Koordinatlinje (talllinje), koordinatstråle. Notater om matematikk "rekonstruksjon av opprinnelsen til en koordinatstråle og et enhetssegment fra koordinater" Tegn en koordinatstråle

Emne: Koordinater på bjelken.

Leksjonens mål:

• å utvikle evnen til å bestemme koordinater på en numerisk linje med et gitt enhetssegment;
• utvikle evnen til å registrere koordinatene til alle punkter;
• trene ferdighetene til å kompetent konstruere koordinerte stråler.

I løpet av timene

I. Selvbestemmelse for aktivitet.

Barn jobber stående.

- La oss gjøre oss klare til jobb. Lukk øynene dine. Klapp deg selv på hodet, i ansiktet, ønsk deg selv å tenke klart, huske bestemt og være oppmerksom, som etterretningsoffiserer. Gi deg selv en stor klem og kjærlighet. Åpne øynene og gjenta etter meg:

Jeg har veldig lyst til å studere!
Jeg er klar for vellykket arbeid!
Jeg gjør en kjempejobb!

– Hva lærte du i tidligere leksjoner? (Skalaer. Numerisk stråle.)

– I dag skal vi fortsette dette interessante arbeidet.

– Vi må klatre enda et trinn på Kunnskapsstigen for å lære et nytt konsept knyttet til tallstrålen.

II. Oppdatere kunnskap og motivasjon.

a) – Hjemme burde du ha bygget en talllinje og på den notert resultatene av å måle lengdene på sidene til en lignende polygon, ordne dem i stigende rekkefølge.

For eksempel: sidene til en polygon er like:

3 cm, 6 cm, 9 cm, 12 cm, 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm, 27 cm.

– Vis meg: hva gjorde du?

Hvem hadde noen vanskeligheter?

(Barn viser ark med oppgaven.)

– Hvilke interessante ting la du merke til? (Tall som er multipler av 3.)

– Hvilken kunnskap brukte du da du konstruerte tallbjelken?

(1. Tallet 0 er begynnelsen av strålen. 2. Det ble lagt ut like enhetssegmenter på tallstrålen. 3. Avstanden fra hvert punkt på tallstrålen til begynnelsen av tellingen er lik tallet som tilsvarer dette punktet.)

– Hvilke handlinger lar tallstrålen deg utføre?

(Tegn et hvilket som helst tall; legg til, trekk fra og sammenlign tall).

– Tegn deretter et blandet tall på talllinjen din.

(Barn setter seg ned, 1 elev viser på tavlen eller på en demonstrasjonsprøve.)

– Hva skal til for dette?

(Ta 15 hele enhetssegmenter, og del det 16. i 3 like deler, men ta bare 1 av de tre.)

b) – Og nå vil jeg gi deg "nøkkelen" for å finne ut et nytt konsept som står på neste trinn på kunnskapsstigen.

– For å gjøre dette, sett bokstavene på talllinjen som tilsvarer tallene i denne tabellen og les det resulterende ordet:

– Så, på neste trinn av Kunnskapsstigen, "dukker det opp" et nytt konsept - "koordinat", den numeriske strålen som vi nå må finne ut betydningen av. skala

c) – Jeg foreslår at du fullfører følgende oppgave på individuelle stykker papir:

"I løpet av 1 minutt, bestem og skriv ned koordinatene til punktene A, B, C, D i et gitt rektangulært vindu." Du kan finne opp din egen opptaksmetode...

– Den som fullførte oppgaven – stå på!

Hva slags opptak gjorde du? Vis på tavlen...

(Flere elever viser alternativene sine.)

– Hvordan er det mulig: det var én oppgave, men opptaksalternativene viste seg å være forskjellige?

Hvilken kunnskap brukte du ved opptak?

III. Sette en læringsoppgave.

(Barn jobber stående.)

– Hvordan skiller denne oppgaven seg fra den forrige, når du markerte forskjellige tall på tallinjen? (Det var ikke nødvendig å bestemme og registrere koordinatene til punktene.)

– Så hva var egentlig problemet? Hvorfor ble opptakene annerledes?

(De forsto ikke betydningen av ordet "koordinere"; de visste ikke hvordan de skulle skrive det ned riktig; de hadde ikke tid...)

– Hva er hensikten med leksjonen vår? (Eller hva skal vi lære?)

(Tydeliggjør betydningen av begrepet "koordinat" til et punkt; lær å bestemme og skrive ned koordinatene til alle punkter).

- Formuler temaet for leksjonen... (en lapp vises på tavlen): Koordinater på strålen.

- Bra gjort!

– Og på neste trinn av leksjonen vår vil vi avklare betydningen av begrepet "koordinat" og lære hvordan du skriver ned koordinatene til alle punkter.

IV. «Oppdagelse» av ny kunnskap av barn.

a) – Så hvem eller hva er din første assistent i tilfelle vanskeligheter?

(Ordbok, lærebok, lærer, kunnskap fra tidligere leksjoner...)

– Har du hørt uttrykket: «Leave your coordinates»? Hva betyr det?

(Legg igjen adressen din. Gi telefonnummeret ditt.)

– Så, vi snakker om...hva?...( Om plasseringen.)

– Hva brukes til å registrere en adresse? (Antall).

– Så hva er "koordinaten" til et punkt?

(Dette er et tall som indikerer plasseringen av et punkt på talllinjen, dvs. "adressen" til punktet.)

– Så vi fant ut betydningen av ordet «koordinat». De som ønsker kan sjekke den forklarende ordboken i pausen! (Den forklarende ordboken ligger på lærerens skrivebord.)

b) – La oss gå tilbake til oppgaven vår: "Bestem og skriv ned koordinatene til punktene A, B, C, D."

– Den som fullførte oppgaven riktig, hjelp de som gjorde feil i den: forklar dem hva som hjalp deg med å fullføre dette arbeidet riktig? (Elevenes uttalelser).

– Ja, i matematikk er det strenge regler, det er symboler.

– Se nøye på støtten: Hvordan er koordinaten til punkt A skrevet her?

(I parentes, ved siden av punktbetegnelsen.)

– Hva viser tallet i parentes?

(Antall enhetssegmenter fra origo til punkt A.)

- Merk følgende! Bokstavbetegnelsen til punktet er over strålen, og det tilsvarende tallet er under det!

– Korriger feilene i journalene dine av de som har gjort dem.

(Elevenes korrespons ved hjelp av en støtte.)

(Barn setter seg ned og fortsetter å jobbe mens de sitter.)

c) – Test deg selv ved hjelp av læreboken: s. 61 – les konklusjonen for deg selv...

– Så hva er «punktkoordinat»?

– Hvorfor er koordinaten til punktet B ditt lik (8)?

(Det er dette tallet som viser avstanden fra punkt B til begynnelsen av strålen.)

– Hva nytt lærte du om tallstrålen fra konklusjonen i læreboka?

(Det kalles også en koordinatstråle).

– Hvorfor heter det fortsatt det?

(Siden hvert punkt i den numeriske strålen tilsvarer et tall som er lik koordinaten til dette punktet).

– Kunnskapsstigen har blitt fylt opp med ett tillegg:

Fysisk trening! (Stående.)

- Bra gjort! Du gjør en fantastisk jobb. Og for å muntre deg opp litt mer - igjen litt autotrening - lukk øynene, gjenta etter meg:

Jeg er frisk og sterk i ånden!
Jeg er en magnet for suksess!
Jeg stoler på meg selv og livet!
Jeg fortjener alt det beste!

V. Primær konsolidering.

Oppgave 4, s. 62

a) Fremføres frontalt på tavlen med kommentar. Hvis det er de som ønsker det, vil det skje "i en kjede".

b) Fremført på brettet "i en kjede", med kommentar:

c) Utføres i forbindelse med gjensidig verifisering (1 par jobber ved brettet):

Oppgave 2 (b), s. 61 – utført oralt, frontalt.

– Denne oppgaven vil forberede oss til å studere neste tema.

1) 15-1=14 (enkeltsegmenter) avstand fra spisestue til telefon;

2) 14 · 5 km=70 (km) avstand fra spisestue til telefon.

(Hvis et enhetssegment er 5 km, er avstanden fra spisestuen til telefonen 14 enhetssegmenter, eller 70 km.)

VI. Selvstendig arbeid med selvtest i henhold til utvalget.

Oppgave 3 (a, b), s. 62 – i henhold til alternativer, uavhengig:

– Den som er ferdig, stå på! La oss sjekke det ved å bruke prøven.

EN) Prøve på tavlen:

– Hvem gjorde feilen, forklarer nøyaktig hva (hvor?) og hvorfor?

Hva annet bør du jobbe med?

Barn som gjorde feil jobber selvstendig på neste trinn av leksjonen, og fullfører en lignende oppgave, for eksempel oppgave 4(c), s. 62.

VII. Inkludering i kunnskapssystemet og repetisjon.

Elever som har gjort feil i selvstendig arbeid arbeider på egenhånd (oppgave 4 (c), s. 62),

utføre en lignende oppgave. Deretter kontrolleres de mot en standard eller en prøve (på individuelle ark). Etter å ha fullført oppgaven, blir de med i klassens arbeid.

Og på denne tiden holder hele klassen på med frontarbeid.

– La oss løse et problem for den spesifikke anvendelsen av ny kunnskap om koordinatstrålen:

Oppgave 7, s. 62 – oralt, frontalt eller i par. Leser oppgaven høyt av 1 elev.

– Hva er kjent om problemet? Hvor skulle bilen? (Fra venstre til høyre.)

– Hva trenger du å vite? Hvordan? (Utgangspunkt. Trekk fra 6 enheter av segmenter fra sluttpunktet B (17).

– Så fra hvilket tidspunkt gikk bilen? (Fra punkt A (11.)

– Svar på det andre spørsmålet i problemet. (Høyre til venstre ved tredje.)

Oppgave 9 (b, c, d, e), s. 63 – gruppearbeid:

– La oss gjenta å løse problemer ved å bruke formler for vei, kostnad, arbeid.

– Lagkapteiner vil skrive ned et bokstavuttrykk på tavlen og bevise sitt valg.

1. gruppe: b) (x+x3):7;

2. gruppe: c) (y:5)12;

3. gruppe: d) (s:20)d;

4. gruppe: e) c-(a4+c).

VIII. Refleksjon av aktivitet.

(Barn jobber stående.)

– Nevn stikkordene i leksjonen...

– Hvor i livet kan du bruke kunnskapen om dagens leksjon?

(Når du løser problemer, bestemmer adressen til noe, noen osv.)

– Og leksjonen vår har også forberedt deg til neste, der du lærer å finne avstand

mellom punkter i en numerisk stråle i henhold til deres kjente koordinater.

* Bra gjort! Fantastisk!
*Bra, men kunne vært bedre!
*Prøv hardt! Vær forsiktig!

Dekk snøfnugget med fingeren med påstanden overfor som du er enig i.

– Hvordan vil du vurdere arbeidet til hele klassen?

("Sjokk" - hendene opp "låst", "Det kunne vært bedre" - hendene bak ryggen).

Lekser: Oppgave 5, s. 62 - kreativ natur (muntlig);

Oppgave 8, s. 62; Oppgave 12 (a) eller 13, s. 63-64 (1 valgfritt).

Alle bør tenke: hva annet skal de jobbe med?

Koordinaten til et punkt er dets "adresse" på talllinjen, og talllinjen er "byen" der tall bor og et hvilket som helst tall kan finnes etter adresse.

Flere leksjoner på siden

La oss huske hva en naturlig serie er. Dette er alle tallene som kan brukes til å telle objekter, stående strengt i rekkefølge, etter hverandre, det vil si på rad. Denne tallserien begynner med 1 og fortsetter til uendelig med like intervaller mellom tilstøtende tall. Legg til 1 - og vi får neste tall, 1 til - og igjen det neste. Og uansett hvilket tall vi tar fra denne serien, er det naturlige nabotall på 1 til høyre og 1 til venstre for den. Det eneste unntaket er tallet 1: det neste naturlige tallet er der, men det forrige er det ikke. 1 er det minste naturlige tallet.

Det er én geometrisk figur som har mye til felles med den naturlige serien. Når du ser på emnet for leksjonen skrevet på tavlen, er det ikke vanskelig å gjette at denne figuren er en stråle. Og faktisk har strålen en begynnelse, men ingen slutt. Og man kunne fortsette og fortsette det, men notatboken eller tavlen ville rett og slett gå tom, og det ville ikke være noe annet sted å fortsette.

Ved å bruke disse lignende egenskapene, la oss relatere sammen den naturlige tallserien og den geometriske figuren - strålen.

Det er ingen tilfeldighet at det er tomt i begynnelsen av strålen: ved siden av de naturlige tallene skal det velkjente tallet 0 skrives ned. Nå har hvert naturlig tall som finnes i den naturlige serien to naboer på strålen. en mindre og en større. Ved å ta bare ett trinn +1 fra null, kan du få tallet 1, og ved å ta neste trinn +1, kan du få tallet 2... Hvis du går så videre, kan vi få alle de naturlige tallene en etter en. Slik kalles strålen som presenteres på tavlen en koordinatstråle. Du kan si det enklere - med en numerisk stråle. Den har det minste tallet - nummer 0, som kalles Utgangspunktet , hvert påfølgende tall har samme avstand fra det forrige, men det er ikke noe største tall, akkurat som verken en stråle eller en naturlig serie har en slutt. La meg understreke nok en gang at avstanden mellom begynnelsen av tellingen og det følgende tallet 1 er den samme som mellom andre to tilstøtende tall i den numeriske strålen. Denne avstanden kalles enkelt segment . For å markere et hvilket som helst tall på en slik stråle, må du sette til side nøyaktig samme antall enhetssegmenter fra origo.

For eksempel, for å markere tallet 5 på en stråle, setter vi til side 5 enhetssegmenter fra utgangspunktet. For å markere tallet 14 på strålen, setter vi til side 14 enhetssegmenter fra null.

Som du kan se i disse eksemplene, i forskjellige tegninger kan enhetssegmentene være forskjellige(), men på en stråle er alle enhetssegmentene() like med hverandre(). (kanskje det blir en endring av lysbilder i bildene, bekrefter pauser)

Som du vet, i geometriske tegninger er det vanlig å navngi punkter med store bokstaver i det latinske alfabetet. La oss bruke denne regelen på tegningen på brettet. Hver koordinatstråle har et startpunkt på den numeriske strålen, dette punktet tilsvarer tallet 0, og dette punktet kalles vanligvis bokstaven O. I tillegg vil vi markere flere punkter på steder som tilsvarer noen tall på denne strålen. Nå har hvert strålepunkt sin egen spesifikke adresse. A(3), ... (5-6 punkter på begge bjelker). Tallet som tilsvarer et punkt på strålen (den såkalte punktadressen) kalles koordinere poeng. Og selve strålen er en koordinatstråle. En koordinatstråle, eller en numerisk - betydningen endres ikke.

La oss fullføre oppgaven - merk punktene på tallinjen i henhold til deres koordinater. Jeg anbefaler deg å fullføre denne oppgaven selv i notatboken. M(3), T(10), U(7).

For å gjøre dette konstruerer vi først en koordinatstråle. Det vil si en stråle hvis opprinnelse er punkt O(0). Nå må du velge et enkelt segment. Dette er akkurat det vi trenger velge slik at alle nødvendige punkter passer på tegningen. Den største koordinaten er nå 10. Hvis du plasserer begynnelsen av strålen 1-2 celler fra venstre kant av siden, kan den utvides med mer enn 10 cm. Deretter tar vi et enhetssegment på 1 cm, markerer det på strålen, og tallet 10 er plassert 10 cm fra begynnelsen av strålen. Punkt T tilsvarer dette tallet.

Men hvis du trenger å merke punkt H (15) på koordinatstrålen, må du velge et annet enhetssegment. Tross alt vil det ikke lenger fungere som i forrige eksempel, fordi den bærbare datamaskinen ikke passer til en bjelke med den nødvendige synlige lengden. Du kan velge et enkelt segment 1 celle langt, og telle 15 celler fra null til ønsket punkt.

Ved hjelp av en flat trelist kan to punkter A og B kobles sammen med et segment (fig. 46). Dette primitive verktøyet vil imidlertid ikke kunne måle lengden på segment AB. Det kan forbedres.

På skinnen vil vi legge strøk hver centimeter. Under det første slaget vil vi sette tallet 0, under det andre - 1, tredje - 2, etc. (Fig. 47). I slike tilfeller sier de at skinnen er merket skala med delingspris 1 cm Denne stangen med en skole ligner en linjal. Men oftest brukes en skala med en divisjonsverdi på 1 mm på linjalen (fig. 48).

Fra hverdagen kjenner du godt til andre måleinstrumenter som har skalaer av ulike former. For eksempel: en urskive med en skala på 1 min (fig. 49), et bilspeedometer med en skala på 10 km/t (fig. 50), et romtermometer med en skala på 1 °C (fig. 51) , vekter med en vekt på 50 g (fig. 52).

Designeren lager måleinstrumenter hvis skalaer er endelige, det vil si at blant tallene som er markert på skalaen, er det alltid den største. Men en matematiker kan ved hjelp av fantasien konstruere en uendelig skala.

Tegn strålen OX. La oss markere et punkt E på denne strålen La oss skrive tallet 0 over punktet O, og tallet 1 under punktet E (fig. 53).

Vi vil si det punktet O skildrer tallet er 0, og punkt E er tallet 1. Det er også vanlig å si at punktet O tilsvarer nummer 0, og punkt E er nummer 1.

La oss legge av et segment lik segment OE til høyre for punkt E. Vi får punktet M, som representerer tallet 2 (se fig. 53). Merk på samme måte punkt N, som representerer tallet 3. Så, trinn for trinn, får vi poengene som tilsvarer tallene 4, 5, 6, .... Mentalt kan denne prosessen fortsette så lenge du vil.

Den resulterende uendelige skalaen kalles koordinatstråle, punkt O − Utgangspunktet, og segmentet OE − enkelt segment koordinatstråle.

I figur 53 representerer punkt K tallet 5. De sier at tallet 5 er koordinere punkter K, og skriv K(5). På samme måte kan vi skrive O(0); E(1); M(2); N(3).

Ofte, i stedet for å si "la oss markere et punkt med en koordinat lik ..." sier de "la oss merke et tall ...".

En stråle er en del av en rett linje som har en begynnelse og ingen slutt (en solstråle, en lysstråle fra en lommelykt). Se på tegningen og finn ut hvilke figurer som er avbildet, hvordan de ligner, hvordan de er forskjellige og hva de kan kalles. http://bit.ly/2DusaQv

Figuren viser deler av en rett linje som har en begynnelse og ingen ende dette er stråler som kan kalles "o x".

• en stråle er betegnet med store bokstaver OX, og i navnet til den andre er en bokstav stor og den andre er liten okse;
• den første strålen er ren, og den andre ser ut som en linjal, siden tall er merket på den;
• på den andre strålen er bokstaven E merket, og under den er tallet 1;
• det er en pil i høyre ende av denne strålen;
• kanskje det kan kalles en tallstråle.

Den andre strålen kan kalles den numeriske strålen Ox:

• O er origo og har koordinat null;
• skrevet O(0); punkt O med koordinat null leses;
• Det er vanlig å skrive tallet null (0) under punktet merket med bokstaven O;
• segment OE - enhetssegment;
• punkt E har koordinat 1 (markert med strek på tegningen);
• E (1) er skrevet; les punkt E med koordinat en;
• pilen i høyre ende av strålen indikerer retningen tellingen blir tatt;
• vi introduserte nye begreper om koordinater, som betyr at strålen kan kalles koordinat;
• Siden koordinatene til ulike punkter er plottet på strålen, skriver vi en liten bokstav x i navnet på strålen til høyre.

Konstruksjon av en koordinatstråle

Vi har avslørt konseptet med en koordinatstråle og terminologien knyttet til den, noe som betyr at vi må lære å bygge den:

• vi konstruerer en stråle og betegner okse;
• angi retningen med en pil;
• Vi markerer begynnelsen av nedtellingen med tallet 0;
• Vi markerer et enkelt segment OE (det kan være av forskjellige lengder);
• merk koordinaten til punkt E med tallet 1;
• de resterende punktene vil være i samme avstand fra hverandre, men det er ikke vanlig å sette dem på koordinatstrålen for ikke å rote tegningen.

For visuelt å representere tall, er det vanlig å bruke en koordinatstråle, hvor tallene er ordnet i stigende rekkefølge fra venstre til høyre. Dermed er tallet til høyre alltid større enn tallet til venstre på den rette linjen.

Konstruksjonen av en koordinatstråle begynner fra punkt O, som kalles opprinnelsen til koordinatene. Fra dette punktet tegner vi en stråle til høyre og tegner en pil til høyre ved enden. Punkt O har koordinat 0. Fra det på strålen legger vi et enhetssegment, hvis ende har koordinat 1. Fra enden av enhetssegmentet legger vi av én råte som er like lang, i enden av denne legger vi koordinat 2 osv.

§ 1 Koordinatstråle

I denne leksjonen lærer du hvordan du bygger en koordinatstråle, samt bestemmer koordinatene til punktene på den.

For å bygge en koordinatbjelke trenger vi selvfølgelig først selve bjelken.

La oss betegne det OX, punkt O er begynnelsen på strålen.

Ser vi fremover, la oss si at punkt O kalles opprinnelsen til koordinatstrålen.

Strålen kan tegnes i alle retninger, men i mange tilfeller er strålen tegnet horisontalt og til høyre for opprinnelsen.

Så la oss tegne strålen OX horisontalt fra venstre til høyre og angi retningen med en pil. La oss markere punkt E på strålen.

Vi skriver 0 over begynnelsen av strålen (punkt O), og tallet 1 over punkt E.

Segmentet OE kalles enhet.

Så, trinn for trinn, sett til side enkeltsegmenter, får vi en uendelig skala.

Tallene 0, 1, 2 kalles koordinatene til punktene O, E og A. Skriv punkt O og i parentes angir dets koordinat null - O (o), punkt E og i parentes dens koordinat en - E (1), punkt A og i parentes er dens koordinat to A(2).

For å konstruere en koordinatstråle er det derfor nødvendig:

1. tegne en stråle OX horisontalt fra venstre til høyre og angi retningen med en pil, skriv tallet 0 over punktet O;

2. du må stille inn det såkalte enhetssegmentet. For å gjøre dette må du merke et annet punkt på strålen enn punkt O (på dette stedet er det vanlig å sette ikke en prikk, men et slag), og skrive tallet 1 over streken;

3. på strålen fra slutten av et enhetssegment må du sette til side et annet enhetssegment, lik enhet en, og også sette et slag, så fra slutten av dette segmentet må du sette til side et annet enhetssegment , også markere det med et slag, og så videre;

4. For at koordinatstrålen skal ta sin ferdige form, gjenstår det å skrive ned tall fra den naturlige tallrekken over strekene fra venstre til høyre: 2, 3, 4, og så videre.

§ 2 Fastsettelse av koordinatene til et punkt

La oss fullføre oppgaven:

Følgende punkter skal merkes på koordinatstrålen: punkt M med koordinat 1, punkt P med koordinat 3 og punkt A med koordinat 7.

La oss konstruere en koordinatstråle med begynnelsen ved punktet O. Vi skal velge et enhetssegment av denne strålen på 1 cm, det vil si 2 celler (2 celler fra null setter vi et primtall og tallet 1, så etter ytterligere to celler - et primtall og tallet 4;

Punkt M vil være plassert til høyre for null med to celler, punkt P vil være plassert til høyre for null med 6 celler, siden 3 multiplisert med 2 vil være 6, og punkt A vil være plassert til høyre for null med 14 celler, siden 7 multiplisert med 2 vil være 14.

Neste oppgave:

Finn og skriv ned koordinatene til punktene A; I; og C markert på denne koordinatstrålen

Denne koordinatstrålen har et enhetssegment lik én celle, som betyr at koordinaten til punkt A er 4, koordinaten til punkt B er 8 og koordinaten til punkt C er 12.

For å oppsummere, kalles strålen OX med sin opprinnelse i punkt O, hvor enhetssegmentet og retningen er angitt, en koordinatstråle. Koordinatstrålen er ikke annet enn en uendelig skala.

Tallet som tilsvarer et punkt på en koordinatstråle kalles koordinaten til dette punktet.

For eksempel: A og i parentes 3.

Les: punkt A med koordinat 3.

Det skal bemerkes at veldig ofte er koordinatstrålen avbildet som en stråle med en begynnelse ved punkt O, og et enkelt enhetssegment er lagt av fra begynnelsen, over endene som tallene 0 og 1 er skrevet , er det forstått at om nødvendig kan vi enkelt fortsette å konstruere skalaen, sekvensielt legge ned enkeltsegmenter på strålen.

Dermed lærte du i denne leksjonen hvordan du bygger en koordinatstråle, samt bestemmer koordinatene til punkter som ligger på koordinatstrålen.

Liste over brukt litteratur:

1. Matematikk 5. klasse. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. og andre 31. utg., slettet. - M: 2013.
2. Didaktisk materiale for matematikk klasse 5. Forfatter - Popov M.A. - 2013.
3. Vi regner uten feil. Arbeid med egentest i matematikk 5.-6. Forfatter - Minaeva S.S. – 2014.
4. Didaktisk materiale for matematikk klasse 5. Forfattere: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. – 2010.
5. Prøver og selvstendig arbeid i matematikk klasse 5. Forfattere - Popov M.A. - 2012.
6. Matematikk. 5. klasse: lærerikt. for allmennpedagogiske studenter. institusjoner / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009.