Прямо и обратно пропорциональные величины. Прямая и обратная пропорциональные зависимости
Пример
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.Коэффициент пропорциональности
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.
Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:
f (x ) = a x ,a = c o n s t
Обратная пропорциональность
Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).
Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:
Свойства функции:
Источники
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Второй закон Ньютона
- Кулоновский барьер
Смотреть что такое "Прямая пропорциональность" в других словарях:
прямая пропорциональность - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика
прямая пропорциональность - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова
Пропорциональность - Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова
пропорциональность - и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь
Основные цели:
- ввести понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин;
- научить решать задачи, используя эти зависимости;
- способствовать развитию умения решать задачи;
- закрепить навык решения уравнений с помощью пропорции;
- повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями;
- развивать логическое мышление учащихся.
ХОД УРОКА
I. Самоопределение к деятельности (организационный момент)
– Ребята! Сегодня на уроке мы познакомимся с задачами, решаемыми с помощью пропорции.
II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности
2.1. Устная работа (3 мин)
– Найдите значение выражений и узнайте слово, зашифрованное в ответах.
14 – с; 0,1 – и; 7 – л; 0,2 – а; 17 – в; 25 – к
– Получилось слово – сила. Молодцы!
– Девиз нашего урока сегодня: Сила – в знаниях! Я
ищу – значит учусь!
– Составьте пропорцию из получившихся чисел. (14:
7 = 0,2: 0,1 и т.д.)
2.2. Рассмотрим зависимость между известными нам величинами (7 мин)
– путем, пройденным автомашиной с постоянной
скоростью, и временем ее движения: S = v ·t (с
увеличением скорости (времени) увеличивается
путь);
– скоростью автомашины и затраченным на
путь временем: v = S: t
(с увеличением
времени на прохождение пути, скорость
уменьшается);
–
стоимостью товара, купленного по одной
цене и его количеством:
С = а · n (с
увеличением (уменьшением) цены, увеличивается
(уменьшается) стоимость покупки);
– цены товара и его количеством: а = С: n (с
увеличением количества, уменьшается цена)
– площади прямоугольника и его длины (ширины): S = a
· b (с увеличением длины(ширины) увеличивается
площадь;
– длины прямоугольника и ширины: a = S: b (с
увеличением длины уменьшается ширина;
– числом рабочих, выполняющих с одинаковой
производительностью труда некоторую работу, и
временем выполнения этой работы: t = А: n
(с увеличением числа рабочих время,
затраченное на выполнение работы уменьшается) и
т.д.
Мы получили зависимости, в которых с
увеличением одной величины в несколько раз, тут
же во столько же раз увеличивается другая
(примеры показать стрелками) и зависимости, в
которых с увеличением одной величины в несколько
раз, вторая величина уменьшается в это же
количество раз.
Такие зависимости называются прямыми и
обратными пропорциональностями.
Прямо-пропорциональная зависимость
–
зависимость, в которой с увеличением
(уменьшением) одной величины в несколько раз,
увеличивается (уменьшается) вторая величина во
столько же раз.
Обратно-пропорциональная зависимость
– зависимость, в которой с увеличением
(уменьшением) одной величины в несколько раз,
уменьшается (увеличивается) вторая величина во
столько же раз.
III. Постановка учебной задачи
– Какая проблема встала перед нами? (Научиться
различать прямые и обратные зависимости)
– Это – цель
нашего урока. А теперь
сформулируйте тему
урока. (Прямая и
обратная пропорциональная зависимость).
– Молодцы! Запишите тему урока в тетрадях.
(Учитель записывает тему на доске.)
IV. «Открытие» нового знания (10 мин)
Разберем задачи № 199.
1. Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает 300 страниц?
27 стр. – 4,5 мин.
300 стр. – х?
2. В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150г?
48 пачек – 250 г.
х? – 150 г.
3. Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40л?
310 км – 25 л
х? – 40 л
4. На одной из сцепляющих шестерен 32 зубца, а на другой – 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов?
32 зубца – 315 об.
40 зубцов – х?
Для составления пропорции необходимо одно направление стрелок, для этого в обратной пропорциональности одно отношение заменяют обратным.
У доски ученики находят значение величин, на местах учащиеся решают одну на выбор задачу.
– Сформулируйте правило решения задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью.
На доске появляется таблица:
V. Первичное закрепление во внешней речи (10 мин)
Задания на листах:
- Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
- Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку?
VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (5 мин)
Два ученика выполняют задания № 225
самостоятельно на скрытых досках, а остальные
– в тетрадях. Затем они проверяют работу по
алгоритму и сопоставляют с решением на доске.
Ошибки исправляются, выясняются их причины. Если
задание выполнено, верно, то рядом ученики ставят
себе знак «+».
Учащиеся, допустившие ошибки в самостоятельной
работе могут использовать
консультантов.
VII. Включение в систему знаний и повторение № 271, № 270.
Шесть человек работают у доски. Через 3–4 минуты учащиеся, работавшие у доски, представляют свои решения, а остальные – проверяют задания и участвуют в их обсуждении.
VIII. Рефлексия деятельности (итог урока)
– Что нового вы узнали на уроке?
– Что повторили?
– Каков алгоритм решения задач на пропорцию?
– Мы достигли поставленной цели?
– Как оцениваете свою работу?
Типы зависимостей
Рассмотрим зарядку батареи. В качестве первой величины возьмем время, которое она заряжается. Вторая величина – время, которое она будет работать после зарядки. Чем дольше будет заряжаться батарея, тем дольше она будет работать. Процесс будет длиться до тех пор, пока батарея не полностью зарядится.
Зависимость времени работы батареи от времени, которое она заряжается
Замечание 1
Такая зависимость называется прямой :
С увеличением одной величины увеличивается и вторая. С уменьшением одной величины уменьшается и вторая величина.
Рассмотрим другой пример.
Чем больше книг прочитает ученик, тем меньше ошибок сделает в диктанте. Или чем выше подняться в горы, тем ниже будет атмосферное давление.
Замечание 2
Такая зависимость называется обратной :
С увеличением одной величины уменьшается вторая. С уменьшением одной величины увеличивается вторая величина.
Таким образом, в случае прямой зависимости обе величины изменяются одинаково (обе либо увеличиваются, либо уменьшаются), а в случае обратной зависимости – противоположно (одна увеличивается, а другая уменьшается либо наоборот).
Определение зависимостей между величинами
Пример 1
Время, затраченное для похода в гости к другу, составляет $20$ минут. При увеличении скорости (первой величины) в $2$ раза найдем, как изменится время (вторая величина), которое будет затрачено на путь к другу.
Очевидно, что время уменьшится в $2$ раза.
Замечание 3
Такую зависимость называют пропорциональной :
Во сколько раз изменится одна величина, во столько раз изменится и вторая.
Пример 2
За $2$ булки хлеба в магазине нужно заплатить 80 рублей. Если нужно купить $4$ булки хлеба (количество хлеба увеличивается в $2$ раза), во сколько раз придется больше заплатить?
Очевидно, что стоимость также увеличится в $2$ раза. Имеем пример пропорциональной зависимости.
В обоих примерах были рассмотрены пропорциональные зависимости. Но в примере с булками хлеба величины изменяются в одну сторону, следовательно, зависимость является прямой . А в примере с походом к другу зависимость между скоростью и временем – обратная . Таким образом, существует прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная зависимость .
Прямая пропорциональность
Рассмотрим $2$ пропорциональные величины: количество булок хлеба и их стоимость. Пусть $2$ булки хлеба стоят $80$ рублей. При увеличении количества булок в $4$ раза ($8$ булок) их общая стоимость будет составлять $320$ рублей.
Отношение количества булок: $\frac{8}{2}=4$.
Отношение стоимости булок: $\frac{320}{80}=4$.
Как видно, эти отношения равны между собой:
$\frac{8}{2}=\frac{320}{80}$.
Определение 1
Равенство двух отношений называется пропорцией .
При прямо пропорциональной зависимости получается отношение, когда изменение первой и второй величины совпадает:
$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}$.
Определение 2
Две величины называются прямо пропорциональными , если при изменении (увеличении или уменьшении) одной из них во столько же раз изменяется (увеличивается или уменьшается соответственно) и другая величина.
Пример 3
Автомобиль проехал $180$ км за $2$ часа. Найти время, за которое он с той же скоростью проедет в $2$ раза большее расстояние.
Решение .
Время прямо пропорционально расстоянию:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время:
$\frac{2S}{v}=2t$;
$\frac{3S}{v}=3t$.
Автомобиль проехал $180$ км – за время $2$ часа
Автомобиль проедет $180 \cdot 2=360$ км – за время $x$ часов
Чем больше расстояние проедет автомобиль, тем большее время ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами прямо пропорциональная.
Составим пропорцию:
$\frac{180}{360}=\frac{2}{x}$;
$x=\frac{360 \cdot 2}{180}$;
Ответ : автомобилю потребуется $4$ часа.
Обратная пропорциональность
Определение 3
Решение .
Время обратно пропорционально скорости:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличивается скорость, при том же пути, во столько же раз уменьшается время:
$\frac{S}{2v}=\frac{t}{2}$;
$\frac{S}{3v}=\frac{t}{3}$.
Запишем условие задачи в виде таблицы:
Автомобиль проехал $60$ км - за время $6$ часов
Автомобиль проедет $120$ км – за время $x$ часов
Чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами обратно пропорциональная.
Составим пропорцию.
Т.к. пропорциональность обратная, второе отношение в пропорции переворачиваем:
$\frac{60}{120}=\frac{x}{6}$;
$x=\frac{60 \cdot 6}{120}$;
Ответ : автомобилю потребуется $3$ часа.
Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.
Такие разные пропорциональности
Пропорциональностью называют две величины, которые взаимно зависимы друг от друга.
Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.
Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.
Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки. Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.
Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).
Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.
Функция и ее график
Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x . В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.
Эта функция обладает следующими свойствами:
- Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D (y ): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Не имеет наибольших и наименьших значений.
- Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
- Непериодическая.
- Ее график не пересекает оси координат.
- Не имеет нулей.
- Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:
Задачи на обратную пропорциональность
Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.
Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?
Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.
Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V 2 , которая по условию выше в 2 раза: V 2 = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t 2 , которое требуется от нас по условию задачи: t 2 = 360/120 = 3 ч.
Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.
Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:
↓ 60 км/ч – 6 ч
↓120 км/ч – х ч
Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.
Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?
Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:
↓ 6 рабочих – 4 ч
↓ 3 рабочих – х ч
Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.
Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?
Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.
Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:
↓ 120 л/мин – 45 мин
↓ х л/мин – 75 мин
А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.
В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.
Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?
Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:
↓ 42 визитки/ч – 8 ч
↓ 48 визитки/ч – х ч
Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:
42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.
Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.
Заключение
Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.
Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.
Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.