Teorema paralelne prave odsijecaju jednake segmente. Talesova teorema. Srednja linija trougla

Tema lekcije

Ciljevi lekcije

• Upoznajte se s novim definicijama i prisjetite se nekih već proučenih.
• Formulirajte i dokažite svojstva kvadrata, dokažite njegova svojstva.
• Naučite primijeniti svojstva oblika u rješavanju problema.
• Razvijanje – razvijati pažnju učenika, upornost, upornost, logičko mišljenje, matematički govor.
• Obrazovni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći, nezavisnosti.

Ciljevi lekcije

• Provjerite sposobnost učenika da rješavaju probleme.

Plan lekcije

1. Istorijat.
2. Tales kao matematičar i njegova djela.
3. Dobro je zapamtiti.

Istorijat

• Talesova teorema se još uvijek koristi u pomorskoj plovidbi po pravilu da sudar brodova koji se kreću od konstantna brzina, neizbježan je ako se održava kurs brodova jedan prema drugom.

• Izvan literature na ruskom jeziku, Talesova teorema se ponekad naziva još jednom teoremom planimetrije, naime, tvrdnja da je upisani ugao zasnovan na prečniku kruga pravi. Otkriće ove teoreme se zaista pripisuje Talesu, o čemu svjedoči Proklo.

• Tales je shvatio osnove geometrije u Egiptu.

Otkrića i zasluge njenog autora

Znate li da je Tales iz Mileta bio jedan od sedam najpoznatijih mudraca u Grčkoj tog vremena. Osnovao je jonsku školu. Ideja koju je Thales promovirao u ovoj školi bila je jedinstvo svih stvari. Mudrac je vjerovao da postoji jedan izvor iz kojeg su sve stvari potekle.

Velika zasluga Talesa iz Mileta je stvaranje naučne geometrije. Ovo veliko učenje je bilo u stanju da stvori deduktivnu geometriju iz egipatske umetnosti merenja, čija je osnova zajednička osnova.

Pored svog ogromnog znanja iz geometrije, Tales je takođe bio dobro upućen u astronomiju. Em je bio prvi koji je predvidio potpuno pomračenje Sunca. Ali to se nije dogodilo u savremeni svet, pa još 585. godine, čak i prije naše ere.

Tales iz Mileta je bio čovjek koji je shvatio da se sjever može precizno odrediti po sazviježđu Malog medvjeda. Ali to nije bio ni on. najnovije otkriće, budući da je mogao tačno odrediti dužinu godine, razbiti je na trista šezdeset i pet dana, i također postaviti vrijeme ekvinocija.

Tales je zapravo bio sveobuhvatno razvijen i mudar čovjek. Osim što je bio poznat kao izvrstan matematičar, fizičar i astronom, bio je i kao pravi meteorolog u stanju da prilično precizno predvidi berbu maslina.

Ali najzanimljivije je to što Tales nikada nije ograničavao svoje znanje samo na naučno i teorijsko polje, već je uvek pokušavao da konsoliduje dokaze svojih teorija u praksi. A najzanimljivije je da se veliki mudrac nije fokusirao ni na jedno područje svog znanja, njegovo interesovanje je imalo različite smjerove.

Ime Thales je već tada postalo poznato ime za mudraca. Njegov značaj i značaj za Grčku bio je veliki kao i ime Lomonosova za Rusiju. Naravno, njegova mudrost se može tumačiti na različite načine. Ali definitivno možemo reći da ga je odlikovala i domišljatost, i praktična domišljatost, a donekle i odvojenost.

Tales iz Mileta je bio odličan matematičar, filozof, astronom, volio je da putuje, bio je trgovac i preduzetnik, bavio se trgovinom, a bio je i dobar inženjer, diplomata, vidovnjak i aktivno učestvovao u političkom životu.

Čak je uspio da odredi visinu piramide uz pomoć štapa i sjene. I bilo je tako. Jednog lijepog sunčanog dana, Tales je stavio svoj štap na granicu gdje se završavala sjena piramide. Zatim je sačekao da se dužina senke njegovog štapa izjednači sa njegovom visinom i izmerio je dužinu senke piramide. Dakle, čini se da je Tales jednostavno odredio visinu piramide i dokazao da je dužina jedne sjene povezana s dužinom druge sjene, kao što je visina piramide povezana s visinom štapa. To je pogodilo samog faraona Amasisa.

Zahvaljujući Thalesu, sva znanja koja su tada bila poznata preneta su u oblast naučnog interesa. Bio je u mogućnosti da rezultate dovede na nivo pogodan za naučnu upotrebu, ističući određeni skup koncepata. A možda je uz pomoć Thalesa započeo kasniji razvoj antičke filozofije.

Talesova teorema igra jednu važne uloge u matematici. Bila je poznata ne samo u Drevni Egipat i Babilona, ​​ali i u drugim zemljama i bila je osnova za razvoj matematike. Da i unutra Svakodnevni život, prilikom izgradnje zgrada, objekata, puteva itd., ne može se bez Talesove teoreme.

Talesova teorema u kulturi

Talesova teorema postala je poznata ne samo u matematici, već je uvedena i u kulturu. Jednom je argentinska muzička grupa Les Luthiers (Španac) predstavila publici pjesmu koju su posvetili poznatoj teoremi. Članovi Les Luthiers-a dali su dokaz za direktnu teoremu za proporcionalne segmente u svom video klipu posebno za ovu pjesmu.

Pitanja

1. Koje prave se nazivaju paralelne?
2. Gdje se Talesova teorema primjenjuje u praksi?
3. O čemu govori Talesova teorema?

Spisak korištenih izvora

1. Enciklopedija za djecu. T.11. Matematika / Glavni i odgovorni urednik M.D. Aksenova.-m.: Avanta +, 2001.
2. “Jedinstveni državni ispit 2006. Matematika. Obrazovni i trenažni materijali za pripremu studenata / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellekt-Centar, 2006.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: udžbenik za obrazovne ustanove"

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred

U teoremi nema ograničenja na međusobni raspored sekanti (to vrijedi i za prave i za paralelne). Takođe nije važno gde su segmenti linija na sekantima.

Dokaz u slučaju paralelnih pravih

Nacrtajmo pravu BC. Uglovi ABC i BCD su jednaki kao unutrašnji krstovi koji leže ispod paralelnih pravih AB i CD i sekansa BC, a uglovi ACB i CBD su jednaki kao unutrašnji krstovi koji leže ispod paralelnih pravih AC i BD i sekansa BC. Tada su, prema drugom kriteriju jednakosti trouglova, trouglovi ABC i DCB podudarni. Ovo implicira da je AC = BD i AB = CD. ■

Također postoji teorema o proporcionalnom segmentu:

Paralelne prave režu proporcionalne segmente na sekantima: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Talesova teorema je poseban slučaj teoreme o proporcionalnim segmentima, budući da se jednaki segmenti mogu smatrati proporcionalnim segmentima sa koeficijentom proporcionalnosti jednakim 1.

Inverzna teorema

Ako u Talesovoj teoremi jednaki segmenti počnu od vrha (ova se formulacija često koristi u školskoj literaturi), tada će se ispostaviti da je i obrnuta teorema. Za presečne sekante, formuliše se na sledeći način:

Dakle (vidi sl.) iz činjenice da $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ proizilazi da je direktan $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Ako su sekante paralelne, onda je potrebno zahtijevati jednakost odsječaka na obje sekante između sebe, inače ova tvrdnja postaje netačna (kontraprimjer je trapez presječen pravom koja prolazi kroz sredine baza).

Varijacije i generalizacije

Sljedeća izjava je dvojna Sollertinskyjevoj lemi:

Talesova teorema se i danas koristi u pomorskoj plovidbi po pravilu da je sudar između brodova koji se kreću konstantnom brzinom neizbježan ako brodovi idu jedan prema drugome. Izvan literature na ruskom jeziku, Talesova teorema se ponekad naziva još jednom teoremom planimetrije, naime, tvrdnja da je upisani ugao zasnovan na prečniku kruga pravi. Otkriće ove teoreme se zaista pripisuje Talesu, o čemu svjedoči Proklo. Napišite recenziju na članak "Talesova teorema" Književnost Atanasyan L. S. i drugi. Geometrija 7-9. - Ed. 3rd. - M.: Prosvjeta, 1992. Bilješke vidi takođe Talesova teorema o uglu zasnovanom na prečniku kružnice Odlomak koji karakteriše Talesovu teoremu „Ne mislim ništa, samo ne razumem... - Čekaj, Sonya, sve ćeš razumjeti. Vidite kakva je on osoba. Ne misli loše o meni ili njemu. “Ne mislim loše o nikome: volim svakoga i sažaljevam sve. Ali šta da radim? Sonya nije odustajala od nežnog tona kojim joj se Nataša obraćala. Što je Natašin izraz lica bio mekši i traženiji, Sonjino lice je bilo ozbiljnije i strože. „Nataša“, rekla je, „zamolila si me da ne pričam sa tobom, ja nisam, sad si sama počela. Nataša, ne verujem mu. Zašto ova tajna? - Opet, opet! Natasha je prekinula. - Nataša, bojim se za tebe. - Čega se plašiti? „Bojim se da ćeš se upropastiti“, odlučno je rekla Sonya, i sama uplašena onim što je rekla. Natašino lice ponovo je izražavalo ljutnju. “I uništiću, uništiću, uništiću sebe što je pre moguće. Ne zanima te. Ne tebi, ali meni će biti loše. Odlazi, ostavi me. Mrzim te. - Natasha! poviče Sonya uplašeno. - Mrzim to, mrzim to! A ti si moj neprijatelj zauvijek! Natasha je istrčala iz sobe. Nataša više nije razgovarala sa Sonjom i izbjegavala ju je. S istim izrazom uzbuđenog iznenađenja i zločina koračala je po sobama, uzimajući prvo ovo, a zatim još jedno zanimanje i odmah ih napuštajući. Koliko god Sonji bilo teško, držala je pogled na prijateljici. Uoči dana kada je grof trebao da se vrati, Sonja je primetila da je Nataša celo jutro sedela na prozoru dnevne sobe, kao da nešto čeka i da je vojniku u prolazu dala nekakav znak, koga je Sonya zamijenila za Anatola. Sonya je počela još pažljivije da posmatra svoju prijateljicu i primetila je da je Nataša sve vreme ručka i večeri bila u čudnom i neprirodnom stanju (neprimereno je odgovarala na pitanja koja su joj postavljena, počela je i nije završavala fraze, smejala se svemu). Nakon čaja, Sonya je ugledala plašljivu sluškinju kako je čeka na Natašinim vratima. Propustila ga je i, prisluškivajući na vratima, saznala da je pismo ponovo predato. I odjednom je Sonji postalo jasno da Nataša ima nekakav užasan plan za ovo veče. Sonya je pokucala na njena vrata. Nataša je nije pustila unutra. “Ona će pobjeći s njim! pomislila je Sonya. Ona je sposobna za sve. Danas je bilo nešto posebno patetično i odlučno na njenom licu. Briznula je u plač, opraštajući se od ujaka, prisjetila se Sonya. Da, tako je, ona trči s njim - ali šta da radim? pomisli Sonja, prisećajući se sada onih znakova koji su jasno dokazivali zašto je Nataša imala neku strašnu nameru. „Nema brojanja. Šta da radim, pišem Kuraginu, tražeći od njega objašnjenje? Ali ko mu kaže da odgovori? Pišite Pjeru, kao što je princ Andrej pitao u slučaju nesreće? ... Ali možda je, u stvari, već odbila Bolkonskog (jučer je poslala pismo princezi Mariji). Nema ujaka!” Sonji je izgledalo strašno da kaže Marji Dmitrijevni, koja je toliko verovala u Natašu. Ali ovako ili onako, pomislila je Sonya, stojeći u mračnom hodniku: sada ili nikad došlo je vrijeme da dokažem da se sjećam dobrih djela njihove porodice i volim Nikolu. Ne, neću spavati najmanje tri noći, ali neću izaći iz ovog hodnika i neću je pustiti na silu, i neću dozvoliti da sramota padne na njihovu porodicu - mislila je. Anatole novije vrijeme preselio se u Dolohov. Dolohov je već nekoliko dana smišljao i pripremao plan za otmicu Rostove, a onog dana kada je Sonya, čuvši Natašu na vratima, odlučila da je zaštiti, ovaj plan je trebalo da se izvrši. Nataša je obećala da će izaći kod Kuragina na zadnji trem u deset sati uveče. Kuragin je trebao da je stavi u pripremljenu trojku i da je odveze 60 milja od Moskve do sela Kamenka, gde je bio pripremljen doterani sveštenik, koji je trebalo da ih venča. U Kamenki je bila gotova postavka, koja je trebalo da ih odvede na Varšavsku cestu, a tamo je trebalo da se voze u inostranstvo na poštarinu. Anatole je imao pasoš, i putnički, i deset hiljada novca uzetog od njegove sestre, i deset hiljada pozajmljenih preko Dolohova. Dva svjedoka - Hvostikov, bivši činovnik, kojeg su Dolohov i Makarin koristili za igru, penzionisani husar, dobrodušan i slaba osoba, koji je gajio bezgraničnu ljubav prema Kuraginu - sjedio je u prvoj prostoriji na čaju. U Dolohovovoj velikoj kancelariji, ukrašenoj od zida do plafona perzijskim tepisima, medveđim kožama i oružjem, Dolohov je sedeo u putujućem bešmetu i čizmama ispred otvorenog biroa, na kome su ležale novčanice i smotovi novca. Anatole je, u raskopčanoj uniformi, otišao iz sobe u kojoj su sedeli svedoci, kroz radnu sobu do zadnje sobe, gde su njegov francuski lakaj i ostali pakovali poslednje stvari. Dolohov je prebrojao novac i zapisao ga. „Pa“, rekao je, „Hvostikovu treba dati dve hiljade. - Pa, pusti me - rekao je Anatole. - Makarka (tako su zvali Makarina), ova ti nezainteresovano kroz vatru i u vodu. Pa, rezultati su gotovi - rekao je Dolohov pokazujući mu poruku. - Pa? „Da, naravno, tako je“, rekao je Anatol, očigledno ne slušajući Dolohova i sa osmehom koji nije silazio s lica, gledajući ispred sebe.

1. 
   formulacija;
2. 
   Dokaz;

1. 
   Teorema o proporcionalnim segmentima;
2. 
   Ceva teorema;

1. 
   formulacija;
2. 
   Dokaz;

1. 
   Teorema Menelaja;

1. 
   formulacija;
2. 
   Dokaz;

1. 
   Zadaci i njihova rješenja;
2. 
   Zaključak;
3. 
   Spisak korištenih izvora i literature.

Uvod.

Sve male stvari su potrebne

Da bude značajan...

I. Severyanin
Ovaj sažetak je posvećen primjeni metode paralelnih pravih na dokaz teorema i rješavanje problema. Zašto koristimo ovu metodu? U tome akademske godine Na školskoj olimpijadi iz matematike predložen je geometrijski zadatak, koji nam se činio veoma teškim. Upravo je ovaj zadatak dao poticaj za početak rada na proučavanju i razvoju metode paralelnih pravih u rješavanju zadataka o pronalaženju omjera dužina odsječaka.

Ideja same metode temelji se na korištenju generalizirane Talesove teoreme. Talesova teorema se izučava u osmom razredu, njeno uopštavanje i tema „Sličnosti figura“ u devetom razredu, a tek u desetom razredu se u uvodnom planu izučavaju dvije važne Ceve i Menelajeve teoreme, uz pomoć koji se relativno lako rješava niz problema za nalaženje omjera dužina segmenata. Dakle, na nivou osnovnog obrazovanja možemo sasvim odlučiti uski krug zadatke za ovaj studijski materijal. Iako se na završnoj ovjeri za predmet osnovne škole i na GSM iz matematike, zadaci na ovu temu (Talesova teorema. Sličnost trouglova, koeficijent sličnosti. Znaci sličnosti trouglova) nude u drugom dijelu ispita. papira i visokog su nivoa složenosti.

U procesu rada na sažetku postalo je moguće produbiti naše znanje o ovoj temi. Dokaz teoreme o proporcionalnim segmentima u trouglu (teorema nije uključena u školski program) zasniva se na metodi paralelnih pravih. Zauzvrat, ova teorema nam je omogućila da predložimo drugi način dokazivanja Ceve i Menelaja teorema. I kao rezultat toga, uspjeli smo naučiti kako riješiti širi spektar problema za poređenje dužina segmenata. To je relevantnost našeg rada.

Generalizovana Talesova teorema.

Formulacija:

Paralelne prave koje seku dve zadate prave seku proporcionalne segmente na ovim pravima.
Dato:

Pravo a rezati paralelnim linijama ( ALI 1 AT 1 , ALI 2 AT 2 , ALI 3 AT 3 ,…, ALI n B n) na segmente ALI 1 ALI 2 , ALI 2 ALI 3 , …, A n -1 A n, i prava linija b- u segmente AT 1 AT 2 , AT 2 AT 3 , …, AT n -1 AT n .

dokazati:

dokaz:

Dokažimo, na primjer, to

Razmotrite dva slučaja:

1 slučaj (sl. b)

Direktno a i b su paralelne. Zatim četvorouglovi

ALI 1 ALI 2 AT 2 AT 1 i ALI 2 ALI 3 AT 3 AT 2 - paralelogrami. Zbog toga

ALI 1 ALI 2 =AT 1 AT 2 i ALI 2 ALI 3 =AT 2 AT 3 , odakle to slijedi

2 kućište (sl. c)

Prave a i b nisu paralelne. Kroz tačku ALI 1 hajde da nacrtamo pravu liniju With, paralelno sa linijom b. Ona će preći granice ALI 2 AT 2 i ALI 3 AT 3 u nekim trenucima OD 2 i OD 3 . trouglovi ALI 1 ALI 2 OD 2 i ALI 1 ALI 3 OD 3 slični su u dva ugla (ugao ALI 1 – opšte, uglovi ALI 1 ALI 2 OD 2 i ALI 1 ALI 3 OD 3 jednak kao odgovarajući pod paralelnim linijama ALI 2 AT 2 i ALI 3 AT 3 secant ALI 2 ALI 3 ), zbog toga

1+

Ili prema svojstvu proporcija

S druge strane, onim što je dokazano u prvom slučaju imamo ALI 1 OD 2 =AT 1 AT 2 , OD 2 OD 3 =AT 2 AT 3 . Zamjena u proporciji (1) ALI 1 OD 2 na AT 1 AT 2 i OD 2 OD 3 na AT 2 AT 3 , dolazimo do jednakosti

Q.E.D.
Teorema o proporcionalnim segmentima u trouglu.

Sa strane AC i Ned trougao ABC tačke su označene To i M tako AC:CS=m: n, BM: MC= str: q. Segmenti AM i VC seku u tački O(Sl. 124b).

dokazati:

dokaz:
Kroz tačku M hajde da nacrtamo pravu liniju MD(Sl. 124a), paralelno VC. Ona prelazi sa strane AC u tački D, i prema generalizaciji Talesove teoreme

Neka AK=mx. Zatim, u skladu sa stanjem problema KS=nx, i od tada KD: DC= str: q, onda opet koristimo generalizaciju Talesove teoreme:

Slično, dokazano je da .

Ceva teorema.
Teorema je dobila ime po italijanskom matematičaru Giovanni Cevi, koji ju je dokazao 1678. godine.

Formulacija:

Ako se na stranicama AB, BC i CA trougla ABC uzimaju tačke C 1 , ALI 1 i B 1 , zatim segmenti AA 1 , BB 1 i SS 1 seku u jednoj tački ako i samo ako

Dato:

Trougao ABC i na njegovim stranama AB, Ned i AC tačke su označene OD 1 ,ALI 1 i AT 1 .

dokazati:

2.rezovi AA 1 , BB 1 i SS 1 seku u jednoj tački.

dokaz:
1. Neka segmenti aa 1 , BB 1 i SS 1 seku u jednoj tački O. Dokažimo da vrijedi jednakost (3). Prema teoremi o proporcionalnim segmentima u trouglu 1 imamo:

Lijevi dijelovi ovih jednakosti su isti, pa su i desni dijelovi jednaki. Izjednačavajući ih, dobijamo

Podjela oba dijela na desna strana, dolazimo do jednakosti (3).

2. Dokažimo obrnutu tvrdnju. Neka bodove OD 1 ,ALI 1 i AT 1 uzeti sa strane AB, Ned i SA tako da vrijedi jednakost (3). Dokažimo da su segmenti aa 1 , BB 1 i SS 1 seku u jednoj tački. Označiti slovom O tačka preseka segmenata AA 1 i BB 1 i nacrtaj pravu liniju SO. Ona prelazi sa strane AB u nekom trenutku, što označavamo OD 2 . Od segmenata aa 1 , BB 1 i SS 1 seku u jednoj tački, zatim onim što je dokazano u prvom paragrafu

Dakle, jednakosti (3) i (4) vrijede.

Upoređujući ih, dolazimo do jednakosti = , što pokazuje da su tačke C 1 i C 2 dijeliti stranu AB C 1 i C 2 poklapaju, a samim tim i segmenti aa 1 , BB 1 i SS 1 seku u tački O.

Q.E.D.
Menelajeva teorema.

Formulacija:

Ako se na stranicama AB i BC i produžetku stranice AC (ili na produžecima stranica AB, BC i AC) uzmu tačke C, redom 1 , ALI 1 , AT 1 , tada ove točke leže na istoj liniji ako i samo ako

Dato:

Trougao ABC i na njegovim stranama AB, Ned i AC tačke su označene OD 1 ,ALI 1 i AT 1 .

dokazati:

2. bodova ALI 1 ,OD 1 i AT 1 leže na istoj liniji
dokaz:
1. Neka bodove ALI 1 ,OD 1 i AT 1 leže na istoj liniji. Dokažimo da vrijedi jednakost (5). Hajde da potrošimo AD,BE i CF paralelno sa pravom linijom AT 1 ALI 1 (tačka D leži na pravoj liniji Ned). Prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, imamo:

Množenjem lijevog i desnog dijela ovih jednakosti dobijamo

one. vrijedi jednakost (5).
2. Dokažimo obrnutu tvrdnju. Pusti poentu AT 1 uzeti sa strane nastavka AC, i bodove OD 1 i ALI 1 - sa strane AB i Ned, i to na način da vrijedi jednakost (5). Dokažimo da su tačke ALI 1 ,OD 1 i AT 1 leže na istoj liniji. Neka prava A 1 C 1 siječe nastavak stranice AC u tački B 2, onda prema onome što je dokazano u prvom paragrafu

Uspoređujući (5) i (6), dolazimo do jednakosti = , što pokazuje da su tačke AT 1 i AT 2 dijeliti stranu AC u istom pogledu. Dakle, bodovi AT 1 i AT 2 poklapaju, a samim tim i tačke ALI 1 ,OD 1 i AT 1 leže na istoj liniji. Obrnuta tvrdnja se dokazuje na sličan način u slučaju kada su sve tri tačke ALI 1 ,OD 1 i AT 1 leže na produžecima odgovarajućih strana.

Q.E.D.

Rješavanje problema.

Predlaže se razmatranje niza problema o proporcionalnoj podjeli segmenata u trouglu. Kao što je gore navedeno, postoji nekoliko metoda za određivanje lokacije tačaka potrebnih u problemu. U našem radu smo se odlučili na metodu paralelnih pravih. Teorijska osnova ove metode je generalizirana Talesova teorema, koja omogućava korištenje paralelnih linija za prijenos poznate veze proporcije od jedne strane ugla do druge strane, tako da je potrebno samo da nacrtate ove paralelne linije na pogodan način za rešavanje problema.
Razmotrite konkretne zadatke:
Zadatak №1 Tačka M je uzeta u trouglu ABC na strani BC tako da je VM:MC=3:2. Tačka P dijeli segment AM u omjeru 2:1. Prava BP siječe stranu AC u tački B 1 . U kom smislu je tačka B 1 dijeli stranu AC?

Rješenje: Potrebno je pronaći omjer AB 1: B 1 C, AC je željeni segment na kojem leži tačka B 1.

Paralelna metoda je sljedeća:

1. 
   izrežite željeni segment paralelnim linijama. Jedan BB 1 je već tu, a drugi MN će biti povučen kroz tačku M, paralelno sa BB 1.
2. 
   Prenesite poznati odnos sa jedne strane ugla na drugu stranu, tj. uzmite u obzir uglove bočne strane, koji su presečeni ovim ravnim linijama.

Stranice ugla C seku se pravim BB 1 i MN i, prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, zaključujemo AT 1 N=3p, NC=2r. Stranice ugla MAC sijeku prave PB 1 i MN i dijele njegove strane u omjeru 2: 1, dakle AB 1: B 1 N = 2: 1 i stoga AB 1 = 2n, AT 1 N= n. Jer AT 1 N=3p, i AT 1 N= n, onda 3p=n.

Pređimo na omjer koji nas zanima AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) = 2n: (3p + 2p) = (2 * 3p): (5p) \u003d 6:5.

Odgovor: AB 1:B 1 C = 6:5.

Komentar: Ovaj problem bi se mogao riješiti korištenjem Menelausove teoreme. Primjenjujući ga na trokut AMC. Tada prava BB 1 siječe dvije stranice trokuta u tačkama B 1 i P, a nastavak treće u tački B. Dakle, vrijedi jednakost: , Shodno tome
Zadatak broj 2 U trouglu ABC AN je medijana. Na strani AC, tačka M je uzeta tako da AM: MC = 1: 3. Segmenti AN i BM se sijeku u tački O, a zraka CO siječe AB u tački K. U kojem omjeru tačka K dijeli segment AB.

Rješenje: Moramo pronaći omjer AK prema KV.

1) Nacrtaj pravu NN 1 paralelnu pravoj SK i pravu NN 2 paralelnu pravoj VM.

2) Stranice ugla ABC seku pravim SC i NN 1 i, prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, zaključujemo BN 1:N 1 K=1:1 ili BN 1 = N 1 K= y.

3) Stranice ugla BCM seku se pravima BM i NN 2 i, prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, zaključujemo CN 2:N 2 M=1:1 ili CN 2 = N 2 M=3:2= 1.5.

4) Stranice ugla NAC seku se pravima BM i NN 2 i prema generalizovanoj Talesovoj teoremi zaključujemo AO: ON=1:1.5 ili AO=m ON=1.5m.

5) Stranice ugla BAN sijeku se pravim linijama SK i NN 1 i, prema generaliziranoj Thalesovoj teoremi, zaključujemo AK: KN 1 = 1: 1,5 ili AK = n KN 1 =1,5 n.

6) KN 1 = y = 1,5n.

Odgovor: AK:KV=1:3.

Komentar: Ovaj problem bi se mogao riješiti primjenom Cevine teoreme na trougao ABC. Pod uslovom, tačke N, M, K leže na stranicama trougla ABC, a segmenti AN, CK i VM seku se u jednoj tački, što znači da je tačna jednakost: , zamjenjujemo poznate relacije, imamo , AK:KV=1:3.

Zadatak br. 3 Na strani BC trokuta ABC uzima se tačka D takva da je BD: DC = 2: 5, a na strani AC tačka E je takva da je . U kom omjeru su segmenti BE i AD podijeljeni tačkom K njihovog sjecišta?
Rješenje: Trebate pronaći 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Nacrtajte pravu DD 1 paralelno sa pravom BE.

2) Stranice ugla ALL seku se pravima BE i DD 1 i, prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, zaključujemo CD 1:D 1 E=5:2 ili CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Prema uslovu AE:EC=1:2, tj. AE = x, EC = 2x, ali EC = CD 1 + D 1 E, zatim 2y=5z+2 z=7 z, z=

4) Stranice ugla DCA seku se pravima BE i DD 1 i, prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, zaključujemo

5) Da bismo odredili omjer VK:KE, povlačimo pravu liniju EE 1 i, argumentirajući na sličan način, dobijamo

Odgovor: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
komentar: Ovaj problem bi se mogao riješiti korištenjem Menelajeve teoreme. Primjenjujući ga na trokut TEŽINA. Tada prava DA siječe dvije stranice trokuta u tačkama D i K, a nastavak treće u tački A. Dakle vrijedi jednakost: , dakle VK:KE=6:5. Slično argumentirajući u odnosu na trokut ADC, dobijamo , AK:KD=7:4.
Problem #4 U ∆ ABC, simetrala AD dijeli stranicu BC u omjeru 2: 1. U kom omjeru medijana CE dijeli ovu simetralu?

Rješenje: Neka tačka O presjek simetrale AD i medijane CE. Moramo pronaći omjer AO:OD.

1) Nacrtajte pravu DD 1 paralelnu pravoj CE.

2) Stranice ugla ABC seku se pravima CE i DD 1 i, prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, zaključujemo BD 1:D 1 E=2:1 ili BD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Prema uslovu AE:EB=1:1, tj. AE=y, EB=y, ali EB= BD 1 + D 1 E, dakle y=2str+ str=3 str, str =
4) Stranice ugla BAD seku se pravima OE i DD 1 i, prema generalizovanoj Talesovoj teoremi, zaključujemo .

Odgovor: AO:OD=3:1.

Zadatak #5 Na stranicama AB i AC ∆ABC date su tačke M i N, respektivno, tako da su zadovoljene sljedeće jednakosti AM:MB=CN: N / A=1:2. U kom odnosu tačka S preseka segmenata BN i CM deli svaki od ovih segmenata.

Zadatak №6 Tačka K je uzeta na medijani AM trougla ABC, a AK:KM=1:3. Odrediti omjer u kojem prava koja prolazi kroz tačku K paralelno sa stranicom AC dijeli stranicu BC.

Rješenje: Neka je M 1 bod presek prave koja prolazi kroz tačku K paralelno sa stranicom AC i stranicom BC. Potrebno je pronaći odnos BM 1:M 1 C.

1) Stranice ugla AMC seku se pravim linijama KM 1 i AC i, prema generalizovanoj Thalesovoj teoremi, zaključujemo MM 1: M 1 C=3:1 ili MM 1 = 3z, M 1 C \u003d z

2) Po uslovu VM:MS=1:1, tj. VM=y, MC=y, ali MC=MM 1 + M 1 C, dakle y=3z+ z=4 z,

3) .

Odgovor: VM 1:M 1 C = 7:1.

Dat je zadatak №7 Trougao ABC. Na produžetku strane AC, tačka se uzima za tačku CN, i CN=AC; tačka K je središte stranice AB. U kom pogledu je linija KNdijeli stranu BC.

komentar: Ovaj problem bi se mogao riješiti korištenjem Menelajeve teoreme. Primjenjujući ga na trougao ABC. Tada prava KN siječe dvije stranice trokuta u tačkama K i K 1, a nastavak treće u tački N. Dakle vrijedi jednakost: , dakle VK 1:K 1 C=2:1.

Zadatak #8

Stranice:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Jedinstveni državni ispit 2011 Zadatak iz matematike C4 R.K. Gordin M .: MTSNMO, 2011, - 148 s

zaključak:

Rješenje zadataka i teorema za pronalaženje odnosa dužina segmenata zasniva se na generaliziranoj Talesovoj teoremi. Formulirali smo metodu koja omogućava, bez primjene Talesove teoreme, da koristimo paralelne linije, prenesemo poznate proporcije s jedne strane kuta na drugu stranu i na taj način pronađemo lokaciju potrebnih tačaka i uporedimo dužine. Rad na apstraktu pomogao nam je da naučimo kako rješavati geometrijske probleme visoki nivo teškoće. Shvatili smo istinitost riječi poznatog ruskog pjesnika Igora Severjanjina: „Sve je beznačajno potrebno da bi bilo značajno...“ i sigurni smo da ćemo na Jedinstvenom državnom ispitu moći pronaći rješenje za predložene zadatke koristeći metoda paralelnih linija.

1 Teorema o proporcionalnim segmentima u trouglu je gore opisana teorema.

Ako su stranice ugla presečene ravnim paralelnim linijama koje dijele jednu od strana na nekoliko segmenata, tada će se i druga strana, prave, također podijeliti na segmente koji su ekvivalentni drugoj strani.

Talesova teorema dokazuje sledeće: S 1 , S 2 , S 3 - to su mesta gde se paralelne prave seku na bilo kojoj strani ugla. C 2 je u sredini u odnosu na C 1 i C 3 .. Tačke D 1 , D 2 , D 3 su mjesta gdje se prave seku, koje odgovaraju linijama sa drugom stranom ugla. Dokazujemo da kada je C 1 C 2 = C 2 C z, onda je D 1 D 2 = D 2 D 3 .
Crtamo pravi segment KR na mestu D 2, paralelno sa presekom C 1 C 3. U svojstvima paralelograma C 1 C 2 = KD 2, C 2 C 3 = D 2 P. Ako je C 1 C 2 = C 2 C 3, onda je KD 2 = D 2 P.

Rezultirajuće trouglaste figure D 2 D 1 K i D 2 D 3 P su jednake. I D 2 K=D 2 P dokazom. Uglovi sa gornjom tačkom D 2 jednaki su kao vertikalni, a uglovi D 2 KD 1 i D 2 PD 3 su jednaki kao unutrašnji krstovi koji leže sa paralelnim C 1 D 1 i C 3 D 3 i razdvajaju KP.
Kako je D 1 D 2 =D 2 D 3 teorema je dokazana jednakošću stranica trokuta

Napomena: Ako uzmemo ne stranice ugla, već dva ravna segmenta, dokaz će biti isti.
Bilo koji odsječak ravnih linija paralelni jedan s drugim, koji sijeku dvije prave koje razmatramo i dijele jednu od njih na identične dijelove, čine isto s drugim.

Pogledajmo nekoliko primjera

Prvi primjer

Uslov zadatka je da se CD linija podeli P identični segmenti.
Iz tačke C povlačimo polupravu c, koja ne leži na pravoj CD. Označimo na njemu dijelove iste veličine. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. Povezujemo C p sa D. Crtamo prave linije iz tačaka C 1, C 2, ...., C p -1 koja će biti paralelna u odnosu na C p D. Prave će seći CD na mestima D 1 D 2 D p-1 i podeliti pravu CD na n identičnih segmenata.

Drugi primjer

Tačka CK je označena na strani AB trougla ABC. Segment SK siječe medijanu AM trougla u tački P, dok je AK ​​= AP. Potrebno je pronaći omjer VC prema RM.
Kroz tačku M povlačimo pravu liniju, paralelnu sa SC, koja seče AB u tački D

By Talesova teorema VD=KD
Po teoremi o proporcionalnim segmentima dobijamo to
PM \u003d KD \u003d VK / 2, dakle, VK: PM \u003d 2: 1
Odgovor: VK: RM = 2:1

Treći primjer

U trouglu ABC, stranica BC = 8 cm Prava DE seče stranice AB i BC paralelne sa AC. I odsiječe na BC strani segment EU = 4 cm. Dokazati da je AD = DB.

Pošto je BC = 8 cm i EU = 4 cm, onda
BE = BC-EU, dakle BE = 8-4 = 4 (cm)
By Talesova teorema, budući da je AC paralelan sa DE i EC = BE, dakle, AD = DB. Q.E.D.

AT ženski časopis- onlajn, naći ćete mnogo toga zanimljive informacije za mene. Postoji i dio posvećen pjesmama Sergeja Jesenjina. Uđite, nećete požaliti!

O paralelnom i sekantnom.

Izvan literature na ruskom jeziku, Talesova teorema se ponekad naziva još jednom teoremom planimetrije, naime, tvrdnja da je upisani ugao zasnovan na prečniku kruga pravi. Otkriće ove teoreme se zaista pripisuje Talesu, o čemu svjedoči Proklo.

Formulacija

Ako se na jednoj od dvije ravne linije uzastopno položi nekoliko jednakih segmenata i kroz njihove krajeve se povuku paralelne linije koje sijeku drugu ravnu liniju, tada će odsjeći jednake segmente na drugoj pravoj liniji.

Općenitija formulacija, tzv teorema o proporcionalnom segmentu

Paralelne prave režu proporcionalne segmente na sekantima:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Napomene

• U teoremi nema ograničenja na međusobni raspored sekanti (to vrijedi i za prave i za paralelne). Takođe nije važno gde su segmenti linija na sekantima.

• Talesova teorema je poseban slučaj teoreme o proporcionalnim segmentima, budući da se jednaki segmenti mogu smatrati proporcionalnim segmentima sa koeficijentom proporcionalnosti jednakim 1.

Dokaz u slučaju sekanata

Razmotrimo varijantu s nepovezanim parovima segmenata: neka ugao preseku prave linije A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) i gde A B = C D (\displaystyle AB=CD).

Dokaz u slučaju paralelnih pravih

Hajde da nacrtamo pravu liniju BC. uglovi ABC i BCD jednaki su kao unutrašnji krstovi koji leže na paralelnim linijama AB i CD i sekansa BC, i uglovi ACB i CBD jednaki su kao unutrašnji krstovi koji leže na paralelnim linijama AC i BD i sekansa BC. Zatim, prema drugom kriteriju za jednakost trokuta, trouglovi ABC i DCB su jednaki. Otuda to sledi AC = BD i AB = CD. ■

Varijacije i generalizacije

Inverzna teorema

Ako u Talesovoj teoremi jednaki segmenti počnu od vrha (ova se formulacija često koristi u školskoj literaturi), tada će se ispostaviti da je i obrnuta teorema. Za presečne sekante, formuliše se na sledeći način:

U inverznoj Talesovoj teoremi važno je da jednaki segmenti počinju od vrha

Dakle (vidi sl.) iz činjenice da C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), slijedi to A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Ako su sekante paralelne, onda je potrebno zahtijevati jednakost odsječaka na obje sekante između sebe, inače ova tvrdnja postaje netačna (kontraprimjer je trapez presječen pravom koja prolazi kroz sredine baza).

Ova teorema se koristi u navigaciji: sudar brodova koji se kreću konstantnom brzinom je neizbježan ako se održava smjer od jednog broda do drugog.

Lema Solertinskog

Sljedeća izjava je dvojna Sollertinskyjevoj lemi:

Neka f (\displaystyle f)- projektivna korespondencija između tačaka prave l (\displaystyle l) i direktno m (\displaystyle m). Tada će skup linija biti skup tangenti na neki (moguće degenerirani) konusni presjek.

U slučaju Talesove teoreme, konika će biti beskonačna tačka koja odgovara smjeru paralelnih linija.

Ova izjava je, pak, ograničavajući slučaj sljedeće izjave:

Neka f (\displaystyle f) je projektivna transformacija konike. Zatim omotnica skupa linija X f (X) (\displaystyle Xf(X)) postojaće konus (moguće degenerisan).