Prezentacja na temat „Zasada Dirichleta”. Zasada Dirichleta. Problemy i rozwiązania Rozważmy przykłady różnych problemów rozwiązanych za pomocą zasady Dirichleta

Hipoteza: zastosowanie odpowiednich sformułowań zasady Dirichleta jest najbardziej racjonalnym podejściem do rozwiązywania problemów. Najczęściej stosowanym sformułowaniem jest: „Jeśli w n komórkach jest n + 1 „królików”, czyli komórka, w której znajdują się co najmniej 2 „króliki”. Hipoteza: zastosowanie odpowiednich sformułowań zasady Dirichleta jest najczęstsze Racjonalne podejście do rozwiązywania problemów Najczęściej stosowane sformułowanie brzmi: „Jeśli w n komórkach znajduje się n + 1 „królików”, to istnieje komórka, w której znajdują się co najmniej 2 „króliki”. Cel: przestudiowanie jednego z podstawowych metody matematyczne, zasada Dirichleta

Zasada ta głosi, że jeśli zbiór N elementów zostanie podzielony na n części rozłącznych, które nie mają wspólnych elementów, gdzie N>n to co najmniej jedna część będzie miała więcej niż jeden element. Najczęściej zasada Dirichleta jest formułowana w jednym z nich następujące formy: Jeżeli w n komórkach znajduje się n + 1 „królików”, to w komórce znajdują się co najmniej 2 „króliki”

U1. „Jeśli w n komórkach nie ma więcej niż n-1 „królików”, to komórka jest pusta” U1. „Jeśli w n komórkach nie ma więcej niż n-1 «królików», to komórka jest pusta” U2. „Jeśli w n komórkach jest n + 1 „królików”, to istnieje komórka, w której znajdują się co najmniej 2 „króliki” „ U3. „Jeśli w n komórkach jest nie więcej niż nk-1 „królików”, to w niektórych komórkach jest nie więcej niż k-1 „królików” U4. „Jeśli w n komórkach jest co najmniej n k+1 „ króliki”, wówczas Niektóre komórki zawierają co najmniej k+1 „królików”

U5. „Ciągła zasada Dirichleta. „Jeśli średnia arytmetyczna kilku liczb jest większa niż a, to przynajmniej jedna z tych liczb jest większa niż a”; U6. „Jeśli suma n liczb jest mniejsza niż S, to co najmniej jedna z liczby te są mniejsze niż S/n.” U7. „Wśród liczb całkowitych p + 1 są dwie liczby, które przy dzieleniu przez p dają tę samą resztę.”

Zadanie. W lesie iglastym rośnie 800 000 świerków. Każdy świerk ma nie więcej niż 500 000 igieł. Udowodnij, że istnieją co najmniej dwa świerki o tej samej liczbie igieł. Klasyfikacja naukowa Królestwo: Rośliny Dział: Nagonasienne Klasa: Drzewa iglaste Rodzina: Sosna Gatunek: Świerk

Zadanie geometryczne Wewnątrz trapezu równoramiennego o boku 2 znajdują się 4 punkty. Udowodnić, że odległość między niektórymi dwoma z nich jest mniejsza niż 1. Rozwiązanie. Podzielmy trapez o boku 2 na trzy trójkąty o boku 1. Nazwijmy je „komórkami”, a punkty – „królikami”. Zgodnie z zasadą Dirichleta z czterech punktów co najmniej dwa znajdą się w jednym z trzech trójkątów. Odległość między tymi punktami jest mniejsza niż 1, ponieważ punkty nie leżą na wierzchołkach trójkątów

Problem kombinatoryki: W pudełku znajdują się 4 kule różne kolory(dużo białych, dużo czarnych, dużo błękitów, dużo czerwieni). Jaka jest najmniejsza liczba kulek, które należy wyjąć z worka dotykiem, aby wśród nich były oczywiście dwie kule tego samego koloru? Rozwiązanie Przyjmijmy kulki jako „króliki”, a kolory czarny, biały, niebieski i czerwony jako „komórki”. Są 4 komórki, więc jeśli jest co najmniej 5 królików, to jakieś dwa wpadną do jednej komórki (będą 2 kule tego samego koloru).

Problem Biorąc pod uwagę n+1 różne liczby naturalne. Udowodnić, że można wybrać z nich dwie liczby A i B, których różnica jest podzielna przez n. Zadanie Udowodnić, że wśród n+1 różnych liczb naturalnych są co najmniej dwie liczby A i B takie, że liczba A2 - B2 jest podzielna przez n. Udowodnimy, że (A – B)(A+B) jest wielokrotnością n. Zadanie Udowodnij, że wśród n+1 różnych liczb naturalnych są co najmniej dwie takie liczby A i B, że liczba A3 – B3 jest podzielna przez n. Udowodnimy, że (A – B)(A2+AB +B2) jest wielokrotnością n

Małe Twierdzenie Fermata Jeśli p jest liczbą pierwszą, a jest liczbą całkowitą niepodzielną przez p, to p-1 przy dzieleniu przez p daje resztę 1 Dowód Każda z p - 1 liczb a, 2a, . . ., (p-1) a („króliki”) daje niezerową resztę przy dzieleniu przez p (w końcu a nie jest podzielne przez p)

Nasz projekt ma charakter edukacyjny, praktyczne zastosowanie. Podczas szkolnej rundy Olimpiady napotkałem problem. Postanowiliśmy przestudiować to zagadnienie bardziej szczegółowo: - Zapoznaliśmy się z literaturą na ten temat. - Przyjrzeliśmy się materiałom historycznym. - Badaliśmy zasadę Dirichleta. - Przygotowałem streszczenie i prezentację. - Dowiedziałem się, jak go używać przy rozwiązywaniu problemów. - Planujemy rozmowy z uczniami szóstej klasy.

Dirichlet urodził się w westfalskim mieście Düren w rodzinie naczelnika poczty. W wieku 12 lat Dirichlet rozpoczął naukę w gimnazjum w Bonn, dwa lata później w gimnazjum jezuickim w Kolonii, gdzie uczył go między innymi Georg Ohm. W latach 1822-1827 przebywał jako nauczyciel domowy w Paryżu, gdzie poruszał się w kręgu Fouriera. Biografia

W 1827 r otrzymuje stanowisko Privatdozent na Uniwersytecie Wrocławskim. - W 1829 przeniósł się do Berlina, gdzie pracował nieprzerwanie przez 26 lat, najpierw jako docent. - Następnie od 1831 roku jako profesor nadzwyczajny. - Od 1839 roku jako profesor zwyczajny na uniwersytecie w Berlinie. W 1855 roku Dirichlet został, jako następca Gaussa, profesorem matematyki wyższej na Uniwersytecie w Getyndze. Biografia

Jeśli w n komórkach znajdują się m zające, a m > n, to w co najmniej jednej komórce znajdują się co najmniej dwa zające. n, to co najmniej dwa zające siedzą w co najmniej jednej klatce."> n, to co najmniej dwa zające siedzą w co najmniej jednej klatce."> n, to co najmniej dwa zające siedzą w co najmniej jednej klatce co najmniej dwa zające." title="Jeśli w n komórkach znajduje się m zajęcy oraz m > n, to w co najmniej jednej komórce znajdują się co najmniej dwa zające."> title="Jeśli w n komórkach znajdują się m zające, a m > n, to w co najmniej jednej komórce znajdują się co najmniej dwa zające."> !}

Jeśli w n komórkach znajduje się m gołębi oraz m

N, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy, a co najmniej jedna inna komórka zawiera co najwyżej m:n zajęcy." title="Uogólniona zasada Dirichleta Załóżmy, że m zajęcy siedzi w n komórkach. Wtedy jeśli m > n, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy, a co najmniej jedna inna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy." class="link_thumb"> 9 !} Uogólniona zasada Dirichleta Załóżmy, że m zające znajdują się w n komórkach. Następnie, jeśli m > n, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy, a co najmniej jedna inna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy. n, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy i co najmniej jedna inna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy."> n, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy, a także co najmniej jedna inna komórka zawiera nie więcej niż m:n zajęcy."> n, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy, a także co najmniej jedna inna komórka zawiera nie więcej niż m:n zajęcy. " title="( !LANG:Uogólniona zasada Dirichleta Załóżmy, że m zające znajdują się w n komórkach. Wtedy jeśli m > n, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy, a co najmniej jedna inna komórka zawiera nie więcej niż m:n zajęcy."> title="Uogólniona zasada Dirichleta Załóżmy, że m zające znajdują się w n komórkach. Następnie, jeśli m > n, to co najmniej jedna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy, a co najmniej jedna inna komórka zawiera co najmniej m:n zajęcy."> !}

12, to zgodnie z zasadą Dirichleta jest co najmniej „title=" W klasie jest 15 uczniów. Udowodnij, że w tym samym miesiącu urodziny obchodzi co najmniej 2 uczniów. Rozwiązanie: Niech 15 uczniów będą „zające” Wtedy „komórkami” będą miesiące w roku, jest ich 12. Ponieważ 15>12, to zgodnie z zasadą Dirichleta jest ich co najmniej" class="link_thumb"> 10 !} W klasie jest 15 uczniów. Udowodnij, że co najmniej 2 uczniów obchodzi urodziny w tym samym miesiącu. Rozwiązanie: Niech 15 uczniów będzie „zającami”. Wtedy „komórkami” będą miesiące w roku, jest ich 12. Ponieważ 15>12, to zgodnie z zasadą Dirichleta będzie co najmniej jedna „komórka”, w której znajdą się co najmniej 2 „zające”. siedzieć. Odpowiedź: Jest miesiąc, w którym będą obchodzone urodziny co najmniej 2 uczniów w klasie. Zadanie 1. 12, to zgodnie z zasadą Dirichleta jest co najmniej „> 12, to zgodnie z zasadą Dirichleta jest co najmniej jedna „komórka”, w której będą siedzieć co najmniej 2 „zające”. Odpowiedź: Jest miesiąc , w którym będą obchodzone urodziny co najmniej 2 uczniów w klasie. Zadanie 1."> 12, to zgodnie z zasadą Dirichleta będzie ich co najmniej" title=" Jest 15 uczniów. Udowodnij, że w tym samym miesiącu urodziny obchodzi co najmniej 2 uczniów. Rozwiązanie: niech 15 uczniów będzie „zającami”. Wtedy „komórki” będą miesiącami w roku, jest ich 12 >12, to zgodnie z zasadą Dirichleta jest co najmniej"> title="W klasie jest 15 uczniów. Udowodnij, że co najmniej 2 uczniów obchodzi urodziny w tym samym miesiącu. Rozwiązanie: Niech 15 uczniów będzie „zającami”. Wtedy „komórkami” będą miesiące w roku, jest ich 12. Ponieważ 15>12, to zgodnie z zasadą Dirichleta jest ich co najmniej"> !}

Kola zrobił 8 dziur w dywanie o wymiarach 3 x 3 metry. Udowodnij, że można z niej wyciąć matę o wymiarach 1x1 metr bez żadnych otworów w środku. Rozwiązanie: Potnijmy dywan na 9 dywaników o wymiarach 1 x 1 metr, ponieważ jest 9 dywaników - „klatki” i 8 otworów - „gołębie”. Odpowiedź: W środku znajduje się dywanik bez dziur. Zadanie 2.

W klasie 3A jest 27 uczniów, którzy znają łącznie 109 wierszy. Udowodnij, że istnieje uczeń, który zna co najmniej 5 wierszy. Rozwiązanie: Załóżmy, że każdy uczeń zna nie więcej niż 4 wiersze. Oznacza to, że 27 uczniów zna nie więcej niż 427 = 108 (wierszy) Odpowiedź: Oznacza to, że jest uczeń, który zna co najmniej 5 wierszy. Zadanie 3.

W mieście działa 15 szkół. Uczy się tam 6015 uczniów. Sala koncertowa Miejskiego Pałacu Kultury dysponuje 400 miejscami. Udowodnij, że istnieje szkoła, której uczniowie nie mieszczą się w tej sali. Rozwiązanie: Załóżmy, że w każdej szkole uczy się nie więcej niż 400 uczniów. Oznacza to, że we wszystkich szkołach = 6000 (uczniów). Odpowiedź: W związku z tym uczniowie tej szkoły nie zmieszczą się w sali na 400 miejsc. Zadanie 4.

W szkole działa 5 klas ósmych: 8A,..., 8D. W każdym z nich uczy się 32 uczniów. Udowodnić, że w tym samym miesiącu urodziło się 14 osób. Rozwiązanie: Załóżmy, że w każdym miesiącu urodziło się nie więcej niż 13 uczniów. Oznacza to, że w ciągu 12 miesięcy urodziło się 1213=156 (uczniów). Ale zgodnie z warunkiem, w szkole uczy się 532 = 160 (osób). Odpowiedź: Oznacza to, że jest miesiąc, w którym urodziło się więcej niż 13 uczniów, czyli co najmniej 14. Zadanie 5.

Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku 1 cm znajduje się 5 punktów. Udowodnić, że odległość między dwoma z nich jest mniejsza niż 0,5 cm. Rozwiązanie: Możesz uzyskać 4 „komórki”, dzieląc trójkąt równoboczny, rysując odcinki łączące środki boków. Następnie otrzymujemy 4 trójkąty równoboczne o bokach 0,5 cm, które będą naszymi „komórkami”. Zadanie 6.

4, zgodnie z zasadą Dirichleta istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, w którym znajdują się co najmniej dwa punkty." title="2 1 4 3 Trójkąty - „komórki”, 5 punktów - 5 „ zające”. 5 >4, zgodnie z zasadą Dirichleta istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, w którym znajdują się co najmniej dwa punkty." class="link_thumb"> 16 !} Trójkąty to „komórki”, 5 punktów to 5 „zajęcy”. 5>4, zgodnie z zasadą Dirichleta, istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, w którym znajdują się co najmniej dwa punkty. 4, zgodnie z zasadą Dirichleta istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, w którym znajdują się co najmniej dwa punkty.” > 4, zgodnie z zasadą Dirichleta istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, który zawiera co najmniej dwa punkty."> 4, zgodnie z zasadą Dirichleta, istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, który zawiera co najmniej dwa punkty." title="2 1 4 3 Trójkąty - “ komórek”, 5 punktów - 5 „zajęcy”. 5 >4, zgodnie z zasadą Dirichleta istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, w którym znajdują się co najmniej dwa punkty."> title="2 1 4 3 Trójkąty – „komórki”, 5 punktów – 5 „zajęcy”. 5>4, zgodnie z zasadą Dirichleta, istnieje trójkąt równoboczny o boku 0,5 cm, w którym znajdują się co najmniej dwa punkty."> !} Wnioski: Stosując zatem tę metodę należy: Określić, co w zadaniu wygodne jest przyjmować jako „komórki”, a co jako „zające”. Zdobądź „komórki”; najczęściej jest mniej (więcej) „komórek” niż jedna (lub więcej) „zajęcy”. Wybierz wymagane sformułowanie zasady Dirichleta dla rozwiązania. Zasada Dirichleta jest ważna, interesująca i użyteczna. Można go używać w Życie codzienne, która rozwija logiczne myślenie. Wiele problemów olimpijskich rozwiązuje się za pomocą tej specjalnej metody. Pozwala na generalizowanie.

Zasada Dirichleta. Problemy i rozwiązania

Podstawowe informacje. Najpopularniejsze sformułowanie zasady Dirichleta brzmi następująco: „Jeśli w n komórkach znajdują się m zające oraz m > n, to co najmniej dwa zające znajdują się w co najmniej jednej komórce”. Zasada Dirichleta jest tak prosta i oczywista, że ​​można ją stosować nie znając jej sformułowania.

Uogólnione sformułowanie zasady: „Jeśli zbiór składający się z Nk+1 elementów zostanie podzielony na k zbiorów, to co najmniej jeden podzbiór będzie zawierał co najmniej N+1 elementów” lub „Jeśli zbiór składający się z m elementów zostanie podzielony na k podzbiorów, to co najmniej jeden podzbiór będzie zawierał co najmniej m/k elementów”

Zasada Dirichleta ma wzór geometryczny: A) jeśli odcinek o długości l podzielimy na n odcinków (które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych), to długość największego odcinka będzie nie mniejsza niż l/n, a długość najmniejszy odcinek jest nie większy niż l/n B) jeżeli figura ma pole S podzielone na n części (które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych), to pole największej figury wynosi co najmniej S/n, a pole z najmniejszego to co najwyżej S/n

Zadania i przykłady rozwiązań Zadanie 1. Na płaszczyźnie podano sześć punktów ogólne stanowisko(żadne trzy z nich nie leżą na tej samej linii prostej). Dowolne dwa punkty są połączone segmentem, każdy segment jest pokolorowany na czerwono lub Kolor niebieski. Udowodnij, że istnieje trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w danych punktach i którego wszystkie boki mają ten sam kolor. Rozwiązanie. Oznaczmy te punkty jako A1, A2, A3, A4, A5, A6. Z punktu A1 wychodzi 5 odcinków w dwóch kolorach. Zgodnie z zasadą Dirichleta wśród tych segmentów znajdują się 3 segmenty tego samego koloru. Dla ścisłości załóżmy, że są to odcinki A1 A2, A1 A3, A1 A4 zaznaczone na czerwono. Rozważmy segmenty A2 A3, A3 A4, A2 A4. Możliwe przypadki: A) wśród tych segmentów znajduje się czerwony, np. A2 A3. Następnie w trójkącie A1 A2 A3 wszystkie boki są czerwone; B) wśród tych segmentów nie ma czerwonych. Następnie w trójkącie A2, A3, A4 wszystkie boki są niebieskie.

Zadanie 2. Kwadrat o boku 6 cm zawiera 1991 punktów. Udowodnić, że kwadrat o boku 5 cm może obejmować co najmniej 664 z tych punktów. Rozwiązanie. Łatwo zauważyć, że 664 to w przybliżeniu jedna trzecia roku 1991, czyli 1991 = 3*663+2. Zatem w przypadku dowolnego podziału zbioru składającego się z 1991 punktów na trzy podzbiory co najmniej jeden z tych podzbiorów będzie zawierał 664 lub więcej punktów. Oznacza to, że do rozwiązania problemu wystarczy pokazać, że kwadrat o boku 6 cm można podzielić na trzy części, z których każdą można przykryć kwadratem o boku 5 cm figura, w której AK = 5 cm, BO = 3v2cm

Rozwiązanie. Załóżmy, że w pewnym 2n-kącie wypukłym każda przekątna jest równoległa do jakiegoś boku. Idea uzyskania sprzeczności jest następująca: wybieramy największą grupę wzajemnie równoległych przekątnych i pokazujemy, że takiej liczby przekątnych nie da się umieścić wewnątrz 2n-kąta wypukłego. Oznacza to, że wszystkie przekątne dzielimy na grupy wzajemnie równoległych przekątnych. Takich grup jest nie więcej niż 2n (niektóre boki mogą być do siebie równoległe). Liczba wszystkich przekątnych jest równa = 2n*(n – 1,5), zatem w jakiejś grupie jest co najmniej (n - 1) przekątnych. Te (n - 1) przekątne są równoległe do jakiegoś boku A1 A2 i leżą względem niego w tej samej półpłaszczyźnie. Ale wtedy jest 2n wierzchołków po tej stronie i na tych (n - 1) przekątnych, tj. którakolwiek przekątna leży jak najdalej od boku A1, A2 musi być bokiem 2n-kąta. Sprzeczność. Oznacza to, że założenie jest błędne, zatem istnieje przekątna, która nie jest równoległa do żadnego z boków. Zadanie 3. Udowodnij, że w dowolnym wypukłym 2n-kącie istnieje przekątna, która nie jest równoległa do żadnego z boków.

Rozwiązanie. Podzielmy kwadrat na 50 prostokątów o bokach 1 cm i 2 cm, wtedy co najmniej jeden z tych prostokątów będzie zawierał nie mniej niż 3 punkty. Te trzy punkty tworzą trójkąt, którego powierzchnia nie przekracza połowy pola prostokąta, w którym ten trójkąt się znajduje. Zadanie 4. Do kwadratu o boku 10 cm wrzuca się 101 punktów (żadne trzy nie leżą na tej samej prostej). Udowodnij, że wśród tych punktów są trzy, które tworzą trójkąt, którego pole nie przekracza 1 cm2.

Problemy do samodzielnego rozwiązania. Zadanie 1. Udowodnić, że z dowolnych 52 liczb całkowitych zawsze można wybrać dwie, których suma lub różnica jest podzielna przez 100. Zadanie 2. Udowodnij, że istnieje liczba naturalna, której ostatnie cztery cyfry to 1972 i która jest podzielna przez 1971. Zadanie 3. Czy można znaleźć naturalny wykładnik liczby 3 kończącej się na 0001?

Zadanie 4. W szufladzie są skarpetki: 10 czarnych, 10 niebieskich, 10 białych. Jaka jest najmniejsza liczba skarpetek, które należy wyciągnąć, mimo że wśród wylosowanych znajdują się dwie skarpetki: a) tego samego koloru; b) różne kolory; c) czarny? Zadanie 5. W klasie jest 25 uczniów. Wiadomo, że wśród dowolnej trójki jest dwóch przyjaciół. Udowodnić, że istnieje uczeń, który ma co najmniej 12 znajomych. Zadanie 6. Komisja licząca 60 osób odbyła 40 posiedzeń, na każdym posiedzeniu uczestniczyło dokładnie 10 członków komisji. Udowodnij, że około 2 członków komisji spotkało się na posiedzeniach co najmniej dwukrotnie.

Zadanie 7. Wewnątrz foremnego sześciokąta o boku 3 cm rozmieszczono losowo 55 punktów, z których żadne trzy nie leżą na tej samej linii prostej. Udowodnić, że są wśród nich trzy punkty tworzące trójkąt, którego pole nie przekracza v3/4cm2. Zadanie 8. Biorąc pod uwagę n+1 różnych liczb naturalnych, z których każda jest mniejsza niż 2n. Udowodnij, że możesz wybrać z nich 3 takie liczby, z których jedna jest równa sumie dwóch pozostałych. Zadanie 9. Udowodnij, że spośród 52 liczb całkowitych zawsze są dwie, których różnica kwadratowa jest podzielna przez 100.

Zadanie 10. W 5 klubach Domu Kultury uczy się 11 uczniów. Udowodnić, że jest dwóch uczniów A i B takich, że do wszystkich klubów, do których uczęszcza A, należy także B. Zadanie 11. Udowodnić, że wśród dowolnych 10 liczb całkowitych jest kilka (prawdopodobnie jedna), których suma jest podzielna przez 10. Zadanie 12. Jest na płaszczyźnie znajduje się 17 punktów, z których żadne trzy nie leżą na tej samej prostej. Dowolne dwa punkty są połączone odcinkiem linii. Każdy segment jest pomalowany na kolor czerwony, niebieski lub zielony. Udowodnić, że istnieje trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w danych punktach i którego wszystkie boki mają ten sam kolor.

Zadanie 13. Każdy punkt płaszczyzny jest pomalowany na biało lub czarno. Udowodnij, że na tej płaszczyźnie istnieje trójkąt o kątach 300, 600, 900 i przeciwprostokątnej 2, których wierzchołki są tego samego koloru. Zadanie 14. W kwadracie o boku 1 znajduje się 51 punktów. Udowodnić, że niektóre trzy z tych punktów koniecznie znajdują się wewnątrz okręgu o promieniu 1/7. Zadanie 15. Na płaszczyźnie znajduje się 25 punktów, a spośród dowolnych trzech są dwa w odległości mniejszej niż 1. Udowodnić, że istnieje okrąg o promieniu 1, który zawiera co najmniej 13 danych punktów.

Zadanie 16. Na odcinku o długości 1 zacieniowano kilka odcinków w taki sposób, że odległość pomiędzy dwoma dowolnymi zacienionymi punktami nie jest równa 0,1. Udowodnij, że suma długości wszystkich zacieniowanych odcinków nie przekracza 0,5. Zadanie 18. Biorąc pod uwagę nieskończony kwadrat papieru i figurę, której pole jest mniejsze niż pole kwadratu. Udowodnij, że figurę tę można przenieść na papier w taki sposób, aby nie zakrywała wierzchołków kwadratów. Zadanie 17. Mając liczby 21 – 1,22 – 1,23 – 1,...,2n-1, gdzie n3 jest liczbą niesparowaną. Udowodnij, że co najmniej jedna z podanych liczb jest podzielna przez n.

Dziękuję za uwagę!

Dirichlet Peter August Lejeune (1805-1859) -
Niemiecki matematyk, zagraniczny członek korespondent Akademii Nauk w Petersburgu
(1837), członek wielu innych akademii.
Dirichlet urodził się w westfalskim mieście Düren w rodzinie naczelnika poczty.
W wieku 12 lat Dirichlet rozpoczął naukę w gimnazjum w Bonn, dwa lata później w
Gimnazjum Jezuickiego w Kolonii, gdzie kształcił się m.in
nauczany przez Georga Ohma. W latach 1822-1827 mieszkał jako nauczyciel domowy w
Paryż, gdzie osiadł w kręgu Fouriera w 1827 r. dostaje pracę
stanowisko Privatdozenta na Uniwersytecie Wrocławskim. W 1829 r
przeniósł się do Berlina, gdzie pracował najpierw nieprzerwanie przez 26 lat
jako adiunkt. Następnie od 1831 roku jako profesor nadzwyczajny. Od 1839 r
jako profesor zwyczajny na Uniwersytecie w Berlinie. W 1855 roku Dirichleta
zostaje, jako następca Gaussa, profesorem szkolnictwa wyższego
Matematyka na Uniwersytecie w Getyndze.

W kombinatoryce zasada Dirichleta jest stwierdzeniem, które ustanawia
połączenie między obiektami („królikami”) a pojemnikami („komórkami”)
gdy zostaną spełnione określone warunki. Po angielsku i trochę
w innych językach stwierdzenie to znane jest jako „zasada gołębia”
pudełka”, gdy przedmiotami są gołębie, a pojemniki nimi są
pudła.
9 komórek zawiera 7 gołębi,
zgodnie z zasadą
Przynajmniej Dirichleta
9-7=2 komórki są wolne
w 9 celach mieści się 10 gołębi,
przynajmniej zgodnie z zasadą Dirichleta
są w tej samej komórce
więcej niż jeden gołąb

Formuły

Najczęstsze jest następujące
sformułowanie
tę zasadę:
Jeśli króliki zostaną umieszczone w klatkach i
to jednak liczba królików jest większa niż liczba klatek
w jednej komórce będzie więcej niż jeden
Królik.
Brzmi bardziej ogólne sformułowanie
Więc:
Jeśli m królików siedzi w n komórkach, to chociaż
w jednej komórce powinno znajdować się co najmniej m/n
królików, a także w co najmniej jednej klatce
nie ma więcej niż m/n królików.

Przyjrzyjmy się przykładom różnych problemów rozwiązanych za pomocą zasady Dirichleta.

1. W klasie jest 15 uczniów. Udowodnić
że będzie co najmniej 2 uczniów,
obchodzą urodziny w tym samym miesiącu.
ROZWIĄZANIE:
Niech 15 uczniów będzie „zającami”. Następnie „komórki”
będą miesiące w roku, jest ich 12. Ponieważ 15 > 12, zatem zgodnie
zgodnie z zasadą Dirichleta istnieje co najmniej jeden
klatka, która pomieści co najmniej 2
"zając". Oznacza to, że będzie miesiąc, w którym będzie
nie mniej świętować urodziny
2 uczniów w klasie.

Biorąc pod uwagę 12 liczb całkowitych. Udowodnij, że możesz wybrać 2 z nich, których różnica jest podzielna przez 11.

ROZWIĄZANIE
Przyjmijmy liczby jako „zające”. Skoro jest ich 12
Powinno być mniej „komórek”. Niech „komórki”
- Są to reszty z dzielenia liczby całkowitej przez 11.
Łącznie będzie 11 „komórek”: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.10. Zatem, zgodnie z zasadą Dirichleta, tak jest
„klatka”, w której będą siedzieć co najmniej 2 osoby
„zając”, czyli są 2 liczby całkowite z jedną
reszta. I różnica między dwiema liczbami o tym samym
reszta dzielenia przez 11 będzie podzielna przez 11

Kola zrobił 8 dziur w dywanie o wymiarach 3 x 3 metry. Udowodnij, że można z niej wyciąć matę o wymiarach 1x1 metr bez żadnych otworów.

Kola zrobił 8 dziur w dywanie o wymiarach 3 x 3 metry.
Udowodnij, że można go pociąć na dywanik o odpowiednich wymiarach
Wymiary 1x1 metr, bez otworów w środku.
(Dziury można uznać za dziurki.)
ROZWIĄZANIE
Tutaj dziury będą „zającami”.
Potnij dywan na 9 dywaników
wymiary 1x1 metr. Ponieważ
jest 9 dywaników „klatkowych” i 8 dziur „zajęczych”, to będzie przynajmniej
jedna „komórka”, w której nie będzie
„zające”, czyli jest dywanik
brak dziur w środku.

Dlatego korzystając z tej metody, musisz:
Określ, co jest wygodne w problemie do przyjęcia jako „komórki” i
co to za „zające”?
Zdobądź „komórki”; najczęściej jest mniej „komórek”
(więcej) niż „zające” o jeden (lub więcej).
Wybierz wymaganą formułę rozwiązania
Zasada Dirichleta.
Zasada Dirichleta jest ważna, interesująca i użyteczna. Jego
można wykorzystać w życiu codziennym, które rozwija
logiczne myślenie.
Dzięki temu rozwiązuje się wiele problemów olimpijskich
specjalna metoda. Pozwala na generalizowanie.