Lakaran graf fungsi. Lakaran graf fungsi (menggunakan contoh fungsi pecahan-kuadrat). Perlindungan maklumat peribadi

1. Metodologi untuk membina lakaran graf fungsi

2. Penyelesaian contoh No. 1

3. Penyelesaian contoh No. 2

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Perlindungan maklumat peribadi

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat


Memplot graf fungsi. . . . . . . . . . . .
1. Rancang untuk mengkaji fungsi semasa membina graf. .
2. Konsep asas dan peringkat penyelidikan fungsi. . . .
1. Domain bagi fungsi D f dan set
nilai fungsi E f . Ciri khas
fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Kajian asimtot. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Asimtot menegak. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Asimtot serong (mendatar). . . . . . .
2.3. Kaedah untuk mengkaji asimtot bukan menegak. .
2.4. Kedudukan relatif graf fungsi
dan asimtotnya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Melakar graf fungsi. . . . . . . . . .
4. Bahagian peningkatan dan penurunan fungsi
Mata minimum dan maksimum. . . . . . . . . . . . . . .
5. Fungsi cembung naik dan turun
Titik infleksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Pembezaan fungsi, analitikal
yang ungkapannya mengandungi modul. . . . . . . . . . . . .
4. Keperluan asas untuk hasil penyelidikan
dan merancang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Contoh penyelidikan dan pembinaan fungsi
graf fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Melukis lengkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Rancangan untuk penyelidikan dan pembinaan lengkung. . . . . . . . . .

2. Konsep asas dan peringkat penyelidikan lengkung. . . . .
	Kajian fungsi x x t dan y y t. . . . . . .
	Penggunaan hasil kajian x x t . .
2.1. Asimtot menegak lengkung. . . . . . . . . . .
2.2. Asimtot lengkung (mendatar) condong. .
	Analisis keputusan dan pembinaan lakaran
grafik fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Bahagian keluk meningkat dan menurun
Titik minimum dan maksimum fungsi
x x y dan y y x , titik cusp lengkung. . . . . . .
	Fungsi cembung naik dan turun. Titik infleksi. .
3. Pembinaan lengkung yang ditentukan secara parametrik. . . . . .
Contoh 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masalah untuk penyelesaian bebas. . . . . .
Jawapan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fungsi graf

1. Rancang untuk mengkaji fungsi semasa memplot graf

1. Cari domain takrifan fungsi. Selalunya berguna untuk mempertimbangkan pelbagai nilai fungsi. Teroka sifat istimewa fungsi: genap, ganjil; berkala, sifat simetri.

2. Terokai asimtot graf fungsi: menegak, serong. Menganalisis kedudukan relatif graf fungsi dan asimtotnya yang condong (mendatar).

3. Lukiskan lakaran graf.

4. Cari kawasan kemonotonan fungsi: meningkat dan berkurangan. Cari extrema fungsi: minimum dan maksimum.

Cari terbitan sebelah pada titik ketakselanjaran terbitan fungsi dan pada titik sempadan domain takrif fungsi (jika terbitan satu sisi wujud).

5. Cari selang kecembungan fungsi dan titik infleksi.

2. Konsep asas dan peringkat penyelidikan fungsi

1. Domain fungsi D f dan banyak makna

tion bagi fungsi E f . Ciri Fungsi Khas

Tunjukkan domain takrifan fungsi, tandakannya pada paksi absis dengan titik sempadan dan titik tebuk, dan nyatakan absis titik ini. Mencari domain definisi fungsi tidak perlu.

Ia tidak perlu mencari nilai fungsi berbilang. Sifat satu set nilai yang mudah dikaji: bukan negatif, sempadan dari bawah atau atas, dsb., digunakan untuk membina lakaran graf, mengawal hasil kajian dan ketepatan graf.

x suka

Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi ordinat Oy. Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan. Fungsi genap dan ganjil diperiksa pada separuh positif domain definisi.

Fungsi berkala dikaji pada satu tempoh, dan

Carta ditunjukkan pada 2-3 tempoh.
2. Kajian asimtot
2.1. Asimtot menegak
Definisi 1.				x x0		dipanggil		menegak
asimtot graf fungsi				y f x ,			jika selesai
salah satu syarat:			lim f x 1				lim f x .
			x x0 0				x x0 0
2.2. Asimtot serong (mendatar).

noah) asimtot graf fungsi					y f x pada x,
lim f x kx b 0 .
					pada x
	takrifan asimtot
klim		b lim f x kx . Mengira yang sepadan


had, kita memperoleh persamaan asimtot y kx b .
Pernyataan yang serupa adalah benar dalam kes apabila

Jika k 0, maka asimtot dipanggil serong.
k 0 , kemudian asimtot			y b dipanggil mendatar.
Konsep condong dan mendatar diperkenalkan sama.
asimtot graf bagi fungsi y f x						pada x.

2.3. Kaedah untuk mengkaji asimtot bukan menegak Kajian asimtot untuk x dan untuk

peraturan itu dijalankan secara berasingan.

1 Kami akan menggunakan simbol untuk bermaksud pemenuhan satu kes, sama ada

Dalam sesetengah kes khas, adalah mungkin untuk mengkaji bersama asimtot pada x dan pada x, sebagai contoh, untuk

1) fungsi rasional;

2) fungsi genap dan ganjil, untuk graf yang mana kajian boleh dijalankan pada sebahagian daripada domain definisi.

Kaedah untuk memilih bahagian utama. Untuk mencari asimtot, pilih bahagian utama fungsi di x. Begitu juga untuk x.

Bahagian utama fungsi rasional pecahan Mudah dicari dengan menyerlahkan keseluruhan bahagian pecahan:

Contoh 1. Cari asimtot condong bagi graf fungsi

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 pada	x , kemudian lurus

Mei y 2 x 5 ialah asimtot yang dikehendaki. ◄

Bahagian utama fungsi tidak rasional apabila menyelesaikan contoh praktikal, adalah mudah untuk mencari menggunakan kaedah mewakili fungsi dengan formula Taylor untuk x.

Contoh 2. Cari asimtot serong bagi graf fungsi

x4 3 x 1

pada x.

x 4 o1

untuk x, maka garis lurus		y x 4 ialah asimtot yang dikehendaki.

		tidak rasional
		f x 3		mudah dicari
	ax2 bx c dan		ax3 bx2 cx d

gunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap atau kubus lengkap ungkapan radikal, masing-masing.

Contoh 3. Cari asimtot condong bagi graf bagi fungsi f x x 2 6 x 14 untuk x dan x.

Dalam ungkapan radikal, kami memilih segi empat sama lengkap

x 3 2

5 . Sejak graf fungsi

f x adalah simetri

relatif kepada garis lurus x 3 dan

maka f x ~

pada x.

x 3 2 5

Jadi ia lurus

y x 3 ialah

asimtot pada x, dan garis lurus y 3 x

Asimtot pada

x. ◄

Untuk mencari asimtot, anda boleh menggunakan kaedah mengasingkan bahagian utama.

Contoh 4. Cari asimtot bagi graf bagi fungsi f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

Itulah fungsinya

mempunyai asimtot

y 2 x

dan asimtot

y 2 x

pada x .◄

Untuk fungsi transendental kedua-dua kaedah boleh diterima

mengikuti asimtot apabila menyelesaikan contoh praktikal.

Catatan 1. Apabila mengkaji asimtot tidak rasional, fungsi transendental, dan fungsi yang ungkapan analitiknya mengandungi modul, Adalah dinasihatkan untuk mempertimbangkan dua kes: x dan x. Kajian bersama asimtot pada x dan pada x boleh membawa kepada ralat dalam kajian. Apabila mencari had atau bahagian utama x, adalah perlu untuk menukar pembolehubah x t.

2.4. Kedudukan relatif graf fungsi dan asimtotnya

a) Jika fungsi y f x mempunyai asimtot pada x,

boleh dibezakan dan cembung ketat ke bawah pada sinar x x 0, kemudian graf

fiksyen fungsi terletak di atas asimtot (Rajah 1.1).

b) Jika fungsi y f x mempunyai asimtot pada x,

boleh dibezakan dan cembung ketat ke atas pada sinar x x 0, kemudian

graf fungsi terletak di bawah asimtot (Rajah 1.2).

c) Mungkin terdapat kes tingkah laku lain bagi graf fungsi kerana ia cenderung kepada asimtot. Sebagai contoh, ada kemungkinan bahawa graf fungsi bersilang dengan asimtot dalam bilangan kali yang tidak terhingga (Rajah 1.3 dan 1.4).

Pernyataan yang serupa adalah benar untuk x.

Sebelum mengkaji sifat kecembungan graf fungsi, kedudukan relatif graf fungsi dan asimtotnya boleh ditentukan dengan tanda o 1 dalam kaedah mengasingkan bahagian utama.

Contoh 5. Tentukan kedudukan relatif graf

fungsi f x 2 x 2 3 x 2 dan asimtotnya. x 1

0 pada x, maka graf fungsi terletak di bawah asimptotik

anda y 2 x 5 . ◄

Contoh 6. Tentukan kedudukan relatif graf

fungsi f x

x4 3 x 1

dan asimtotnya untuk x.

x 2 1

Daripada kesamarataan

x ia berikutan bahawa graf fungsi terletak di bawah asimtot y x 4 . ◄

Contoh 7. Tentukan kedudukan relatif graf bagi fungsi f x x 2 6 x 14 dan asimtotnya.

Oleh kerana f x x 3 (lihat contoh 3), maka

x 3 2 5 x 3

graf fungsi terletak di atas asimtot y x 3 pada x dan pada x. ◄

Contoh 8. Tentukan kedudukan relatif graf

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 dan asimtotnya.

sebagai x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6 , kemudian gunakan

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , kita dapat f x x 2

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

perbezaannya adalah positif pada x

dan negatif pada x

Oleh itu, pada x, graf fungsi terletak di bawah asimtot y x 2, dan pada x, di atas asimtot y x 2.◄

Kaedah untuk mengira had untuk mengkaji asimtot tidak membenarkan seseorang menganggar kedudukan relatif graf fungsi dan asimtotnya.

3. Melakar graf fungsi Untuk membina lakaran graf, menegak dan

asimtot senget, titik persilangan graf fungsi dengan paksi. Dengan mengambil kira kedudukan relatif graf bagi fungsi dan asimtot, satu lakaran graf dibina. Jika graf fungsi terletak di atas (di bawah) asimtot pada x, maka, andaikan bahawa

terdapat titik x 0 sehingga di antara titik x x 0 tidak ada titik infleksi,

kita dapati bahawa fungsi adalah cembung ke bawah (atas), iaitu, kepada asimtot. Begitu juga, seseorang boleh meramalkan arah kecembungan kepada asimtot untuk asimtot menegak dan untuk asimtot pada x. Walau bagaimanapun, seperti yang ditunjukkan oleh contoh di atas

fungsi y x sin 2 x , andaian sedemikian mungkin bukan x

4. Bidang peningkatan dan penurunan fungsi. Mata minimum dan maksimum

Definisi 3.	Fungsi f x dipanggil	semakin meningkat
(menurun) pada selang a, b, jika ada		x1 , x2 a, b ,
supaya x 1 x 2	terdapat ketidaksamaan	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

Fungsi f x boleh dibezakan pada selang a, b

cair (berkurang) pada selang a, b, jika dan hanya jika

fungsi f x .

Keadaan yang perlu untuk ekstrem. Jika

mata bekas-

tremum bagi fungsi f x , maka pada titik ini sama ada

f x 0 0 , atau

derivatif tidak wujud.

Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem.

f x pembezaan

1. Biarkan wujud 0 supaya fungsi itu

boleh dipancarkan dalam -kejiranan tertusuk titik x 0

dan berterusan

pada titik x 0 . Kemudian,

a) jika derivatifnya berubah tanda tolak kepada tambah apabila semula

kemajuan melalui titik		x 0 ,

			x x 0 , x 0 , maka x 0 ialah titik maksimum
	x 0 untuk mana-mana
fungsi f x ;
	b) jika terbitannya berubah tanda tambah kepada tolak apabila semula
kemajuan melalui titik		x 0 ,
			mereka. f x 0 untuk sebarang x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , maka x 0 ialah titik minimum
	x 0 untuk mana-mana

fungsi f x .

Contoh model termasuk y x (Rajah 2.1) dan

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama anda, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses tanpa kebenaran, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan.

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat teknik membina lakaran graf fungsi dan memberikan contoh penjelasan.

Topik: Pengulangan

Pelajaran: Melakar graf fungsi (menggunakan contoh fungsi pecahan-kuadrat)

Matlamat kami adalah untuk melakar graf bagi fungsi kuadratik pecahan. Sebagai contoh, mari kita ambil fungsi yang kita sudah biasa dengan:

Fungsi pecahan diberikan, pengangka dan penyebutnya mengandungi fungsi kuadratik.

Teknik lakaran adalah seperti berikut:

1. Pilih selang tanda malar dan tentukan tanda fungsi pada setiap (Rajah 1)

Kami meneliti secara terperinci dan mendapati bahawa fungsi yang berterusan dalam ODZ boleh menukar tanda hanya apabila hujah melepasi akar dan titik putus ODZ.

Fungsi y yang diberikan adalah berterusan dalam ODZnya;

Mari cari akarnya:

Mari kita serlahkan selang ketekalan tanda. Kami telah menemui punca fungsi dan titik putus domain definisi - punca penyebut. Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam setiap selang fungsi mengekalkan tandanya.

nasi. 1. Selang tanda malar bagi suatu fungsi

Untuk menentukan tanda fungsi pada setiap selang, anda boleh mengambil mana-mana titik kepunyaan selang, menggantikannya ke dalam fungsi dan menentukan tandanya. Sebagai contoh:

Pada selang fungsi mempunyai tanda tambah

Pada selang waktu, fungsi mempunyai tanda tolak.

Ini ialah kelebihan kaedah selang: kami menentukan tanda pada satu titik percubaan dan membuat kesimpulan bahawa fungsi itu akan mempunyai tanda yang sama sepanjang keseluruhan selang yang dipilih.

Walau bagaimanapun, anda boleh menetapkan tanda secara automatik, tanpa mengira nilai fungsi, untuk melakukan ini, tentukan tanda pada selang yang melampau, dan kemudian gantikan tanda tersebut.

1. Mari bina graf di sekitar setiap punca. Ingat bahawa punca fungsi ini dan:

nasi. 2. Graf di sekitar akar

Oleh kerana pada satu ketika tanda fungsi berubah dari tambah kepada tolak, lengkung pertama berada di atas paksi, kemudian melalui sifar dan kemudian terletak di bawah paksi x. Ia adalah sebaliknya pada titik.

2. Mari bina graf di sekitar setiap ketakselanjaran ODZ. Ingat bahawa punca penyebut fungsi ini dan :

nasi. 3. Graf fungsi di sekitar titik ketakselanjaran ODZ

Apabila atau penyebut pecahan boleh dikatakan sama dengan sifar, ini bermakna apabila nilai hujah cenderung kepada nombor ini, nilai pecahan cenderung kepada infiniti. Dalam kes ini, apabila hujah menghampiri tiga kali ganda di sebelah kiri, fungsinya adalah positif dan cenderung kepada tambah infiniti, di sebelah kanan fungsi adalah negatif dan melangkaui tolak infiniti. Sekitar empat, sebaliknya, di sebelah kiri fungsi cenderung kepada tolak infiniti, dan di sebelah kanan ia meninggalkan tambah infiniti.

Mengikut lakaran yang dibina, kita boleh meneka sifat kelakuan fungsi dalam beberapa selang.

nasi. 4. Lakaran graf fungsi

Mari kita pertimbangkan tugas penting berikut - untuk membina lakaran graf fungsi di sekitar titik pada infiniti, iaitu, apabila hujah cenderung kepada tambah atau tolak infiniti. Dalam kes ini, istilah tetap boleh diabaikan. Kami ada:

Kadangkala anda boleh menemui rakaman fakta ini:

nasi. 5. Lakaran graf fungsi dalam persekitaran titik pada infiniti

Kami telah memperoleh kelakuan anggaran fungsi ke atas keseluruhan domain definisinya, maka kami perlu memperhalusi pembinaan menggunakan derivatif.

Contoh 1 - lakar graf fungsi:

Kami mempunyai tiga titik di mana fungsi boleh menukar tanda apabila hujah berlalu.

Kami menentukan tanda-tanda fungsi pada setiap selang. Kami mempunyai tambah pada selang kanan yang melampau, kemudian tanda-tanda bergantian, kerana semua akar mempunyai darjah pertama.

Kami membina lakaran graf di sekitar punca dan titik putus ODZ. Kami mempunyai: kerana pada satu ketika tanda fungsi berubah dari tambah kepada tolak, lengkung pertama di atas paksi, kemudian melalui sifar dan kemudian terletak di bawah paksi x. Apabila atau penyebut pecahan boleh dikatakan sama dengan sifar, ini bermakna apabila nilai hujah cenderung kepada nombor ini, nilai pecahan cenderung kepada infiniti. Dalam kes ini, apabila hujah menghampiri tolak dua di sebelah kiri, fungsi adalah negatif dan cenderung kepada tolak infiniti, di sebelah kanan fungsi adalah positif dan meninggalkan tambah infiniti. Lebih kurang dua adalah sama.

Mari cari terbitan fungsi:

Jelas sekali, terbitan sentiasa kurang daripada sifar, oleh itu, fungsi berkurangan dalam semua bahagian. Jadi, dalam bahagian daripada tolak infiniti kepada tolak dua, fungsi berkurangan daripada sifar kepada tolak infiniti; dalam bahagian dari tolak dua hingga sifar, fungsi berkurangan daripada tambah infiniti kepada sifar; dalam bahagian dari sifar hingga dua, fungsi berkurangan dari sifar kepada tolak infiniti; dalam bahagian daripada dua hingga tambah infiniti, fungsi berkurangan daripada tambah infiniti kepada sifar.

Mari kita gambarkan:

nasi. 6. Lakaran graf fungsi contohnya 1

pada x, kemudian gra-

y 2 x 5 . Kerana

fungsi fiksyen terletak

di atas asimtot

Contoh 2 - lakar graf fungsi:

Kami membina lakaran graf fungsi tanpa menggunakan derivatif.

Pertama, mari kita periksa fungsi yang diberikan:

Kami mempunyai satu titik di mana fungsi boleh menukar tanda apabila hujah berlalu.

Perhatikan bahawa fungsi yang diberikan adalah ganjil.

Kami menentukan tanda-tanda fungsi pada setiap selang. Kami mempunyai tambah pada selang paling kanan, kemudian tanda berubah, kerana akar mempunyai darjah pertama.

Kami membina lakaran graf di sekitar punca. Kami mempunyai: kerana pada satu ketika tanda fungsi berubah dari tolak kepada tambah, lengkung pertama berada di bawah paksi, kemudian melalui sifar dan kemudian terletak di atas paksi-x.

Sekarang kita membina lakaran graf fungsi di sekitar titik pada infiniti, iaitu, apabila hujah cenderung kepada tambah atau tolak infiniti. Dalam kes ini, istilah tetap boleh diabaikan. Kami ada:

Selepas melakukan tindakan di atas, kita sudah membayangkan graf fungsi, tetapi kita perlu menjelaskannya menggunakan derivatif.

“Masalah terbitan” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Bagaimana anda membayangkan kelajuan serta-merta? Masalah halaju serta-merta. y. Bagaimana anda membayangkan kelajuan serta-merta? ?X=x-x0. Apa yang telah diperkatakan ditulis dalam borang. Pertama, kami menentukan "wilayah" penyelidikan kami. A l g o r i t m Kelajuan v meningkat secara beransur-ansur.

"Kajian fungsi terbitan" - Meriam menembak pada sudut ke arah mendatar. Pilihan 1 A B D Pilihan 2 G B B. Institusi Pendidikan Perbandaran Guru Matematik Sekolah Menengah Meshkovskaya Kovaleva T.V. Fungsi ditakrifkan pada segmen [-4;4] . Bagaimanakah derivatif dan fungsi berkaitan? Jawapan: MENGGUNAKAN TERBITAN KEPADA KAJIAN FUNGSI: fungsi meningkat dan menurun. TUGASAN Ingat cerita tentang Baron Munchausen?

"Terbitan fungsi kompleks" - Fungsi kompleks. Peraturan untuk mencari terbitan bagi fungsi kompleks. Terbitan fungsi mudah. Terbitan fungsi kompleks. Fungsi kompleks: Contoh:

“Aplikasi terbitan kepada kajian fungsi” - 6. -1. 8. Kenal pasti titik genting fungsi menggunakan graf terbitan fungsi tersebut. 1. =. 1 Julai 1646 - 14 November 1716, Memanaskan Badan. Tanda peningkatan dan penurunan fungsi. Tentukan tanda terbitan bagi fungsi pada selang.

"Pelajaran tentang terbitan fungsi kompleks" - Terbitan bagi fungsi kompleks. Hitung kelajuan titik: a) pada masa t; b) pada masa t=2 s. Cari terbitan bagi fungsi: , Jika. Brooke Taylor. Cari pembezaan fungsi: Apakah nilai x yang dipegang oleh kesamaan. Titik bergerak secara rectilinear mengikut hukum s(t) = s(t) = (s ialah laluan dalam meter, t ialah masa dalam saat).

“Takrif terbitan” - 1. Bukti: f(x+ ?x). Biarkan u(x), v(x) dan w(x) menjadi fungsi boleh beza dalam beberapa selang (a; b), C ialah pemalar. f(x). Persamaan garis lurus dengan pekali sudut: Menggunakan formula binomial Newton kita ada: Teorem. Kemudian: Terbitan bagi fungsi kompleks.

Terdapat 31 pembentangan kesemuanya

Dalam pelajaran ini kita akan melihat teknik membina lakaran graf fungsi dan memberikan contoh penjelasan.

Topik: Pengulangan

Pelajaran: Melakar graf fungsi (menggunakan contoh fungsi pecahan-kuadrat)

Matlamat kami adalah untuk melakar graf bagi fungsi kuadratik pecahan. Sebagai contoh, mari kita ambil fungsi yang kita sudah biasa dengan:

Fungsi pecahan diberikan, pengangka dan penyebutnya mengandungi fungsi kuadratik.

Teknik lakaran adalah seperti berikut:

1. Pilih selang tanda malar dan tentukan tanda fungsi pada setiap (Rajah 1)

Kami meneliti secara terperinci dan mendapati bahawa fungsi yang berterusan dalam ODZ boleh menukar tanda hanya apabila hujah melepasi akar dan titik putus ODZ.

Fungsi y yang diberikan adalah berterusan dalam ODZnya;

Mari cari akarnya:

nasi. 1. Selang tanda malar bagi suatu fungsi

Untuk menentukan tanda fungsi pada setiap selang, anda boleh mengambil mana-mana titik kepunyaan selang, menggantikannya ke dalam fungsi dan menentukan tandanya. Sebagai contoh:

Pada selang fungsi mempunyai tanda tambah

Pada selang waktu, fungsi mempunyai tanda tolak.

Ini ialah kelebihan kaedah selang: kami menentukan tanda pada satu titik percubaan dan membuat kesimpulan bahawa fungsi itu akan mempunyai tanda yang sama sepanjang keseluruhan selang yang dipilih.

Walau bagaimanapun, anda boleh menetapkan tanda secara automatik, tanpa mengira nilai fungsi, untuk melakukan ini, tentukan tanda pada selang yang melampau, dan kemudian gantikan tanda tersebut.

1. Mari bina graf di sekitar setiap punca. Ingat bahawa punca fungsi ini dan:

nasi. 2. Graf di sekitar akar

2. Mari bina graf di sekitar setiap ketakselanjaran ODZ. Ingat bahawa punca penyebut fungsi ini dan :

nasi. 3. Graf fungsi di sekitar titik ketakselanjaran ODZ

Mengikut lakaran yang dibina, kita boleh meneka sifat kelakuan fungsi dalam beberapa selang.

nasi. 4. Lakaran graf fungsi

Mari kita pertimbangkan tugas penting berikut - untuk membina lakaran graf fungsi di sekitar titik pada infiniti, i.e. apabila hujah cenderung kepada tambah atau tolak infiniti. Dalam kes ini, istilah tetap boleh diabaikan. Kami ada:

Kadangkala anda boleh menemui rakaman fakta ini:

nasi. 5. Lakaran graf fungsi dalam persekitaran titik pada infiniti

Kami telah memperoleh kelakuan anggaran fungsi ke atas keseluruhan domain definisinya, maka kami perlu memperhalusi pembinaan menggunakan derivatif.

Contoh 1 - lakar graf fungsi:

Kami mempunyai tiga titik di mana fungsi boleh menukar tanda apabila hujah berlalu.

Kami menentukan tanda-tanda fungsi pada setiap selang. Kami mempunyai tambah pada selang kanan yang melampau, kemudian tanda-tanda bergantian, kerana semua akar mempunyai darjah pertama.

Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita gambarkan:

nasi. 6. Lakaran graf fungsi contohnya 1

Contoh 2 - lakar graf fungsi:

Kami membina lakaran graf fungsi tanpa menggunakan derivatif.

Pertama, mari kita periksa fungsi yang diberikan:

Kami mempunyai satu titik di mana fungsi boleh menukar tanda apabila hujah berlalu.

Perhatikan bahawa fungsi yang diberikan adalah ganjil.

Kami menentukan tanda-tanda fungsi pada setiap selang. Kami mempunyai tambah pada selang paling kanan, kemudian tanda berubah, kerana akar mempunyai darjah pertama.

Sekarang kita membina lakaran graf fungsi di sekitar titik pada infiniti, i.e. apabila hujah cenderung kepada tambah atau tolak infiniti. Dalam kes ini, istilah tetap boleh diabaikan. Kami ada:

Selepas melakukan tindakan di atas, kita sudah membayangkan graf fungsi, tetapi kita perlu menjelaskannya menggunakan derivatif.

Mari cari terbitan fungsi:

Kami memilih selang tanda malar terbitan: pada . ODZ di sini. Oleh itu, kita mempunyai tiga selang tanda malar terbitan dan tiga bahagian monotonisitas fungsi asal. Mari kita tentukan tanda-tanda terbitan pada setiap selang. Bila derivatif adalah positif, fungsi meningkat; apabila terbitan negatif, fungsinya berkurangan. Dalam kes ini - titik minimum, kerana tanda perubahan terbitan daripada tolak kepada tambah; sebaliknya, titik maksimum.