Координатный луч, шкала, диаграмма. Единичный отрезок

Натуральные числа можно изображать на луче. Построим луч с началом в точке О, направив его слева - направо, направление отметим стрелкой.

Началу луча (точке О) поставим в соответствие число 0 (ноль). Отложим от точки О отрезок ОА произвольной длины. Точке А поставим в соответствие число 1 (один). Длину отрезка ОА будем считать равной 1 (единице). Отрезок АВ = 1 называется единичным отрезком . Отложим от точки А в направлении луча отрезок АВ = ОА. Поставим точке В в соответствие число 2. Заметим, что точка В находится от точки О на расстоянии в два раза большем, чем точка А. Значит, длина отрезка ОВ равна 2 (двум единицам). Продолжая откладывать в направлении луча отрезки, равные единичному, будем получать точки, которым соответствуют числа 3, 4, 5, и т.д. Данные точки удалены от точки О соответственно на 3, 4, 5, и т.д. единиц.

Луч, построенный таким способом, называется координатным или числовым . Начало числового луча, точка О, называется точкой отсчета . Числа, поставленные в соответствие точкам на этом луче, называются координатами этих точек (отсюда: координатный луч). Пишут: О(0), А(1), В(2), читают: «точка О с координатой 0 (ноль), точка А с координатой 1 (один), точка В с координатой 2 (два)» и т.д.

Любое натуральное число n можно изобразить на координатном луче, при этом соответствующая ему точка P будет удалена от точки О на n единиц. Пишут: ОP = n и P(n ) - точка P (читают: "пэ") с координатой n (читают: "эн"). Например, чтобы отметить на числовом луче точку К(107), необходимо от точки О отложить 107 отрезков, равных единичному. В качестве единичного можно выбрать отрезок любой длины. Часто длину единичного отрезка выбирают такой, чтобы было возможно в пределах рисунка изобразить на числовом луче необходимые натуральные числа. Рассмотрите пример

5.2. Шкала

Важным применением числового луча являются шкалы и диаграммы. Они используются в измерительных приборах и устройствах, при помощи которых измеряют различные величины. Одним из основных элементов измерительных приборов является шкала. Она представляет собой числовой луч, нанесенный на металлическое, деревянное, пластиковое, стеклянное или другое основание. Часто шкала выполнена в виде окружности или части окружности, которые разделены штрихами на равные части (деления-дуги) подобно числовому лучу. Каждому штриху на прямой или круговой шкале поставлено в соответствие определенное число. Это значение измеряемой величины. Например, числу 0 на шкале термометра соответствует температура 0 0 С, читают: «ноль градусов Цельсия ». Это температура, при которой начинает таять лед (или начинает замерзать вода).

Используя измерительные приборы и инструменты со шкалами, определяют значение измеряемой величины по положению указателя на шкале. Чаще всего указателем служат стрелки. Они могут перемещаться вдоль шкалы, отмечая значение измеряемой величины (например, стрелка часов, стрелка весов, стрелка спидометра - прибора для измерения скорости, рисунок 3.1.). Подобна смещающейся стрелке граница столбика ртути или подкрашенного спирта в термометре (рисунок 3.1). В некоторых приборах движется не стрелка вдоль шкалы, а шкала перемещается относительно неподвижной стрелки (метки, штриха), например, в напольных весах. В некоторых инструментах (линейка, рулетка) указателем служат границы самого измеряемого предмета.

Промежутки (части шкалы) между соседними штрихами шкалы называются деления. Расстояние между соседними штрихами, выраженное в единицах измеряемой величины, называется ценой деления (разность чисел, которым соответствуют соседние штрихи шкалы.) Например, цена деления спидометра на рисунке 3.1. равна 20 км/ч (двадцать километров в час), а цена деления комнатного термометра на рисунке 3.1. равна 1 0 С (один градус Цельсия).

Диаграмма

Для видимого изображения величин используют линейные, столбчатые или круговые диаграммы. Диаграмма состоит из числового луча-шкалы, направленного слева - направо или снизу - вверх. Кроме того на диаграмме помещены отрезки или прямоугольники (столбцы), изображающие сравниваемые величины. При этом длина отрезков или столбцов в единицах шкалы равна соответствующим величинам. На диаграмме возле числового луча-шкалы подписывают название единиц измерения, в которых отложены величины. На рисунке 3.2. изображена столбчатая диаграмма, а на рисунке 3.3 линейная.

3.2.1. Величины и приборы для их измерения

В таблице приведены названия некоторых величин, а также приборов и инструментов, предназначенных для их измерения. (Жирным шрифтом выделены основные единицы Международной системы единиц).

5.2.2. Термометры. Измерение температуры

На рисунке 3.4 приведены термометры, в которых использованы разные температурные шкалы: Реомюра (°R), Цельсия (°С) и Фаренгейта (°F).В них использован один и тот же температурный интервал - разность температур кипения воды и плавления льда. Этот интервал разделён на различное число частей: в шкале Реомюра - на 80 частей, шкале Цельсия - на 100 частей, в шкале Фаренгейта - на 180 частей. При этом в шкалах Реомюра и Цельсия температуре таяния льда соответствует число 0 (ноль), а в шкале Фаренгейта - число 32. Единицы температуры в этих термометрах: градус по Реомюру, градус по Цельсию, градус по Фаренгейту. В устройстве термометров используется свойство жидкостей (спирта, ртути) расширяться при нагревании. При этом различные жидкости по-разному расширяются при нагревании, что видно на рисунке 3.5, где штрихи для столбика спирта и ртути не совпадают при одинаковой температуре.

5.2.3. Измерение влажности воздуха

Влажность воздуха зависит от количества в нём водяных паров. Например, летом в пустыне воздух сухой, влажность его низкая, так как в нём содержится мало паров воды. В субтропиках, например, в Сочи влажность высокая, в воздухе много водяных паров. Измерить влажность можно с помощью двух термометров. Один из них обычный (сухой термометр). У второго шарик обёрнут влажной тканью (влажный термометр). Известно, что при испарении воды температура тела понижается. (Вспомните озноб при выходе из моря после купания). Поэтому влажный термометр показывает более низкую температуру. Чем суше воздух, тем больше разность показаний двух термометров. Если показания термометров одинаковы (разность равна нулю), то влажность воздуха равна 100 %. В этом случае выпадает роса. Прибор, измеряющий влажность воздуха, называется психрометром (рисунок 3.6). Он снабжён таблицей, в которой приведены: показания сухого термометра, разность показаний двух термометров, влажность воздуха в процентах. Чем ближе влажность к 100%, тем более влажный воздух. Нормальная влажность в помещениях должна быть равна около 60%.

Блок 3.3. Самоподготовка

5.3.1. Заполните таблицу

Отвечая на вопросы таблицы, заполняйте свободную колонку («Ответ»). При этом используйте рисунки приборов в блоке «Дополнительный».

760 мм. рт. ст. считается нормальным. На рисунке 3.11 показано изменение атмосферного давления при подъёме на самую высокую гору Эверест.

Постройте линейную диаграмму изменения давления, отложив на вертикальном луче высоту над уровнем моря, а по горизонтали давление.

Блок 5.4. Проблемный

Построение числового луча с единичным отрезком заданной длины

Для решения этой учебной проблемы работайте по плану, приведенному в левой колонке таблицы, при этом правую колонку рекомендуется закрыть листом бумаги. Ответив на все вопросы, сопоставьте свои выводы с приведёнными решениями.

Блок 5.5. Фасетный тест

Числовой луч, шкала, диаграмма

В задачах фасетного теста использованы рисунки из таблицы. Все задачи начинаются так: «ЕСЛИ числовой луч представлен на рисунке …., то… »

ЕСЛИ: числовой луч представлен на рисунке… Таблица

1. Количество единиц между соседними штрихами числового луча.
2. Координаты точек А, В, С, D.
3. Длина (в сантиметрах) отрезков АВ, ВС, АD, ВD соответственно.
4. Длина (в метрах) отрезков АВ, ВС, АD, ВD соответственно.
5. Натуральные числа, расположенные на числовом луче левее точки D.
6. Натуральные числа, расположенные на числовом луче между точками А и С.
7. Количество натуральных чисел, лежащих на числовом луче между точками А и D.
8. Количество натуральных чисел, лежащих на числовом луче между точками В и С.
9. Цена деления шкалы прибора.
10. Скорость автомобиля в км/ч, если стрелка спидометра указывает на точки А, В, С, D соответственно.
11. Величина (в км/ч), на которую увеличилась скорость автомобиля, если стрелка спидометра переместилась из точки В в точку С.
12. Величина скорости автомобиля после того, как водитель уменьшил скорость на 84 км/ч (перед уменьшением скорости стрелка спидометра указывала на точку D).
13. Масса груза на весах в центнерах, если стрелка - указатель весов - расположена напротив точек А, В, С соответственно.
14. Масса груза на весах в килограммах, если стрелка - указатель весов - расположена напротив точек А, В, С соответственно.
15. Масса груза на весах в граммах, если стрелка - указатель весов - расположена напротив точек А, В, С соответственно.
16. Количество учеников в 5 классе.
17. Разность между количеством учеников, успевающих на «4», и количеством учеников, успевающих на «3».
18. Отношение количества учеников, успевающих на «4» и «5», к количеству учеников, успевающих на «3».

РАВНО (равна, равны, это):

а) 10 б) 6,12,3,3 в) 1 г) 99,102,106,104 д) 2 е) 201,202 ж) 49 з) 3500,3000,8000,4500

и) 5,2,1,4 к) 599 л) 6,3,3,9 м) 10,4,16,7 н) 100 о) 4 км/ч п) 65,85,105,115 р) 7,2,4,6 с) 20,20,50,30 т) 0 у) 700,600,1600,900 ф) 1,2,3,4,5,6 х) 25,10,5,20 ц) 3,4,5,2 ч) 203,197,200,206 ш) 15,20,25,10 щ) 1599 ы) 11,12,13,14,15 э) 30,60,15,15 ю) 0,700,1300,1600 я) 100,100,250,150 аа) 30,15,15,45 бб) 4 вв) 1,2,3,4,5 гг) 17 дд) 500 кг ее) 19 жж) 80 зз) 100,101,102,103,104,105 ии)5,6 кк) 28,64,100,164 лл) 1500000,3000000,4500000 мм) 11 нн) 36 оо) 1500,3000,4500 пп) 7 рр) 24 сс) 15,30,45

Блок 5.6. Учебная мозаика

В заданиях мозаики использованы приборы из блока «Дополнительный». Ниже приведено поле мозаики. На нём указаны названия приборов. Кроме того для каждого прибора обозначены: измеряемая величина (В), единица измерения величины (Е), показание прибора (П), цена деления шкалы (Ц). Далее помещены ячейки мозаики. Прочитав ячейку, вы должны сначала определить прибор, к которому она относится, и поставить в окружность ячейки номер прибора. Затем надо догадаться, о чём эта ячейка. Если речь идёт об измеряемой величине, надо к номеру приписать букву В. Если это единица измерения - поставить букву Е, если показание прибора - букву П , если цена деления - букву Ц. Таким образом надо обозначить все ячейки мозаики. Если ячейки вырезать и расположить так, как на поле, то можно систематизировать сведения о приборе. В компьютерном варианте мозаики при правильном расположении ячеек создаётся рисунок.

научить приводить примеры приборов со шкалами, определять цену деления шкалы, читать показания некоторых приборов (термометр, спидометр, часы…), строить шкалы с помощью выбранного единичного отрезка, находить на координатном луче точку с заданной координатой, определять координату точки;

личностные

проявлять интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения;

метапредметные

формировать умение использовать приобретенные знания в практической деятельности, развивать компетентность в области использования ИКТ

Организационная структура урока

Организационный этап.

Устный счет

а) Вычисли устно

б)

в) Продолжить числовой ряд 6 ; 7 ; 9 ; 13 ; 21 ; ?

3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Что вы видите на рисунке?

Чем отличаются эти лучи?

Как вы думаете, какая сегодня тема урока?

4.Актуализация знаний

А где в жизни вы встречали шкалу и координатный луч?

Продемонстрировать учащимся приборы (амперметр, вольтметр) . Обратить внимание, что форма шкалы может быть различной (отрезок или дуга) . Это подготовит учащихся к знакомству с транспортиром.

5. Изучение нового материала

Составление конспекта по теме (вместе с учащимися)

Что такое координатный луч?

Как можно определить положение точки на координатном луче?

Каким может быть единичный отрезок?

Опр. Координатный луч- это отрезок, на котором отмечены:

начало отсчета

единичный отрезок

направление

Точка А имеет координату 4 записываем А (4)

Обратить внимание что, единичный отрезок может быть различным. Выполнить задания по готовым чертежам с разными единичными отрезками.

6. Физминутка.

(Ученики повторяют движения за учителем)

Раз - подняться, подтянуться,

Два - согнуться, разогнуться,

Три - в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре - руки шире.

Пять - руками помахать,

Шесть - за парты сесть опять.

7. Первичное закрепление нового материала.

Фронтальная работа № 113, №115, № 117 из учебника

В рабочей тетради №1 индивидуально № 41, №42, №43.

8. Итоги урока вопросы 1-4 , с.36

9. Домашнее задание.

Параграф 5, вопросы 1-4, № 114, № 116.

Творческое задание (по группам) : сделать презентацию « Координатный луч»

Какие слайды должны быть в презентации на ваш взгляд?

Определение координатного луча

Из истории открытия

Применение координатного луча в математике

Применение координатного луча в жизни

Вывод

10. Рефлексия. « Светофор»

Учащиеся поднимают цветные кружки, которые сделаны заранее.

Зеленый кружок - на уроке было всё понятно, было интересно, с заданиями справился самостоятельно.

Оранжевый кружок - на уроке мне было почти всё понятно, но не всё удалось выполнить самостоятельно.

Красный кружок - на уроке мне было трудно, при выполнении заданий требовалась помощь.

С помощью ровной деревянной рейки две точки A и B можно соединить отрезком (рис. 46 ). Однако этим примитивным инструментом измерить длину отрезка AB не удастся. Его можно усовершенствовать.

На рейке через каждый сантиметр нанесем штрихи. Под первым штрихом нанесем число 0, под вторым − 1, третьим − 2 и т.д. (рис. 47 ). В таких случаях говорят, что на рейку нанесена шкала с ценой деления 1 см. Эта рейка со школой похожа на линейку. Но чаще всего на линейку наносят шкалу с ценой деления 1 мм (рис. 48 ).

Из повседневной жизни Вам хорошо известны и другие измеритильные приборы, имеющие шкалы различной формы. Например: циферблат часов со шкалой деления 1 мин (рис. 49 ), спидометр автомобиля со шкалой деления 10 км/ч (рис. 50 ), комнатный термометр со шкалой деления 1 °C (рис. 51 ), весы со шкалой деления 50 г (рис. 52 ).

Конструктор создает измерительные приборы, шкалы которых конечны, т. е. среди отмеченных на шкале чисел всегда есть наибольшее. А вот математик с помощью воображения может построить и бесконечную шкалу.

Начерти луч OX. Отметим на этом луче какую−нибудь точку E. Напишем над точкой O число 0, а под точкой E − число 1 (рис. 53 ).

Будем говорить, что точка O изображает число 0, а точка E − число 1 . Также принято говорить, что точке O соответствует число 0, а точке E − число 1 .

Отложим вправо от точки E отрезок, равный отрезку OE. Получим точку M, которая изображает число 2 (см. рис. 53 ). Таким же образом отметим точку N, изображающую число 3 . Так, шаг за шагом, получаем точки, которым соответствуют числа 4, 5, 6, ... . Мысленно этот процесс можно продолжать сколько угодно.

Полученную бесконечную шкалу называют координатным лучом , точку O − началом отсчета , а отрезок OE − единичным отрезком координатного луча.

На рисунке 53 точка K изображает число 5 . Говорят, что число 5 является координатой точки K, и записывают K(5 ). Аналогично можно записать O(0 ); E(1 ); M(2 ); N(3 ).

Часто вместо слов "отметим точку с координатой, равной..." говорят "отметим число...".

Луч это прямая, ограниченная с одной стороны. Это определение лучше усвоится, если выучить свойства луча:

• Имеет начало, но не имеет конца
• Имеет направление
• Бесконечен, т.е. не имеет размера.

Правильное обозначение луча спорный вопрос. Наиболее правильный вариант это две точки, например ОА. Причем первой точкой обозначают начало луча. Но также обозначают отрезки и прямые, поэтому чаще пишут луч с началом в точке О.

Рис. 1. Луч.

Углы

Углы – это единственные фигуры, состоящие из лучей. Что такое угол?

Это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, начало которых лежит в одной точке. В фигурах углы состоят из отрезков, а не из лучей.

Может случиться ситуация, когда оде стороны угла будут совпадать, тогда говорят, что величина угла равна 0 градусов. Может получиться и так, что обе стороны угла образуют прямую, тогда говорят, что угол равен 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а лучи основным и дополнительным.

Величина угла отражает поворот одного луча относительно другого.

Координатные лучи

Еще одно применение лучей это различные системы координат. В математике 5 класса первой темой идет изучение координатной прямой. Это два луча с углом поворота в 180 градусов. Начало лучей обозначается за нулевую точку или начало отчета. Влево от начала отчета откладываются отрицательные координаты, в право-положительные. Другое название координатной прямой: числовой луч.

Рис. 2. Координатный луч.

С помощью координатного луча удобно сравнивать дроби и таким образом решать неравенство.

С помощью координатных лучей создается и координатная плоскость. Так называемая декартова система координат состоит из двух координатных прямых или 4 лучей. Подобная система позволяет определять положение точки на плоскости, вычерчивать графики функций и графически решать разного рода уравнения.

Помимо декартовой системы существует полярная система координат. В полярной системе используются понятия угла и координатной прямой. Координатная прямая определяет положение точки, а угол степень ее подъема над осью.

Полярная система координат одна из самых древних в истории человечества. Так сложилось, что именно пользуясь этой системой, древние мореплаватели покоряли неизвестные просторы нашего мира. Декартова система появилась гораздо позднее. Но она более удобна для ориентации на местности. Декартову систему проще использовать как в разделах математики, так и других дисциплинах: физике, теплотехнике, гидравлике и программировании.

Декартовая система четырьмя лучами делиться на 4 четверти, положение точки в каждой из которых определяется знаком координат. Координаты подразделяют на абсциссы и ординаты. Проще говоря на х и у. Например точка (3, 4) имеет две положительные координаты, а значит она будет находиться в первой четверти. Обе отрицательные координаты соответствуют третьей четверти, положительный у при отрицательном х это вторая четверть, а отрицательный у при положительном х - четвертая.

Чтобы построить точку в декартовых системах координат необходимо от деления числового луча, соответствующего координате, поднять перпендикуляр. Координаты две, значит и перпендикуляров будет два. Точка их пересечения и будет искомой точкой.

Числовая прямая – это луч, с нанесенными на него числами или интервалами чисел. Числовую прямую используют для сравнения дробей, рисунков к задаче и нахождения ОДЗ функции. Последнее встречается чаще всего.

Фигурной скобкой на прямой обозначается область, в которую не могут попадать корни. После решения уравнения, найденные корни наносятся на числовую прямую. Попавшие в фигурную скобку недопустимых значений корни исключаются из решения.