Data je definicija niza brojeva. Razmatraju se primjeri beskonačno rastućih, konvergentnih i divergentnih nizova. Razmatra se niz koji sadrži sve racionalne brojeve.

Definicija .
Numerički niz (xn) je zakon (pravilo) prema kojem je za svaki prirodni broj n = 1, 2, 3, . . . dodjeljuje se određeni broj x n.
Poziva se element x n n-ti termin ili element niza.

Niz je označen kao n-ti pojam u vitičastim zagradama: . Moguće su i sljedeće oznake: . Oni eksplicitno ukazuju da indeks n pripada skupu prirodnih brojeva i da sam niz ima beskonačan broj članova. Evo nekoliko primjera sekvenci:
, , .

Drugim riječima, niz brojeva je funkcija čija je domena definicije skup prirodnih brojeva. Broj elemenata niza je beskonačan. Među elementima mogu biti i članovi koji imaju iste vrijednosti. Takođe, niz se može smatrati numerisanim skupom brojeva koji se sastoji od beskonačnog broja članova.

Uglavnom će nas zanimati pitanje kako se sekvence ponašaju kada n teži beskonačnosti: . Ovaj materijal je predstavljen u odeljku Granica niza - osnovne teoreme i svojstva. Ovdje ćemo pogledati neke primjere sekvenci.

Primjeri sekvenci

Primjeri beskonačno rastućih sekvenci

Razmotrite sekvencu. Zajednički član ovog niza je . Zapišimo prvih nekoliko pojmova:
.
Može se vidjeti da kako se broj n povećava, elementi se neograničeno povećavaju prema pozitivnim vrijednostima. Možemo reći da ovaj niz teži: za .

Sada razmotrite niz sa zajedničkim pojmom. Evo njegovih prvih nekoliko članova:
.
Kako se broj n povećava, elementi ovog niza se neograničeno povećavaju u apsolutna vrijednost, ali nemaju stalan predznak. To jest, ovaj niz teži: na .

Primjeri nizova koji konvergiraju konačnom broju

Razmotrite sekvencu. Njen zajednički član. Prvi pojmovi imaju sljedeći oblik:
.
Može se vidjeti da kako se broj n povećava, elementi ovog niza se približavaju svojoj graničnoj vrijednosti a = 0 : at . Dakle, svaki sljedeći član je bliži nuli od prethodnog. U određenom smislu, možemo smatrati da postoji približna vrijednost za broj a = 0 sa greškom. Jasno je da kako se n povećava, ova greška teži nuli, odnosno odabirom n greška se može napraviti koliko god želite. Štaviše, za bilo koju datu grešku ε > 0 možete odrediti broj N tako da za sve elemente sa brojevima većim od N:, odstupanje broja od granične vrijednosti a neće premašiti grešku ε:.

Zatim razmotrite redoslijed. Njen zajednički član. Evo nekih od njegovih prvih članova:
.
U ovom nizu, članovi sa parnim brojevima jednaki su nuli. Članovi sa neparnim n su jednaki. Stoga, kako n raste, njihove vrijednosti se približavaju graničnoj vrijednosti a = 0 . To proizilazi i iz činjenice da
.
Kao iu prethodnom primjeru, možemo odrediti proizvoljno malu grešku ε > 0 , za koji je moguće pronaći broj N takav da će elementi s brojevima većim od N odstupati od granične vrijednosti a = 0 za iznos koji ne prelazi navedenu grešku. Stoga ovaj niz konvergira na vrijednost a = 0 : at .

Primjeri divergentnih nizova

Razmotrite niz sa sljedećim zajedničkim pojmom:

Evo njegovih prvih članova:


.
Vidi se da su pojmovi sa parnim brojevima:
,
konvergiraju na vrijednost a 1 = 0 . Neparni članovi:
,
konvergiraju na vrijednost a 2 = 2 . Sam niz, kako n raste, ne konvergira ni na jednu vrijednost.

Sekvenca sa članovima raspoređenim u intervalu (0;1)

Pogledajmo sada zanimljiviji niz. Uzmimo segment na brojevnoj pravoj. Hajde da ga podelimo na pola. Dobijamo dva segmenta. Neka
.
Podijelimo svaki od segmenata ponovo na pola. Dobijamo četiri segmenta. Neka
.
Podijelimo svaki segment ponovo na pola. Uzmimo


.
I tako dalje.

Kao rezultat, dobijamo niz čiji su elementi raspoređeni u otvorenom intervalu (0; 1) . Koju god tačku uzmemo iz zatvorenog intervala , uvijek možemo pronaći članove niza koji će biti proizvoljno blizu ovoj tački ili se poklapati s njom.

Tada se iz originalnog niza može odabrati podniz koji će konvergirati na proizvoljnu tačku iz intervala . To jest, kako se broj n povećava, članovi podniza će se sve više približavati unaprijed odabranoj tački.

Na primjer, za tačku a = 0 možete odabrati sljedeći niz:
.
= 0 .

Za tačku a = 1 Odaberimo sljedeću podniz:
.
Uvjeti ovog podniza konvergiraju vrijednosti a = 1 .

Pošto postoje podsekvence koje konvergiraju na različita značenja, tada sam originalni niz ne konvergira ni jednom broju.

Niz koji sadrži sve racionalne brojeve

Sada konstruirajmo niz koji sadrži sve racionalne brojeve. Štaviše, svaki racionalni broj će se pojaviti u takvom nizu beskonačan broj puta.

Racionalni broj r se može predstaviti na sljedeći način:
,
gdje je cijeli broj; - prirodno.
Svaki prirodni broj n trebamo povezati s parom brojeva p i q tako da bilo koji par p i q bude uključen u naš niz.

Da biste to učinili, nacrtajte ose p i q na ravni. Crtamo linije mreže kroz cjelobrojne vrijednosti p i q. Tada će svaki čvor ove mreže c odgovarati racionalnom broju. Čitav skup racionalnih brojeva će biti predstavljen skupom čvorova. Moramo pronaći način da numeriramo sve čvorove kako ne bismo propustili nijedan čvor. To je lako učiniti ako čvorove numerirate kvadratima, čiji se centri nalaze u tački (0; 0) (vidi sliku). U ovom slučaju, donji dijelovi kvadrata sa q < 1 ne treba nam. Stoga nisu prikazani na slici.

Dakle za gornja strana prvog kvadrata imamo:
.
Zatim brojimo gornji dio sljedeći kvadrat:

.
Numerimo gornji dio sljedećeg kvadrata:

.
I tako dalje.

Na ovaj način dobijamo niz koji sadrži sve racionalne brojeve. Možete primijetiti da se bilo koji racionalni broj pojavljuje u ovom nizu beskonačan broj puta. Zaista, zajedno sa čvorom, ovaj niz će uključivati ​​i čvorove, gdje - prirodni broj. Ali svi ovi čvorovi odgovaraju istom racionalnom broju.

Zatim iz niza koji smo konstruirali možemo odabrati podniz (koji ima beskonačan broj elemenata), čiji su svi elementi jednaki unaprijed određenom racionalnom broju. Budući da niz koji smo konstruirali ima podnizove koji konvergiraju različitim brojevima, niz ne konvergira ni jednom broju.

Zaključak

Ovdje smo dali preciznu definiciju niza brojeva. Pokrenuli smo i pitanje njegove konvergencije, na osnovu intuitivnih ideja. Tačna definicija konvergencije razmatra se na stranici Definisanje granice niza. Povezana svojstva i teoreme su navedene na stranici

Cradle. Pelene. Cry.
Riječ. Korak. Hladno. Doktore.
Trčanje okolo. Igračke. brate.
Dvorište Swing. Kindergarten.
Škola. Dva. Trojka. Pet.
Lopta. Korak. Gips. Bed.
Borba. Krv. Slomljen nos.
Dvorište Prijatelji. Zabava. Force.
Institut. Proljeće. Bushes.
Ljeto. Sjednica. Repovi.
Pivo. Vodka. Džin sa ledom.
Kafa. Sjednica. Diploma.
Romantizam. Ljubav. Star.
Ruke. Usne. Noć bez sna.
Vjenčanje. Svekrva. Punac. Zamka.
Argument. Club. Prijatelji. Kup.
Kuća. Posao. Kuća. Porodica.
Ned. Ljeto. Snijeg. Zima.
Sin. Pelene. Cradle.
Stres. Gospodarice. Bed.
Posao. Novac. Plan. Hitno.
TV. Serije.
Country house. Trešnje. Tikvice.
Seda kosa. migrena. Naočare.
Unuk. Pelene. Cradle.
Stres. Pritisak. Bed.
Srce. Bubrezi. Bones. Doktore.
Govori. Kovčeg. Zbogom. Cry.

Životni niz

SEKVENCIJA - brojevi ili elementi raspoređeni u organizovanom redosledu. Nizovi mogu biti konačni (sa ograničenim brojem elemenata) ili beskonačni, kao što je kompletan niz prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4….… …

Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

definicija:Numerički niz se naziva numerički dat na skupu N prirodnih brojeva Za numeričke nizove, obično umjesto f(n) pisati a n i označiti niz na sljedeći način: ( a n ). Brojevi a 1 , a 2 , …, a n,… pozvao elementi niza.

Obično je niz brojeva određen zadatkom n th element ili rekurentna formula kojom se svaki sljedeći element određuje kroz prethodni. Moguć je i deskriptivni način specificiranja numeričkog niza. Na primjer:

• Svi članovi niza su jednaki "1". To znači da govorimo o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, ….

• Slijed se sastoji od svega primarni brojevi u rastućem redosledu. Dakle, dati niz je 2, 3, 5, 7, 11, …. Sa ovom metodom specificiranja niza u ovom primjeru, teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza.

Uz ponavljajuću metodu, označite formulu koja vam omogućava da izrazite n 2. člana niza kroz prethodne i specificirajte 1–2 početna člana niza.

• y 1 = 3; y n =y n-1 + 4 , Ako n = 2, 3, 4,…

Evo y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; y n =y n-2 + y n-1 , Ako n = 3, 4,…

ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sekvenca izražena formulom ponavljanja y n =y n-1 + 4 može se odrediti i analitički: y n= y 1 +4*(n-1)

Provjerimo: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Ovdje ne trebamo znati prethodni član numeričkog niza da bismo izračunali n-ti element, samo trebamo odrediti njegov broj i vrijednost prvog elementa.

Kao što vidimo, ova metoda specificiranja numeričkog niza je vrlo slična analitičkoj metodi specificiranja funkcija. U stvari, brojevni niz je poseban tip funkcije brojeva, tako da se niz svojstava može uzeti u obzir za nizove.

Brojčani nizovi su vrlo zanimljivi i obrazovna tema. Ova tema se nalazi u zadacima povećane složenosti koje autori nude studentima didaktički materijali, iz zadataka matematičkih olimpijada, prijemni ispiti na višu Obrazovne ustanove i dalje. A ako želite detaljnije istražiti različite vrste numeričke sekvence, kliknite ovdje. Pa, ako vam je sve jasno i jednostavno, ali pokušajte odgovoriti.

Uvod………………………………………………………………………………………………3

1. Teorijski dio…………………………………………………………………………….4

Osnovni pojmovi i pojmovi…………………………………………………………………………..4

1.1 Tipovi sekvenci…………………………………………………………………………...6

1.1.1. Ograničeni i neograničeni brojevi nizova…..6

1.1.2. Monotoničnost sekvenci…………………………………6

1.1.3.Beskonačno veliki i beskonačno mali nizovi…….7

1.1.4. Osobine infinitezimalnih nizova…………………8

1.1.5.Konvergentni i divergentni nizovi i njihova svojstva.....9

1.2 Ograničenje redoslijeda…………………………………………………………….11

1.2.1.Teoreme o granicama nizova………………………………15

1.3. Aritmetička progresija…………………………………………………17

1.3.1. Svojstva aritmetička progresija…………………………………..17

1.4Geometrijska progresija…………………………………………………………………………..19

1.4.1. Svojstva geometrijske progresije……………………………………………….19

1.5. Fibonačijevi brojevi……………………………………………………………………..21

1.5.1 Povezanost Fibonačijevih brojeva sa drugim oblastima znanja………………….22

1.5.2. Korištenje Fibonaccijevog niza brojeva za opisivanje žive i nežive prirode…………………………………………………………………………………………………….23

2. Vlastito istraživanje……………………………………………………….28

Zaključak…………………………………………………………………………………………….30

Spisak referenci…………………………………………………………………………..31

Uvod.

Brojčani nizovi su vrlo zanimljiva i poučna tema. Ova tema se nalazi u zadacima povećane složenosti koje studentima nude autori didaktičkih materijala, u zadacima matematičkih olimpijada, prijemnih ispita na visokoškolskim ustanovama i Jedinstvenog državnog ispita. Zanima me kako se matematički nizovi odnose na druge oblasti znanja.

Target istraživački rad: Proširiti znanje o nizu brojeva.

1. Razmotrite slijed;

2. Razmotrite njegova svojstva;

3. Razmotriti analitički zadatak niza;

4. Pokazati svoju ulogu u razvoju drugih oblasti znanja.

5. Demonstrirajte upotrebu Fibonačijevog niza brojeva za opisivanje žive i nežive prirode.

1. Teorijski dio.

Osnovni pojmovi i pojmovi.

Definicija. Redoslijed brojeva– funkcija oblika y = f(x), x O N, gdje je N skup prirodnih brojeva (ili funkcija prirodnog argumenta), označenih y = f(n) ili y1, y2,…, yn ,…. Vrijednosti y1, y2, y3,... nazivaju se prvi, drugi, treći,... članovi niza, redom.

Broj a naziva se granica niza x = (x n ) ako za proizvoljan, proizvoljno mali pozitivni broj ε postoji prirodan broj N takav da je za sve n>N nejednakost |x n - a|< ε.

Ako je broj a granica niza x = (x n ), onda kažu da x n teži ka a i pišu

.

Za niz (yn) se kaže da se povećava ako je svaki član (osim prvog) veći od prethodnog:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Niz (yn) se naziva opadajući ako je svaki član (osim prvog) manji od prethodnog:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Rastući i opadajući nizovi se kombinuju pod zajedničkim pojmom - monotoni nizovi.

Niz se naziva periodičnim ako postoji prirodan broj T takav da, počevši od nekog n, vrijedi jednakost yn = yn+T. Broj T naziva se dužina perioda.

Aritmetička progresija je niz (an), čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak zbiru prethodnog člana i istog broja d, naziva se aritmetičkom progresijom, a broj d je razlika aritmetička progresija.

Dakle, aritmetička progresija je numerički niz (an) koji se rekurentno definira relacijama

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geometrijska progresija je niz u kojem su svi članovi različiti od nule i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobija od prethodnog člana množenjem sa istim brojem q.

Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (bn) koji se rekurentno definira relacijama

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Vrste sekvenci.

1.1.1 Ograničene i neograničene sekvence.

Za niz (bn) se kaže da je ograničen iznad ako postoji broj M takav da za bilo koji broj n vrijedi nejednakost bn≤ M;

Niz (bn) se naziva ograničenim ispod ako postoji broj M takav da za bilo koji broj n vrijedi nejednakost bn≥ M;

Na primjer:

1.1.2 Monotoničnost sekvenci.

Niz (bn) se naziva nerastućim (neopadajućim) ako je za bilo koji broj n tačna nejednakost bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Niz (bn) naziva se opadajući (rastući) ako je za bilo koji broj n nejednakost bn> bn+1 (bn

Opadajući i rastući nizovi se nazivaju striktno monotonim, a nerastući nizovi se nazivaju monotonim u širem smislu.

Nizovi koji su ograničeni i odozgo i odozdo nazivaju se ograničenim.

Niz svih ovih tipova naziva se monotonim.

1.1.3 Beskonačno veliki i mali nizovi.

Infinitezimalni niz je numerička funkcija ili niz koji teži nuli.

Za niz an se kaže da je beskonačno mali ako

Funkcija se naziva infinitezimalnom u okolini tačke x0 ako je ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkcija se naziva beskonačno malom ako je ℓimx→.+∞ f(x)=0 ili ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitezimalna je i funkcija koja je razlika između funkcije i njene granice, to jest, ako je ℓimx→.+∞ f(x)=a, onda je f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Beskonačno veliki niz je numerička funkcija ili niz koji teži beskonačnosti.

Za niz an se kaže da je beskonačno velik ako

ℓimn→0 an=∞.

Za funkciju se kaže da je beskonačno velika u okolini tačke x0 ako je ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Za funkciju se kaže da je beskonačno velika u beskonačnosti ako

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ili ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Svojstva infinitezimalnih nizova.

Zbir dva infinitezimalna niza je sam po sebi takođe beskonačno mali niz.

Razlika dva infinitezimalna niza je sama po sebi infinitezimalna sekvenca.

Algebarski zbir bilo kojeg konačnog broja infinitezimalnih nizova je i sam po sebi infinitezimalni niz.

Proizvod ograničenog niza i infinitezimalnog niza je beskonačno mali niz.

Proizvod bilo kojeg konačnog broja infinitezimalnih nizova je beskonačno mali niz.

Svaki infinitezimalni niz je ograničen.

Ako je stacionarni niz beskonačno mali, tada su svi njegovi elementi, počevši od određene tačke, jednaki nuli.

Ako se cijeli infinitezimalni niz sastoji od identičnih elemenata, onda su ti elementi nule.

Ako je (xn) beskonačno veliki niz koji ne sadrži nulte članove, onda postoji niz (1/xn) koji je beskonačno mali. Međutim, ako (xn) sadrži nula elemenata, tada se niz (1/xn) i dalje može definirati počevši od nekog broja n, i i dalje će biti beskonačno mali.

Ako je (an) beskonačno mali niz koji ne sadrži nulte članove, onda postoji niz (1/an) koji je beskonačno velik. Ako (an) ipak sadrži nula elemenata, tada se niz (1/an) i dalje može definirati počevši od nekog broja n, i i dalje će biti beskonačno velik.

1.1.5 Konvergentni i divergentni nizovi i njihova svojstva.

Konvergentni niz je niz elemenata skupa X koji ima ograničenje u ovom skupu.

Divergentni niz je niz koji nije konvergentan.

Svaki infinitezimalni niz je konvergentan. Njegova granica je nula.

Uklanjanje bilo kog konačnog broja elemenata iz beskonačnog niza ne utiče ni na konvergenciju ni na granicu tog niza.

Svaki konvergentni niz je ograničen. Međutim, ne konvergira svaki ograničeni niz.

Ako niz (xn) konvergira, ali nije beskonačno mali, tada se, počevši od određenog broja, definira niz (1/xn), koji je ograničen.

Zbir konvergentnih nizova je takođe konvergentan niz.

Razlika konvergentnih nizova je takođe konvergentna sekvenca.

Proizvod konvergentnih nizova je također konvergentni niz.

Kvocijent dva konvergentna niza je definiran počevši od nekog elementa, osim ako je drugi niz beskonačno mali. Ako je definiran kvocijent dva konvergentna niza, onda je to konvergentni niz.

Ako je konvergentni niz ograničen ispod, onda nijedan od njegovih infimuma ne prelazi njegovu granicu.

Ako je konvergentni niz ograničen iznad, onda njegova granica ne prelazi nijednu od njegovih gornjih granica.

Ako za bilo koji broj članovi jednog konvergentnog niza ne prelaze članove drugog konvergentnog niza, tada granica prvog niza također ne prelazi granicu drugog.

Vida y= f(x), x O N, Gdje N– skup prirodnih brojeva (ili funkcija prirodnog argumenta), označen y=f(n) ili y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vrijednosti y 1 ,y 2 ,y 3 ,… nazivaju se redom prvi, drugi, treći, ... članovi niza.

Na primjer, za funkciju y= n 2 se može napisati:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode za određivanje sekvenci. Sekvence se mogu specificirati na različite načine, među kojima su tri posebno važna: analitički, deskriptivni i rekurentni.

1. Niz je zadan analitički ako je data njegova formula nčlan:

y n=f(n).

Primjer. y n= 2n – 1 – niz neparnih brojeva: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Deskriptivna Način specificiranja numeričkog niza je da se objasni od kojih elemenata je niz izgrađen.

Primjer 1. "Svi članovi niza su jednaki 1." To znači da govorimo o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, ….

Primjer 2. "Niz se sastoji od svih prostih brojeva u rastućem redoslijedu." Dakle, dati niz je 2, 3, 5, 7, 11, …. Sa ovom metodom specificiranja niza u ovom primjeru, teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza.

3. Rekurentna metoda specificiranja niza je specificiranje pravila koje vam omogućava da izračunate n-ti član niza ako su poznati njegovi prethodni članovi. Naziv rekurentna metoda dolazi od latinske riječi ponavljajuća- vrati se. Najčešće se u takvim slučajevima navodi formula koja omogućava izražavanje n 2. člana niza kroz prethodne i specificirajte 1–2 početna člana niza.

Primjer 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ako n = 2, 3, 4,….

Evo y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Možete vidjeti da se sekvenca dobivena u ovom primjeru može odrediti i analitički: y n= 4n – 1.

Primjer 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 ako n = 3, 4,….

ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Niz u ovom primjeru se posebno proučava u matematici jer ima niz zanimljivih svojstava i primjena. Zove se Fibonačijev niz, nazvan po italijanskom matematičaru iz 13. veka. Vrlo je lako definirati Fibonačijev niz ponavljajući se, ali vrlo teško analitički. n Fibonačijev broj se izražava kroz njegov serijski broj sljedeću formulu.

Na prvi pogled, formula za n Fibonačijev broj se čini nevjerovatnim, budući da formula koja specificira niz prirodnih brojeva sadrži samo kvadratne korijene, ali možete "ručno" provjeriti valjanost ove formule za prvih nekoliko n.

Svojstva brojčanih nizova.

Numerički niz je poseban slučaj numeričke funkcije, stoga se brojna svojstva funkcija također razmatraju za nizove.

Definicija . Slijed ( y n} naziva se rastućim ako je svaki njegov član (osim prvog) veći od prethodnog:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definition.Sequence ( y n} naziva se opadajućim ako je svaki njegov član (osim prvog) manji od prethodnog:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rastući i opadajući nizovi se kombinuju pod zajedničkim pojmom - monotoni nizovi.

Primjer 1. y 1 = 1; y n= n 2 – rastući niz.

Dakle, tačna je sljedeća teorema (karakteristično svojstvo aritmetičke progresije). Brojevni niz je aritmetički ako i samo ako je svaki njegov član, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.

Primjer. Po kojoj vrednosti x brojevi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 formira konačnu aritmetičku progresiju?

Prema karakterističnom svojstvu, dati izrazi moraju zadovoljiti relaciju

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Rješavanje ove jednačine daje x= –5,5. Na ovoj vrijednosti x dati izrazi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 uzimaju, respektivno, vrijednosti -14,5, –31,5, –48,5. Ovo je aritmetička progresija, njena razlika je –17.

Geometrijska progresija.

Numerički niz čiji su svi članovi različiti od nule i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobija od prethodnog člana množenjem sa istim brojem q, naziva se geometrijska progresija, a broj q- imenilac geometrijske progresije.

Dakle, geometrijska progresija je niz brojeva ( b n), definisan rekurzivno relacijama

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b I q – dati brojevi, b ≠ 0, q ≠ 0).

Primjer 1. 2, 6, 18, 54, ... – rastuća geometrijska progresija b = 2, q = 3.

Primjer 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrijska progresija b= 2,q= –1.

Primjer 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrijska progresija b= 8, q= 1.

Geometrijska progresija je rastući niz ako b 1 > 0, q> 1, a opadajuće ako b 1 > 0, 0 q

Jedno od očiglednih svojstava geometrijske progresije je da ako je niz geometrijska progresija, onda je i niz kvadrata, tj.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrijska progresija čiji je prvi član jednak b 1 2 , a imenilac je q 2 .

Formula n- th član geometrijske progresije ima oblik

b n= b 1 qn– 1 .

Možete dobiti formulu za zbir članova konačne geometrijske progresije.

Neka je dana konačna geometrijska progresija

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

neka S n – zbir njenih članova, tj.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

To je prihvaćeno q br. 1. Odrediti S n koristi se umjetna tehnika: izvode se neke geometrijske transformacije izraza S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

dakle, S n q= S n +b n q – b 1 i stoga

Ovo je formula sa umma n pojmove geometrijske progresije za slučaj kada q≠ 1.

At q= 1 formula se ne mora izvoditi odvojeno, očigledno je da je u ovom slučaju S n= a 1 n.

Progresija se naziva geometrijska jer je svaki član u njoj, osim prvog, jednak geometrijskoj sredini prethodnog i narednih članova. Zaista, pošto

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

dakle, b n 2=bn– 1 bn+ 1 i tačna je sljedeća teorema (karakteristično svojstvo geometrijske progresije):

niz brojeva je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog njegovog člana, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak proizvodu prethodni i naredni članovi.

Granica konzistencije.

Neka postoji niz ( c n} = {1/n}. Ovaj niz se naziva harmonijski, jer je svaki njegov član, počevši od drugog, harmonijska sredina između prethodnog i narednog člana. Geometrijska sredina brojeva a I b postoji broj

Inače se niz naziva divergentan.

Na osnovu ove definicije može se, na primjer, dokazati postojanje granice A=0 za harmonijski niz ( c n} = {1/n). Neka je ε proizvoljno mali pozitivan broj. Razlika se uzima u obzir

Da li tako nešto postoji? N to je za sve n ≥ N važi nejednakost 1 /N ? Ako to uzmemo kao N bilo koji prirodni broj veći od 1/ε , zatim za sve n ≥ N važi nejednakost 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Dokazivanje prisustva ograničenja za određeni niz ponekad može biti vrlo teško. Najčešći nizovi su dobro proučeni i navedeni su u referentnim knjigama. Postoje važne teoreme koje vam omogućavaju da zaključite da dati niz ima ograničenje (pa čak i izračunate ga), na osnovu već proučavanih sekvenci.

Teorema 1. Ako niz ima ograničenje, onda je ograničen.

Teorema 2. Ako je niz monotoničan i ograničen, onda ima granicu.

Teorema 3. Ako je niz ( a n} ima ograničenje A, zatim sekvence ( ca n}, {a n+ c) i (| a n|} imaju granice cA, A +c, |A| shodno tome (ovde c– proizvoljan broj).

Teorema 4. Ako su nizovi ( a n} i ( b n) imaju granice jednake A I B pa n + qbn) ima ograničenje pA+ qB.

Teorema 5. Ako su nizovi ( a n) I ( b n)imaju granice jednake A I B shodno tome, onda sekvenca ( a n b n) ima ograničenje AB.

Teorema 6. Ako su nizovi ( a n} i ( b n) imaju granice jednake A I B shodno tome, i, pored toga, b n ≠ 0 i B≠ 0, zatim niz ( a n / b n) ima ograničenje A/B.

Anna Chugainova

Redoslijed brojeva.
Kako ?

U ovoj lekciji naučit ćemo mnogo zanimljivih stvari iz života članova velike zajednice koja se zove Vkontakte numeričke sekvence. Tema koja se razmatra ne odnosi se samo na tok matematičke analize, već se dotiče i osnova diskretna matematika. Osim toga, materijal će biti potreban za savladavanje drugih dijelova tornja, posebno tokom studija numeričke serije I funkcionalne serije. Možete otrcano reći da je ovo važno, možete ohrabrujuće reći da je jednostavno, možete reći još mnogo rutinskih fraza, ali danas je prva, neobično lijena sedmica škole, pa me užasno lomi da napišem prvi pasus =) Već sam sačuvao fajl u svojim srcima i spremio se za spavanje, kada mi je odjednom... glavu obasjala ideja o iskrenoj ispovesti, što mi je neverovatno razvedrilo dušu i nagnalo me da nastavim da lupkam prstima po tastaturi .

Odmorimo se od ljetnih uspomena i zavirimo u ovaj fascinantan i pozitivan svijet novog socijalna mreža:

Koncept niza brojeva

Prvo, razmislimo o samoj riječi: šta je sekvenca? Slijed je kada nešto slijedi nešto. Na primjer, niz radnji, niz godišnjih doba. Ili kada se neko nalazi iza nekoga. Na primjer, niz ljudi u redu, niz slonova na putu do pojila.

Hajde da odmah razjasnimo karakteristične karakteristike sekvence. prvo, članovi sekvence se nalaze striktno određenim redosledom. Dakle, ako su dvije osobe u redu zamijenjene, onda će to već biti ostalo podsekvenca. Drugo, svi član sekvence Možete dodijeliti serijski broj:

Isto je i sa brojevima. Neka svakome prirodna vrijednost po nekom pravilu uparen sa realnim brojem. Zatim kažu da je zadan numerički niz.

Da, u matematički problemi Za razliku od životne situacije sekvenca skoro uvek sadrži beskonačno mnogo brojevi.

pri čemu:
pozvao prvi član sekvence;
– drugi član sekvence;
– treći član sekvence;
…
– nth ili zajednički član sekvence;
…

U praksi se obično daje redoslijed formula uobičajenog pojma, Na primjer:
– niz pozitivnih parnih brojeva:

Dakle, zapis jedinstveno određuje sve članove niza - ovo je pravilo (formula) prema kojem prirodne vrijednosti brojevi se stavljaju u korespondenciju. Stoga se niz često ukratko označava uobičajenim terminom, a umjesto "x" mogu se koristiti druga latinična slova, na primjer:

Niz pozitivnih neparnih brojeva:

Još jedan uobičajeni niz:

Kao što su mnogi vjerovatno primijetili, varijabla “en” igra ulogu svojevrsnog brojača.

U stvari, bavili smo se nizovima brojeva još u srednjoj školi. Podsjetimo se aritmetička progresija. Neću ponovo pisati definiciju, hajde da se dotaknemo suštine konkretnim primerom. Neka je prvi član, i – korak aritmetička progresija. onda:
– drugi mandat ove progresije;
– treći mandat ove progresije;
- četvrti;
- peti;
…
I, očigledno, dat je n-ti član ponavljajuća formula

Bilješka : u rekurentnoj formuli, svaki naredni termin je izražen u terminima prethodnog pojma ili čak u terminima čitavog skupa prethodnih pojmova.

Dobijena formula je od male koristi u praksi - da biste došli do, recimo, , morate proći kroz sve prethodne pojmove. A u matematici je izveden prikladniji izraz za n-ti član aritmetičke progresije: . u našem slučaju:

Zamijenite prirodne brojeve u formulu i provjerite ispravnost numeričkog niza koji je gore konstruiran.

Slični proračuni se mogu napraviti za geometrijska progresija, čiji je n-ti član dan formulom , gdje je prvi član, i – nazivnik progresija. U matematičkim zadacima prvi član je često jednak jedan.

progresija postavlja sekvencu ;
progresija postavlja sekvencu;
progresija postavlja sekvencu ;
progresija postavlja sekvencu .

Nadam se da svi znaju da je –1 na neparan stepen jednako –1, a na paran stepen – jedan.

Progresija se zove beskonačno opadajuća, ako (poslednja dva slučaja).

Dodajmo dva nova prijatelja na našu listu, od kojih je jedan upravo pokucao na matricu monitora:

Niz u matematičkom žargonu naziva se "blinka":

dakle, članovi sekvence se mogu ponavljati. Dakle, u razmatranom primjeru, niz se sastoji od dva beskonačno naizmjenična broja.

Da li se dešava da se niz sastoji od identičnih brojeva? Svakako. Na primjer, postavlja beskonačan broj "trojki". Za estete postoji slučaj kada se "en" još uvijek formalno pojavljuje u formuli:

Pozovimo jednostavnog prijatelja na ples:

Šta se dešava kada se "en" poveća do beskonačnosti? Očigledno, članovi niza će biti beskonačno blizu pristup nuli. Ovo je granica ovog niza, koja se piše na sljedeći način:

Ako je granica niza nula, onda se on poziva infinitezimal.

U teoriji matematičke analize dat je stroga definicija granice sekvence kroz takozvano naselje ipsilon. Sljedeći članak će biti posvećen ovoj definiciji, ali za sada pogledajmo njeno značenje:

Opišimo na brojevnoj pravoj članove niza i susjedstvo simetrično u odnosu na nulu (limit):


Sada stisnite plavo područje ivicama dlanova i počnite ga smanjivati, povlačeći ga prema granici (crvena tačka). Broj je granica niza ako ZA BILO KOJI unaprijed odabrano susjedstvo (koliko god želite)će biti unutar njega beskonačno mnogočlanovi niza, a VAN nje - samo final broj članova (ili nijedan). To jest, susjedstvo ipsilona može biti mikroskopsko, pa čak i manje, ali "beskonačni rep" niza prije ili kasnije mora u potpunosti uđite u područje.

Redoslijed je također beskonačno mali: s tom razlikom što njegovi članovi ne skaču naprijed-natrag, već se granici približavaju isključivo s desne strane.

Naravno, granica može biti jednaka bilo kojem drugom konačnom broju, elementarni primjer:

Ovdje razlomak teži nuli, i prema tome, granica je jednaka "dva".

Ako sekvenca postoji konačna granica, onda se zove konvergentan(posebno, infinitezimal na ). inače - divergentan, u ovom slučaju su moguće dvije opcije: ili granica uopće ne postoji, ili je beskonačna. U potonjem slučaju, sekvenca se poziva beskonačno velika. Hajdemo galopirati kroz primjere iz prvog pasusa:

Sekvence su beskonačno velika, dok se njihovi članovi samouvjereno kreću ka "plus beskonačnosti":

Aritmetička progresija s prvim članom i korakom je također beskonačno velika:

Usput, svaka aritmetička progresija također se divergira, s izuzetkom slučaja s nultim korakom - kada . Granica takvog niza postoji i poklapa se sa prvim članom.

Sekvence imaju sličnu sudbinu:

Svaka beskonačno opadajuća geometrijska progresija, kao što je jasno iz naziva, beskrajno mali:

Ako je nazivnik geometrijske progresije , tada je niz beskonačno velik:

Ako, na primjer, onda granica uopće ne postoji, jer članovi neumorno skaču ili na “plus beskonačnost” ili na “minus beskonačnost”. A zdrav razum i Matanove teoreme sugeriraju da ako nešto teži negdje, onda je ovo jedino cijenjeno mjesto.

Nakon malog otkrića postaje jasno da je za nekontrolisano bacanje krivo "bljeskavo svjetlo", koje se, inače, samo po sebi razilazi.
Zaista, za sekvencu je lako izabrati -komšiluk koje, recimo, spaja samo broj –1. Kao rezultat toga, beskonačan broj članova niza (“plus jedan”) će ostati izvan ovog susjedstva. Ali po definiciji, "beskonačni rep" niza od određenog trenutka (prirodni broj) mora u potpunosti idite u BILO KOJU blizinu svoje granice. Zaključak: nebo je granica.

Faktorski je beskonačno velika redoslijed:

Štaviše, raste naglo, pa se radi o broju koji ima više od 100 cifara (cifara)! Zašto baš 70? Na njemu moj inženjerski mikrokalkulator moli za milost.

S kontrolnim udarcem sve je malo složenije, a tek smo došli do praktičnog dijela predavanja u kojem ćemo analizirati borbene primjere:

Ali sada morate biti u stanju riješiti granice funkcija, barem na nivou dvije osnovne lekcije: Ograničenja. Primjeri rješenja I Wonderful Limits. Zato što će mnoge metode rješenja biti slične. Ali, prije svega, analizirajmo fundamentalne razlike između granice niza i granice funkcije:

U granici niza, “dinamička” varijabla “en” može težiti samo do "plus beskonačnosti"– ka povećanju prirodnih brojeva .
U granicama funkcije, “x” se može usmjeriti bilo gdje – na “plus/minus beskonačnost” ili na proizvoljan realan broj.

Subsequence diskretno(diskontinuirano), odnosno sastoji se od pojedinačnih izolovanih članova. Jedan, dva, tri, četiri, pet, zeko je izašao u šetnju. Argument funkcije karakterizira kontinuitet, odnosno "X" glatko, bez incidenta, teži jednoj ili drugoj vrijednosti. I, shodno tome, vrijednosti funkcije će se također kontinuirano približavati svojoj granici.

Zbog diskretnost unutar sekvenci postoje njihove vlastite prepoznatljive stvari, kao što su faktorijali, „bljeskajuća svjetla“, progresije, itd. A sada ću pokušati analizirati granice koje su specifične za sekvence.

Počnimo s progresijama:

Primjer 1

Pronađite granicu niza

Rješenje: nešto slično beskonačno opadajućoj geometrijskoj progresiji, ali da li je to ono što jeste? Radi jasnoće, zapišimo prvih nekoliko pojmova:

Od tada govorimo o iznos pojmovi beskonačno opadajuće geometrijske progresije, koja se izračunava po formuli.

Donosimo odluku:

Koristimo formulu za sumu beskonačno opadajuće geometrijske progresije: . U ovom slučaju: – prvi član, – imenilac progresije.

Primjer 2

Napišite prva četiri člana niza i pronađite njegovu granicu

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Da biste uklonili nesigurnost u brojiocu, morat ćete primijeniti formulu za zbir prvih članova aritmetičke progresije:
, gdje je prvi, a a n-ti član progresije.

Budući da unutar sekvenci "en" uvijek teži "plus beskonačnosti", nije iznenađujuće da je neizvjesnost jedna od najpopularnijih.
I mnogi primjeri su riješeni na potpuno isti način kao i ograničenja funkcije!

Ili možda nešto komplikovanije ? Pogledajte primjer br. 3 članka Metode rješavanja granica.

Sa formalne tačke gledišta, razlika će biti samo u jednom slovu - ovdje "x", a ovdje "en".
Tehnika je ista - brojilac i imenilac moraju biti podijeljeni sa "en" do najvišeg stepena.

Takođe, nesigurnost unutar sekvenci je prilično česta. Kako riješiti ograničenja poput može se naći u primjerima br. 11-13 istog članka.

Da biste razumjeli ograničenje, pogledajte primjer br. 7 lekcije Wonderful Limits(sekunda divna granica vrijedi i za diskretni slučaj). Rješenje će opet biti kao kopija s razlikom od jednog slova.

Sljedeća četiri primjera (br. 3-6) su također „dvolična“, ali su u praksi iz nekog razloga više karakteristični za ograničenja sekvence nego za ograničenja funkcije:

Primjer 3

Pronađite granicu niza

Rješenje: prvo kompletno rješenje, a zatim komentari korak po korak:

(1) U brojiocu koristimo formulu dva puta.

(2) Slične članove predstavljamo u brojiocu.

(3) Da biste uklonili nesigurnost, podijelite brojilac i imenilac sa (“en” do najvišeg stepena).

Kao što vidite, ništa komplikovano.

Primjer 4

Pronađite granicu niza

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, skraćene formule za množenje pomoći.

Unutar s indikativno Nizovi koriste sličnu metodu dijeljenja brojnika i nazivnika:

Primjer 5

Pronađite granicu niza

Rješenje Uredimo ga po istoj shemi:

Usput rečeno, sličan teorem vrijedi i za funkcije: proizvod ograničene funkcije i infinitezimalne funkcije je infinitezimalna funkcija.

Primjer 9

Pronađite granicu niza