Definisi
Fungsi kuasa dengan eksponen p ialah fungsi f (x) = x p, nilai yang pada titik x adalah sama dengan nilai fungsi eksponen dengan asas x pada titik p.
Selain itu, f (0) = 0 p = 0 untuk p > 0 .

Untuk nilai semula jadi eksponen, fungsi kuasa ialah hasil darab n nombor bersamaan dengan x:
.
Ia ditakrifkan untuk semua yang sah.

Untuk nilai rasional positif eksponen, fungsi kuasa ialah hasil darab n punca darjah m bagi nombor x:
.
Untuk m ganjil, ia ditakrifkan untuk semua x nyata. Untuk m genap, fungsi kuasa ditakrifkan untuk fungsi bukan negatif.

Untuk negatif , fungsi kuasa ditentukan oleh formula:
.
Oleh itu, ia tidak ditakrifkan pada titik itu.

Untuk nilai tidak rasional eksponen p, fungsi kuasa ditentukan oleh formula:
,
di mana a ialah nombor positif arbitrari tidak sama dengan satu: .
Bila , ia ditakrifkan untuk .
Apabila , fungsi kuasa ditakrifkan untuk .

Kesinambungan. Fungsi kuasa adalah berterusan dalam domain definisinya.

Sifat dan formula fungsi kuasa untuk x ≥ 0

Di sini kita akan mempertimbangkan sifat fungsi kuasa untuk nilai bukan negatif hujah x. Seperti yang dinyatakan di atas, untuk nilai tertentu eksponen p, fungsi kuasa juga ditakrifkan untuk nilai negatif x. Dalam kes ini, sifatnya boleh didapati daripada sifat , menggunakan genap atau ganjil. Kes-kes ini dibincangkan dan digambarkan secara terperinci pada halaman "".

Fungsi kuasa, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat berikut:
(1.1) ditakrifkan dan berterusan pada set
pada ,
pada ;
(1.2) mempunyai banyak makna
pada ,
pada ;
(1.3) meningkat dengan tegas dengan ,
menurun dengan tegas pada ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Bukti sifat diberikan pada halaman "Fungsi kuasa (bukti kesinambungan dan sifat)"

Akar - definisi, formula, sifat

Definisi
Punca nombor x darjah n ialah nombor yang apabila dinaikkan kepada kuasa n memberikan x:
.
Di sini n = 2, 3, 4, ... - nombor asli lebih daripada satu.

Anda juga boleh mengatakan bahawa punca nombor x darjah n ialah punca (iaitu penyelesaian) persamaan
.
Perhatikan bahawa fungsi tersebut adalah songsang bagi fungsi tersebut.

Punca kuasa dua bagi x ialah punca darjah 2: .

Punca kubus bagi x ialah punca darjah 3: .

Malah ijazah

Untuk kuasa genap n = 2 m, punca ditakrifkan untuk x ≥ 0 . Formula yang sering digunakan adalah sah untuk x positif dan negatif:
.
Untuk punca kuasa dua:
.

Urutan di mana operasi dijalankan adalah penting di sini - iaitu, pertama kuasa dua dilakukan, menghasilkan nombor bukan negatif, dan kemudian punca diambil daripadanya (punca kuasa dua boleh diambil daripada nombor bukan negatif ). Jika kita menukar susunan: , maka untuk x negatif puncanya akan tidak ditentukan, dan dengannya keseluruhan ungkapan akan tidak ditentukan.

Ijazah ganjil

Untuk kuasa ganjil, punca ditakrifkan untuk semua x:
;
.

Sifat dan formula akar

Punca x ialah fungsi kuasa:
.
Apabila x ≥ 0 formula berikut digunakan:
;
;
, ;
.

Formula ini juga boleh digunakan untuk nilai negatif pembolehubah. Anda hanya perlu memastikan bahawa ekspresi radikal kuasa genap tidak negatif.

Nilai peribadi

Punca 0 ialah 0: .
Akar 1 bersamaan dengan 1: .
Punca kuasa dua bagi 0 ialah 0: .
Punca kuasa dua bagi 1 ialah 1: .

Contoh. Akar akar

Mari kita lihat contoh punca kuasa dua punca:
.
Mari kita ubah punca kuasa dua dalam menggunakan formula di atas:
.
Sekarang mari kita ubah akar asal:
.
Jadi,
.

y = x p untuk nilai yang berbeza bagi eksponen p.

Berikut ialah graf fungsi untuk nilai bukan negatif argumen x. Graf fungsi kuasa yang ditakrifkan untuk nilai negatif x diberikan pada halaman "Fungsi kuasa, sifat dan grafnya"

Fungsi songsang

Songsangan bagi fungsi kuasa dengan eksponen p ialah fungsi kuasa dengan eksponen 1/p.

Jika, maka.

Terbitan fungsi kuasa

Terbitan urutan ke-n:
;

Rumus terbitan > > >

Integral bagi fungsi kuasa

P ≠ - 1 ;
.

Pengembangan siri kuasa

Pada - 1 < x < 1 penguraian berikut berlaku:

Ungkapan menggunakan nombor kompleks

Pertimbangkan fungsi pembolehubah kompleks z:
f (z) = z t.
Mari kita nyatakan pembolehubah kompleks z dalam sebutan modulus r dan hujah φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kami mewakili nombor kompleks t dalam bentuk bahagian nyata dan khayalan:
t = p + i q .
Kami ada:

Seterusnya, kami mengambil kira bahawa hujah φ tidak ditakrifkan secara unik:
,

Mari kita pertimbangkan kes apabila q = 0 , iaitu eksponen ialah nombor nyata, t = p. Kemudian
.

Jika p ialah integer, maka kp ialah integer. Kemudian, disebabkan oleh keberkalaan fungsi trigonometri:
.
Iaitu, fungsi eksponen dengan eksponen integer, untuk z tertentu, hanya mempunyai satu nilai dan oleh itu tidak jelas.

Jika p tidak rasional, maka hasil kp bagi sebarang k tidak menghasilkan integer. Memandangkan k melalui siri nilai tak terhingga k = 0, 1, 2, 3, ..., maka fungsi z p mempunyai banyak nilai yang tidak terhingga. Setiap kali hujah z dinaikkan 2π(satu pusingan), kita beralih ke cawangan baru fungsi.

Jika p adalah rasional, maka ia boleh diwakili sebagai:
, Di mana m, n- integer yang tidak mengandungi pembahagi sepunya. Kemudian
.
Nilai n pertama, dengan k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, berikan n nilai kp yang berbeza:
.
Walau bagaimanapun, nilai seterusnya memberikan nilai yang berbeza daripada yang sebelumnya dengan integer. Contohnya, apabila k = k 0+n kami ada:
.
Fungsi trigonometri yang hujahnya berbeza dengan gandaan 2π, mempunyai nilai yang sama. Oleh itu, dengan peningkatan selanjutnya dalam k, kita memperoleh nilai z p yang sama seperti untuk k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Oleh itu, fungsi eksponen dengan eksponen rasional adalah berbilang nilai dan mempunyai n nilai (cawangan). Setiap kali hujah z dinaikkan 2π(satu pusingan), kita beralih ke cawangan baru fungsi. Selepas revolusi sebegitu, kami kembali ke cawangan pertama dari mana kira detik bermula.

Khususnya, punca darjah n mempunyai nilai n. Sebagai contoh, pertimbangkan punca ke-n bagi nombor positif nyata z = x. Dalam kes ini φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Jadi, untuk punca kuasa dua, n = 2 ,
.
Untuk k genap, (- 1 ) k = 1. Untuk k ganjil, (- 1 ) k = - 1.
Iaitu, punca kuasa dua mempunyai dua makna: + dan -.

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.

Contoh:

\(\sqrt(16)=2\), sejak \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , sejak \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Bagaimana untuk mengira akar ke-n?

Untuk mengira punca kuasa \(n\)th, anda perlu bertanya kepada diri sendiri soalan: apakah nombor kepada kuasa \(n\)th akan diberikan di bawah punca?

Sebagai contoh. Hitung \(n\) punca ke: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0.00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) Apakah nombor kepada kuasa \(4\) yang akan memberi \(16\)? Jelas sekali, \(2\). Itulah sebabnya:

b) Apakah nombor kepada kuasa \(3\)th akan memberikan \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Apakah nombor kepada kuasa \(5\)th akan memberikan \(0.00001\)?

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

d) Apakah nombor kepada kuasa \(3\)th akan memberi \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) Apakah nombor kepada kuasa \(4\)th akan memberikan \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Kami melihat contoh paling mudah dengan akar \(n\)th. Untuk menyelesaikan masalah yang lebih kompleks dengan akar darjah \(n\)th, adalah penting untuk mengetahuinya.

Contoh. Kira:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		Pada masa ini, tiada satu pun akar boleh dikira. Oleh itu, kami menggunakan sifat punca darjah \(n\) dan mengubah ungkapan. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) kerana \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Mari kita susun semula faktor dalam sebutan pertama supaya punca kuasa dua dan punca kuasa \(n\)th bersebelahan antara satu sama lain. Ini akan memudahkan untuk menggunakan hartanah kerana Kebanyakan sifat akar \(n\)th hanya berfungsi dengan akar pada darjah yang sama. Dan mari kita mengira punca ke-5.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		Gunakan sifat \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) dan kembangkan kurungan
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		Kira \(\sqrt(81)\) dan \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\)

Adakah punca ke-n dan punca kuasa dua berkaitan?

Walau apa pun, mana-mana akar dari mana-mana darjah hanyalah nombor, walaupun ditulis dalam bentuk yang tidak anda kenali.

ketunggalan akar ke-n

Punca darjah \(n\)th dengan ganjil \(n\) boleh diekstrak daripada sebarang nombor, malah negatif (lihat contoh pada permulaan). Tetapi jika \(n\) genap (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), maka akar sedemikian diekstrak hanya jika \( a ≥ 0\) (by the way, perkara yang sama berlaku untuk punca kuasa dua). Ini disebabkan fakta bahawa mengekstrak akar adalah bertentangan dengan menaikkan kepada kuasa.

Dan menaikkan kepada kuasa genap menjadikan nombor negatif genap positif. Sesungguhnya, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Oleh itu, kita tidak boleh mendapatkan kuasa genap bagi nombor negatif di bawah punca. Ini bermakna kita tidak boleh mengeluarkan akar sedemikian daripada nombor negatif.

Kuasa ganjil tidak mempunyai sekatan sedemikian - nombor negatif yang dinaikkan kepada kuasa ganjil akan kekal negatif: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\). Oleh itu, di bawah punca kuasa ganjil anda boleh mendapatkan nombor negatif. Ini bermakna ia juga mungkin untuk mengekstraknya daripada nombor negatif.

Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Sifat punca ke-n. Teorem"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 11
Manual interaktif untuk gred 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk gred 10–11 "Logaritma"

Sifat-sifat akar ke-n. Teorem

Kawan-kawan, kita teruskan mengkaji punca ke-n bagi nombor nyata. Seperti hampir semua objek matematik, akar darjah ke-n mempunyai sifat tertentu, hari ini kita akan mengkajinya.
Semua sifat yang akan kami pertimbangkan dirumus dan dibuktikan hanya untuk nilai bukan negatif pembolehubah yang terkandung di bawah tanda akar.
Dalam kes eksponen punca ganjil, ia juga dilakukan untuk pembolehubah negatif.

Teorem 1. Punca ke-n hasil darab dua nombor bukan negatif adalah sama dengan hasil darab punca ke-n nombor ini: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$ .

Mari kita buktikan teorem.
Bukti. Kawan-kawan, untuk membuktikan teorem, mari kita perkenalkan pembolehubah baru, nyatakan mereka:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Kita perlu membuktikan bahawa $x=y*z$.
Ambil perhatian bahawa identiti berikut juga dipegang:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Kemudian identiti berikut dipegang: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Kuasa dua nombor bukan negatif dan eksponennya adalah sama, maka asas kuasa itu sendiri adalah sama. Ini bermakna $x=y*z$, iaitu perkara yang perlu dibuktikan.

Teorem 2. Jika $a≥0$, $b>0$ dan n ialah nombor asli yang lebih besar daripada 1, maka kesamaan berikut berlaku: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Iaitu, punca ke-n bagi hasil bagi adalah sama dengan hasil bagi punca ke-.

Bukti.
Untuk membuktikannya, kami akan menggunakan gambar rajah yang dipermudahkan dalam bentuk jadual:

Contoh pengiraan punca ke-n

Contoh.
Kira: $\sqrt(16*81*256)$.
Penyelesaian. Mari kita gunakan Teorem 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Contoh.
Kira: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Penyelesaian. Mari kita bayangkan ungkapan radikal sebagai pecahan tidak wajar: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Mari kita gunakan Teorem 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Contoh.
Kira:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Penyelesaian:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorem 3. Jika $a≥0$, k dan n ialah nombor asli yang lebih besar daripada 1, maka kesamaan itu ialah: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Untuk menaikkan akar kepada kuasa semula jadi, sudah cukup untuk menaikkan ungkapan radikal kepada kuasa ini.

Bukti.
Mari lihat kes khas untuk $k=3$. Mari gunakan Teorem 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Perkara yang sama boleh dibuktikan untuk mana-mana kes lain. Lelaki, buktikan sendiri untuk kes apabila $k=4$ dan $k=6$.

Teorem 4. Jika $a≥0$ b n,k ialah nombor asli yang lebih besar daripada 1, maka kesamaan itu ialah: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Untuk mengekstrak akar dari akar, cukup untuk mendarabkan penunjuk akar.

Bukti.
Mari kita buktikan secara ringkas sekali lagi menggunakan jadual. Untuk membuktikannya, kami akan menggunakan gambar rajah yang dipermudahkan dalam bentuk jadual:

Contoh.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorem 5. Jika eksponen bagi akar dan ungkapan radikal didarab dengan nombor asli yang sama, maka nilai punca tidak akan berubah: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Bukti.
Prinsip membuktikan teorem kami adalah sama seperti dalam contoh lain. Mari perkenalkan pembolehubah baharu:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (mengikut takrifan).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (mengikut takrifan).
Marilah kita tingkatkan kesaksamaan terakhir kepada kuasa p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
mendapat:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Iaitu, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, itulah yang perlu dibuktikan.

Contoh:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (membahagikan penunjuk dengan 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (membahagikan penunjuk dengan 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (penunjuk didarab dengan 3).

Contoh.
Lakukan tindakan: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Penyelesaian.
Eksponen punca adalah nombor yang berbeza, jadi kita tidak boleh menggunakan Teorem 1, tetapi dengan menggunakan Teorem 5, kita boleh mendapatkan eksponen yang sama.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (penunjuk didarab dengan 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (penunjuk didarab dengan 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

1. Kira: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Kira: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Kira:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Permudahkan:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Lakukan tindakan: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Sitbatalova Alma Kaparovna

guru matematik

Lyceum No. 15

Astana

"Berdebat, tersilap, buat kesilapan, tetapi, demi Tuhan, fikirlah, dan, walaupun bengkok, lakukan sendiri."

G. Kurang.

Untuk membangunkan keupayaan pelajar untuk bekerja dengan maklumat, ajar mereka berfikir secara bebas, dan dapat bekerja dalam satu pasukan, pelbagai teknologi pedagogi boleh digunakan. Penulis memberi keutamaan kepada bentuk kerja kumpulan.

Darjah 11

Topik pelajaran: Akar ke-n dan sifat-sifatnya.

Tujuan pelajaran:

Pembentukan pelajar pemahaman holistik tentang akar umbin -ijazah ke-, kemahiran penggunaan secara sedar dan rasional sifat-sifat akar apabila menyelesaikan pelbagai masalah;memahami prinsip memudahkan ungkapan yang mengandungi radikal. Semak tahap kefahaman pelajar terhadap soalan topik.

Objektif pelajaran:

1. Kemas kini pengetahuan dan kemahiran yang diperlukan.Berikan konsep puncandarjah ke-, pertimbangkan sifatnya.

2. Atur aktiviti mental pelajar untuk menyelesaikan masalah (bina komunikasi yang diperlukan).Menggalakkan pembangunan algoritma, pemikiran kreatif, membangunkan kemahiran kawalan diri. Untuk menggalakkan perkembangan minat dalam subjek dan aktiviti.

3. Memupuk rasa hormat terhadap pendapat orang lain dan kerja orang lain melalui analisis dan pengagihan cara aktiviti baharu,keupayaan untuk bekerja dalam satu pasukan, menyatakan pendapat sendiri, memberi cadangan.

peralatan:

Komputer, projektor dan skrin untuk menunjukkan persembahan; kad tugas untuk kerja kumpulan; kad dengan jadual untuk menilai tugasan jenis aktiviti baharu; helaian berkembar kosong untuk pelajar membuat kerja bebas pelbagai peringkat; kad dengan tugasan pelbagai peringkat.

Jenis pelajaran:

Gabungan (sistematisasi dan generalisasi, asimilasi pengetahuan baharu, pengujian dan penilaian pengetahuan).

Bentuk organisasi aktiviti pendidikan :

Individu, polilog, dialog, bekerja dengan teks slaid, buku teks.

Kaedah :

Visual, lisan, grafik, simbolik bersyarat, penyelidikan.

Motivasi aktiviti kognitif pelajar:

Beritahu pelajar bahawamengkaji sifat-sifat akarnIjazah ke- adalah generalisasi sifat-sifat ijazah yang telah diketahui oleh pelajar.

Pelan pembelajaran:

Organisasi dan motivasi ( salam guru , penerimaan topik, matlamat pelajaran , kemasukan dalam kerja ).

Mengemas kini pengetahuan (sistematisasi dan generalisasi, asimilasi pengetahuan baru).

Aplikasi apa yang telah dipelajari ( mewujudkan ketepatan dan kesedaran menguasai bahan pendidikan baharu; mengenal pasti jurang dan salah tanggapan dan membetulkannya).

Kawalan dan kawalan diri (Semakan pengetahuan).

Refleksi (Menggerakkan pelajar untuk merenung tingkah laku mereka (motivasi, kaedah aktiviti, komunikasi).

Merumuskan (Berikan analisis dan penilaian tentang kejayaan mencapai matlamat dan gariskan prospek untuk kerja selanjutnya).

Kerja rumah (Memastikan kefahaman tentang tujuan, kandungan dan kaedah menyiapkan kerja rumah).

Semasa kelas:

Organisasi dan motivasi ( salam guru , penerimaan topik, matlamat pelajaran, penyertaan dalam kerja, 1-2 min ). Salam pelajar, topik mesej "Rootn– darjah ke- dan sifat-sifatnya”, komunikasi tujuan dan kaedah aktiviti.

Mengemas kini pengetahuan (sistematisasi dan generalisasi, asimilasi pengetahuan baharu, 15 min).

Pengulangan pengetahuan asas (sistematisasi dan generalisasi):

Kelas dibahagikan kepada tiga kumpulan.

Aktiviti guru: bertanya soalan:

Takrif punca kuasa dua aritmetik.

Sifat punca kuasa dua aritmetik.

Sifat ijazah dengan eksponen semula jadi.

Tulis sifat pada helaian,

,

Jawab soalan,

Selesaikan tugasan.

Asimilasi pengetahuan baru:

Aktiviti guru: Konsep baru diperkenalkan:

DEFINISI. akarn ijazah ke- dari kalangana nombor ini dipanggiln darjah ke- yang sama dengana .

DEFINISI. Akar aritmetikn ijazah ke- dari kalanganA hubungi nombor bukan negatifn darjah ke- yang sama dengana .

Sifat asas akar aritmetikn -ijazah ke-.

Apabila genapn terdapat dua akarn kuasa ke- mana-mana nombor positifa , akarn Kuasa ke nombor 0 adalah sama dengan kemudi; punca kuasa genap nombor negatif tidak wujud. Untuk ganjilnada akarn -noy daripada sebarang nombora dan hanya satu ketika itu.

Untuk sebarang nombor persamaan berikut dipegang:

1) ; 3) ;

2) 4) ;

5) ; 6) .

Contoh tugasan diberikan pada slaid:

Aktiviti murid dalam kumpulan:

Tulis sifat pada helaian sendiri,

Semak slaid untuk ketepatan,

Jawab soalan,

Selesaikan tugasan.

Aplikasi apa yang telah dipelajari ( mewujudkan ketepatan dan kesedaran menguasai bahan pendidikan baharu; mengenal pasti jurang dan salah tanggapan dan membetulkannya, 15 min).

Aktiviti guru: Memberi ulasan mengenai tindakan selanjutnya:

Bekerja dalam kumpulan mengikut peringkat,

Di hadapan setiap kumpulan terdapat sekeping kertas dengan tugasan yang sama, tetapi dengan keadaan yang berbeza (pada slaid "Permudahkan ungkapan"):

- Peringkat 1 "Penjanaan idea".

1 pentas:

Masukkan nombor 1.

Tulis susunan tindakan yang dijangkakan yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas.

Menguruskan aktiviti kumpulan (untuk memastikan semua pelajar terlibat dalam kerja).

- Peringkat 2 "Analisis idea".

Membiasakan diri dengan arahan aktiviti pada slaid:

Pentas:

Masukkan nombor 2.

Selesaikan tugas menggunakan algoritma yang dicadangkan, perbaikinya jika perlu.

Lukis dan tulis satu kesimpulan tentang sama ada tugas itu boleh diselesaikan menggunakan algoritma yang dicadangkan.

Pengurusan aktiviti kumpulan.

- Peringkat 3 "Peperiksaan".

:

Pentas:

Masukkan nombor 3.

Semak ketepatan tugas mengikut algoritma.

Lukis dan tuliskan kesimpulan sama ada mungkin untuk mencipta algoritma yang diperlukan, dan selesaikan tugas dengan betul.

- Peringkat 4 "Pembentangan keputusan".

Membiasakan diri dengan arahan aktiviti pada slaid:

Pentas:

Menilai aktiviti semua kumpulan pada setiap peringkat.

Pilih secara individu peringkat di mana ia lebih mudah untuk bekerja dan peringkat di mana kesukaran timbul.

Aktiviti murid dalam kumpulan:

pada peringkat 1:menganalisis tugasan, melakukan tindakan yang perlu,

pada peringkat 2:menganalisis algoritma yang dicadangkan oleh kumpulan lain, dimembuat pelarasan mengikut keperluan,menyelesaikan tugasan,

pada peringkat 3: menganalisis kerjakumpulan terdahulu, buat kesimpulan,

pada peringkat 4:menganalisis kesimpulan yang dibuat, semak ketepatan penyelesaian dengan jawapan pada slaid, mengisi kad dengan jadual, memilih peranan di mana mereka lebih berjaya.

Satu minit kesihatan (gimnastik untuk mata).

Kawalan dan kawalan diri (Ujian pengetahuan, 7 min.)

Aktiviti guru: Memberi arahan untuk melakukan kerja bebas:

Semua pelajar menyelesaikan tugasan tahap 1 (pada "3") tugasan pada kad pada slaid:

Kerja bebas. Penilaian "3".

saya pilihan.

A)

b)

2). Bandingkan nombor:

II pilihan.

1). Cari nilai ungkapan berangka:

A)

b)

2). Bandingkan nombor:

:

Kerja bebas. Penilaian "3".

Jawapan :

saya pilihan

1). a) 11

b) 15

2). <

II pilihan

1). a) 7

b) 15

2. >

3. Siapakah yang menyelesaikan tugasan tahap 1?

4. Pelajar yang telah mengatasi tahap 1 bergerak ke tahap 2 tugasan (pada "4"), mereka yang tidak mengatasinya kekal pada tahap 1 tugasan pada slaid, pada kad:

Kerja bebas.

Penilaian "3".

1). Cari nilai ungkapan berangka:

A)

b)

2). Bandingkan nombor:

Penilaian "4".

1). Selesaikan persamaan:

A)

b)

2). Permudahkan ungkapan:

Uji kendiri berdasarkan jawapan pada slaid:

Kerja bebas.

Jawapan :

Penilaian "3".

1). a) 13

b) 6

2). <

Penilaian "4".

1). A)

b)

2). 2a

6. Siapa yang berpindah ke tingkatan 3?

Siapa yang kekal di tahap 2?

Siapa yang berpindah ke tingkatan 2?

Siapa yang kekal di tahap 1?

7. Pelajar yang menerima “4” menyelesaikan tugasan tahap 3 (pada “5”).

Pelajar yang tidak menerima "4" dan telah menyelesaikan Tahap 1 menyelesaikan tugasan Tahap 2.

Pelajar yang tidak menerima "3" menyelesaikan tugasan tahap 1 pada kad pada slaid:

Kerja bebas.

Penilaian "4".

Penilaian "5".

Penilaian "4"?

Penilaian "3"?

10. Siapa yang gagal dalam tugasan tahap 1?

Aktiviti murid dalam kumpulan:

Selesaikan tugasan.

Lakukan ujian kendiri, memberi markah "3" jika semua tugasan selesai.

Bentangkan hasilnya.

Selesaikan tugasan.

Lakukan ujian kendiri: letakkan "3" jika semua tugasan tahap 1 selesai; letakkan "4" jika 2 daripada 3 tugasan tahap 2 selesai.

Bentangkan hasilnya.

Selesaikan tugasan.

Lakukan ujian kendiri: letakkan "3" jika semua tugasan tahap 1 selesai; letakkan "4" jika 2 tugasan tahap 2 selesai; berikan penarafan "5" jika sekurang-kurangnya 1 daripada 2 tugasan selesai.

Bentangkan hasilnya.

Refleksi (Menggerakkan pelajar untuk merenung tingkah laku mereka (motivasi, kaedah aktiviti, komunikasi, 3 min).

Aktiviti guru: Memberi ulasan tentang menulis "Cinquain", arahan pada slaid:

wain tenggelam.

Baris 1 – topik atau subjek dinyatakan (satu kata nama);

Baris 2 – perihalan subjek (dua kata sifat atau participles);

Baris 3 – mencirikan tindakan subjek (tiga kata kerja);

Baris 4 - ungkapan sikap pengarang terhadap subjek (empat perkataan);

Baris 5 – sinonim yang menyamaratakan atau memperluaskan maksud subjek (satu perkataan).

Aktiviti murid dalam kumpulan:

Berkenalan dengan algoritma untuk menulis Sinkwine,

Mereka menulis Cinquain pada helaian kerja bebas,

Sinkwine dibacakan jika dikehendaki,

Serahkan helaian untuk pengesahan.

Merumuskan (Berikan analisis dan penilaian tentang kejayaan mencapai matlamat dan gariskan prospek untuk kerja seterusnya, 1-2 min).

Aktiviti guru: Analisis penilaian prestasi pada peringkat pelajaran yang berbeza: Mengapa lebih mudah (lebih sukar) untuk anda dalam satu peranan atau yang lain? Hasil kerja setiap pelajar dinilai.

Aktiviti murid dalam kumpulan: jawab soalan itu.

Kerja rumah (Memastikan pemahaman tentang tujuan, kandungan dan kaedah menyiapkan kerja rumah, 1-2 min).

Aktiviti guru: Memberi arahan untuk membuat kerja rumah:(A. Abylkasimova, matematik semula jadi. cth.)
§ 5, No. 83 (2; 4), No. 84 (2; 3), No. 86, 87 (3; 4), No. 89.

‹ ›

Untuk memuat turun bahan, masukkan E-mel anda, nyatakan siapa anda, dan klik butang

Objektif pelajaran:

Pendidikan: mewujudkan keadaan untuk pembentukan dalam pelajar idea holistik akar ke-n, kemahiran penggunaan sedar dan rasional sifat-sifat akar apabila menyelesaikan pelbagai masalah.

Perkembangan: mewujudkan keadaan untuk pembangunan algoritma, pemikiran kreatif, membangunkan kemahiran kawalan diri.

Pendidikan: menggalakkan perkembangan minat dalam subjek, aktiviti, memupuk ketepatan dalam kerja, keupayaan untuk menyatakan pendapat sendiri, dan memberi cadangan.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

Selamat petang Jam yang baik!

Saya sangat gembira melihat anda.

Loceng sudah pun berbunyi

Pelajaran bermula.

Kami tersenyum. Kami mengejar.

Kami berpandangan antara satu sama lain

Dan mereka duduk dengan senyap bersama.

2. Motivasi pelajaran.

Ahli falsafah dan saintis Perancis yang terkenal Blaise Pascal berhujah: "Kehebatan seseorang terletak pada keupayaannya untuk berfikir." Hari ini kita akan cuba berasa seperti orang yang hebat dengan mencari ilmu sendiri. Moto untuk pelajaran hari ini adalah kata-kata ahli matematik Yunani kuno Thales:

Apa yang lebih daripada segala-galanya di dunia? - Angkasa.

Apa yang paling cepat? - Fikiran.

Apakah perkara yang paling bijak? - Masa.

Apa bahagian yang terbaik? - Mencapai apa yang anda mahu.

Saya ingin setiap daripada anda mencapai hasil yang diingini dalam pelajaran hari ini.

3. Mengemas kini pengetahuan.

1. Namakan operasi algebra salingan pada nombor. (Tambahan dan penolakan, pendaraban dan pembahagian)

2. Adakah selalu boleh melakukan operasi algebra seperti bahagi? (Tidak, anda tidak boleh membahagi dengan sifar)

3. Apakah operasi lain yang boleh anda lakukan dengan nombor? (Eksponensiasi)

4. Apakah pembedahan yang akan menjadi kebalikannya? (Cabutan akar)

5. Apakah tahap akar yang boleh anda ekstrak? (Akar kedua)

6. Apakah sifat punca kuasa dua yang anda tahu? (Mengekstrak punca kuasa dua produk, daripada hasil bagi, daripada punca, menaikkan kepada kuasa)

7. Cari maksud ungkapan:

Dari sejarah. Seawal 4,000 tahun yang lalu, saintis Babylon telah menyusun, bersama dengan jadual pendaraban dan jadual timbal balik (dengan bantuan pembahagian nombor dikurangkan kepada pendaraban), jadual kuasa dua nombor dan punca kuasa dua nombor. Pada masa yang sama, mereka dapat mencari nilai anggaran punca kuasa dua sebarang integer.

4. Mempelajari bahan baharu.

Jelas sekali, selaras dengan sifat asas kuasa dengan eksponen semula jadi, dari mana-mana nombor positif terdapat dua nilai berlawanan punca kuasa genap, contohnya, nombor 4 dan -4 adalah punca kuasa dua 16, kerana ( -4) 2 = 42 = 16, dan nombor 3 dan -3 ialah punca keempat bagi 81, kerana (-3)4 = 34 = 81.

Juga, tiada punca genap bagi nombor negatif kerana kuasa genap mana-mana nombor nyata adalah bukan negatif. Bagi punca darjah ganjil, untuk sebarang nombor nyata hanya terdapat satu punca darjah ganjil daripada nombor ini. Sebagai contoh, 3 ialah punca ketiga bagi 27, kerana 33 = 27, dan -2 ialah punca kelima bagi -32, kerana (-2)5 = 32.

Disebabkan kewujudan dua punca darjah genap daripada nombor positif, kami memperkenalkan konsep punca aritmetik untuk menghapuskan kekaburan punca ini.

Nilai bukan negatif bagi punca ke-n bagi nombor bukan negatif dipanggil punca aritmetik.

Jawatan: - akar darjah ke-n.

Nombor n dipanggil kuasa punca aritmetik. Jika n = 2, maka darjah akar tidak ditunjukkan dan ditulis. Punca darjah kedua biasanya dipanggil punca kuasa dua, dan punca darjah ketiga dipanggil punca padu.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - genap a ≥ 0, b ≥ 0

n - ganjil a, b - mana-mana

Hartanah

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - nombor asli

5. Penyatuan bahan baharu.

Kerja lisan

a) Ungkapan manakah yang masuk akal?

b) Untuk apakah nilai pembolehubah a apakah ungkapan itu masuk akal?

Selesaikan No. 3, 4, 7, 9, 11.

6. Minit pendidikan jasmani.

Kesederhanaan diperlukan dalam semua perkara,

Biarkan ia menjadi peraturan utama.

Lakukan gimnastik, kerana anda telah berfikir untuk masa yang lama,

Gimnastik tidak meletihkan badan,

Tetapi ia membersihkan badan sepenuhnya!

Pejam mata, rilekskan badan,

Bayangkan - anda adalah burung, anda tiba-tiba terbang!

Sekarang anda berenang di lautan seperti ikan lumba-lumba,

Sekarang anda sedang memetik epal masak di taman.

Kiri, kanan, melihat sekeliling,

Buka mata anda dan kembali berniaga!

7. Kerja bebas.

Bekerja secara berpasangan dengan. 178 No. 1, No. 2.

8. D/z. Pelajari item 10 (ms 160-161), selesaikan No. 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

9. Ringkasan pelajaran. Refleksi aktiviti.

Adakah pelajaran itu mencapai matlamatnya?

Apa yang telah anda pelajari?