Теорема параллельные прямые отсекают равные отрезки. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Тема урока

Цели урока

Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
Сформулировать и доказать свойства квадрата, доказать его свойства.
Научиться применять свойства фигур при решении задач.
Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

Историческая справка.
Фалес как математик и его труды.
Полезно вспомнить.

Историческая справка

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Основы геометрии Фалес постигал в Египте.

Открытия и заслуги ее автора

А известно ли вам, что Фалес Милетский был одним из семи самых известных по тем временам, мудрецом Греции. Он основал Ионийскую школу. Идею, которую продвигал Фалес в этой школе, было единство всего сущего. Мудрец считал, что есть единое начало, от которого произошли все вещи.

Огромной заслугой Фалеса Милетского является создание научной геометрии. Этот великий учений сумел с египетского искусства измерения создать дедуктивную геометрию, базой которой есть общие основания.

Кроме огромных познаний в геометрии, Фалес еще и неплохо разбирался в астрономии. Эму первому удалось предсказать полное затмение Солнца. А ведь это происходило не в современном мире, а в далеком 585 году, еще до нашей эры.

Фалес Милетский был тем человеком, который сообразил, что север можно точно определить по созвездию Малой Медведицы. Но и это не было его последним открытием, так как он сумел в точности определить продолжительность года, разбить его на триста шестьдесят пять дней, а также установил время равноденствий.

Фалес на самом деле был всесторонне развитым и мудрым человеком. Кроме того, что он славился как прекрасный математик, физик, астроном, он еще и как настоящий метеоролог, смог довольно точно предсказать урожай оливок.

Но самое примечательное то, что Фалес никогда не ограничивался в своих познаниях только научно-теоретической областью, а всегда пытался закрепить доказательства своих теорий на практике. И самое интересное, то, что великий мудрец не сосредотачивался на какой-то одной области своих познаний, его интерес имел различные направленности.

Имя Фалеса стало нарицательным для мудреца уже тогда. Его важность и значимость для Греции была так велика, как для России имя Ломоносова. Конечно, его мудрость можно толковать по-разному. Но точно можно сказать, что ему были присущи и изобретательность, и практическая смекалка, и в какой-то степени отрешенность.

Фалес Милетский был отличным математиком, философом, астрономом, любил путешествовать, был купцом и предпринимателем, занимался торговлей, а также был неплохим инженером, дипломатом, провидцем и активно участвовал в политической жизни.

Он даже умудрился с помощью посоха и тени определить высоту пирамиды. А было это так. В один погожий солнечный день Фалес поставил свой посох на границе, где заканчивалась тень от пирамиды. Далее он дождался, когда длинна от тени его посоха сравнялась с его высотой, и замерил длину тени пирамиды. Вот так, казалось бы просто Фалес определил высоту пирамиды и доказал, что длина одной тени имеет отношение к длине другой тени, также, как и высота пирамиды относится к высоте посоха. Чем и поразил самого фараона Амасиса.

Благодаря Фалесу все известные в то время знания были переведены в область научного интереса. Он смог донести результаты до уровня, пригодного для научного потребления, выделив определенный комплекс понятий. И возможно с помощью Фалеса началось последующее развитие античной философии.

Теорема Фалеса играет одну важных ролей в математике. Она была известна не только в Древнем Египте и Вавилоне, но и в других странах и являлась почвой для развития математики. Да и в повседневной жизни, при строительстве зданий, сооружений, дорог и т.д., без теоремы Фалеса не обойтись.

Теорема Фалеса в культуре

Теорема Фалеса прославилась не только в математике, но ее приобщили еще и к культуре. Однажды аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп.) на суд зрителей представила песню, которую посвятила известной теореме. Участники Les Luthiers в своем видеоклипе специально для этой песни предоставили доказательства для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Вопросы

Какие прямые называются параллельными?
Где практически применяется теорема Фалеса?
О чем гласит теорема Фалеса?

Список использованных источников

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред.М.Д.Аксенова.-м.:Аванта+,2001.
«Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Предмети > Математика > Математика 8 класс

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

Также существует теорема о пропорциональных отрезках :

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :

\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Таким образом (см. рис.) из того, что $\frac{CB_1}{CA_1}=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}=\ldots = {\rm idem}$ следует, что прямые $A_1B_1||A_2B_2||\ldots$ .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Вариации и обобщения

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .

Напишите отзыв о статье "Теорема Фалеса"

Литература

Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7-9. - Изд. 3-е. - М .: Просвещение, 1992.

Примечания

См. также

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Отрывок, характеризующий Теорема Фалеса

– Я ничего не думаю, я только не понимаю этого…
– Подожди, Соня, ты всё поймешь. Увидишь, какой он человек. Ты не думай дурное ни про меня, ни про него.
– Я ни про кого не думаю дурное: я всех люблю и всех жалею. Но что же мне делать?
Соня не сдавалась на нежный тон, с которым к ней обращалась Наташа. Чем размягченнее и искательнее было выражение лица Наташи, тем серьезнее и строже было лицо Сони.
– Наташа, – сказала она, – ты просила меня не говорить с тобой, я и не говорила, теперь ты сама начала. Наташа, я не верю ему. Зачем эта тайна?
– Опять, опять! – перебила Наташа.
– Наташа, я боюсь за тебя.
– Чего бояться?
– Я боюсь, что ты погубишь себя, – решительно сказала Соня, сама испугавшись того что она сказала.
Лицо Наташи опять выразило злобу.
– И погублю, погублю, как можно скорее погублю себя. Не ваше дело. Не вам, а мне дурно будет. Оставь, оставь меня. Я ненавижу тебя.
– Наташа! – испуганно взывала Соня.
– Ненавижу, ненавижу! И ты мой враг навсегда!
Наташа выбежала из комнаты.
Наташа не говорила больше с Соней и избегала ее. С тем же выражением взволнованного удивления и преступности она ходила по комнатам, принимаясь то за то, то за другое занятие и тотчас же бросая их.
Как это ни тяжело было для Сони, но она, не спуская глаз, следила за своей подругой.
Накануне того дня, в который должен был вернуться граф, Соня заметила, что Наташа сидела всё утро у окна гостиной, как будто ожидая чего то и что она сделала какой то знак проехавшему военному, которого Соня приняла за Анатоля.
Соня стала еще внимательнее наблюдать свою подругу и заметила, что Наташа была всё время обеда и вечер в странном и неестественном состоянии (отвечала невпопад на делаемые ей вопросы, начинала и не доканчивала фразы, всему смеялась).
После чая Соня увидала робеющую горничную девушку, выжидавшую ее у двери Наташи. Она пропустила ее и, подслушав у двери, узнала, что опять было передано письмо. И вдруг Соне стало ясно, что у Наташи был какой нибудь страшный план на нынешний вечер. Соня постучалась к ней. Наташа не пустила ее.
«Она убежит с ним! думала Соня. Она на всё способна. Нынче в лице ее было что то особенно жалкое и решительное. Она заплакала, прощаясь с дяденькой, вспоминала Соня. Да это верно, она бежит с ним, – но что мне делать?» думала Соня, припоминая теперь те признаки, которые ясно доказывали, почему у Наташи было какое то страшное намерение. «Графа нет. Что мне делать, написать к Курагину, требуя от него объяснения? Но кто велит ему ответить? Писать Пьеру, как просил князь Андрей в случае несчастия?… Но может быть, в самом деле она уже отказала Болконскому (она вчера отослала письмо княжне Марье). Дяденьки нет!» Сказать Марье Дмитриевне, которая так верила в Наташу, Соне казалось ужасно. «Но так или иначе, думала Соня, стоя в темном коридоре: теперь или никогда пришло время доказать, что я помню благодеяния их семейства и люблю Nicolas. Нет, я хоть три ночи не буду спать, а не выйду из этого коридора и силой не пущу ее, и не дам позору обрушиться на их семейство», думала она.

Анатоль последнее время переселился к Долохову. План похищения Ростовой уже несколько дней был обдуман и приготовлен Долоховым, и в тот день, когда Соня, подслушав у двери Наташу, решилась оберегать ее, план этот должен был быть приведен в исполнение. Наташа в десять часов вечера обещала выйти к Курагину на заднее крыльцо. Курагин должен был посадить ее в приготовленную тройку и везти за 60 верст от Москвы в село Каменку, где был приготовлен расстриженный поп, который должен был обвенчать их. В Каменке и была готова подстава, которая должна была вывезти их на Варшавскую дорогу и там на почтовых они должны были скакать за границу.
У Анатоля были и паспорт, и подорожная, и десять тысяч денег, взятые у сестры, и десять тысяч, занятые через посредство Долохова.
Два свидетеля – Хвостиков, бывший приказный, которого употреблял для игры Долохов и Макарин, отставной гусар, добродушный и слабый человек, питавший беспредельную любовь к Курагину – сидели в первой комнате за чаем.
В большом кабинете Долохова, убранном от стен до потолка персидскими коврами, медвежьими шкурами и оружием, сидел Долохов в дорожном бешмете и сапогах перед раскрытым бюро, на котором лежали счеты и пачки денег. Анатоль в расстегнутом мундире ходил из той комнаты, где сидели свидетели, через кабинет в заднюю комнату, где его лакей француз с другими укладывал последние вещи. Долохов считал деньги и записывал.
– Ну, – сказал он, – Хвостикову надо дать две тысячи.
– Ну и дай, – сказал Анатоль.
– Макарка (они так звали Макарина), этот бескорыстно за тебя в огонь и в воду. Ну вот и кончены счеты, – сказал Долохов, показывая ему записку. – Так?
– Да, разумеется, так, – сказал Анатоль, видимо не слушавший Долохова и с улыбкой, не сходившей у него с лица, смотревший вперед себя.

Формулировка;
Доказательство;

Теорема о пропорциональных отрезках;
Теорема Чевы;

Формулировка;
Доказательство;

Теорема Менелая;

Формулировка;
Доказательство;

Задачи и их решения;
Заключение;
Список использованных источников и литературы.

Введение.

Все незначительное нужно,

Чтобы значительному быть…

И. Северянин
Данный реферат посвящен применению метода параллельных прямых к доказательству теорем и решению задач. Почему мы обращаемся к этому методу? В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной. Именно данная задача и дала импульс к началу работы по изучению и освоению метода параллельных прямых при решении задач на нахождение отношения длин отрезков.

Идея самого метода построена на использовании обобщенной теоремы Фалеса. Теорема Фалеса изучается в восьмом классе, ее обобщение и тема «Подобие фигур» в девятом и только в десятом классе, в ознакомительном плане, изучаются две важные теоремы Чевы и Менелая, с помощью которых относительно легко решается ряд задач на нахождение отношения длин отрезков. Поэтому на ступени основного образования мы можем решать довольно узкий круг задач по данному учебному материалу. Хотя на итоговой аттестации за курс основной школы и на ЕГЭ по математике задачи по данной теме (Теорема Фалеса. Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников) предлагаются во второй части экзаменационной работы и относятся к высокому уровню сложности.

В процессе работы над рефератом стало возможным углубление наших знаний по данной теме. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике (теорема не входит в школьную программу) построено на методе параллельных прямых. В свою очередь, данная теорема позволила предложить еще один способ доказательства теорем Чевы и Менелая. И в итоге мы смогли научиться решать более широкий круг задач на сравнение длин отрезков. В этом и заключается актуальность нашей работы.

Обобщенная теорема Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Дано:

Прямая а рассечена параллельными прямыми (А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 ,…, А n B n ) на отрезки А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, A n -1 A n , а прямая b - на отрезки В 1 В 2 , В 2 В 3 , …, В n -1 В n .

Доказать:

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай (рис. б)

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники

А 1 А 2 В 2 В 1 и А 2 А 3 В 3 В 2 – параллелограммы. Поэтому

А 1 А 2 = В 1 В 2 и А 2 А 3 =В 2 В 3 , откуда следует, что

2 случай (рис. в)

Прямые a и b не параллельны. Через точку А 1 проведем прямую с , параллельную прямой b . Она пересечет прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в некоторых точках С 2 и С 3 . Треугольники А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 подобны по двум углам (угол А 1 – общий, углы А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 равны как соответственные при параллельных прямых А 2 В 2 и А 3 В 3 секущей А 2 А 3 ), поэтому

Или по свойству пропорций

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А 1 С 2 = В 1 В 2 , С 2 С 3 = В 2 В 3 . Заменяя в пропорции (1) А 1 С 2 на В 1 В 2 и С 2 С 3 на В 2 В 3 , приходим к равенству

что и требовалось доказать.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС= m : n , BM : MC = p : q . Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О (рис. 124б).

Доказать:

Доказательство:
Через точку М проведем прямую MD (рис. 124а), параллельную ВК . Она пересекает сторону АС в точке D , и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК= mx . Тогда в соответствии с условием задачи КС= nx , а так как KD : DC = p : q , то Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:

Аналогично доказывается, что .

Теорема Чевы.
Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 и В 1 , то отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 .

Доказать:

2.отрезки А А 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке.

Доказательство:
1. Пусть отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке О . Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике 1 имеем:

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С 1 , А 1 и В 1 взяты на сторонах АВ , ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков А А 1 и ВВ 1 и проведем прямую СО . Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С 2 . Так как отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C 1 и C 2 делят сторону AB C 1 и C 2 совпадают, и, значит, отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке O .

Что и требовалось доказать.
Теорема Менелая.

Формулировка:

Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 .

Доказать:

2. точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой
Доказательство:
1. Пусть точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD ,BE и CF параллельно прямой В 1 А 1 (точка D лежит на прямой ВС ). Согласно обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем

т.е. выполнено равенство (5).
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В 1 взята на продолжении стороны АС , а точки С 1 и А 1 – на сторонах АВ и ВС , причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Пусть прямая А 1 С 1 пересекает продолжение стороны АС в точке В 2, тогда по доказанному в первом пункте

Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству = , которое показывает, что точки В 1 и В 2 делят сторону АС в одном и том же отношении. Следовательно, точки В 1 и В 2 совпадают, и, значит, точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Что и требовалось доказать.

Решение задач.

Предлагается рассмотреть ряд задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Как было отмечено выше, для определения места расположения нужных в задаче точек существует несколько методов. В своей работе мы остановились на методе параллельных прямых. Теоретической основой данного метода является обобщенная теорема Фалеса, которая позволяет с помощью параллельных прямых переносить известные отношения пропорции с одной стороны угла на вторую его сторону, таким образом, нужно только удобным для решения задачи способом провести эти параллельные прямые.
Рассмотрим конкретные задачи:
Задача №1 В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка М так, что ВМ:МС=3:2. Точка Р делит отрезок АМ в отношении 2:1. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке В 1 . В каком отношении точка В 1 делит сторону АС?

Решение : Нужно найти отношение АВ 1:В 1 С, АС искомый отрезок на котором лежит точка В 1 .

Метод параллельных заключается в следующем:

рассечь искомый отрезок параллельными прямыми. Одна ВВ 1 уже есть, а вторую МN проведем через точку М, параллельно ВВ 1 .
Перенести известное отношение с одной стороны угла на другую его сторону, т.е. рассмотреть углы стороны, которых и рассекаются этими прямыми.

Стороны угла С рассекаются прямыми ВВ 1 и МN и по обобщенной теореме Фалеса заключаем В 1 N =3р , NC=2р. Стороны угла МАС пересекают прямые РВ 1 и МN и делят его стороны в отношении 2:1, следовательно АВ 1:В 1 N=2:1 и значит АВ 1 =2n, В 1 N = n . Так как В 1 N =3р , и В 1 N = n , то 3р= n .

Перейдем к интересующему нас отношению АВ 1:В 1 С= АВ 1:(В 1 N+ NС)= 2n:(3р+2р)=(2*3р):(5р)=6:5.

Ответ: АВ 1:В 1 С = 6:5.

Замечание : Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АМС. Тогда прямая ВВ 1 пересекает две стороны треугольника в точках В 1 и Р, а продолжение третьей в точке В. Значит применимо равенство: , следовательно
Задача №2 В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ: МС = 1: 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.

Решение: Нужно найти отношение АК к КВ.

1) Проведем прямую NN 1 параллельную прямой СК и прямую NN 2 параллельную прямой ВМ.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВN 1:N 1 K=1:1 или ВN 1 = N 1 K = y .

3) Стороны угла ВСM пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CN 2:N 2 M=1:1 или CN 2 = N 2 M=3:2=1,5.

4) Стороны угла NАС пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АО: ОN=1:1,5 или АО=m ON=1,5m.

5) Стороны угла ВАN пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АK: KN 1 =1:1,5 или АK=n KN 1 =1,5 n .

6) KN 1 =y=1,5n.

Ответ: АК:КВ=1:3.

Замечание : Данную задачу можно было решить, используя теорему Чевы, применив ее к треугольнику АВС. По условию точки N, М, К лежат на сторонах треугольника АВС и отрезки АN, СК и ВМ пересекаются в одной точке, значит справедливо равенство: , подставим известные отношения, имеем , АК:КВ=1:3.

Задача№3 На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD: DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?
Решение: Нужно найти 1) АК:КD=? 2) ВК:КЕ=?

1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой BE.

2) Стороны угла ВСЕ пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CD 1:D 1 E=5:2 или CD 1 = 5z , D 1 E=2z.

3) По условию АЕ:ЕС=1:2, т.е. АЕ=х, ЕС=2х, но ЕС= CD 1 + D 1 E, значит 2у=5 z +2 z =7 z , z =

4) Стороны угла DСA пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем

5) Для определения отношения ВК:КЕ проведем прямую ЕЕ 1 и рассуждая аналогичным образом получим

Ответ: АК:КD=7:4; ВК:КЕ=6:5.
Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику ВЕС. Тогда прямая DA пересекает две стороны треугольника в точках D и K, а продолжение третьей в точке A. Значит применимо равенство:

, следовательно ВК:КЕ=6:5. Рассуждая аналогично относительно треугольника ADC, получим

, АК:КD=7:4.
Задача №4 В ∆ ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2: 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение: Пусть О точка пересечения биссектрисы AD и медианы СЕ. Нужно найти отношение АО:ОD.

1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой СE.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВD 1:D 1 E=2:1 или ВD 1 = 2p , D 1 E=p.

3) По условию АЕ:ЕB=1:1, т.е. АЕ=y, ЕB=y, но EB= BD 1 + D 1 E, значит у=2 p + p =3 p , p =
4) Стороны угла BAD пересекаются прямыми OЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем .

Ответ: АО:ОD=3:1.

Задача №5 На сторонах AB и АC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства АМ:МВ=С N : NA =1:2. В каком соотношении точка S пересечения отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков .

Задача №6 На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК:КМ=1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно стороне АС, делит сторону ВС.

Решение: Пусть М 1 точка пересечения прямой, проходящая через точку К параллельно стороне АС и стороны ВС. Нужно найти отношение ВМ 1:М 1 С.

1) Стороны угла АМС пересекаются прямыми КМ 1 и АС и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ММ 1:М 1 С=3:1 или ММ 1 = 3z, М 1 С=z

2) По условию ВМ:МС=1:1, т.е.ВМ=y, МС=y, но МС= ММ 1 + М 1 С, значит у=3 z + z =4 z ,

3) .

Ответ: ВМ 1:М 1 С =7:1.

Задача №7 Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N , причем С N =АС; точка К- середина стороны АВ. В каком отношении прямая К N делит сторону ВС.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АВС. Тогда прямая КN пересекает две стороны треугольника в точках К и K 1 , а продолжение третьей в точке N. Значит применимо равенство: , следовательно ВК 1:К 1 С=2:1.

Задача №8

Сайты:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

ЕГЭ 2011 Математика Задача С4 Р.К.Гордин М.: МЦНМО, 2011, - 148 с

Заключение:

Решение задач и теорем на нахождение отношения длин отрезков базируется на обобщенной теореме Фалеса. Мы сформулировали метод, который позволяет, не применяя теорему Фалеса, пользоваться параллельными прямыми, переносить известные пропорции с одной стороны угла на другую сторону и, таким образом, находить место расположения нужных нам точек и сравнивать длины. Работа над рефератом помогла нам научиться решать геометрические задачи высокого уровня сложности. Мы осознали правдивость слов известного русского поэта Игоря Северянина: «Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть…» и уверены, что на ЕГЭ мы сможем найти решение предложенным задачам, используя метод параллельных прямых.

1 Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике – вышеописанная теорема.

Если стороны угла, пересекают прямые параллельные линии которые одну из сторон разделяют на несколько отрезков, то и вторую сторону, прямые так же разделят на равнозначны с другой стороной отрезки.

Теорему Фалеса доказывает следующее: С 1 , С 2 , С 3 - это места где пересекаются прямые параллельные на любой стороне угла. С 2 находится посередине относительно С 1 и С 3 .. Точки D 1 , D 2 , D 3 - это места где пересекаются прямые, которые соответствуют прямым с другой стороной угла. Доказываем, что когда C 1 C 2 = C 2 C з, значит и D 1 D 2 =D 2 D 3 .
Проводим в месте D 2 прямой отрезок КР, параллельный участку C 1 C 3 . В свойствах параллелограмма C 1 C 2 =KD 2 , C 2 C 3 = D 2 P. Если C 1 C 2 =C 2 C 3 , то и KD 2 =D 2 P.

Полученные треугольные фигуры D 2 D 1 K и D 2 D 3 P равняются. И D 2 K=D 2 P по доказательству. Углы с верхней точкой D 2 равняются как вертикальные, а углы D 2 KD 1 и D 2 PD 3 равняются как внутренние накрест лежащие при параллельных C 1 D 1 и C 3 D 3 и разделяющей KP.
Так как D 1 D 2 =D 2 D 3 теорема доказана по равенству сторон треугольника

Заметка: Если взять не стороны угла, а два прямых отрезка, доказательство будет такое же.
Любые прямые отрезки параллельные друг другу, которые пересекают две рассматриваемые нами прямые и разделяющие одну из них на одинаковые участки, тоже самое делают и со второй.

Рассмотрим несколько примеров

Первый пример

Условием задания требуется разбить прямую СD на п одинаковых отрезков.
Проводим от точки С полу-прямую с, которая не лежит на прямой СD. Отметим на ней одинаковые по величине части. СС 1 , С 1 С 2 , С 2 С 3 .....С п-1 С п. Соединяем С п с D. Проводим прямые от точек С 1 ,С 2 ,....,С п-1 которые будут параллельны относительно С п D. Прямые будут пересекать СD в местах D 1 D 2 D п-1 и разделять прямую СD на п одинаковых отрезков.

Второй пример

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка СК. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, при этом АК= АР. Требуется найти отношение ВК к РМ.
Проводим через точку М прямой отрезок, параллельный СК, который пересекает АВ в точке D

По теореме Фалеса ВD=КD
По теореме пропорциональных отрезков получаем, что
РМ = КD = ВК/2, следовательно, ВК: РМ = 2:1
Ответ: ВК: РМ = 2:1

Третий пример

В треугольнике АВС, сторона ВС = 8 см. Прямая DE пересекает стороны АВ и ВС параллельно АС. И отсекает на стороне ВС отрезок ЕС = 4см. Доказать, что АD = DВ.

Так как ВС = 8 см и ЕС = 4см, то
ВЕ = ВС-ЕС, следовательно, ВЕ = 8-4 = 4(см)
По теореме Фалеса , так как АС параллельна DE и ЕС = ВЕ то, следовательно, АD = DВ. Что и требовалось доказать.

В женском журнале - онлайн, Вы найдете много интересной информации для себя. Так же есть раздел, посвященный стихам которые написал Сергей Есенин . Заходите не пожалеете!

О параллельных и секущих.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае секущих

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {\displaystyle AB=CD} .

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC . Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD . ■

Вариации и обобщения

Обратная теорема

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots } .

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть f {\displaystyle f} - проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть f {\displaystyle f} - проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).