શૂન્ય દ્વારા વિભાજન પર પ્રતિબંધ ક્યાંથી આવે છે? ગણિતના પાઠ: શા માટે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી

શાળામાં તેઓ અમને બધાને શીખવે છે સરળ નિયમ, જેને શૂન્ય વડે વિભાજિત કરી શકાતું નથી. તે જ સમયે, જ્યારે આપણે પ્રશ્ન પૂછીએ છીએ: "કેમ?", તેઓ અમને જવાબ આપે છે: "આ ફક્ત એક નિયમ છે અને તમારે તે જાણવાની જરૂર છે." આ લેખમાં હું તમને સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ કે તમે શા માટે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી. શા માટે તે લોકો ખોટા છે જેઓ કહે છે કે તમે શૂન્યથી ભાગી શકો છો અને પછી તમને અનંતતા મળે છે?

તમે શૂન્યથી કેમ ભાગી શકતા નથી?

ઔપચારિક રીતે, ગણિતમાં, માત્ર બે ક્રિયાઓ છે. સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ગુણાકાર. તો બાદબાકી અને ભાગાકારનું શું? ચાલો આ ઉદાહરણનો વિચાર કરીએ. 7-4=3, આપણે બધા જાણીએ છીએ કે સાત ઓછા ચાર બરાબર ત્રણ થશે. વાસ્તવમાં, આ ઉદાહરણને, ઔપચારિક રીતે, સમીકરણ x+4=7 ઉકેલવાના માર્ગ તરીકે ગણી શકાય. એટલે કે, આપણે એક એવી સંખ્યા પસંદ કરીએ છીએ જે, જ્યારે ચારમાં ઉમેરવામાં આવે ત્યારે, 7 આપશે. પછી આપણે લાંબું વિચારીશું નહીં અને સમજીશું કે આ સંખ્યા ત્રણની બરાબર છે. તે વિભાજન સાથે સમાન છે. ચાલો 12/3 કહીએ. આ x*3=12 જેવું જ હશે.

અમે એવી સંખ્યા પસંદ કરીએ છીએ કે જેને 3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે આપણને 12 મળશે. આ કિસ્સામાં, તે ચાર થશે. તે ખૂબ સ્પષ્ટ છે. 7/0 જેવા ઉદાહરણો વિશે શું? જો આપણે સાત ભાગ્યા શૂન્ય લખીએ તો શું થશે? આનો અર્થ એ થયો કે આપણે ફોર્મ 0*x=7 નું સમીકરણ હલ કરી રહ્યા છીએ. પરંતુ આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે જો શૂન્યને કોઈપણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ હંમેશા શૂન્ય જ આવે છે. એટલે કે, કોઈ ઉકેલ નથી. આ ક્યાં તો કોઈ ઉકેલો નથી તેવા શબ્દો સાથે અથવા ચિહ્ન સાથે લખાયેલ છે જેનો અર્થ ખાલી સમૂહ છે.

બીજા શબ્દો માં

આ આ નિયમનો અર્થ છે. તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી કારણ કે અનુરૂપ સમીકરણ, શૂન્ય ગુણ્યા x બરાબર સાત અથવા જે પણ સંખ્યા આપણે શૂન્ય વડે ભાગવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ, તેનો કોઈ ઉકેલ નથી. સૌથી વધુ ધ્યાન આપનાર કહી શકે છે કે જો આપણે શૂન્યને શૂન્ય વડે ભાગીએ, તો તે એકદમ યોગ્ય રીતે બહાર આવશે કે જો 0*X=0. બધું સરસ છે, આપણે શૂન્યને અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, આપણને શૂન્ય મળે છે. પરંતુ પછી આપણો ઉકેલ કોઈપણ નંબર હોઈ શકે છે. જો આપણે x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0 જોઈએ. કોઈપણ નંબર અહીં કરશે.

તો શા માટે આપણે તેમાંથી કોઈ એક પસંદ કરીએ? અમારી પાસે ખરેખર કોઈ વિચારણા નથી કે જેના દ્વારા આપણે આ સંખ્યાઓમાંથી એક લઈ શકીએ અને કહી શકીએ કે આ સમીકરણોના ઉકેલો છે. તેથી, ત્યાં અસંખ્ય ઉકેલો છે અને આ પણ એક અસ્પષ્ટ સમસ્યા છે જેમાં એવું માનવામાં આવે છે કે ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

અનંત

તમે શા માટે ભાગલા પાડી શકતા નથી તેના કારણો ઉપર મેં તમને જણાવ્યું, હવે હું તમારી સાથે વાત કરવા માંગુ છું. ચાલો સાવધાની સાથે શૂન્ય કામગીરી દ્વારા વિભાગનો સંપર્ક કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો પહેલા નંબર 5 ને બે વડે ભાગીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે શું થશે દશાંશ 2.5. હવે આપણે વિભાજકને ઘટાડીશું અને 5 ને 1 વડે ભાગીએ તો તે 5 થશે. હવે આપણે 5 ને 0.5 વડે ભાગીશું. આ સમાન છે પાંચ ભાગ્યા એક અર્ધ, અથવા સમાન 5 * 2, પછી તે 10 થશે. કૃપા કરીને નોંધો કે ભાગાકારનું પરિણામ, એટલે કે, ભાગ, વધે છે: 2.5, 5, 10.

હવે ચાલો 5 ને 0.1 વડે ભાગીએ, આ 5*10=50 જેટલું જ હશે, ભાગફળ ફરી વધ્યો છે. તે જ સમયે, અમે વિભાજકમાં ઘટાડો કર્યો. જો આપણે 5 ને 0.01 વડે ભાગીએ, તો તે 5*100=500 જેટલું જ છે. જુઓ. આપણે વિભાજકને જેટલું નાનું બનાવીશું, તેટલો જ ભાગ મોટો થશે. જો આપણે 5 ને 0.00001 વડે ભાગીએ તો આપણને 500000 મળશે.

સારાંશ

જો તમે તેને આ અર્થમાં જુઓ તો શૂન્ય વડે ભાગાકાર શું છે? નોંધ લો કે આપણે આપણો ભાગ કેવી રીતે ઘટાડ્યો? જો તમે ધરી દોરો છો, તો તમે તેના પર જોઈ શકો છો કે પહેલા આપણી પાસે બે હતા, પછી એક, પછી 0.5, 0.1, વગેરે. અમે જમણી બાજુએ શૂન્યની નજીક અને નજીક જઈ રહ્યા હતા, પરંતુ અમે ક્યારેય શૂન્ય પર પહોંચી શક્યા નહીં. અમે ઓછું અને ઓછું લઈએ છીએ ઓછી સંખ્યાઅને આપણા ભાગલાને તેના દ્વારા વિભાજીત કરો. તે મોટું અને મોટું થઈ રહ્યું છે. આ કિસ્સામાં તેઓ લખે છે કે આપણે 5 ને X વડે ભાગીએ છીએ, જ્યાં X અનંત નાનો છે. એટલે કે તે શૂન્યની નજીક અને નજીક આવી રહ્યું છે. ફક્ત આ કિસ્સામાં, જ્યારે પાંચને X દ્વારા ભાગીએ છીએ, ત્યારે આપણને અનંતતા મળે છે. અવિરતપણે મોટી સંખ્યા. આ તે છે જ્યાં એક સૂક્ષ્મતા ઊભી થાય છે.

જો આપણે જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ જઈશું, તો આ અનંત ધન હકારાત્મક હશે, અને આપણને વત્તા અનંત મળશે. જો આપણે ડાબી બાજુથી X પાસે જઈએ, એટલે કે, જો આપણે પહેલા -2 વડે ભાગીએ, તો -1 વડે, -0.5 વડે, -0.1 વડે અને તેથી વધુ. આપણને નકારાત્મક ગુણાંક મળશે. અને પછી પાંચને x વડે ભાગ્યા, જ્યાં x અનંત હશે, પણ ડાબી બાજુ, માઈનસ અનંતની બરાબર હશે. આ કિસ્સામાં તેઓ લખે છે: x જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, 0+0, દર્શાવે છે કે આપણે જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવીએ છીએ. ચાલો કહીએ કે જો આપણે જમણી બાજુએ ત્રણનું લક્ષ્ય રાખતા હતા, તો આ કિસ્સામાં આપણે લખીએ છીએ કે X એ ડાબી બાજુનું લક્ષ્ય છે. તદનુસાર, અમે ડાબી બાજુના ત્રણ માટે લક્ષ્ય રાખીશું, આને x 3-0 તરીકે લખીએ છીએ.

ફંક્શન ગ્રાફ કેવી રીતે મદદ કરી શકે છે

ફંક્શનનો ગ્રાફ, જેનો આપણે શાળામાં અભ્યાસ કર્યો છે, તે અમને આને વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરે છે. કાર્ય કહેવાય છે વ્યસ્ત સંબંધ, અને તેનો ગ્રાફ હાઇપરબોલ છે. હાઇપરબોલ આના જેવો દેખાય છે: આ એક વળાંક છે જેના એસિમ્પ્ટોટ્સ x-અક્ષ અને y-અક્ષ છે. એસિમ્પ્ટોટ એ એક રેખા છે જે વળાંક તરફ વળે છે પરંતુ ક્યારેય પહોંચતી નથી. આવું ગણિતનું નાટક છે. આપણે જોઈએ છીએ કે આપણે શૂન્યની નજીક જઈએ છીએ, આપણું મૂલ્ય જેટલું મોટું થાય છે. નાનો X બને છે, એટલે કે, જેમ X જમણી બાજુએ શૂન્ય તરફ વળે છે, રમત વધુ મોટી અને વિશાળ બને છે, અને વત્તા અનંત તરફ ધસી જાય છે. તદનુસાર, જ્યારે x ડાબી બાજુથી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, જ્યારે x ડાબી બાજુથી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે x 0-0 તરફ વલણ ધરાવે છે, ત્યારે આપણે અનંતતાને બાદ કરીએ છીએ. બરાબર આ રીતે લખ્યું છે. Y માઈનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, X ડાબી બાજુએ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. તદનુસાર, આપણે y લખીએ છીએ અને જમણી બાજુએ શૂન્ય તરફ વળે છે. એટલે કે, સારમાં, આપણે શૂન્ય વડે ભાગતા નથી, આપણે અનંત મૂલ્ય વડે ભાગીએ છીએ.

અને જેઓ કહે છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકો છો, અમને ફક્ત અનંતતા મળે છે, તેમનો સીધો અર્થ એ છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, પણ તમે શૂન્યની નજીકની સંખ્યા વડે ભાગી શકો છો, એટલે કે અનંત મૂલ્ય વડે. પછી જો આપણે અનંત ધન વડે ભાગીએ તો આપણને વત્તા અનંત મળે છે અને અનંત અનંતતાને આપણે અનંત નકારાત્મક વડે ભાગીએ છીએ.

હું આશા રાખું છું કે આ લેખ તમને એ પ્રશ્ન સમજવામાં મદદ કરશે કે જેણે બાળપણથી જ મોટાભાગના લોકોને સતાવ્યા છે, શા માટે તમે શૂન્યથી વિભાજિત કરી શકતા નથી. શા માટે આપણે કેટલાક નિયમ શીખવા માટે દબાણ કરીએ છીએ, પરંતુ કંઈપણ સમજાવવામાં આવતું નથી. હું આશા રાખું છું કે લેખ તમને સમજવામાં મદદ કરશે કે તમે ખરેખર શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, અને જેઓ કહે છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકો છો તેનો વાસ્તવમાં અર્થ એ છે કે તમે અનંત મૂલ્ય વડે ભાગી શકો છો.

શા માટે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી? - મોટાભાગના સ્કૂલનાં બાળકો પ્રશ્નો પૂછ્યા વિના આ નિયમ હૃદયથી શીખે છે. બધા બાળકો જાણે છે કે "તમે નથી કરી શકતા" શું છે અને જો તમે તેના જવાબમાં પૂછશો તો શું થશે: "શા માટે?" પરંતુ હકીકતમાં, તે શા માટે શક્ય નથી તે જાણવું ખૂબ જ રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ છે. વાત એ છે કે અંકગણિતની ચાર ક્રિયાઓ - સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર - વાસ્તવમાં અસમાન છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેમાંથી માત્ર બેને માન્ય તરીકે ઓળખે છે - ઉમેરણ અને ગુણાકાર. આ ક્રિયાઓ અને તેમની મિલકતો સંખ્યાની વિભાવનાની વ્યાખ્યામાં સમાવિષ્ટ છે. અન્ય તમામ ક્રિયાઓ આ બેમાંથી એક અથવા બીજી રીતે બનાવવામાં આવી છે. ઉદાહરણ તરીકે, બાદબાકીનો વિચાર કરો. 5 - 3 નો અર્થ શું છે? વિદ્યાર્થી આનો સરળ જવાબ આપશે: તમારે પાંચ વસ્તુઓ લેવાની જરૂર છે, તેમાંથી ત્રણને દૂર કરો (દૂર કરો) અને જુઓ કે કેટલા બાકી છે. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ સમસ્યાને સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે જુએ છે. ત્યાં કોઈ બાદબાકી નથી, ફક્ત ઉમેરા છે. તેથી, નોટેશન 5 – 3 નો અર્થ એવો થાય છે કે જે નંબર 3 માં ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તે નંબર 5 આપશે. એટલે કે, 5 – 3 એ સમીકરણનું એક ટૂંકું સૂચન છે: x + 3 = 5. ત્યાં કોઈ બાદબાકી નથી આ સમીકરણમાં. ત્યાં માત્ર એક કાર્ય છે - યોગ્ય નંબર શોધવા માટે.તે જ ગુણાકાર અને ભાગાકાર સાથે સાચું છે. એન્ટ્રી 8:4 એ આઠ વસ્તુઓને ચાર સમાન થાંભલાઓમાં વિભાજીત કરવાના પરિણામ તરીકે સમજી શકાય છે. પરંતુ તે ખરેખર 4 x = 8 સમીકરણનું ટૂંકું સ્વરૂપ છે.આ તે છે જ્યાં તે સ્પષ્ટ થાય છે કે શૂન્ય વડે ભાગવું શા માટે અશક્ય (અથવા તેના બદલે અશક્ય) છે. રેકોર્ડિંગ 5:0 એ 0 x = 5 માટેનું સંક્ષિપ્ત રૂપ છે. એટલે કે, આ કાર્ય એવી સંખ્યા શોધવાનું છે કે જેને 0 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે 5 મળશે. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે 0 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે પરિણામ હંમેશા 0 આવે છે. શૂન્યની સહજ ગુણધર્મ છે, સખત રીતે કહીએ તો, તેની વ્યાખ્યાનો એક ભાગ.એવી કોઈ સંખ્યા નથી કે જેને 0 વડે ગુણાકાર કરવાથી શૂન્ય સિવાય બીજું કંઈક મળે. એટલે કે આપણી સમસ્યાનો કોઈ ઉકેલ નથી. (હા, આવું થાય છે; દરેક સમસ્યાનો ઉકેલ નથી હોતો.) આનો અર્થ એ થાય છે કે એન્ટ્રી 5:0 કોઈ ચોક્કસ સંખ્યાને અનુરૂપ નથી, અને તેનો કોઈ અર્થ નથી અને તેથી તેનો કોઈ અર્થ નથી. આ પ્રવેશની અર્થહીનતા સંક્ષિપ્તમાં એમ કહીને વ્યક્ત કરવામાં આવી છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.આ સ્થાનના સૌથી વધુ સચેત વાચકો ચોક્કસપણે પૂછશે: શું શૂન્યને શૂન્યથી વિભાજીત કરવું શક્ય છે? ખરેખર, સમીકરણ 0 x = 0 સુરક્ષિત રીતે ઉકેલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે x = 0 લઈ શકીએ છીએ, અને પછી આપણને 0 · 0 = 0 મળે છે. તો, 0: 0=0? પરંતુ ચાલો ઉતાવળ ન કરીએ. ચાલો x = 1 લેવાનો પ્રયત્ન કરીએ. આપણને 0 · 1 = 0 મળે છે. સાચું છે? તો 0:0 = 1? પરંતુ આ રીતે તમે કોઈપણ સંખ્યા લઈ શકો છો અને 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, વગેરે મેળવી શકો છો.પરંતુ જો કોઈપણ નંબર યોગ્ય હોય, તો અમારી પાસે તેમાંથી કોઈ એકને પસંદ કરવાનું કોઈ કારણ નથી. એટલે કે, અમે કહી શકતા નથી કે એન્ટ્રી 0:0ને અનુરૂપ છે અને જો એમ હોય, તો અમને સ્વીકારવાની ફરજ પડી છે કે આ પ્રવેશનો પણ કોઈ અર્થ નથી. તે તારણ આપે છે કે શૂન્યને પણ શૂન્ય વડે ભાગી શકાતું નથી. (ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે, સમસ્યાની વધારાની પરિસ્થિતિઓને લીધે, કોઈ એકને પ્રાધાન્ય આપી શકે છે. શક્ય વિકલ્પોસમીકરણ 0 x = 0 ના ઉકેલો; આવા કિસ્સાઓમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ "અનિશ્ચિતતા પ્રગટ કરવા" વિશે વાત કરે છે, પરંતુ આવા કિસ્સા અંકગણિતમાં થતા નથી.)આ ડિવિઝન ઓપરેશનની ખાસિયત છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ગુણાકારની ક્રિયા અને તેની સાથે સંકળાયેલ સંખ્યા શૂન્ય ધરાવે છે. ઠીક છે, સૌથી વધુ ઝીણવટભર્યા લોકો, આટલું વાંચીને, પૂછી શકે છે: એવું શા માટે થાય છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, પણ શૂન્ય બાદ કરી શકો છો? એક અર્થમાં, અહીંથી વાસ્તવિક ગણિતની શરૂઆત થાય છે. તમે માત્ર આંકડાકીય સેટ અને તેના પરની ક્રિયાઓની ઔપચારિક ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓથી પરિચિત થઈને જ તેનો જવાબ આપી શકો છો. તે એટલું મુશ્કેલ નથી, પરંતુ કેટલાક કારણોસર તે શાળામાં શીખવવામાં આવતું નથી. પરંતુ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રવચનોમાં, આ તે છે જે તમને સૌથી પહેલા શીખવવામાં આવશે.

"તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી!" - મોટાભાગના સ્કૂલનાં બાળકો પ્રશ્નો પૂછ્યા વિના આ નિયમ હૃદયથી શીખે છે. બધા બાળકો જાણે છે કે "તમે કરી શકતા નથી" શું છે અને જો તમે તેના જવાબમાં પૂછશો તો શું થશે: "શા માટે?" પરંતુ હકીકતમાં, તે શા માટે શક્ય નથી તે જાણવું ખૂબ જ રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ છે.

વાત એ છે કે અંકગણિતની ચાર ક્રિયાઓ - સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર - વાસ્તવમાં અસમાન છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેમાંથી માત્ર બેને માન્ય તરીકે ઓળખે છે - ઉમેરણ અને ગુણાકાર. સંખ્યાની વિભાવનાની વ્યાખ્યામાં આ કામગીરી અને તેમની મિલકતોનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે. અન્ય તમામ ક્રિયાઓ આ બેમાંથી એક અથવા બીજી રીતે બનાવવામાં આવી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બાદબાકીનો વિચાર કરો. 5 - 3 નો અર્થ શું છે? વિદ્યાર્થી આનો સરળ જવાબ આપશે: તમારે પાંચ વસ્તુઓ લેવાની જરૂર છે, તેમાંથી ત્રણને દૂર કરો (દૂર કરો) અને જુઓ કે કેટલા બાકી છે. પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ સમસ્યાને સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે જુએ છે. ત્યાં કોઈ બાદબાકી નથી, ફક્ત ઉમેરા છે. તેથી, નોટેશન 5 – 3 નો અર્થ એવો થાય છે કે જે નંબર 3 માં ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તે નંબર 5 આપશે. એટલે કે, 5 – 3 એ સમીકરણનું એક ટૂંકું સૂચન છે: x + 3 = 5. ત્યાં કોઈ બાદબાકી નથી. આ સમીકરણમાં. ત્યાં માત્ર એક કાર્ય છે - યોગ્ય નંબર શોધવા માટે.

તે જ ગુણાકાર અને ભાગાકાર સાથે સાચું છે. એન્ટ્રી 8:4 એ આઠ વસ્તુઓને ચાર સમાન થાંભલાઓમાં વિભાજીત કરવાના પરિણામ તરીકે સમજી શકાય છે. પરંતુ વાસ્તવમાં, તે માત્ર 4 x = 8 સમીકરણનું ટૂંકું સ્વરૂપ છે.

આ તે છે જ્યાં તે સ્પષ્ટ થાય છે કે શૂન્ય વડે ભાગવું શા માટે અશક્ય (અથવા તેના બદલે અશક્ય) છે. રેકોર્ડિંગ 5: 0 એ 0 x = 5 માટેનું સંક્ષેપ છે. એટલે કે, આ કાર્ય એવી સંખ્યા શોધવાનું છે કે જેને 0 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે 5 મળશે. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે 0 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે પરિણામ હંમેશા 0 આવે છે. શૂન્યની સહજ ગુણધર્મ છે, કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, તેની વ્યાખ્યાનો એક ભાગ.

એવી કોઈ સંખ્યા નથી કે જેને 0 વડે ગુણાકાર કરવાથી શૂન્ય સિવાય બીજું કંઈક મળે. એટલે કે આપણી સમસ્યાનો કોઈ ઉકેલ નથી. (હા, આવું થાય છે; દરેક સમસ્યાનો ઉકેલ નથી હોતો.) આનો અર્થ એ છે કે એન્ટ્રી 5:0 કોઈ ચોક્કસ સંખ્યાને અનુરૂપ નથી, અને તેનો કોઈ અર્થ નથી, અને તેથી તેનો કોઈ અર્થ નથી. આ પ્રવેશની અર્થહીનતા ટૂંકમાં એમ કહીને વ્યક્ત કરવામાં આવી છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.

આ સ્થાનના સૌથી વધુ સચેત વાચકો ચોક્કસપણે પૂછશે: શું શૂન્યને શૂન્યથી વિભાજીત કરવું શક્ય છે? હકીકતમાં, સમીકરણ 0 x = 0 સુરક્ષિત રીતે ઉકેલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે x = 0 લઈ શકીએ છીએ, અને પછી આપણને 0 0 = 0 મળે છે. તો, 0: 0=0? પરંતુ ચાલો ઉતાવળ ન કરીએ. ચાલો x = 1 લેવાનો પ્રયત્ન કરીએ. આપણને 0 1 = 0 મળે છે. સાચું છે? તો 0:0 = 1? પરંતુ આ રીતે તમે કોઈપણ સંખ્યા લઈ શકો છો અને 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, વગેરે મેળવી શકો છો.

પરંતુ જો કોઈપણ નંબર યોગ્ય હોય, તો અમારી પાસે તેમાંથી કોઈ એકને પસંદ કરવાનું કોઈ કારણ નથી. એટલે કે, અમે કહી શકતા નથી કે એન્ટ્રી 0:0ને અનુરૂપ છે અને જો એમ હોય, તો અમને સ્વીકારવાની ફરજ પડી છે કે આ પ્રવેશનો પણ કોઈ અર્થ નથી. તે તારણ આપે છે કે શૂન્યને પણ શૂન્ય વડે ભાગી શકાતું નથી. (ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, એવા કિસ્સાઓ છે કે જ્યારે, સમસ્યાની વધારાની પરિસ્થિતિઓને લીધે, વ્યક્તિ 0 x = 0 સમીકરણના સંભવિત ઉકેલોમાંથી એકને પ્રાધાન્ય આપી શકે છે; આવા કિસ્સાઓમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ "અનિશ્ચિતતા જાહેર" વિશે વાત કરે છે, પરંતુ અંકગણિત આવા કિસ્સાઓ થતા નથી.)

આ ડિવિઝન ઓપરેશનની ખાસિયત છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ગુણાકારની કામગીરી અને તેની સાથે સંકળાયેલ સંખ્યા શૂન્ય ધરાવે છે.

ઠીક છે, સૌથી વધુ ઝીણવટભર્યા લોકો, આટલું વાંચ્યા પછી, પૂછી શકે છે: એવું શા માટે થાય છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, પણ શૂન્ય બાદ કરી શકો છો? એક અર્થમાં, અહીંથી વાસ્તવિક ગણિતની શરૂઆત થાય છે. તમે માત્ર આંકડાકીય સેટ અને તેના પરની ક્રિયાઓની ઔપચારિક ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓથી પરિચિત થઈને જ તેનો જવાબ આપી શકો છો. તે એટલું મુશ્કેલ નથી, પરંતુ કેટલાક કારણોસર તે શાળામાં શીખવવામાં આવતું નથી. પરંતુ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રવચનોમાં, સૌ પ્રથમ, તેઓ તમને બરાબર આ શીખવશે.

પ્રોજેક્ટને સમર્થન આપવા માટે સ્વૈચ્છિક વાચકનું યોગદાન

શૂન્ય પોતે એક ખૂબ જ રસપ્રદ સંખ્યા છે. પોતે જ તેનો અર્થ છે ખાલીપણું, અર્થનો અભાવ, અને બીજી સંખ્યાની બાજુમાં તે તેનું મહત્વ 10 ગણું વધારે છે. શૂન્ય શક્તિની કોઈપણ સંખ્યા હંમેશા 1 આપે છે. આ ચિહ્નનો ઉપયોગ મય સંસ્કૃતિમાં થતો હતો, અને તે "શરૂઆત, કારણ" ની વિભાવનાને પણ સૂચવે છે. કેલેન્ડર પણ શૂન્ય દિવસથી શરૂ થયું. આ આંકડો કડક પ્રતિબંધ સાથે પણ સંકળાયેલો છે.

અમારા પ્રાથમિક શાળાના વર્ષોથી, અમે બધા સ્પષ્ટપણે નિયમ શીખ્યા છીએ "તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી." પરંતુ જો બાળપણમાં તમે ઘણી બધી વસ્તુઓ વિશ્વાસ પર લો છો અને પુખ્ત વયના લોકોના શબ્દો ભાગ્યે જ શંકા પેદા કરે છે, તો પછી સમય જતાં તમે હજી પણ કારણોને સમજવા માંગો છો, શા માટે ચોક્કસ નિયમો સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા તે સમજવા માટે.

તમે શૂન્યથી કેમ ભાગી શકતા નથી? હું આ પ્રશ્ન માટે સ્પષ્ટ તાર્કિક સમજૂતી મેળવવા માંગુ છું. પ્રથમ ધોરણમાં, શિક્ષકો આ કરી શક્યા ન હતા, કારણ કે ગણિતમાં નિયમો સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને સમજાવવામાં આવે છે, અને તે ઉંમરે અમને તે શું છે તેની કોઈ જાણ નહોતી. અને હવે તે શોધવાનો અને તમે શૂન્ય વડે ભાગાકાર કેમ કરી શકતા નથી તેની સ્પષ્ટ તાર્કિક સમજૂતી મેળવવાનો સમય છે.

હકીકત એ છે કે ગણિતમાં, સંખ્યાઓ સાથેની ચાર મૂળભૂત ક્રિયાઓમાંથી માત્ર બે (+, -, x, /) સ્વતંત્ર તરીકે ઓળખાય છે: ગુણાકાર અને ઉમેરણ. બાકીની કામગીરીને ડેરિવેટિવ્ઝ ગણવામાં આવે છે. ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ જોઈએ.

મને કહો, જો તમે 20 માંથી 18 બાદ કરો તો તમને કેટલું મળશે? સ્વાભાવિક રીતે, જવાબ તરત જ આપણા માથામાં ઉદ્ભવે છે: તે 2 હશે. અમે આ પરિણામ પર કેવી રીતે આવ્યા? આ પ્રશ્ન કેટલાકને વિચિત્ર લાગશે - છેવટે, બધું સ્પષ્ટ છે કે પરિણામ 2 હશે, કોઈ સમજાવશે કે તેણે 20 કોપેક્સમાંથી 18 લીધા અને બે કોપેક્સ મેળવ્યા. તાર્કિક રીતે, આ બધા જવાબો શંકામાં નથી, પરંતુ ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, આ સમસ્યાને અલગ રીતે હલ કરવી જોઈએ. ચાલો ફરી એક વાર યાદ કરીએ કે ગણિતમાં મુખ્ય ક્રિયાઓ ગુણાકાર અને સરવાળો છે અને તેથી અમારા કિસ્સામાં જવાબ નીચેના સમીકરણને ઉકેલવામાં આવેલું છે: x + 18 = 20. જેમાંથી તે અનુસરે છે કે x = 20 - 18, x = 2 . એવું લાગે છે કે શા માટે દરેક વસ્તુનું આટલું વિગતવાર વર્ણન કરો? છેવટે, બધું ખૂબ સરળ છે. જો કે, આ વિના તમે શૂન્ય વડે ભાગાકાર કેમ કરી શકતા નથી તે સમજાવવું મુશ્કેલ છે.

હવે ચાલો જોઈએ કે જો આપણે 18 ને શૂન્ય વડે ભાગવા માંગતા હોય તો શું થાય છે. ચાલો ફરીથી સમીકરણ બનાવીએ: 18: 0 = x. ભાગાકારની ક્રિયા ગુણાકારની પ્રક્રિયાનું વ્યુત્પન્ન હોવાથી, આપણા સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવાથી આપણને x * 0 = 18 મળે છે. આ તે છે જ્યાં અંતિમ અંત શરૂ થાય છે. X ની જગ્યાએ કોઈપણ સંખ્યા જ્યારે શૂન્યથી ગુણાકાર કરવામાં આવે તો 0 મળશે અને આપણે 18 મેળવી શકીશું નહીં. હવે તે અત્યંત સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે તમે શા માટે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી. શૂન્ય પોતે કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ તેનાથી વિપરીત - અરે, તે અશક્ય છે.

જો તમે શૂન્યને જાતે જ વિભાજીત કરો તો શું થશે? આ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: 0: 0 = x, અથવા x * 0 = 0. આ સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે. તેથી, અંતિમ પરિણામ અનંત છે. તેથી, આ કિસ્સામાં ઓપરેશનનો પણ અર્થ નથી.

0 વડે ભાગાકાર એ ઘણા કાલ્પનિક ગાણિતિક ટુચકાઓના મૂળમાં છે જેનો ઉપયોગ કોઈપણ અજ્ઞાની વ્યક્તિને જો ઈચ્છા હોય તો તેને કોયડામાં નાખવા માટે કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણને ધ્યાનમાં લો: 4*x - 20 = 7*x - 35. ચાલો ડાબી બાજુના કૌંસમાંથી 4 અને જમણી બાજુએ 7 લઈએ: 4*(x - 5) = 7*(x - 5). હવે ચાલો ડાબી બાજુનો ગુણાકાર કરીએ અને જમણી બાજુઅપૂર્ણાંક 1/(x - 5) માટેના સમીકરણો. સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). ચાલો અપૂર્ણાંકને (x - 5) વડે ઘટાડીએ અને તે તારણ આપે છે કે 4 = 7. આના પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે 2*2 = 7! અલબત્ત, અહીં કેચ એ છે કે તે 5 ની બરાબર છે અને અપૂર્ણાંકને રદ કરવું અશક્ય હતું, કારણ કે આ શૂન્ય દ્વારા વિભાજન તરફ દોરી જાય છે. તેથી, જ્યારે અપૂર્ણાંકો ઘટાડતા હોય, ત્યારે તમારે હંમેશા તપાસ કરવી જોઈએ કે શૂન્ય આકસ્મિક રીતે છેદમાં સમાપ્ત ન થઈ જાય, અન્યથા પરિણામ સંપૂર્ણપણે અણધારી હશે.

અમને દરેક શાળામાંથી ઓછામાં ઓછા બે અટલ નિયમો શીખ્યા: "ઝી અને શી - અક્ષર I સાથે લખો" અને " તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી" અને જો પ્રથમ નિયમ રશિયન ભાષાની વિશિષ્ટતા દ્વારા સમજાવી શકાય છે, તો પછી બીજો સંપૂર્ણ તાર્કિક પ્રશ્ન ઉઠાવે છે: "શા માટે?"

તમે શૂન્યથી કેમ ભાગી શકતા નથી?

તે સંપૂર્ણ રીતે સ્પષ્ટ નથી કે તેઓ શા માટે શાળામાં આ વિશે વાત કરતા નથી, પરંતુ અંકગણિતના દૃષ્ટિકોણથી, જવાબ ખૂબ જ સરળ છે.

ચાલો એક નંબર લઈએ 10 અને તેને વિભાજીત કરો 2 . આ સૂચવે છે કે અમે લીધો 10 કોઈપણ વસ્તુઓ અને તેને અનુસાર ગોઠવો 2 સમાન જૂથો, એટલે કે 10: 2 = 5 (દ્વારા 5 જૂથમાં વસ્તુઓ). સમાન ઉદાહરણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે x * 2 = 10(અને એક્સઅહીં સમાન હશે 5 ).

હવે, ચાલો એક સેકન્ડ માટે કલ્પના કરીએ કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકો છો, અને ચાલો પ્રયત્ન કરીએ 10 દ્વારા વિભાજીત કરો 0 .

તમને નીચેના મળશે: 10: 0 = x, તેથી x * 0 = 10. પરંતુ આપણી ગણતરી સાચી હોઈ શકતી નથી, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાને વડે ગુણાકાર કરતી વખતે 0 તે હંમેશા કામ કરે છે 0 . ગણિતમાં એવી કોઈ સંખ્યા નથી કે જેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે 0 સિવાય બીજું કંઈક આપશે 0 . તેથી, સમીકરણો 10: 0 = xઅને x * 0 = 10કોઈ ઉકેલ નથી. આને ધ્યાનમાં રાખીને, તેઓ કહે છે કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.

તમે ક્યારે શૂન્ય વડે ભાગી શકો છો?

ત્યાં એક વિકલ્પ છે જેમાં શૂન્ય દ્વારા વિભાજન હજુ પણ કેટલાક અર્થમાં છે. જો આપણે શૂન્યને જ વિભાજિત કરીએ તો આપણને નીચેના મળે છે 0: 0 = x, મતલબ કે x * 0 = 0.

ચાલો તે ડોળ કરીએ x=0, પછી સમીકરણ કોઈ પ્રશ્નો ઉભા કરતું નથી, બધું સંપૂર્ણ રીતે બંધબેસે છે 0: 0 = 0 , અને તેથી 0 * 0 = 0 .

પણ જો એક્સ≠ 0 ? ચાલો તે ડોળ કરીએ x = 9? પછી 9 * 0 = 0 અને 0: 0 = 9 ? અને જો x=45, તે 0: 0 = 45 .

અમે ખરેખર શેર કરી શકીએ છીએ 0 પર 0 . પરંતુ આ સમીકરણમાં અસંખ્ય ઉકેલો હશે, ત્યારથી 0: 0 = કંઈપણ.

શા માટે 0: 0 = NaN

શું તમે ક્યારેય વિભાજન કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે 0 પર 0 સ્માર્ટફોન પર? શૂન્યને શૂન્ય વડે વિભાજિત કરવાથી કોઈ પણ સંખ્યા મળે છે, તેથી પ્રોગ્રામરોએ આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો માર્ગ શોધવો પડ્યો, કારણ કે કેલ્ક્યુલેટર તમારી વિનંતીઓને અવગણી શકતું નથી. અને તેઓએ એક અનોખો રસ્તો શોધી કાઢ્યો: જ્યારે તમે શૂન્યને શૂન્ય વડે ભાગો છો, ત્યારે તમને મળશે NaN (નંબર નથી).

શા માટે x: 0 =∞ એ x: -0 = — ∞

જો તમે તમારા સ્માર્ટફોન પર કોઈપણ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જવાબ અનંત સમાન હશે. વાત એ છે કે ગણિતમાં 0 કેટલીકવાર "કંઈ" તરીકે નહીં, પરંતુ "અનંત માત્રા" તરીકે ગણવામાં આવે છે. તેથી, જો કોઈપણ સંખ્યાને અનંત મૂલ્ય વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો પરિણામ એ અનંત મોટી કિંમત છે (∞) .

તો શું શૂન્ય વડે ભાગવું શક્ય છે?

જવાબ, જેમ કે ઘણીવાર થાય છે, અસ્પષ્ટ છે. શાળામાં, તમારા નાક પર તે નોંધવું શ્રેષ્ઠ છે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી- આ તમને બિનજરૂરી ગૂંચવણોથી બચાવશે. પરંતુ જો તમે યુનિવર્સિટીમાં ગણિત વિભાગમાં પ્રવેશ મેળવો છો, તો તમારે હજુ પણ શૂન્ય વડે ભાગવું પડશે.