თეორემა პარალელური ხაზები წყვეტენ თანაბარ სეგმენტებს. თალესის თეორემა. სამკუთხედის შუა ხაზი

გაკვეთილის თემა

გაკვეთილის მიზნები

• გაეცანით ახალ განმარტებებს და გაიხსენეთ უკვე შესწავლილი.
• ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ კვადრატის თვისებები, დაამტკიცეთ მისი თვისებები.
• ისწავლეთ ფორმების თვისებების გამოყენება ამოცანების ამოხსნაში.
• განმავითარებელი - მოსწავლეთა ყურადღების, გამძლეობის, შეუპოვრობის, ლოგიკური აზროვნების, მათემატიკური მეტყველების განვითარება.
• საგანმანათლებლო - გაკვეთილის საშუალებით გამოუმუშავეთ ერთმანეთის მიმართ ყურადღებიანი დამოკიდებულება, ამხანაგების მოსმენის უნარი, ურთიერთდახმარება, დამოუკიდებლობა.

გაკვეთილის მიზნები

• შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემების გადაჭრის უნარი.

Გაკვეთილის გეგმა

1. ისტორიის მინიშნება.
2. თალესი, როგორც მათემატიკოსი და მისი ნამუშევრები.
3. კარგი დასამახსოვრებელია.

ისტორიის მინიშნება

• თალესის თეორემა ჯერ კიდევ გამოიყენება საზღვაო ნავიგაციაში, როგორც წესი, რომ გემების შეჯახება იქიდან მოძრავი მუდმივი სიჩქარე, გარდაუვალია თუ შენარჩუნდება გემების კურსი ერთმანეთისკენ.

• რუსულენოვანი ლიტერატურის მიღმა, თალესის თეორემას ზოგჯერ პლანიმეტრიის სხვა თეორემასაც უწოდებენ, კერძოდ, დებულებას, რომ წრეწირის დიამეტრზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხე სწორია. ამ თეორემის აღმოჩენა მართლაც თალესს მიეწერება, რასაც პროკლე მოწმობს.

• თალესმა ეგვიპტეში გააცნობიერა გეომეტრიის საფუძვლები.

მისი ავტორის აღმოჩენები და დამსახურება

იცით თუ არა, რომ თალეს მილეტელი იყო იმდროინდელი საბერძნეთის შვიდი ყველაზე ცნობილი ბრძენიდან. დააარსა იონიური სკოლა. თალესის მიერ ამ სკოლაში დაწინაურებული იდეა იყო ყველაფრის ერთიანობა. ბრძენი თვლიდა, რომ არსებობს ერთი წყარო, საიდანაც ყველაფერი წარმოიშვა.

თალეს მილეტელის დიდი დამსახურებაა მეცნიერული გეომეტრიის შექმნა. ამ დიდმა სწავლებამ შეძლო ეგვიპტური საზომი ხელოვნებიდან დედუქციური გეომეტრიის შექმნა, რომლის საფუძველი საერთო საფუძველია.

გეომეტრიის დიდი ცოდნის გარდა, თალესი კარგად ერკვეოდა ასტრონომიაშიც. ემმა პირველმა იწინასწარმეტყველა მზის სრული დაბნელება. მაგრამ ეს არ მომხდარა თანამედროვე სამყაროდა ჯერ კიდევ 585 წელს, ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე.

თალეს მილეტელი იყო ადამიანი, რომელმაც გააცნობიერა, რომ ჩრდილოეთის ზუსტად განსაზღვრა შესაძლებელია მცირე ურსის თანავარსკვლავედით. მაგრამ ეს არც ის იყო. უახლესი აღმოჩენა, ვინაიდან მან შეძლო ზუსტად დაედგინა წელიწადის ხანგრძლივობა, დაეშალა იგი სამას სამოცდათხუთმეტ დღეში და ასევე დაადგინა ბუნიობის დრო.

თალესი ფაქტობრივად სრულყოფილად იყო განვითარებული და ბრძენი კაცი. გარდა იმისა, რომ ცნობილი იყო, როგორც შესანიშნავი მათემატიკოსი, ფიზიკოსი და ასტრონომი, მას, როგორც ნამდვილ მეტეოროლოგს, შეეძლო ზეთისხილის მოსავლის საკმაოდ ზუსტად წინასწარმეტყველება.

მაგრამ ყველაზე საყურადღებო ის არის, რომ თალესი არასოდეს ზღუდავდა თავის ცოდნას მხოლოდ სამეცნიერო და თეორიული სფეროთი, არამედ ყოველთვის ცდილობდა თავისი თეორიების მტკიცებულებების პრაქტიკაში გამყარებას. და ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ დიდი ბრძენი თავისი ცოდნის რომელიმე სფეროზე არ აკეთებდა აქცენტს, მის ინტერესს სხვადასხვა მიმართულება ჰქონდა.

თალესის სახელი ბრძენისთვის საოჯახო სახელიც მაშინ გახდა. მისი მნიშვნელობა და მნიშვნელობა საბერძნეთისთვის ისეთივე დიდი იყო, როგორც ლომონოსოვის სახელი რუსეთისთვის. რა თქმა უნდა, მისი სიბრძნე შეიძლება სხვადასხვაგვარად იქნას განმარტებული. მაგრამ დანამდვილებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მას ახასიათებდა როგორც გამომგონებლობა, ასევე პრაქტიკული გამომგონებლობა და, გარკვეულწილად, მოუსვენრობაც.

თალეს მილეტელი იყო შესანიშნავი მათემატიკოსი, ფილოსოფოსი, ასტრონომი, უყვარდა მოგზაურობა, იყო ვაჭარი და მეწარმე, ეწეოდა ვაჭრობას, ასევე იყო კარგი ინჟინერი, დიპლომატი, მნახველი და აქტიურად მონაწილეობდა პოლიტიკურ ცხოვრებაში.

მან პირამიდის სიმაღლის დადგენა ჯოხისა და ჩრდილის დახმარებითაც კი მოახერხა. და ასე იყო. ერთ მშვენიერ მზიან დღეს, თალესმა თავისი ჯოხი განათავსა საზღვარზე, სადაც მთავრდებოდა პირამიდის ჩრდილი. შემდეგ მან დაელოდა სანამ მისი ჯოხის ჩრდილის სიგრძე გაუტოლდებოდა მის სიმაღლეს და გაზომა პირამიდის ჩრდილის სიგრძე. ასე რომ, როგორც ჩანს, თალესმა უბრალოდ დაადგინა პირამიდის სიმაღლე და დაამტკიცა, რომ ერთი ჩრდილის სიგრძე დაკავშირებულია მეორე ჩრდილის სიგრძესთან, ისევე როგორც პირამიდის სიმაღლე დაკავშირებულია კვერთხის სიმაღლესთან. ამან დაარტყა თავად ფარაონ ამასისს.

თალესის წყალობით, იმ დროისთვის ცნობილი ყველა ცოდნა გადაეცა სამეცნიერო ინტერესის სფეროს. მან შეძლო შედეგების მიყვანა სამეცნიერო მოხმარებისთვის შესაფერის დონეზე, ხაზს უსვამდა კონცეფციების გარკვეულ კომპლექტს. და შესაძლოა თალესის დახმარებით დაიწყო ანტიკური ფილოსოფიის შემდგომი განვითარება.

თალესის თეორემა ერთს თამაშობს მნიშვნელოვანი როლებიმათემატიკაში. იგი ცნობილი იყო არა მხოლოდ Უძველესი ეგვიპტედა ბაბილონში, არამედ სხვა ქვეყნებშიც და იყო საფუძველი მათემატიკის განვითარებისათვის. დიახ და შიგნით Ყოველდღიური ცხოვრების, შენობების, ნაგებობების, გზების და ა.შ. მშენებლობის დროს არ შეიძლება თალესის თეორემის გარეშე.

თალესის თეორემა კულტურაში

თალესის თეორემა ცნობილი გახდა არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ კულტურაშიც შევიდა. ერთხელ არგენტინულმა მუსიკალურმა ჯგუფმა Les Luthiers (ესპანური) აუდიტორიას წარუდგინა სიმღერა, რომელიც მათ მიუძღვნეს ცნობილ თეორემას. Les Luthiers-ის წევრებმა თავიანთ ვიდეო კლიპში სპეციალურად ამ სიმღერისთვის წარმოადგინეს მტკიცებულება პროპორციული სეგმენტების პირდაპირი თეორემისთვის.

კითხვები

1. რომელ წრფეებს უწოდებენ პარალელურს?
2. სად გამოიყენება პრაქტიკაში თალესის თეორემა?
3. რას ეხება თალესის თეორემა?

გამოყენებული წყაროების სია

1. ენციკლოპედია ბავშვებისთვის. T.11. მათემატიკა / მთავარი რედაქტორი მ.დ.აქსენოვა.-მ.: ავანტა +, 2001 წ.
2. „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2006წ. მათემატიკა. საგანმანათლებლო და სასწავლო მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. ლ.

საგნები > მათემატიკა > მათემატიკა მე-8 კლასი

თეორემაში არ არის შეზღუდვები სეკანტების ურთიერთგანლაგებაზე (ეს მართალია როგორც გადაკვეთის, ასევე პარალელური წრფეებისთვის). ასევე არ აქვს მნიშვნელობა სად არის ხაზის სეგმენტები სკანტებზე.

მტკიცებულება პარალელური წრფეების შემთხვევაში

გავავლოთ ხაზი ძვ.წ. კუთხეები ABC და BCD ტოლია, როგორც შიდა ჯვრები, რომლებიც მდებარეობს პარალელური წრფეების ქვეშ AB და CD და BC სეკანტი, ხოლო კუთხეები ACB და CBD ტოლია, როგორც შიდა ჯვრები, რომლებიც მდებარეობს პარალელური წრფეების ქვეშ AC და BD და BC სეკანტი. მაშინ სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმის მიხედვით ABC და DCB სამკუთხედები კონგრუენტულია. ეს გულისხმობს, რომ AC = BD და AB = CD. ■

ასევე არსებობს პროპორციული სეგმენტის თეორემა:

პარალელური ხაზები ჭრის პროპორციულ სეგმენტებს სექანტებში: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

თალესის თეორემა არის პროპორციული სეგმენტების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, ვინაიდან თანაბარი სეგმენტები შეიძლება ჩაითვალოს პროპორციულ სეგმენტებად, პროპორციულობის კოეფიციენტით 1-ის ტოლი.

შებრუნებული თეორემა

თუ თალესის თეორემაში თანაბარი სეგმენტები იწყება წვეროდან (ეს ფორმულირება ხშირად გამოიყენება სასკოლო ლიტერატურაში), მაშინ საპირისპირო თეორემაც მართალი აღმოჩნდება. გადაკვეთის სექანტებისთვის იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

ამრიგად (იხ. სურ.) იქიდან, რომ $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$აქედან გამომდინარეობს, რომ პირდაპირი $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ლდოტები$.

თუ სექანტები პარალელურია, მაშინ აუცილებელია ორივე სეგმენტის სეგმენტების ტოლობის მოთხოვნა ერთმანეთთან, წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს განცხადება არასწორია (კონტრმაგალითი არის ტრაპეცია, რომელიც იკვეთება ფუძეების შუა წერტილებში გამავალი ხაზით).

ვარიაციები და განზოგადება

შემდეგი განცხადება ორმაგია სოლერტინსკის ლემასთან:

თალესის თეორემა დღესაც გამოიყენება საზღვაო ნავიგაციაში, როგორც წესი, რომ მუდმივი სიჩქარით მოძრავ გემებს შორის შეჯახება გარდაუვალია, თუ გემები ერთმანეთისკენ მიდიან. რუსულენოვანი ლიტერატურის მიღმა, თალესის თეორემას ზოგჯერ პლანიმეტრიის სხვა თეორემასაც უწოდებენ, კერძოდ, დებულებას, რომ წრეწირის დიამეტრზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხე სწორია. ამ თეორემის აღმოჩენა მართლაც თალესს მიეწერება, რასაც პროკლე მოწმობს. დაწერეთ მიმოხილვა სტატიაზე "თალესის თეორემა" ლიტერატურა Atanasyan L. S. და სხვები.გეომეტრია 7-9. - რედ. მე-3. - მ .: განმანათლებლობა, 1992 წ. შენიშვნები იხილეთ ასევე თალესის თეორემა კუთხეზე, რომელიც დაფუძნებულია წრის დიამეტრზე თალესის თეორემის დამახასიათებელი ნაწყვეტი "არაფერზე არ ვფიქრობ, უბრალოდ არ მესმის... - მოიცადე, სონია, ყველაფერს გაიგებ. ნახეთ როგორი ადამიანია. ცუდს ნუ ფიქრობ ჩემზე და მასზე. „არავისზე ცუდს არ ვფიქრობ: ყველა მიყვარს და ყველას ვწუხვარ. მაგრამ რა ვქნა? სონია არ თმობდა ნაზ ტონს, რომლითაც ნატაშამ მიმართა მას. რაც უფრო რბილი და ძებნილი იყო ნატაშას გამომეტყველება, მით უფრო სერიოზული და მკაცრი იყო სონიას სახე. - ნატაშა, - თქვა მან, - შენ მთხოვე, არ გელაპარაკებოდი, მე არა, ახლა შენ თვითონ დაიწყე. ნატაშა, მე არ მჯერა მისი. რატომ ეს საიდუმლო? - ისევ, ისევ! - შეაწყვეტინა ნატაშამ. -ნატაშა მეშინია შენთვის. - რისი უნდა გეშინოდეს? ”მეშინია, რომ შენ თავს დაანგრიებ”, - თქვა გადამწყვეტად სონიამ, თავადაც შეშინებული მისი ნათქვამით. ნატას სახეზე ისევ ბრაზი გამოეხატა. „და გავანადგურებ, გავანადგურებ, თავს გავანადგურებ რაც შეიძლება მალე. Შენი საქმე არ არის. შენთვის კი არა, ჩემთვის ცუდი იქნება. დამტოვე, დამტოვე. Მძულხარ. -ნატაშა! შიშით წამოიძახა სონიამ. - მძულს, მძულს! და შენ ხარ ჩემი მტერი სამუდამოდ! ნატაშა ოთახიდან გავარდა. ნატაშა სონიას აღარ ელაპარაკებოდა და მოერიდა. აჟიტირებული გაკვირვებისა და კრიმინალის იგივე გამოხატულებით, მან ოთახებში მიიარა, ჯერ ეს, შემდეგ კი სხვა ოკუპაცია აიღო და მაშინვე მიატოვა ისინი. რაც არ უნდა გაუჭირდეს სონიას, მეგობარს აჩერებდა თვალს. იმ დღის წინა დღეს, როდესაც გრაფმა უნდა დაბრუნებულიყო, სონია შენიშნა, რომ ნატაშა მთელი დილა იჯდა მისაღები ოთახის ფანჯარასთან, თითქოს რაღაცას ელოდა და რომ რაღაც ნიშანი მისცა გამვლელ სამხედროს, რომელსაც სონიამ ანატოლეს გაუსწორა. სონიამ კიდევ უფრო ყურადღებით დაიწყო მეგობრის დაკვირვება და შეამჩნია, რომ ნატაშა ლანჩისა და საღამოს მთელი პერიოდის განმავლობაში უცნაურ და არაბუნებრივი მდგომარეობაში იყო (შეუსაბამოდ პასუხობდა მისთვის დასმულ კითხვებს, დაიწყო და არ დაასრულა ფრაზები, იცინოდა ყველაფერზე). ჩაის შემდეგ სონია დაინახა მორცხვი მოახლე, რომელიც მას ნატაშას კართან ელოდა. მან ეს გაუშვა და კართან უსმენდა, შეიტყო, რომ წერილი კვლავ გადაეცა. და უცებ სონიასთვის გაირკვა, რომ ნატაშას რაღაც საშინელი გეგმა ჰქონდა ამ საღამოსთვის. სონიამ კარზე დააკაკუნა. ნატაშამ არ შეუშვა. „მასთან ერთად გაიქცევა! სონია ფიქრობდა. მას ყველაფრის უნარი აქვს. დღეს მის სახეზე რაღაც განსაკუთრებით პათეტიკური და მტკიცე იყო. მან ცრემლები წამოუვიდა და დაემშვიდობა ბიძას, იხსენებს სონია. დიახ, ასეა, ის მასთან ერთად გარბის - მაგრამ რა ვქნა? გაიფიქრა სონიამ, ახლა გაიხსენა ის ნიშნები, რომლებიც ნათლად ამტკიცებდა, რატომ ჰქონდა ნატაშას რაიმე საშინელი განზრახვა. „რიცხვა არ არის. რა ვქნა, მივწერო კურაგინს და მისგან ახსნა მოვითხოვო? მაგრამ ვინ ეუბნება მას უპასუხოს? დაწერე პიერს, როგორც ჰკითხა პრინცმა ანდრეიმ უბედური შემთხვევის შემთხვევაში?... მაგრამ შესაძლოა, სინამდვილეში, მან უკვე უარი თქვა ბოლკონსკის (გუშინ წერილი გაუგზავნა პრინცესა მარიას). ბიძები არ არიან!” სონიას საშინლად მოეჩვენა მარია დმიტრიევნას თქმა, რომელსაც ასე სჯეროდა ნატაშას. მაგრამ ასეა თუ ისე, ბნელ დერეფანში მდგომი სონია ფიქრობდა: ახლა ან არასდროს დადგა დრო, დავამტკიცო, რომ მახსოვს მათი ოჯახის კარგი საქმეები და მიყვარს ნიკოლოზი. არა, სამი ღამე მაინც არ დავიძინებ, მაგრამ ამ დერეფანს არ დავტოვებ და ძალით არ შევუშვებ და სირცხვილს არ დავუშვებ მათ ოჯახს“, - გაიფიქრა მან. ანატოლი ბოლო დროსდოლოხოვში გადავიდა. როსტოვას გატაცების გეგმა უკვე მოფიქრებული და მომზადებული იყო დოლოხოვის მიერ რამდენიმე დღის განმავლობაში, და იმ დღეს, როდესაც სონიამ, კართან ნატაშას მოსმენით, გადაწყვიტა მისი დაცვა, ეს გეგმა უნდა განხორციელებულიყო. ნატაშამ საღამოს ათ საათზე უკანა ვერანდაზე კურაგინთან გასვლა დააპირა. კურაგინს უნდა ჩაეყენებინა იგი მომზადებულ ტროიკაში და მოსკოვიდან 60 მილის მანძილზე წაეყვანა სოფელ კამენკაში, სადაც მოამზადეს დამსხვრეული მღვდელი, რომელიც უნდა დაქორწინებულიყო მათზე. კამენკაში მზად იყო წყობილება, რომელსაც ისინი ვარშავსკაიას გზაზე უნდა წაეყვანა და იქ ფოსტით საზღვარგარეთ უნდა გალოპებოდნენ. ანატოლს ჰქონდა პასპორტი და საგზაო მოგზაურობა, ათი ათასი ფული აიღო თავის დას და ათი ათასი ნასესხები დოლოხოვის მეშვეობით. ორი მოწმე - ხვოსტიკოვი, ყოფილი კლერკი, რომელსაც დოლოხოვი და მაკარინი თამაშობდნენ, გადამდგარი ჰუსარი, კეთილგანწყობილი და სუსტი ადამიანი, რომელსაც უსაზღვრო სიყვარული ჰქონდა კურაგინის მიმართ - პირველ ოთახში იჯდა ჩაის დასალევად. დოლოხოვის დიდ კაბინეტში, რომელიც კედლიდან ჭერამდე იყო მორთული სპარსული ხალიჩებით, დათვის ტყავითა და იარაღით, დოლოხოვი იჯდა მოგზაურობის ბეშმეტში და ჩექმებში ღია ბიუროს წინ, რომელზედაც იდო კუპიურები და ფული. ანატოლი, თავისი ღილებით გახსნილი, ოთახიდან, სადაც მოწმეები ისხდნენ, ოფისის გავლით უკანა ოთახამდე გავიდა, სადაც მისი ფრანგი ფუტკარი და სხვები ბოლო ნივთებს აწყობდნენ. დოლოხოვმა ფული დათვალა და ჩაწერა. - კარგი, - თქვა მან, - ხვოსტიკოვს ორი ათასი უნდა მიეცეს. - კარგი, მომეცი, - თქვა ანატოლემ. - მაკარკა (ასე ეძახდნენ მაკარინას), ეს შენთვის უინტერესოდ ცეცხლიდან და წყალში. კარგი, ქულები დასრულდა, - თქვა დოლოხოვმა და შენიშვნა აჩვენა. - Ისე? ”დიახ, რა თქმა უნდა, ასეა”, - თქვა ანატოლმა, აშკარად არ უსმენდა დოლოხოვს და ღიმილით, რომელიც სახიდან არ შორდებოდა, წინ იყურებოდა.

1. 
   ფორმულირება;
2. 
   მტკიცებულება;

1. 
   თეორემა პროპორციულ სეგმენტებზე;
2. 
   ცევას თეორემა;

1. 
   ფორმულირება;
2. 
   მტკიცებულება;

1. 
   მენელაოსის თეორემა;

1. 
   ფორმულირება;
2. 
   მტკიცებულება;

1. 
   ამოცანები და მათი გადაწყვეტილებები;
2. 
   დასკვნა;
3. 
   გამოყენებული წყაროებისა და ლიტერატურის სია.

შესავალი.

ყველა წვრილმანია საჭირო

მნიშვნელოვანი იყოს...

I. სევერიანინი
ეს აბსტრაქტი ეძღვნება პარალელური წრფეების მეთოდის გამოყენებას თეორემების დამტკიცებისა და ამოცანების ამოხსნისათვის. რატომ ვიყენებთ ამ მეთოდს? Იმაში სასწავლო წლისმათემატიკაში სასკოლო ოლიმპიადაზე შემოგვთავაზეს გეომეტრიული ამოცანა, რომელიც ძალიან რთულად გვეჩვენა. სწორედ ამ ამოცანამ მისცა ბიძგი მუშაობის დაწყებას პარალელური ხაზების მეთოდის შესწავლასა და შემუშავებაზე სეგმენტების სიგრძის თანაფარდობის პოვნაში ამოცანების გადაჭრისას.

თავად მეთოდის იდეა ემყარება თალესის განზოგადებული თეორემის გამოყენებას. მერვე კლასში ისწავლება თალესის თეორემა, მისი განზოგადება და თემა „ფიგურების მსგავსება“ მეცხრე კლასში და მხოლოდ მეათე კლასში შესავალ გეგმაში შესწავლილია ცევას და მენელაუსის ორი მნიშვნელოვანი თეორემა. რომელთა რიგი ამოცანები შედარებით მარტივად წყდება სეგმენტების სიგრძის თანაფარდობის საპოვნელად. ამიტომ, საბაზისო განათლების დონეზე, ჩვენ შეგვიძლია გადავწყვიტოთ საკმაოდ ვიწრო წრედავალებები ამ სასწავლო მასალისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ძირითადი სკოლის კურსის საბოლოო სერტიფიცირებისას და მათემატიკაში USE-ში, გამოცდის მეორე ნაწილში მოცემულია ამოცანები ამ თემაზე (თალესის თეორემა. სამკუთხედების მსგავსება, მსგავსების კოეფიციენტი. სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები). ქაღალდი და მაღალი სირთულის.

აბსტრაქტზე მუშაობის პროცესში შესაძლებელი გახდა ამ თემაზე ცოდნის გაღრმავება. თეორემის დამტკიცება პროპორციულ სეგმენტებზე სამკუთხედში (თეორემა არ შედის სასკოლო სასწავლო გეგმაში) ეფუძნება პარალელური წრფეების მეთოდს. თავის მხრივ, ამ თეორემამ მოგვცა საშუალება შემოგთავაზოთ სხვა გზა ცევას და მენელაუსის თეორემების დასამტკიცებლად. და შედეგად, ჩვენ შევძელით გვესწავლა, თუ როგორ უნდა გადავჭრათ პრობლემების უფრო ფართო სპექტრი სეგმენტების სიგრძის შედარებისთვის. ეს არის ჩვენი მუშაობის აქტუალობა.

განზოგადებული თალესის თეორემა.

ფორმულირება:

პარალელური ხაზები, რომლებიც კვეთენ ორ მოცემულ ხაზს, ჭრიან პროპორციულ სეგმენტებს ამ ხაზებზე.
მოცემული:

პირდაპირ აგაჭრა პარალელური ხაზებით ( მაგრამ 1 AT 1 , მაგრამ 2 AT 2 , მაგრამ 3 AT 3 ,…, მაგრამ ნ ბ ნ) სეგმენტებად მაგრამ 1 მაგრამ 2 , მაგრამ 2 მაგრამ 3 , …, ა ნ -1 ა ნდა სწორი ხაზი ბ- სეგმენტებად AT 1 AT 2 , AT 2 AT 3 , …, AT ნ -1 AT ნ .

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითად

განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

1 შემთხვევა (ნახ. ბ)

პირდაპირი ადა ბპარალელურები არიან. შემდეგ ოთხკუთხედები

მაგრამ 1 მაგრამ 2 AT 2 AT 1 და მაგრამ 2 მაგრამ 3 AT 3 AT 2 - პარალელოგრამები. Ამიტომაც

მაგრამ 1 მაგრამ 2 =AT 1 AT 2 და მაგრამ 2 მაგრამ 3 =AT 2 AT 3 , საიდანაც გამომდინარეობს, რომ

2 შემთხვევა (ნახ. გ)

წრფეები a და b არ არის პარალელური. წერტილის მეშვეობით მაგრამ 1 დავხატოთ სწორი ხაზი თან, ხაზის პარალელურად ბ. ის გადაკვეთს ხაზებს მაგრამ 2 AT 2 და მაგრამ 3 AT 3 ზოგიერთ წერტილში FROM 2 და FROM 3 . სამკუთხედები მაგრამ 1 მაგრამ 2 FROM 2 და მაგრამ 1 მაგრამ 3 FROM 3 მსგავსია ორი კუთხით (კუთხით მაგრამ 1 - ზოგადი, კუთხეები მაგრამ 1 მაგრამ 2 FROM 2 და მაგრამ 1 მაგრამ 3 FROM 3 ტოლია, როგორც შესაბამისი პარალელური ხაზების ქვეშ მაგრამ 2 AT 2 და მაგრამ 3 AT 3 სეკანტი მაგრამ 2 მაგრამ 3 ), ამიტომაც

1+

ან პროპორციების თვისების მიხედვით

მეორე მხრივ, რაც დადასტურდა პირველ შემთხვევაში, გვაქვს მაგრამ 1 FROM 2 =AT 1 AT 2 , FROM 2 FROM 3 =AT 2 AT 3 . ჩანაცვლება პროპორციით (1) მაგრამ 1 FROM 2 ზე AT 1 AT 2 და FROM 2 FROM 3 ზე AT 2 AT 3 , მივდივართ თანასწორობამდე

ქ.ე.დ.
თეორემა სამკუთხედის პროპორციულ სეგმენტებზე.

გვერდებზე ACდა მზესამკუთხედი ABCქულები აღინიშნება რომდა მისე AC:CS=მ: ნ, BM: MC= გვ: ქ. სეგმენტები ᲕᲐᲠდა VCიკვეთება წერტილში ო(სურ. 124ბ).

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:
წერტილის მეშვეობით მდავხატოთ სწორი ხაზი MD(სურ. 124a), პარალელურად VC. ის გვერდს კვეთს ACწერტილში დდა თალესის თეორემის განზოგადების მიხედვით

დაე AK=mx. შემდეგ, პრობლემის მდგომარეობის შესაბამისად KS=nx, და მას შემდეგ კდ: DC= გვ: ქ, შემდეგ კვლავ ვიყენებთ თალესის თეორემის განზოგადებას:

ანალოგიურად, დადასტურებულია, რომ .

ცევას თეორემა.
თეორემა ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსის ჯოვანი ცევას სახელს, რომელმაც ეს დაამტკიცა 1678 წელს.

ფორმულირება:

თუ ABC სამკუთხედის AB, BC და CA გვერდებზე შესაბამისად აიღეთ C წერტილები 1 , მაგრამ 1 და ბ 1 , შემდეგ სეგმენტები AA 1 , BB 1 და SS 1 იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ თუ

მოცემული:

სამკუთხედი ABCდა მის გვერდებზე AB, მზედა ACქულები აღინიშნება FROM 1 ,მაგრამ 1 და AT 1 .

დაამტკიცე:

2.ჭრის ᲐᲐ 1 , BB 1 და SS 1 იკვეთება ერთ წერტილში.

მტკიცებულება:
1. მოდით სეგმენტები აა 1 , BB 1 და SS 1 იკვეთება ერთ წერტილში ო. მოდით დავამტკიცოთ, რომ თანასწორობა (3) მოქმედებს. 1 სამკუთხედის პროპორციული სეგმენტების შესახებ თეორემის მიხედვით გვაქვს:

ამ ტოლობის მარცხენა ნაწილები იგივეა, ამიტომ მარჯვენა ნაწილებიც ტოლია. მათი გათანაბრება, ჩვენ ვიღებთ

ორივე ნაწილად დაყოფა მარჯვენა მხარე, მივდივართ თანასწორობამდე (3).

2. დავამტკიცოთ საპირისპირო მტკიცება. დაუშვით ქულები FROM 1 ,მაგრამ 1 და AT 1 გვერდებზე გადაღებული AB, მზედა SAასე რომ, თანასწორობა (3). დავამტკიცოთ, რომ სეგმენტები აა 1 , BB 1 და SS 1 იკვეთება ერთ წერტილში. აღნიშნეთ ასოებით ოსეგმენტების გადაკვეთის წერტილი ᲐᲐ 1 და BB 1 და დახაზეთ სწორი ხაზი ᲘᲡᲔ. ის გვერდს კვეთს ABრაღაც მომენტში, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ FROM 2 . მას შემდეგ, რაც სეგმენტები აა 1 , BB 1 და SS 1 იკვეთება ერთ წერტილში, შემდეგ რაც დადასტურდა პირველ აბზაცში

ამრიგად, ტოლობები (3) და (4) ძალაშია.

მათი შედარებისას მივიღებთ ტოლობას = , რომელიც აჩვენებს, რომ ქულები C 1 და C 2 გააზიარე მხარე AB C 1 და C 2 ემთხვევა და, შესაბამისად, სეგმენტები აა 1 , BB 1 და SS 1 იკვეთება წერტილში ო.

ქ.ე.დ.
მენელაუსის თეორემა.

ფორმულირება:

თუ AB და BC გვერდებზე და AC გვერდის გაფართოებაზე (ან AB, BC და AC გვერდების გაფართოებაზე) აიღეთ C წერტილები შესაბამისად. 1 , მაგრამ 1 , AT 1 , მაშინ ეს წერტილები დევს იმავე წრფეზე, თუ და მხოლოდ მაშინ

მოცემული:

სამკუთხედი ABCდა მის გვერდებზე AB, მზედა ACქულები აღინიშნება FROM 1 ,მაგრამ 1 და AT 1 .

დაამტკიცე:

2. ქულები მაგრამ 1 ,FROM 1 და AT 1 დაწექი იმავე ხაზზე
მტკიცებულება:
1. დაუშვით ქულები მაგრამ 1 ,FROM 1 და AT 1 დაწექი იმავე ხაზზე. დავამტკიცოთ, რომ თანასწორობა (5) მოქმედებს. დავხარჯოთ ახ.წ,BEდა CFსწორი ხაზის პარალელურად AT 1 მაგრამ 1 (წერტილი დდგას სწორ ხაზზე მზე). თალესის განზოგადებული თეორემის მიხედვით გვაქვს:

ამ ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების გამრავლებით მივიღებთ

იმათ. თანასწორობა (5) მოქმედებს.
2. დავამტკიცოთ საპირისპირო მტკიცება. დაუშვით წერტილი AT 1 გადაღებული გაგრძელების მხარეს ACდა ქულები FROM 1 და მაგრამ 1 - გვერდებზე ABდა მზე, და ისე, რომ თანასწორობა (5) მოქმედებს. მოდით დავამტკიცოთ, რომ პუნქტები მაგრამ 1 ,FROM 1 და AT 1 დაწექი იმავე ხაზზე. მოდით, სწორი ხაზი A 1 C 1 კვეთს AC გვერდის გაგრძელებას B 2 წერტილში, შემდეგ, რაც დადასტურდა პირველ აბზაცში.

(5) და (6) შედარებისას მივიღებთ ტოლობას = , რომელიც აჩვენებს, რომ ქულები AT 1 და AT 2 გააზიარე მხარე ACიმავე მხრივ. ამიტომ, ქულები AT 1 და AT 2 ემთხვევა და აქედან გამომდინარეობს პუნქტები მაგრამ 1 ,FROM 1 და AT 1 დაწექი იმავე ხაზზე. საპირისპირო მტკიცება ანალოგიურად დასტურდება იმ შემთხვევაში, როდესაც სამივე პუნქტი მაგრამ 1 ,FROM 1 და AT 1 დაწექით შესაბამისი გვერდების გაფართოებებზე.

ქ.ე.დ.

Პრობლემის გადაჭრა.

შემოთავაზებულია განიხილოს მთელი რიგი ამოცანები სამკუთხედში სეგმენტების პროპორციულ დაყოფაზე. როგორც ზემოთ აღინიშნა, პრობლემაში საჭირო წერტილების ადგილმდებარეობის განსაზღვრის რამდენიმე მეთოდი არსებობს. ჩვენს ნამუშევრებში ჩვენ მივიღეთ პარალელური ხაზების მეთოდი. ამ მეთოდის თეორიულ საფუძველს წარმოადგენს თალესის განზოგადებული თეორემა, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოიყენოს პარალელური ხაზები გადასატანად. ცნობილი ურთიერთობებიპროპორციები კუთხის ერთი მხრიდან მის მეორე მხარეს, ამდენად, თქვენ მხოლოდ ამ პარალელური ხაზების დახატვა გჭირდებათ პრობლემის გადასაჭრელად მოსახერხებელი გზით.
განიხილეთ კონკრეტული ამოცანები:
ამოცანა №1 წერტილი M აღებულია BC გვერდის ABC სამკუთხედში ისე, რომ VM:MC=3:2. წერტილი P ყოფს AM სეგმენტს 2:1 თანაფარდობით. BP ხაზი კვეთს AC მხარეს B წერტილში 1 . რა მხრივ არის წერტილი B 1 ყოფს AC მხარეს?

გამოსავალი: აუცილებელია ვიპოვოთ თანაფარდობა AB 1: B 1 C, AC არის სასურველი სეგმენტი, რომელზეც დევს წერტილი B 1.

პარალელური მეთოდი შემდეგია:

1. 
   გაჭრა სასურველი სეგმენტი პარალელური ხაზებით. ერთი BB 1 უკვე არის, ხოლო მეორე MN გაივლება M წერტილის გავლით, BB 1-ის პარალელურად.
2. 
   გადაიტანეთ ცნობილი თანაფარდობა კუთხის ერთი მხრიდან მის მეორე მხარეს, ე.ი. განვიხილოთ გვერდის კუთხეები, რომლებიც ამოჭრილია ამ სწორი ხაზებით.

C კუთხის გვერდები იჭრება სწორი ხაზებით BB 1 და MN და, განზოგადებული თალესის თეორემის მიხედვით, დავასკვნით AT 1 ნ= 3r, NC=2p. MAC კუთხის მხარეები კვეთენ PB 1 და MN ხაზებს და ყოფენ მის გვერდებს თანაფარდობით 2: 1, შესაბამისად AB 1: B 1 N \u003d 2: 1 და, შესაბამისად, AB 1 \u003d 2n, AT 1 ნ= ნ. იმიტომ რომ AT 1 ნ= 3r, და AT 1 ნ= ნ, მაშინ 3p=ნ.

მოდით გადავიდეთ ჩვენთვის საინტერესო თანაფარდობაზე AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6: 5.

პასუხი: AB 1:B 1 C = 6:5.

კომენტარი: ამ პრობლემის გადაჭრა შეიძლებოდა მენელაუსის თეორემის გამოყენებით. მისი გამოყენება სამკუთხედზე AMC. შემდეგ წრფე BB 1 კვეთს სამკუთხედის ორ მხარეს B 1 და P წერტილებში და მესამეს გაგრძელებას B წერტილში. ასე რომ, ტოლობა მოქმედებს: , შესაბამისად
დავალება ნომერი 2 სამკუთხედში ABC AN არის მედიანა. AC მხარეს, წერტილი M აღებულია ისე, რომ AM: MC \u003d 1: 3. სეგმენტები AN და BM იკვეთება O წერტილში, ხოლო სხივი CO კვეთს AB-ს K წერტილში. რა თანაფარდობით იყოფა K წერტილი AB სეგმენტს.

გამოსავალი:ჩვენ უნდა ვიპოვოთ AK-ის შეფარდება KV-სთან.

1) დახაზეთ NN 1 წრფე SK წრფესთან და NN 2 წრფე VM წრფის პარალელურად.

2) ABC კუთხის გვერდები იკვეთება SC და NN 1 სწორი ხაზებით და თალესის განზოგადებული თეორემის მიხედვით ვასკვნით BN 1:N 1 K=1:1 ან BN 1 = ნ 1 კ= წ.

3) BCM კუთხის გვერდები იკვეთება BM და NN 2 წრფეებით და თალესის განზოგადებული თეორემის მიხედვით ვასკვნით CN 2:N 2 M=1:1 ან CN 2 = N 2 M=3:2=. 1.5.

4) NAC კუთხის გვერდები იკვეთება BM და NN 2 წრფეებით და თალესის განზოგადებული თეორემის მიხედვით ვასკვნით AO: ON=1:1.5 ან AO=m ON=1.5m.

5) BAN კუთხის გვერდები იკვეთება სწორი ხაზებით SK და NN 1 და, განზოგადებული თალესის თეორემის მიხედვით, დავასკვნათ AK: KN 1 \u003d 1: 1.5 ან AK \u003d n. KN 1 =1,5 ნ.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1.5n.

პასუხი: AK:KV=1:3.

კომენტარი: ამ ამოცანის ამოხსნა შეიძლებოდა ცევას თეორემის გამოყენებით, სამკუთხედზე ABC. პირობით, N, M, K წერტილები დევს ABC სამკუთხედის გვერდებზე და AN, CK და VM სეგმენტები იკვეთება ერთ წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ ტოლობა მართალია: , ვცვლით ცნობილ მიმართებებს, გვაქვს AK:KV=1:3.

დავალება No3 ABC სამკუთხედის BC მხარეს იღებენ D წერტილი ისე, რომ BD: DC \u003d 2: 5, ხოლო AC მხარეს, E წერტილი ისეთია, რომ . რა თანაფარდობით არის გაყოფილი BE და AD სეგმენტები მათი გადაკვეთის K წერტილზე?
გამოსავალი:უნდა იპოვოთ 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) დახაზეთ წრფე DD 1 BE წრფის პარალელურად.

2) ALL კუთხის გვერდები იკვეთება BE და DD 1 წრფეებით და თალესის განზოგადებული თეორემის მიხედვით ვასკვნით CD 1:D 1 E=5:2 ან CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) პირობის მიხედვით AE:EC=1:2, ე.ი. AE \u003d x, EC \u003d 2x, მაგრამ EC \u003d CD 1 + D 1 E, შემდეგ 2წ=5ზ+2 ზ=7 ზ, ზ=

4) კუთხის DCA გვერდები იკვეთება BE და DD 1 წრფეებით და, განზოგადებული თალესის თეორემის მიხედვით, დავასკვნით

5) VK:KE თანაფარდობის დასადგენად ვხატავთ EE 1 სწორ ხაზს და ანალოგიურად კამათით ვიღებთ

პასუხი: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
კომენტარი:ამ პრობლემის გადაჭრა შეიძლებოდა მენელაუსის თეორემის გამოყენებით. მისი გამოყენება სამკუთხედზე WEIGHT. შემდეგ DA წრფე კვეთს სამკუთხედის ორ გვერდს D და K წერტილებში და მესამეს გაგრძელებას A წერტილში. ასე რომ, ტოლობა მოქმედებს: , შესაბამისად VK:KE=6:5. ანალოგიურად კამათით ADC სამკუთხედთან მიმართებაში, მივიღებთ , AK:KD=7:4.
ამოცანა #4 ∆ ABC-ში ბისექტორი AD ყოფს BC მხარეს 2:1 თანაფარდობით რა თანაფარდობით ყოფს CE მედიანა ამ ბისექტრისს?

გამოსავალი: მოდით, აღვნიშნოთ O AD ბისექტრის კვეთა და CE მედიანა. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ თანაფარდობა AO:OD.

1) დახაზეთ წრფე DD 1 CE წრფის პარალელურად.

2) ABC კუთხის გვერდები იკვეთება CE და DD 1 წრფეებით და თალესის განზოგადებული თეორემის მიხედვით ვასკვნით BD 1:D 1 E=2:1 ან BD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) პირობის მიხედვით AE:EB=1:1, ე.ი. AE=y, EB=y, მაგრამ EB= BD 1 + D 1 E, ასე y=2გვ+ გვ=3 გვ, გვ =
4) BAD კუთხის გვერდები იკვეთება OE და DD 1 წრფეებით და თალესის განზოგადებული თეორემის მიხედვით დავასკვნით .

პასუხი: AO:OD=3:1.

დავალება #5 AB და AC ∆ABC გვერდებზე მოცემულია M და N წერტილები, შესაბამისად, ისე, რომ დაკმაყოფილებულია შემდეგი ტოლობები AM:MB=C.ნ: NA=1:2. რა თანაფარდობით ყოფს BN და CM სეგმენტების გადაკვეთის S წერტილი თითოეულ ამ სეგმენტს.

ამოცანა №6 K წერტილი აღებულია ABC სამკუთხედის AM მედიანაზე და AK:KM=1:3. იპოვეთ თანაფარდობა, რომლითაც AC გვერდის პარალელურად K წერტილიდან გამავალი წრფე ყოფს BC მხარეს.

ამოხსნა: დავუშვათ M 1 ქულა K წერტილის გავლით AC და BC მხარის პარალელურად წრფის გადაკვეთა. აუცილებელია ვიპოვოთ BM 1:M 1C თანაფარდობა.

1) AMC კუთხის გვერდები იკვეთება სწორი ხაზებით KM 1 და AC და, განზოგადებული თალესის თეორემის მიხედვით, ვასკვნით MM 1: M 1 C=3:1 ან MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d ზ

2) პირობით VM:MS=1:1, ანუ VM=y, MC=y, მაგრამ MC=MM 1 + M 1 C, ასე რომ y=3ზ+ ზ=4 ზ,

3) .

პასუხი: VM 1:M 1 C = 7:1.

მოცემულია ამოცანა №7 სამკუთხედი ABC. AC მხარის გაფართოებაზე, წერტილი აღებულია C წერტილისთვისნდა Cნ=AC; წერტილი K არის AB მხარის შუა წერტილი. რა მხრივ არის ხაზი Kნყოფს მხარეს ძვ.წ.

კომენტარი:ამ პრობლემის გადაჭრა შეიძლებოდა მენელაუსის თეორემის გამოყენებით. მისი გამოყენება ABC სამკუთხედზე. მაშინ სწორი ხაზი KN კვეთს სამკუთხედის ორ მხარეს K და K 1 წერტილებში, ხოლო მესამეს გაგრძელებას N წერტილში. ასე რომ, ტოლობა მოქმედებს: , შესაბამისად VK 1:K 1 C=2:1.

დავალება #8

საიტები:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2011 მათემატიკის ამოცანა C4 R.K. Gordin M .: MTSNMO, 2011, - 148 წ.

დასკვნა:

ამოცანებისა და თეორემების ამოხსნა სეგმენტების სიგრძის შეფარდების საპოვნელად ემყარება თალესის განზოგადებულ თეორემას. ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ მეთოდი, რომელიც საშუალებას იძლევა, თალესის თეორემის გამოყენების გარეშე, გამოვიყენოთ პარალელური ხაზები, გადავიტანოთ ცნობილი პროპორციები კუთხის ერთი მხრიდან მეორე მხარეს და, ამრიგად, ვიპოვოთ საჭირო წერტილების მდებარეობა და შევადაროთ სიგრძეები. აბსტრაქტზე მუშაობა დაგვეხმარა გვესწავლა გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნა მაღალი დონესირთულეები. ჩვენ გავაცნობიერეთ ცნობილი რუსი პოეტის იგორ სევერიანინის სიტყვების სისწორე: ”ყველაფერი უმნიშვნელოა საჭირო, რომ იყოს მნიშვნელოვანი…” და დარწმუნებული ვართ, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე ჩვენ შევძლებთ იპოვოთ გამოსავალი შემოთავაზებული ამოცანების გამოყენებით. პარალელური ხაზების მეთოდი.

1 თეორემა სამკუთხედის პროპორციულ სეგმენტებზე არის ზემოთ აღწერილი თეორემა.

თუ კუთხის გვერდები გადაკვეთილია სწორი პარალელური ხაზებით, რომლებიც ერთ გვერდს ყოფს რამდენიმე სეგმენტად, მაშინ მეორე მხარე, სწორი ხაზები, ასევე დაიყოფა მეორე მხარის ექვივალენტურ სეგმენტებად.

თალესის თეორემაამტკიცებს შემდეგს: С 1 , С 2 , С 3 - ეს ის ადგილებია, სადაც პარალელური ხაზები იკვეთება კუთხის ნებისმიერ მხარეს. C 2 შუაშია C 1 და C 3 მიმართ.. წერტილები D 1 , D 2 , D 3 არის ხაზების გადაკვეთის ადგილები, რომლებიც შეესაბამება კუთხის მეორე მხარის წრფეებს. ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ როდესაც C 1 C 2 \u003d C 2 C z, მაშინ D 1 D 2 \u003d D 2 D 3.
ჩვენ ვხატავთ KR სწორ სეგმენტს D 2 ადგილზე, C 1 C 3 მონაკვეთის პარალელურად. პარალელოგრამის თვისებებში C 1 C 2 \u003d KD 2, C 2 C 3 \u003d D 2 P. თუ C 1 C 2 \u003d C 2 C 3, მაშინ KD 2 \u003d D 2 P.

მიღებული სამკუთხა ფიგურები D 2 D 1 K და D 2 D 3 P ტოლია. და D 2 K=D 2 P დასტურით. D 2 ზედა წერტილის მქონე კუთხეები ტოლია როგორც ვერტიკალური, ხოლო კუთხეები D 2 KD 1 და D 2 PD 3 ტოლია როგორც შიდა ჯვრები, რომლებიც დევს პარალელურად C 1 D 1 და C 3 D 3 და ჰყოფს KP-ს.
ვინაიდან D 1 D 2 =D 2 D 3 თეორემა მტკიცდება სამკუთხედის გვერდების ტოლობით

შენიშვნა: თუ ავიღებთ არა კუთხის გვერდებს, არამედ ორ სწორ სეგმენტს, მტკიცებულება იგივე იქნება.
ნებისმიერი სწორი ხაზის სეგმენტები ერთმანეთის პარალელურად, რომლებიც კვეთენ ჩვენს განხილულ ორ წრფეს და ერთ-ერთ მათგანს ყოფენ იდენტურ მონაკვეთებად, იგივე გააკეთეთ მეორესთანაც.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს

პირველი მაგალითი

დავალების პირობაა CD ხაზის გაყოფა პიდენტური სეგმენტები.
C წერტილიდან ვხატავთ c ნახევარ წრფეს, რომელიც არ დევს CD წრფეზე. მოვნიშნოთ მასზე ერთი და იგივე ზომის ნაწილები. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. ჩვენ ვაკავშირებთ C p-ს D-ს. ვხატავთ სწორ ხაზებს C 1, C 2, ...., C p წერტილებიდან. -1 რომელიც პარალელური იქნება C p D-ის მიმართ. წრფეები გადაიკვეთება CD ადგილებზე D 1 D 2 D p-1 და დაყოფს CD წრფეს n იდენტურ სეგმენტად.

მეორე მაგალითი

წერტილი CK აღინიშნება ABC სამკუთხედის AB მხარეს. სეგმენტი SK კვეთს სამკუთხედის AM მედიანას P წერტილში, ხოლო AK = AP. საჭიროა VC-სა და RM-ის თანაფარდობის პოვნა.
ვხაზავთ სწორ ხაზს M წერტილში, SC-ის პარალელურად, რომელიც კვეთს AB წერტილს D წერტილში

მიერ თალესის თეორემაВD=КD
პროპორციული სეგმენტების თეორემით ჩვენ ამას ვიღებთ
PM \u003d KD \u003d VK / 2, შესაბამისად, VK: PM \u003d 2: 1
პასუხი: VK: RM = 2:1

მესამე მაგალითი

სამკუთხედში ABC გვერდი BC = 8 სმ წრფე DE კვეთს AB და BC გვერდებს AC-ის პარალელურად. და წყვეტს BC მხარეს სეგმენტს EU = 4 სმ. დაამტკიცეთ, რომ AD = DB.

ვინაიდან BC = 8 სმ და EU = 4 სმ, მაშინ
BE = BC-EU, შესაბამისად BE = 8-4 = 4 (სმ)
მიერ თალესის თეორემა, რადგან AC პარალელურია DE და EC \u003d BE, შესაბამისად, AD \u003d DB. ქ.ე.დ.

AT ქალთა ჟურნალი- ონლაინ, ბევრს იპოვით საინტერესო ინფორმაციაჩემთვის. ასევე არის განყოფილება, რომელიც ეძღვნება სერგეი ესენინის მიერ დაწერილ ლექსებს. შემოდით არ ინანებთ!

პარალელისა და სეკანტის შესახებ.

რუსულენოვანი ლიტერატურის მიღმა, თალესის თეორემას ზოგჯერ პლანიმეტრიის სხვა თეორემასაც უწოდებენ, კერძოდ, დებულებას, რომ წრეწირის დიამეტრზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხე სწორია. ამ თეორემის აღმოჩენა მართლაც თალესს მიეწერება, რასაც პროკლე მოწმობს.

ფორმულირება

თუ ორი სწორი ხაზიდან ერთ-ერთზე რამდენიმე თანაბარი სეგმენტი თანმიმდევრულად განზე იქნება და მათ ბოლოებში პარალელური ხაზები გაივლება, რომლებიც კვეთენ მეორე სწორ ხაზს, მაშინ ისინი ამოჭრიან თანაბარ სეგმენტებს მეორე სწორ ხაზზე.

უფრო ზოგადი ფორმულირება, რომელსაც ასევე ე.წ პროპორციული სეგმენტის თეორემა

პარალელური ხაზები ჭრის პროპორციულ სეგმენტებს სექანტებში:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

შენიშვნები

• თეორემაში არ არის შეზღუდვები სეკანტების ურთიერთგანლაგებაზე (ეს მართალია როგორც გადაკვეთის, ასევე პარალელური წრფეებისთვის). ასევე არ აქვს მნიშვნელობა სად არის ხაზის სეგმენტები სკანტებზე.

• თალესის თეორემა არის პროპორციული სეგმენტების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, ვინაიდან თანაბარი სეგმენტები შეიძლება ჩაითვალოს პროპორციულ სეგმენტებად, პროპორციულობის კოეფიციენტით 1-ის ტოლი.

მტკიცებულება სეკანტების შემთხვევაში

განვიხილოთ ვარიანტი სეგმენტების შეუერთებელი წყვილით: მოდით, კუთხე გადაიკვეთოს სწორი ხაზებით A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))და სადაც A B = C D (\displaystyle AB=CD).

მტკიცებულება პარალელური წრფეების შემთხვევაში

დავხატოთ სწორი ხაზი ძვ.წ. კუთხეები ABCდა BCDტოლია, როგორც შიდა ჯვრები, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ ხაზებზე ABდა CDდა სეკანტი ძვ.წდა კუთხეები ACBდა CBDტოლია, როგორც შიდა ჯვრები, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ ხაზებზე ACდა BDდა სეკანტი ძვ.წ. შემდეგ, სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმის მიხედვით, სამკუთხედები ABCდა DCBთანაბარი არიან. აქედან გამომდინარეობს, რომ AC = BDდა AB = CD. ■

ვარიაციები და განზოგადება

შებრუნებული თეორემა

თუ თალესის თეორემაში თანაბარი სეგმენტები იწყება წვეროდან (ეს ფორმულირება ხშირად გამოიყენება სასკოლო ლიტერატურაში), მაშინ საპირისპირო თეორემაც მართალი აღმოჩნდება. გადაკვეთის სექანტებისთვის იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

თალესის შებრუნებულ თეორემაში მნიშვნელოვანია, რომ თანაბარი სეგმენტები იწყება წვეროდან

ამრიგად (იხ. სურ.) იქიდან, რომ C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ლდოტები), ამას მოჰყვება A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots).

თუ სექანტები პარალელურია, მაშინ აუცილებელია ორივე სეგმენტის სეგმენტების ტოლობის მოთხოვნა ერთმანეთთან, წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს განცხადება არასწორია (კონტრმაგალითი არის ტრაპეცია, რომელიც იკვეთება ფუძეების შუა წერტილებში გამავალი ხაზით).

ეს თეორემა გამოიყენება ნავიგაციაში: მუდმივი სიჩქარით მოძრავი გემების შეჯახება გარდაუვალია, თუ ერთი გემიდან მეორეზე მიმართულება შენარჩუნებულია.

სოლერტინსკის ლემა

შემდეგი განცხადება ორმაგია სოლერტინსკის ლემასთან:

დაე f (\displaystyle f)- პროექციული კორესპონდენცია ხაზის წერტილებს შორის l (\displaystyle l)და პირდაპირი m (\displaystyle m). მაშინ ხაზების ნაკრები იქნება ზოგიერთი (შესაძლოა გადაგვარებული) კონუსური მონაკვეთის ტანგენტების ნაკრები.

თალესის თეორემის შემთხვევაში, კონუსი იქნება წერტილი უსასრულობაში, რომელიც შეესაბამება პარალელური წრფეების მიმართულებას.

ეს განცხადება, თავის მხრივ, არის შემდეგი განცხადების შემზღუდველი შემთხვევა:

დაე f (\displaystyle f)არის კონუსის პროექციული ტრანსფორმაცია. შემდეგ ხაზების ნაკრების კონვერტი X f (X) (\displaystyle Xf(X))იქნება კონუსური (შესაძლოა გადაგვარებული).