ഓൺലൈൻ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ. വീഡിയോ പാഠം "സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു

രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രണ്ടോ അതിലധികമോ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളാണ്, അതിനായി അവയുടെ എല്ലാ പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. പൊതുവായ രൂപംരണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

ഇവിടെ x, y എന്നിവ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളാണ്, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്. രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ (x, y) അതായത് ഈ സംഖ്യകളെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും യഥാർത്ഥ തുല്യതയായി മാറുന്നു. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികളിലൊന്ന് പരിഗണിക്കുക, അതായത് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി.

പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. ഒരു സമവാക്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുക (അക്കങ്ങൾ ചെറുതായ ഒരെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണ് നല്ലത്) അതിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിൾ മറ്റൊന്നിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, x മുതൽ y വരെ. (നിങ്ങൾക്ക് x വഴിയും y ചെയ്യാം).

2. മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിലെ അനുബന്ധ വേരിയബിളിന് പകരം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. അങ്ങനെ, അജ്ഞാതമായ ഒന്നുമായി നമുക്ക് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ലഭിക്കും.

3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും പരിഹാരം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

4. ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച പരിഹാരം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ രണ്ടാമത്തേത് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.

5. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരം പരിശോധിക്കുക.

ഉദാഹരണം

ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

പരിഹാരം:

1. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമ്മൾ വേരിയബിൾ x പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് x= (12 -2*y) ഉണ്ട്;

2. ഈ പദപ്രയോഗം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നമുക്ക് 2*x-3*y=-18 ലഭിക്കും; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: 24 - 4y - 3 * y = -18; 24-7*y=-18; -7 * y = -42; y=6;

4. ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ലഭിച്ച ഫലം ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. ലഭിച്ച പരിഹാരം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു, ഇതിനായി യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

ഞങ്ങൾക്ക് ശരിയായ തുല്യത ലഭിച്ചു, അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

ലഭിച്ച സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ വിശാലമായ ആപ്ലിക്കേഷൻവിവിധ പ്രക്രിയകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗിൽ സാമ്പത്തിക മേഖലയിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രൊഡക്ഷൻ മാനേജ്മെന്റിന്റെയും ആസൂത്രണത്തിന്റെയും പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ലോജിസ്റ്റിക് റൂട്ടുകൾ (ഗതാഗത പ്രശ്നം) അല്ലെങ്കിൽ ഉപകരണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കൽ.

ജനസംഖ്യാ വലുപ്പം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ മാത്രമല്ല, ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം എന്നിവയിലും സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എന്നത് രണ്ടോ അതിലധികമോ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പദമാണ്, ഇതിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും യഥാർത്ഥ തുല്യതകളായി മാറുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ക്രമം നിലവിലില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ അത്തരമൊരു ശ്രേണി.

രേഖീയ സമവാക്യം

ax+by=c എന്ന രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളെ ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. x, y എന്നീ പദവികൾ അജ്ഞാതമാണ്, അവയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, b, a എന്നത് വേരിയബിളുകളുടെ ഗുണകങ്ങളാണ്, c എന്നത് സമവാക്യത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദമാണ്.
സമവാക്യം അതിന്റെ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്‌ത് പരിഹരിക്കുന്നത് ഒരു നേർരേഖ പോലെ കാണപ്പെടും, അതിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും പോളിനോമിയലിന്റെ പരിഹാരമാണ്.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

X, Y എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായത്.

F1(x, y) = 0, F2(x, y) = 0, ഇവിടെ F1,2 ഫംഗ്‌ഷനുകളും (x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ വേരിയബിളുകളുമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക - സിസ്റ്റം യഥാർത്ഥ സമത്വമായി മാറുന്ന അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ (x, y) കണ്ടെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ അത് സ്ഥാപിക്കുക എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം അനുയോജ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ x ഉം y ഉം നിലവിലില്ല.

പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്റുകളായി എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങളെ (x, y) രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാരമില്ലെങ്കിൽ, അവയെ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റങ്ങൾ സിസ്റ്റങ്ങളാണ് വലത് ഭാഗംഏത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. "തുല്യ" ചിഹ്നത്തിന് ശേഷമുള്ള വലത് ഭാഗത്തിന് ഒരു മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സംവിധാനം ഏകതാനമല്ല.

വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം രണ്ടിൽ കൂടുതലാകാം, മൂന്ന് വേരിയബിളുകളോ അതിൽ കൂടുതലോ ഉള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഉദാഹരണത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കണം.

സിസ്റ്റങ്ങളെ അഭിമുഖീകരിക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടണമെന്ന് സ്കൂൾ കുട്ടികൾ അനുമാനിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇത് അങ്ങനെയല്ല. സിസ്റ്റത്തിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, അവയിൽ അനിയന്ത്രിതമായ വലിയ സംഖ്യ ഉണ്ടാകാം.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവുമായ രീതികൾ

അത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൊതുവായ വിശകലന മാർഗമില്ല, എല്ലാ രീതികളും സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. IN സ്കൂൾ കോഴ്സ്ഗണിതശാസ്ത്രം, ക്രമപ്പെടുത്തൽ, ബീജഗണിത സങ്കലനം, പകരം വയ്ക്കൽ, അതുപോലെ ഗ്രാഫിക്കൽ, മാട്രിക്സ് രീതി, ഗാസ് രീതി വഴി പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തെ എങ്ങനെ ശരിയായി വിശകലനം ചെയ്യാമെന്നും കണ്ടെത്താമെന്നും പഠിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ പഠിപ്പിക്കുന്നതിലെ പ്രധാന ദൌത്യം ഒപ്റ്റിമൽ അൽഗോരിതംഓരോ ഉദാഹരണത്തിനും പരിഹാരങ്ങൾ. ഓരോ രീതിക്കും വേണ്ടിയുള്ള നിയമങ്ങളുടെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഒരു സംവിധാനം ഓർമ്മിക്കുകയല്ല, മറിച്ച് ഒരു പ്രത്യേക രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്കൂൾ പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഏഴാം ക്ലാസിലെ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം വളരെ ലളിതവും വളരെ വിശദമായി വിവരിച്ചതുമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഏതൊരു പാഠപുസ്തകത്തിലും, ഈ വിഭാഗത്തിന് വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഗാസ്, ക്രാമർ എന്നിവയുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ ആദ്യ കോഴ്സുകളിൽ കൂടുതൽ വിശദമായി പഠിക്കുന്നു.

പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം

ഒരു വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം രണ്ടാമത്തേതിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനാണ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതിയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ലക്ഷ്യമിടുന്നത്. പദപ്രയോഗം ബാക്കിയുള്ള സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, തുടർന്ന് അത് ഒരൊറ്റ വേരിയബിൾ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിലെ അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തനം ആവർത്തിക്കുന്നു

പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഏഴാം ക്ലാസിലെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം:

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നത് പോലെ, വേരിയബിൾ x എന്നത് F(X) = 7 + Y വഴിയാണ് പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ, X ന്റെ സ്ഥാനത്ത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ 2-ആം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, 2-ആം സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ Y ലഭിക്കാൻ സഹായിച്ചു. . ഈ ഉദാഹരണത്തിന്റെ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല കൂടാതെ Y മൂല്യം ലഭിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അവസാന ഘട്ടം ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക എന്നതാണ്.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പകരമായി പരിഹരിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. സമവാക്യങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമാകാം, രണ്ടാമത്തെ അജ്ഞാതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വേരിയബിളിന്റെ ആവിഷ്കാരം കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. സിസ്റ്റത്തിൽ 3-ൽ കൂടുതൽ അജ്ഞാതർ ഉള്ളപ്പോൾ, പകരം വയ്ക്കൽ പരിഹാരവും അപ്രായോഗികമാണ്.

ലീനിയർ അസമമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഉദാഹരണത്തിന്റെ പരിഹാരം:

ബീജഗണിത സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

സങ്കലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരം തിരയുമ്പോൾ, ടേം-ബൈ-ടേം സങ്കലനവും വിവിധ സംഖ്യകളാൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണനവും നടത്തുന്നു. ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആത്യന്തിക ലക്ഷ്യം ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്.

ഈ രീതിയുടെ പ്രയോഗങ്ങൾക്ക് പരിശീലനവും നിരീക്ഷണവും ആവശ്യമാണ്. 3 അല്ലെങ്കിൽ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം ഉപയോഗിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമല്ല. സമവാക്യങ്ങളിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളും ദശാംശ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ ബീജഗണിത സങ്കലനം ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

പരിഹാര പ്രവർത്തന അൽഗോരിതം:

1. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലമായി, വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകങ്ങളിലൊന്ന് 1 ന് തുല്യമായിരിക്കണം.
2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ടേം ടേം പ്രകാരം ചേർക്കുകയും അജ്ഞാതങ്ങളിലൊന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക.
3. ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് പരിഹാര രീതി

സിസ്റ്റത്തിന് രണ്ടിൽ കൂടുതൽ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്, അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം രണ്ടിൽ കൂടരുത്.

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ലളിതമാക്കാൻ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. നൽകിയ അജ്ഞാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പുതിയ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം യഥാർത്ഥ വേരിയബിൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ t അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ 1-ആം സമവാക്യം ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ സാധിച്ചുവെന്ന് ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ബഹുപദം പരിഹരിക്കാനാകും.

അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: D = b2 - 4*a*c, ഇവിടെ D ആവശ്യമുള്ള വിവേചനമാണ്, b, a, c എന്നത് ബഹുപദത്തിന്റെ ഗുണിതങ്ങളാണ്. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, a=1, b=16, c=39, അതിനാൽ D=100. വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്: t = -b±√D / 2*a, വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ഒരു പരിഹാരം മാത്രമേയുള്ളൂ: x= -b / 2*a.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതിയാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്.

സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ദൃശ്യ രീതി

3 സമവാക്യങ്ങളുള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യം. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഓരോ സമവാക്യത്തിന്റെയും ഗ്രാഫുകൾ പ്ലോട്ടിംഗ് ചെയ്യുന്നതാണ് രീതി. വക്രങ്ങളുടെ വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പൊതു പരിഹാരമായിരിക്കും.

ഗ്രാഫിക് രീതിക്ക് നിരവധി സൂക്ഷ്മതകളുണ്ട്. വിഷ്വൽ രീതിയിൽ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഓരോ വരിയിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നിർമ്മിച്ചു, വേരിയബിൾ x ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു: 0, 3. x ന്റെ മൂല്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, y യുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി: 3 ഉം 0 ഉം. കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിന്റുകൾ (0, 3), (3, 0) ഗ്രാഫിൽ അടയാളപ്പെടുത്തി ഒരു ലൈൻ വഴി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിനായി ഘട്ടങ്ങൾ ആവർത്തിക്കണം. വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: 0.5x-y+2=0, 0.5x-y-1=0.

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരവുമില്ല, കാരണം ഗ്രാഫുകൾ സമാന്തരവും അവയുടെ മുഴുവൻ നീളത്തിലും വിഭജിക്കുന്നില്ല.

ഉദാഹരണങ്ങൾ 2, 3 എന്നിവയിൽ നിന്നുള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾ സമാനമാണ്, എന്നാൽ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് വ്യക്തമാകും. സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് പറയാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ലെന്ന് ഓർക്കണം, എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

മാട്രിക്സും അതിന്റെ ഇനങ്ങളും

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഹ്രസ്വമായി എഴുതാൻ മെട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അക്കങ്ങൾ നിറഞ്ഞ ഒരു പ്രത്യേക തരം പട്ടികയാണ് മാട്രിക്സ്. n*m ന് n - വരികളും m - കോളങ്ങളും ഉണ്ട്.

നിരകളുടെയും വരികളുടെയും എണ്ണം തുല്യമാകുമ്പോൾ ഒരു മാട്രിക്സ് ചതുരമാണ്. ഒരു മാട്രിക്സ്-വെക്റ്റർ എന്നത് അനന്തമായ സാധ്യമായ വരികളുള്ള ഒരു ഏക നിര മാട്രിക്സാണ്. ഒരു ഡയഗണലിലും മറ്റ് പൂജ്യം മൂലകങ്ങളിലും യൂണിറ്റുകളുള്ള ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഐഡന്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് അത്തരമൊരു മെട്രിക്സാണ്, യഥാർത്ഥമായത് ഒരു യൂണിറ്റായി മാറുന്നതിനെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അത്തരമൊരു മാട്രിക്സ് യഥാർത്ഥ ചതുരത്തിന് മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തെ മാട്രിക്സാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളും സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളും മെട്രിക്സിന്റെ സംഖ്യകളായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഒരു സമവാക്യം മാട്രിക്സിന്റെ ഒരു വരിയാണ്.

വരിയുടെ ഒരു മൂലകമെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ ഒരു മാട്രിക്സ് വരിയെ നോൺ-സീറോ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളിൽ വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം വ്യത്യാസപ്പെട്ടാൽ, കാണാതായ അജ്ഞാതന്റെ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യം നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

മാട്രിക്സിന്റെ നിരകൾ വേരിയബിളുകളുമായി കർശനമായി പൊരുത്തപ്പെടണം. ഇതിനർത്ഥം വേരിയബിൾ x ന്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഒരു കോളത്തിൽ മാത്രമേ എഴുതാൻ കഴിയൂ, ഉദാഹരണത്തിന് ആദ്യത്തേത്, അജ്ഞാതമായ y യുടെ ഗുണകം - രണ്ടാമത്തേതിൽ മാത്രം.

ഒരു മാട്രിക്സ് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങളും തുടർച്ചയായി ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ

വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം വളരെ ലളിതമാണ്: K -1 = 1 / |K|, ഇവിടെ K -1 എന്നത് വിപരീത മാട്രിക്സും |K| - മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റ്. |കെ| പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത്, അപ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്.

രണ്ട്-ബൈ-ടു മാട്രിക്സിനായി ഡിറ്റർമിനന്റ് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം, മൂലകങ്ങളെ പരസ്പരം ഡയഗണലായി ഗുണിച്ചാൽ മാത്രം മതി. "ത്രീ ബൈ ത്രീ" ഓപ്ഷന്, ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ട് |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ ഓരോ വരിയിൽ നിന്നും ഓരോ നിരയിൽ നിന്നും ഒരു ഘടകം എടുക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഓർമ്മിക്കാം, അങ്ങനെ മൂലകങ്ങളുടെ നിരയും നിരയും ഉൽപ്പന്നത്തിൽ ആവർത്തിക്കില്ല.

മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം

ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മാട്രിക്സ് രീതി, ധാരാളം വേരിയബിളുകളും സമവാക്യങ്ങളും ഉള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള എൻട്രികൾ കുറയ്ക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു nm എന്നത് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളാണ്, മാട്രിക്സ് ഒരു വെക്റ്റർ ആണ് x n എന്നത് വേരിയബിളുകളാണ്, കൂടാതെ b n എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളാണ്.

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ക്രാമർ രീതിക്കൊപ്പം ഗാസ് രീതിയും പഠിക്കുന്നു, കൂടാതെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ ഗാസ്-ക്രാമർ സോൾവിംഗ് രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു വലിയ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുള്ള സിസ്റ്റങ്ങളുടെ വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഈ രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഗൗസ് രീതി, പകരം വയ്ക്കലുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരങ്ങളുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ് ബീജഗണിത സങ്കലനംഎന്നാൽ കൂടുതൽ വ്യവസ്ഥാപിതമാണ്. സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ, 3, 4 സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് ഗൗസിയൻ പരിഹാരം ഉപയോഗിക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തെ വിപരീത ട്രപസോയിഡിന്റെ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക എന്നതാണ് രീതിയുടെ ലക്ഷ്യം. വഴി ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾകൂടാതെ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷനുകൾ എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിലെ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം 2 അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്, കൂടാതെ 3, 4 എന്നിവ യഥാക്രമം 3, 4 വേരിയബിളുകളുള്ളതാണ്.

സിസ്റ്റത്തെ വിവരിച്ച ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന ശേഷം, കൂടുതൽ പരിഹാരം സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് അറിയപ്പെടുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ ക്രമാനുഗതമായ പകരമായി കുറയുന്നു.

ഗ്രേഡ് 7-നുള്ള സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ, ഒരു ഗാസിയൻ പരിഹാരത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഘട്ടം (3) ൽ 3x 3 -2x 4 =11, 3x 3 +2x 4 =7 എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു. ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം x n വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

വാചകത്തിൽ പരാമർശിച്ചിരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം 5, സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് തുല്യമായ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റവും യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഗൗസിയൻ രീതി മിഡിൽ സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, എന്നാൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഒന്നാണ് രസകരമായ വഴികൾഗണിതം, ഫിസിക്സ് ക്ലാസുകളിലെ അഡ്വാൻസ്ഡ് സ്റ്റഡി പ്രോഗ്രാമിൽ ചേർന്ന കുട്ടികളുടെ ചാതുര്യം വികസിപ്പിക്കുന്നതിന്.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നതിനുള്ള എളുപ്പത്തിനായി, ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യുന്നത് പതിവാണ്:

സമവാക്യ ഗുണകങ്ങളും സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളും ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്, അവിടെ മാട്രിക്സിന്റെ ഓരോ വരിയും സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നുമായി യോജിക്കുന്നു. വേർപെടുത്തുന്നു ഇടത് വശംവലതുവശത്ത് നിന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ. റോമൻ അക്കങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ആദ്യം, അവർ പ്രവർത്തിക്കേണ്ട മാട്രിക്സ് എഴുതുന്നു, തുടർന്ന് എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഒരു വരി ഉപയോഗിച്ച് നടത്തുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് "അമ്പ്" ചിഹ്നത്തിന് ശേഷം എഴുതുകയും ഫലം കൈവരിക്കുന്നതുവരെ ആവശ്യമായ ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ തുടരുകയും ചെയ്യുന്നു.

തൽഫലമായി, ഒരു മാട്രിക്സ് ലഭിക്കണം, അതിൽ ഡയഗണലുകളിൽ ഒന്ന് 1 ആണ്, കൂടാതെ മറ്റെല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, മാട്രിക്സ് ഒരൊറ്റ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ നാം മറക്കരുത്.

ഈ നൊട്ടേഷൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, കൂടാതെ നിരവധി അജ്ഞാതരെ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നതിലൂടെ ശ്രദ്ധ തിരിക്കാതിരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഏതെങ്കിലും പരിഹാര രീതിയുടെ സൌജന്യ പ്രയോഗത്തിന് പരിചരണവും ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള അനുഭവവും ആവശ്യമാണ്. എല്ലാ രീതികളും പ്രയോഗിക്കുന്നില്ല. മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക മേഖലയിൽ പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചില മാർഗ്ഗങ്ങൾ കൂടുതൽ അഭികാമ്യമാണ്, മറ്റുള്ളവ പഠനത്തിനായി നിലവിലുണ്ട്.

1. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി: സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏത് സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും നമ്മൾ അജ്ഞാതമായ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അതിനെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു.

ടാസ്ക്.സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം.സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ചെയ്തത്വഴി എക്സ്സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. നമുക്ക് സിസ്റ്റം എടുക്കാം ഒറിജിനലിന് തുല്യമാണ്.

അത്തരം നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവന്ന ശേഷം, സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്: . ഈ മൂല്യം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ചെയ്തത് = 2 - 2എക്സ്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ചെയ്തത്= 3. അതിനാൽ, ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി സംഖ്യകളാണ്.

2. ബീജഗണിത സങ്കലന രീതി: രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ചേർത്ത്, ഒരു വേരിയബിളുമായി ഒരു സമവാക്യം നേടുക.

ടാസ്ക്.സിസ്റ്റം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം.രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും ഒറിജിനലിന് തുല്യമാണ്. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ചേർത്ത്, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

സമാന നിബന്ധനകൾ കുറച്ചതിന് ശേഷം, ഈ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും: രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ മൂല്യം സമവാക്യം 3-ലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എക്സ് + 4ചെയ്തത്= 5, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു , എവിടെ. അതിനാൽ, ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി സംഖ്യകളാണ്.

3. പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി: ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ ചില ആവർത്തിച്ചുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കായി തിരയുകയാണ്, അത് ഞങ്ങൾ പുതിയ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കും, അതുവഴി സിസ്റ്റത്തിന്റെ രൂപം ലളിതമാക്കും.

ടാസ്ക്.സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഈ സിസ്റ്റം വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം:

അനുവദിക്കുക x + y = u, ഹു = വി.അപ്പോൾ നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും

പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാം. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു യുവഴി വിസിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. നമുക്ക് സിസ്റ്റം എടുക്കാം ആ.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു വി 1 = 2, വി 2 = 3.

ഈ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു യു = 5 - വി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു യു 1 = 3,
യു 2 = 2. അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് സംവിധാനങ്ങളുണ്ട്

ആദ്യ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് ജോഡി നമ്പറുകൾ (1; 2), (2; 1) ലഭിക്കും. രണ്ടാമത്തെ സംവിധാനത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ

1. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം നമ്മുടെ ജീവിതത്തിൽ വ്യാപകമാണ്. അവ പല കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും, ഘടനകളുടെ നിർമ്മാണത്തിലും സ്പോർട്സിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ പുരാതന കാലം മുതൽ മനുഷ്യൻ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു, അതിനുശേഷം അവയുടെ ഉപയോഗം വർദ്ധിച്ചു. ഏതെങ്കിലും സങ്കീർണ്ണതയുടെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി എളുപ്പമാക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ "y" എന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം "y" എന്നതിന് പകരം സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എന്നതാണ് രീതിയുടെ സാരം. സമവാക്യത്തിൽ ഇതിനകം രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളല്ല, ഒന്ന് മാത്രം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഈ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും, തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുക.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

\[\ഇടത്\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

എക്സ്പ്രസ് \

\[\ഇടത്\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ടാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

\[\ഇടത്\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

മൂല്യം കണ്ടെത്തുക \

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് നിബന്ധനകൾ കൈമാറുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത് സമവാക്യം ലളിതമാക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് \ ന്റെ മൂല്യം അറിയാം \ ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ നമുക്ക് ഇത് ഉപയോഗിക്കാം

ഉത്തരം: \[(4;2).\]

സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് എനിക്ക് ഓൺലൈനിൽ ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം എവിടെ പരിഹരിക്കാനാകും?

ഞങ്ങളുടെ വെബ്സൈറ്റിൽ നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഏത് സങ്കീർണ്ണതയുടെയും ഓൺലൈൻ സമവാക്യം നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പരിഹരിക്കാൻ സൗജന്യ ഓൺലൈൻ സോൾവർ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും. സോൾവറിൽ നിങ്ങളുടെ ഡാറ്റ നൽകുക മാത്രമാണ് നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്. ഞങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും നിങ്ങൾക്ക് പഠിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അവരോട് ഞങ്ങളുടെ Vkontakte ഗ്രൂപ്പിൽ ചോദിക്കാം.

സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എന്താണെന്ന് ഓർക്കുക.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം, ഒന്നിന് താഴെ മറ്റൊന്നായി എഴുതിയ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളാണ്, ഒരു ചുരുണ്ട ബ്രാക്കറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഏകീകരിക്കുന്നു. ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ഒരേ സമയം ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരമാകുന്ന ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

ഈ പാഠത്തിൽ, പകരം വയ്ക്കൽ രീതി പോലുള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടും.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം നോക്കാം:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സിസ്റ്റം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവയെ ഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക:

തുടർന്ന് ഗ്രാഫുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരമായിരിക്കും. എന്നാൽ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി എല്ലായ്പ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമല്ല, കാരണം. കുറഞ്ഞ കൃത്യതയിലും അപ്രാപ്യതയിലും വ്യത്യാസമുണ്ട്. നമുക്ക് നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തെ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം. ഇപ്പോൾ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് വശങ്ങൾ തുല്യമാണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും, അതായത് വലത് വശവും തുല്യമായിരിക്കണം. അപ്പോൾ നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഇത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് നമുക്കറിയാവുന്ന പരിചിതമായ ഒരു വേരിയബിൾ സമവാക്യമാണ്. അജ്ഞാത നിബന്ധനകൾ ഇടത് വശത്തേക്കും അറിയപ്പെടുന്നവ - വലതുവശത്തേക്കും മാറ്റാം, +, - കൈമാറ്റം ചെയ്യുമ്പോൾ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റാൻ മറക്കരുത്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ x ന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി y യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു. ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ, y \u003d 3 - x എന്ന രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, പകരം വയ്ക്കുന്നതിന് ശേഷം നമുക്ക് y \u003d 2 ലഭിക്കും. ഇപ്പോൾ ചെയ്ത ജോലി വിശകലനം ചെയ്യാം. ആദ്യം, ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ, x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ വേരിയബിൾ y പ്രകടിപ്പിച്ചു. അപ്പോൾ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം - 2x + 4 വേരിയബിളിന് പകരം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു വേരിയബിൾ x ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തി. ഉപസംഹാരമായി, മറ്റൊരു വേരിയബിൾ y കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ x ന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ചു. ഇവിടെ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരേസമയം y വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടോ? തീർച്ചയായും ഇല്ല. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ മാത്രം നമുക്ക് ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാനും രണ്ടാമത്തേതിൽ അനുബന്ധ വേരിയബിളിന് പകരം അത് ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും. കൂടാതെ, ഏത് സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും ഏത് വേരിയബിളും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഇവിടെ തിരഞ്ഞെടുക്കൽ അക്കൗണ്ടിന്റെ സൗകര്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം എന്നാണ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിച്ചത്.ഇത് എങ്ങനെയിരിക്കും.

1. സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

2. സിസ്റ്റത്തിന്റെ മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിൽ അനുബന്ധ വേരിയബിളിന് പകരം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

3. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുക.

4. വേരിയബിളിന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റി മറ്റൊരു വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

5. മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഘട്ടങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തിയ ഒരു ജോടി സംഖ്യകളായി ഉത്തരം എഴുതുക.

ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി നോക്കാം. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

ഇവിടെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ y പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. നമുക്ക് y \u003d 8 - 2x ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ y ന് പകരം നൽകണം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം പ്രത്യേകം എഴുതുകയും അത് പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ആദ്യം നമുക്ക് പരാൻതീസിസ് തുറക്കാം. നമുക്ക് 3x - 16 + 4x \u003d 5 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള അജ്ഞാത പദങ്ങളും വലതുവശത്ത് അറിയപ്പെടുന്നവയും ശേഖരിച്ച് സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകാം. നമുക്ക് 7x \u003d 21 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും, അതിനാൽ x \u003d 3.

ഇപ്പോൾ, x ന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും:

ഉത്തരം: ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ (3; 2).

അതിനാൽ, ഈ പാഠത്തിൽ, സംശയാസ്പദമായ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികൾ അവലംബിക്കാതെ, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ വിശകലനാത്മകവും കൃത്യവുമായ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു.

ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക:

1. Mordkovich A.G., ആൾജിബ്ര ഗ്രേഡ് 7 2 ഭാഗങ്ങളായി, ഭാഗം 1, പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ/ എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - പത്താം പതിപ്പ്., പുതുക്കിയത് - മോസ്കോ, "മ്നെമോസൈൻ", 2007.
2. Mordkovich A.G., ആൾജിബ്ര ഗ്രേഡ് 7 2 ഭാഗങ്ങളായി, ഭാഗം 2, വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കായുള്ള ടാസ്ക് ബുക്ക് / [A.G. മൊർഡ്കോവിച്ചും മറ്റുള്ളവരും]; എഡിറ്റ് ചെയ്തത് എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച് - പത്താം പതിപ്പ്, പുതുക്കിയത് - മോസ്കോ, മ്നെമോസൈൻ, 2007.
3. അവളുടെ. തുൾചിൻസ്കായ, ആൾജിബ്ര ഗ്രേഡ് 7. ബ്ലിറ്റ്സ് സർവേ: വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഒരു ഗൈഡ്, 4-ാം പതിപ്പ്, പരിഷ്കരിച്ചതും അനുബന്ധവുമായത്, മോസ്കോ, മ്നെമോസിന, 2008.
4. അലക്സാണ്ട്രോവ എൽ.എ., ആൾജിബ്ര ഗ്രേഡ് 7. തീമാറ്റിക് വെരിഫിക്കേഷൻ വർക്ക് ഇൻ പുതിയ രൂപംവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി, എഡിറ്റ് ചെയ്തത് എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, മോസ്കോ, "മെനെമോസിൻ", 2011.
5. അലക്സാൻഡ്രോവ എൽ.എ. ആൾജിബ്ര ഏഴാം ക്ലാസ്. സ്വതന്ത്ര ജോലിവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി, എഡിറ്റ് ചെയ്തത് എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച് - 6-ാം പതിപ്പ്, സ്റ്റീരിയോടൈപ്പിക്കൽ, മോസ്കോ, "Mnemosyne", 2010.