Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).

II.a. Если -p — положительное число, (то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Любое полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 можно привести к виду x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0 , если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x 2 . А если ввести новые обозначения (b/a) = p и (c/a) = q , то будем иметь уравнение x 2 + px + q = 0 , которое в математике называется приведенным квадратным уравнением .

Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета , названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.

Теорема . Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену q .

Запишем данные соотношения в следующем виде:

Пусть x 1 и x 2 различные корни приведенного уравнения x 2 + px + q = 0 . Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q .

Для доказательства подставим каждый из корней x 1 и x 2 в уравнение. Получаем два верных равенства:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Вычтем из первого равенства второе. Получим:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

По условию корни x 1 и x 2 различные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x 1 – x 2) ≠ 0 и выразить p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Первое равенство доказано.

Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение

x 1 2 + px 1 + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число – (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Преобразовав левую часть уравнения, получаем:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, что и требовалось доказать.

Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение .

Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0, где x 1 и x 2 его корни. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q.

Можно сделать следующий вывод .

Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x 1 и x 2 имеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:

1. определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
2. поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения; второй корень будет иметь противоположный знак.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1 .

Решить уравнение x 2 – 2x – 15 = 0.

Решение .

Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b 2 – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е. знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x 1 = -3 и x 2 = 5.

Ответ. x 1 = -3 и x 2 = 5.

Пример 2 .

Решить уравнение x 2 + 5x – 6 = 0.

Решение .

Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:

D = b 2 – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два различных корня.

Возможные множители числа 6 - это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».

Ответ: x 1 = -6 и x 2 = 1.

Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни x 1 и x 2 , то для них выполняются равенства

x 1 + x 2 = -(b/a) и x 1 · x 2 = (c/a) . Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.

В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t 2 + bt + ac = 0, корни которого t 1 и t 2 (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.

В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут

x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).

Пример 3 .

Решить уравнение 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Решение .

Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:

15 2 x 2 – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Делаем замену t = 15x. Имеем:

t 2 – 11t + 30 = 0.

По теореме Виета корнями данного уравнения будут t 1 = 5 и t 2 = 6.

Возвращаемся к замене t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Таким образом, x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

Ответ. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с , в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в , в знаменателе а .
(Из школьного фольклора)

В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле, мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х 2 + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х 1 · х 2 = 12) и сумму (х 1 + х 2 = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.

Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.

Мы же здесь будем рассматривать более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х 2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.

Решение.

Пусть второй корень равен х 2 .

Тогда первый корень х1 = 3х 2 .

Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.

Составим уравнение 3х 2 + х 2 = 2,4.

Отсюда х 2 = 0,6. Следовательно х 1 = 1,8.

Ответ: с = (х 1 · х 2) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.

Пример 2.

Известно, что х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 – 8х + p = 0, причём 3х 1 + 4х 2 = 29. Найдите p.

Решение.

Согласно теореме Виета х 1 + х 2 = 8, а по условию 3х 1 + 4х 2 = 29.

Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х 1 = 3, х 2 = 5.

А следовательно p = 15.

Ответ: p = 15.

Пример 3.

Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8 х – 1 = 0, найдите х 1 4 + х 2 4

Решение.

Заметим, что по теореме Виета х 1 + х 2 = -8/3 и х 1 · х 2 = -1/3 и преобразуем выражение

а) х 1 4 + х 2 4 = (х 1 2 + х 2 2) 2 – 2х 1 2 х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) 2 – 2(х 1 х 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Ответ: 4898/9.

Пример 4.

При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

Решение.

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х 1 >х 2 и получим х 1 + х 2 = (а + 1)/2 и х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х 1 – х 2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х 1 = а/2, х 2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 5.

Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение.

Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х 1 + х 2 = 2а, х 1 · х 2 = 2а – 1. Посчитаем

х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 . Или после подстановки х 1 2 + х 2 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х 1 + х 2 = х 1 2 + х 2 2 . Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а 1 = 1 и а 2 = 1/2. Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 6.

Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах 2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.

Решение.

Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.

Тогда условие задачи запишется так: х 1 3 + х 2 3 = х 1 2 · х 2 2 . Или: (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2) = (х 1 х 2) 2 .

Необходимо преобразовать второй множитель. х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) – х 1 х 2 .

Получим (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2) = (х 1 х 2) 2 . Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 · c/a) = (c/a) 2 . Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b 2)/a = c 2 . Соотношение найдено.

Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.

Пример 7.

Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Решение.

Если у этого уравнения есть корни х 1 и х 2 , то их сумма х 1 + х 2 = -2а, а произведение х 1 · х 2 = 3а 2 – 6а – 2.

Вычисляем х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 = (-2а) 2 – 2(3а 2 – 6а – 2) = -2а 2 + 12а + 4 = -2(а – 3) 2 + 22.

Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.

Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х 2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.

Следовательно, ответ: при а = 3.

Пример 8.

Уравнение 2х 2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х 1 = 1/х 1 и Х 2 = 1/х 2 . (*)

Решение.

Очевидно, что х 1 + х 2 = 7/2 и х 1 · х 2 = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х 1 + Х 2) и q = Х 1 · Х 2 .

Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда: р = -(х 1 + х 2)/(х 1 · х 2) = 7/3 и q = 1/(х 1 · х 2) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Ответ получен.

Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Начальный уровень

Квадратные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

Домножим левую и правую часть на:

Это уравнение, хотя в нем изначально был, не является квадратным!

Пример 3.

Домножим все на:

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

Пример 4.

Вроде бы есть, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

Видишь, сократился - и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

Ответы:

1. квадратное;
2. квадратное;
3. не квадратное;
4. не квадратное;
5. не квадратное;
6. квадратное;
7. не квадратное;
8. квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:

• Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициенты и, а также свободный член с не равны нулю (как в примере). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные - это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

• Неполные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:

  Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений - они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают типов:

1. , в этом уравнении коэффициент равен.
2. , в этом уравнении свободный член равен.
3. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

1. и. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

Выражение может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел - результатом всегда будет положительное число, так что: если, то уравнение не имеет решений.

А если, то получаем два корня. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше.

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 7:

Решите уравнение

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок - (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение

Вынесем общий множитель за скобки:

Таким образом,

У этого уравнения два корня.

Ответ:

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение где

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если, то уравнение имеет корняНужно особое внимание обратить на шаг. Дискриминант () указывает нам на количество корней уравнения.

• Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
• Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение

Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ:

Пример 10:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет один корень.

Ответ:

Пример 11:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.

Пример 12:

Решите уравнение

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .

Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:

А произведение равно:

Составим и решим систему:

• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Ответ: ; .

Пример 13:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 14:

Решите уравнение

Уравнение приведенное, а значит:

Ответ:

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Что такое квадратное уравнение?

Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .

Почему? Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.

При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное.

Решения различных типов квадратных уравнений

Методы решения неполных квадратных уравнений:

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.

Можно выделить типа таких уравнений:

I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

II. , в этом уравнении коэффициент равен.

III. , в этом уравнении свободный член равен.

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

если, то уравнение не имеет решений;

если, имеем учаем два корня

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.

Ответ:

Итак, это уравнение имеет два корня: и.

Ответ:

Вынесем общим множитель за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ:

Методы решения полных квадратных уравнений:

1. Дискриминант

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.

• Если, то уравнение имеет корня:
• Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:

  Такие корни называются двукратными.

• Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось). Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Ответ: .

Ответ:

А значит, решений нет.

Ответ: .

2. Теорема Виета

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Решите уравнение.

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .

Сумма корней уравнения равна:

А произведение равно:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:

• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Таким образом, и - корни нашего уравнения.

Ответ: ; .

Пример №2:

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:

и: в сумме дают.

и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.

Ответ:

Пример №3:

Решение:

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:

и: их разность равна - не подходит;

и: - не подходит;

и: - не подходит;

и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:

Ответ:

Пример №4:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:

Ответ:

Пример №5:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:

Очевидно, что корнями являются числа и.

Ответ:

Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:

Решения заданий для самостоятельной работы:

Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0

По теореме Виета:

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Не подходит, так как сумма;

: сумма - то что надо.

Ответ: ; .

Задание 2.

И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.

Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).

Ответ: ; .

Задание 3.

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

Сумма корней равна, произведение.

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:

Отлично. Тогда сумма корней равна, а произведение.

Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).

Ответ: ; .

Задание 4.

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.

Итак, корни равны и, но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть. Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.

Ответ: ; .

Задание 5.

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:

Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.

Ответ: ; .

Подведу итог:

1. Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
2. Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
3. Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

3. Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.

Например:

Пример 1:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

Пример 2:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

Отсюда следует: .

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.

Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .

Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:

• если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
• если свободный член, уравнение имеет вид: ,
• если и, уравнение имеет вид: .

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Выразим неизвестное: ,

2) Проверяем знак выражения:

• если, то уравнение не имеет решений,
• если, то уравнение имеет два корня.

1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Вынесем общим множитель за скобки: ,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:

1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:

Данное уравнение всегда имеет только один корень: .

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где

2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,

2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

• если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
• если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
• если, то уравнение не имеет корней.

2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.

2.3. Решение методом выделения полного квадрата