Prosječna dužina trapeza jednaka je zbiru njegovih baza. Trapez. Kompletan ilustrovani vodič (2019.)

Stoga ćemo nazvati jednog od njih veliki , sekunda - mala baza trapezoid. Visina trapezom se može nazvati bilo koji segment okomice povučen iz vrhova na odgovarajuću suprotnu stranu (za svaki vrh postoje dvije suprotne strane), zatvoren između uzetog vrha i suprotne strane. Ali moguće je izdvojiti "poseban tip" visina.
Definicija 8. Visina osnove trapeza je odsječak prave linije okomito na osnovice, zatvoren između baza.
Teorema 7 . Srednja linija trapeza je paralelna sa bazama i jednaka je polovini njihovog zbira.
Dokaz. Neka je zadan trapez ABCD i srednja linija KM. Povucite pravu kroz tačke B i M. Nastavljamo stranu AD kroz tačku D dok se ne ukrsti sa BM. Trouglovi BCm i MPD su jednaki po strani i dva ugla (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - preklapanje, ∠ BMC=∠ DMP - vertikalno), stoga je VM=MP ili tačka M središte BP. KM je srednja linija trougla ABP. Prema svojstvu srednje linije trougla, KM je paralelna sa AP, a posebno AD i jednaka je polovini AP:

Teorema 8 . Dijagonale dijele trapez na četiri dijela, od kojih su dva, uz strane, jednaka.
Da vas podsjetim da se figure nazivaju jednakim ako imaju istu površinu. Trokuti ABD i ACD su jednaki: imaju jednake visine (označene žutom bojom) i zajedničku osnovu. Ovi trouglovi su opšti dio AOD. Njihovo područje se može proširiti na sljedeći način:

Vrste trapeza:
Definicija 9. (Slika 1) Trapez sa oštrim uglom je trapez u kojem su uglovi uz veću osnovu oštri.
Definicija 10. (Slika 2) Tup trapez je trapez u kojem je jedan od uglova koji su susjedni većoj osnovici tup.
Definicija 11. (Slika 4) Trapez se naziva pravougaonim, u kojem je jedna strana okomita na osnovice.
Definicija 12. (Slika 3) Jednakokraki (jednakokraki, jednakokraki) je trapez, u kojem su stranice jednake.

Svojstva jednakokrakog trapeza:
Teorema 10 . Uglovi susedni svakoj osnovici jednakokrakog trapeza su jednaki.
Dokaz. Dokažimo, na primjer, jednakost uglova A i D sa većom osnovom AD jednakokračnog trapeza ABCD. U tu svrhu povlačimo pravu liniju kroz tačku C paralelnu sa bočnom stranom AB. Presijecat će veliku osnovu u tački M. Četvorougao ABCM je paralelogram, jer po konstrukciji ima dva para paralelnih stranica. Dakle, segment CM sekantne linije zatvoren unutar trapeza jednak je njegovoj bočnoj strani: CM=AB. Odavde je jasno da je CM=CD, trougao CMD jednakokračan, ∠CMD=∠CDM, pa je stoga ∠A=∠D. Uglovi susedni manjoj osnovici su takođe jednaki, jer su za one koje se nalaze unutarnje jednostrane i imaju zbir dva reda.
Teorema 11 . Dijagonale jednakokračnog trapeza su jednake.
Dokaz. Razmotrimo trouglove ABD i ACD. Jednak je na dvije strane i ugao između njih (AB=CD, AD je zajednički, uglovi A i D su jednaki prema teoremi 10). Stoga AC=BD.

Teorema 13 . Dijagonale jednakokračnog trapeza podijeljene su točkom presjeka na odgovarajuće jednake segmente. Razmotrimo trouglove ABD i ACD. Jednak je na dvije strane i ugao između njih (AB=CD, AD je zajednički, uglovi A i D su jednaki prema teoremi 10). Prema tome, ∠ OAD=∠ ODA, stoga su uglovi OVS i OSV jednaki kao i odgovarajući uglovi preklapanja ODA i OAD. Podsjetimo teoremu: ako su dva ugla u trouglu jednaka, onda je on jednakokraki, pa su trouglovi OVS i OAD jednakokraki, što znači OS=OB i OA=OD, itd.
Jednakokraki trapez je simetrična figura.
Definicija 13. Osa simetrije jednakokračnog trapeza naziva se prava linija koja prolazi središtem njegovih baza.
Teorema 14 . Osa simetrije jednakokračnog trapeza okomita je na njegove osnove.
U teoremi 9 dokazali smo da prava koja spaja sredine osnova trapeza prolazi kroz točku presjeka dijagonala. Zatim (teorema 13) dokazali smo da su trouglovi AOD i BOC jednakokraki. OM i OK su medijane ovih trouglova, po definiciji. Prisjetimo se svojstva jednakokračnog trougla: medijana jednakokračnog trougla, spuštena na osnovu, također je visina trokuta. Zbog okomitosti osnova dijelova prave KM, osa simetrije je okomita na osnovice.
Znakovi koji razlikuju jednakokraki trapez među svim trapezima:
Teorema 15 . Ako su uglovi uz jednu od osnova trapeza jednaki, tada je trapez jednakokraki.
Teorema 16 . Ako su dijagonale trapeza jednake, onda je trapez jednakokraki.
Teorema 17 . Ako bočne strane trapeza, proširene do sjecišta, zajedno sa njegovom velikom bazom tvore jednakokraki trokut, tada je trapez jednakokraki.
Teorema 18 . Ako se trapez može upisati u krug, onda je jednakokračan.
Znak pravokutnog trapeza:
Teorema 19 . Svaki četverougao sa samo dva prava ugla u susjednim vrhovima je pravougli trapez (očigledno je da su dvije stranice paralelne, jer su jednostrane jednake. u slučaju kada su tri prava ugla pravougaonik)
Teorema 20 . Poluprečnik kružnice upisane u trapez jednak je polovini visine osnove.
Dokaz ove teoreme je objašnjenje da polumjeri povučeni bazama leže u visini trapeza. Iz tačke O - središta kružnice ABCD upisane u ovaj trapez, povlačimo poluprečnike do tačaka dodira sa njegovim osnovama trapeza. Kao što znate, poluprečnik povučen do tačke dodira je okomit na tangentu, dakle OK ^ BC i OM ^ AD. Podsjetimo teoremu: ako je prava okomita na jednu od paralelnih pravih, onda je ona također okomita na drugu. Dakle, prava OK je također okomita na AD. Dakle, dvije prave okomite na pravu AD prolaze kroz tačku O, što ne može biti, stoga se ove prave poklapaju i čine zajedničku okomicu KM, koja jednak je zbiru dva radijusa i je prečnik upisane kružnice, pa je r=KM/2 ili r=h/2.
Teorema 21 . Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira osnovica i visine baza.

dokaz: Neka je ABCD dati trapez, a AB i CD njegove baze. Neka je i AH visina spuštena od tačke A do prave CD. Tada je S ABCD = S ACD + S ABC.
Ali S ACD = 1/2AH CD i S ABC = 1/2AH AB.
Dakle, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Druga formula se pomerila iz četvorougla.

\[(\Large(\text(Proizvoljni trapez)))\]

Definicije

Trapez je konveksan četverougao u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza zovu se njegove osnove, a druge dvije strane nazivaju se njegove stranice.

Visina trapeza je okomica spuštena iz bilo koje tačke jedne baze na drugu osnovu.

Teoreme: svojstva trapeza

1) Zbir uglova na strani je \(180^\circ\) .

2) Dijagonale dijele trapez na četiri trougla, od kojih su dva slična, a druga dva jednaka.

Dokaz

1) Jer \(AD\paralela BC\) , tada su uglovi \(\ugao BAD\) i \(\ugao ABC\) jednostrani kod ovih pravih i sekansa \(AB\) , dakle, \(\ugao BAD +\ugao ABC=180^\krug\).

2) Jer \(AD\paralelni BC\) i \(BD\) je sekansa, a zatim \(\ugao DBC=\ugao BDA\) kao ležeći poprečno.
Također \(\ugao BOC=\ugao AOD\) kao okomito.
Dakle, u dva ugla \(\trokut BOC \sim \trokut AOD\).

Dokažimo to \(S_(\trokut AOB)=S_(\trokut COD)\). Neka je \(h\) visina trapeza. Onda \(S_(\trokut ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trokut ACD)\). onda: \

Definicija

Srednja linija trapeza je segment koji povezuje sredine stranica.

Teorema

Srednja linija trapeza je paralelna sa bazama i jednaka je polovini njihovog zbira.

dokaz*

1) Dokažimo paralelizam.

Nacrtajte pravu \(MN"\paralelno AD\) (\(N"\u CD\) ) kroz tačku \(M\) ). Zatim, prema Talesovoj teoremi (jer \(MN"\paralelno AD\paralelno BC, AM=MB\)) tačka \(N"\) je središte segmenta \(CD\)... Dakle, tačke \(N\) i \(N"\) će se poklopiti.

2) Dokažimo formulu.

Nacrtajmo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Neka \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Zatim, prema Talesovoj teoremi, \(M"\) i \(N"\) su sredine segmenata \(BB"\) i \(CC"\), respektivno. Dakle, \(MM"\) je srednja linija \(\trokut ABB"\) , \(NN"\) je srednja linija \(\trokut DCC"\) . Zbog toga: \

Jer \(MN\paralelno AD\paralelno BC\) i \(BB", CC"\perp AD\) , tada su \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) pravokutnici. Prema Talesovoj teoremi, \(MN\paralelni AD\) i \(AM=MB\) impliciraju da \(B"M"=M"B\) . Dakle, \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) su jednaki pravokutnici, dakle \(M"N"=B"C"=BC\) .

Na ovaj način:

\ \[=\dfrac12 \levo(AB"+B"C"+BC+C"D\desno)=\dfrac12\levo(AD+BC\desno)\]

Teorema: svojstvo proizvoljnog trapeza

Sredina osnova, tačka preseka dijagonala trapeza i tačka preseka produžetaka bočnih stranica leže na istoj pravoj liniji.

dokaz*
Preporučuje se da se upoznate s dokazom nakon proučavanja teme „Slični trouglovi“.

1) Dokažimo da tačke \(P\), \(N\) i \(M\) leže na istoj pravoj liniji.

Nacrtajte liniju \(PN\) (\(P\) je tačka preseka produžetaka stranica, \(N\) je sredina \(BC\) ). Neka siječe stranicu \(AD\) u tački \(M\) . Dokažimo da je \(M\) središte \(AD\) .

Razmotrimo \(\trokut BPN\) i \(\trokut APM\) . Oni su slični u dva ugla (\(\ugao APM\) - zajednički, \(\ugao PAM=\ugao PBN\) kao odgovarajući u \(AD\paralelno BC\) i \(AB\) sekanti). znači: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Razmotrimo \(\trokut CPN\) i \(\trokut DPM\) . Oni su slični u dva ugla (\(\ugao DPM\) - zajednički, \(\ugao PDM=\ugao PCN\) kao odgovarajući na \(AD\paralelno BC\) i \(CD\) sekanti). znači: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ali \(BN=NC\) , dakle \(AM=DM\) .

2) Dokažimo da tačke \(N, O, M\) leže na jednoj pravoj liniji.

Neka je \(N\) središte \(BC\) , \(O\) presječna tačka dijagonala. Nacrtajte liniju \(NO\) , ona će presjeći stranicu \(AD\) u tački \(M\) . Dokažimo da je \(M\) središte \(AD\) .

\(\trokut BNO\sim \trokut DMO\) pod dva ugla (\(\ugao OBN=\ugao ODM\) kao što leži u \(BC\paralelno AD\) i \(BD\) sekanti; \(\ugao BON=\ugao DOM\) kao vertikalno). znači: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Slično \(\trokut CON\sim \trokut AOM\). znači: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odavde \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ali \(BN=CN\) , dakle \(AM=MD\) .

\[(\Veliki(\tekst(jednakokraki trapez)))\]

Definicije

Trapez se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova pravi.

Trapez se naziva jednakokračnim ako su mu stranice jednake.

Teoreme: svojstva jednakokrakog trapeza

1) Jednakokraki trapez ima jednake osnovne uglove.

2) Dijagonale jednakokrakog trapeza su jednake.

3) Dva trougla formirana dijagonalama i osnovicom su jednakokračna.

Dokaz

1) Razmotrimo jednakokraki trapez \(ABCD\) .

Od vrhova \(B\) i \(C\) spuštamo na stranu \(AD\) okomite \(BM\) i \(CN\), redom. Budući da \(BM\perp AD\) i \(CN\perp AD\) , onda \(BM\parallel CN\) ; \(AD\paralelno BC\) , tada je \(MBCN\) paralelogram, dakle \(BM = CN\) .

Razmotrimo pravokutne trouglove \(ABM\) i \(CDN\) . Pošto imaju jednake hipotenuze i krak \(BM\) je jednak kraku \(CN\) , ovi trouglovi su podudarni, dakle, \(\ugao DAB = \ugao CDA\) .

Jer \(AB=CD, \ugao A=\ugao D, AD\)- generale, onda na prvi znak. Prema tome, \(AC=BD\) .

3) Jer \(\trokut ABD=\trokut ACD\), zatim \(\ugao BDA=\ugao CAD\) . Dakle, trokut \(\trokut AOD\) je jednakokračan. Slično se može dokazati da je \(\trokut BOC\) jednakokračan.

Teoreme: znaci jednakokrakog trapeza

1) Ako su uglovi u osnovi trapeza jednaki, onda je on jednakokraki.

2) Ako su dijagonale trapeza jednake, onda je on jednakokraki.

Dokaz

Razmotrimo trapez \(ABCD\) takav da je \(\ugao A = \ugao D\) .

Završimo trapez do trougla \(AED\) kao što je prikazano na slici. Pošto je \(\ugao 1 = \ugao 2\) , onda je trougao \(AED\) jednakokračan i \(AE = ED\) . Uglovi \(1\) i \(3\) su jednaki kao što odgovaraju paralelnim pravima \(AD\) i \(BC\) i sekanti \(AB\) . Slično, uglovi \(2\) i \(4\) su jednaki, ali \(\ugao 1 = \ugao 2\) , tada \(\ugao 3 = \ugao 1 = \ugao 2 = \ugao 4\), dakle, trokut \(BEC\) je također jednakokračan i \(BE = EC\) .

Na kraju \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tj. \(AB = CD\) , što je trebalo dokazati.

2) Neka \(AC=BD\) . Jer \(\trokut AOD\sim \trokut BOC\), tada njihov koeficijent sličnosti označavamo sa \(k\) . Onda ako je \(BO=x\) , onda \(OD=kx\) . Slično kao \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Jer \(AC=BD\) , zatim \(x+kx=y+ky \Strelica desno x=y\) . Dakle, \(\trougao AOD\) je jednakokračan i \(\ugao OAD=\ugao ODA\) .

Dakle, prema prvom znaku \(\trokut ABD=\trokut ACD\) (\(AC=BD, \ugao OAD=\ugao ODA, AD\)- generalno). Dakle \(AB=CD\) , dakle.

Tra-pe-tion

1. Trapez i njegove vrste

Definicija

Tra-pe-tion- ovo je četiri-vi-rekh-ugalj-nick, neko-ro-go ima dvije stotine-ro-pa-ral-lel-na, a druga dva nemaju.

Na sl. 1. image-ra-same-on pro-from-free-tra-pe-tion. - to su b-to-th-s-ro-ns (oni koji nisu par-ral-lel-ny). - os-no-va-niya (par-ral-lel-nye sto-ro-ny).

Rice. 1. Tra-pe-cija

Ako uporedimo tra-pe-tion sa para-ral-le-lo-gram-m, onda para-ral-le-lo-gram-ma ima dva para para-le-lo-grama. To jest, pa-ral-le-lo-gram nije poseban slučaj tra-pe-tiona, budući da se u definiciji tra-pe-tiona jasno kaže -za-ali da je dvije stotine-ro-na -tra-pe-tions nisu par-ral-lel-na.

Delimirate određene vrste tra-pecija (privatni slučajevi):

2. Srednja linija trapeza i njena svojstva

Definicija

Srednja linija tra-pe-cije- from-re-zok, join-nya-yu-schee se-re-di-ny od bo-to-y strana.

Na sl. 2. slika-ra-isto-na tra-pe-ciji sa prosječnom linijom-ni-her.

Rice. 2. Srednja linija tra-pe-cije

Svojstva srednje linije tra-pe-cije:

1. Srednja linija tra-pe-tiona para-ral-lel-na os-no-va-ni-yam tra-pe-tiona.

dokaz:

Neka se-re-di-na strani strane tra-pe-cije bude tačka. Kroz ovu tačku prolazimo ravnom linijom, par-ral-lel-naya os-but-va-ni-pits. Ova ravna linija re-re-se-čak i drugi bo-ko-vu sto-ro-bunar tra-pe-cija na tački.

Po nalogu-e-tion:. Prema teo-re-me Fa-le-sa, ovo slijedi:. Dakle, varati - se-re-di-na sto-ro-na. Dakle, - srednja linija.

Prije-za-ali.

2. Srednja linija tra-pe-tiona jednaka je lu-sum-me os-no-va-ny tra-pe-tion:.

dokaz:

Nacrtajmo srednju liniju tra-pe-tiona i jednu od dia-go-on-lei: na primjer, (vidi sliku 3).

Prema teoriji Fa-le-sa, para-ral-lel-ny prave linije od-se-ka-yut na stranama ugla su prop-qi-o-nal-cut-ki. Pošto su jednaki od rezova:. Dakle, od-re-zok yav-la-is-sya srednji-ne-njenog trokuta-no-ka, i od-re-zok - srednji put-ne-njenog trougla -Nika .

Znači, .

Napomena: ovo proizlazi iz svojstva srednje linije trougla: srednja linija trougla-no-ka para-ral-lel-na os- but-va-niyu i jednaka je njegovoj grešci. Prvi dio ovog svojstva je do-ka-zy-va-et-sya ana-logic-ali sa do-ka-for-prvim svojstvom srednje linije tra- pe-cije, a drugi dio može biti dokazano (na primjer, za srednju liniju trougla), povlačenjem prave linije kroz tačku, para-lel-nuyu. Iz teorije Fa-le-sa slijedi da će ova prava linija biti srednja linija, a vi-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram-mama (dva para u paru, ali para-ral-lel-ny strane). Odavde-da, već je lako, ali in-lu-chit tre-bu-e-moje vlasništvo.

On-lu-cha-eat:.

Prije-za-ali.

Ras-pogledajte sada, u razlomcima, glavne vrste tra-pe-cija i njihova svojstva.

3. Znakovi jednakokrakog trapeza

Podsjetimo da je tra-pecija jednaka-siromašna-ren-naya tra-pecija, za neke su strane jednake. Pogledajmo svojstva bo-ko-hola tra-pe-tiona.

1. Uglovi na os-no-va-nii jednake-ali-poor-ren-noy tra-pe-cije su jednaki.

dokaz:

Vi-pola-njega standardno do-pola-no-tel-noe in-stro-e-tion, neko vrlo često koristi prilikom rješavanja vremena -lične zadatke za tra-pe-ciju: hajde da sprovedemo direktni para-ral-lel- ali sa strane (vidi sliku 4).

Paralelogram.

Odavde-da proizilazi da:. Dakle, trougao-nick je jednak-ali-siromašan-ren-ny. A to znači da su uglovi u njegovoj osnovi jednaki, odnosno: mi smo X ).

Prije-za-ali.

2. Dijago-na-da li su jednaki-ali-siromašni-ren-noy tra-pe-cije jednake.

dokaz:

Da biste uradili-ka-za-tel-stva ove imovine, koristite prethodni-du-shim. Zaista, razmotrimo trouglove: i (vidi sliku 5.).

(prema prvom znaku jednakosti trokuta: dvije stranice i ugao između njih).

Iz ove jednakosti odmah slijedi:.

Prije-za-ali.

Oka-zy-va-et-sya, da, kao u slučaju pa-ral-le-lo-gram-mama, jednako siromašna-ren-noy tra-pe-tion ima svojstva jednog -ali- vrijeme-ljudi-ali yav-la-yut-sya i prepoznati-ka-mi. Sfor-mu-li-ru-em i do-say ove znakove.

Znakovi jednakog-ali-bed-ren-noy tra-pe-cije

1. S obzirom na: - tra-pe-ciju; .

dokazati:

dokaz:

To-ka-za-tel-stvo ovog-no-go priznanja-ka ab-so-lute-ali ana-lo-gich-ali to-ka-za-tel-stvo sa-od-vet-stvo- yu -schego imovine. Prođimo u tra-pe-tionu direktan para-ral-lel-na stranu (vidi sliku 6).

(odgovarajući uglovi sa paralelnim linijama). Od-ku-da, koristeći uslov-mi-jedemo, in-lu-cha-jedimo: - jednako-ali-siromašni-ren-ny

(uglovi su jednaki na os-no-va-nii). To znači: (za par-ral-le-lo-gram-ma, pro-ti-in-on-false strane su jednake).

Prije-za-ali.

2. S obzirom na: - tra-pe-ciju; .

Dokazati: .

dokaz:

Vi-pola-to je još jedan standard-pun-nor-tel-noe in-stro-e-tion pri rješavanju problema sa tra-pe-qi-her: we-we-we-dem kroz ver-shi-nu-muu -muyu para-ral-lel-ali dia-go-na-li (vidi sliku 7).

Pa-ral-le-lo-gram (dva para u paru, ali para-ral-lel-ny strane).

(odgovarajući uglovi sa paralelnim linijama). Osim toga, - jednak-ali-siromašan-ren-ny ( - po stanju; - po svojstvu, pa-ral-le-lo-gram-ma). A to znači: .

Prije-za-ali.

4. Primjeri zadataka

Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja problema sa tra-pe-qi.

Primjer 1.

Dato: - tra-pe-tion; .

Rješenje:

Zbir uglova sa bočnom stranom tra-pe-cije jednak je - svojstvu unutrašnjih jednostranih uglova sa paralelnim linijama. Iz ove činjenice mogu se izvesti dvije jednakosti:

Primjer 2.

Dato: - tra-pe-tion; . .

Rješenje:

Pro-we-dem you-so-tu. In-lu-cha-eat che-you-rekh-coal-nick, u nekom-rumu o-ti-in-na-lažne strane-ro-na-pair-ali pa-ral-lel-us, i dva uglovi su jednaki u . Dakle, - pa-ral-le-lo-gram, ili bolje rečeno, pravougaonik-nick.

Iz toga sledi da . Gdje: .

Ras-look-im pravougaoni trougao. U njemu je jedan od oštrih uglova, po uslovu, jednak . Dakle, drugi roj je jednak, odnosno:. Vos-use-zu-em sa svojstvom ka-te-ta, le-zha-sche-protiv ugla: upola je manji od gi-po-te-nu-zy.

U ovoj lekciji ćemo ispitati da li razumemo tra-pe-ciju i njena svojstva, proučićemo tipove tra-pecija, a takođe ćemo rešiti nekoliko kada -mera zadataka ty-by-out.

IZVOR

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

Trapez. Zadatak na srednjoj liniji trapeza.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg

U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo razgovarati o uobičajeni znakovi i svojstva trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o kružnici upisanoj u trapez. Dotakćemo se i osobina jednakokrakog i pravougaonog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da posložite stvari u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). A dvije nisu paralelne - ovo su stranice.

U trapezu se visina može izostaviti - okomito na baze. Srednja linija i dijagonale su nacrtane. I također iz bilo kojeg ugla trapeza moguće je nacrtati simetralu.

O raznim svojstvima povezanim sa svim ovim elementima i njihovim kombinacijama, sada ćemo govoriti.

Svojstva dijagonala trapeza

Da bi bilo jasnije, dok čitate, skicirajte ACME trapez na komadu papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

1. Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo ove tačke X i T) i povežete ih, dobićete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment XT leži na srednjoj liniji. A njegova dužina se može dobiti dijeljenjem razlike baza sa dva: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Pred nama je isti ACME trapez. Dijagonale se sijeku u tački O. Razmotrimo trouglove AOE i IOC formirane segmentima dijagonala zajedno sa osnovama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se u odnosu na osnove trapeza: k = AE/KM.
   Odnos površina trouglova AOE i IOC opisuje se koeficijentom k 2 .
3. Sve isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u tački O. Samo ovaj put ćemo razmatrati trouglove koje su dijagonalni segmenti formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trouglova AKO i EMO su jednake - njihove su površine iste.
4. Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavimo stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije ukrstiti do neke točke. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredine osnova trapeza. Seče baze u tačkama X i T.
   Ako sada produžimo pravu XT, ona će spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, tačku u kojoj se sijeku produžeci stranica i sredine baza X i T.
5. Kroz tačku presjeka dijagonala nacrtamo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X - na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OH = KM/AE.
6. A sada kroz tačku presjeka dijagonala povlačimo segment paralelan s osnovama trapeza (a i b). Tačka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći dužinu segmenta 2ab/(a + b).

Svojstva srednje linije trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno s njegovim osnovama.

1. Dužina srednje linije trapeza može se izračunati dodavanjem dužina baza i dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
2. Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji ugao trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, ugao KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete vidjeti da simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na pravoj liniji izvan same figure) segment iste dužine kao i stranica.

Svojstva ugla trapeza

1. Koji god od dva para uglova koji se nalaze uz stranu da odaberete, zbir uglova u paru je uvek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0 .
2. Spojite sredine osnova trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada uglove u osnovima trapeza. Ako je zbir uglova za bilo koji od njih 90 0, dužinu TX segmenta je lako izračunati na osnovu razlike u dužinama baza, podijeljenih na pola: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Ako se kroz strane ugla trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice ugla na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokrakog (jednakokrakog) trapeza

1. U jednakokrakom trapezu, uglovi na bilo kojoj osnovici su jednaki.
2. Sada ponovo napravite trapez da biste lakše zamislili o čemu se radi. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M je projektovan na određenu tačku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od temena A do tačke projekcije temena M i srednja linija jednakokrakog trapeza su jednake.
3. Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su dužine jednake. I uglovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza su isti.
4. Krug se može opisati samo u blizini jednakokračnog trapeza, jer je preduslov za to zbir suprotnih uglova četvorougla 180 0.
5. Svojstvo jednakokrakog trapeza proizilazi iz prethodnog stava - ako se krug može opisati u blizini trapeza, on je jednakokraki.
6. Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim uglom, tada je dužina visine jednaka polovini zbira osnovica: h = (a + b)/2.
7. Ponovo povucite liniju TX kroz sredine osnova trapeza - u jednakokračnom trapezu ona je okomita na osnovice. A u isto vrijeme, TX je osa simetrije jednakokračnog trapeza.
8. Ovaj put spustite na veću osnovu (nazovimo je a) visinu od suprotnog vrha trapeza. Dobićete dva posekotina. Dužina jednog se može naći ako se dužine baza zbroje i podijele na pola: (a+b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i rezultujuću razliku podijelimo sa dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Pošto već govorimo o trapezu upisanom u krug, hajde da se zadržimo na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je centar kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da ne budete previše lijeni da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

1. Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala može izaći iz vrha trapeza pod pravim uglom u odnosu na stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe centar opisane kružnice tačno u sredini (R = ½AE).
2. Dijagonala i strana se također mogu sastati pod oštrim uglom - tada je središte kruga unutar trapeza.
3. Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove velike osnove, ako između dijagonale trapeza i bočne strane postoji tup ugao.
4. Ugao koji formiraju dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani ugao) je polovina središnjeg ugla koji mu odgovara: MAE = ½MY.
5. Ukratko o dva načina za pronalaženje polumjera opisane kružnice. Prvi metod: pažljivo pogledajte svoj crtež - šta vidite? Lako ćete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Radijus se može naći kroz omjer stranice trokuta i sinusa suprotnog ugla, pomnoženog sa dva. Na primjer, R \u003d AE / 2 * sinAME. Slično, formula se može napisati za bilo koju stranu oba trokuta.
6. Drugi metod: nalazimo polumjer opisane kružnice kroz površinu trokuta formiranog od dijagonale, stranice i baze trapeza: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Možete upisati krug u trapez ako je ispunjen jedan uslov. Više o tome u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

1. Ako je kružnica upisana u trapez, dužina njegove srednje linije može se lako pronaći dodavanjem dužina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
2. Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbir dužina baza jednak je zbiru dužina stranica: AK + ME = KM + AE.
3. Iz ovog svojstva osnova trapeza slijedi suprotna tvrdnja: u taj trapez se može upisati krug čiji je zbir osnova jednak zbiru stranica.
4. Tačka tangente kružnice poluprečnika r upisanog u trapez dijeli bočnu stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Poluprečnik kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
5. I još jedna nekretnina. Kako se ne biste zbunili, sami nacrtajte ovaj primjer. Imamo stari dobri ACME trapez, opisan oko kruga. U njemu su nacrtane dijagonale koje se sijeku u tački O. Trouglovi AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i stranica su pravougaoni.
   Visine ovih trouglova, spuštenih na hipotenuze (tj. stranice trapeza), poklapaju se sa polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza je ista kao i prečnik upisane kružnice.

Svojstva pravougaonog trapeza

Trapez se naziva pravougaonim, čiji je jedan od uglova desni. A njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

1. Pravougaoni trapez ima jednu od stranica okomitu na osnovice.
2. Visina i strana trapeza uz pravi ugao, su jednaki. Ovo vam omogućava da izračunate površinu pravokutnog trapeza ( opšta formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi ugao.
3. Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokazi nekih svojstava trapeza

Jednakost uglova pri osnovici jednakokrakog trapeza:

• Vjerovatno ste već pogodili da nam ovdje opet treba ACME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Nacrtajte pravu MT iz temena M paralelno sa stranicom AK (MT || AK).

Rezultirajući četverougao AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada, na osnovu svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokraki:

• Za početak, nacrtajmo pravu liniju MH – MH || KE. Dobijamo paralelogram KMHE (baza - MX || KE i KM || EX).

∆AMH je jednakokračan, jer AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA jednaki jedan drugom, jer je AM \u003d KE i AE zajednička strana dva trokuta. I također MAE \u003d MXE. Možemo zaključiti da je AK ​​= ME, pa iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak za ponavljanje

Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, stranica KA, jednaka 8 cm, čini ugao od 150 0 sa manjom bazom. Morate pronaći površinu trapeza.

Rješenje: Od temena K spuštamo visinu na veću osnovu trapeza. I počnimo gledati uglove trapeza.

Uglovi AEM i KAN su jednostrani. Što znači da njihov zbir iznosi 1800. Prema tome, KAN = 30 0 (na osnovu svojstva uglova trapeza).

Razmotrimo sada pravougaoni ∆ANK (mislim da je ova tačka očigledna čitaocima bez dodatnog dokaza). Iz nje nalazimo visinu trapeza KH - u trokutu je krak, koji leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Površina trapeza se nalazi po formuli: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni da nacrtate trapeze za sva gore navedena svojstva olovkom u rukama i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima puno informacija, različitih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan sažetak svega zajednička svojstva trapezoid. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokrakih i pravokutnih trapeza. Veoma je zgodan za pripremu za testove i ispite. Probajte sami i podijelite link sa prijateljima!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Trapez je poseban slučajčetvorougao sa jednim parom paralelnih stranica. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "sto", "sto". U ovom članku ćemo razmotriti vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, shvatit ćemo kako izračunati pojedinačne elemente ovog primjera, dijagonalu jednakokračnog trapeza, srednju liniju, površinu itd. Materijal je predstavljen u stilu elementarne popularne geometrije, odnosno na lako dostupnom formu.

Opće informacije

Prvo, hajde da shvatimo šta je četvorougao. Ova figura je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri strane i četiri vrha. Dva vrha četverougla koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravougaonik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.

Dakle, vratimo se na trapez. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije strane koje su paralelne. Zovu se baze. Druge dvije (neparalelne) su stranice. U ispitnom materijalu i raznim kontrolni radovi vrlo često se mogu susresti zadaci vezani za trapeze, čije rješavanje često zahtijeva od učenika znanje koje nije predviđeno programom. Školski predmet geometrije upoznaje učenike sa svojstvima uglova i dijagonala, kao i središnje linije jednakokračnog trapeza. Ali uostalom, pored ovoga, pomenuta geometrijska figura ima i druge karakteristike. Ali o njima kasnije...

Vrste trapeza

Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokračne i pravokutne.

1. Pravougaoni trapez je figura kod koje je jedna od stranica okomita na osnovice. Ima dva ugla koji su uvijek devedeset stepeni.

2. Jednakokraki trapez je geometrijska figura čije su stranice jednake jedna drugoj. To znači da su i uglovi na bazama u paru jednaki.

Glavni principi metodologije za proučavanje svojstava trapeza

Glavni princip je korištenje tzv. pristupa zadataka. U stvari, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski kurs geometrije. Mogu se otkriti i formulisati u procesu rješavanja razne zadatke(bolji od sistema). Istovremeno, veoma je važno da nastavnik zna koje zadatke u jednom ili drugom trenutku treba postaviti učenicima. obrazovni proces. Štaviše, svako svojstvo trapeza može se predstaviti kao ključni zadatak u sistemu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To implicira povratak u procesu učenja na pojedinačne karakteristike datog geometrijska figura. Tako ih učenici lakše pamte. Na primjer, svojstvo četiri točke. To se može dokazati kako u proučavanju sličnosti, tako i naknadno uz pomoć vektora. A jednaka površina trokuta koji su susjedni stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo osobina trokuta jednakih visina povučenih na stranice koje leže na istoj liniji, već i korištenjem formule S= 1/2 (ab*sinα). Osim toga, možete vježbati na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na opisanom trapezu, itd.

Upotreba "vanprogramskih" karakteristika geometrijske figure u sadržaju školski kurs je zadaća tehnologija njihove nastave. Konstantno pozivanje na proučavana svojstva prilikom prolaska kroz druge teme omogućava studentima da steknu dublje znanje o trapezu i osigurava uspješnost rješavanja zadataka. Dakle, počnimo proučavati ovu divnu figuru.

Elementi i svojstva jednakokrakog trapeza

Kao što smo već primijetili, stranice ove geometrijske figure su jednake. Poznat je i kao desni trapez. Zašto je tako izvanredan i zašto je dobio takvo ime? Karakteristike ove figure uključuju činjenicu da su ne samo stranice i uglovi u bazama jednaki, već i dijagonale. Takođe, zbir uglova jednakokrakog trapeza je 360 ​​stepeni. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza, samo oko jednakokrake može se opisati kružnica. To je zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova ove figure 180 stepeni, a samo pod tim uslovom može se opisati krug oko četvorougla. Sljedeće svojstvo geometrijske figure koja se razmatra je da će udaljenost od osnovnog vrha do projekcije suprotnog vrha na pravu liniju koja sadrži ovu osnovu biti jednaka srednjoj liniji.

Sada ćemo shvatiti kako pronaći uglove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.

Rješenje

Obično se četverougao obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U jednakokrakom trapezu, stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina X, a veličine baza su Y i Z (manje, odnosno veće). Da bismo izvršili proračun, potrebno je povući visinu H iz ugla B. Rezultat je pravougli trougao ABN, gde je AB hipotenuza, a BN i AN katete. Izračunavamo veličinu noge AN: od veće baze oduzimamo manju, a rezultat dijelimo sa 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y) / 2 = F. Sada, da izračunamo oštar ugao trokuta, koristimo funkciju cos. Dobijamo sljedeći zapis: cos(β) = H/F. Sada izračunavamo ugao: β=arcos (H/F). Nadalje, znajući jedan ugao, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi uglovi su definisani.

Postoji i drugo rješenje za ovaj problem. Na početku spuštamo visinu H od ugla B. Izračunavamo vrijednost BN noge. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak zbiru kvadrata kateta. Dobijamo: BN \u003d √ (X2-F2). Zatim koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat, imamo: β = arctg (BN / F). Pronađen oštar ugao. Zatim određujemo na isti način kao i prvi metod.

Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Hajde da prvo zapišemo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada:

Visina figure bit će jednaka zbroju osnova podijeljen sa dva;

Njegova visina i srednja linija su jednake;

Središte kružnice je točka u kojoj je ;

Ako je bočna strana podijeljena točkom dodira na segmente H i M, onda je jednaka kvadratni korijen proizvodi ovih segmenata;

Četvorougao, koji su formirale tačke tangente, vrh trapeza i centar upisane kružnice, je kvadrat čija je stranica jednaka poluprečniku;

Površina figure jednaka je umnošku osnovica i umnošku polovine zbira osnova i njegove visine.

Slični trapezi

Ova tema je vrlo zgodna za proučavanje svojstava ovog.Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trougla, a oni koji se nalaze uz osnove su slični, a stranice jednake. Ova tvrdnja se može nazvati svojstvom trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se kroz kriterij sličnosti u dva ugla. Za dokazivanje drugog dijela, bolje je koristiti metodu datu u nastavku.

Dokaz teoreme

Prihvatamo da je lik ABSD (AD i BS - osnovice trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Njihova tačka preseka je O. Dobijamo četiri trougla: AOS - na donjoj osnovi, BOS - na gornjoj osnovi, ABO i SOD na stranicama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im segmenti BO i OD osnovice. Dobijamo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Dakle, PSOD = PBOS / K. Slično, BOS i AOB trouglovi imaju zajedničku visinu. Za bazu uzimamo segmente CO i OA. Dobijamo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K i PAOB = PBOS / K. Iz ovoga slijedi da je PSOD = PAOB.

Za konsolidaciju gradiva učenicima se savjetuje da pronađu vezu između površina nastalih trouglova na koje je dijagonala podijeljen trapez, rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je da su površine trokuta BOS i AOD jednake, potrebno je pronaći površinu trapeza. Budući da je PSOD = PAOB, to znači da je PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iz sličnosti trouglova BOS i AOD proizilazi da je BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Dakle, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobijamo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tada je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

svojstva sličnosti

Nastavljajući da razvijamo ovu temu, možemo dokazati i druge zanimljive karakteristike trapezijum. Dakle, koristeći sličnost, možete dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz tačku formiranu presjekom dijagonala ove geometrijske figure, paralelno s bazama. Da bismo to uradili, rešavamo sledeći zadatak: potrebno je pronaći dužinu segmenta RK, koji prolazi kroz tačku O. Iz sličnosti trouglova AOD i BOS sledi da je AO/OS=AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB slijedi da je AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Odavde dobijamo da RO = BS * AD / (BS + AD). Slično tome, iz sličnosti trokuta DOK i DBS, slijedi da je OK = BS * AD / (BS + AD). Odavde dobijamo da je RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment koji prolazi kroz tačku preseka dijagonala, paralelan sa bazama i povezuje dve strane, podeljen je tačkom preseka na pola. Njegova dužina je harmonijska sredina osnova figure.

Razmislite sljedeći kvalitet trapez, što se naziva svojstvom četiri tačke. Točke sjecišta dijagonala (O), sjecišta nastavaka stranica (E), kao i sredine osnova (T i W) uvijek leže na istoj pravoj. Ovo se lako dokazuje metodom sličnosti. Dobijeni trouglovi BES i AED su slični, au svakom od njih medijane ET i EZH dijele ugao na vrhu E na jednake dijelove. Dakle, tačke E, T i W leže na istoj pravoj liniji. Na isti način na istoj pravoj se nalaze tačke T, O i G. Sve ovo proizilazi iz sličnosti trouglova BOS i AOD. Iz ovoga zaključujemo da će sve četiri tačke - E, T, O i W - ležati na jednoj pravoj liniji.

Koristeći slične trapeze, od učenika se može tražiti da pronađu dužinu segmenta (LF) koji figuru dijeli na dva slična. Ovaj segment treba da bude paralelan sa bazama. Pošto su rezultirajući trapezi ALFD i LBSF slični, onda je BS/LF=LF/AD. Iz toga slijedi da je LF=√(BS*BP). Dobijamo da segment koji dijeli trapez na dva slična ima dužinu jednaku geometrijskoj sredini dužina osnova figure.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Zasnovan je na segmentu koji dijeli trapez na dvije figure jednake veličine. Prihvatamo da je trapez ABSD segmentom EN podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavlja se visina, koja je segmentom EH podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobijamo: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 i PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sistem čija je prva jednačina (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 i druga (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Iz toga slijedi da je B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dobijamo da je dužina segmenta koji trapez dijeli na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu dužina baza: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Zaključci o sličnosti

Tako smo dokazali da:

1. Segment koji povezuje sredine stranica trapeza paralelan je sa AD i BS i jednak je aritmetičkoj sredini BS i AD (dužina osnove trapeza).

2. Prava koja prolazi kroz tačku O preseka dijagonala paralelnih sa AD i BS biće jednaka harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Odsječak koji dijeli trapez na slične ima dužinu geometrijske sredine baza BS i AD.

4. Element koji figuru dijeli na dva jednaka ima dužinu srednjih kvadrata brojeva AD i BS.

Da bi konsolidirao gradivo i razumio vezu između razmatranih segmenata, učenik ih treba izgraditi za određeni trapez. On može lako prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz tačku O - presek dijagonala figure - paralelno sa bazama. Ali gdje će biti treći i četvrti? Ovaj odgovor će dovesti učenika do otkrića željene veze između prosjeka.

Segment linije koji spaja sredine dijagonala trapeza

Razmotrite sljedeću osobinu ove slike. Prihvatamo da je segment MH paralelan sa bazama i da polovi dijagonale. Nazovimo tačke preseka W i W. Ovaj segment će biti jednak polurazlici baza. Analizirajmo ovo detaljnije. MSH - srednja linija trougla ABS, jednaka je BS / 2. MS - srednja linija trougla ABD, jednaka je AD / 2. Tada dobijamo da je ShShch = MShch-MSh, dakle, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Centar gravitacije

Pogledajmo kako se ovaj element određuje za datu geometrijsku figuru. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Šta to znači? Potrebno je dodati donju bazu na gornju bazu - na bilo koju stranu, na primjer, desno. A dno je produženo za dužinu vrha ulijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalom. Tačka presjeka ovog segmenta sa srednjom linijom figure je težište trapeza.

Upisani i opisani trapezi

Navedimo karakteristike takvih figura:

1. Trapez se može upisati u krug samo ako je jednakokračan.

2. Trapez se može opisati oko kruga, pod uslovom da je zbir dužina njihovih osnova jednak zbiru dužina stranica.

Posljedice upisanog kruga:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dva poluprečnika.

2. Bočna strana opisanog trapeza posmatra se iz središta kruga pod pravim uglom.

Prvi zaključak je očigledan, a za dokazivanje drugog potrebno je utvrditi da je SOD ugao pravi, što, zapravo, takođe neće biti teško. Ali poznavanje ove osobine omogućit će nam da koristimo pravokutni trokut u rješavanju problema.

Sada specificiramo ove posljedice za jednakokraki trapez, koji je upisan u krug. Dobijamo da je visina geometrijska sredina osnova figure: H=2R=√(BS*AD). Uvježbavajući osnovnu tehniku ​​rješavanja zadataka za trapeze (princip crtanja dvije visine), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Prihvatamo da je BT visina jednakokračne figure ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gore opisanu formulu, to neće biti teško učiniti.

Sada ćemo shvatiti kako odrediti polumjer kružnice koristeći površinu opisanog trapeza. Spuštamo visinu od vrha B do baze AD. Budući da je krug upisan u trapez, tada je BS + AD = 2AB ili AB = (BS + AD) / 2. Iz trougla ABN nalazimo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dobijamo PABSD = (BS + HELL) * R, iz toga slijedi da je R = PABSD / (BS + HELL).

Sve formule srednje linije trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ove geometrijske figure. Hajde da shvatimo koliko je jednaka srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M \u003d (A + B) / 2.

2. Po visini, osnovi i uglovima:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Kroz visinu, dijagonale i ugao između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - uglovi između njih:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Po površini i visini: M = P / N.