Ile wynosi e w macierzy. Algebra macierzy liniowej
Instrukcje. W przypadku rozwiązania online należy określić wyrażenie macierzowe. W drugim etapie konieczne będzie wyjaśnienie wymiaru macierzy.
Poprawne operacje: mnożenie (*), dodawanie (+), odejmowanie (-), macierz odwrotna A^(-1), potęgowanie (A^2, B^3), transpozycja macierzy (A^T).Poprawne operacje: mnożenie (*), dodawanie (+), odejmowanie (-), macierz odwrotna A^(-1), potęgowanie (A^2, B^3), transpozycja macierzy (A^T).
Aby wykonać listę operacji, użyj separatora średnika (;). Na przykład, aby wykonać trzy operacje:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
będziesz musiał napisać to w ten sposób: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Macierz to prostokątna tablica liczbowa z m wierszami i n kolumnami, więc macierz można schematycznie przedstawić jako prostokąt.
Macierz zerowa (macierz zerowa) jest macierzą, której wszystkie elementy są równe zero i są oznaczone przez 0.
Macierz jednostkowa nazywa się macierzą kwadratową postaci
Dwie macierze A i B są równe, jeśli są tej samej wielkości i odpowiadające im elementy są równe.
Macierz pojedyncza jest macierzą, której wyznacznik jest równy zero (Δ = 0).
Zdefiniujmy podstawowe operacje na macierzach.
Dodawanie macierzy
Definicja . Suma dwóch macierzy o tym samym rozmiarze to macierz o tych samych wymiarach, której elementy znajdują się według wzoru
. Oznaczone jako C = A+B. Przykład 6. .
Operacja dodawania macierzy rozciąga się na przypadek dowolnej liczby terminów. Oczywiście A+0=A.
Podkreślmy jeszcze raz, że można dodawać tylko macierze o tym samym rozmiarze; Dla macierzy o różnych rozmiarach operacja dodawania nie jest zdefiniowana.
Odejmowanie macierzy
Definicja . Różnica B-A macierzy B i A o tej samej wielkości jest macierzą C taką, że A+ C = B.Mnożenie macierzy
Definicja . Iloczynem macierzy przez liczbę α jest macierz otrzymana z A poprzez pomnożenie wszystkich jej elementów przez α, .Definicja . Niech zostaną dane dwie macierze
i , a liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B. Iloczyn A przez B jest macierzą, której elementy znajdują się według wzoru 
.
Oznaczone jako C = A·B.
Schematycznie operację mnożenia macierzy można przedstawić w następujący sposób:
oraz zasada obliczania elementu w produkcie:
Podkreślmy jeszcze raz, że iloczyn A·B ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszego czynnika jest równa liczbie wierszy drugiego, a iloczyn daje macierz, której liczba wierszy jest równa liczba wierszy pierwszego czynnika, a liczba kolumn jest równa liczbie kolumn drugiego. Wynik mnożenia możesz sprawdzić za pomocą specjalnego kalkulatora online.
Przykład 7. Dane macierze 
I 
. Znajdź macierze C = A·B i D = B·A.
Rozwiązanie.
Przede wszystkim zauważ, że iloczyn A·B istnieje, ponieważ liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B.
Należy zauważyć, że w ogólnym przypadku A·B≠B·A, tj. iloczyn macierzy jest antyprzemienny.
Znajdźmy B·A (mnożenie jest możliwe).
Przykład 8. Biorąc pod uwagę macierz 
. Znajdź 3A 2 – 2A.
Rozwiązanie.
.
; 
.
.
Zwróćmy uwagę na następujący ciekawy fakt.
Jak wiadomo, iloczyn dwóch liczb niezerowych nie jest równy zero. W przypadku macierzy podobna okoliczność może nie wystąpić, czyli iloczyn niezerowych macierzy może okazać się równy macierzy zerowej.
1 rok, wyższa matematyka, studia matryce i podstawowe działania na nich. Tutaj usystematyzujemy podstawowe operacje, które można wykonać na macierzach. Od czego zacząć zapoznanie się z macierzami? Oczywiście od najprostszych rzeczy - definicji, podstawowych pojęć i prostych operacji. Zapewniamy, że matryce zrozumie każdy, kto poświęci im chociaż odrobinę czasu!
Definicja macierzy
Matryca jest prostokątną tabelą elementów. No cóż, najprościej – tabela liczb.
Zazwyczaj macierze są oznaczane dużymi literami łacińskimi. Na przykład matryca A , matryca B i tak dalej. Macierze mogą mieć różne rozmiary: prostokątne, kwadratowe, istnieją też macierze wierszowe i kolumnowe zwane wektorami. Rozmiar macierzy zależy od liczby wierszy i kolumn. Na przykład napiszmy prostokątną macierz o rozmiarze M NA N , Gdzie M – liczba linii oraz N - Liczba kolumn.
Przedmioty, dla których ja=j (a11, a22, .. ) tworzą główną przekątną macierzy i nazywane są przekątnymi.
Co można zrobić z macierzami? Dodaj/odejmij, pomnożyć przez liczbę, rozmnażać się między sobą, transponować. Teraz o tych wszystkich podstawowych operacjach na macierzach w kolejności.
Operacje dodawania i odejmowania na macierzach
Od razu ostrzegamy, że możesz dodawać tylko macierze o tym samym rozmiarze. Rezultatem będzie macierz o tym samym rozmiarze. Dodawanie (lub odejmowanie) macierzy jest proste - wystarczy dodać odpowiadające im elementy . Podajmy przykład. Wykonajmy dodanie dwóch macierzy A i B o wymiarach dwa na dwa.
Odejmowanie wykonuje się analogicznie, tylko z przeciwnym znakiem.
Każdą macierz można pomnożyć przez dowolną liczbę. Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy z jego elementów przez tę liczbę. Przykładowo pomnóżmy macierz A z pierwszego przykładu przez liczbę 5:
Operacja mnożenia macierzy
Nie wszystkie macierze można pomnożyć przez siebie. Przykładowo mamy dwie macierze - A i B. Można je pomnożyć przez siebie tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. W tym przypadku każdy element wynikowej macierzy, znajdujący się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, będzie równy sumie iloczynów odpowiednich elementów w i-tym rzędzie pierwszego czynnika i j-tej kolumnie drugi. Aby zrozumieć ten algorytm, napiszmy, jak mnożone są dwie macierze kwadratowe:
I przykład z liczbami rzeczywistymi. Pomnóżmy macierze:
Operacja transpozycji macierzy
Transpozycja macierzy to operacja polegająca na zamianie odpowiednich wierszy i kolumn. Na przykład przetransponujmy macierz A z pierwszego przykładu:
Wyznacznik macierzy
Wyznacznik lub wyznacznik jest jednym z podstawowych pojęć algebry liniowej. Dawno, dawno temu ludzie wymyślali równania liniowe, a po nich musieli wymyślić wyznacznik. Ostatecznie to Ty musisz sobie z tym wszystkim poradzić, więc ostatni impuls!
Wyznacznik to numeryczna charakterystyka macierzy kwadratowej, która jest potrzebna do rozwiązania wielu problemów.
Aby obliczyć wyznacznik najprostszej macierzy kwadratowej, należy obliczyć różnicę między iloczynami elementów przekątnych głównej i wtórnej.
Wyznacznik macierzy pierwszego rzędu, czyli składającej się z jednego elementu, jest równy temu elementowi.
A co jeśli macierz ma wymiary trzy na trzy? To jest trudniejsze, ale możesz sobie z tym poradzić.
Dla takiej macierzy wartość wyznacznika jest równa sumie iloczynów elementów głównej przekątnej i iloczynów elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej do głównej przekątnej, z których iloczyn odejmuje się elementy drugiej przekątnej i iloczyn elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej drugiej przekątnej.
Na szczęście w praktyce rzadko zdarza się konieczność obliczania wyznaczników macierzy o dużych rozmiarach.
Tutaj przyjrzeliśmy się podstawowym operacjom na macierzach. Oczywiście w prawdziwym życiu możesz nigdy nie spotkać choćby śladu macierzowego układu równań lub, wręcz przeciwnie, możesz napotkać znacznie bardziej złożone przypadki, w których naprawdę będziesz musiał się męczyć. Właśnie dla takich przypadków istnieją profesjonalne usługi dla studentów. Poproś o pomoc, uzyskaj wysokiej jakości i szczegółowe rozwiązanie, ciesz się sukcesami w nauce i wolnym czasem.
Macierze w matematyce są jednym z najważniejszych obiektów o znaczeniu praktycznym. Często wycieczkę do teorii macierzy zaczynamy od słów: „Macierz to prostokątny stół…”. Zaczniemy tę wycieczkę od nieco innego kierunku.
Książki telefoniczne dowolnej wielkości i z dowolną ilością danych abonenta to nic innego jak matryce. Takie macierze wyglądają mniej więcej tak:
Wiadomo, że z takich matryc wszyscy korzystamy niemal na co dzień. Macierze te mają różną liczbę wierszy (różnią się jak książka telefoniczna wydawana przez firmę telekomunikacyjną, która może mieć tysiące, setki tysięcy, a nawet miliony wierszy, oraz nowo uruchomiony notatnik, który ma mniej niż dziesięć wierszy) i kolumny (jakiś spis urzędników). jakaś organizacja, w której mogą znajdować się kolumny takie jak stanowisko i numer urzędu oraz ta sama książka adresowa, w której mogą nie znajdować się żadne dane poza nazwiskiem, a zatem są tylko dwie kolumny. w nim - imię i nazwisko oraz numer telefonu).
Można dodawać i mnożyć wszelkiego rodzaju macierze, można na nich wykonywać inne operacje, ale nie ma potrzeby dodawania i mnożenia książek telefonicznych, nie ma z tego żadnej korzyści, a poza tym można używać umysłu.
Jednak wiele macierzy można i należy dodawać i mnożyć, rozwiązując w ten sposób różne palące problemy. Poniżej znajdują się przykłady takich macierzy.
Macierze, w których kolumny przedstawiają produkcję jednostek danego rodzaju produktu, a wiersze lata, w których rejestrowana jest produkcja tego produktu:
Można dodawać macierze tego typu, które uwzględniają produkcję podobnych produktów przez różne przedsiębiorstwa, w celu uzyskania sumarycznych danych dla branży.
Lub macierze składające się np. z jednej kolumny, w których wiersze przedstawiają średni koszt danego rodzaju produktu:
Dwa ostatnie typy macierzy można mnożyć, w wyniku czego powstaje macierz wierszowa zawierająca koszt wszystkich rodzajów produktów w poszczególnych latach.
Macierze, podstawowe definicje
Prostokątna tabela składająca się z liczb ułożonych w M linie i N kolumny to tzw mn-macierz (lub po prostu matryca ) i jest napisane tak:
(1)
W macierzy (1) liczby nazywane są jej elementy (podobnie jak w wyznaczniku, pierwszy indeks oznacza numer wiersza, drugi – kolumnę, na przecięciu której znajduje się element; I = 1, 2, ..., M; J = 1, 2, N).
Macierz nazywa się prostokątny , Jeśli .
Jeśli M = N, wówczas nazywa się macierz kwadrat , a liczba n jest jego w celu .
Wyznacznik macierzy kwadratowej A nazywa się wyznacznikiem, którego elementy są elementami macierzy A. Jest to oznaczone symbolem | A|.
Nazywa się macierz kwadratową nie specjalne (Lub niezdegenerowany , nieliczba pojedyncza ), jeśli jego wyznacznik nie jest zerem, oraz specjalny (Lub zdegenerowany , pojedynczy ), jeśli jego wyznacznik wynosi zero.
Macierze nazywane są równy , jeśli mają tę samą liczbę wierszy i kolumn i wszystkie odpowiadające im elementy są zgodne.
Macierz nazywa się zero , jeśli wszystkie jego elementy są równe zero. Macierz zerowa będzie oznaczona symbolem 0 Lub .
Na przykład,
Wiersz macierzy (Lub małe litery ) nazywa się 1 N-macierz i kolumna-macierz (Lub kolumnowy ) – M 1-macierz.
Matryca A", który otrzymuje się z macierzy A nazywa się to zamianą wierszy i kolumn transponowane względem matrycy A. Zatem dla macierzy (1) transponowaną macierzą jest
Operacja przejścia macierzy A" przeniesiony względem matrycy A, nazywa się transpozycją macierzy A. Dla mn-matryca transponowana to nm-matryca.
Macierz transponowana względem macierzy to A, to jest
(A")" = A .
Przykład 1. Znajdź macierz A", przeniesiony względem macierzy
i dowiedz się, czy wyznaczniki macierzy oryginalnej i transponowanej są równe.
Główna przekątna Macierz kwadratowa to wyimaginowana linia łącząca jej elementy, dla której oba indeksy są takie same. Elementy te nazywane są przekątna .
Nazywa się macierzą kwadratową, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zero przekątna . Nie wszystkie elementy diagonalne macierzy diagonalnej są koniecznie niezerowe. Wśród nich może być zero.
Nazywa się macierz kwadratową, w której elementy na głównej przekątnej są równe tej samej liczbie, niezerowej, a wszystkie pozostałe są równe zeru macierz skalarna .
Macierz jednostkowa nazywa się macierzą diagonalną, w której wszystkie elementy przekątne są równe jeden. Na przykład macierz tożsamości trzeciego rzędu jest macierzą
Przykład 2. Dane macierze:
Rozwiązanie. Obliczmy wyznaczniki tych macierzy. Korzystając z reguły trójkąta, znajdujemy
Wyznacznik macierzy B obliczymy korzystając ze wzoru 
Łatwo to rozumiemy 
Dlatego macierze A i są niepojedyncze (niezdegenerowane, niepojedyncze) oraz macierz B– specjalny (zdegenerowany, liczba pojedyncza).
Wyznacznik macierzy jednostkowej dowolnego rzędu jest oczywiście równy jeden.
Rozwiąż samodzielnie problem macierzowy, a następnie spójrz na rozwiązanie
Przykład 3. Dane macierze
,
,
Określ, które z nich są nieliczbowe (niezdegenerowane, nieliczbowe).
Zastosowanie macierzy w modelowaniu matematycznym i ekonomicznym
Ustrukturyzowane dane o konkretnym obiekcie zapisuje się w prosty i wygodny sposób w formie macierzy. Modele macierzowe tworzone są nie tylko w celu przechowywania tych ustrukturyzowanych danych, ale także w celu rozwiązywania różnych problemów z tymi danymi za pomocą algebry liniowej.
Zatem dobrze znanym macierzowym modelem gospodarki jest model przepływów międzygałęziowych wprowadzony przez amerykańskiego ekonomistę rosyjskiego pochodzenia Wasilija Leontiewa. Model ten opiera się na założeniu, że cały sektor produkcyjny gospodarki dzieli się na N czysty przemysł. Każda branża wytwarza tylko jeden rodzaj produktu, a różne gałęzie przemysłu wytwarzają różne produkty. Z powodu tego podziału pracy między gałęziami przemysłu istnieją powiązania międzybranżowe, których znaczenie jest takie, że część produkcji każdej branży jest przenoszona do innych gałęzi przemysłu jako zasób produkcyjny.
Objętość produktu I--ta branża (mierzona określoną jednostką miary), która została wytworzona w okresie sprawozdawczym, oznaczana jest przez i nazywana pełną produkcją I- branża. Problemy można wygodnie umieszczać N-wiersz składowy macierzy.
Liczba jednostek I-przemysł, który należy wydać J-przemysł, w którym wytwarzana jest jednostka jego produkcji, jest wyznaczany i nazywany współczynnikiem kosztów bezpośrednich.
Jest to koncepcja uogólniająca wszystkie możliwe operacje wykonywane na macierzach. Macierz matematyczna - tabela elementów. O stole, przy którym M linie i N kolumnach, mówi się, że ta macierz ma wymiar M NA N.
Ogólny widok matrycy:
Dla rozwiązania macierzowe Konieczne jest zrozumienie, czym jest matryca i poznanie jej głównych parametrów. Główne elementy matrycy:
- Główna przekątna, składająca się z elementów 11, 22…..rano.
- Przekątna boczna składająca się z elementów a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Główne typy macierzy:
- Kwadrat to macierz, w której liczba wierszy = liczba kolumn ( m=n).
- Zero - gdzie wszystkie elementy macierzy = 0.
- Transponowana macierz - macierz W, który otrzymano z oryginalnej matrycy A poprzez zastąpienie wierszy kolumnami.
- Jedność - wszystkie elementy głównej przekątnej = 1, wszystkie pozostałe = 0.
- Macierz odwrotna to macierz, która pomnożona przez macierz pierwotną daje macierz jednostkową.
Macierz może być symetryczna względem przekątnej głównej i wtórnej. To znaczy, jeśli za 12 = za 21, za 13 = za 31,….a 23 = za 32…. a m-1n = a mn-1, to macierz jest symetryczna względem głównej przekątnej. Tylko macierze kwadratowe mogą być symetryczne.
Metody rozwiązywania macierzy.
Prawie wszystko metody rozwiązywania macierzy polega na znalezieniu jego wyznacznika N-ta kolejność i większość z nich jest dość uciążliwa. Aby znaleźć wyznacznik drugiego i trzeciego rzędu, istnieją inne, bardziej racjonalne metody.
Znalezienie wyznaczników drugiego rzędu.
Aby obliczyć wyznacznik macierzy A W drugim rzędzie należy odjąć iloczyn elementów przekątnej wtórnej od iloczynu elementów przekątnej głównej:
Metody znajdowania wyznaczników trzeciego rzędu.
Poniżej znajdują się zasady znajdowania wyznacznika trzeciego rzędu.
Uproszczona zasada trójkąta jako jedna z metody rozwiązywania macierzy, można przedstawić w ten sposób:
Inaczej mówiąc, iloczyn elementów pierwszego wyznacznika połączonych liniami prostymi oznacza się znakiem „+”; Również dla drugiego wyznacznika odpowiednie produkty są brane ze znakiem „-”, czyli zgodnie z następującym schematem:
Na rozwiązywanie macierzy z wykorzystaniem reguły Sarrusa, na prawo od wyznacznika, dodaj pierwsze 2 kolumny, a iloczyny odpowiednich elementów na głównej przekątnej i na przekątnych do niej równoległych są brane ze znakiem „+”; oraz iloczyny odpowiednich elementów przekątnej wtórnej i przekątnych do niej równoległych, ze znakiem „-”:
Rozkład wyznacznika w wierszu lub kolumnie przy rozwiązywaniu macierzy.
Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów rzędu wyznacznika i ich uzupełnień algebraicznych. Zwykle wybierany jest wiersz/kolumna zawierająca zera. Wiersz lub kolumna, wzdłuż której przeprowadzany jest rozkład, zostanie wskazany strzałką.
Sprowadzenie wyznacznika do postaci trójkątnej przy rozwiązywaniu macierzy.
Na rozwiązywanie macierzy metoda sprowadzania wyznacznika do postaci trójkątnej działają w ten sposób: stosując najprostsze przekształcenia w wierszach lub kolumnach wyznacznik przyjmuje postać trójkątną i wówczas jego wartość, zgodnie z właściwościami wyznacznika, będzie równa iloczynowi elementów znajdujących się na głównej przekątnej.
Twierdzenie Laplace'a o rozwiązywaniu macierzy.
Rozwiązując macierze za pomocą twierdzenia Laplace'a, musisz znać samo twierdzenie. Twierdzenie Laplace'a: Niech Δ – to jest wyznacznik N-ta kolejność. Wybieramy dowolne k wiersze (lub kolumny), pod warunkiem k≤ n - 1. W tym przypadku suma produktów wszystkich nieletnich k-ta kolejność zawarta w wybranym k wiersze (kolumny) przez ich uzupełnienia algebraiczne będą równe wyznacznikowi.
Rozwiązywanie macierzy odwrotnej.
Sekwencja działań dla rozwiązania macierzowe odwrotne:
- Określ, czy dana macierz jest kwadratowa. Jeśli odpowiedź jest negatywna, staje się jasne, że nie może być dla niej macierzy odwrotnej.
- Obliczamy uzupełnienia algebraiczne.
- Tworzymy macierz unijną (wzajemną, sprzężoną). C.
- Tworzymy macierz odwrotną z dodatków algebraicznych: wszystkich elementów macierzy sprzężonej C podzielić przez wyznacznik macierzy początkowej. Ostateczna macierz będzie wymaganą macierzą odwrotną w stosunku do podanej.
- Sprawdzamy wykonaną pracę: mnożymy macierz początkową i macierz wynikową, wynikiem powinna być macierz jednostkowa.
Rozwiązywanie układów macierzowych.
Dla rozwiązania układów macierzowych Najczęściej stosowana jest metoda Gaussa.
Metoda Gaussa jest standardową metodą rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) i polega na tym, że zmienne są sekwencyjnie eliminowane, czyli za pomocą elementarnych zmian układ równań sprowadzany jest do równoważnego układu trójkątnego i z niego kolejno, zaczynając od tego ostatniego (według numeru), znajdź każdy element systemu.
Metoda Gaussa jest najbardziej wszechstronnym i najlepszym narzędziem do znajdowania rozwiązań macierzowych. Jeśli układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań lub jest niezgodny, to nie można go rozwiązać za pomocą reguły Cramera i metody macierzowej.
Metoda Gaussa implikuje także ruchy bezpośrednie (sprowadzenie rozszerzonej macierzy do postaci stopniowej, czyli uzyskanie zer pod główną przekątną) i odwrotne (uzyskanie zer powyżej głównej przekątnej rozszerzonej macierzy). Ruch do przodu to metoda Gaussa, ruch odwrotny to metoda Gaussa-Jordana. Metoda Gaussa-Jordana różni się od metody Gaussa jedynie kolejnością eliminowania zmiennych.
Niniejsza instrukcja pomoże Ci dowiedzieć się, jak wykonać tę czynność operacje na macierzach: dodawanie (odejmowanie) macierzy, transpozycja macierzy, mnożenie macierzy, znajdowanie macierzy odwrotnej. Cały materiał przedstawiony jest w prostej i przystępnej formie, podano odpowiednie przykłady, dzięki czemu nawet osoba nieprzygotowana może nauczyć się wykonywania działań na macierzach. W celu samokontroli i samotestowania możesz bezpłatnie pobrać kalkulator matrycowy >>>.
Postaram się zminimalizować obliczenia teoretyczne; w niektórych miejscach możliwe są wyjaśnienia „na palcach” i użycie terminów nienaukowych. Miłośników solidnej teorii proszę nie wdawać się w krytykę, naszym zadaniem jest to nauczyć się wykonywać operacje na macierzach.
Dla SUPER SZYBKIEGO przygotowania na temat (który się „pali”) dostępny jest intensywny kurs pdf Macierz, wyznacznik i test!
Macierz to prostokątna tabela niektórych elementy. Jak elementy rozważymy liczby, czyli macierze numeryczne. ELEMENT jest terminem. Warto zapamiętać to określenie, będzie ono pojawiać się często, nieprzypadkowo użyłem pogrubionej czcionki, aby je podkreślić.
Przeznaczenie: macierze są zwykle oznaczane dużymi literami łacińskimi
Przykład: Rozważmy macierz dwa na trzy:
Macierz ta składa się z sześciu elementy:
Wszystkie liczby (elementy) wewnątrz macierzy istnieją samodzielnie, to znaczy nie ma mowy o żadnym odejmowaniu: 
To tylko tabela (zestaw) liczb!
My też się zgodzimy nie przestawiaj numery, chyba że w objaśnieniach wskazano inaczej. Każda liczba ma swoją własną lokalizację i nie można jej przetasować!
Macierz, o której mowa, ma dwa wiersze: 
i trzy kolumny: 
STANDARD: w takim razie mówiąc o rozmiarach macierzy najpierw wskazać liczbę wierszy, a dopiero potem liczbę kolumn. Właśnie podzieliliśmy macierz dwa na trzy.
Jeśli liczba wierszy i kolumn macierzy jest taka sama, wówczas nazywana jest macierz kwadrat, Na przykład: 
– macierz trzy na trzy.
Jeśli macierz ma jedną kolumnę lub jeden wiersz, wówczas takie macierze również nazywane są wektory.
Tak naprawdę pojęcie macierzy znamy od czasów szkolnych; rozważmy na przykład punkt o współrzędnych „x” i „y”: . Zasadniczo współrzędne punktu są zapisywane w macierzy jeden na dwa. Swoją drogą oto przykład dlaczego kolejność liczb ma znaczenie: i są to dwa zupełnie różne punkty na płaszczyźnie.
Przejdźmy teraz do nauki operacje na macierzach:
1) Akt pierwszy. Usunięcie minusa z macierzy (wprowadzenie minusa do macierzy).
Wróćmy do naszej matrycy 
. Jak zapewne zauważyłeś, w tej macierzy jest zbyt wiele liczb ujemnych. Jest to bardzo niewygodne z punktu widzenia wykonywania różnych czynności z matrycą, niewygodne jest pisanie tak wielu minusów i po prostu wygląda brzydko w projekcie.
Przesuńmy minus poza macierz zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:
Jak rozumiesz, przy zera znak się nie zmienia; zero jest również zerem w Afryce.
Odwrotny przykład: 
. Wygląda brzydko.
Wprowadźmy minus do macierzy zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:
Cóż, wyszło dużo ładniej. I co najważniejsze, ŁATWIEJ będzie wykonywać jakiekolwiek czynności za pomocą matrycy. Ponieważ istnieje taki matematyczny znak ludowy: im więcej minusów, tym więcej zamieszania i błędów.
2) Akt drugi. Mnożenie macierzy przez liczbę.
Przykład:
To proste, aby pomnożyć macierz przez liczbę, potrzebujesz każdy element macierzy pomnożony przez podaną liczbę. W tym przypadku – trójka.
Kolejny przydatny przykład:
– mnożenie macierzy przez ułamek
Najpierw przyjrzyjmy się, co zrobić NIE MA POTRZEBY:
NIE MA KONIECZNOŚCI wpisywania ułamka do macierzy; po pierwsze komplikuje to jedynie dalsze działania z macierzą, a po drugie utrudnia nauczycielowi sprawdzenie rozwiązania (szczególnie jeśli 
– ostateczna odpowiedź zadania).
A szczególnie, NIE MA POTRZEBY podziel każdy element macierzy przez minus siedem:
Z artykułu Matematyka dla opornych, czyli od czego zacząć, pamiętamy, że w wyższej matematyce starają się na wszelkie możliwe sposoby unikać ułamków dziesiętnych z przecinkami.
Jedyną rzeczą jest raczej W tym przykładzie należy dodać minus do macierzy:
Ale jeśli tylko WSZYSTKO elementy macierzy podzielono przez 7 bez śladu, wówczas byłoby możliwe (i konieczne!) dzielenie.
Przykład:
W tym przypadku możesz POTRZEBOWAĆ pomnóż wszystkie elementy macierzy przez , ponieważ wszystkie liczby macierzy są podzielne przez 2 bez śladu.
Uwaga: w teorii matematyki szkół wyższych nie ma pojęcia „podziału”. Zamiast mówić „to podzielone przez tamto”, zawsze możesz powiedzieć „to pomnożone przez ułamek”. Oznacza to, że dzielenie jest szczególnym przypadkiem mnożenia.
3) Akt trzeci. Transpozycja macierzy.
Aby dokonać transpozycji macierzy należy wpisać jej wiersze w kolumny transponowanej macierzy.
Przykład:
Transponuj macierz
Jest tu tylko jedna linijka i zgodnie z regułą należy ją zapisać w kolumnie:
– transponowana macierz.
Transponowana macierz jest zwykle oznaczona indeksem górnym lub liczbą pierwszą w prawym górnym rogu.
Przykład krok po kroku:
Transponuj macierz 
Najpierw przepisujemy pierwszy wiersz do pierwszej kolumny:
Następnie przepisujemy drugą linię do drugiej kolumny: 
I na koniec przepisujemy trzeci wiersz do trzeciej kolumny:
Gotowy. Z grubsza mówiąc, transpozycja oznacza obrócenie matrycy na bok.
4) Akt czwarty. Suma (różnica) macierzy.
Suma macierzy to prosta operacja.
NIE WSZYSTKIE MATRYCE MOŻNA SKŁADAĆ. Aby wykonać dodawanie (odejmowanie) macierzy konieczne jest, aby były one TEGO SAMEGO ROZMIARU.
Na przykład, jeśli podana jest macierz dwa na dwa, to można ją dodać tylko z macierzą dwa na dwa i żadną inną! 
Przykład:
Dodaj macierze 
I 
Aby dodać macierze, należy dodać odpowiadające im elementy:
Dla różnicy macierzy zasada jest podobna, konieczne jest znalezienie różnicy odpowiednich elementów.
Przykład:
Znajdź różnicę macierzy 
, 
Jak można łatwiej rozwiązać ten przykład, aby się nie pomylić? Wskazane jest pozbycie się niepotrzebnych minusów; w tym celu dodaj minus do macierzy:
Uwaga: w teorii matematyki w szkołach wyższych nie ma pojęcia „odejmowania”. Zamiast mówić „odejmij to od tego”, zawsze możesz powiedzieć „dodaj do tego liczbę ujemną”. Oznacza to, że odejmowanie jest szczególnym przypadkiem dodawania.
5) Akt piąty. Mnożenie macierzy.
Jakie macierze można pomnożyć?
Aby macierz mogła zostać pomnożona przez macierz, jest to konieczne tak, aby liczba kolumn macierzy była równa liczbie wierszy macierzy.
Przykład:
Czy można pomnożyć macierz przez macierz?
Oznacza to, że dane macierzowe można mnożyć.
Ale jeśli macierze zostaną przestawione, w tym przypadku mnożenie nie będzie już możliwe!
Dlatego mnożenie nie jest możliwe:
Nierzadko spotyka się zadania z podstępem, gdy uczeń jest proszony o pomnożenie macierzy, których pomnożenie jest oczywiście niemożliwe.
Należy zaznaczyć, że w niektórych przypadkach możliwe jest pomnożenie macierzy w obie strony.
Na przykład w przypadku macierzy możliwe jest zarówno mnożenie, jak i mnożenie