Sifat logaritma dan eksponen. Logaritma asli dan nombor e. Ungkapan dari segi nombor kompleks

Tidak buruk sama sekali, bukan? Semasa ahli matematik mencari perkataan untuk memberi anda definisi yang panjang dan mengelirukan, mari kita lihat dengan lebih dekat pada yang mudah dan jelas ini.

Nombor e bermaksud pertumbuhan

Nombor e bermaksud pertumbuhan berterusan. Seperti yang kita lihat dalam contoh sebelumnya, e x membolehkan kita menghubungkan minat dan masa: 3 tahun pada pertumbuhan 100% adalah sama dengan 1 tahun pada 300%, dengan mengandaikan "faedah kompaun".

Anda boleh menggantikan mana-mana peratusan dan nilai masa (50% selama 4 tahun), tetapi lebih baik untuk menetapkan peratusan sebagai 100% untuk kemudahan (ternyata 100% selama 2 tahun). Dengan beralih kepada 100%, kita boleh memberi tumpuan semata-mata pada komponen masa:

e x = e peratus * masa = e 1.0 * masa = e masa

Jelas sekali e x bermaksud:

berapakah sumbangan saya akan berkembang selepas x unit masa (dengan andaian 100% pertumbuhan berterusan).
sebagai contoh, selepas 3 selang masa saya akan menerima e 3 = 20.08 kali lebih banyak "benda".

e x ialah faktor penskalaan yang menunjukkan tahap apa yang akan kita kembangkan dalam amaun masa x.

Logaritma semula jadi bermaksud masa

Logaritma semula jadi ialah songsangan bagi e, istilah mewah untuk berlawanan. Bercakap tentang kebiasaan; dalam bahasa Latin ia dipanggil logaritmus naturali, oleh itu singkatan ln.

Dan apakah maksud penyongsangan atau sebaliknya ini?

e x membolehkan kita menggantikan masa dan mendapatkan pertumbuhan.
ln(x) membolehkan kita mengambil pertumbuhan atau pendapatan dan mengetahui masa yang diperlukan untuk menjananya.

Sebagai contoh:

e 3 sama dengan 20.08. Selepas tiga tempoh masa, kami akan mendapat 20.08 kali lebih banyak daripada yang kami mulakan.
ln(08/20) akan menjadi lebih kurang 3. Jika anda berminat untuk pertumbuhan sebanyak 20.08 kali, anda memerlukan 3 tempoh masa (sekali lagi, dengan mengandaikan 100% pertumbuhan berterusan).

Masih membaca? Logaritma asli menunjukkan masa yang diperlukan untuk mencapai tahap yang dikehendaki.

Pengiraan logaritma bukan piawai ini

Adakah anda telah melalui logaritma - mereka adalah makhluk aneh. Bagaimanakah mereka berjaya menukar pendaraban kepada penambahan? Bagaimana pula dengan pembahagian kepada penolakan? Jom tengok.

Apakah ln(1) bersamaan dengan? Secara intuitif, persoalannya ialah: berapa lama saya perlu menunggu untuk mendapat 1x lebih banyak daripada apa yang saya ada?

Sifar. Sifar. Tidak sama sekali. Anda sudah memilikinya sekali. Ia tidak mengambil banyak masa untuk pergi dari tahap 1 ke tahap 1.

log(1) = 0

Okay, bagaimana dengan nilai pecahan? Berapa lamakah masa yang diperlukan untuk kita mempunyai 1/2 daripada kuantiti yang ada? Kita tahu bahawa dengan pertumbuhan berterusan 100%, ln(2) bermakna masa yang diperlukan untuk menggandakan. Jika kita mari kita putarkan masa(iaitu, tunggu masa yang negatif), maka kita akan mendapat separuh daripada apa yang kita ada.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Logik kan? Jika kita kembali (masa kembali) kepada 0.693 saat, kita akan mendapati separuh daripada jumlah yang ada. Secara umum, anda boleh membalikkan pecahan dan mengambil nilai negatif: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Ini bermakna jika kita kembali ke masa kepada 1.09 kali, kita hanya akan menemui satu pertiga daripada nombor semasa.

Okay, bagaimana pula dengan logaritma nombor negatif? Berapa lama masa yang diperlukan untuk "menumbuhkan" koloni bakteria dari 1 hingga -3?

Ini adalah mustahil! Anda tidak boleh mendapat kiraan bakteria negatif, bukan? Anda boleh mendapatkan maksimum (er...minimum) sifar, tetapi tidak mungkin anda boleh mendapatkan nombor negatif daripada makhluk kecil ini. Kiraan bakteria negatif tidak masuk akal.

ln(nombor negatif) = tidak ditentukan

"Tidak ditentukan" bermakna tiada amaun masa yang perlu menunggu untuk mendapatkan nilai negatif.

Pendaraban logaritma adalah kelakar

Berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang empat kali ganda? Sudah tentu, anda hanya boleh mengambil ln(4). Tetapi ini terlalu mudah, kita akan pergi ke arah lain.

Anda boleh menganggap pertumbuhan empat kali ganda sebagai menggandakan (memerlukan ln(2) unit masa) dan kemudian menggandakan lagi (memerlukan satu lagi ln(2) unit masa):

Masa untuk berkembang 4 kali = ln(4) = Masa untuk menggandakan dan kemudian menggandakan lagi = ln(2) + ln(2)

Menarik. Sebarang kadar pertumbuhan, katakan 20, boleh dianggap sebagai dua kali ganda selepas peningkatan 10x. Atau pertumbuhan 4 kali, dan kemudian 5 kali. Atau tiga kali ganda dan kemudian meningkat sebanyak 6.666 kali. Nampak corak?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritma A darab B ialah log(A) + log(B). Hubungan ini segera masuk akal apabila dilihat dari segi pertumbuhan.

Jika anda berminat dengan pertumbuhan 30x, anda boleh menunggu ln(30) dalam satu sesi, atau tunggu ln(3) untuk tiga kali ganda, dan kemudian ln(10) lagi untuk 10x. Hasil akhirnya adalah sama, jadi sudah tentu masa mesti kekal malar (dan ia berlaku).

Bagaimana dengan perpecahan? Secara khusus, ln(5/3) bermaksud: berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang 5 kali ganda dan kemudian mendapat 1/3 daripada itu?

Hebat, pertumbuhan sebanyak 5 kali ialah ln(5). Peningkatan sebanyak 1/3 kali akan mengambil -ln(3) unit masa. Jadi,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ini bermakna: biarkan ia berkembang 5 kali ganda, dan kemudian "kembali ke masa" ke tahap di mana hanya satu pertiga daripada jumlah itu kekal, jadi anda mendapat 5/3 pertumbuhan. Secara umum ternyata

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Saya berharap bahawa aritmetik pelik logaritma mula masuk akal kepada anda: mendarab kadar pertumbuhan menjadi menambah unit masa pertumbuhan, dan membahagi menjadi menolak unit masa. Tidak perlu menghafal peraturan, cuba memahaminya.

Menggunakan logaritma semula jadi untuk pertumbuhan sewenang-wenangnya

Sudah tentu," anda berkata, "ini semua bagus jika pertumbuhan adalah 100%, tetapi bagaimana dengan 5% yang saya terima?"

Tiada masalah. "Masa" yang kita kira dengan ln() sebenarnya adalah gabungan kadar faedah dan masa, X yang sama daripada persamaan e x. Kami baru sahaja memutuskan untuk menetapkan peratusan kepada 100% untuk kesederhanaan, tetapi kami bebas menggunakan sebarang nombor.

Katakan kita mahu mencapai pertumbuhan 30x: ambil ln(30) dan dapatkan 3.4 Ini bermakna:

e x = tinggi
e 3.4 = 30

Jelas sekali, persamaan ini bermaksud "pulangan 100% dalam tempoh 3.4 tahun memberikan pertumbuhan 30x ganda." Kita boleh menulis persamaan ini seperti berikut:

e x = e kadar*masa
e 100% * 3.4 tahun = 30

Kita boleh menukar nilai "pertaruhan" dan "masa", selagi pertaruhan * masa kekal 3.4. Sebagai contoh, jika kita berminat dengan pertumbuhan 30x, berapa lama kita perlu menunggu pada kadar faedah 5%?

ln(30) = 3.4
kadar * masa = 3.4
0.05 * masa = 3.4
masa = 3.4 / 0.05 = 68 tahun

Saya beralasan seperti ini: "ln(30) = 3.4, jadi pada pertumbuhan 100% ia akan mengambil masa 3.4 tahun. Jika saya menggandakan kadar pertumbuhan, masa yang diperlukan akan dikurangkan separuh."

100% selama 3.4 tahun = 1.0 * 3.4 = 3.4
200% dalam 1.7 tahun = 2.0 * 1.7 = 3.4
50% untuk 6.8 tahun = 0.5 * 6.8 = 3.4
5% melebihi 68 tahun = .05 * 68 = 3.4.

Hebat kan? Logaritma semula jadi boleh digunakan dengan sebarang kadar faedah dan masa kerana produk mereka kekal malar. Anda boleh memindahkan nilai pembolehubah seberapa banyak yang anda suka.

Contoh hebat: Peraturan tujuh puluh dua

Peraturan Tujuh Puluh Dua ialah teknik matematik yang membolehkan anda menganggarkan berapa lama masa yang diambil untuk wang anda berganda. Sekarang kita akan menyimpulkannya (ya!), Dan lebih-lebih lagi, kita akan cuba memahami intipatinya.

Berapa lama masa yang diambil untuk menggandakan wang anda pada 100% faedah yang dikompaun setiap tahun?

Aduh. Kami menggunakan logaritma semula jadi untuk kes pertumbuhan berterusan, dan kini anda bercakap tentang pengkompaunan tahunan? Bukankah formula ini akan menjadi tidak sesuai untuk kes sedemikian? Ya, ia akan berlaku, tetapi untuk kadar faedah sebenar seperti 5%, 6% atau bahkan 15%, perbezaan antara pengkompaunan tahunan dan pertumbuhan berterusan adalah kecil. Jadi anggaran kasar berfungsi, um, kira-kira, jadi kami akan berpura-pura bahawa kami mempunyai akruan berterusan sepenuhnya.

Sekarang persoalannya mudah: Berapa cepat anda boleh menggandakan dengan pertumbuhan 100%? ln(2) = 0.693. Ia mengambil 0.693 unit masa (tahun dalam kes kami) untuk menggandakan jumlah kami dengan peningkatan berterusan sebanyak 100%.

Jadi, bagaimana jika kadar faedah bukan 100%, tetapi katakan 5% atau 10%?

Dengan mudah! Oleh kerana pertaruhan * masa = 0.693, kami akan menggandakan jumlah:

kadar * masa = 0.693
masa = 0.693 / pertaruhan

Ternyata jika pertumbuhan adalah 10%, ia akan mengambil masa 0.693 / 0.10 = 6.93 tahun untuk berganda.

Untuk memudahkan pengiraan, mari kita darabkan kedua-dua belah dengan 100, kemudian kita boleh menyebut "10" dan bukannya "0.10":

masa untuk menggandakan = 69.3 / pertaruhan, di mana pertaruhan dinyatakan sebagai peratusan.

Kini tiba masanya untuk menggandakan pada kadar 5%, 69.3 / 5 = 13.86 tahun. Walau bagaimanapun, 69.3 bukanlah dividen yang paling mudah. Mari kita pilih nombor rapat, 72, yang senang dibahagi dengan 2, 3, 4, 6, 8 dan nombor lain.

masa untuk menggandakan = 72 / pertaruhan

iaitu peraturan tujuh puluh dua. Semuanya dilindungi.

Jika anda perlu mencari masa untuk tiga kali ganda, anda boleh menggunakan ln(3) ~ 109.8 dan dapatkan

masa untuk tiga kali ganda = 110 / pertaruhan

Yang merupakan satu lagi peraturan yang berguna. "Peraturan 72" digunakan untuk pertumbuhan dalam kadar faedah, pertumbuhan populasi, budaya bakteria dan apa-apa sahaja yang berkembang dengan pesat.

Apa yang akan datang?

Mudah-mudahan logaritma semula jadi kini masuk akal kepada anda - ia menunjukkan masa yang diperlukan untuk sebarang nombor berkembang secara eksponen. Saya rasa ia dipanggil semula jadi kerana e ialah ukuran pertumbuhan sejagat, jadi ln boleh dianggap sebagai cara universal untuk menentukan berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang.

Setiap kali anda melihat ln(x), ingat "masa yang diperlukan untuk berkembang X kali". Dalam artikel akan datang saya akan menerangkan e dan ln bersama-sama supaya bau segar matematik akan memenuhi udara.

Tambahan: Logaritma asli bagi e

Kuiz pantas: apakah ln(e)?

robot matematik akan berkata: kerana ia ditakrifkan sebagai songsang antara satu sama lain, adalah jelas bahawa ln(e) = 1.
orang yang memahami: ln(e) ialah bilangan kali yang diperlukan untuk mengembangkan "e" kali (kira-kira 2.718). Walau bagaimanapun, nombor e itu sendiri ialah ukuran pertumbuhan dengan faktor 1, jadi ln(e) = 1.

Fikir dengan jelas.

9 September 2013

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Logaritma asli. Asas logaritma asli. Logaritma nombor asli"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 11
Manual interaktif untuk gred 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk gred 10–11 "Logaritma"

Apakah itu logaritma semula jadi

Kawan-kawan, dalam pelajaran lepas kita belajar nombor baru yang istimewa - e. Hari ini kita akan terus bekerja dengan nombor ini.
Kami telah mengkaji logaritma dan kami tahu bahawa asas logaritma boleh menjadi banyak nombor yang lebih besar daripada 0. Hari ini kita juga akan melihat logaritma yang asasnya ialah nombor e. Ia mempunyai tatatanda sendiri: $\ln(n)$ ialah logaritma asli. Entri ini bersamaan dengan entri: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Fungsi eksponen dan logaritma adalah songsang, maka logaritma asli adalah songsang bagi fungsi: $y=e^x$.
Fungsi songsang adalah simetri berkenaan dengan garis lurus $y=x$.
Mari kita plot logaritma asli dengan memplot fungsi eksponen berkenaan dengan garis lurus $y=x$.

Perlu diingat bahawa sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi $y=e^x$ pada titik (0;1) ialah 45°. Kemudian sudut kecondongan tangen kepada graf logaritma asli pada titik (1;0) juga akan sama dengan 45°. Kedua-dua tangen ini akan selari dengan garis $y=x$. Mari kita rajah tangen:

Sifat fungsi $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat di seluruh domain definisi.
4. Tidak terhad dari atas, tidak terhad dari bawah.
5. Tiada nilai terbesar, tiada nilai minimum.
6. Berterusan.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Cembung ke atas.
9. Boleh dibezakan di mana-mana.

Dalam perjalanan matematik yang lebih tinggi terbukti bahawa terbitan bagi fungsi songsang ialah songsangan bagi terbitan bagi fungsi yang diberi.
Tidak masuk akal untuk mendalami bukti, mari tulis formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Contoh.
Kira nilai terbitan bagi fungsi: $y=\ln(2x-7)$ pada titik $x=4$.
Penyelesaian.
Secara umum, fungsi kita diwakili oleh fungsi $y=f(kx+m)$; kita boleh mengira derivatif bagi fungsi tersebut.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Mari kita hitung nilai terbitan pada titik yang diperlukan: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Jawapan: 2.

Contoh.
Lukis tangen pada graf fungsi $y=ln(x)$ pada titik $х=е$.
Penyelesaian.
Kita ingat betul persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Kami mengira secara berurutan nilai yang diperlukan.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Persamaan tangen pada titik $x=e$ ialah fungsi $y=\frac(x)(e)$.
Mari kita lukiskan logaritma asli dan garis tangen.

Contoh.
Periksa fungsi untuk monotonicity dan extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Penyelesaian.
Domain takrifan fungsi $D(y)=(0;+∞)$.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Terbitan wujud untuk semua x daripada domain definisi, maka tiada titik kritikal. Mari cari titik pegun:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Titik $x=-1$ tidak tergolong dalam domain definisi. Kemudian kita mempunyai satu titik pegun $x=1$. Mari cari selang peningkatan dan penurunan:

Titik $x=1$ ialah titik minimum, kemudian $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Jawapan: Fungsi berkurangan pada segmen (0;1], fungsi bertambah pada sinar $)