Definicija numeričkog niza. Numeričke sekvence. Abstract. Prezentacija
Uvod………………………………………………………………………………………………3
1.Teorijski dio…………………………………………………………………….4
Osnovni pojmovi i pojmovi……………………………………………………………..4
1.1 Vrste sekvenci…………………………………………………………6
1.1.1. Ograničeni i neograničeni brojevi nizova…..6
1.1.2.Monotonost sekvenci……………………………………6
1.1.3.Infinitezimalni i infinitezimalni nizovi…….7
1.1.4 Osobine infinitezimalnih nizova…………………8
1.1.5 Konvergentni i divergentni nizovi i njihova svojstva....9
1.2 Ograničenje redoslijeda……………………………………………………..11
1.2.1.Teoreme o granicama nizova……………………………………………………………………………15
1.3.Aritmetička progresija……………………………………………………………17
1.3.1. Svojstva aritmetičke progresije………………………………………………..17
1.4Geometrijska progresija……………………………………………………..19
1.4.1. Svojstva geometrijske progresije……………………………………….19
1.5. Fibonačijevi brojevi…………………………………………………………………………………..21
1.5.1 Povezanost Fibonačijevih brojeva sa drugim oblastima znanja…………………….22
1.5.2. Korištenje niza Fibonaccijevih brojeva za opisivanje žive i nežive prirode…………………………………………………………………………………………….23
2. Vlastito istraživanje……………………………………………………….28
Zaključak…………………………………………………………………………………….30
Spisak korištene literature…………………………………………………………31
Uvod.
Brojne sekvence veoma je zanimljivo i obrazovna tema. Ova tema se nalazi u zadacima povećane složenosti koje studentima nude autori. didaktički materijali, u zadacima matematičkih olimpijada, prijemni ispiti na Višu Obrazovne ustanove i na ispitu. Zanima me povezanost matematičkih nizova sa drugim oblastima znanja.
Target istraživački rad: Proširiti znanje o nizu brojeva.
1. Razmotrite slijed;
2. Razmotrite njegova svojstva;
3. Razmotriti analitički zadatak niza;
4. Pokazati svoju ulogu u razvoju drugih oblasti znanja.
5. Demonstrirajte upotrebu niza Fibonačijevih brojeva za opisivanje žive i nežive prirode.
1. Teorijski dio.
Osnovni pojmovi i pojmovi.
Definicija. Numerički niz je funkcija oblika y = f(x), x O N, gdje je N skup prirodni brojevi(ili funkcija prirodnog argumenta), označena kao y = f(n) ili y1, y2,…, yn,…. Vrijednosti y1, y2, y3,… nazivaju se redom prvi, drugi, treći, … članovi niza.
Broj a se naziva granicom niza x = (x n ) ako za proizvoljno zadani proizvoljno mali pozitivni broj ε postoji prirodan broj N takav da je za sve n>N nejednakost |x n - a|< ε.
Ako je broj a granica niza x \u003d (x n), onda kažu da x n teži a, i pišu
.Niz (yn) se naziva rastućim ako je svaki od njegovih članova (osim prvog) veći od prethodnog:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Niz (yn) se naziva opadajući ako je svaki od njegovih članova (osim prvog) manji od prethodnog:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Rastući i opadajući nizovi su ujedinjeni zajedničkim pojmom - monotoni nizovi.
Niz se naziva periodičnim ako postoji prirodan broj T takav da, počevši od nekog n, vrijedi jednakost yn = yn+T. Broj T naziva se dužina perioda.
Aritmetička progresija je niz (an), čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak zbroju prethodnog člana i istog broja d, naziva se aritmetička progresija, a broj d se naziva razlika aritmetičku progresiju.
Dakle, aritmetička progresija je numerički niz (an) rekurzivno zadan relacijama
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Geometrijska progresija je niz u kojem su svi članovi različiti od nule i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobija od prethodnog člana množenjem sa istim brojem q.
Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (bn) dat rekurzivno relacijama
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Vrste sekvenci.
1.1.1 Ograničeni i neograničeni nizovi.
Za niz (bn) se kaže da je ograničen odozgo ako postoji broj M takav da je za bilo koji broj n zadovoljena nejednakost bn≤ M;
Za niz (bn) se kaže da je ograničen odozdo ako postoji broj M takav da je za bilo koji broj n zadovoljena nejednakost bn≥ M;
Na primjer:
1.1.2 Monotoničnost sekvenci.
Niz (bn) se naziva nerastućim (neopadajućim) ako je za bilo koji broj n tačna nejednakost bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);
Niz (bn) naziva se opadajući (rastući) ako je za bilo koji broj n nejednakost bn > bn+1 (bn Opadajući i rastući nizovi se nazivaju striktno monotonim, nerastućim - monotonim u širem smislu. Nizovi ograničeni i odozgo i odozdo nazivaju se ograničenim. Niz svih ovih tipova naziva se monotonim. 1.1.3 Beskonačno veliki i mali nizovi. Infinitezimalni niz je numerička funkcija ili niz koji teži nuli. Niz an se naziva infinitezimalnim ako Funkcija se naziva infinitezimalnom u okolini tačke x0 ako je ℓimx→x0 f(x)=0. Funkcija se naziva beskonačno malom ako je ℓimx→.+∞ f(x)=0 ili ℓimx→-∞ f(x)=0 Infinitezimalna je i funkcija koja je razlika između funkcije i njene granice, to jest, ako je ℓimx→.+∞ f(x)=a, onda je f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0. Beskonačno veliki niz je numerička funkcija ili niz koji teži beskonačnosti. Niz an se naziva beskonačno velikim ako ℓimn→0 an=∞. Funkcija se zove beskonačna u okolini tačke x0 ako je ℓimx→x0 f(x)= ∞. Za funkciju se kaže da je beskonačno velika u beskonačnosti ako ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ili ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Svojstva infinitezimalnih nizova. Zbir dva infinitezimalna niza je sam po sebi takođe infinitezimalni niz. Razlika između dva infinitezimalna niza je i sama po sebi infinitezimalna sekvenca. Algebarski zbir bilo kojeg konačnog broja infinitezimalnih nizova je sam po sebi također infinitezimalni niz. Proizvod ograničenog niza i infinitezimalnog niza je beskonačno mali niz. Proizvod bilo kojeg konačnog broja infinitezimalnih nizova je beskonačno mali niz. Bilo koji infinitezimalni niz je ograničen. Ako je stacionarni niz beskonačno mali, tada su svi njegovi elementi, počevši od nekog, jednaki nuli. Ako se cijeli infinitezimalni niz sastoji od istih elemenata, onda su ti elementi nule. Ako je (xn) beskonačno veliki niz koji ne sadrži nulte članove, onda postoji niz (1/xn) koji je beskonačno mali. Ako, međutim, (xn) sadrži nula elemenata, tada se niz (1/xn) i dalje može definirati počevši od nekog broja n, i i dalje će biti beskonačno mali. Ako je (an) beskonačno mali niz koji ne sadrži nulte članove, onda postoji niz (1/an) koji je beskonačno velik. Međutim, ako (an) sadrži nula elemenata, tada se niz (1/an) i dalje može definirati počevši od nekog broja n, i i dalje će biti beskonačno velik. 1.1.5 Konvergentni i divergentni nizovi i njihova svojstva. Konvergentni niz je niz elemenata skupa X koji ima ograničenje u ovom skupu. Divergentni niz je niz koji nije konvergentan. Svaki infinitezimalni niz je konvergentan. Njegova granica je nula. Uklanjanje bilo kojeg konačnog broja elemenata iz beskonačnog niza ne utiče ni na konvergenciju ni na granicu tog niza. Svaki konvergentni niz je ograničen. Međutim, ne konvergira svaki ograničeni niz. Ako niz (xn) konvergira, ali nije beskonačno mali, tada se, počevši od nekog broja, definira niz (1/xn), koji je ograničen. Zbir konvergentnih nizova je takođe konvergentan niz. Razlika konvergentnih nizova je takođe konvergentna sekvenca. Proizvod konvergentnih nizova je također konvergentni niz. Kvocijent dva konvergentna niza je definiran počevši od nekog elementa, osim ako je drugi niz beskonačno mali. Ako je definisan kvocijent dva konvergentna niza, onda je to konvergentni niz. Ako je konvergentni niz ograničen ispod, tada nijedna od njegovih donjih granica ne prelazi njegovu granicu. Ako je konvergentni niz ograničen odozgo, onda njegova granica ne prelazi nijednu od njegovih gornjih granica. Ako za bilo koji broj članovi jednog konvergentnog niza ne prelaze članove drugog konvergentnog niza, tada granica prvog niza također ne prelazi granicu drugog. Brojčani niz i njegova granica predstavljaju jedan od najvažnijih problema matematike kroz istoriju postojanja ove nauke. Konstantno ažurirano znanje, formulisane nove teoreme i dokazi - sve to nam omogućava da ovaj koncept razmotrimo sa novih pozicija i pod različitim Numerički niz, u skladu s jednom od najčešćih definicija, matematička je funkcija čija je osnova skup prirodnih brojeva raspoređenih prema jednom ili drugom obrascu. Postoji nekoliko opcija za kreiranje nizova brojeva. Prvo, ova funkcija se može specificirati na takozvani "eksplicitan" način, kada postoji određena formula po kojoj se svaki njen član može odrediti jednostavnom zamjenom rednog broja u dati niz. Druga metoda se zove "rekurzivna". Njegova suština leži u činjenici da je dato nekoliko prvih članova numeričkog niza, kao i posebna rekurzivna formula, uz pomoć koje, znajući prethodni član, možete pronaći sljedeći. Konačno, najopćenitiji način specificiranja nizova je tzv. kada se bez većih poteškoća ne može samo identificirati jedan ili drugi pojam pod određenim rednim brojem, već i, poznavajući nekoliko uzastopnih pojmova, doći do opće formule ovog funkcija. Brojčani niz može biti opadajući ili rastući. U prvom slučaju, svaki sljedeći član je manji od prethodnog, au drugom je, naprotiv, veći. S obzirom na ovu temu, nemoguće je ne dotaknuti se pitanja granica sekvenci. Granica niza je broj takav da za bilo koju količinu, uključujući beskonačno malu količinu, postoji serijski broj, nakon čega odstupanje uzastopnih članova niza od date tačke u numeričkom obliku postaje manje od vrijednosti specificirane tokom formiranja ove funkcije. Koncept granice numeričkog niza aktivno se koristi pri izvođenju određenih integralnih i diferencijalnih proračuna. Matematički nizovi imaju čitav niz prilično zanimljivih svojstava. Prvo, bilo koji numerički niz je primjer matematičke funkcije, stoga se ona svojstva koja su karakteristična za funkcije mogu sigurno primijeniti na nizove. Najupečatljiviji primjer takvih svojstava je odredba o rastućim i opadajućim aritmetičkim nizovima, koje objedinjuje jedan zajednički koncept - monotoni nizovi. Drugo, postoji prilično velika grupa sekvenci koje se ne mogu klasificirati ni kao rastuće ni opadajuće - to su periodične sekvence. U matematici se smatraju one funkcije u kojima postoji takozvana dužina perioda, odnosno od određenog trenutka (n) počinje djelovati sljedeća jednakost y n \u003d y n + T, gdje će T biti veoma dužinu perioda. Razmotrimo niz prirodnih brojeva: 1, 2, 3, , n
– 1, n,
. Ako zamijenimo svaki prirodan broj n u ovoj seriji neki broj a n, slijedeći neki zakon, dobijamo novi niz brojeva: a 1 ,
a 2 ,
a 3 , , a n –1 ,
a n ,
, skraćeno i nazvano numerički niz. Vrijednost a n naziva se zajednički član numeričkog niza. Obično se numerički niz daje nekom formulom a n
= f(n) koji vam omogućava da pronađete bilo koji član niza po njegovom broju n; ova formula se naziva formula opšteg termina. Imajte na umu da nije uvijek moguće specificirati numerički niz pomoću formule za opći termin; ponekad je niz specificiran opisom njegovih članova. Po definiciji, niz uvijek sadrži beskonačan broj elemenata: bilo koja dva različita elementa se razlikuju barem po svom broju, kojih ima beskonačno mnogo. Numerički niz je poseban slučaj funkcije. Niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva i uzima vrijednosti u skupu realnih brojeva, tj. funkcija oblika f
: N
R. Subsequence Ponekad je zgodno koristiti ne sve prirodne brojeve kao brojeve, već samo neke od njih (na primjer, prirodne brojeve koji počinju od nekog prirodnog broja n 0). Za numeriranje je također moguće koristiti ne samo prirodne brojeve, već i druge brojeve, na primjer, n= 0, 1, 2, (ovde se nula dodaje skupu prirodnih brojeva kao drugi broj). U takvim slučajevima, određujući redoslijed, navedite koje vrijednosti uzimaju brojevi. n. Ako u nekom slijedu za bilo koji n N
Primjer 1
.
Numerički niz 1, 2, 3, 4, 5, ... je niz prirodnih brojeva i ima zajednički pojam a n
= n. Primjer 2
.
Brojčani niz 2, 4, 6, 8, 10, ... je niz parnih brojeva i ima zajednički izraz a n
= 2n. Primjer 3
.
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … je numerički niz približnih vrijednosti sa sve većom preciznošću. U posljednjem primjeru, nemoguće je dati formulu za zajednički termin niza. Primjer 4
.
Napišite prvih 5 članova numeričkog niza njegovim zajedničkim članom Test 6
.
Zajednički član niza 1, 2, 6, 24, 120, je: 1)
2)
3)
4)
Test 7
.
1)
2)
3)
4)
Test 8
.
Uobičajeni član sekvence 1)
2)
3)
4)
Razmotrimo numerički niz čiji se zajednički pojam približava određenom broju ALI sa povećanjem serijskog broja n. U ovom slučaju se kaže da brojčani niz ima ograničenje. Ovaj koncept ima rigorozniju definiciju. Broj ALI naziva se granica niza brojeva ako za bilo koji > 0 postoji takav broj n 0
= n 0 (), u zavisnosti od , što Ova definicija to znači ALI postoji ograničenje niza brojeva ako se njegov zajednički termin neograničeno približava ALI sa povećanjem n. Geometrijski, to znači da se za bilo koji > 0 može naći takav broj n 0 , što, počevši od n
> n 0, svi članovi niza se nalaze unutar intervala ( ALI
– ,
ALI+ ). Poziva se niz koji ima ograničenje konvergirajući; inače - divergentan. Brojčani niz može imati samo jednu granicu (konačnu ili beskonačnu) određenog znaka. Primjer 5
.
Harmonični niz Primjer 6
.
Niz 2, 5, 2, 5, je divergentan. Zaista, nijedan interval dužine manji od, na primjer, jedan ne može sadržavati sve članove niza, počevši od nekog broja. Slijed se zove ograničeno ako postoji takav broj M, šta Primjer 7
.
Subsequence Broj e pozvao Eulerov broj i približno je jednako 2,718 28. Test 9
.
Niz 1, 4, 9, 16, je: 1) konvergirajuće; 2) divergentan; 3) ograničeno; Test 10
.
Subsequence 1) konvergirajuće; 2) divergentan; 3) ograničeno; 4) aritmetička progresija; 5) geometrijska progresija. Test 11
.
Subsequence 1) konvergirajuće; 2) divergentan; 3) ograničeno; 4) harmonijski. Test
12
.
Granica niza zadanog zajedničkim pojmom Hovhannisyan Eva Numeričke sekvence. Abstract. Opštinska budžetska obrazovna ustanova Number Sequences apstraktno Završeni radovi: Barnaul - 2014 Uvod………………………………………………………………………………………2 Numerički nizovi…………………………………………………………3 Načini postavljanja numeričkih nizova……………...4 Razvoj doktrine progresija…………………………………………………………..5 Svojstva numeričkih nizova……………………………………7 Aritmetička progresija .............................................................................. ..............9 Geometrijska progresija…………………………………………………………….10 Zaključak ………………………………………………………………… 11 Reference…………………………………………………………………………11 Uvod Svrha ovog sažetka– proučavanje osnovnih pojmova vezanih za numeričke nizove, njihovu primjenu u praksi. Trenutno se numerički nizovi smatraju posebnim slučajevima funkcije. Numerički niz je funkcija prirodnog argumenta. Koncept numeričkog niza nastao je i razvio se mnogo prije stvaranja teorije funkcije. Evo primjera nizova beskonačnih brojeva poznatih u antici: 1, 2, 3, 4, 5, … - niz prirodnih brojeva. 2, 4, 6, 8, 10,… - niz parnih brojeva. 1, 3, 5, 7, 9,… - niz neparnih brojeva. 1, 4, 9, 16, 25,… - niz kvadrata prirodnih brojeva. 2, 3, 5, 7, 11… - niz primarni brojevi.
1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - niz recipročnih prirodnih brojeva. Broj članova svake od ovih serija je beskonačan; prvih pet nizova se monotono povećava, a posljednja monotono opada. Svi navedeni nizovi, osim 5., dati su zbog činjenice da je za svaki od njih poznat zajednički pojam, odnosno pravilo za dobijanje pojma sa bilo kojim brojem. Za niz prostih brojeva, zajednički termin je nepoznat, ali već u 3. veku. BC e. aleksandrijski naučnik Eratosten ukazao je na metodu (iako vrlo glomazna) za dobijanje njenog n-tog člana. Ova metoda je nazvana "Eratostenovo sito". Progresije - određene vrste numeričkih nizova - nalaze se u spomenicima II milenijuma pre nove ere. e. Number Sequences Postoje različite definicije niza brojeva. Numerički niz –
to je niz elemenata brojevnog prostora (Vikipedija). Numerički niz –
ovo je skup brojeva. Funkcija oblika y = f (x), xnaziva se funkcija prirodnog argumenta ilinumerički nizi označimo y = f(n) ili ,
,
, …,
Zapis ().
Pozitivne parne brojeve ćemo ispisati rastućim redom. Prvi takav broj je 2, drugi je 4, treći je 6, četvrti je 8 i tako dalje, tako da dobijamo niz: 2; četiri; 6; osam; deset …. Očigledno je da će peto mjesto u ovom nizu biti broj 10, deseto - 20, stoto - 200. Općenito, za bilo koji prirodan broj n, možete odrediti odgovarajući pozitivni paran broj; jednako je 2n. Pogledajmo drugu sekvencu. Pisaćemo u opadajućem redosledu pravilne razlomke sa brojicom jednakim 1: ;
;
;
;
; … .
Za bilo koji prirodan broj n, možemo odrediti odgovarajući razlomak; to je jednako. Dakle, na šestom mjestu bi trebao biti razlomak, tridesetog - , na hiljaditim - djelić .
Brojevi koji formiraju niz nazivaju se prvi, drugi, treći, četvrti, itd. članovi niza. Članovi niza se obično označavaju slovima sa indeksima koji označavaju redni broj člana. Na primjer:,
,
itd. općenito, član niza s brojem n, ili, kako kažu, n-ti termin sekvence označavaju. Sam niz je označen sa (). Niz može sadržavati i beskonačan broj članova i jedan konačan. U ovom slučaju se naziva konačnim. Na primjer: niz dvocifrenih brojeva.10; jedanaest; 12; 13; …; 98; 99 Metode za specificiranje numeričkih nizova Sekvence se mogu specificirati na nekoliko načina. Redoslijed je obično prikladniji za postavljanjeformula njegovog zajedničkog n-og člana, što vam omogućava da pronađete bilo koji član niza, znajući njegov broj. U ovom slučaju se kaže da je niz zadan analitički. Na primjer: niz pozitivnih parnih članova=2n. zadatak: pronađite formulu za zajednički član niza (:
6; 20; 56; 144; 352;…
Rješenje. Svaki član niza zapisujemo u sljedećem obliku: n=1: 6 = 2 3 = 3 = n=2: 20=4 5=5= n=3: 56 = 8 7 = 7 = Kao što vidite, članovi niza su proizvod stepena dva pomnoženog sa uzastopnim neparnim brojevima, a dva se podiže na stepen koji je jednak broju elementa u pitanju. Dakle, zaključujemo da Odgovor: formula uobičajenog pojma: Drugi način da navedete sekvencu je da navedete sekvencu koristećirekurentna relacija.
Poziva se formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih do prethodnih (jedan ili više). ponavljajuća (od latinske riječi recurro - vratiti se). U ovom slučaju se specificira jedan ili nekoliko prvih elemenata niza, a ostali se određuju prema nekom pravilu. Primjer rekurzivno datog niza je niz Fibonačijevih brojeva - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , u kojem je svaki sljedeći broj, počevši od trećeg, zbir prethodna dva. jedinice: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 i tako dalje. Ovaj niz se može dati rekurzivno: N N, = 1. zadatak: podsekvencadato rekurentnom relacijom+ , n N, = 4. Zapišite prvih nekoliko članova ovog niza. Rješenje. Nađimo treći član datog niza: +
=
itd. Kada se sekvence specificiraju ponavljajuće, proračuni su vrlo glomazni, jer da bi se pronašli elementi s velikim brojevima, potrebno je pronaći sve prethodne članove navedenog niza, na primjer, pronaćimoramo pronaći svih prethodnih 499 pojmova. Deskriptivan načindodeljivanje numeričkog niza se sastoji u objašnjavanju od kojih elemenata je niz izgrađen. Primjer 1. "Svi članovi niza su 1." To znači da govorimo o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, …. Primjer 2. "Niz se sastoji od svih prostih brojeva u rastućem redoslijedu." Dakle, dat je niz 2, 3, 5, 7, 11, …. Uz ovakav način specificiranja niza u ovom primjeru, teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza. Takođe, numerički niz se može dati jednostavnimnavodeći svoje članove. Razvoj doktrine progresije Riječ progresija je latinskog porijekla (progressio), doslovno znači "pomicanje naprijed" (kao i riječ "napredak") i prvi put je pronašao rimski autor Boetije (5.-6. vek). Nastavite je u nedogled u jednom pravcu , na primjer, niz prirodnih brojeva, njihovih kvadrata i kocki. Krajem srednjeg vijeka i početkom modernog doba ovaj termin prestaje da se koristi. U 17. veku, na primer, J. Gregory je koristio izraz "serija" umesto progresije, a drugi istaknuti engleski matematičar, J. Wallis, koristio je izraz "beskonačne progresije" za beskonačne nizove. Trenutno razmatramo progresije kao posebne slučajeve numeričkih nizova. Teorijske informacije vezane za progresiju prvi put se nalaze u dokumentima antičke Grčke koji su došli do nas. U Psammitu, Arhimed po prvi put upoređuje aritmetičku i geometrijsku progresiju: 1,2,3,4,5,………………..
10,
,
………….
Progresije su se smatrale nastavkom proporcija, zbog čega su epiteti aritmetički i geometrijski preneseni iz proporcija u progresije. Ovo gledište o progresijama sačuvali su mnogi matematičari 17. pa čak i 18. veka. Ovako treba objasniti činjenicu da je simbol koji se nalazi u Barouu, a potom i kod drugih engleskih naučnika tog vremena za označavanje neprekidne geometrijske proporcije, počeo da označava geometrijsku progresiju u engleskim i francuskim udžbenicima 18. veka. Po analogiji, počeli su označavati aritmetičku progresiju. Jedan od Arhimedovih dokaza, izložen u njegovom djelu "Kvadratura parabole", u suštini se svodi na sumiranje beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Da bi riješio neke probleme iz geometrije i mehanike, Arhimed je izveo formulu za zbir kvadrata prirodnih brojeva, iako je korištena prije njega. 1/6n(n+1)(2n+1) Kineskim i indijskim naučnicima bile su poznate neke formule vezane za progresije. Dakle, Aryabhatta (V vek) je znao formule za zajednički pojam, zbir aritmetičke progresije, itd., Magavira (IX vek) je koristio formulu: +
+
+ ... +
= 1/6n(n+1)(2n+1) i druge složenije serije. Međutim, pravilo za pronalaženje zbira članova proizvoljne aritmetičke progresije prvi put se nalazi u Knjizi Abakusa (1202) Leonarda iz Pize. U Nauci o brojevima (1484), N. Shuke, poput Arhimeda, upoređuje aritmetičku progresiju sa geometrijskom i daje opšte pravilo za sumiranje bilo koje infinitezimalne opadajuće geometrijske progresije. Formula za sabiranje beskonačno opadajuće progresije bila je poznata P. Fermatu i drugim matematičarima 17. veka. Problemi za aritmetičke (i geometrijske) progresije nalaze se i u drevnom kineskom traktatu "Matematika u devet knjiga", koji, međutim, ne sadrži nikakva uputstva o upotrebi bilo koje formule za sumiranje. Prvi problemi progresije koji su nas dosli povezani su sa zahtjevima privrednog života i društvene prakse, kao što su distribucija proizvoda, podjela nasljedstva i tako dalje. Iz jedne klinaste ploče možemo zaključiti da su Babilonci, posmatrajući mjesec od mladog mjeseca do punog mjeseca, došli do ovog zaključka: u prvih pet dana nakon mladog mjeseca, do povećanja osvjetljenja mjesečevog diska dolazi po zakonu. geometrijske progresije sa nazivnikom 2. U drugoj kasnijoj tabli, govorimo o geometrijskoj progresiji sumiranja: 1+2+
+…+
. rješenje i odgovor S=512+(512-1), podaci na ploči sugeriraju da je autor koristio formulu. Sn= +( -1), ali niko ne zna kako je do njega došao. Zbrajanjem geometrijskih progresija i sastavljanjem odgovarajućih problema koji ne zadovoljavaju uvijek praktične potrebe bavili su se mnogi zaljubljenici u matematiku kroz antički i srednji vijek. Svojstva numeričkog niza Numerički niz - poseban slučaj numerička funkcija, te se stoga neka svojstva funkcija (ograničenost, monotonost) također razmatraju za nizove. Ograničene sekvence Slijed () se zove omeđen odozgo, da za bilo koji broj n, M. Slijed () se zove ograničeno odozdo, ako postoji takav broj m, da za bilo koji broj n, m. Slijed () se naziva ograničenim , ako je omeđen odozgo i omeđen odozdo, odnosno postoji takav broj M0 , što za bilo koji broj n , M. Slijed () se naziva neograničenim , ako postoji takav broj M0 da postoji broj n takav da, M. zadatak: istražiti sekvencu =
do ograničenja. Rješenje. Dati niz je ograničen, jer za bilo koji prirodan broj n vrijede sljedeće nejednakosti: 0
1,
Odnosno, niz je omeđen odozdo nulom, a istovremeno je omeđen odozgo jedinicom, pa je stoga i ograničen. Odgovor: niz je ograničen - odozdo nulom, a odozgo jedan. Rastuće i opadajuće sekvence Slijed () naziva se povećanjem , ako je svaki član veći od prethodnog: Na primjer, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... je rastući niz. Slijed () se naziva opadajućim , ako je svaki član manji od prethodnog: Na primjer, 1; je silazni niz. Rastući i opadajući nizovi su kombinovani zajedničkim pojmom -monotone sekvence. Uzmimo još nekoliko primjera. 1; -
ovaj niz nije ni rastući ni opadajući (nemonotoni niz). 2n. Govorimo o nizu 2, 4, 8, 16, 32, ... - rastućem nizu. Općenito, ako je a > 1, onda niz= povećava; ako je 0 = smanjenje. Aritmetička progresija Brojčani niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak zbroju prethodnog člana i istog broja d, naziva searitmetička progresija, a broj d je razlika aritmetičke progresije. Dakle, aritmetička progresija je numerički niz X, == + d, (n = 2, 3, 4, …; a i d su dati brojevi). Primjer 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... je rastuća aritmetička progresija, u kojoj= 1, d = 2. Primjer 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - opadajuća aritmetička progresija, u kojoj= 20, d = –3. Primjer 3. Razmotrimo niz prirodnih brojeva koji, kada se podijele sa četiri, imaju ostatak 1:1; 5; 9; 13; 17; 21… Svaki član, počevši od drugog, dobija se dodavanjem prethodnom članu broja 4. Ovaj niz je primjer aritmetičke progresije. Lako je pronaći eksplicitni (formualni) izrazpreko n. Vrijednost sljedećeg elementa raste za d u odnosu na prethodni, tako da će vrijednost n elementa porasti za (n - 1)d u odnosu na prvi član aritmetičke progresije, tj. =
+ d (n – 1). Ovo je formula za n-ti član aritmetičke progresije. Ovo je formula sume n članova aritmetičke progresije. Aritmetička progresija je nazvana jer je u njoj svaki član, osim prvog, jednak aritmetičkoj sredini dva susjedna s njim - prethodnog i sljedećeg, zapravo, Geometrijska progresija Numerički niz čiji su svi članovi različiti od nule i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobija od prethodnog člana množenjem sa istim brojem q, naziva segeometrijska progresija
, a broj q je imenilac geometrijske progresije. Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (dato rekurzivno relacijama B, = q (n = 2, 3, 4…; b i q su dati brojevi). Primjer 1. 2, 6, 18, 54, ... - rastuća geometrijska progresija 2, q = 3. Primjer 2. 2, -2, 2, -2, ... je geometrijska progresija= 2, q = –1. Jedno od očiglednih svojstava geometrijske progresije je da ako je niz geometrijska progresija, onda je niz kvadrata, tj.;
;…-
je geometrijska progresija čiji je prvi član jednak, a imenilac je.
Formula za n-ti član geometrijske progresije je: Formula za zbir n članova geometrijske progresije: karakteristično svojstvogeometrijska progresija: niz brojeva je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak je proizvodu prethodni i naredni članovi, Zaključak Brojne sekvence su proučavali mnogi naučnici vekovima.Prvi problemi progresije koji su nas dosli povezani su sa zahtjevima privrednog života i društvene prakse, kao što su distribucija proizvoda, podjela nasljedstva i tako dalje. Oni su jedan od ključni koncepti matematike. U svom radu pokušao sam da odrazim osnovne koncepte vezane za numeričke nizove, kako ih postaviti, svojstva i razmotriti neke od njih. Zasebno su razmatrane progresije (aritmetičke i geometrijske) i opisani su osnovni pojmovi povezani s njima. Bibliografija M.: Prosvjeta, 1964. Cradle. Pelene. Cry. životni slijed SEKVENCIJA - (sekvenca), brojevi ili elementi raspoređeni na organizovan način. Nizovi mogu biti konačni (sa ograničenim brojem elemenata) ili beskonačni, poput kompletnog niza prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4 ….… … Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik definicija:Numerički niz se naziva numeričkim, datim na skupu prirodnih brojeva N. Za numeričke nizove, obično umjesto f(n) pisati a n
i označi niz ovako: a n
). Brojevi a 1
,
a 2
, …,
a n,…
pozvao elementi sekvence. Obično se numerički niz određuje podešavanjem n-ti element ili rekurzivna formula, prema kojoj se svaki sljedeći element određuje kroz prethodni. Moguć je i deskriptivan način specificiranja numeričkog niza. Na primjer: Kod ponavljajuće metode, naznačena je formula koja vam omogućava da izrazite n 2. člana niza kroz prethodne i specificirajte 1–2 početna člana niza. Evo y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; …. ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8; Sekvenca izražena rekurzivnom formulom y n =y n-1
+ 4
može se dati i analitički: y n= y 1 +4*(n-1)
Provjerite: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11 Ovdje ne trebamo znati prethodni član numeričkog niza da bismo izračunali n-ti element, samo treba navesti njegov broj i vrijednost prvog elementa. Kao što vidimo, ovaj način specificiranja numeričkog niza je vrlo sličan analitičkom načinu specificiranja funkcija. U stvari, numerički niz je posebna vrsta numeričke funkcije, tako da se brojna svojstva funkcija također mogu uzeti u obzir za nizove. Brojčani nizovi su vrlo zanimljiva i informativna tema. Ova tema se nalazi u zadacima povećane složenosti koje studentima nude autori didaktičkih materijala, u zadacima matematičkih olimpijada, prijemnih ispita na visokoškolskim ustanovama i dr. A ako želite da pogledate izbliza različite vrste numeričke sekvence, kliknite ovdje. Pa, ako vam je sve jasno i jednostavno, ali pokušajte odgovoriti.
pozvao povećanje(opadanje), ako postoji n N
Takve sekvence se nazivaju strogo monotono.
tada se sekvenca poziva neopadajući(bez povećanja). Takve sekvence se nazivaju monotono.
. Da izračunam a 1 je potreban u formuli za zajednički pojam a n umjesto n zamijenite 1 za izračunavanje a 2 − 2, itd. Tada imamo: 
je:
je:
Ograničenje redosleda brojeva
:
(1)
at n
> n 0 .
ima broj 0 kao ograničenje. Zaista, za bilo koji interval (–; +) kao broj N 0 može biti bilo koji cijeli broj veći od . Onda za sve n
> n 0 > imamo 
za sve n. Svaki konvergentni niz je ograničen. Svaki monoton i ograničen niz ima ograničenje. Svaki konvergentni niz ima jedinstveno ograničenje.
raste i ograničeno. Ona ima granicu 
=e.
je:
nije:
jednaka.Skinuti:
Pregled:
"Srednja škola br.31"
grad Barnaul
Oganesyan Eva,
Učenik 8. razreda MBOU "Srednja škola br. 31"
Supervizor:
Poleva Irina Aleksandrovna,
nastavnik matematike MBOU "Srednja škola br. 31"
Zadaci:
Riječ. Korak. Hladno. Doktore.
trčanje okolo. Igračke. brate.
Dvorište. Swing. Kindergarten.
Škola. Deuce. Trojka. Pet.
Lopta. Korak. Gips. Bed.
Borba. Krv. Slomljen nos.
Dvorište. Prijatelji. Zabava. Force.
Institut. Proljeće. grmlje.
Ljeto. Sjednica. Repovi.
Pivo. Vodka. Iced gin.
Kafa. Sjednica. Diploma.
Romantizam. Ljubav. Star.
Oružje. Usne. Noć bez sna.
Vjenčanje. Svekrva. Punac. Zamka.
Argument. Club. Prijatelji. Kup.
Kuća. Posao. Kuća. Porodica.
Ned. Ljeto. Snijeg. Zima.
Sin. Pelene. Cradle.
Stres. Gospodarice. Bed.
Posao. Novac. Plan. Avral.
Televizija. Televizijske serije.
Country house. Trešnje. Tikvice.
Seda kosa. Migrena. Naočare.
Unuk. Pelene. Cradle.
Stres. Pritisak. Bed.
Srce. Bubrezi. Bones. Doktore.
Govori. Kovčeg. Zbogom. Cry.