Prilikom učenja algebre u srednjoj školi (9. razred) jedan od važne teme je proučavanje nizova brojeva, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo pogledati aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Šta je aritmetička progresija?

Da bi se ovo razumjelo, potrebno je definirati o kojoj se progresiji radi, kao i navesti osnovne formule koje će se kasnije koristiti u rješavanju problema.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.

Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . Zamenimo u njega poznate podatke iz uslova, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) /6 = 2. Dakle, odgovorili smo na prvi dio zadatka.

Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarska progresija, odnosno a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Primjer br. 3: izrada progresije

Zakomplikujmo dalje jače stanje zadataka. Sada moramo odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Može se dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer - 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih smjeste još tri člana.

Prije nego počnete rješavati ovaj problem, morate razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Pošto će između njih biti još tri člana, onda je a 1 = -4 i a 5 = 5. Nakon što smo ovo ustanovili, prelazimo na problem koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ono što smo dobili ovdje nije cjelobrojna vrijednost razlike, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, što odgovara sa uslovima problema.

Primjer br. 4: prvi termin progresije

Nastavimo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjima. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Razmotrimo sada problem drugog tipa: neka su data dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći kojim brojem počinje ovaj niz.

Do sada korištene formule pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. U opisu problema ništa se ne zna o ovim brojevima. Ipak, za svaki termin ćemo zapisati izraze o kojima su dostupne informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.

Najlakši način da se riješi ovaj sistem je izraziti 1 u svakoj jednačini i zatim uporediti rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (date su samo 3 decimale).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ako sumnjate u dobijeni rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.

Primjer br. 5: iznos

Pogledajmo sada nekoliko primjera s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.

Neka se da numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računarske tehnologije, moguće je riješiti ovaj problem, odnosno sabrati sve brojeve uzastopno, što će računar učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je jednaka 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je da je ovaj problem nazvan „Gausov” jer je početkom 18. veka slavni Nemac, još uvek samo 10-godišnjak, uspeo da ga reši u svojoj glavi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako dodate brojeve na krajevima niza u parovima, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer br. 6: zbir članova od n do m

Još jedan tipičan primjer zbira aritmetičke progresije je sljedeći: dajući niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., morate pronaći koliko će biti jednak zbir njegovih članova od 8 do 14 .

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sumiranje uzastopno. Budući da postoji malo pojmova, ova metoda nije baš radno intenzivna. Ipak, predlaže se rješavanje ovog problema korištenjem druge metode, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Pošto je n > m, očigledno je da 2. zbir uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbira i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbira S n), dobićemo neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.

Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi problemi se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite šta trebate pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije sa rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i podijeliti cjelokupni problem na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako sumnjate u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je to učinjeno u nekim od navedenih primjera. Saznali smo kako pronaći aritmetičku progresiju. Ako to shvatite, nije tako teško.

Važne napomene!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs Za

Redoslijed brojeva

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedimo naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati broj progresije na prethodnu vrijednost dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom sabiranja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji nije potrebno dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte izbliza nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći vrijednost člana date aritmetičke progresije na ovaj način.

Jesi li izračunao? Uporedite svoje bilješke sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno dodali članove aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - hajde da je uvedemo opšti oblik i dobijamo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju termina u rastućem i opadajućem terminu aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo problem - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite o tome da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da, i to je ono što ćemo sada pokušati da iznesemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njeno pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, Zatim:

• prethodni termin progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodni i naredni termin progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da saznamo samo jednu formulu, koju je, prema legendi, lako za sebe zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, postavila je sljedeći problem na času: „Izračunaj zbir svih prirodni brojevi od do (prema drugim izvorima do) uključujući.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (ovo je bio Karl Gauss) minut kasnije dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina drznika iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbira njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pogledajte pobliže istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku progresije. Pokušajte zamijeniti formulu th-og člana u formulu zbira.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gausu: izračunajte sami čemu je jednak zbir brojeva koji počinju od th i zbiru brojeva koji počinju od th.

Koliko si dobio?
Gauss je otkrio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jesi li tako odlučio?

U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme, duhoviti ljudi su u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Drevni Egipat i najveći građevinski poduhvat tog vremena - izgradnja piramide... Na slici je jedna njena strana.

Gdje je tu napredak, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožju. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se posljednje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Jasno? Bravo, savladali ste zbir n-ih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor je blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko puta će Maša raditi čučnjeve u sedmici ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan dnevnik manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je temelj zidanja trupac?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je pola, međutim, provjerimo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetimo se problema s piramidama. Za naš slučaj, a , pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda ukupno postoji gomila slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Hajde da sumiramo

1. - brojevni niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Vi član aritmetičke progresije piše se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbir članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO

Redoslijed brojeva

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to jedinstvenim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

Formula n-ti član

Formulu nazivamo rekurentnom u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći ovu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, da li je sada jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo šta:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ukupno ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbir svih dvocifrenim brojevima, višestruki.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki naredni broj se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u sedmici ako je prvog dana pretrčao km m?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe kilometar? Koliko će kilometara preći tokom posljednjeg dana svog putovanja?
3. Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se smanjila cijena frižidera svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodat za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: , mora se naći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
   Izračunajmo pređenu putanju tokom posljednjeg dana koristeći formulu th člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastući () i opadajući ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-og člana aritmetičke progresije

zapisuje se po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete termin progresije ako su poznati njegovi susjedni pojmovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbir članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste jako cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Zbir aritmetičke progresije.

Zbir aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vaše zadovoljstvo.) Značenje količine je jednostavno kao mukanje. Da biste pronašli zbir aritmetičke progresije, trebate samo pažljivo sabrati sve njegove članove. Ako je ovih pojmova malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodatak je neugodan.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.

Formula za iznos je jednostavna:

Hajde da shvatimo kakva su slova uključena u formulu. Ovo će dosta razjasniti stvari.

S n - zbir aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svimačlanovi, sa prvo By zadnji. Važno je. Tačno se sabiraju Svečlanovi u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, tačnije, počevši od prvo. U problemima kao što je pronalaženje zbira trećeg i osmog člana, ili zbira petog do dvadesetog člana, direktna primjena formule će razočarati.)

a 1 - prvočlan progresije. Ovde je sve jasno, jednostavno prvo broj reda.

a n- zadnjičlan progresije. Poslednji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primjenjuje na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n - broj posljednjeg člana. Važno je shvatiti da je u formuli ovaj broj poklapa se sa brojem dodatih pojmova.

Hajde da definišemo koncept zadnjičlan a n. Zeznuto pitanje: koji će član biti posljednji ako je dato beskrajno aritmetička progresija?)

Da biste odgovorili pouzdano, morate razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbira aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje posljednji član (direktno ili indirektno), koje bi trebalo ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije bitno da li je progresija data: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.

Najvažnije je shvatiti da formula funkcionira od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, tj. n, određen je isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo ove tajne.)

Primjeri zadataka na zbir aritmetičke progresije.

Kao prvo, korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbir aritmetičke progresije leži u ispravnom određivanju elemenata formule.

Autori zadataka šifriraju upravo ove elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo nekoliko primjera detaljno. Počnimo sa zadatkom zasnovanim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija je data uslovom: a n = 2n-3.5. Pronađite zbir njegovih prvih 10 članova.

Dobar posao. Lako.) Šta trebamo znati da bismo odredili količinu pomoću formule? Prvi član a 1, prošli mandat a n, da broj posljednjeg člana n.

Gdje mogu dobiti broj posljednjeg člana? n? Da, tu, pod uslovom! Piše: nađi zbir prvih 10 članova. Pa, s kojim će brojem biti? posljednje, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n Zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj zadnjeg člana se poklapa sa brojem članova.

Ostaje da se utvrdi a 1 I a 10. Ovo se lako izračunava pomoću formule za n-ti član, koja je data u opisu problema. Ne znate kako to učiniti? Pohađajte prethodnu lekciju, bez ovoga nema šanse.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbir aritmetičke progresije. Ostaje samo da ih zamijenite i prebrojite:

To je to. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak baziran na GIA. Malo komplikovanije:

2. Zadata je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2.3. Pronađite zbroj njegovih prvih 15 članova.

Odmah pišemo formulu sume:

Ova formula nam omogućava da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma po njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbir aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako u formuli zbira umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:

Predstavimo slične i dobijemo novu formulu za zbir članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, ovdje nije potrebno n-ti termin a n. Kod nekih problema ova formula puno pomaže, da... Možete zapamtiti ovu formulu. Ili ga možete jednostavno prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Na kraju krajeva, uvijek morate zapamtiti formulu za zbir i formulu za n-ti član.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Pronađite zbir svih pozitivnih dvocifrenih brojeva koji su višestruki od tri.

Vau! Ni vaš prvi član, ni zadnji, ni napredovanje uopšte... Kako živjeti!?

Morat ćete razmišljati svojom glavom i iz stanja izvući sve elemente zbira aritmetičke progresije. Znamo šta su dvocifreni brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvocifreni broj prvo? 10, vjerovatno.) A poslednja stvar dvocifreni broj? 99, naravno! Trocifrene će ga pratiti...

Višestruki od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su djeljivi sa tri, evo! Deset nije deljivo sa tri, 11 nije deljivo... 12... je deljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uslovima problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ova serija biti aritmetička progresija? Svakako! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako nekom pojmu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv sa 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će doći!)

Dakle, možemo sigurno zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj? n zadnji član? Ko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi uvijek idu u nizu, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan od načina je za super vrijedne. Možete zapisati progresiju, cijeli niz brojeva i prstom prebrojati broj članova.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako primijenimo formulu na naš problem, otkrićemo da je 99 trideseti član progresije. One. n = 30.

Pogledajmo formulu za zbir aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz opisa problema smo izvukli sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamjenjujemo brojeve u formulu i izračunavamo:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularne slagalice:

4. S obzirom na aritmetičku progresiju:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nađi zbir članova od dvadesetog do trideset četvrtog.

Gledamo formulu za iznos i... uznemirimo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos od prvečlan. A u zadatku treba izračunati sumu od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, ispisati cijelu progresiju u nizu, i dodati pojmove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbir članova prvog dijela S 1-19, dodajmo ga sa zbirom članova drugog dijela S 20-34, dobijamo zbir progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Volim ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz ovoga možemo vidjeti da nađemo zbir S 20-34 može se uraditi jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

U obzir se uzimaju oba iznosa na desnoj strani od prvečlan, tj. standardna formula sume je prilično primjenjiva na njih. Hajde da počnemo?

Izvlačimo parametre progresije iz iskaza problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbir prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih koristeći formulu za n-ti član, kao u zadatku 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ništa nije ostalo. Od zbira 34 člana oduzmite zbir 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262.5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto direktnog obračuna šta ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što se čini da nije potrebno - S 1-19. A onda su odlučili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz kompletnog rezultata. Ova vrsta "finte sa ušima" često vas spašava od opakih problema.)

U ovoj lekciji smo se bavili problemima za koje je dovoljno razumjeti značenje zbira aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktični savjeti:

Kada rješavate bilo koji zadatak koji uključuje zbir aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula za n-ti član:

Ove formule će vam odmah reći šta da tražite i u kom pravcu da razmišljate kako biste rešili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Pronađite zbir svih dvocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa tri.

Cool?) Nagoveštaj je skriven u napomeni za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija je data uslovom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite zbir njegovih prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi problemi se često nalaze u Državnoj akademiji nauka.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam da svojoj omiljenoj osobi (sebi) poklonim nekoliko dana sreće). Živite lijepo, ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki naredni dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok novac ne ponestane. Koliko je dana sreće imao Vasja?

Teško?) Dodatna formula iz zadatka 2 će pomoći.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uslovi progresije)

U kojoj se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po novom pojmu koji se također naziva razlika koraka ili progresije.

Stoga, specificiranjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji njegov element koristeći formulu

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka terminu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Koristeći ovu izjavu, vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, svojstvom aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće

Ovo je lako provjeriti ako napišete pojmove desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule

Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije; ona je neophodna u proračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam biti korisna sljedeća formula sume

4) Od praktičnog interesa je pronalaženje zbira n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Ovim se završava teorijski materijal i prelazi se na rješavanje uobičajenih problema u praksi.

Primjer 1. Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Rješenje:

Prema stanju koje imamo

Odredimo korak napredovanja

Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer 2. Aritmetička progresija data je trećim i sedmim članom. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.

Rješenje:

Zapišimo date elemente progresije koristeći formule

Od druge jednačine oduzimamo prvu, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije

Izračunavamo zbir prvih deset članova progresije

Bez složenih proračuna, pronašli smo sve potrebne količine.

Primjer 3. Aritmetička progresija data je imeniocem i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50 i zbir prvih 100.

Rješenje:

Zapišimo formulu za stoti element progresije

i pronađite prvu

Na osnovu prvog nalazimo 50. član progresije

Pronalaženje zbroja dijela progresije

i zbir prvih 100

Iznos progresije je 250.

Primjer 4.

Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rješenje:

Napišimo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i odredimo ih

Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj članova u zbroju

Vršimo pojednostavljenja

i riješi kvadratnu jednačinu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo broj 8 odgovara uslovima problema. Dakle, zbir prvih osam članova progresije je 111.

Primjer 5.

Riješite jednačinu

1+3+5+...+x=307.

Rješenje: Ova jednačina je zbir aritmetičke progresije. Hajde da napišemo njegov prvi član i pronađemo razliku u progresiji

Koncept niza brojeva podrazumijeva da svaki prirodni broj odgovara nekoj realnoj vrijednosti. Takav niz brojeva može biti ili proizvoljan ili imati određena svojstva - progresiju. U potonjem slučaju, svaki sljedeći element (član) niza može se izračunati korištenjem prethodnog.

Aritmetička progresija je niz brojčanih vrijednosti u kojima se susjedni članovi razlikuju jedni od drugih za isti broj (svi elementi niza, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Ovaj broj– razlika između prethodnog i narednog pojma je konstantna i naziva se razlika progresije.

Razlika u progresiji: definicija

Razmotrimo niz koji se sastoji od j vrijednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada skupu prirodnih brojeva N. Aritmetika progresija, prema svojoj definiciji, je niz, u kojem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vrijednost d je željena razlika ove progresije.

d = a(j) – a(j-1).

Istaknite:

• Rastuća progresija, u kom slučaju je d > 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Smanjenje progresije, zatim d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike i njeni proizvoljni elementi

Ako su poznata 2 proizvoljna člana progresije (i-ti, k-ti), onda se razlika za dati niz može odrediti na osnovu odnosa:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, što znači d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika u progresiji i njenom prvom terminu

Ovaj izraz će pomoći u određivanju nepoznate vrijednosti samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

Razlika progresije i njen zbir

Zbir progresije je zbir njegovih članova. Da biste izračunali ukupnu vrijednost njegovih prvih j elemenata, koristite odgovarajuću formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ali pošto a(j) = a(1) + d(j – 1), tada je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.