Kvadrat forma anlayışı. Kvadrat formanın matrisi. Kvadrat formanın kanonik forması. Laqranj üsulu. Kvadrat formanın normal görünüşü. Kvadrat formanın rütbəsi, indeksi və imzası. Müsbət müəyyən kvadrat forma. Kvadriklər.

Kvadrat forma anlayışı: vektorun koordinatlarında ikinci dərəcəli bircinsli çoxhədli ilə təyin olunan vektor fəzasında funksiya.

Kvadrat formadan n naməlum hər bir üzvü ya bu naməlumlardan birinin kvadratı, ya da iki fərqli naməlumun hasili olan cəmi adlanır.

Kvadrat matris: Matris verilmiş əsasda kvadrat formalı matris adlanır. Sahənin xarakteristikası 2-yə bərabər deyilsə, kvadrat formanın matrisinin simmetrik olduğunu güman edə bilərik, yəni.

Kvadrat formanın matrisini yazın:

Beləliklə,

Vektor matris formasında kvadrat forma belədir:

A, harada

Kvadrat formanın kanonik forması: Kvadrat forma, əgər hamısı varsa, kanonik adlanır yəni.

İstənilən kvadrat forma xətti çevrilmələrdən istifadə edərək kanonik formaya endirilə bilər. Praktikada adətən aşağıdakı üsullardan istifadə olunur.

Laqranj üsulu : tam kvadratların ardıcıl seçimi. Məsələn, əgər

Sonra kvadrat forma ilə oxşar prosedur həyata keçirilir və s. Kvadrat formada hər şey ancaq olarsa sonra ilkin transformasiyadan sonra məsələ baxılan prosedura keçir. Beləliklə, məsələn, əgər güman edirik

Kvadrat formanın normal forması: Normal kvadrat forma, bütün əmsalların +1 və ya -1-ə bərabər olduğu kanonik kvadrat formadır.

Kvadrat formanın rütbəsi, indeksi və imzası: Kvadrat formanın dərəcəsi A matrisin dərəcəsi adlanır A. Kvadrat formanın rütbəsi naməlumların degenerativ çevrilmələri zamanı dəyişmir.

Mənfi əmsalların sayı mənfi forma indeksi adlanır.

Kanonik formada olan müsbət hədlərin sayı kvadrat formanın müsbət ətalət göstəricisi, mənfi hədlərin sayı isə mənfi indeks adlanır. Müsbət və mənfi indekslər arasındakı fərq kvadrat formanın imzası adlanır

Müsbət müəyyən kvadrat forma: Həqiqi kvadrat forma eyni zamanda sıfır olmayan dəyişənlərin hər hansı real qiymətləri üçün müsbət müəyyən (mənfi müəyyən) adlanır,

. (36)

Bu vəziyyətdə matrisə müsbət müəyyən (mənfi müəyyən) də deyilir.

Müsbət müəyyən (mənfi müəyyən) formalar sinfi qeyri-mənfi (müsbət olmayan) formalar sinfinin bir hissəsidir.

Kvadriklər: Kvadrat - n-ölçülü hipersəth n+1-ölçülü fəza, ikinci dərəcəli çoxhədlinin sıfırlar çoxluğu kimi müəyyən edilir. koordinatları daxil etsəniz ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (Evklid və ya afin fəzada), kvadratın ümumi tənliyi

Bu tənliyi matris notasiyasında daha yığcam şəkildə yenidən yazmaq olar:

burada x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — sıra vektoru, x T köçürülmüş vektordur, Q- ölçü matrisi ( n+1)×( n+1) (onun elementlərindən ən azı birinin sıfırdan fərqli olduğu güman edilir), P sıra vektorudur və R- Sabit. Həqiqi və ya mürəkkəb ədədlər üzərində kvadrikalar ən çox nəzərə alınır. Tərif proyektiv fəzada kvadratlara qədər genişləndirilə bilər, aşağıya baxın.

Daha ümumi olaraq, çoxhədli tənliklər sisteminin sıfırlar çoxluğu cəbri müxtəliflik kimi tanınır. Beləliklə, kvadrik ikinci dərəcəli və 1-ci kod ölçüsünün (affin və ya proyektiv) cəbri müxtəlifliyidir.

Təyyarə və kosmosun çevrilmələri.

Müstəvi çevrilmənin tərifi. Hərəkət aşkarlanması. hərəkət xüsusiyyətləri. İki növ hərəkət: birinci növ hərəkət və ikinci növ hərəkət. Hərəkət nümunələri. Hərəkətin analitik ifadəsi. Təyyarə hərəkətlərinin təsnifatı (sabit nöqtələrin və invariant xətlərin mövcudluğundan asılı olaraq). Təyyarə hərəkətləri qrupu.

Müstəvi çevrilmənin tərifi: Tərif. Nöqtələr arasındakı məsafəni qoruyan müstəvi çevrilmə adlanır hərəkat təyyarənin (və ya hərəkəti). Təyyarə çevrilməsi adlanır affin, əgər o, eyni xətt üzərində yerləşən hər hansı üç nöqtəni eyni xətt üzərində yerləşən və eyni zamanda üç nöqtənin sadə əlaqəsini saxlayaraq üç nöqtəyə çevirirsə.

Hərəkət Tərifi: Bunlar nöqtələr arasındakı məsafələri qoruyan forma çevrilmələridir. Əgər iki fiqur hərəkətlə bir-birinə dəqiq uyğunlaşdırılıbsa, bu rəqəmlər eynidir, bərabərdir.

Hərəkət xüsusiyyətləri: Təyyarənin hər bir oriyentasiyanı qoruyan hərəkəti ya paralel tərcümədir, ya da fırlanmadır; Hərəkət edərkən düz xətt üzərində yerləşən nöqtələr düz xətt üzərində yerləşən nöqtələrə çevrilir və onların nisbi mövqelərinin sırası qorunur. Hərəkət edərkən yarım xətlər arasındakı bucaqlar qorunur.

İki növ hərəkət: birinci növ hərəkət və ikinci növ hərəkət: Birinci növ hərəkətlər müəyyən bir fiqurun əsaslarının istiqamətini qoruyan hərəkətlərdir. Onlar davamlı hərəkətlərlə həyata keçirilə bilər.

İkinci növ hərəkətlər əsasların istiqamətini əksinə dəyişdirən hərəkətlərdir. Bunlar davamlı hərəkətlərlə həyata keçirilə bilməz.

Birinci növ hərəkətlərə misal olaraq düz xətt ətrafında tərcümə və fırlanma, ikinci növ hərəkətlər isə mərkəzi və güzgü simmetriyalarıdır.

İstənilən sayda birinci növ hərəkətin tərkibi birinci növ hərəkətdir.

İkinci növ cüt sayda hərəkətlərin tərkibi 1-ci növ hərəkət, 2-ci növ tək sayda hərəkətlərin tərkibi isə 2-ci növ hərəkətdir.

Hərəkət nümunələri:Paralel köçürmə. Verilmiş vektor a olsun. a vektoruna paralel köçürmə, müstəvidə hər bir M nöqtəsinin M 1 nöqtəsi ilə xəritələşdirilməsidir, beləliklə, MM 1 vektoru a vektoruna bərabərdir.

Paralel tərcümə bir hərəkətdir, çünki o, məsafələri qoruyub saxlayaraq müstəvini öz üzərinə çəkməkdir. Bu hərəkət vizual olaraq bütün təyyarənin uzunluğuna görə verilmiş a vektoru istiqamətində sürüşməsi kimi təqdim edilə bilər.

Döndürün. Müstəvidə O nöqtəsini işarə edək ( dönüş mərkəzi) və α bucağını təyin edin ( fırlanma bucağı). Təyyarənin O nöqtəsi ətrafında α bucağı ilə fırlanması, müstəvinin öz üzərinə çəkilməsidir, burada hər bir M nöqtəsi M 1 nöqtəsinə çəkilir ki, OM = OM 1 və MOM 1 bucağı α-ya bərabər olsun. Bu halda, O nöqtəsi öz yerində qalır, yəni öz üzərinə çəkilir və bütün digər nöqtələr O nöqtəsi ətrafında eyni istiqamətdə - saat əqrəbinin və ya saat yönünün əksinə fırlanır (şəkildə saat yönünün əksinə fırlanma göstərilir).

Fırlanma bir hərəkətdir, çünki o, məsafələrin qorunduğu təyyarənin öz üzərində xəritələşdirilməsini təmsil edir.

Hərəkətin analitik ifadəsi:ön təsvirin koordinatları ilə nöqtənin təsviri arasında analitik əlaqə (1) formasına malikdir.

Müstəvi hərəkətlərin təsnifatı (sabit nöqtələrin və invariant xətlərin mövcudluğundan asılı olaraq): Tərif:

Müstəvidəki bir nöqtə, əgər verilmiş çevrilmə altında özünə çevrilirsə, dəyişməz (sabit) olur.

Misal: Mərkəzi simmetriya ilə simmetriya mərkəzinin nöqtəsi dəyişməzdir. Dönərkən fırlanma mərkəzinin nöqtəsi dəyişməzdir. Eksenel simmetriya ilə invariant xətt düz xəttdir - simmetriya oxu dəyişməz nöqtələrin düz xəttidir.

Teorem: Hərəkətin tək dəyişməz nöqtəsi yoxdursa, deməli, onun ən azı bir dəyişməz istiqaməti var.

Misal: Paralel köçürmə. Həqiqətən də bu istiqamətə paralel düz xətlər invariant nöqtələrdən ibarət olmasa da, bütövlükdə fiqur kimi invariantdır.

Teorem: Şüa hərəkət edirsə, şüa özünə çevrilir, onda bu hərəkət verilmiş şüanı ehtiva edən düz xəttə nisbətən ya eyni çevrilmədir, ya da simmetriyadır.

Buna görə də, dəyişməz nöqtələrin və ya rəqəmlərin mövcudluğuna əsaslanaraq, hərəkətləri təsnif etmək mümkündür.

Hərəkət adı	İnvariant nöqtələr	İnvariant xətlər
Birinci növ hərəkət.
1. - dönmək	(mərkəz) - 0	Yox
2. Şəxsiyyətin transformasiyası	təyyarənin bütün nöqtələri	hamısı düz
3. Mərkəzi simmetriya	nöqtə 0 - mərkəz	0 nöqtəsindən keçən bütün xətlər
4. Paralel köçürmə	Yox	hamısı düz
İkinci növ hərəkət.
5. Eksenel simmetriya.	nöqtələr dəsti	simmetriya oxu (düz xətt) bütün düz xətlər

Təyyarə hərəkət qrupu: Həndəsədə fiqurların öz-özünə kompozisiya qrupları mühüm rol oynayır. Əgər müstəvidə (və ya kosmosda) müəyyən bir fiqurdursa, onda fiqurun özünə çevrildiyi təyyarənin (və ya fəzanın) bütün hərəkətlərinin toplusunu nəzərdən keçirə bilərik.

Bu dəst qrupdur. Məsələn, bərabərtərəfli üçbucaq üçün üçbucağı özünə çevirən müstəvi hərəkətlər qrupu 6 elementdən ibarətdir: bir nöqtə ətrafında bucaqlar vasitəsilə fırlanmalar və üç düz xətt ətrafında simmetriyalar.

Onlar Şəkildə göstərilmişdir. 1 qırmızı xətt. Düzgün üçbucağın öz-özünə düzülmə qrupunun elementləri fərqli şəkildə göstərilə bilər. Bunu izah etmək üçün normal üçbucağın təpələrini 1, 2, 3 rəqəmləri ilə nömrələyək. Üçbucağın hər hansı bir öz-özünə düzülməsi 1, 2, 3 nöqtələrini eyni nöqtələrə aparır, lakin fərqli qaydada götürülür, yəni. şərti olaraq bu mötərizələrdən biri şəklində yazıla bilər:

və s.

burada 1, 2, 3 rəqəmləri baxılan hərəkət nəticəsində 1, 2, 3 təpələrinin daxil olduğu təpələrin nömrələrini göstərir.

Proyektiv fəzalar və onların modelləri.

Proyektiv fəza anlayışı və proyektiv fəza modeli. Proyektiv həndəsənin əsas faktları. O nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş xətlər dəstəsi proyeksiya müstəvisinin modelidir. Proyektiv nöqtələr. Uzatılmış təyyarə proyektiv müstəvinin bir modelidir. Genişləndirilmiş üçölçülü afin və ya Evklid fəzası proyektiv fəzanın modelidir. Paralel dizaynda düz və fəza fiqurlarının şəkilləri.

Proyektiv fəza anlayışı və proyektiv fəza modeli:

Sahənin üzərindəki proyektiv fəza müəyyən bir sahə üzərində hansısa xətti fəzanın xətlərindən (birölçülü alt fəzalardan) ibarət fəzadır. Birbaşa boşluqlar deyilir nöqtələr proyektiv məkan. Bu tərif ixtiyari bir orqan üçün ümumiləşdirilə bilər

Əgər onun ölçüsü varsa, o zaman proyektiv fəzanın ölçüsü ədəd adlanır və proyektiv fəzanın özü işarələnir və onunla əlaqələndirilir (bunu göstərmək üçün qeyd qəbul edilir).

Ölçü vektor fəzasından müvafiq proyektiv fəzaya keçid deyilir proyektivləşdirmə boşluq.

Nöqtələr homojen koordinatlardan istifadə etməklə təsvir edilə bilər.

Proyektiv həndəsənin əsas faktları: Proyektiv həndəsə proyektiv müstəviləri və fəzaları öyrənən həndəsə sahəsidir. Proyektiv həndəsənin əsas xüsusiyyəti bir çox dizayna zərif simmetriya əlavə edən ikilik prinsipidir. Proyektiv həndəsə həm sırf həndəsi nöqteyi-nəzərdən, həm də analitik (homogen koordinatlardan istifadə etməklə) və salqebraik nöqteyi-nəzərdən, proyeksiya müstəvisini sahə üzərində struktur kimi nəzərə alaraq öyrənilə bilər. Çox vaxt və tarixən həqiqi proyektiv müstəvi "sonsuzluq xətti" əlavə edilməklə Evklid müstəvisi hesab olunur.

Halbuki Evklid həndəsəsinin məşğul olduğu fiqurların xüsusiyyətləri metrik(bucaqların, seqmentlərin, sahələrin xüsusi dəyərləri) və rəqəmlərin ekvivalentliyi onlara bərabərdir uyğunluq(yəni, fiqurlar metrik xassələri qoruyarkən hərəkət vasitəsilə bir-birinə çevrilə bildikdə), həndəsi fiqurların hərəkətdən daha ümumi tipli çevrilmələr zamanı saxlanılan daha çox “dərin yatan” xüsusiyyətləri vardır. Proyektiv həndəsə sinifdə dəyişməyən fiqurların xassələrinin öyrənilməsi ilə məşğul olur proyektiv çevrilmələr, eləcə də bu transformasiyaların özləri.

Proyektiv həndəsə paralel xətlərin olması ilə mürəkkəbləşən bir çox problemə gözəl və sadə həllər təqdim etməklə Evklid həndəsəsini tamamlayır. Konus kəsiklərinin proyektiv nəzəriyyəsi xüsusilə sadə və zərifdir.

Proyektiv həndəsə üçün üç əsas yanaşma var: müstəqil aksiomatizasiya, Evklid həndəsəsinin tamamlanması və sahə üzərində quruluş.

Aksiomatizasiya

Proyektiv fəza fərqli aksiomalar dəstindən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər.

Coxeter aşağıdakıları təmin edir:

1. Düz xətt var və üzərində olmayan nöqtə.

2. Hər bir xəttin ən azı üç nöqtəsi var.

3. İki nöqtə vasitəsilə siz tam olaraq bir düz xətt çəkə bilərsiniz.

4. Əgər A, B, C, Və D- müxtəlif nöqtələr və AB Və CD kəsişir, onda A.C. Və BD kəsişmək.

5. Əgər ABC təyyarədirsə, müstəvidə olmayan ən azı bir nöqtə var ABC.

6. İki fərqli təyyarə ən azı iki nöqtəni kəsir.

7. Tam dördbucağın üç diaqonal nöqtəsi kollinear deyil.

8. Əgər üç nöqtə bir xətt üzərindədirsə X X

Proyektiv müstəvi (üçüncü ölçü olmadan) bir qədər fərqli aksiomalarla müəyyən edilir:

1. İki nöqtə vasitəsilə tam olaraq bir düz xətt çəkə bilərsiniz.

2. İstənilən iki xətt kəsişir.

3. Dörd nöqtə var, onlardan üçü bir-birinə uyğun gəlmir.

4. Tam dördbucaqlıların üç diaqonal nöqtəsi kollinear deyil.

5. Əgər üç nöqtə bir xətt üzərindədirsə Xφ-in proyektivliyinə görə invariantdır, onda bütün nöqtələr üzərindədir Xφ-ə münasibətdə invariantdır.

6. Desarq teoremi: Əgər iki üçbucaq bir nöqtədən perspektivdirsə, deməli, onlar bir xətt vasitəsilə perspektivdirlər.

Üçüncü ölçüsün mövcudluğunda, ideal nöqtə və xətt təqdim etmədən Desargues teoremini sübut etmək olar.

Genişləndirilmiş təyyarə - proyektiv təyyarə modeli: A3 affin fəzasında mərkəzi O nöqtəsində olan S(O) xətləri dəstəsini və bağlamanın mərkəzindən keçməyən Π müstəvisini götürürük: O 6∈ Π. Affin məkanda xətlər dəstəsi proyeksiya müstəvisinin modelidir. Gəlin Π müstəvisinin nöqtələr çoxluğunu birləşdirici S düz xətləri çoxluğuna uyğunlaşdıraq (Sikdirin, bu sualı verdinizsə dua edin, məni bağışlayın)

Genişləndirilmiş üçölçülü afin və ya Evklid fəzası - proyektiv fəza modeli:

Xəritəçəkməni surjective etmək üçün afin müstəvisini Π proyeksiya müstəvisinə Π formal olaraq uzatma prosesini təkrarlayırıq və Π müstəvisini düzgün olmayan nöqtələr dəsti (M∞) ilə tamamlayırıq ki, ((M∞)) = P0(O). Xəritədə S(O) müstəvilərinin hər bir müstəvisinin tərs təsviri d müstəvisində bir xətt olduğundan aydındır ki, uzadılmış müstəvinin bütün uyğun olmayan nöqtələrinin çoxluğu: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), uzadılmış müstəvinin düzgün olmayan d∞ xəttini təmsil edir, bu Π0 tək müstəvisinin tərs şəklidir: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Razılaşaq ki, burada və bundan sonra biz son bərabərliyi P0(O) = Π0 nöqtələr çoxluğunun bərabərliyi mənasında başa düşəcəyik, lakin fərqli quruluşa malikdir. Affin müstəvisini düzgün olmayan xətt ilə tamamlayaraq, xəritəçəkmənin (I.21) uzadılmış müstəvinin bütün nöqtələrinin çoxluğunda ikitərəfli olmasını təmin etdik:

Paralel dizayn zamanı düz və məkan fiqurlarının şəkilləri:

Stereometriyada məkan fiqurları öyrənilir, lakin rəsmdə onlar düz fiqurlar kimi təsvir edilir. Təyyarədə fəza fiqurunu necə təsvir etmək lazımdır? Tipik olaraq həndəsədə bunun üçün paralel dizayn istifadə olunur. Qoy p bir təyyarə olsun, l- onu kəsən düz xətt (şək. 1). İxtiyari bir nöqtə vasitəsilə A, xəttinə aid deyil l, xəttə paralel bir xətt çəkin l. Bu xəttin p müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi nöqtənin paralel proyeksiyası adlanır A düz xətt istiqamətində p müstəvisinə l. Onu işarə edək A". Əgər nöqtə A xəttinə aiddir l, sonra paralel proyeksiya ilə A xəttin kəsişmə nöqtəsi p müstəvisində hesab olunur l təyyarə ilə p.

Beləliklə, hər bir nöqtə A fəza onun proyeksiyası müqayisə edilir A" p müstəvisinə. Bu uyğunluq düz xətt istiqamətində p müstəvisinə paralel proyeksiya adlanır. l.

Proyektiv çevrilmələr qrupu. Problemin həlli üçün tətbiq.

Təyyarənin proyektiv çevrilməsi konsepsiyası. Təyyarənin proyektiv çevrilmələrinin nümunələri. Proyektiv çevrilmələrin xassələri. Homologiya, homologiyanın xassələri. Proyektiv çevrilmələr qrupu.

Təyyarənin proyektiv çevrilməsi konsepsiyası: Proyektiv çevrilmə anlayışı mərkəzi proyeksiya anlayışını ümumiləşdirir. Əgər α müstəvisinin hansısa α 1 müstəvisinə mərkəzi proyeksiyasını yerinə yetirsək, onda α 1-in α 2 üzərinə, α 2-nin α 3, ... üzərinə proyeksiyası və nəhayət, hansısa α müstəvisinə proyeksiyası. n yenidən α 1-də, onda bütün bu proyeksiyaların tərkibi α müstəvisinin proyektiv çevrilməsidir; Paralel proyeksiyaları da belə zəncirə daxil etmək olar.

Proyektiv müstəvi çevrilmələrinə nümunələr: Tamamlanmış bir müstəvinin proyektiv çevrilməsi, nöqtələrin kollinearlığının qorunduğu və ya başqa sözlə, hər hansı bir xəttin təsvirinin düz bir xətt olduğu onun bir-bir xəritələşdirilməsidir. İstənilən proyektiv çevrilmə mərkəzi və paralel proyeksiyalar zəncirinin tərkibidir. Affin çevrilmə, sonsuzluqdakı xəttin özünə çevrildiyi proyektiv çevrilmənin xüsusi halıdır.

Proyektiv çevrilmələrin xüsusiyyətləri:

Proyektiv çevrilmə zamanı bir xətt üzərində olmayan üç nöqtə bir xətt üzərində olmayan üç nöqtəyə çevrilir.

Proyektiv çevrilmə zamanı çərçivə çərçivəyə çevrilir.

Proyektiv çevrilmə zamanı xətt düz xəttə, karandaş isə qələmə keçir.

Homologiya, homologiyanın xüsusiyyətləri:

Dəyişməyən nöqtələr xətti və buna görə də invariant xətlərdən ibarət karandaş olan müstəvinin proyektiv çevrilməsi homologiya adlanır.

1. Üst-üstə düşməyən uyğun homoloji nöqtələrdən keçən xətt invariant xəttdir;

2. Üst-üstə düşməyən uyğun homoloji nöqtələrdən keçən xətlər eyni karandaşa aiddir, onun mərkəzi invariant nöqtədir.

3. Nöqtə, onun təsviri və homologiya mərkəzi eyni düz xətt üzərində yerləşir.

Proyektiv çevrilmələr qrupu: P 2 proyektiv müstəvisinin öz üzərinə proyektiv xəritələşdirilməsini, yəni bu müstəvinin proyektiv çevrilməsini (P 2 ’ = P 2) nəzərdən keçirək.

Əvvəlki kimi, P 2 proyektiv müstəvisinin f 1 və f 2 proyektiv çevrilmələrinin f tərkibi f 1 və f 2 çevrilmələrinin ardıcıl icrasının nəticəsidir: f = f 2 °f 1.

Teorem 1: P 2 proyektiv müstəvisinin bütün proyektiv çevrilmələrinin H çoxluğu proyektiv çevrilmələrin tərkibinə görə qrupdur.

Kvadrat formalar

Kvadrat forma n dəyişənin f(x 1, x 2,...,x n) hər bir üzvü ya dəyişənlərdən birinin kvadratı, ya da müəyyən əmsalla alınan iki müxtəlif dəyişənin hasili olan cəmidir: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Bu əmsallardan ibarət olan A matrisi kvadrat formalı matris adlanır. Həmişə belədir simmetrik matris (yəni əsas diaqonala görə simmetrik olan matris, a ij = a ji).

Matris qeydində kvadrat forma f(X) = X T AX, burada

Həqiqətən

Məsələn, kvadrat formanı matris formasında yazaq.

Bunun üçün kvadrat formalı matrisa tapırıq. Onun diaqonal elementləri kvadrat dəyişənlərin əmsallarına, qalan elementləri isə kvadrat formanın müvafiq əmsallarının yarısına bərabərdir. Buna görə də

Dəyişənlərin X matris sütunu Y matrisa-sütununun degenerasiya olunmayan xətti çevrilməsi ilə alınsın, yəni. X = CY, burada C n-ci dərəcəli qeyri-sinqulyar matrisdir. Sonra kvadrat forma
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Beləliklə, qeyri-degenerativ C xətti çevrilməsi ilə kvadrat formanın matrisi aşağıdakı formanı alır: A * = C T AC.

Məsələn, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kvadrat formasından xətti çevirmə yolu ilə alınan f(y 1, y 2) kvadrat formasını tapaq.

Kvadrat forma deyilir kanonik(O var kanonik görünüş), onun bütün əmsalları i ≠ j üçün a ij = 0 olarsa, yəni.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Onun matrisi diaqonaldır.

Teorem(sübut burada verilmir). İstənilən kvadrat forma qeyri-degenerativ xətti transformasiyadan istifadə edərək kanonik formaya endirilə bilər.

Məsələn, kvadrat formanı kanonik formaya endirək
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Bunu etmək üçün əvvəlcə x 1 dəyişəni ilə tam kvadrat seçin:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

İndi x 2 dəyişəni ilə tam kvadrat seçirik:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Onda y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 və y 3 = x 3 qeyri-degenerativ xətti transformasiya bu kvadrat formanı f(y 1, y 2) kanonik formasına gətirir. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Qeyd edək ki, kvadrat formanın kanonik forması birmənalı şəkildə müəyyən edilir (eyni kvadrat forma müxtəlif üsullarla kanonik formaya endirilə bilər). Bununla belə, müxtəlif üsullarla əldə edilən kanonik formalar bir sıra ümumi xüsusiyyətlərə malikdir. Xüsusilə, kvadrat formanın müsbət (mənfi) əmsallı hədlərinin sayı formanı bu formaya endirmə üsulundan asılı deyildir (məsələn, nəzərdən keçirilən nümunədə həmişə iki mənfi və bir müsbət əmsal olacaqdır). Bu əmlak adlanır kvadrat formaların ətalət qanunu.

Eyni kvadrat formanı kanonik formaya fərqli şəkildə gətirməklə bunu təsdiq edək. Transformasiyaya x 2 dəyişəni ilə başlayaq:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 və y 3 = x 1. Burada y 3-də 2 müsbət əmsal və y 1 və y 2-də iki mənfi əmsal (-3) var (və başqa bir üsuldan istifadə edərək y 1-də müsbət 2 əmsal və iki mənfi əmsal aldıq - (-5). y 2 və (-1 /20) y 3).

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, kvadrat formalı matrisin rütbəsi adlanır kvadrat formanın dərəcəsi, kanonik formanın sıfırdan fərqli əmsallarının sayına bərabərdir və xətti çevrilmələr zamanı dəyişmir.

f(X) kvadrat forması adlanır müsbət (mənfi) müəyyən, dəyişənlərin eyni vaxtda sıfıra bərabər olmayan bütün dəyərləri üçün müsbətdirsə, yəni. f(X) > 0 (mənfi, yəni.
f(X)< 0).

Məsələn, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 kvadrat forması müsbət müəyyəndir, çünki kvadratların cəmidir və f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 kvadrat forması mənfi müəyyəndir, çünki təmsil edir f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 kimi göstərilə bilər.

Əksər praktik situasiyalarda kvadrat formanın müəyyən işarəsini təyin etmək bir qədər çətindir, ona görə də bunun üçün aşağıdakı teoremlərdən birini istifadə edirik (onları sübut etmədən tərtib edəcəyik).

Teorem. Kvadrat forma müsbət (mənfi) müəyyəndir, o zaman və yalnız onun matrisinin bütün xüsusi dəyərləri müsbət (mənfi) olarsa.

Teorem (Silvester meyarı). Kvadrat forma yalnız və yalnız bu formanın matrisinin bütün aparıcı kiçikləri müsbət olduqda müsbət müəyyəndir.

Əsas (künc) kiçik A () matrisinin birinci k sətir və sütunlarından ibarət n-ci dərəcəli k-ci dərəcəli A matrisi matrisin determinantı adlanır.

Qeyd edək ki, mənfi müəyyən kvadrat formalar üçün əsas kiçiklərin işarələri bir-birini əvəz edir və birinci dərəcəli kiçik mənfi olmalıdır.

Məsələn, işarənin müəyyənliyi üçün f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kvadrat formasını araşdıraq.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Buna görə də kvadrat forma müsbət müəyyəndir.

Metod 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 birinci dərəcəli matrisin baş minoru. İkinci dərəcəli D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Buna görə də Silvestr kriteriyasına görə kvadrat forma müsbət müəyyən.

İşarənin müəyyənliyi üçün başqa kvadrat formanı araşdırırıq, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metod 1. A = kvadratik formalı matrisa quraq. Xarakterik tənlik formaya malik olacaq = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Buna görə də kvadrat forma mənfi müəyyəndir.

Bir neçə dəyişənli 2-ci dərəcəli homojen polinom kvadrat forma adlanır.

Dəyişənlərin kvadrat forması iki növdən ibarətdir: dəyişənlərin kvadratları və onların müəyyən əmsallı qoşa hasilləri. Kvadrat forma adətən aşağıdakı kvadrat diaqram kimi yazılır:

Oxşar terminlərin cütləri bərabər əmsallarla yazılır ki, onların hər biri dəyişənlərin müvafiq məhsulunun əmsalının yarısını təşkil etsin. Beləliklə, hər kvadrat forma təbii olaraq onun simmetrik olan əmsal matrisi ilə əlaqələndirilir.

Kvadrat formanı aşağıdakı matris qeydində təqdim etmək rahatdır. Gəlin X ilə dəyişənlər sütununu X ilə işarə edək - sətir, yəni X ilə köçürülmüş matrisi.

Kvadrat formalara riyaziyyatın bir çox sahələrində və onun tətbiqlərində rast gəlinir.

Ədədlər nəzəriyyəsində və kristalloqrafiyada kvadratik formalar dəyişənlərin yalnız tam qiymətləri qəbul etdiyi fərziyyəsi ilə nəzərdən keçirilir. Analitik həndəsədə kvadrat forma düzülüş əyrisinin (və ya səthinin) tənliyinin bir hissəsidir. Mexanika və fizikada kvadrat forma sistemin kinetik enerjisini ümumiləşdirilmiş sürətlərin komponentləri vasitəsilə ifadə edir və s. bunun üçün verilmiş nöqtənin qonşuluğunda bu funksiyanın ona yaxınlaşan xətti funksiyadan necə kənara çıxdığını öyrənmək vacibdir. Bu tip problemə misal olaraq funksiyanın maksimum və minimumunun öyrənilməsini göstərmək olar.

Məsələn, ardıcıl qismən törəmələri olan iki dəyişənli funksiya üçün maksimum və minimumun öyrənilməsi problemini nəzərdən keçirək. Bir nöqtənin funksiyanın maksimum və ya minimumunu verməsi üçün zəruri şərt odur ki, nöqtədəki sıranın qismən törəmələri sıfıra bərabər olsun. Dəyişənlərə x və y kiçik artımlar və k verək və Taylor düsturuna görə, bu artım, ikinci törəmələrin qiymətlərinin olduğu kvadrat formaya bərabərdir. nöqtədə hesablanır Bu kvadrat forma və k-nin bütün qiymətləri üçün müsbətdirsə, onda funksiyanın nöqtədə minimumu var, əgər mənfidirsə, o zaman maksimuma malikdir; Nəhayət, əgər forma həm müsbət, həm də mənfi qiymətlər alırsa, onda maksimum və ya minimum olmayacaq. Daha çox sayda dəyişənlərin funksiyaları da oxşar şəkildə öyrənilir.

Kvadrat formaların tədqiqi əsasən dəyişənlərin bu və ya digər xətti çevrilmə çoxluğuna görə formaların ekvivalentliyi probleminin öyrənilməsindən ibarətdir. Verilmiş çoxluğun çevrilmələrindən biri ilə onlardan biri digərinə çevrilə bilsə, iki kvadrat formanın ekvivalent olduğu deyilir. Ekvivalentlik problemi ilə sıx bağlı olan formanın azaldılması problemidir, yəni. onu bəlkə də ən sadə formaya çevirmək.

Kvadrat formalarla bağlı müxtəlif suallarda dəyişənlərin icazə verilən çevrilmələrinin müxtəlif dəstləri də nəzərdən keçirilir.

Təhlil suallarında dəyişənlərin hər hansı qeyri-xüsusi çevrilmələrindən istifadə olunur; analitik həndəsə məqsədləri üçün ortoqonal çevrilmələr daha çox maraq doğurur, yəni dəyişən Dekart koordinatlarının bir sistemindən digərinə keçidə uyğun gələnlər. Nəhayət, ədədlər nəzəriyyəsində və kristalloqrafiyada tam əmsallı və determinantı vahidə bərabər olan xətti çevrilmələr nəzərdən keçirilir.

Biz bu problemlərdən ikisini nəzərdən keçirəcəyik: kvadrat formanı hər hansı qeyri-sinqulyar çevrilmələr vasitəsilə ən sadə formaya endirmək məsələsi və ortoqonal çevrilmələr üçün eyni sual. İlk növbədə dəyişənlərin xətti çevrilməsi zamanı kvadrat formalı matrisin necə çevrildiyini öyrənək.

Qoy, burada A forma əmsallarının simmetrik matrisi, X dəyişənlər sütunudur.

kimi qısaldılmış şəkildə yazaraq dəyişənlərin xətti çevrilməsini edək. Burada C bu çevrilmənin əmsallar matrisini, X yeni dəyişənlər sütununu bildirir. Onda və deməli, çevrilmiş kvadrat formanın matrisi belədir

Matris avtomatik olaraq simmetrik olur, onu yoxlamaq asandır. Beləliklə, kvadrat formanın ən sadə formaya endirilməsi məsələsi simmetrik matrisin sol və sağda qarşılıqlı köçürülmüş matrislərə vuraraq ən sadə formaya endirilməsi məsələsinə bərabərdir.

Bu bölmədə biz müsbət kvadrat formaların xüsusi, lakin vacib sinfinə diqqət yetirəcəyik.

Tərif 3. Dəyişənlərin hər hansı real qiymətləri üçün həqiqi kvadrat forma qeyri-mənfi (müsbət olmayan) adlanır.

. (35)

Bu halda əmsalların simmetrik matrisi müsbət yarımmüəyyənlik (mənfi yarımmüəyyənlik) adlanır.

Tərif 4. Dəyişənlərin eyni vaxtda sıfır olmayan hər hansı real qiymətləri üçün həqiqi kvadrat forma müsbət müəyyən (mənfi müəyyən) adlanır.

. (36)

Bu vəziyyətdə matrisə müsbət müəyyən (mənfi müəyyən) də deyilir.

Müsbət müəyyən (mənfi müəyyən) formalar sinfi qeyri-mənfi (müsbət olmayan) formalar sinfinin bir hissəsidir.

Mənfi olmayan forma verilsin. Bunu müstəqil kvadratların cəmi kimi təsəvvür edək:

. (37)

Bu təsvirdə bütün kvadratlar müsbət olmalıdır:

. (38)

Həqiqətən, əgər hər hansı biri olsaydı, o zaman belə dəyərləri seçmək olardı

Lakin sonra, dəyişənlərin bu dəyərləri ilə forma mənfi qiymətə sahib olacaq, bu şərtlə mümkün deyil. Aydındır ki, əksinə, (37) və (38) bəndlərindən belə nəticə çıxır ki, forma müsbətdir.

Beləliklə, mənfi olmayan kvadrat forma bərabərliklərlə xarakterizə olunur.

İndi müsbət müəyyən forma olsun. Sonra mənfi olmayan bir formadır. Buna görə də, hamısı müsbət olan (37) şəklində təqdim edilə bilər. Formanın müsbət müəyyənliyindən belə çıxır ki . Həqiqətən, eyni vaxtda sıfıra bərabər olmayan dəyərləri seçmək mümkündür, bu zaman hamısı sıfıra çevriləcəkdir. Lakin sonra (37) şərtinə uyğun olaraq, (36) şərtinə ziddir.

Görmək asandır ki, əksinə, əgər (37)-də və hamısı müsbətdirsə, deməli müsbət müəyyən formadır.

Başqa sözlə, qeyri-mənfi forma yalnız və yalnız tək olmadıqda müsbət müəyyəndir.

Aşağıdakı teorem forma əmsallarının təmin etməli olduğu bərabərsizliklər şəklində formanın müsbət müəyyənliyi üçün meyar verir. Bu halda, matrisin ardıcıl əsas azyaşlıları üçün əvvəlki bəndlərdə artıq rast gəlinən qeyddən istifadə olunur:

.

Teorem 3. Kvadrat formanın müsbət müəyyən olması üçün bərabərsizliklərin ödənilməsi zəruri və kifayətdir.

Sübut. Şərtlərin (39) kafiliyi bilavasitə Yakobi düsturundan (28) irəli gəlir. Şərtlərin zəruriliyi (39) aşağıdakı kimi qurulur. Formanın müsbət müəyyənliyindən “kəsilmiş” formaların müsbət müəyyənliyi gəlir

.

Ancaq sonra bütün bu formalar qeyri-təkil olmalıdır, yəni.

İndi bizim Yakobi düsturundan (28) (at ) istifadə etmək imkanımız var. Çünki bu düsturun sağ tərəfində bütün kvadratlar müsbət olmalıdır

Bu, bərabərsizlikləri nəzərdə tutur (39). Teorem sübut edilmişdir.

Dəyişənlərin düzgün nömrələnməsi ilə matrisin hər hansı əsas minoru yuxarı sol küncdə yerləşdirilə bildiyi üçün bizdə

Nəticə. Müsbət müəyyən kvadrat formada əmsal matrisinin bütün əsas kiçikləri müsbətdir:

Şərh. Ardıcıl əsas yetkinlik yaşına çatmayanların qeyri-neqativliyindən

formanın qeyri-mənfiliyi izlənmir. Düzdür, forma

,

orada , şərtləri ödəyir, lakin mənfi deyil.

Bununla belə, aşağıdakılar qüvvədədir

Teorem 4. Kvadrat formanın qeyri-mənfi olması üçün onun əmsal matrisinin bütün böyük minorlarının qeyri-mənfi olması zəruri və kifayətdir:

Sübut. Köməkçi formanı təqdim edək, qeyri-müsbət idi, bərabərsizliklərin baş verməsi üçün zəruri və kifayətdir.

Kvadrat forma n dəyişənin f(x 1, x 2,...,x n) hər bir üzvü ya dəyişənlərdən birinin kvadratı, ya da müəyyən əmsalla alınan iki müxtəlif dəyişənin hasili olan cəmidir: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Bu əmsallardan ibarət olan A matrisi kvadrat formalı matris adlanır. Həmişə belədir simmetrik matris (yəni əsas diaqonala görə simmetrik olan matris, a ij =a ji).

Matris qeydində kvadrat forma f(X) = X T AX, burada

Həqiqətən

Məsələn, kvadrat formanı matris formasında yazaq.

Bunun üçün kvadrat formalı matrisa tapırıq. Onun diaqonal elementləri kvadrat dəyişənlərin əmsallarına, qalan elementləri isə kvadrat formanın müvafiq əmsallarının yarısına bərabərdir. Buna görə də

Dəyişənlərin X matris sütunu Y matrisa-sütununun degenerasiya olunmayan xətti çevrilməsi ilə alınsın, yəni. X = CY, burada C n-ci dərəcəli qeyri-sinqulyar matrisdir. Onda f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y kvadrat forması.

Beləliklə, qeyri-degenerativ C xətti çevrilməsi ilə kvadrat formanın matrisi aşağıdakı formanı alır: A * =C T AC.

Məsələn, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kvadrat formasından xətti çevirmə yolu ilə alınan f(y 1, y 2) kvadrat formasını tapaq.

Kvadrat forma deyilir kanonik(O var kanonik görünüş), i≠j üçün onun bütün əmsalları ij = 0 olarsa, yəni f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Onun matrisi diaqonaldır.

Teorem(sübut burada verilmir). İstənilən kvadrat forma qeyri-degenerativ xətti transformasiyadan istifadə edərək kanonik formaya endirilə bilər.

Məsələn, f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 kvadrat formasını kanonik formaya gətirək.

Bunu etmək üçün əvvəlcə x 1 dəyişəni ilə tam kvadrat seçin:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

İndi x 2 dəyişəni ilə tam kvadrat seçirik:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Onda qeyri-degenerativ xətti transformasiya y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 və y 3 = x 3 bu kvadrat formanı f(y 1,y 2,) kanonik formaya gətirir. y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Qeyd edək ki, kvadrat formanın kanonik forması birmənalı şəkildə müəyyən edilir (eyni kvadrat forma müxtəlif üsullarla kanonik formaya endirilə bilər 1). Bununla belə, müxtəlif üsullarla əldə edilən kanonik formalar bir sıra ümumi xüsusiyyətlərə malikdir. Xüsusilə, kvadrat formanın müsbət (mənfi) əmsallı hədlərinin sayı formanı bu formaya endirmə üsulundan asılı deyildir (məsələn, nəzərdən keçirilən nümunədə həmişə iki mənfi və bir müsbət əmsal olacaqdır). Bu əmlak adlanır kvadrat formaların ətalət qanunu.

Eyni kvadrat formanı kanonik formaya fərqli şəkildə gətirməklə bunu təsdiq edək. Transformasiyaya x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + dəyişəni ilə başlayaq. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 və y 3 = x 1. Burada y 3 üçün müsbət 2 əmsal və y 1 və y 2 üçün iki mənfi əmsal (-3) var (və başqa üsuldan istifadə edərək y 1 üçün müsbət 2 əmsal və iki mənfi əmsal əldə etdik - (-5) y 2 üçün və (-1/20) y 3 üçün).

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, kvadrat formalı matrisin rütbəsi adlanır kvadrat formanın dərəcəsi, kanonik formanın sıfırdan fərqli əmsallarının sayına bərabərdir və xətti çevrilmələr zamanı dəyişmir.

f(X) kvadrat forması adlanır müsbət(mənfi)müəyyən, əgər dəyişənlərin eyni vaxtda sıfır olmayan bütün qiymətləri üçün müsbətdir, yəni f(X) > 0 (mənfi, yəni f(X)< 0).

Məsələn, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 kvadrat forması müsbət müəyyəndir, çünki kvadratların cəmidir və f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 kvadrat forması mənfi müəyyəndir, çünki 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 şəklində təmsil oluna bilər.

Əksər praktik situasiyalarda kvadrat formanın müəyyən işarəsini təyin etmək bir qədər çətindir, ona görə də bunun üçün aşağıdakı teoremlərdən birini istifadə edirik (onları sübut etmədən tərtib edəcəyik).

Teorem. Kvadrat forma müsbət (mənfi) müəyyəndir, o zaman və yalnız onun matrisinin bütün xüsusi dəyərləri müsbət (mənfi) olarsa.

Teorem (Silvester meyarı). Kvadrat forma yalnız və yalnız bu formanın matrisinin bütün aparıcı kiçikləri müsbət olduqda müsbət müəyyəndir.

Əsas (künc) kiçik A () matrisinin birinci k sətir və sütunlarından ibarət olan An-ci dərəcəli k-ci dərəcəli matrislər matrisin təyinedicisi adlanır.

Qeyd edək ki, mənfi müəyyən kvadrat formalar üçün əsas kiçiklərin işarələri bir-birini əvəz edir və birinci dərəcəli kiçik mənfi olmalıdır.

Məsələn, işarənin müəyyənliyi üçün f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kvadrat formasını araşdıraq.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Buna görə də kvadrat forma müsbət müəyyəndir.

Metod 2. A matrisinin birinci dərəcəli baş minoru  1 =a 11 = 2 > 0. İkinci dərəcəli baş minor  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Buna görə də Silvestr kriteriyasına görə kvadrat forma müsbət müəyyəndir.

İşarənin müəyyənliyi üçün başqa kvadrat formanı araşdırırıq, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metod 1. A = kvadratik formalı matrisa quraq. Xarakterik tənlik formaya malik olacaq = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Buna görə də kvadrat forma mənfi müəyyəndir.

Metod 2. A  1 =a 11 = = -2 matrisinin birinci dərəcəli əsas minoru< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Buna görə də Silvestr meyarına görə kvadrat forma mənfi müəyyəndir (əsas azyaşlıların əlamətləri mənfidən başlayaraq bir-birini əvəz edir).

Başqa bir misal olaraq, işarə ilə təyin olunan f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kvadrat formasını araşdırırıq.

Metod 1. A = kvadratik formalı matrisa quraq. Xarakterik tənlik formaya malik olacaq = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Bu rəqəmlərdən biri mənfi, digəri isə müsbətdir. Şəxsi dəyərlərin əlamətləri fərqlidir. Deməli, kvadrat forma nə mənfi, nə də müsbət müəyyən ola bilər, yəni. bu kvadrat forma işarə-müəyyən deyil (hər hansı işarənin qiymətini qəbul edə bilər).

Metod 2. A matrisinin birinci dərəcəli baş minoru  1 =a 11 = 2 > 0. İkinci dərəcəli baş minor 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Dəyişənlərin kvadratları ilə sıfırdan fərqli əmsallara rast gəlindikdə kvadrat formanı kanonik formaya salmağın nəzərdən keçirilən metodundan istifadə etmək rahatdır. Əgər onlar yoxdursa, hələ də çevrilməni həyata keçirmək mümkündür, lakin bəzi digər üsullardan istifadə etməlisiniz. Məsələn, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 = olsun.

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, burada y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.