Упрощение логических выражений. Как упрощать алгебраические выражения

Известно, что в математике никак не обойтись без упрощения выражений. Это необходимо для правильного и быстрого решения самых разнообразных задач, а также различного рода уравнений. Обсуждаемое упрощение подразумевает под собой уменьшение количества действий, необходимых для достижения поставленной цели. В результате вычисления заметным образом облегчаются, а время существенно экономится. Но, как упростить выражение? Для этого используются установленные математические соотношения, часто именуемые формулами, либо же законами, которые позволяют делать выражения гораздо короче, упрощая тем самым расчеты.

Не секрет, что состоянием на сегодняшний день не представляет труда упростить выражение онлайн. Приведем ссылки на некоторые наиболее популярные из них:

Однако обойтись так можно далеко не с каждым выражением. Поэтому рассмотрим подробнее более традиционные методы.

Вынесение общего делителя

В том случае, когда в одном выражении присутствуют одночлены, обладающие одинаковыми множителями, можно находить при них сумму коэффициентов, а потом умножать на общий для них множитель. Эта операция также носит название "вынесения общего делителя". Последовательно используя данный метод, порою можно достаточно существенно упростить выражение. Алгебра ведь вообще, в целом, построена на группировке и перегруппировке множителей и делителей.

Простейшие формулы сокращенного умножения

Одним из следствий ранее описанного метода являются формулы сокращенного умножения. Как упрощать выражения с их помощью гораздо понятнее тем, кто даже не вызубрил эти формулы наизусть, а знает, которым образом они выводятся, то есть, откуда берутся, а соответственно их математическую природу. В принципе, предыдущее высказывание сохраняет свою силу во всей современной математике, начиная от первого класса и заканчивая высшими курсами механико-математических факультетов. Разность квадратов, квадрат разности и суммы, сумма и разность кубов – все эти формулы повсеместно используются в элементарной, а также высшей математике в тех случаях, когда для решения поставленных задач необходимо упростить выражение. Примеры таких преобразований можно без труда найти в любом школьном учебнике по алгебре, либо же, что еще проще, на просторах всемирной сети.

Степени корни

Элементарная математика, если посмотреть на нее в целом, вооружена не так уж и многими способами, при помощи которых можно упростить выражение. Степени и действия с ними, как правило, удаются большинству учащихся сравнительно легко. Только вот у многих современных школьников и студентов возникают немалые трудности, когда необходимо упростить выражение с корнями. И это совершенно безосновательно. Потому как математическая природа корней ничем не отличается от природы тех же степеней, с которыми, как правило, трудностей гораздо меньше. Известно, что квадратный корень от числа, переменной или выражения представляет собой ничто иное как то же число, переменную или выражение в степени "одна вторая", кубический корень – то же самое в степени "одна третья" и так далее по соответствию.

Упрощения выражений с дробями

Рассмотрим также часто встречающийся пример того, как упростить выражение с дробями. В тех случаях, когда выражения представляют собой натуральные дроби, следует выделять из знаменателя и числителя общий множитель, а затем сокращать дробь на него. Когда же одночлены обладают одинаковыми множителями, возведенными в степени, необходимо следить при их суммировании за равенством степеней.

Упрощение простейших тригонометрических выражений

Некоторым особняком стоит разговор о том, как упростить тригонометрическое выражение. Широчайший раздел тригонометрии является, пожалуй, первым этапом, на котором изучающим математику предстоит столкнуться с несколько абстрактными понятиями, задачами и методами их решения. Здесь существуют свои соответствующие формулы, первой из которых является основное тригонометрическое тождество. Имея достаточный математический склад ума, можно проследить планомерное выведение из этого тождества всех основных тригонометрических тождеств и формул, среди которых формулы разности и суммы аргументов, двойных, тройных аргументов, формулы приведения и многие другие. Разумеется, что забывать здесь не стоит и самые первые методы, наподобие вынесения общего множителя, которые в полной мере используются наряду с новыми способами и формулами.

Для подведения итогов, предоставим читателю несколько советов общего характера:

Многочлены следует раскладывать на множители, то есть представлять их в форме произведения некоторого количества сомножителей – одночленов и многочленов. Если существует такая возможность, необходимо выносить за скобки общий множитель.
Лучше все-таки выучить на память все без исключения формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много, но именно они при этом являются основой при упрощении математических выражений. Не стоит также забывать о способе выделения полных квадратов в трехчленах, являющемся обратным действием к одной из формул сокращенного умножения.
Все существующие в выражении дроби следует сокращать как можно чаще. При этом не забывайте, что сокращаются только множители. В том случае, когда знаменатель и числитель алгебраических дробей умножается на одно и то же самое число, которое отличается от нуля, значения дробей не меняются.
В целом все выражения можно преобразовывать по действиям, либо ж цепочкой. Первый способ более предпочтителен, т.к. результаты промежуточных действий проверяются легче.
Достаточно часто в математических выражениях приходиться извлекать корни. Следует помнить, что корни четных степеней могут извлекаться только лишь из неотрицательного числа или выражения, а корни нечетных степеней совершенно из любых выражений или чисел.

Надеемся, наша статья поможет Вам, в дальнейнем, разбираться в математических формулах и научит применять их на практике.

С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример : от числа нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

Решение

1) Представим как

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:

3) можно представить как и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1) 2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

Третье из выражений ).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей - слагаемых с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

Наше выражение равно единице при всех значениях кроме этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:

Упражнения

1. Найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:

2. Разложить на множители.

§ 1 Понятие упрощения буквенного выражения

В этом занятии познакомимся с понятием «подобные слагаемые» и на примерах научимся выполнять приведение подобных слагаемых, упрощая, таким образом, буквенные выражения.

Выясним смысл понятия «упрощение». Слово «упрощение» образовано от слова «упрости́ть». Упрости́ть - значит сделать простым, проще. Следовательно, упростить буквенное выражение - это сделать его более коротким, с минимальным количеством действий.

Рассмотрим выражение 9х + 4х. Это буквенное выражение, которое является суммой. Слагаемые здесь представлены в виде произведений числа и буквы. Числовой множитель таких слагаемых называется коэффициентом. В этом выражении коэффициентами будут числа 9 и 4. Обратите внимание, множитель, представленный буквой - одинаковый в обоих слагаемых данной суммы.

Вспомним распределительный закон умножения:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В общем виде записывается так: (а + b) ∙ с = ac + bc.

Этот закон выполняется в обе стороны ac + bc = (а + b) ∙ с

Применим его к нашему буквенному выражению: сумма произведений 9х и 4х равна произведению, первый множитель которого равен сумме 9 и 4, второй множитель - х.

9 + 4 = 13, получается 13х.

9х + 4 х = (9 + 4)х = 13х.

Вместо трех действий в выражении осталось одно действие - умножение. Значит, мы сделали наше буквенное выражение проще, т.е. упрости́ли его.

§ 2 Приведение подобных слагаемых

Слагаемые 9х и 4х отличаются только своими коэффициентами - такие слагаемые называют подобными. Буквенная часть у подобных слагаемых одинаковая. К подобным слагаемым относятся также числа и равные слагаемые.

Например, в выражении 9а + 12 - 15 подобными слагаемыми будут числа 12 и -15, а в сумме произведения 12 и 6а, числа 14 и произведения 12 и 6а (12 ∙6а + 14 + 12 ∙ 6а) подобными будут равные слагаемые, представленные произведением 12 и 6а.

Важно отметить, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя к ним полезно иногда применить распределительный закон умножения, например, сумма произведений 5х и 5у равна произведению числа 5 и суммы х и у

5х + 5y = 5(x + y).

Упрости́м выражение -9а + 15а - 4 + 10.

Подобными слагаемыми в данном случае являются слагаемые -9а и 15а, так как они отличаются только своими коэффициентами. Буквенный множитель у них одинаковый, также подобными являются слагаемые -4 и 10, так как являются числами. Складываем подобные слагаемые:

9а + 15а - 4 + 10

9а + 15а = 6а;

Получаем: 6а + 6.

Упрощая выражение, мы находили суммы подобных слагаемых, в математике это называют приведением подобных слагаемых.

Если приведение подобных слагаемых вызывает затруднение, можно придумать к ним слова и складывать предметы.

Например, рассмотрим выражение:

На каждую букву берем свой предмет: b-яблоко, с-груша, тогда получится: 2 яблока минус 5 груш плюс 8 груш.

Можем из яблок вычесть груши? Конечно, нет. А вот к минус 5 грушам прибавить 8 груш можем.

Приведем подобные слагаемые -5 груш + 8 груш. У подобных слагаемых буквенная часть одинаковая, поэтому при приведении подобных слагаемых достаточно выполнить сложение коэффициентов и к результату дописать буквенную часть:

(-5 + 8) груш - получится 3 груши.

Возвращаясь к нашему буквенному выражению, имеем -5 с + 8с = 3с. Таким образом, после приведения подобных слагаемых получим выражение 2b + 3с.

Итак, на этом занятии Вы познакомились с понятием «подобные слагаемые» и научились упрощать буквенные выражения путем приведения подобных слагаемых.

Список использованной литературы:

Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009.
Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. М.: «Просвещение», 2010.
Математика. 6 класс: учеб.для общеобразоват.учреждений/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.:Мнемозина, 2013.
Математика. 6 кл.:учебник/Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.

Использованные изображения:

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Определение 1

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

В качестве показателя может выступать переменная 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12) .

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4 .

Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

Ответ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Пример 3

Представьте выражение со степенями 9 - b 3 · π - 1 2 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

9 - b 3 · π - 1 2 = 3 2 - b 3 · π - 1 2 = = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1

Ответ: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1) .

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s - произвольные действительные числа:

Определение 2

a r · a s = a r + s ;
a r: a s = a r − s ;
(a · b) r = a r · b r ;
(a: b) r = a r: b r ;
(a r) s = a r · s .

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Пример 4

Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Ответ: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Пример 5

Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Есть еще один способ провести преобразования:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Пример 6

Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

Решение

Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

Ответ: t 3 − t − 6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 7

Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = - 12 2 + x 2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример 8

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Пример 9

Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 .

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Получаем:

30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Ответ: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Пример 10

Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

Вычтем числители:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Теперь умножаем дроби:

4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2 . Получаем дробь x 3 4 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Пример 12

Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞) .

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0 .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 = 0 .

Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter