Нахождение общего кратного двух чисел. Способы нахождения наименьшего общего кратного, нок - это, и все пояснения

Второе число: b=

Разделитель разрядов Без разделителя пробел " ´

Результат:

Наименьшее общее кратное НОК(a ,b )=468

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Обозначается НОД(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка. Обозначается НОК(a,b), или lcm(a,b).

Целые числа a и b называются взаимно простыми , если они не имеют никаких общих делителей кроме +1 и −1.

Наибольший общий делитель

Пусть даны два положительных числа a 1 и a 2 1). Требуется найти общий делитель этих чисел, т.е. найти такое число λ , которое делит числа a 1 и a 2 одновременно. Опишем алгоритм.

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Пусть a 1 ≥ a 2 , и пусть

где m 1 , a 3 некоторые целые числа, a 3 <a 2 (остаток от деления a 1 на a 2 должен быть меньше a 2).

Предположим, что λ делит a 1 и a 2 , тогда λ делит m 1 a 2 и λ делит a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Утверждение 2 статьи "Делимость чисел. Признак делимости"). Отсюда следует, что всякий общий делитель a 1 и a 2 является общим делителем a 2 и a 3 . Справедливо и обратное, если λ общий делитель a 2 и a 3 , то m 1 a 2 и a 1 =m 1 a 2 +a 3 также делятся на λ . Следовательно общий делитель a 2 и a 3 есть также общий делитель a 1 и a 2 . Так как a 3 <a 2 ≤a 1 , то можно сказать, что решение задачи по нахождению общего делителя чисел a 1 и a 2 сведено к более простой задаче нахождения общего делителя чисел a 2 и a 3 .

Если a 3 ≠0, то можно разделить a 2 на a 3 . Тогда

где m 1 и a 4 некоторые целые числа, (a 4 остаток от деления a 2 на a 3 (a 4 <a 3)). Аналогичными рассуждениями мы приходим к выводу, что общие делители чисел a 3 и a 4 совпадают с общими делителями чисел a 2 и a 3 , и также с общими делителями a 1 и a 2 . Так как a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... числа, постоянно убывающие, и так как существует конечное число целых чисел между a 2 и 0, то на каком то шаге n , остаток от деления a n на a n+1 будет равен нулю (a n+2 =0).

Каждый общий делитель λ чисел a 1 и a 2 также делитель чисел a 2 и a 3 , a 3 и a 4 , .... a n и a n+1 . Справедливо и обратное, общие делители чисел a n и a n+1 являются также делителями чисел a n−1 и a n , .... , a 2 и a 3 , a 1 и a 2 . Но общий делитель чисел a n и a n+1 является число a n+1 , т.к. a n и a n+1 без остатка делятся на a n+1 (вспомним, что a n+2 =0). Следовательно a n+1 является и делителем чисел a 1 и a 2 .

Отметим, что число a n+1 является наибольшим из делителей чисел a n и a n+1 , так как наибольший делитель a n+1 является сам a n+1 . Если a n+1 можно представить в виде произведения целых чисел, то эти числа также являются общими делителями чисел a 1 и a 2 . Число a n+1 называют наибольшим общим делителем чисел a 1 и a 2 .

Числа a 1 и a 2 могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Если один из чисел равен нулю, то наибольший общий делитель этих чисел будет равен абсолютной величине другого числа. Наибольший общий делитель нулевых чисел не определен.

Вышеизложенный алгоритм называется алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Пример нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

Найти наибольший общий делитель двух чисел 630 и 434.

Шаг 1. Делим число 630 на 434. Остаток 196.
Шаг 2. Делим число 434 на 196. Остаток 42.
Шаг 3. Делим число 196 на 42. Остаток 28.
Шаг 4. Делим число 42 на 28. Остаток 14.
Шаг 5. Делим число 28 на 14. Остаток 0.

На шаге 5 остаток от деления равен 0. Следовательно наибольший общий делитель чисел 630 и 434 равен 14. Заметим, что числа 2 и 7 также являются делителями чисел 630 и 434.

Взаимно простые числа

Определение 1. Пусть наибольший общий делитель чисел a 1 и a 2 равен единице. Тогда эти числа называются взаимно простыми числами , не имеющими общего делителя.

Теорема 1. Если a 1 и a 2 взаимно простые числа, а λ какое то число, то любой общий делитель чисел λa 1 и a 2 является также общим делителем чисел λ и a 2 .

Доказательство. Рассмотрим алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя чисел a 1 и a 2 (см. выше).

Из условия теоремы следует, что наибольшим общим делителем чисел a 1 и a 2 , и следовательно a n и a n+1 является 1. Т.е. a n+1 =1.

Умножим все эти равенства на λ , тогда

Пусть общий делитель a 1 λ и a 2 есть δ . Тогда δ входит множителем в a 1 λ , m 1 a 2 λ и в a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (см. "Делимость чисел",Утверждение 2). Далее δ входит множителем в a 2 λ и m 2 a 3 λ , и, следовательно, входит множителем в a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Рассуждая так мы убеждаемся, что δ входит множителем в a n−1 λ и m n−1 a n λ , и, следовательно, в a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Так как a n+1 =1, то δ входит множителем в λ . Следовательно число δ является общим делителем чисел λ и a 2 .

Рассмотрим частные случаи теоремы 1.

Следствие 1. Пусть a и c простые числа относительно b . Тогда их произведение ac является простым числом относительно b .

Действительно. Из теоремы 1 ac и b имеют тех же общих делителей, что и c и b . Но числа c и b взаимно простые, т.е. имеют единственный общий делитель 1. Тогда ac и b также имеют единственный общий делитель 1. Следовательно ac и b взаимно простые.

Следствие 2. Пусть a и b взаимно простые числа и пусть b делит ak . Тогда b делит и k .

Действительно. Из условия утверждения ak и b имеют общий делитель b . В силу теоремы 1, b должен быть общим делителем b и k . Следовательно b делит k .

Следствие 1 можно обобщить.

Следствие 3. 1. Пусть числа a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m простые относительно числа b . Тогда a 1 a 2 , a 1 a 2 ·a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ···a m , произведение этих чисел простое относительно числа b .

2. Пусть имеем два ряда чисел

таких, что каждое число первого ряда простое по отношению каждого числа второго ряда. Тогда произведение

Требуется найти такие числа, которые делятся на каждое из этих чисел.

Если число делится на a 1 , то оно имеет вид sa 1 , где s какое-нибудь число. Если q есть наибольший общий делитель чисел a 1 и a 2 , то

где s 1 - некоторое целое число. Тогда

является наименьшим общим кратным чисел a 1 и a 2 .

a 1 и a 2 взаимно простые, то наименьшее общее кратное чисел a 1 и a 2:

Нужно найти наименьшее общее кратное этих чисел.

Из вышеизложенного следует, что любое кратное чисел a 1 , a 2 , a 3 должно быть кратным чисел ε и a 3 , и обратно. Пусть наименьшее общее кратное чисел ε и a 3 есть ε 1 . Далее, кратное чисел a 1 , a 2 , a 3 , a 4 должно быть кратным чисел ε 1 и a 4 . Пусть наименьшее общее кратное чисел ε 1 и a 4 есть ε 2 . Таким образом выяснили, что все кратные чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m совпадают с кратными некоторого определенного числа ε n , которое называют наименьшим общим кратным данных чисел.

В частном случае, когда числа a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m взаимно простые, то наименьшее общее кратное чисел a 1 , a 2 как было показано выше имеет вид (3). Далее, так как a 3 простое по отношению к числам a 1 , a 2 , тогда a 3 простое по отношению числа a 1 ·a 2 (Следствие 1). Значит наименьшее общее кратное чисел a 1 ,a 2 ,a 3 является число a 1 · a 2 ·a 3 . Рассуждая аналогичным образом мы приходим к следующим утверждениям.

Утверждение 1. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m равен их произведению a 1 ·a 2 ·a 3 ···a m .

Утверждение 2. Любое число, которое делится на каждое из взаимно простых чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m делится также на их произведение a 1 ·a 2 ·a 3 ···a m .

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э. Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Общие кратные

Проще говоря, любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел, является общим кратным данных целых чисел.

Можно находить общее кратное двух и большего количества целых чисел.

Пример 1

Вычислить общее кратное двух чисел: $2$ и $5$.

Решение .

По определению общим кратным чисел $2$ и $5$ является число $10$, т.к. оно кратно числу $2$ и числу $5$:

Общими кратными чисел $2$ и $5$ также будут числа $–10, 20, –20, 30, –30$ и т.д., т.к. все они делятся на числа $2$ и $5$.

Замечание 1

Нуль является общим кратным любого количества ненулевых целых чисел.

Согласно свойствам делимости, если некоторое число является общим кратным нескольких чисел, то и противоположное по знаку число также будет общим кратным заданных чисел. Это видно из рассмотренного примера.

Для заданных целых чисел всегда можно найти их общее кратное.

Пример 2

Вычислить общее кратное чисел $111$ и $55$.

Решение .

Перемножим заданные числа: $111\div 55=6105$. Несложно убедится, что число $6105$ делится на число $111$ и на число $55$:

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$.

Таким образом, число $6105$ – общее кратное чисел $111$ и $55$.

Ответ : общее кратное чисел $111$ и $55$ равно $6105$.

Но, как мы уже видели из предыдущего примера, это общее кратное не одно. Другими общими кратными будут числа $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ и т.д. Таким образом, мы пришли к следующему выводу:

Замечание 2

Любой набор целых чисел имеет бесконечное множество общих кратных.

На практике ограничиваются нахождением общих кратных только целых положительных (натуральных) чисел, т.к. множества кратных данного числа и ему противоположного совпадают.

Определение наименьшего общего кратного

Наиболее часто из всех кратных заданных чисел используют наименьшее общее кратное (НОК).

Определение 2

Наименьшее положительное общее кратное заданных целых чисел является наименьшим общим кратным этих чисел.

Пример 3

Вычислить НОК чисел $4$ и $7$.

Решение .

Т.к. у данных чисел нет общих делителей, то $НОК(4,7)=28$.

Ответ : $НОК (4,7)=28$.

Нахождение НОК через НОД

Т.к. существует связь между НОК и НОД, с ее помощью можно вычислить НОК двух целых положительных чисел :

Замечание 3

Пример 4

Вычислить НОК чисел $232$ и $84$.

Решение .

Воспользуемся формулой для нахождения НОК через НОД:

$НОК (a,b)=\frac{a\cdot b}{НОД (a,b)}$

Найдем НОД чисел $232$ и $84$ с помощью алгоритма Эвклида:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Т.е. $НОД (232, 84)=4$.

Найдем $НОК (232, 84)$:

$НОК (232,84)=\frac{232\cdot 84}{4}=58\cdot 84=4872$

Ответ : $НОК (232,84)=4872$.

Пример 5

Вычислить $НОК (23, 46)$.

Решение .

Т.к. $46$ делится нацело на $23$, то $НОД (23, 46)=23$. Найдем НОК:

$НОК (23,46)=\frac{23\cdot 46}{23}=46$

Ответ : $НОК (23,46)=46$.

Таким образом, можно сформулировать правило :

Замечание 4

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

Решение.

В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Ответ:

НОК(126, 70)=630 .

Пример.

Чему равно НОК(68, 34) ?

Решение.

Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

Ответ:

НОК(68, 34)=68 .

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

Пример.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100 .

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители
Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Выписать множители, входящие в состав первого

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$