Pojęcie formy kwadratowej. Macierz postaci kwadratowej. Postać kanoniczna postaci kwadratowej. Metoda Lagrange’a. Widok normalny postaci kwadratowej. Ranga, indeks i sygnatura postaci kwadratowej. Dodatnia określona forma kwadratowa. Kwadryki.

Pojęcie formy kwadratowej: funkcja na przestrzeni wektorowej określonej przez jednorodny wielomian drugiego stopnia we współrzędnych wektora.

Forma kwadratowa z N nieznany nazywa się sumą, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej z tych niewiadomych, albo iloczynem dwóch różnych niewiadomych.

Macierz kwadratowa: Macierz nazywa się macierzą postaci kwadratowej w danej bazie. Jeżeli charakterystyka pola nie jest równa 2, można przyjąć, że macierz postaci kwadratowej jest symetryczna, tzn.

Napisz macierz w postaci kwadratowej:

Stąd,

W postaci macierzy wektorowej postać kwadratowa to:

Gdzie

Forma kanoniczna postaci kwadratowej: Forma kwadratowa nazywana jest kanoniczną, jeśli w ogóle tj.

Dowolną postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą przekształceń liniowych. W praktyce zwykle stosuje się następujące metody.

Metoda Lagrange’a : sekwencyjne wybieranie całych kwadratów. Na przykład, jeśli

Następnie wykonuje się podobną procedurę z formą kwadratową itd. Jeśli w formie kwadratowej wszystko jest ale wówczas po wstępnym przekształceniu sprawa sprowadza się do rozpatrywanej procedury. Jeśli więc na przykład zakładamy

Normalna postać postaci kwadratowej: Normalna postać kwadratowa to kanoniczna postać kwadratowa, w której wszystkie współczynniki są równe +1 lub -1.

Ranga, indeks i sygnatura postaci kwadratowej: Ranga postaci kwadratowej A nazywa się rangą macierzy A. Ranga postaci kwadratowej nie zmienia się pod wpływem niezdegenerowanych transformacji niewiadomych.

Liczba ujemnych współczynników nazywana jest indeksem formy ujemnej.

Liczba wyrazów dodatnich w postaci kanonicznej nazywana jest dodatnim wskaźnikiem bezwładności postaci kwadratowej, liczba wyrazów ujemnych nazywana jest indeksem ujemnym. Różnica między wskaźnikami dodatnimi i ujemnymi nazywana jest sygnaturą postaci kwadratowej

Dodatnia określona forma kwadratowa: Rzeczywista forma kwadratowa nazywa się dodatnio określonym (ujemnie określonym), jeśli dla dowolnych rzeczywistych wartości zmiennych, które nie są jednocześnie zerowe,

. (36)

W tym przypadku macierz nazywana jest również określoną dodatnio (określoną ujemnie).

Klasa form dodatnio określonych (ujemnie określonych) jest częścią klasy form nieujemnych (odpowiednio niedodatnich).

Kwadryki: Quadric - N-wymiarowa hiperpowierzchnia w N Przestrzeń +1-wymiarowa, zdefiniowana jako zbiór zer wielomianu drugiego stopnia. Jeśli podasz współrzędne ( X 1 , X 2 , x rz+1 ) (w przestrzeni euklidesowej lub afinicznej), ogólne równanie kwadratu to

Równanie to można przepisać bardziej zwięźle w notacji macierzowej:

gdzie x = ( X 1 , X 2 , x rz+1 ) — wektor wierszowy, X T jest wektorem transponowanym, Q— macierz rozmiarów ( N+1)×( N+1) (zakłada się, że przynajmniej jeden z jego elementów jest niezerowy), P jest wektorem wierszowym, oraz R— stała. Najczęściej brane są pod uwagę kwadratury dotyczące liczb rzeczywistych lub zespolonych. Definicję można rozszerzyć na kwadryki w przestrzeni rzutowej, patrz poniżej.

Mówiąc bardziej ogólnie, zbiór zer układu równań wielomianowych nazywany jest rozmaitością algebraiczną. Zatem kwadryka jest (afiniczną lub rzutową) rozmaitością algebraiczną drugiego stopnia i współwymiaru 1.

Przekształcenia płaszczyzny i przestrzeni.

Definicja transformacji płaszczyzny. Detekcja ruchu. właściwości ruchu. Dwa rodzaje ruchów: ruch pierwszego rodzaju i ruch drugiego rodzaju. Przykłady ruchów. Analityczne wyrażenie ruchu. Klasyfikacja ruchów płaskich (w zależności od obecności punktów stałych i linii niezmienniczych). Grupa ruchów płaskich.

Definicja transformacji płaszczyzny: Definicja. Nazywa się transformacją płaszczyzny zachowującą odległość między punktami ruch(lub ruch) samolotu. Transformacja płaszczyzny nazywa się afiniczny, jeśli przekształca dowolne trzy punkty leżące na tej samej prostej w trzy punkty również leżące na tej samej prostej, zachowując jednocześnie prostą relację trzech punktów.

Definicja ruchu: Są to transformacje kształtu zachowujące odległości pomiędzy punktami. Jeśli dwie figury zostaną dokładnie dopasowane do siebie poprzez ruch, to te figury są takie same, równe.

Właściwości ruchu: Każdy ruch płaszczyzny zachowujący orientację jest albo równoległym translacją, albo obrotem; każdy ruch płaszczyzny zmieniający orientację jest albo symetrią osiową, albo symetrią ślizgową. Podczas ruchu punkty leżące na linii prostej przekształcają się w punkty leżące na linii prostej, przy czym zachowana jest kolejność ich względnego położenia. Podczas ruchu kąty między półliniami zostają zachowane.

Dwa rodzaje ruchów: ruch pierwszego rodzaju i ruch drugiego rodzaju: Ruchy pierwszego rodzaju to ruchy, które zachowują orientację podstaw określonej figury. Można je realizować poprzez ciągłe ruchy.

Ruchy drugiego rodzaju to ruchy, które zmieniają orientację podstaw na przeciwną. Nie da się ich zrealizować poprzez ciągłe ruchy.

Przykładami ruchów pierwszego rodzaju są ruchy postępowe i obrotowe wokół linii prostej, natomiast ruchy drugiego rodzaju to symetrie centralne i lustrzane.

Złożenie dowolnej liczby ruchów pierwszego rodzaju jest ruchem pierwszego rodzaju.

Złożenie parzystej liczby ruchów drugiego rodzaju jest ruchem pierwszego rodzaju, a złożenie nieparzystej liczby ruchów drugiego rodzaju jest ruchem drugiego rodzaju.

Przykłady ruchów:Transfer równoległy. Niech a będzie danym wektorem. Równoległe przeniesienie na wektor a to odwzorowanie płaszczyzny na siebie, w którym każdy punkt M jest odwzorowany na punkt M 1, tak że wektor MM 1 jest równy wektorowi a.

Tłumaczenie równoległe jest ruchem, ponieważ jest odwzorowaniem płaszczyzny na siebie, z zachowaniem odległości. Ruch ten można wizualnie przedstawić jako przesunięcie całej płaszczyzny w kierunku danego wektora a o jego długość.

Obracać się. Oznaczmy punkt O na płaszczyźnie ( centrum tokarskie) i ustaw kąt α ( kąt obrotu). Obrót płaszczyzny wokół punktu O o kąt α to odwzorowanie płaszczyzny na siebie, w którym każdy punkt M jest odwzorowany na punkt M 1 w taki sposób, że OM = OM 1 i kąt MOM 1 jest równy α. W tym przypadku punkt O pozostaje na swoim miejscu, czyli zostaje nałożony na siebie, a wszystkie pozostałe punkty obracają się wokół punktu O w tym samym kierunku – zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (na rysunku przedstawiono obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Obrót jest ruchem, ponieważ reprezentuje odwzorowanie płaszczyzny na siebie, przy czym zachowane są odległości.

Analityczny wyraz ruchu: związek analityczny współrzędnych obrazu wstępnego z obrazem punktu ma postać (1).

Klasyfikacja ruchów płaskich (w zależności od obecności punktów stałych i linii niezmienniczych): Definicja:

Punkt na płaszczyźnie jest niezmienniczy (stały), jeśli pod wpływem danej transformacji przekształca się w siebie.

Przykład: W przypadku symetrii centralnej punkt środka symetrii jest niezmienny. Podczas obracania punkt środka obrotu jest niezmienny. Przy symetrii osiowej linia niezmienna jest linią prostą - oś symetrii jest linią prostą punktów niezmiennych.

Twierdzenie: Jeśli ruch nie ma ani jednego niezmiennego punktu, to ma co najmniej jeden niezmienny kierunek.

Przykład: Transfer równoległy. Rzeczywiście linie proste równoległe do tego kierunku są niezmienne jako figura jako całość, chociaż nie składa się ona z niezmiennych punktów.

Twierdzenie: Jeśli promień się porusza, promień ulega translacji na siebie, wówczas ruch ten jest albo identyczną transformacją, albo symetrią w stosunku do prostej zawierającej dany promień.

Dlatego na podstawie obecności niezmiennych punktów lub figur możliwa jest klasyfikacja ruchów.

Nazwa ruchu	Punkty niezmienne	Linie niezmiennicze
Ruch pierwszego rodzaju.
1. - obróć	(w środku) - 0	NIE
2. Transformacja tożsamości	wszystkie punkty płaszczyzny	wszystko prosto
3. Symetria centralna	punkt 0 - środek	wszystkie proste przechodzące przez punkt 0
4. Transfer równoległy	NIE	wszystko prosto
Ruch drugiego rodzaju.
5. Symetria osiowa.	zestaw punktów	oś symetrii (prosta) wszystkie linie proste

Grupa ruchu płaszczyzny: W geometrii ważną rolę odgrywają grupy autokompozycji figur. Jeśli jest to pewna figura na płaszczyźnie (lub w przestrzeni), to możemy rozważyć zbiór wszystkich tych ruchów płaszczyzny (lub przestrzeni), podczas których figura zamienia się w siebie.

Ten zestaw jest grupą. Na przykład w przypadku trójkąta równobocznego grupa ruchów płaskich, które przekształcają trójkąt w siebie, składa się z 6 elementów: obrotów o kąty wokół punktu i symetrii wokół trzech prostych.

Są one pokazane na ryc. 1 czerwone linie. Elementy grupy samonastawień trójkąta foremnego można określić inaczej. Aby to wyjaśnić, ponumerujmy wierzchołki trójkąta foremnego liczbami 1, 2, 3. Każde samoustawienie trójkąta przenosi punkty 1, 2, 3 do tych samych punktów, ale w innej kolejności, tj. można warunkowo zapisać w postaci jednego z tych nawiasów:

itp.

gdzie liczby 1, 2, 3 wskazują numery tych wierzchołków, do których w wyniku rozpatrywanego ruchu przechodzą wierzchołki 1, 2, 3.

Przestrzenie rzutowe i ich modele.

Pojęcie przestrzeni rzutowej i model przestrzeni rzutowej. Podstawowe fakty dotyczące geometrii rzutowej. Pęczek linii o środku w punkcie O jest modelem płaszczyzny rzutowej. Punkty projekcyjne. Rozciągnięta płaszczyzna jest modelem płaszczyzny rzutowej. Rozszerzona trójwymiarowa przestrzeń afiniczna lub euklidesowa jest modelem przestrzeni rzutowej. Obrazy figur płaskich i przestrzennych w układzie równoległym.

Pojęcie przestrzeni rzutowej i model przestrzeni rzutowej:

Przestrzeń rzutowa nad polem to przestrzeń składająca się z linii (jednowymiarowych podprzestrzeni) pewnej przestrzeni liniowej nad danym polem. Nazywa się przestrzenie bezpośrednie kropki przestrzeń projekcyjna. Definicję tę można uogólnić na dowolny organ

Jeżeli ma wymiar, to wymiar przestrzeni rzutowej nazywany jest liczbą, a sama przestrzeń rzutowa jest oznaczana i nazywana skojarzoną z (aby to zaznaczyć, przyjmuje się zapis).

Nazywa się przejście z przestrzeni wektorowej wymiaru do odpowiedniej przestrzeni rzutowej projekcja przestrzeń.

Punkty można opisywać za pomocą jednorodnych współrzędnych.

Podstawowe fakty dotyczące geometrii rzutowej: Geometria rzutowa to gałąź geometrii zajmująca się badaniem płaszczyzn i przestrzeni rzutowych. Główną cechą geometrii rzutowej jest zasada dualności, która dodaje eleganckiej symetrii wielu projektom. Geometrię rzutową można badać zarówno z punktu widzenia czysto geometrycznego, jak i analitycznego (z wykorzystaniem współrzędnych jednorodnych) i salgebraicznego, traktując płaszczyznę rzutową jako strukturę nad polem. Często i historycznie za prawdziwą płaszczyznę rzutową uważa się płaszczyznę euklidesową z dodatkiem „linii w nieskończoności”.

Natomiast właściwości figur, którymi zajmuje się geometria euklidesowa to metryczny(określone wartości kątów, odcinków, obszarów), a równoważność figur jest im równoważna stosowność(tj. gdy figury można przekładać na siebie poprzez ruch, zachowując jednocześnie właściwości metryczne), istnieją bardziej „głęboko leżące” właściwości figur geometrycznych, które zachowują się w wyniku przekształceń bardziej ogólnego typu niż ruch. Geometria rzutowa zajmuje się badaniem właściwości figur, które są niezmienne w ramach tej klasy transformacje projekcyjne jak i same te przekształcenia.

Geometria rzutowa uzupełnia geometrię euklidesową, dostarczając pięknych i prostych rozwiązań wielu problemów skomplikowanych obecnością linii równoległych. Szczególnie prosta i elegancka jest teoria rzutowa przekrojów stożkowych.

Istnieją trzy główne podejścia do geometrii rzutowej: niezależna aksjomatyzacja, uzupełnienie geometrii euklidesowej i struktura nad polem.

Aksjomatyzacja

Przestrzeń projekcyjną można zdefiniować za pomocą innego zestawu aksjomatów.

Coxeter zapewnia, co następuje:

1. Istnieje linia prosta i punkt, który na niej nie leży.

2. Każda linia ma co najmniej trzy punkty.

3. Przez dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną linię prostą.

4. Jeśli A, B, C, I D- różne punkty i AB I płyta CD przecinają się zatem AC I BD przecinać.

5. Jeśli ABC jest płaszczyzną, to istnieje co najmniej jeden punkt nie leżący na płaszczyźnie ABC.

6. Dwie różne płaszczyzny przecinają się co najmniej w dwóch punktach.

7. Trzy punkty ukośne pełnego czworoboku nie są współliniowe.

8. Jeśli trzy punkty leżą na linii X X

Płaszczyznę rzutową (bez trzeciego wymiaru) definiują nieco inne aksjomaty:

1. Przez dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną linię prostą.

2. Dowolne dwie linie przecinają się.

3. Istnieją cztery punkty, z czego trzy nie są współliniowe.

4. Trzy punkty ukośne pełnych czworokątów nie są współliniowe.

5. Jeśli trzy punkty leżą na linii X są niezmienne w odniesieniu do rzutowości φ, to wszystkie punkty dalej X niezmienny względem φ.

6. Twierdzenie Desarguesa: Jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne przez punkt, to są perspektywiczne przez linię.

W obecności trzeciego wymiaru twierdzenie Desarguesa można udowodnić bez wprowadzania idealnego punktu i linii.

Płaszczyzna rozciągnięta - model płaszczyzny rzutowej: W przestrzeni afinicznej A3 bierzemy wiązkę prostych S(O) ze środkiem w punkcie O i płaszczyzną Π, która nie przechodzi przez środek wiązki: O 6∈ Π. Wiązka linii w przestrzeni afinicznej jest modelem płaszczyzny rzutowej. Zdefiniujmy odwzorowanie zbioru punktów płaszczyzny Π na zbiór prostych łącznika S (kurwa, módl się, jeśli masz to pytanie, wybacz mi)

Rozszerzona trójwymiarowa przestrzeń afiniczna lub euklidesowa - model przestrzeni rzutowej:

Aby odwzorowanie było surjektywne, powtarzamy proces formalnego przedłużenia płaszczyzny afinicznej Π do płaszczyzny rzutowej Π, uzupełniając płaszczyznę Π zbiorem punktów niewłaściwych (M∞) tak, że: ((M∞)) = PO(O). Ponieważ na mapie obrazem odwrotnym każdej płaszczyzny wiązki płaszczyzn S(O) jest prosta na płaszczyźnie d, to oczywiste jest, że zbiór wszystkich punktów niewłaściwych wydłużonej płaszczyzny: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), reprezentuje niewłaściwą linię d∞ rozciągniętej płaszczyzny, będącą odwrotnym obrazem płaszczyzny osobliwej Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Umówmy się, że tu i dalej ostatnią równość P0(O) = Π0 będziemy rozumieć w sensie równości zbiorów punktów, ale obdarzonych inną strukturą. Uzupełniając płaszczyznę afiniczną linią niewłaściwą, zapewniliśmy, że odwzorowanie (I.21) stało się bijektywne na zbiorze wszystkich punktów rozciągniętej płaszczyzny:

Obrazy figur płaskich i przestrzennych podczas projektowania równoległego:

W stereometrii badane są figury przestrzenne, ale na rysunku są one przedstawiane jako figury płaskie. Jak należy przedstawić figurę przestrzenną na płaszczyźnie? Zwykle w geometrii stosuje się do tego konstrukcję równoległą. Niech p będzie jakąś płaszczyzną, l- przecinająca ją linia prosta (ryc. 1). Przez dowolny punkt A, nie należące do linii l, narysuj linię równoległą do linii l. Punkt przecięcia tej prostej z płaszczyzną p nazywany jest rzutem równoległym punktu A do płaszczyzny p w kierunku prostej l. Oznaczmy to A„. Jeśli chodzi o to A należy do linii l, a następnie przez rzut równoległy A przyjmuje się, że punkt przecięcia prostej leży na płaszczyźnie p l z samolotem str.

Zatem każdy punkt A porównuje się jego rzut w przestrzeni A" na płaszczyznę p. Ta zgodność nazywa się rzutowaniem równoległym na płaszczyznę p w kierunku linii prostej l.

Grupa transformacji projekcyjnych. Zastosowanie do rozwiązywania problemów.

Pojęcie transformacji rzutowej płaszczyzny. Przykłady przekształceń rzutowych płaszczyzny. Własności transformacji rzutowych. Homologia, właściwości homologii. Grupa transformacji projekcyjnych.

Pojęcie transformacji rzutowej płaszczyzny: Koncepcja transformacji rzutowej uogólnia koncepcję rzutu centralnego. Jeśli wykonamy rzut centralny płaszczyzny α na jakąś płaszczyznę α 1, to rzut α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... i w końcu jakąś płaszczyznę α N znowu na α 1, wówczas złożenie wszystkich tych rzutów jest transformacją rzutową płaszczyzny α; W takim łańcuchu można również uwzględnić występy równoległe.

Przykłady transformacji płaszczyzny rzutowej: Transformacja rzutowa ukończonej płaszczyzny to jej odwzorowanie jeden do jednego na samą siebie, przy czym zachowana jest współliniowość punktów, czyli innymi słowy obraz dowolnej linii jest linią prostą. Każda transformacja rzutowa jest złożeniem łańcucha rzutów centralnych i równoległych. Transformacja afiniczna jest szczególnym przypadkiem transformacji rzutowej, w której linia w nieskończoności zamienia się w samą siebie.

Właściwości transformacji rzutowych:

Podczas transformacji rzutowej trzy punkty nie leżące na linii są przekształcane w trzy punkty nie leżące na prostej.

Podczas transformacji projekcyjnej rama zamienia się w ramę.

Podczas transformacji rzutowej linia przechodzi w linię prostą, a ołówek w ołówek.

Homologia, właściwości homologii:

Transformacja rzutowa płaszczyzny, która ma linię niezmiennych punktów, a zatem ołówek niezmiennych linii, nazywa się homologią.

1. Linia przechodząca przez nie pokrywające się odpowiednie punkty homologii jest linią niezmienną;

2. Linie przechodzące przez nie pokrywające się odpowiednie punkty homologii należą do tego samego ołówka, którego środkiem jest punkt niezmienny.

3. Punkt, jego obraz i środek homologii leżą na tej samej linii prostej.

Grupa transformacji projekcyjnych: rozważ odwzorowanie rzutowe płaszczyzny rzutowej P 2 na samą siebie, to znaczy transformację rzutową tej płaszczyzny (P 2 ' = P 2).

Tak jak poprzednio, złożenie f przekształceń rzutowych f 1 i f 2 płaszczyzny rzutowej P 2 jest wynikiem sekwencyjnego wykonania przekształceń f 1 i f 2: f = f 2 °f 1 .

Twierdzenie 1: zbiór H wszystkich przekształceń rzutowych płaszczyzny rzutowej P 2 jest grupą ze względu na skład przekształceń rzutowych.

Kwadratowe kształty

Kwadratowy kształt f(x 1, x 2,...,x n) n zmiennych to suma, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej ze zmiennych, albo iloczynem dwóch różnych zmiennych, przyjętym z pewnym współczynnikiem: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Macierz A złożona z tych współczynników nazywana jest macierzą postaci kwadratowej. Zawsze symetryczny macierz (tj. macierz symetryczna względem głównej przekątnej, a ij = a ji).

W notacji macierzowej postać kwadratowa to f(X) = X T AX, gdzie

Rzeczywiście

Na przykład zapiszmy postać kwadratową w postaci macierzowej.

Aby to zrobić, znajdujemy macierz w postaci kwadratowej. Jego elementy przekątne są równe współczynnikom kwadratowych zmiennych, a pozostałe elementy są równe połówkom odpowiednich współczynników postaci kwadratowej. Dlatego

Niech macierz-kolumnę zmiennych X otrzymamy poprzez niezdegenerowaną transformację liniową macierzy-kolumny Y, tj. X = CY, gdzie C jest macierzą nieosobliwą n-tego rzędu. Następnie forma kwadratowa
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T do T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Zatem przy niezdegenerowanej transformacji liniowej C macierz postaci kwadratowej przyjmuje postać: A * = C T AC.

Na przykład znajdźmy postać kwadratową f(y 1, y 2), otrzymaną z postaci kwadratowej f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 poprzez transformację liniową.

Forma kwadratowa nazywa się kanoniczny(To ma pogląd kanoniczny), jeśli wszystkie jego współczynniki a ij = 0 dla i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = za 11 x 1 2 + za 22 x 2 2 + … + za nn x n 2 = .

Jego matryca jest diagonalna.

Twierdzenie(nie podano tutaj dowodu). Dowolną postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą niezdegenerowanej transformacji liniowej.

Na przykład zredukujmy formę kwadratową do postaci kanonicznej
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Aby to zrobić, najpierw wybierz cały kwadrat ze zmienną x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Teraz wybieramy cały kwadrat ze zmienną x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Następnie niezdegenerowana transformacja liniowa y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 i y 3 = x 3 sprowadza tę postać kwadratową do postaci kanonicznej f(y 1, y 2 , y 3) = 2 lata 1 2 - 5 lat 2 2 - (1/20) lata 3 2 .

Należy zauważyć, że postać kanoniczna postaci kwadratowej jest wyznaczana niejednoznacznie (tę samą postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej na różne sposoby). Jednak formy kanoniczne uzyskane różnymi metodami mają wiele wspólnych właściwości. W szczególności liczba wyrazów o dodatnich (ujemnych) współczynnikach postaci kwadratowej nie zależy od sposobu sprowadzenia formy do tej postaci (przykładowo w rozważanym przykładzie zawsze będą dwa współczynniki ujemne i jeden dodatni). Ta właściwość nazywa się prawo bezwładności form kwadratowych.

Sprawdźmy to, sprowadzając tę ​​samą formę kwadratową do postaci kanonicznej w inny sposób. Zacznijmy transformację od zmiennej x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , r 2 , r 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdzie y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Tutaj mamy dodatni współczynnik 2 przy y 3 i dwa ujemne współczynniki (-3) przy y 1 i y 2 (inną metodą otrzymaliśmy dodatni współczynnik 2 przy y 1 i dwa ujemne współczynniki - (-5) przy y2 i (-1/20) przy y3).

Należy również zauważyć, że rząd macierzy postaci kwadratowej, tzw ranga postaci kwadratowej, jest równa liczbie niezerowych współczynników postaci kanonicznej i nie zmienia się pod wpływem przekształceń liniowych.

Nazywa się postać kwadratową f(X). pozytywnie (negatywny) niektórzy, jeśli dla wszystkich wartości zmiennych, które nie są jednocześnie równe zeru, jest on dodatni, tj. f(X) > 0 (ujemny, tj.
f(X)< 0).

Na przykład forma kwadratowa f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 jest dodatnio określona, ​​ponieważ jest sumą kwadratów, a forma kwadratowa f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 jest ujemnie określona, ​​ponieważ reprezentuje, można to przedstawić jako f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

W większości praktycznych sytuacji nieco trudniej jest ustalić znak określony formy kwadratowej, dlatego w tym celu używamy jednego z następujących twierdzeń (sformułujemy je bez dowodu).

Twierdzenie. Forma kwadratowa jest dodatnia (ujemna) określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne jej macierzy są dodatnie (ujemne).

Twierdzenie (kryterium Sylwestra). Forma kwadratowa jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące molle macierzy tej postaci są dodatnie.

Główny (narożny) mniejszy Macierz k-tego rzędu A n-tego rzędu nazywana jest wyznacznikiem macierzy złożonej z k pierwszych wierszy i kolumn macierzy A ().

Należy zauważyć, że w przypadku ujemnych określonych form kwadratowych znaki drugorzędnych głównych są naprzemienne, a moll pierwszego rzędu musi być ujemny.

Na przykład przeanalizujmy formę kwadratową f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pod kątem określoności znaku.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Dlatego forma kwadratowa jest dodatnio określona.

Metoda 2. Moll główny pierwszego rzędu macierzy A D 1 = a 11 = 2 > 0. Moll główny drugiego rzędu D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Zatem zgodnie z kryterium Sylwestra postać kwadratowa ma postać dodatnio określony.

Badamy inną postać kwadratową określającą określoność znaku, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Skonstruujmy macierz postaci kwadratowej A = . Równanie charakterystyczne będzie miało postać = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Dlatego forma kwadratowa jest ujemnie określona.

Jednorodny wielomian stopnia 2 w kilku zmiennych nazywany jest formą kwadratową.

Postać kwadratowa zmiennych składa się z terminów dwóch typów: kwadratów zmiennych i ich iloczynów parami z określonymi współczynnikami. Formę kwadratową zapisuje się zwykle w postaci następującego diagramu kwadratowego:

Pary wyrazów podobnych zapisuje się z jednakowymi współczynnikami, tak aby każdy z nich stanowił połowę współczynnika odpowiedniego iloczynu zmiennych. Zatem każda forma kwadratowa jest naturalnie powiązana z jej macierzą współczynników, która jest symetryczna.

Wygodnie jest przedstawić postać kwadratową w następującym zapisie macierzowym. Oznaczmy przez X kolumnę zmiennych poprzez X - wiersz, czyli macierz transponowaną przez X. Wtedy

Formy kwadratowe można znaleźć w wielu gałęziach matematyki i jej zastosowaniach.

W teorii liczb i krystalografii formy kwadratowe rozważa się przy założeniu, że zmienne przyjmują tylko wartości całkowite. W geometrii analitycznej postać kwadratowa jest częścią równania krzywej (lub powierzchni) rzędu. W mechanice i fizyce forma kwadratowa wydaje się wyrażać energię kinetyczną układu poprzez składowe uogólnionych prędkości itp. Ale dodatkowo badanie form kwadratowych jest również konieczne w analizie przy badaniu funkcji wielu zmiennych, w pytaniach dla którego ważne jest, aby dowiedzieć się, jak ta funkcja w sąsiedztwie danego punktu odbiega od funkcji liniowej, która ją aproksymuje. Przykładem problemu tego typu jest badanie funkcji dla jej maksimum i minimum.

Rozważmy na przykład problem badania maksimum i minimum funkcji dwóch zmiennych, która ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do rzędu. Warunkiem koniecznym, aby punkt dał maksimum lub minimum funkcji, jest to, że pochodne cząstkowe rzędu w tym punkcie są równe zero. Załóżmy, że warunek ten jest spełniony. Dajmy zmiennym x i y małe przyrosty oraz k i rozważmy odpowiedni przyrost funkcji. Zgodnie ze wzorem Taylora przyrost ten, aż do małych wyższych rzędów, jest równy postaci kwadratowej, gdzie są wartościami drugich pochodnych. obliczone w punkcie Jeśli ta forma kwadratowa jest dodatnia dla wszystkich wartości i k (z wyjątkiem ), to funkcja ma minimum w punkcie, jeśli jest ujemna, to ma maksimum; Wreszcie, jeśli formularz przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, wówczas nie będzie wartości maksymalnej ani minimalnej. W podobny sposób bada się funkcje większej liczby zmiennych.

Badanie form kwadratowych polega głównie na badaniu problemu równoważności form w odniesieniu do jednego lub drugiego zestawu przekształceń liniowych zmiennych. Mówi się, że dwie formy kwadratowe są równoważne, jeśli jedną z nich można przekształcić w drugą poprzez jedną z transformacji danego zbioru. Z problemem równoważności ściśle wiąże się problem redukcji formy, tj. przekształcając go do możliwie najprostszej postaci.

W różnych zagadnieniach związanych z formami kwadratowymi uwzględnia się także różne zbiory dopuszczalnych transformacji zmiennych.

W zagadnieniach analitycznych stosuje się dowolne niespecjalne przekształcenia zmiennych; na potrzeby geometrii analitycznej największym zainteresowaniem cieszą się przekształcenia ortogonalne, czyli takie, które odpowiadają przejściu z jednego układu zmiennych współrzędnych kartezjańskich do drugiego. Wreszcie w teorii liczb i krystalografii rozważa się przekształcenia liniowe o współczynnikach całkowitych i wyznaczniku równym jedności.

Rozważymy dwa z tych problemów: kwestię redukcji formy kwadratowej do jej najprostszej postaci poprzez dowolne przekształcenia nieosobliwe i to samo pytanie w przypadku przekształceń ortogonalnych. Przede wszystkim dowiedzmy się, jak przekształca się macierz postaci kwadratowej podczas liniowej transformacji zmiennych.

Niech , gdzie A jest macierzą symetryczną współczynników formy, X jest kolumną zmiennych.

Dokonajmy liniowej transformacji zmiennych, zapisując ją w skrócie . Tutaj C oznacza macierz współczynników tej transformacji, X jest kolumną nowych zmiennych. Wtedy i dlatego taka jest macierz przekształconej postaci kwadratowej

Macierz automatycznie okazuje się symetryczna, co łatwo sprawdzić. Zatem problem sprowadzenia postaci kwadratowej do najprostszej postaci jest równoznaczny z problemem sprowadzenia macierzy symetrycznej do najprostszej postaci poprzez pomnożenie jej po lewej i prawej stronie przez wzajemnie transponowane macierze.

W tej sekcji skupimy się na specjalnej, ale ważnej klasie dodatnich form kwadratowych.

Definicja 3. Prawdziwą formę kwadratową nazywa się nieujemną (niedodatnią), jeśli dla dowolnych rzeczywistych wartości zmiennych

. (35)

W tym przypadku symetryczna macierz współczynników nazywana jest dodatnią półokreśloną (ujemną półokreśloną).

Definicja 4. Prawdziwą formę kwadratową nazywa się dodatnio określoną (ujemnie określoną), jeśli dla dowolnych rzeczywistych wartości zmiennych, które nie są jednocześnie zerowe,

. (36)

W tym przypadku macierz nazywana jest również określoną dodatnio (określoną ujemnie).

Klasa form dodatnio określonych (ujemnie określonych) jest częścią klasy form nieujemnych (odpowiednio niedodatnich).

Niech zostanie podana forma nieujemna. Wyobraźmy sobie to jako sumę niezależnych kwadratów:

. (37)

W tej reprezentacji wszystkie kwadraty muszą być dodatnie:

. (38)

Rzeczywiście, gdyby takowe istniały, możliwe byłoby wybranie takich wartości, że

Ale wtedy przy tych wartościach zmiennych forma miałaby wartość ujemną, co jest niemożliwe ze względu na warunek. Oczywiście odwrotnie, z (37) i (38) wynika, że ​​forma jest dodatnia.

Zatem nieujemna forma kwadratowa charakteryzuje się równościami.

Niech teraz będzie formą dodatnio określoną. Wtedy jest to forma nieujemna. Dlatego można to przedstawić w postaci (37), gdzie wszystkie są dodatnie. Z pozytywnej określoności formy wynika, że ​​. Rzeczywiście, w tym przypadku możliwe jest wybranie wartości, które nie są jednocześnie równe zeru, przy czym wszystko zmieni się na zero. Ale wtedy na mocy (37) w , co jest sprzeczne z warunkiem (36).

Łatwo zobaczyć, że odwrotnie, jeśli w (37) i wszystkie są dodatnie, to jest to dodatnio określona forma.

Innymi słowy, forma nieujemna jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest liczbą pojedynczą.

Poniższe twierdzenie podaje kryterium dodatniej określoności formy w postaci nierówności, które muszą spełniać współczynniki formy. W tym przypadku stosuje się notację napotkaną już w poprzednich akapitach dla kolejnych głównych drugorzędnych macierzy:

.

Twierdzenie 3. Aby forma kwadratowa była dodatnio określona, ​​konieczne i wystarczające jest spełnienie nierówności

Dowód. Wystarczalność warunków (39) wynika bezpośrednio ze wzoru Jacobiego (28). Konieczność warunków (39) ustala się w następujący sposób. Z pozytywnej określoności formy wynika pozytywna określoność form „okrojonych”.

.

Ale wtedy wszystkie te formy muszą być nieliczbowe, tj.

Teraz mamy możliwość skorzystania ze wzoru Jacobiego (28) (w ). Ponieważ po prawej stronie tego wzoru wszystkie kwadraty muszą być dodatnie

Oznacza to nierówności (39). Twierdzenie zostało udowodnione.

Ponieważ dowolny element drugorzędny macierzy, przy odpowiedniej renumeracji zmiennych, można umieścić w lewym górnym rogu, to mamy

Konsekwencja. W dodatnio określonej postaci kwadratowej wszystkie główne elementy drugorzędne macierzy współczynników są dodatnie:

Komentarz. Z nienegatywności kolejnych głównych nieletnich

nieujemność formy nie wynika z tego. Faktycznie, forma

,

w której , spełnia warunki , ale nie jest nieujemna.

Jednakże obowiązuje następująca zasada

Twierdzenie 4. Aby forma kwadratowa była nieujemna, konieczne i wystarczające jest, aby wszystkie główne minory jej macierzy współczynników były nieujemne:

Dowód. Wprowadźmy formę pomocniczą, która była niedodatnia, jest ona konieczna i wystarczająca, aby nierówności miały miejsce

Kwadratowy kształt f(x 1, x 2,...,x n) n zmiennych to suma, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej ze zmiennych, albo iloczynem dwóch różnych zmiennych, przyjętym z pewnym współczynnikiem: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Macierz A złożona z tych współczynników nazywana jest macierzą postaci kwadratowej. Zawsze symetryczny macierz (tj. macierz symetryczna względem głównej przekątnej, a ij =a ji).

W notacji macierzowej postać kwadratowa to f(X) = X T AX, gdzie

Rzeczywiście

Na przykład zapiszmy postać kwadratową w postaci macierzowej.

Aby to zrobić, znajdujemy macierz w postaci kwadratowej. Jego elementy przekątne są równe współczynnikom kwadratowych zmiennych, a pozostałe elementy są równe połówkom odpowiednich współczynników postaci kwadratowej. Dlatego

Niech macierz-kolumnę zmiennych X otrzymamy poprzez niezdegenerowaną transformację liniową macierzy-kolumny Y, tj. X = CY, gdzie C jest macierzą nieosobliwą n-tego rzędu. Wtedy postać kwadratowa f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Zatem przy niezdegenerowanej transformacji liniowej C macierz postaci kwadratowej przyjmuje postać: A * =C T AC.

Na przykład znajdźmy postać kwadratową f(y 1, y 2), otrzymaną z postaci kwadratowej f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 poprzez transformację liniową.

Forma kwadratowa nazywa się kanoniczny(To ma pogląd kanoniczny), jeśli wszystkie jego współczynnikia ij = 0 dla i≠j, tj. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jego matryca jest diagonalna.

Twierdzenie(nie podano tutaj dowodu). Dowolną postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą niezdegenerowanej transformacji liniowej.

Przykładowo sprowadźmy do postaci kanonicznej postać kwadratową f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Aby to zrobić, najpierw wybierz cały kwadrat ze zmienną x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Teraz wybieramy cały kwadrat ze zmienną x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Następnie niezdegenerowana transformacja liniowa y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 i y 3 = x 3 sprowadza tę postać kwadratową do postaci kanonicznejf(y 1,y 2, r 3) = 2 lata 1 2 - 5 lat 2 2 - (1/20) lata 3 2 .

Należy zauważyć, że postać kanoniczna postaci kwadratowej jest wyznaczana niejednoznacznie (tę samą postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej na różne sposoby 1). Jednak formy kanoniczne uzyskane różnymi metodami mają wiele wspólnych właściwości. W szczególności liczba wyrazów o dodatnich (ujemnych) współczynnikach postaci kwadratowej nie zależy od sposobu sprowadzenia formy do tej postaci (przykładowo w rozważanym przykładzie zawsze będą dwa współczynniki ujemne i jeden dodatni). Ta właściwość nazywa się prawo bezwładności form kwadratowych.

Sprawdźmy to, sprowadzając tę ​​samą formę kwadratową do postaci kanonicznej w inny sposób. Transformację zacznijmy od zmiennej x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , gdzie y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Tutaj mamy współczynnik dodatni 2 dla y 3 i dwa współczynniki ujemne (-3) dla y 1 i y 2 (a inną metodą otrzymaliśmy współczynnik dodatni 2 dla y 1 i dwa ujemne - (-5) dla y 2 i (-1/20) dla y 3 ).

Należy również zauważyć, że rząd macierzy postaci kwadratowej, tzw ranga postaci kwadratowej, jest równa liczbie niezerowych współczynników postaci kanonicznej i nie zmienia się pod wpływem przekształceń liniowych.

Nazywa się postać kwadratową f(X). pozytywnie(negatywny)niektórzy, jeśli dla wszystkich wartości zmiennych, które nie są jednocześnie równe zeru, jest ona dodatnia, tj. f(X) > 0 (ujemna, tj. f(X)< 0).

Na przykład forma kwadratowa f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 jest dodatnio określona, ​​ponieważ jest sumą kwadratów, a forma kwadratowa f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 jest ujemnie określona, ​​ponieważ reprezentuje, można to przedstawić w postacif 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

W większości praktycznych sytuacji nieco trudniej jest ustalić znak określony formy kwadratowej, dlatego w tym celu używamy jednego z następujących twierdzeń (sformułujemy je bez dowodu).

Twierdzenie. Forma kwadratowa jest dodatnia (ujemna) określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne jej macierzy są dodatnie (ujemne).

Twierdzenie (kryterium Sylwestra). Forma kwadratowa jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące molle macierzy tej postaci są dodatnie.

Główny (narożny) mniejszy Macierze k-tego rzędu rzędu An-tego nazywane są wyznacznikiem macierzy złożonej z k pierwszych wierszy i kolumn macierzy A ().

Należy zauważyć, że w przypadku ujemnych określonych form kwadratowych znaki drugorzędnych głównych są naprzemienne, a moll pierwszego rzędu musi być ujemny.

Na przykład przeanalizujmy formę kwadratową f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pod kątem określoności znaku.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Dlatego forma kwadratowa jest dodatnio określona.

Metoda 2. Moll główny pierwszego rzędu macierzy A  1 =a 11 = 2 > 0. Moll główny drugiego rzędu  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Zatem zgodnie z kryterium Sylwestra kwadrat forma jest dodatnio określona.

Badamy inną postać kwadratową określającą określoność znaku, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Skonstruujmy macierz postaci kwadratowej A = . Równanie charakterystyczne będzie miało postać = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Dlatego forma kwadratowa jest ujemnie określona.

Metoda 2. Moll główny pierwszego rzędu macierzy A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Zatem zgodnie z kryterium Sylwestra forma kwadratowa jest ujemnie określona (znaki mniejszych molowych są naprzemienne, zaczynając od minus).

Jako kolejny przykład przeanalizujemy postać kwadratową o znaku f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Skonstruujmy macierz postaci kwadratowej A = . Równanie charakterystyczne będzie miało postać = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Jedna z tych liczb jest ujemna, a druga dodatnia. Znaki wartości własnych są różne. W związku z tym forma kwadratowa nie może być ani ujemna, ani dodatnio określona, ​​tj. ta forma kwadratowa nie jest określona znakiem (może przyjmować wartości dowolnego znaku).

Metoda 2. Moll główny pierwszego rzędu macierzy A  1 =a 11 = 2 > 0. Moll główny drugiego rzędu 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Rozważana metoda redukcji postaci kwadratowej do postaci kanonicznej jest wygodna w zastosowaniu, gdy z kwadratami zmiennych spotyka się niezerowe współczynniki. Jeśli ich tam nie ma, nadal można przeprowadzić konwersję, ale trzeba zastosować inne techniki. Na przykład niech f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, gdzie y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.