Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P

Q

S бок

S полн

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(3)

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a,b,c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА 1 АD : так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 DD 1 , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку , то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Т.о. Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 СС 1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 DD 1 получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее.

Определение .

Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

• Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
• Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
• Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
• Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
• Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
• Диагональ B 1 D
• Диагональ основания BD
• Диагональное сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства правильной четырехугольной призмы

• Основаниями являются два равных квадрата
• Основания параллельны друг другу
• Боковыми гранями являются прямоугольники
• Боковые грани равны между собой
• Боковые грани перпендикулярны основаниям
• Боковые ребра параллельны между собой и равны
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
• Углы перпендикулярного сечения - прямые
• Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
• Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма " подразумевается, что:

Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение .
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна

√144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Ответ : 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

В пространственной геометрии при решении задач с призмами часто возникает проблема с расчетом площади сторон или граней, которые образуют эти объемные фигуры. Данная статья посвящена вопросу определения площади основания призмы и ее боковой поверхности.

Фигура призма

Перед тем как переходить к рассмотрению формул для площади основания и поверхности призмы того или иного вида, следует разобраться, о какой фигуре идет речь.

Призма в геометрии представляет собой пространственную фигуру, состоящую из двух параллельных многоугольников, которые равны между собой, и нескольких четырехугольников или параллелограммов. Количество последних всегда равно числу вершин одного многоугольника. Например, если фигура образована двумя параллельными n-угольниками, тогда количество параллелограммов будет равно n.

Соединяющие n-угольники параллелограммы называются боковыми сторонами призмы, а их суммарная площадь - это площадь боковой поверхности фигуры. Сами же n-угольники называются основаниями.

Выше рисунок демонстрирует пример призмы, изготовленной из бумаги. Желтый прямоугольник является ее верхним основанием. На втором таком же основании фигура стоит. Красный и зеленый прямоугольники - это боковые грани.

Какие призмы бывают?

Существует несколько типов призм. Все они отличаются друг от друга всего двумя параметрами:

• видом n-угольника, образующего основания;
• углом между n-угольником и боковыми гранями.

Например, если основания являются треугольниками, тогда и призма называется треугольной, если четырехугольниками, как на предыдущем рисунке, тогда фигура называется четырехугольной призмой, и так далее. Кроме этого, n-угольник может быть выпуклым или вогнутым, тогда к названию призмы тоже добавляется это свойство.

Угол между боковыми гранями и основанием может быть либо прямой, либо острый или тупой. В первом случае говорят о прямоугольной призме, во втором - о наклонной или косоугольной.

В особый тип фигур выделяют правильные призмы. Они обладают самой высокой симметрией среди остальных призм. Правильной она будет только в том случае, если является прямоугольной и ее основание - это правильный n-угольник. Рисунок ниже демонстрирует набор правильных призм, у которых число сторон n-угольника изменяется от трех до восьми.

Поверхность призмы

Под поверхностью рассматриваемой фигуры произвольного типа понимают совокупность всех точек, которые принадлежат граням призмы. Поверхность призмы удобно изучать, рассматривая ее развертку. Ниже дан пример такой развертки для треугольной призмы.

Видно, что вся поверхность образована двумя треугольниками и тремя прямоугольниками.

В случае призмы общего типа ее поверхность будет состоять из двух n-угольных оснований и n четырехугольников.

Рассмотрим подробнее вопрос вычисления площади поверхности призм разных типов.

Площадь основания призмы правильной

Пожалуй, самой простой задачей при работе с призмами является проблема нахождения площади основания правильной фигуры. Поскольку оно образовано n-угольником, у которого все углы и длины сторон являются одинаковыми, то всегда можно разделить его на одинаковые треугольники, у которых известны углы и стороны. Суммарная площадь треугольников будет площадью n-угольника.

Еще один способ определить часть площади поверхности призмы (основание) заключается в использовании известной формулы. Она имеет следующий вид:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

То есть площадь S n n-угольника однозначно определяется исходя из знания длины его стороны a. Некоторую сложность при расчете по формуле может составить вычисление котангенса, особенно когда n>4 (для n≤4 значения котангенса - это табличные данные). Для определения этой тригонометрической функции рекомендуется воспользоваться калькулятором.

При постановке геометрической задачи следует быть внимательным, поскольку может потребоваться найти площадь оснований призмы. Тогда полученное по формуле значение следует умножить на два.

Площадь основания треугольной призмы

На примере треугольной призмы рассмотрим, как можно найти площадь основания этой фигуры.

Сначала рассмотрим простой случай - правильную призму. Площадь основания вычисляется по приведенной в пункте выше формуле, нужно подставить в нее n=3. Получаем:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Остается подставить в выражение конкретные значения длины стороны a равностороннего треугольника, чтобы получить площадь одного основания.

Теперь предположим, что имеется призма, основание которой представляет собой произвольный треугольник. Известны две его стороны a и b и угол между ними α. Эта фигура изображена ниже.

Как в этом случае найти площадь основания призмы треугольной? Необходимо вспомнить, что площадь любого треугольника равна половине произведения стороны и высоты, опущенной на эту сторону. На рисунке проведена высота h к стороне b. Длина h соответствует произведению синуса угла альфа на длину стороны a. Тогда площадь всего треугольника равна:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Это и есть площадь основания изображенной треугольной призмы.

Боковая поверхность

Мы разобрали, как найти площадь основания призмы. Боковая поверхность этой фигуры всегда состоит из параллелограммов. Для прямых призм параллелограммы становятся прямоугольниками, поэтому суммарную их площадь вычислить легко:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Здесь b - длина бокового ребра, a i - длина стороны i-го прямоугольника, которая совпадает с длиной стороны n-угольника. В случае правильной n-угольной призмы получаем простое выражение:

Если призма является наклонной, тогда для определения площади ее боковой поверхности следует сделать перпендикулярный срез, рассчитать его периметр P sr и умножить его на длину бокового ребра.

Рисунок выше показывает, как следует делать этот срез для наклонной пятиугольной призмы.

Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник - от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Вторая: S = ½ н а * а.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 - две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 - н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

Ответ. Площади: основания - 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы - 180 см 2 .

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
• площадь основания: Sосн = V / h;
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба