Онлайн орлуулалтын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Видео хичээл "Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн систем нь бүх нийтлэг шийдийг олох шаардлагатай хоёр ба түүнээс дээш шугаман тэгшитгэл юм. Бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно. Ерөнхий хэлбэрХоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг доорх зурагт үзүүлэв.

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Энд x, y нь үл мэдэгдэх хувьсагч, a1, a2, b1, b2, c1, c2 зарим бодит тоонууд юм. Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь (x,y) хос тоо бөгөөд хэрэв бид эдгээр тоог системийн тэгшитгэлд орлуулах юм бол системийн тэгшитгэл бүр нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудын нэг болох орлуулах аргыг авч үзье.

Орлуулах аргаар шийдвэрлэх алгоритм

Орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх алгоритм:

1. Нэг тэгшитгэлийг сонгоод (тоо багатайг нь сонгох нь дээр) түүнээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар, жишээлбэл х-г у-аар илэрхийлнэ. (та y-ээс x хүртэл ашиглаж болно).

2. Харгалзах хувьсагчийн оронд гарсан илэрхийллийг өөр тэгшитгэлд орлуулна. Тиймээс бид нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийг олж авна.

3. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэж, шийдийг ол.

4. Бид үүссэн уусмалыг эхний догол мөрөнд олж авсан илэрхийлэлд орлуулж, уусмалаас хоёр дахь үл мэдэгдэх зүйлийг олж авна.

5. Үүссэн уусмалыг шалгана уу.

Жишээ

Илүү ойлгомжтой болгохын тулд жижиг жишээг шийдье.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

(x+2*y =12
(2*х-3*у=-18

Шийдэл:

1. Энэ системийн эхний тэгшитгэлээс бид x хувьсагчийг илэрхийлнэ. Бидэнд x= (12 -2*y);

2. Энэ илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулбал 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийд: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Олж авсан үр дүнг эхний догол мөрөнд олж авсан илэрхийлэлд орлуулна. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Үүнийг хийхийн тулд бид үүссэн шийдлийг шалгана, бид олсон тоог анхны системд орлуулна;

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Бид зөв тэгш байдлыг олж авсан тул шийдлийг зөв олсон.

Хүлээн авсан тэгшитгэлийн системүүд өргөн хэрэглээянз бүрийн үйл явцын математик загварчлалд эдийн засгийн салбарт . Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгыг (x, y) олох эсвэл үүнийг тогтоох гэсэн үг юм тохиромжтой утгууд x ба y байхгүй.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь систем юм баруун хэсэгэнэ нь тэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй;

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдвэрлэх ерөнхий аналитик арга байхгүй; бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. IN сургуулийн курсматематик, орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах зэрэг аргууд, түүнчлэн график болон матрицын арга, Гауссын аргаар шийдэл.

Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системийг хэрхэн зөв шинжлэх, олохыг заах явдал юм оновчтой алгоритмжишээ тус бүрийн шийдэл. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэрт буулгана. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь X-ийн оронд системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээг шийдэх нь хялбар бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог. Сүүлийн алхам бол олж авсан утгыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас тохиромжгүй.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, янз бүрийн тоогоор үржүүлнэ. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Энэ аргыг хэрэглэх нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.

Шийдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийллийн гишүүнийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үлдсэн хувьсагчийг олохын тулд үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олохыг шаарддаг бол үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

t шинэ хувьсагчийг оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Сайн мэддэг томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг график дээр тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээнд шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох шаардлагатай: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэх нь үргэлж боломжгүй байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол тоогоор дүүргэсэн тусгай төрлийн хүснэгт юм. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Матриц нь багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганын матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуу нэг нь бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь матриц бөгөөд үүнийг үржүүлбэл анхны дөрвөлжин матрицад л ийм матриц бий болно.

Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нөхцөлийг матрицын тоогоор бичдэг нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ;

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэг биш байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, K -1 нь урвуу матриц ба |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог, та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c гэсэн томъёо байна. 3 + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий системийн хувьсагчдыг олоход ашигладаг.

Гауссын арга нь орлуулалтыг ашигладаг шийдэлтэй маш төстэй бөгөөд алгебрийн нэмэлт, гэхдээ илүү системтэй. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. By алгебрийн хувиргалтба орлуулалт, нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү болно гэж заасан.

Гауссын арга нь дунд сургуулийн сурагчдад ойлгоход хэцүү ч хамгийн олон арга юм сонирхолтой арга замуудМатематик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтад хамрагдаж буй хүүхдүүдийн авъяас чадварыг хөгжүүлэх.

Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тусгаарладаг зүүн талбаруун талаас тэгшитгэлүүд. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

1. Орлуулах арга: системийн аль ч тэгшитгэлээс бид нэг үл мэдэгдэхийг нөгөөгөөр илэрхийлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлдэг цагтдамжуулан Xба үүнийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системийг нь авч үзье анхныхтай дүйцэхүйц.

Ижил төстэй нэр томъёог оруулсны дараа систем дараах хэлбэрийг авна.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олно: . Энэ утгыг тэгшитгэлд орлуулах цагт = 2 - 2X, бид авдаг цагт= 3. Иймд энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

2. Алгебрийн нэмэх арга: Хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна.

Даалгавар.Системийн тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.Хоёр дахь тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-оор үржүүлснээр бид системийг олж авна анхныхтай дүйцэхүйц. Энэ системийн хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид системд хүрнэ

Ижил төстэй нэр томъёог оруулсны дараа энэ систем нь дараах хэлбэртэй болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог. Энэ утгыг 3-р тэгшитгэлд орлуул X + 4цагт= 5, бид авна , хаана. Тиймээс энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

3. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга: бид системд дахин давтагдах илэрхийлэлүүдийг хайж байгаа бөгөөд үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар системийн харагдах байдлыг хялбарчлах болно.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Энэ системийг өөрөөр бичье:

Болъё x + y = у, xy = v.Дараа нь бид системийг авдаг

Үүнийг орлуулах аргыг ашиглан шийдье. Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлдэг удамжуулан vба үүнийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системээ авч үзье тэдгээр.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог v 1 = 2, v 2 = 3.

Эдгээр утгыг тэгшитгэлд орлуулах у = 5 - v, бид авдаг у 1 = 3,
у 2 = 2. Дараа нь бид хоёр системтэй болно

Эхний системийг шийдэж, бид хоёр хос тоо (1; 2), (2; 1) авна. Хоёр дахь систем нь ямар ч шийдэлгүй.

Бие даасан ажилд зориулсан дасгалууд

1. Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Орлуулах арга нь аливаа нарийн төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг хялбархан шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Аргын мөн чанар нь системийн эхний илэрхийлэлийг ашиглан "y" -ийг илэрхийлж, дараа нь "y" -ийн оронд үүссэн илэрхийлэлийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Тэгшитгэлд аль хэдийн хоёр үл мэдэгдэх зүйл биш, зөвхөн нэг нь байгаа тул бид энэ хувьсагчийн утгыг хялбархан олж, дараа нь хоёр дахь утгыг тодорхойлоход ашиглаж болно.

Дараах хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг бидэнд өгсөн гэж үзье.

\[\зүүн\(\эхлэх(матриц) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \төгсгөл(матриц)\баруун.\]

илэрхийлье \

\[\зүүн\(\эхлэх(матриц) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \төгсгөл(матриц)\баруун.\]

Үр дүнгийн илэрхийлэлийг 2-р тэгшитгэлд орлуулъя.

\[\зүүн\(\эхлэх(матриц) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \төгсгөл(матриц)\баруун.\]

утгыг олъё \

Хаалт нээж, нэр томъёог шилжүүлэх дүрмийг харгалзан тэгшитгэлийг хялбаршуулж, шийдье.

Одоо бид утгыг мэдэж байна \ Үүнийг ашиглан утгыг олъё \

Хариулт: \[(4;2).\]

Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаана шийдэж болох вэ?

Та манай вэбсайтаас тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та манай вэбсайтаас тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдэх боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс асууж болно.

Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Тэгшитгэлийн систем гэж юу болохыг санацгаая.

Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн систем нь бие биенийхээ доор бичигдсэн, буржгар хаалтаар холбогдсон хоёр тэгшитгэл юм. Системийг шийднэ гэдэг нь эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг хоёуланг нь нэгэн зэрэг шийдвэрлэх хос тоог олохыг хэлнэ.

Энэ хичээлээр бид орлуулах арга гэх мэт системийг шийдэх аргатай танилцах болно.

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Та энэ системийг графикаар шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид нэг координатын систем дэх тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулж, тэдгээрийг дараах хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай болно.

Дараа нь системийн шийдэл болох графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол. Гэхдээ график арга нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй, учир нь бага нарийвчлалтай, эсвэл бүр хүрэх боломжгүй байдлаар ялгаатай. Манай системийг илүү нарийвчлан авч үзэхийг хичээцгээе. Одоо иймэрхүү харагдаж байна:

Тэгшитгэлийн зүүн талууд тэнцүү байгааг та анзаарч болно, энэ нь баруун талууд нь бас тэнцүү байх ёстой гэсэн үг юм. Дараа нь бид тэгшитгэлийг авна:

Энэ бол бидний шийдэж чадах нэг хувьсагчтай танил тэгшитгэл юм. Үл мэдэгдэх нэр томъёог зүүн тал руу, мэдэгдэж байгаа нэр томъёог баруун тийш шилжүүлж, шилжүүлэхдээ + ба - тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болохгүй. Бид авах:

Одоо х-ийн олсон утгыг системийн дурын тэгшитгэлд орлуулж, у-ийн утгыг олъё. Манай системд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах нь илүү тохиромжтой y = 3 - x орлуулсны дараа бид y = 2 болно. Одоо хийсэн ажилд дүн шинжилгээ хийцгээе. Нэгдүгээрт, эхний тэгшитгэлд бид у хувьсагчийг х хувьсагчаар илэрхийлсэн. Дараа нь үүссэн илэрхийлэл - 2x + 4-ийг хоёр дахь тэгшитгэлд y хувьсагчийн оронд орлуулсан. Дараа нь бид үүссэн тэгшитгэлийг нэг х хувьсагчаар шийдэж, утгыг нь олов. Эцэст нь бид өөр y хувьсагчийг олохын тулд х-ийн олсон утгыг ашигласан. Эндээс асуулт гарч ирнэ: y хувьсагчийг хоёр тэгшитгэлээс нэг дор илэрхийлэх шаардлагатай байсан уу? Мэдээж үгүй. Бид системийн зөвхөн нэг тэгшитгэлд нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлж, хоёр дахь хувьсагчийн оронд үүнийг ашиглаж болно. Түүнээс гадна та ямар ч тэгшитгэлээс ямар ч хувьсагчийг илэрхийлж болно. Энд сонголт нь зөвхөн дансны тав тухтай байдлаас хамаарна. Математикчид энэ процедурыг хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдвэрлэх алгоритм гэж нэрлэжээ.

1. Системийн тэгшитгэлийн аль нэг хувьсагчийг нөгөөгөөр нь илэрхийл.

2.Үүссэн илэрхийлэлийг системийн өөр тэгшитгэлд харгалзах хувьсагчийн оронд орлуулаарай.

3.Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд.

4. Нэгдүгээр алхамд олж авсан илэрхийлэлд хувьсагчийн олсон утгыг орлуулан өөр хувьсагчийн утгыг ол.

5.Хариултыг гурав, дөрөв дэх алхамд олдсон хос тооны хэлбэрээр бич.

Өөр нэг жишээг харцгаая. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Энд эхний тэгшитгэлээс y хувьсагчийг илэрхийлэх нь илүү тохиромжтой. Бид y = 8 - 2x-ийг авна. Үүссэн илэрхийлэлийг хоёр дахь тэгшитгэлийн y-ээр орлуулах ёстой. Бид авах:

Энэ тэгшитгэлийг тусад нь бичээд шийдье. Эхлээд хаалтуудыг нээцгээе. Бид 3x - 16 + 4x = 5 тэгшитгэлийг авна. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх, баруун талд мэдэгдэж байгаа гишүүдийг цуглуулж, ижил төстэй нөхцлүүдийг танилцуулъя. Бид 7x = 21 тэгшитгэлийг авдаг, тэгэхээр x = 3.

Одоо x-ийн олсон утгыг ашиглан та дараахийг олж болно.

Хариулт: хос тоо (3; 2).

Тиймээс энэ хичээлээр бид эргэлзээтэй график аргуудыг ашиглахгүйгээр хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг аналитик, үнэн зөвөөр шийдэж сурсан.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Мордкович А.Г., Алгебрийн 7-р анги 2 хэсэг, 1-р хэсэг, сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ A.G. Мордкович. – 10 дахь хэвлэл, шинэчилсэн найруулга – Москва, “Мнемосине”, 2007 он.
2. Мордкович А.Г., Алгебрийн 7-р анги 2 хэсэг, 2-р хэсэг, Боловсролын байгууллагуудын асуудлын ном / [А.Г. Мордкович болон бусад]; редакторласан A.G. Мордкович - 10 дахь хэвлэл, шинэчилсэн - Москва, "Мнемосине", 2007.
3. ТЭР. Тулчинская, Алгебр 7-р анги. Блиц судалгаа: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан гарын авлага, 4-р хэвлэл, шинэчлэгдсэн, өргөжүүлсэн, Москва, Мнемосине, 2008 он.
4. Александрова Л.А., Алгебр 7-р анги. Сэдэвчилсэн тестийн ажил шинэ хэлбэрерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан, А.Г. Мордкович, Москва, "Мнемосине", 2011 он.
5. Александрова Л.А. Алгебр 7-р анги. Бие даасан ажилерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан, А.Г. Мордкович - 6-р хэвлэл, хэвшмэл, Москва, "Мнемосине", 2010 он.