Показательные неравенства с модулем в показателе степени. Решение показательных уравнений и неравенств
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .
Основные свойства показательной функции y = a x :
График показательной функции
Графиком показательной функции является экспонента :
Графики показательных функций (экспоненты)
Решение показательных уравнений
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:
С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.
Ответ: x = 3.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).
Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:
Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.
Ответ: x = 6.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: x = 0.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:
Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .
Ответ: x = 0.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.
Ответ: x = -1.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:
Ответ: x = 2.
Решение показательных неравенств
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:
Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение: представим исходное неравенство в виде:
Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:
Воспользуемся подстановкой:
Тогда неравенство примет вид:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
Введем новую переменную:
С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :
Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:
Окончательно получаем ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
t , находящиеся в промежутке:
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение:
Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.
Ответ: x = 1.
Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.
Сергей Валерьевич
P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.
Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а х = а b , где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:
Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и а х 1 = а х 2 , то х 1 = х 2 .
Обоснуем рассмотренное утверждение.
Предположим, что равенство х 1 = х 2 не выполняется, т.е. х 1 < х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1, то показательная функция у = а х возрастает и поэтому должно выполняться неравенство а х 1 < а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > а х 2 . В обоих случаях мы получили противоречие условию а х 1 = а х 2 .
Рассмотрим несколько задач.
Решить уравнение 4 ∙ 2 х = 1.
Решение.
Запишем уравнение в виде 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 , откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.
Ответ. х = -2.
Решить уравнение 2 3х ∙ 3 х = 576.
Решение.
Так как 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 х ∙ 3 х = 24 2 или в виде 24 х = 24 2 .
Отсюда получаем х = 2.
Ответ. х = 2.
Решить уравнение 3 х+1 – 2∙3 х - 2 = 25.
Решение.
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х - 2 , получаем 3 х - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 х - 2 ∙ 25 = 25,
откуда 3 х - 2 = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2.
Ответ. х = 2.
Решить уравнение 3 х = 7 х.
Решение.
Так как 7 х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3 х /7 х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.
Ответ. х = 0.
Решить уравнение 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0.
Решение.
Заменой 3 х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а 2 – 4а – 45 = 0.
Решая это уравнение, находим его корни: а 1 = 9, а 2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ. х = 2.
Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а х > а b или а х < а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Рассмотрим некоторые задачи.
Решить неравенство 3 х < 81.
Решение.
Запишем неравенство в виде 3 х < 3 4 . Так как 3 > 1, то функция у = 3 х является возрастающей.
Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Таким образом, при х < 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Ответ. х < 4.
Решить неравенство 16 х +4 х – 2 > 0.
Решение.
Обозначим 4 х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.
Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1.
Так как t = 4 х, то получим два неравенства 4 х < -2, 4 х > 1.
Первое неравенство не имеет решений, так как 4 х > 0 при всех х € R.
Второе неравенство запишем в виде 4 х > 4 0 , откуда х > 0.
Ответ. х > 0.
Графически решить уравнение (1/3) х = х – 2/3.
Решение.
1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х – 2/3.
2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что
х = 1 – корень данного уравнения:
(1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.
Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.
3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х < 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Ответ. х = 1.
Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х – 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств
1. Определение и свойства показательной функции
Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.
Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.
Рис. 1. График показательной функции
На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.
Обе кривые проходят через точку (0;1)
Свойства показательной функции :
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция монотонна, при возрастает, при убывает.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (). При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().
2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример
На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:
Методика решения неравенств:
Уравнять основания степеней;
Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.
Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.
Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:
Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:
Основание степени меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:
Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:
По теореме Виета находим корни:
Ветви параболы направлены вверх.
Таким образом, имеем решение неравенства:
Несложно догадаться, что правую часть можно представить как степень с нулевым показателем:
Основание степени больше единицы, знак неравенства не меняется, получаем:
Напомним методику решения таких неравенств.
Рассматриваем дробно-рациональную функцию:
Находим область определения:
Находим корни функции:
Функция имеет единственный корень, 
Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:
Рис. 2. Интервалы знакопостоянства
Таким образом, получили ответ.
Ответ: 
3. Решение типовых показательных неравенств
Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но различными основаниями.
Одно из свойств показательной функции - она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:
Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.
Проиллюстрируем решение:
На рисунке 6.3 изображены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4
Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:
Приведем подобные члены:
Разделим обе части на :
Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на :
Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:
4. Графическое решение показательных неравенств
Пример 6 - решить неравенство графически:
Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.
Функция - экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.
Функция - линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.
Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа ()
Несложно заметить, что корнем данной системы является :
Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.
Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: (рисунок 6.4)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6
Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Просвещение.
Math. md . Mathematics-repetition. com . Diffur. kemsu. ru .
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 472, 473;
2. Решить неравенство:
3. Решить неравенство.
а x = b - простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.
Решение показательных уравнений
Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b
Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a
больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0 Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a
не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c . Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Представим 25 как 5 2 , получим: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Или что равносильно: x 2 - 2*x - 1 = 2. Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1. Ответ: 3;-1. Решим уравнение 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение: t 2 - 5*t + 4 = 0. Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4. Ответ: 0;2. Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0 Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 - 3*x) < 4. Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Получим: 7 - 3*x>-2. Отсюда: х<3. Ответ: х<3. Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.
Тогда очевидно, что с
будет являться решением уравнения a x = a c .
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4Решение показательных неравенств