ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഇക്വേഷൻ ഫോർമുല പരിഹരിക്കുക. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരമ്പരാഗത രീതി. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എട്ടാം ക്ലാസിൽ പഠിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇവിടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവ് തികച്ചും ആവശ്യമാണ്.

ax 2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a, b, c എന്നിവ ഏകപക്ഷീയ സംഖ്യകളും a ≠ 0 ഉം ആണ്.

നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാര രീതികൾ പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം:

1. വേരുകളില്ല;
2. കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുക;
3. അവയ്ക്ക് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഒരു പ്രധാന വ്യത്യാസമാണ്, അവിടെ റൂട്ട് എല്ലായ്പ്പോഴും നിലനിൽക്കുന്നതും അതുല്യവുമാണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും? ഇതിന് ഒരു അത്ഭുതകരമായ കാര്യമുണ്ട് - വിവേചനം.

വിവേചനം

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം 2 + bx + c = 0 നൽകട്ടെ, അപ്പോൾ വിവേചനം D = b 2 - 4ac ആണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത് എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു എന്നത് ഇപ്പോൾ പ്രധാനമല്ല. മറ്റൊരു കാര്യം പ്രധാനമാണ്: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകളുണ്ടെന്ന് വിവേചനക്കാരൻ്റെ അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും. അതായത്:

1. എങ്കിൽ ഡി< 0, корней нет;
2. D = 0 ആണെങ്കിൽ, കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്;
3. D > 0 ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: വിവേചനം വേരുകളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ചില കാരണങ്ങളാൽ പലരും വിശ്വസിക്കുന്നതിനാൽ അവയുടെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളുമല്ല. ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കൂ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സ്വയം മനസ്സിലാകും:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ട്:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

അതിനാൽ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം സമാനമായ രീതിയിൽ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, വേരുകൾ ഇല്ല. അവസാനമായി അവശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യം ഇതാണ്:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

വിവേചനം പൂജ്യമാണ് - റൂട്ട് ഒന്നായിരിക്കും.

ഓരോ സമവാക്യത്തിനും ഗുണകങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. അതെ, ഇത് ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, അതെ, ഇത് മടുപ്പുളവാക്കുന്നതാണ്, പക്ഷേ നിങ്ങൾ അസന്തുലിതാവസ്ഥ കലർത്തുകയും മണ്ടത്തരമായ തെറ്റുകൾ വരുത്തുകയും ചെയ്യില്ല. നിങ്ങൾക്കായി തിരഞ്ഞെടുക്കുക: വേഗത അല്ലെങ്കിൽ ഗുണനിലവാരം.

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കിയാൽ, കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം നിങ്ങൾ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും എഴുതേണ്ടതില്ല. നിങ്ങളുടെ തലയിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും. മിക്ക ആളുകളും 50-70 സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം എവിടെയെങ്കിലും ഇത് ചെയ്യാൻ തുടങ്ങുന്നു - പൊതുവേ, അത്രയല്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ

ഇനി നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് തന്നെ പോകാം. വിവേചനം D > 0 ആണെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

അടിസ്ഥാന റൂട്ട് ഫോർമുല ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം

D = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഫോർമുലകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കാം - നിങ്ങൾക്ക് അതേ നമ്പർ ലഭിക്കും, അത് ഉത്തരം ആയിരിക്കും. അവസാനമായി, ഡി എങ്കിൽ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യം:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് വീണ്ടും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അവസാനമായി, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഏത് ഫോർമുലയും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത്:

ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകൾ അറിയുകയും എണ്ണാൻ കഴിയുകയും ചെയ്താൽ, പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. മിക്കപ്പോഴും, ഫോർമുലയിലേക്ക് നെഗറ്റീവ് ഗുണകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ പിശകുകൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഇവിടെയും, മുകളിൽ വിവരിച്ച സാങ്കേതികത സഹായിക്കും: ഫോർമുല അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ നോക്കുക, ഓരോ ഘട്ടവും എഴുതുക - വളരെ വേഗം നിങ്ങൾ പിശകുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ പദങ്ങളിലൊന്ന് നഷ്‌ടമായിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അത്തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളേക്കാൾ പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: അവയ്ക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കാം:

b = 0 അല്ലെങ്കിൽ c = 0 ആണെങ്കിൽ ax 2 + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകം x അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര മൂലകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഈ രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു കേസ് സാധ്യമാണ്: b = c = 0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം കോടാലി 2 = 0 എന്ന രൂപത്തിൽ എടുക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്: x = 0.

ബാക്കിയുള്ള കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. b = 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + c = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. നമുക്ക് അതിനെ അൽപ്പം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, അവസാന സമത്വം (−c /a) ≥ 0 ന് മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ. നിഗമനം:

1. ax 2 + c = 0 രൂപത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ അസമത്വം (−c /a) ≥ 0 തൃപ്തിപ്പെട്ടാൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ഫോർമുല മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു;
2. എങ്കിൽ (-c /a)< 0, корней нет.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു വിവേചനം ആവശ്യമില്ല - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒന്നുമില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, അസമത്വം (−c /a) ≥ 0 ഓർക്കാൻ പോലും ആവശ്യമില്ല. മൂല്യം x 2 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മറുവശത്ത് എന്താണെന്ന് നോക്കുകയും ചെയ്താൽ മതി. ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. അത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + bx = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കാം, അതിൽ സ്വതന്ത്ര ഘടകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്: എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്താൽ മതി:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. ഇവിടെ നിന്നാണ് വേരുകൾ വരുന്നത്. ഉപസംഹാരമായി, ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചിലത് നോക്കാം:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. വേരുകളില്ല, കാരണം ഒരു ചതുരം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകരുത്.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിലും സർവകലാശാലകളിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ പ്രശ്നങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു. അവർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a*x^2 + b*x + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളെയാണ് x-വേരിയബിൾ, എ, ബി, സി - സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ; എ<>0 . സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ (വേരുകൾ) abscissa (x) അക്ഷവുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളാണ്. സാധ്യമായ മൂന്ന് കേസുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു:
1) പരവലയത്തിന് abscissa അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല. ഇതിനർത്ഥം മുകളിലെ തലത്തിൽ ശാഖകൾ മുകളിലോ താഴെയോ ശാഖകളോടെയാണ്. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല (ഇതിന് രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ട്).

2) പരവലയത്തിന് കാള അച്ചുതണ്ടുമായി ഒരു പോയിൻ്റ് വിഭജനമുണ്ട്. അത്തരമൊരു ബിന്ദുവിനെ പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അല്ലെങ്കിൽ പരമാവധി മൂല്യം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു യഥാർത്ഥ റൂട്ട് (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് സമാന വേരുകൾ) ഉണ്ട്.

3) അവസാനത്തെ കേസ് പ്രായോഗികമായി കൂടുതൽ രസകരമാണ് - abscissa അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്. സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

വേരിയബിളുകളുടെ ശക്തികളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പരവലയത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്തെക്കുറിച്ച് രസകരമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും.

1) ഗുണകം a പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടും.

2) കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ബി പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശീർഷകം അത് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇടത് അർദ്ധ-തലത്തിലാണ്. നെഗറ്റീവ് അർത്ഥം- പിന്നെ വലതുവശത്ത്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം മാറ്റാം

തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും

ഇരുവശങ്ങളും 4a കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

ഇടതുവശത്ത് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം ലഭിക്കാൻ, ഇരുവശത്തും b^2 ചേർത്ത് പരിവർത്തനം നടത്തുക

ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനത്തിനും വേരുകൾക്കുമുള്ള ഫോർമുല

വിവേചനം എന്നത് സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യമാണ്, അത് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് (രണ്ട് യോജിച്ച വേരുകൾ), വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു, അവയുടെ മൂല്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ പരിഗണിക്കുകയും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യാം: നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത ഗുണകമായ p ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഗുണനം q എന്ന സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ക്ലാസിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ സ്ഥിരമായ a പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ മുഴുവൻ സമവാക്യവും വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുക.

ഫാക്‌ടറിംഗ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ ഷെഡ്യൂൾ

ചുമതല സജ്ജീകരിക്കട്ടെ: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഘടകം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു (വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക). അടുത്തതായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനായുള്ള വിപുലീകരണ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഇത് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ പ്രശ്നങ്ങൾ

ടാസ്ക് 1. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക

x^2-26x+120=0 .

പരിഹാരം: ഗുണകങ്ങൾ എഴുതി അവയെ വിവേചന ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റുക

റൂട്ട് നൽകിയ മൂല്യം 14 ന് തുല്യമാണ്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ പതിവ് ഉപയോഗത്തോടെ ഓർമ്മിക്കുക, എന്നിരുന്നാലും, സൗകര്യാർത്ഥം, ലേഖനത്തിൻ്റെ അവസാനം അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും നേരിടാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് നൽകും.
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

നമുക്കും കിട്ടും

ടാസ്ക് 2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

2x 2 +x-3=0.

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്, ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക


അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ടാസ്ക് 3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

9x 2 -12x+4=0.

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്. വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

വേരുകൾ ഒത്തുപോകുന്ന ഒരു കേസ് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

ടാസ്ക് 4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

x^2+x-6=0 .

പരിഹാരം: x ന് ചെറിയ ഗുണകങ്ങൾ ഉള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. അതിൻ്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച് നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും

രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം -6 ന് തുല്യമായിരിക്കണം. ഇതിനർത്ഥം വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ്. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാധ്യമായ ജോഡി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് (-3;2), (3;-2) . ആദ്യ വ്യവസ്ഥ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ജോഡി പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിരസിക്കുന്നു.
സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

പ്രശ്നം 5. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവ് 18 സെൻ്റിമീറ്ററും അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 77 സെ.മീ 2 ഉം ആണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി ചുറ്റളവ് അതിൻ്റെ അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് x സൂചിപ്പിക്കാം - വലിയ വശം, തുടർന്ന് 18-x അതിൻ്റെ ചെറിയ വശം. ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ദൈർഘ്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:
x(18-x)=77;
അഥവാ
x 2 -18x+77=0.
നമുക്ക് വിവേചനം കണ്ടെത്താംസമവാക്യങ്ങൾ

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നു

എങ്കിൽ x=11,അത് 18's=7 ,വിപരീതവും ശരിയാണ് (x=7 എങ്കിൽ, 21's=9).

പ്രശ്നം 6. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 10x 2 -11x+3=0 ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാം, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് നമ്മൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി കണക്കാക്കുന്നു

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം വേരുകളാൽ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും.

പരാമീറ്ററുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം

ഉദാഹരണം 1. ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളിൽ എ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടോ?

പരിഹാരം: a=3 മൂല്യത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ അതിന് പരിഹാരമില്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. അടുത്തതായി, ഒരു പൂജ്യം വിവേചനത്തോടെ സമവാക്യത്തിന് ഗുണിതം 2 ൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. നമുക്ക് വിവേചനം എഴുതാം

നമുക്ക് ഇത് ലളിതമാക്കി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം

പരാമീറ്ററുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിച്ചു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ആണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 12 ആണ്. ലളിതമായ തിരയലിലൂടെ, 3,4 അക്കങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളായിരിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ തുടക്കത്തിൽ a=3 എന്ന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നിരസിച്ചതിനാൽ, ശരിയായത് ഇതായിരിക്കും - a=4.അങ്ങനെ, a=4 ന് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2. ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളിൽ എ,സമവാക്യം a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടോ?

പരിഹാരം: നമുക്ക് ആദ്യം ഏകവചന പോയിൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കാം, അവ a=0, a=-3 എന്നീ മൂല്യങ്ങളായിരിക്കും. a=0 ആകുമ്പോൾ, സമവാക്യം 6x-9=0 രൂപത്തിലേക്ക് ലളിതമാക്കും; x=3/2, ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടാകും. a= -3 ന് നമുക്ക് 0=0 എന്ന ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും.
നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം

പോസിറ്റീവ് ആയ ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

ആദ്യ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു>3 ലഭിക്കും. രണ്ടാമത്തേതിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനവും വേരുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു


ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഇടവേളകൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. പോയിൻ്റ് a=0 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ലഭിക്കും 3>0 . അതിനാൽ, ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് (-3;1/3) പ്രവർത്തനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. കാര്യം മറക്കരുത് a=0,യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു റൂട്ട് ഉള്ളതിനാൽ അത് ഒഴിവാക്കണം.
തൽഫലമായി, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് ഇടവേളകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പ്രായോഗികമായി സമാനമായ നിരവധി ജോലികൾ ഉണ്ടാകും, ചുമതലകൾ സ്വയം കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, പരസ്പരവിരുദ്ധമായ വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കാൻ മറക്കരുത്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നന്നായി പഠിക്കുക;

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ax 2 + bx + c = 0 നൽകട്ടെ.
y = ax 2 + bx + c ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണെന്ന് സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചപ്പോൾ § 13-ൽ ഞങ്ങൾ നടത്തിയ അതേ പരിവർത്തനങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ആക്‌സ് 2 + ബിഎക്സ് + സിയിലും പ്രയോഗിക്കാം.
നമുക്ക് ഉണ്ട്

സാധാരണയായി b 2 - 4ac എന്ന പദപ്രയോഗം D എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, ഇതിനെ കോടാലി 2 + bx + c = 0 (അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ കോടാലി + bx + c) എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ

അതായത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം ax 2 + them + c = O എന്ന രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതാം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനും ഈ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനും ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ഫോം (1) ആയി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കാണുന്നത് പോലെ.

തെളിവ്. എങ്കിൽ ഡി< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

ഉദാഹരണം 1. 2x 2 + 4x + 7 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം. ഇവിടെ a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
ഡി മുതൽ< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

തെളിവ്. D = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (1) ഫോം എടുക്കുന്നു

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് ആണ്.

കുറിപ്പ് 1. y = ax 2 + them + c എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫായി വർത്തിക്കുന്ന പരാബോളയുടെ ശീർഷത്തിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയാണ് x = - എന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? എന്തിനാ ഇത്
കോടാലി 2 + അവ + സി - 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് മൂല്യമായി മാറി? "കാസ്കറ്റ്" ലളിതമായി തുറക്കുന്നു: D 0 ആണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ നേരത്തെ സ്ഥാപിച്ചതുപോലെ,

ഒരേ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു ശീർഷകമുള്ള ഒരു പരവലയമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രം 98 കാണുക). ഇതിനർത്ഥം പരാബോളയുടെ ശീർഷത്തിൻ്റെ അബ്സിസ്സയും D = 0 എന്നതിനായുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക മൂലവും ഒരേ സംഖ്യയാണെന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 2. 4x 2 - 20x + 25 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം. ഇവിടെ a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

D = 0 ആയതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 2 പ്രകാരം ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഈ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു

ഉത്തരം: 2.5.

കുറിപ്പ് 2. 4x 2 - 20x +25 ഒരു തികഞ്ഞ ചതുരമാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
ഞങ്ങൾ ഇത് ഉടനടി ശ്രദ്ധിച്ചിരുന്നെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഇതുപോലെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമായിരുന്നു: (2x - 5) 2 = 0, അതായത് 2x - 5 = 0, അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x = 2.5 ലഭിക്കും. പൊതുവേ, D = 0 ആണെങ്കിൽ

ax 2 + bx + c = - ഞങ്ങൾ ഇത് റിമാർക്ക് 1 ൽ നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നു.
D > 0 ആണെങ്കിൽ, കോടാലി 2 + bx + c = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, അവ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വഴി കണ്ടെത്തുന്നു.

തെളിവ്. കോടാലി 2 + b x + c = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം (1) എന്ന രൂപത്തിൽ നമുക്ക് മാറ്റിയെഴുതാം.

ഇടാം
വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, D > 0, അതായത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. അപ്പോൾ (2) സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്:

കുറിപ്പ് 3. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അവതരിപ്പിച്ച പദത്തിന് ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ദൈനംദിന പശ്ചാത്തലം ഇല്ല എന്നത് വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ സംഭവിക്കൂ. നമുക്ക് പുതിയത് എടുക്കാം
ആശയം - വിവേചനം. "വിവേചനം" എന്ന വാക്ക് ഓർക്കുക. എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ചിലരുടെ അവഹേളനവും മറ്റുള്ളവരുടെ ഉയർച്ചയും അർത്ഥമാക്കുന്നു, അതായത്. വ്യത്യസ്ത മനോഭാവം
വിവിധ ആളുകൾക്ക്. രണ്ട് വാക്കുകളും (വിവേചനവും വിവേചനവും) ലാറ്റിൻ വിവേചനക്കാരിൽ നിന്നാണ് വന്നത് - "വിവേചനം". വിവേചനം മൂലങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ വേർതിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 3. 3x 2 + 8x - 11 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം. ഇവിടെ a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
D > 0 മുതൽ, സിദ്ധാന്തം 3 പ്രകാരം ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഈ വേരുകൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് കാണപ്പെടുന്നു (3)

വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം
കോടാലി 2 + bx + c = 0

ഈ നിയമം സാർവത്രികമാണ്; ഇത് സമ്പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണയായി ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നില്ല;

ഉദാഹരണം 4.സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3.5 = 0.

പരിഹാരം a) ഇവിടെ a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

D > 0 മുതൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (3)

ബി) അനുഭവം കാണിക്കുന്നതുപോലെ, മുൻനിര ഗുണകം പോസിറ്റീവ് ആയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതിനാൽ, ആദ്യം നമ്മൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

9x 2 - 6x + 1 = 0.
ഇവിടെ a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
D = 0 മുതൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. x = - എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നത്. അർത്ഥമാക്കുന്നത്,

ഈ സമവാക്യം വ്യത്യസ്തമായി പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്: മുതൽ
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, അപ്പോൾ നമുക്ക് സമവാക്യം (Зх - I) 2 = 0 ലഭിക്കും, അവിടെ നിന്ന് Зх - 1 = 0, അതായത് x = .

c) ഇവിടെ a = 2, b = - 1, c = 3.5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. ഡി മുതൽ< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പ്രായോഗികവും സാമ്പത്തികവുമായ ആളുകളാണ്. എന്തുകൊണ്ടാണ്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത്രയും നീണ്ട നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നതെന്ന് അവർ പറയുന്നു, ഉടനടി ഒരു പൊതു സൂത്രവാക്യം എഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്:

വിവേചനം കാണിക്കുന്ന D = b 2 - 4ac ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, എഴുതിയ സൂത്രവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല (ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്), അതായത് വേരുകളൊന്നുമില്ല. വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അതായത്, ഒരു റൂട്ട് (ഈ കേസിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്നും അവർ പറയുന്നു:

അവസാനമായി, b 2 - 4ac > 0 എന്ന് മാറുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് റൂട്ടുകൾ x 1, x 2 എന്നിവ ലഭിക്കും, അവ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന അതേ ഫോർമുലകൾ (3) ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

ഈ കേസിലെ സംഖ്യ തന്നെ പോസിറ്റീവ് ആണ് (ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും സ്ക്വയർ റൂട്ട് പോലെ), അതിന് മുന്നിലുള്ള ഇരട്ട ചിഹ്നം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു കേസിൽ (x 1 കണ്ടെത്തുമ്പോൾ) ഈ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ സംഖ്യയിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു എന്നാണ് - b, കൂടാതെ മറ്റൊരു സാഹചര്യത്തിൽ (x 2 കണ്ടെത്തുമ്പോൾ) ഇതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്
നമ്പറിൽ നിന്ന് വായിക്കുക - ബി.

നിങ്ങൾക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട്. മുകളിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം വിശദമായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ; നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ, ഫോർമുല (4) ഉടൻ എഴുതുക, ആവശ്യമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ അത് ഉപയോഗിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം, എ) തീർച്ചയായും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് കണക്കിലെടുത്ത് നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകൾ (4) അല്ലെങ്കിൽ (3) ഉപയോഗിക്കാം എന്നാൽ പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പവും ഏറ്റവും പ്രധാനമായി കൂടുതൽ ആസ്വാദ്യകരവുമാകുമ്പോൾ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഒഴിവാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും 12 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളായി വർത്തിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗത്താൽ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എവിടെ നിന്ന് 8x 2 + 10x - 7 = 0.

ഇനി നമുക്ക് ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിക്കാം

ബി) നമുക്ക് വീണ്ടും ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ട്: a = 3, b = - 0.2, c = 2.77. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിക്കുന്നു:

വിവേചനം (റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ) ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന് ഒരു ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടൽ കാണിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 6.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
പരിഹാരം. ഇവിടെ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ചുരുക്കിയ ഫോർമുല (4) അനുസരിച്ചുള്ളതിനേക്കാൾ നിയമം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

നമുക്ക് a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. D > 0 മുതൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്, അത് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ നോക്കും (3)

ഉദാഹരണം 7.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

പരിഹാരം. ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇതുവരെ പരിഗണിച്ചിട്ടുള്ള എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാണ്, ഗുണകങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളല്ല, അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ അക്ഷര ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ പാരാമീറ്ററുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പാരാമീറ്റർ (അക്ഷരം) p രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിലും സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.
നമുക്ക് വിവേചനം കണ്ടെത്താം:

ഉദാഹരണം 8. px 2 + (1 - p) x - 1 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം. ഇത് പാരാമീറ്റർ p ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം കൂടിയാണ്, പക്ഷേ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (4) അല്ലെങ്കിൽ (3) ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. സൂചിപ്പിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ബാധകമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത, എന്നാൽ തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് പറയാൻ കഴിയില്ല. തീർച്ചയായും, p = 0 ആണെങ്കിലോ? പിന്നെ
സമവാക്യം ഫോം 0 എടുക്കും. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, അതായത് x - 1 = 0, അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x = 1 ലഭിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ, അത് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. സമവാക്യം:

ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ക്ലാസിക്കൽ (പൂർണ്ണമായ) സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ പരവലയങ്ങളാണ്. പൊതുവായ രൂപത്തെ ആശ്രയിച്ച്, അവയെ 3 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. എല്ലാത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കുമുള്ള പരിഹാര തത്വങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്.

അപൂർണ്ണമായ പോളിനോമിയലിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. വിഷ്വൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന വ്യത്യാസങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്:

1. b = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ax 2 + c = 0 ആണ്.
2. c = 0 ആണെങ്കിൽ, ax 2 + bx = 0 എന്ന പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കണം.
3. b = 0 ഉം c = 0 ഉം ആണെങ്കിൽ, പോളിനോമിയൽ കോടാലി 2 = 0 പോലെ തുല്യതയായി മാറുന്നു.

അവസാന കേസ് ഒരു സൈദ്ധാന്തിക സാധ്യതയാണ്, അറിവ് പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള ജോലികളിൽ ഒരിക്കലും സംഭവിക്കുന്നില്ല, കാരണം ഇത് മാത്രമാണ് ശരിയായ മൂല്യംഎക്സ്പ്രഷനിലെ വേരിയബിൾ x പൂജ്യമാണ്. ഭാവിയിൽ, 1), 2) തരങ്ങളുടെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഗണിക്കും.

പരിഹാരങ്ങളുള്ള വേരിയബിളുകളും ഉദാഹരണങ്ങളും തിരയുന്നതിനുള്ള പൊതുവായ അൽഗോരിതം

സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, പരിഹാര അൽഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

1. വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ കുറയ്ക്കുക.
2. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുക.
3. ഉത്തരം എഴുതുക.

അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള എളുപ്പവഴി അവയെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുകയാണ് ഇടത് വശംവലതുവശത്ത് ഒരു പൂജ്യം അവശേഷിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഫോർമുല ഓരോ ഘടകങ്ങളുടെയും x ൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

പരിശീലനത്തിലൂടെ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയൂ, അതിനാൽ അപൂർണ്ണമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണം നോക്കാം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ b = 0. ഇടതുവശം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌ത് എക്‌സ്‌പ്രഷൻ നേടാം:

4(x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

വ്യക്തമായും, ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. x1 = 0.5, (അല്ലെങ്കിൽ) x2 = -0.5 എന്നീ വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ സമാനമായ ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് പ്രശ്‌നത്തെ എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും നേരിടാൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്:

പദപ്രയോഗത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം ഇല്ലെങ്കിൽ, പ്രശ്നം വളരെ ലളിതമാണ്. പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തി ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്താൽ മാത്രം മതിയാകും. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ax2 + bx = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ x എടുത്ത് ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ നേടാം:

x ⋅ (x + 3) = 0.

യുക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, x1 = 0, x2 = -3 എന്നിങ്ങനെയുള്ള നിഗമനത്തിലെത്തി.

പരമ്പരാഗത പരിഹാര രീതിയും അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും

നിങ്ങൾ വിവേചന സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുകയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ഗണിതശാസ്ത്രം 2017 ലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് ടാസ്ക്കുകളുടെ ശേഖരത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുലകളും ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതിയും ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഹരിക്കുക.

7x 2 - 3x = 0.

നമുക്ക് വിവേചന മൂല്യം കണക്കാക്കാം: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. പോളിനോമിയലിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു:

ഇനി നമുക്ക് ഫാക്‌ടറിംഗ് വഴി സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ട് രീതികളും ഒരേ ഫലം നൽകുന്നു, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പവും വേഗത്തിലായിരുന്നു.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

എന്നാൽ വിയറ്റയുടെ പ്രിയപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തവുമായി എന്തുചെയ്യണം? ട്രൈനോമിയൽ അപൂർണ്ണമാകുമ്പോൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കാമോ? കാസ്റ്റിംഗിൻ്റെ വശങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ ax2 + bx + c = 0 എന്ന ക്ലാസിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക്.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ കേസിൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്. വിട്ടുപോയ പദങ്ങൾ പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി പദപ്രയോഗം അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, b = 0, a = 1 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, ആശയക്കുഴപ്പത്തിനുള്ള സാധ്യത ഇല്ലാതാക്കാൻ, ടാസ്‌ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതണം: ax2 + 0 + c = 0. തുടർന്ന് വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെയും അനുപാതം ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

സൈദ്ധാന്തിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സാരാംശം പരിചയപ്പെടാൻ സഹായിക്കുന്നു, പ്രത്യേക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലായ്പ്പോഴും കഴിവുകളുടെ വികസനം ആവശ്യമാണ്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് ടാസ്ക്കുകളുടെ റഫറൻസ് പുസ്തകത്തിലേക്ക് വീണ്ടും തിരിയുകയും അനുയോജ്യമായ ഒരു ഉദാഹരണം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമായ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് പദപ്രയോഗം എഴുതാം:

x 2 + 0 – 16 = 0.

വ്യവസ്ഥകളുടെ ഒരു സംവിധാനം സൃഷ്ടിക്കുക എന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം:

വ്യക്തമായും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ x 1 = 4 ഉം x 2 = -4 ഉം ആയിരിക്കും.

ഇനി, സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നത് പരിശീലിക്കാം. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം എടുക്കാം: 1/4× x 2 – 1 = 0

ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലം നോക്കാം: x2– 4 = 0. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പരിഹരിക്കാൻ തയ്യാറാണ്, എന്നാൽ c = നീക്കി ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പവും വേഗവുമാണ്. 4 മുതൽ വലത് വശംസമവാക്യം: x2 = 4.

ചുരുക്കി പറഞ്ഞാൽ അത് പറയണം ഏറ്റവും മികച്ച മാർഗ്ഗംഅപൂർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഫാക്ടറൈസേഷൻ ആണ്, ഏറ്റവും ലളിതവും ദ്രുത രീതി. വേരുകൾക്കായി തിരയുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടായാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ബന്ധപ്പെടാം പരമ്പരാഗത രീതിഒരു വിവേചനക്കാരനിലൂടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഞങ്ങൾ വിഷയം പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു " സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു" ഞങ്ങൾ ഇതിനകം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെട്ടു, പരിചയപ്പെടാൻ പോകുകയാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

ആദ്യം നമ്മൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണെന്നും അത് എങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നുവെന്നും നോക്കാം പൊതുവായ കാഴ്ച, ബന്ധപ്പെട്ട നിർവചനങ്ങൾ നൽകുക. ഇതിനുശേഷം, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് വിശദമായി പരിശോധിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. അടുത്തതായി, സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ നീങ്ങും, റൂട്ട് ഫോർമുല നേടുക, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനവുമായി പരിചയപ്പെടുക, സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. അവസാനമായി, നമുക്ക് വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ കണ്ടെത്താം.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം? അവയുടെ തരങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണെന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനവും അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരു സംഭാഷണം ആരംഭിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം: കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതും, അതുപോലെ പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ സമവാക്യങ്ങൾ.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർവചനവും ഉദാഹരണങ്ങളും

നിർവ്വചനം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംരൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് a x 2 +b x+c=0, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ a പൂജ്യമല്ല.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ പലപ്പോഴും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുവെന്ന് ഉടൻ തന്നെ പറയാം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന വസ്തുതയാണ് ഇതിന് കാരണം ബീജഗണിത സമവാക്യംരണ്ടാം ബിരുദം.

പ്രസ്താവിച്ച നിർവചനം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതിനാൽ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 മുതലായവ. ഇവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

നിർവ്വചനം.

നമ്പറുകൾ a, b, c എന്നിവ വിളിക്കപ്പെടുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ a·x 2 +b·x+c=0, കൂടാതെ a കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ആദ്യത്തേത്, അല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ x 2-ൻ്റെ ഗുണകം, b എന്നത് രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം അല്ലെങ്കിൽ x-ൻ്റെ ഗുണകം, c എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദം .

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 5 x 2 -2 x -3=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം, ഇവിടെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 5 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം −2 ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം −3 ന് തുല്യമാണ്. ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ, ഗുണകങ്ങൾ b കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ c നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഹ്രസ്വ രൂപം 5 x 2 +(−2 ) എന്നതിലുപരി 5 x 2 -2 x−3=0 ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ·x+(−3)=0 .

a കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ b ഗുണകങ്ങൾ 1 അല്ലെങ്കിൽ −1 ന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, അവ സാധാരണയായി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ വ്യക്തമായി കാണില്ല, ഇത് എഴുതുന്നതിൻ്റെ പ്രത്യേകതകൾ മൂലമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, y 2 -y+3=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ മുൻനിര ഗുണകം ഒന്നാണ്, y യുടെ ഗുണകം -1 ന് തുല്യമാണ്.

കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

മുൻനിര ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം നൽകി. അല്ലെങ്കിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം തൊട്ടുകൂടാത്ത.

ഈ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ x 2 -3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, മുതലായവ. - നൽകിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും ആദ്യ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. A 5 x 2 -x−1=0 മുതലായവ. - കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ മുൻനിര ഗുണകങ്ങൾ 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

കുറയ്ക്കാത്ത ഏതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, രണ്ട് വശങ്ങളും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് കുറച്ചതിലേക്ക് പോകാം. ഈ പ്രവർത്തനം ഒരു തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്, അതായത്, ഈ രീതിയിൽ ലഭിച്ച കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ അതേ വേരുകളുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ, അത് പോലെ, വേരുകളില്ല.

കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറച്ചതിലേക്കുള്ള മാറ്റം എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

3 x 2 +12 x−7=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, അനുബന്ധമായ കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകുക.

പരിഹാരം.

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇത് പൂജ്യമല്ല, അതിനാൽ നമുക്ക് ഈ പ്രവർത്തനം നടത്താം. നമുക്കുണ്ട് (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, അത് സമാനമാണ്, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, തുടർന്ന് (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, എവിടെ നിന്ന് . ഒറിജിനൽ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്.

ഉത്തരം:

പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ a≠0 എന്ന അവസ്ഥ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. a x 2 + b x + c = 0 എന്ന സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആകുന്നതിന് ഈ അവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, കാരണം a = 0 ആകുമ്പോൾ അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ b x + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു.

ബി, സി എന്നീ ഗുണകങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അവ വ്യക്തിഗതമായും ഒന്നിച്ചും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

a x 2 +b x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ, ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും b, c പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

അതിൻ്റെ ഊഴത്തിൽ

നിർവ്വചനം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമവാക്യമാണ്.

അത്തരം പേരുകൾ യാദൃശ്ചികമായി നൽകിയതല്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ചർച്ചകളിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമാകും.

ഗുണകം b പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a·x 2 +0·x+c=0 എന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു, അത് a·x 2 +c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. c=0, അതായത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് a·x 2 +b·x+0=0 എന്ന രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ, അത് a·x 2 +b·x=0 എന്ന് പുനരാലേഖനം ചെയ്യാം. കൂടാതെ b=0, c=0 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് a·x 2 =0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അവയുടെ ഇടത് വശങ്ങളിൽ x എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദമോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും അടങ്ങിയിട്ടില്ല. അതിനാൽ അവയുടെ പേര് - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

അതിനാൽ x 2 +x+1=0, -2 x 2 -5 x+0.2=0 എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്, കൂടാതെ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 -5 x=0 അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

മുൻ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് ഉണ്ടെന്ന് പിന്തുടരുന്നു മൂന്ന് തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ:

• a·x 2 =0, ഗുണകങ്ങൾ b=0, c=0 എന്നിവ അതിനോട് യോജിക്കുന്നു;
• a x 2 +c=0 എപ്പോൾ b=0 ;
• കൂടാതെ a·x 2 +b·x=0 എപ്പോൾ c=0.

ഈ ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

ഒരു x 2 =0

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, അതിൽ ഗുണകങ്ങൾ b, c എന്നിവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, a x 2 =0 രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ. a·x 2 =0 എന്ന സമവാക്യം x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് മൂലത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കും. വ്യക്തമായും, x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് പൂജ്യമാണ്, കാരണം 0 2 =0. ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഏത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയ്ക്കും p അസമത്വം p 2 >0 നിലനിർത്തുന്നു എന്ന വസ്തുത വിശദീകരിക്കുന്നു, അതായത് p≠0 ന് തുല്യത p 2 =0 ഒരിക്കലും കൈവരിക്കില്ല എന്നാണ്.

അതിനാൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് a·x 2 =0 എന്ന ഒറ്റമൂലി x=0 ഉണ്ട്.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം നൽകുന്നു -4 x 2 =0. ഇത് x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് x=0 ആണ്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് പൂജ്യം ഉണ്ട്.

ഈ കേസിൽ ഒരു ഹ്രസ്വ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

കോ എഫിഷ്യൻ്റ് b പൂജ്യവും c≠0 ഉം ഉള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന് നോക്കാം, അതായത് a x 2 +c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദത്തെ മാറ്റുന്നതും അതുപോലെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതും തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നൽകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, x 2 +c=0 എന്ന അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം:

• c വലത് വശത്തേക്ക് നീക്കുക, ഇത് സമവാക്യത്തിന് ഒരു x 2 =−c നൽകുന്നു,
• രണ്ട് വശങ്ങളും a കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം അതിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. a, c എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആകാം (ഉദാഹരണത്തിന്, a=1, c=2 എങ്കിൽ ) അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് (ഉദാഹരണത്തിന്, a=−2, c=6 എന്നിവയാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ ), ഇത് പൂജ്യമല്ല, കാരണം c≠0 വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം. കേസുകൾ പ്രത്യേകം നോക്കാം.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും വർഗ്ഗം ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് ഈ പ്രസ്താവന പിന്തുടരുന്നത്. എപ്പോൾ , പിന്നെ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ p എന്നതിന് തുല്യത ശരിയാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുമായുള്ള സാഹചര്യം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഉടൻ തന്നെ വ്യക്തമാകും, കാരണം . ഈ സംഖ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലവും ആണെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, വൈരുദ്ധ്യത്താൽ കാണിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം.

x 1, −x 1 എന്നിങ്ങനെ ഇപ്പോൾ പ്രഖ്യാപിച്ച സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. x 1, −x 1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് x 2 കൂടി ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. x ന് പകരം അതിൻ്റെ വേരുകൾ ഒരു സമവാക്യമാക്കി മാറ്റുന്നത് സമവാക്യത്തെ ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുമെന്ന് അറിയാം. x 1, −x 1 എന്നിവയ്‌ക്കായി നമുക്കുണ്ട്, x 2 ന് നമുക്കുണ്ട്. സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം കുറയ്ക്കൽ നടത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അതിനാൽ തുല്യതയുടെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ കുറച്ചാൽ x 1 2 -x 2 2 =0 ലഭിക്കും. അക്കങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യത (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 ആയി മാറ്റിയെഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അവയിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം. അതിനാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1 -x 2 =0 കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 2 =-x 1. x 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x 1, −x 1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തുടക്കത്തിൽ പറഞ്ഞതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് എത്തി. കൂടാതെ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ലെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

ഈ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 +c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്

• വേരുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ,
• രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്, എങ്കിൽ .

a·x 2 +c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

9 x 2 +7=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദം നീക്കിയ ശേഷം, അത് 9 x 2 =−7 എന്ന ഫോം എടുക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമ്മൾ എത്തിച്ചേരുന്നു. വലതുവശത്ത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഉള്ളതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായ 9 x 2 +7 = 0 ന് വേരുകളില്ല.

നമുക്ക് മറ്റൊരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം -x 2 +9=0. ഞങ്ങൾ ഒമ്പത് വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു: -x 2 =-9. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഇരുവശങ്ങളെയും −1 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് x 2 =9 ലഭിക്കും. വലതുവശത്ത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു അല്ലെങ്കിൽ . അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അന്തിമ ഉത്തരം എഴുതുന്നു: അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം -x 2 +9=0 ന് x=3 അല്ലെങ്കിൽ x=−3 എന്ന രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

a x 2 +b x=0

c=0 എന്നതിനായുള്ള അവസാന തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. a x 2 + b x = 0 രൂപത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതി. വ്യക്തമായും, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യാം, ഇതിനായി ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x എന്ന പൊതു ഘടകം എടുത്താൽ മതിയാകും. യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x·(a·x+b)=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യം x=0, a·x+b=0 എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇതിൽ രണ്ടാമത്തേത് രേഖീയവും x=−b/a എന്ന മൂലവും ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a·x 2 +b·x=0 ന് x=0, x=−b/a എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് x എടുത്താൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഇത് x=0, എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് കിട്ടിയത് പരിഹരിക്കുന്നു രേഖീയ സമവാക്യം: , വിഭജനം നടത്തുന്നു മിക്സഡ് നമ്പർഓൺ പൊതു അംശം, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x=0 ഉം .

ആവശ്യമായ പരിശീലനം നേടിയ ശേഷം, അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

ഉത്തരം:

x=0, .

വിവേചനപരമായ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു റൂട്ട് ഫോർമുലയുണ്ട്. നമുക്ക് അത് എഴുതാം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം:, എവിടെ D=b 2 -4 a c- വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം. പ്രവേശനം പ്രധാനമായും അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

റൂട്ട് ഫോർമുല എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്നും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. നമുക്ക് ഇത് കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

നമുക്ക് a·x 2 +b·x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് സമാനമായ ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

• ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും നമുക്ക് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ a കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.
• ഇപ്പോൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുകഅതിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്: . ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും.
• ഈ ഘട്ടത്തിൽ, അവസാനത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾ എതിർ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് .
• വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: .

തൽഫലമായി, a·x 2 +b·x+c=0 എന്ന യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ നാം എത്തിച്ചേരുന്നു.

ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചപ്പോൾ മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളിലെ രൂപത്തിൽ സമാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഹരിച്ചു. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്, അതിനാൽ, അതിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് ദൃശ്യമാണ്;
• എങ്കിൽ , പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ , അത് സമാനമാണ് അല്ലെങ്കിൽ , അതായത്, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. 4·a 2 എന്ന ഡിനോമിനേറ്റർ എപ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, അതായത്, b 2 −4·ac·c എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്താൽ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ അടയാളമാണ്. ഈ പദപ്രയോഗം b 2 -4 a c എന്ന് വിളിക്കപ്പെട്ടു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനംകത്തിൽ നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്തു ഡി. ഇവിടെ നിന്ന് വിവേചനത്തിൻ്റെ സാരാംശം വ്യക്തമാണ് - അതിൻ്റെ മൂല്യത്തെയും അടയാളത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ടോ എന്ന് അവർ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അവയുടെ നമ്പർ എന്താണ് - ഒന്നോ രണ്ടോ.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം, വിവേചനപരമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അത് മാറ്റിയെഴുതാം: . ഞങ്ങൾ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

• ഡി എങ്കിൽ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 ആണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്;
• അവസാനമായി, D>0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ അത് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം അല്ലെങ്കിൽ, വികസിപ്പിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നതിന് ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു, അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ D=b 2 −4·a·c എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഡി ഡിസ്ക്രിമിനൻ്റ് ഡി കണക്കാക്കുന്നു.

അവരുടെ സഹായത്തോടെ, പോസിറ്റീവ് വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളും കണക്കാക്കാം. വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരത്തിന് സമാനമായ റൂട്ടിൻ്റെ ഒരേ മൂല്യം നൽകുന്നു. ഒരു നിഷേധാത്മക വിവേചനത്തോടെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നത് ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു, ഇത് ഞങ്ങളെ സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയുടെ പരിധിക്കപ്പുറത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു. ഒരു നിഷേധാത്മക വിവേചനത്തോടെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, പക്ഷേ ഒരു ജോടിയുണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനംവേരുകൾ, നമുക്ക് ലഭിച്ച അതേ റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും.

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

പ്രായോഗികമായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. എന്നാൽ ഇത് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ സ്കൂൾ കോഴ്സ്ബീജഗണിതം സാധാരണയായി സങ്കീർണ്ണമായവയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളിലാണ് ഇടപെടുന്നത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ആദ്യം വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നത് നല്ലതാണ്, അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക (അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം), അതിനുശേഷം മാത്രമേ വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കൂ.

മുകളിലെ ന്യായവാദം നമ്മെ എഴുതാൻ അനുവദിക്കുന്നു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം. ഒരു x 2 +b x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്:

• D=b 2 −4·a·c എന്ന വിവേചന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, അതിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക;
• വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യുക;
• D=0 ആണെങ്കിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് കണക്കാക്കുക;
• വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്കും അത് തുല്യമായ മൂല്യം നൽകുമെന്ന് ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് പോകാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, സീറോ വിവേചനം ഉള്ള മൂന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അവയുടെ പരിഹാരം കൈകാര്യം ചെയ്ത ശേഷം, സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച് മറ്റേതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ഉദാഹരണം.

x 2 +2·x−6=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ട്: a=1, b=2, c=−6. അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ ആദ്യം വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന a, b, c എന്നിവ വിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 മുതൽ, അതായത്, വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവ കണ്ടെത്താം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാം ഗുണിതത്തെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം നീക്കുന്നുഅംശം കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ:

ഉത്തരം:

നമുക്ക് അടുത്ത സാധാരണ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക -4 x 2 +28 x−49=0 .

പരിഹാരം.

വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്, അതായത്,

ഉത്തരം:

x=3.5.

ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം.

5·y 2 +6·y+2=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഇതാ: a=5, b=6, c=2. ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ വിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്കുണ്ട് D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സൂചിപ്പിക്കണമെങ്കിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുകയും പ്രകടനം നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ഇവയാണ്: .

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സ്കൂളിൽ അവർ സാധാരണയായി ഉടൻ തന്നെ ഒരു ഉത്തരം എഴുതുന്നു, അതിൽ യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ലെന്നും സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്താനായില്ലെന്നും നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ശ്രദ്ധിക്കാം.

രണ്ടാമത്തെ ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള റൂട്ട് ഫോർമുല

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല, ഇവിടെ D=b 2 −4·a·c കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള ഒരു ഫോർമുല നേടുന്നതിന് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് x-നുള്ള ഇരട്ട ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഒരു 2·n എന്ന ഫോം ഉള്ള ഗുണകം, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ 14· ln5=2·7·ln5 ). നമുക്ക് അവളെ പുറത്താക്കാം.

ഒരു x 2 +2 n x+c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. നമുക്കറിയാവുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നമുക്ക് n 2 −a c എന്ന പദപ്രയോഗം D 1 ആയി സൂചിപ്പിക്കാം (ചിലപ്പോൾ ഇത് D " എന്ന് സൂചിപ്പിക്കും) തുടർന്ന് പരിഗണിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 n ഉപയോഗിച്ച് രൂപമെടുക്കും. , ഇവിടെ D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, അല്ലെങ്കിൽ D 1 =D/4 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡി 1 എന്നത് വിവേചനത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗമാണ്. D 1 ൻ്റെ അടയാളം D യുടെ അടയാളം തന്നെയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതായത്, D 1 എന്ന ചിഹ്നം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം എന്നിവയുടെ സൂചകമാണ്.

അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2·n ഉള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്

• D 1 =n 2 -a·c കണക്കാക്കുക;
• ഡി 1 ആണെങ്കിൽ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുക;
• D 1 >0 ആണെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് യഥാർത്ഥ റൂട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.

ഈ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 x 2 -6 x -32=0 പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തെ 2·(−3) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ഇവിടെ a=5, n=−3, c=−32 എന്നിവയിൽ വീണ്ടും എഴുതാം, കൂടാതെ നാലാമത്തെ ഭാഗം കണക്കാക്കാം. വിവേചനം: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(−32)=9+160=169. അതിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. ഉചിതമായ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവ കണ്ടെത്താം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി സാധാരണ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ജോലികൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നു

ചിലപ്പോൾ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല: "ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ?" കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ 1100 x 2 -400 x−600=0 എന്നതിനേക്കാൾ 11 x 2 -4 x−6=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാകുമെന്ന് സമ്മതിക്കുക.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നത് രണ്ട് വശങ്ങളെയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചോ ഹരിച്ചോ ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ 1100 x 2 -400 x -600=0 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് വശങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ലളിതമാക്കാൻ സാധിച്ചു.

സമാനമായ പരിവർത്തനം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്, അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ അല്ല . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കാറുണ്ട് കേവല മൂല്യങ്ങൾഅതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 12 x 2 -42 x+48=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം. അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങൾ: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമ്മൾ 2 x 2 −7 x+8=0 എന്ന തുല്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നത് സാധാരണയായി ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗുണനം നടത്തുന്നത് അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും LCM(6, 3, 1)=6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് x 2 +4·x−18=0 എന്ന ലളിതമായ രൂപമെടുക്കും.

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഉപസംഹാരമായി, എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഗുണകത്തിൽ അവ എല്ലായ്പ്പോഴും മൈനസ് ഒഴിവാക്കുന്നു, ഇത് ഇരുവശങ്ങളെയും −1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കുന്നതിന്) സമാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സാധാരണയായി ഒരാൾ −2 x 2 -3 x+7=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 2 x 2 +3 x−7=0 എന്ന പരിഹാരത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. റൂട്ട് ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് ബന്ധങ്ങൾ നേടാനാകും.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള ഏറ്റവും അറിയപ്പെടുന്നതും ബാധകവുമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രൂപവും . പ്രത്യേകിച്ചും, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം നോക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7/3 ന് തുല്യമാണെന്നും വേരുകളുടെ ഗുണം 22 ന് തുല്യമാണെന്നും നമുക്ക് പെട്ടെന്ന് പറയാൻ കഴിയും. /3.

ഇതിനകം എഴുതിയ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് നിരവധി കണക്ഷനുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: .

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മകാരിചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; ed. എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. ഉച്ചയ്ക്ക് 2 മണിക്ക് ഭാഗം 1. വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ/ എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.