн төрөл

Хичээл - лекц

Слайд 14

Сургалтын арга

Тайлбар ба дүрслэлийн эвристик хайлтын асуудалтай

Слайд 15

Боловсролын технологи

Асуудалд суурилсан сургалтанд суурилсан мэдээлэл харилцааны технологи

Слайд 16

Лекцийн тойм

Экспоненциал функцийн шинж чанаруудын давталт Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдал Хамгийн энгийн болтол бууруулсан экспоненциал тэгш бус байдал Квадрат тэгш бус байдал болгон бууруулсан экспоненциал тэгш бус байдал Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн экспоненциал тэгш бус байдал Хоёрдугаар зэргийн экспоненциал тэгш бус байдал бууруулах экспоненциал тэгш бус байдал- стандарт тэгш бус байдал

Слайд 17

Өмнө нь судалсан материалыг давтах

Самбар болон дэвтэр дээр бодох: a) квадрат тэгш бус байдал: x² – 2x – 1≥0 x² – 2x - 3 ≤0 b) бутархай рационал тэгш бус байдал: (x – 5) \ (x - 2) ≤ 0

Слайд 18

Экспоненциал функцийн шинж чанаруудын давталт

Слайд 19

R дээр монотоноор буурдаг Ox тэнхлэг нь хэвтээ асимптот юм R 8 дээр монотоноор нэмэгддэг. x ба y-ийн аливаа бодит утгын хувьд; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Асимптот 6. Экстрем 5. Монотоник байдал 4. Тэгш, сондгой 3. Функцийн утгуудыг нэгдэлтэй харьцуулах интервалууд 2. Функцийн утгын хүрээ 1 Функцийн тодорхойлолтын хүрээ Экспоненциал функцийн шинж чанарууд Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал функц нь тэгш, сондгой ч биш (ерөнхий хэлбэрийн функц) ч байхгүй.

Слайд 20

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, даалгаврыг шийдвэрлэх арга 1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.

Слайд 21

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, даалгаврыг шийдвэрлэх арга No2 Утгыг тодорхойлно уу

Слайд 22

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Даалгавар No3 Функцийн төрлийг тодорхойл. Өсөх нь буурах, нэмэгдэх нь буурах.

Слайд 23

Шинэ мэдлэгийг нэвтрүүлэх

Слайд 24

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлын ТОДОРХОЙЛОЛТ: Нэгтэй тэнцүү биш эерэг тоог a, өгөгдсөн бодит тоо бол b. Дараа нь ax>b (ax≥b) ба ax тэгш бус байдал

Слайд 25

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Тэгш бус байдлыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Үл мэдэгдэх х-тэй тэгш бус байдлын шийдэл нь x0 тоо бөгөөд энэ нь тэгш бус байдалд орлуулахад жинхэнэ тоон тэгш бус байдлыг үүсгэдэг.

Слайд 26

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх НЬ ЮУ ГЭДЭГ ВЭ? Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэдэг нь түүний бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг харуулах гэсэн үг юм.

Слайд 27

y=ax, a>0, a≠1 функцийн график y=b шулуун шугамын харьцангуй байрлал, тэдгээрийн төрөл, y x y x y=b, b 0 y=b, b> шийдлийн аргуудыг авч үзье. 0 0 1 0 1 x0 x0

Слайд 28

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга ДҮГНЭЛТ No1: b≤0 үед y=b шулуун шугам нь y=ax функцийн графиктай огтлолцохгүй, учир нь y=ax муруйны доор байрлах тул xR-ийн хувьд ax>b(ax≥b) тэгш бус байдал хангагдсан ба ax тэгш бус байдал

Слайд 29

ДҮГНЭЛТ No2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Хэрэв a>1 ба b > 0 бол x1 x0- тус бүрийн хувьд y=b шулууны доор байна. . 1 b> 0-ийн хувьд y = b шулуун нь y = ax функцийн графикийг нэг цэг дээр огтолж, абсцисс нь x0 = логаб байна.

Слайд 30

ДҮГНЭЛТ No2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Хэрэв a>1 ба b > 0 бол x1 >x0 бүрийн хувьд графикийн харгалзах цэг байна. y=ax функц нь y=b шулуунаас дээш байрлах ба x2 0 бүрийн хувьд y = b шулуун нь y = ax функцийн графикийг нэг цэгт огтолж, абсцисс нь x0 = logab x2 байна.

Слайд 31

Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдал Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга

Слайд 32

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Жишээ No 1.1 Хариулт: тодорхойлолтын бүх мужид өсөх, Шийдэл:

Слайд 33

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Жишээ No 1.2 Шийдэл: Хариулт: тодорхойлолтын бүх мужид буурна,

Слайд 34

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Жишээ No 1.3 Шийдэл: Хариулт: тодорхойлолтын бүх мужид өсөх,

Слайд 35

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал тэгш бус байдлын төрөл, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга 1) Экспоненциал тэгш бус байдал, хамгийн энгийн болгон бууруулж, тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгддэг Жишээ №1 Хариулт: Шийдэл:

Слайд 36

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Жишээ No 1.4 Шийдэл: тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгдэх, Хариулт:

Слайд 37

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал тэгш бус байдлын төрөл, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга. Хамгийн энгийн болгон бууруулсан экспоненциал тэгш бус байдал. Жишээ №2. Тодорхойлолтын бүх талбарт нэмэгддэг Хариулт: Шийдэл:

Слайд 38

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал тэгш бус байдлын төрөл, түүнийг шийдвэрлэх арга 2) Экспоненциал тэгш бус байдал, квадрат тэгш бус байдал руу бууруулах Жишээ: Тодорхойлолтын мужаас x хувьсагч бүх x-ийн хувьд нэмэгддэг хувьсагч руу буцъя Хариу: Шийдэл:

Слайд 39

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал тэгш бус байдлын төрөл, түүнийг шийдвэрлэх арга 3) Нэг ба хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн экспоненциал тэгш бус байдал. Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн экспоненциал тэгш бус байдал Жишээ №1 Тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгддэг Хариулт: Шийдэл:

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал тэгш бус байдлын төрөл, түүнийг шийдвэрлэх арга 4) Экспоненциал тэгш бус байдал, рационал тэгш бус байдал руу бууруулах Жишээ: Тодорхойлолтын бүх мужийг нэмэгдүүлэх x хувьсагч руу буцъя Хариулт: Шийдэл:

Слайд 43

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал тэгш бус байдлын төрөл, түүнийг шийдвэрлэх арга 5) Экспоненциал стандарт бус тэгш бус байдал Жишээ Шийдэл: Олонлогийн өгүүлбэр бүрийг тусад нь шийдье. Тэгш бус байдал нь нийлбэртэй тэнцүү

Слайд 44

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга Экспоненциал тэгш бус байдлын төрөл, шийдвэрлэх арга 5) Экспоненциал стандарт бус тэгш бус байдал Жишээ Хариулт: Шийдэл: Шалгах Шалгалтаар x=1, x=3, x=1.5-ын шийдэл болохыг харуулсан. тэгшитгэл, x=2 нь тэгшитгэлийн шийдэл биш юм. Тэгэхээр,

Слайд 45

Мэдлэгийг нэгтгэх

Ямар тэгш бус байдлыг экспоненциал гэж нэрлэдэг вэ? Хэзээ экспоненциал тэгш бус байдал x-ийн дурын утгын шийдэлтэй байх вэ? Хэзээ экспоненциал тэгш бус байдлын шийдэлгүй болох вэ? Энэ хичээлээр та ямар төрлийн тэгш бус байдлын талаар олж мэдсэн бэ? Хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийддэг вэ? Квадрат тэгш бус байдал руу буурдаг тэгш бус байдлыг хэрхэн шийддэг вэ? Нэг төрлийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийддэг вэ? Оновчтой болгон бууруулж болох тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэдэг вэ?

Слайд 46

Хичээлийн хураангуй

Энэ хичээлээр шинэ сурагчид юу сурсныг олж мэдээрэй. Хичээл дээр хийсэн ажлынхаа талаар сурагчдад дэлгэрэнгүй тайлбарын хамт үнэлгээ өгнө үү.

Слайд 47

Гэрийн даалгавар

10-р ангийн сурах бичиг “Алгебр ба анализын эхлэл” зохиогч С.М.

Слайд 48

Экспоненциал тэгш бус байдал, тэдгээрийн төрөл, шийдвэрлэх арга

Сэдэв 6. Экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал (11 цаг)
Хичээлийн сэдэв. Үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах замаар тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн болгон бууруулсан.
Хичээлийн зорилго: Экспоненциал ба логарифм тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн болгон бууруулах, үл мэдэгдэхийг орлуулах замаар шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх.
Даалгаварууд:
Боловсрол: "Хамгийн энгийн экспоненциал ба логарифм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх" сэдвээр мэдлэгээ давтаж, нэгтгэх, орлуулах аргыг ашиглан логарифм ба экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэж сурах.
Хөгжүүлэлт: оюутны хоёр төрлийн тэгш бус байдлыг тодорхойлох, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг тодорхойлох чадварыг хөгжүүлэх (логик ба зөн совингийн сэтгэлгээ, дүгнэлтийг зөвтгөх, ангилах, харьцуулах), өөрийгөө хянах, өөрийгөө шалгах чадварыг хөгжүүлэх, хөдөлгөөн хийх чадварыг хөгжүүлэх. өгөгдсөн алгоритмын дагуу олж авсан үр дүнг үнэлэх, засах.
Боловсролын: оюутнуудын ийм чанаруудыг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх: бие биенээ сонсох чадвар; харилцан хяналт, өөрийгөө үнэлэх чадвар.
Хичээлийн төрөл: хосолсон.
Сурах бичиг Алгебр 10-р ангийн S.M. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, A.V. Шевкин
Хичээлийн үеэр
Зохион байгуулах цаг.
Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.
Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх.
Урд тал:
1. Ямар тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг вэ?
2. Энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэхийн утгыг тайлбарла.
3. Ямар тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн логарифмын тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг вэ?
4. Энгийн логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэхийн утгыг тайлбарла.
Самбар дээр бичгээр (тус бүр 1 оюутан):
Тэгш бус байдлыг шийдэх
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Шинэ материалын тайлбар, түүнийг үе шаттайгаар бэхжүүлэх.
1.1. Шинэ материалын тайлбар.
1. Тэгш бус байдлыг шийд:
2х2-3х<14Пусть х2-3х=t, тогда
2т<142t<2-2т. к. основание 2>1, тэгвэл
т<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Бид "−−" тэмдгийг сонирхож байна
Хариулт:x∈(1;2)
2. Тэгш бус байдлыг шийд

1.2. Алхам алхмаар нэгтгэх.
№ 6.49(а, в).
No 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Хариулт: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Хариулт: -15;1г) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Хариулт: -2;-1∪3;42.1. Шинэ материалын тайлбар.
3. Тэгш бус байдлыг шийд

Дараа нь 1 тэгш бус байдал нь бүх x, хоёр дахь нь утга учиртай болно

2.2. Алхам алхмаар нэгтгэх.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх No6.56(c)
3.1. Шинэ материалын тайлбар.
4. Тэгш бус байдлыг шийд

3.2. Алхам алхмаар нэгтгэх.
6.60(a) тэгш бус байдлыг шийд
Хичээлийг дүгнэж байна.
Тусгал.
Гэрийн даалгавар.
P. 6.6
№ 6.49 (b, d)
№ 6.52 (а, б)
№ 6.56 (d)
№ 6.60 (б)

Хавсаргасан файлууд