ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი. ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი (ფრაქციულ-კვადრატული ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით). პირადი ინფორმაციის დაცვა

1. ფუნქციის გრაფიკების ესკიზების აგების მეთოდოლოგია

2. N1 მაგალითის ამოხსნა

3. No2 მაგალითის ამოხსნა

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

პირადი ინფორმაციის დაცვა

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე


ფუნქციის გრაფიკების შედგენა. . . . . . . . . . . .
1. გრაფიკის აგებისას ფუნქციის შესწავლის გეგმა. .
2. ფუნქციის კვლევის ძირითადი ცნებები და ეტაპები. . . .
1. ფუნქციის D f და კომპლექტის დომენი
E f ფუნქციის მნიშვნელობები. სპეციალური თვისებები
ფუნქციები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. ასიმპტოტების შესწავლა. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. ვერტიკალური ასიმპტოტები. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. ირიბი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტები. . . . . . .
2.3. არავერტიკალური ასიმპტოტების შესწავლის მეთოდები. .
2.4. ფუნქციის გრაფიკის შედარებითი პოზიცია
და მისი ასიმპტოტები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. ფუნქციის გრაფიკის დახაზვა. . . . . . . . . .
4. მზარდი და კლებადი ფუნქციების სექციები
მინიმალური და მაქსიმალური ქულები. . . . . . . . . . . . . . .
5. ამოზნექილი ფუნქცია მაღლა და ქვევით
გადახრის წერტილები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. ფუნქციის დიფერენციაცია, ანალიტიკური
რომლის გამოხატულება შეიცავს მოდულს. . . . . . . . . . . . .
4. კვლევის შედეგების ძირითადი მოთხოვნები
და შეთქმულება. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. ფუნქციების კვლევისა და მშენებლობის მაგალითები
ფუნქციების გრაფიკები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მოსახვევების დახატვა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. მოსახვევების კვლევისა და აგების გეგმა. . . . . . . . . .

2. მრუდის კვლევის ძირითადი ცნებები და ეტაპები. . . . .
	x x t და y y t ფუნქციების შესწავლა. . . . . . .
	კვლევის შედეგების გამოყენება x x t. .
2.1. მრუდის ვერტიკალური ასიმპტოტები. . . . . . . . . . .
2.2. მრუდის დახრილი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტები. .
	შედეგების ანალიზი და ესკიზის აგება
ფუნქციური გრაფიკა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. მზარდი და კლებადი მრუდის მონაკვეთები
ფუნქციების მინიმალური და მაქსიმალური ქულები
x x y და y y x, მრუდის კუსპ წერტილები. . . . . . .
	ამოზნექილი ფუნქცია მაღლა და ქვევით. გადახრის წერტილები. .
3. პარამეტრულად განსაზღვრული მრუდების აგება. . . . . .
მაგალითი 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
მაგალითი 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
პრობლემები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. . . . . .
პასუხები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

გრაფიკული ფუნქციები

1. გრაფიკის აგებისას ფუნქციის შესწავლის გეგმა

1. იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი. ხშირად სასარგებლოა ფუნქციის მრავალი მნიშვნელობის გათვალისწინება. გამოიკვლიეთ ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებები: ლუწი, კენტი; პერიოდულობა, სიმეტრიის თვისებები.

2. გამოიკვლიეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები: ვერტიკალური, ირიბი. გააანალიზეთ ფუნქციის გრაფიკისა და მისი დახრილი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტების ფარდობითი პოზიცია.

3. დახაზეთ გრაფიკის ესკიზი.

4. იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების სფეროები: მატება და კლება. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა: მინიმუმები და მაქსიმუმები.

იპოვეთ ცალმხრივი წარმოებულები ფუნქციის წარმოებულის უწყვეტობის წერტილებში და ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს სასაზღვრო წერტილებში (თუ ცალმხრივი წარმოებულები არსებობს).

5. იპოვეთ ფუნქციის ამოზნექილობის ინტერვალები და დახრის წერტილები.

2. ფუნქციის კვლევის ძირითადი ცნებები და ეტაპები

1. ფუნქციის დომენიდ ფ და ბევრი მნიშვნელობა

E f ფუნქციის tion. სპეციალური ფუნქციის თვისებები

მიუთითეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი, მონიშნეთ იგი აბსცისის ღერძზე სასაზღვრო წერტილებითა და პუნქცია წერტილებით და მიუთითეთ ამ წერტილების აბსცისები. ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნა საჭირო არ არის.

არ არის საჭირო მრავალი ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა. მნიშვნელობების სიმრავლის ადვილად შესწავლილი თვისებები: არანეგატიურობა, ქვემოდან ან ზემოდან შეზღუდულობა და ა.შ. გამოიყენება გრაფიკის ესკიზის ასაგებად, კვლევის შედეგებისა და გრაფიკის სისწორის გასაკონტროლებლად.

x მოსწონს

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ორდინატთა ღერძის მიმართ. კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ. ლუწი და კენტი ფუნქციები განიხილება განსაზღვრების დომენის დადებით ნახევარზე.

პერიოდული ფუნქცია შესწავლილია ერთ პერიოდზე და

სქემა ნაჩვენებია 2-3 პერიოდზე.
2. ასიმპტოტების შესწავლა
2.1. ვერტიკალური ასიმპტოტები
განმარტება 1.				x x0		დაურეკა		ვერტიკალური
ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი				y f x,			თუ დასრულდა
ერთ-ერთი პირობა:			lim f x 1				lim f x .
			x x0 0				x x0 0
2.2. ირიბი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტები

noah) ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი					y f x x-ზე,
lim f x kx b 0 .
					x-ზე
	ასიმპტოტის განმარტება
კლიმი		b lim f x kx . შესაბამისის გამოთვლა


ლიმიტები, ჩვენ ვიღებთ ასიმპტოტულ განტოლებას y kx b.
მსგავსი განცხადება მართალია იმ შემთხვევაში, როდესაც

თუ k 0, მაშინ ასიმპტოტს ეწოდება ირიბი.
k 0, შემდეგ ასიმპტოტი			y b ეწოდება ჰორიზონტალურ.
ანალოგიურად არის დახრილი და ჰორიზონტალური ცნებები.
y f x ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები						x-ზე.

2.3. არავერტიკალური ასიმპტოტების შესწავლის მეთოდებიასიმპტოტების შესწავლა x-ისთვის და for

წესი ხორციელდება ცალკე.

1 ჩვენ გამოვიყენებთ სიმბოლოს ან ერთი შემთხვევის შესრულებას

ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევაში შესაძლებელია ასიმპტოტების ერთობლივი შესწავლა x-ზე და x-ზე, მაგალითად, for

1) რაციონალური ფუნქციები;

2) ლუწი და კენტი ფუნქციები, რომელთა გრაფიკებისთვის შეიძლება განხორციელდეს შესწავლა განსაზღვრების დომენის ნაწილზე.

ძირითადი ნაწილის არჩევის მეთოდი.ასიმპტოტის საპოვნელად აირჩიეთ ფუნქციის ძირითადი ნაწილი x-ზე. ანალოგიურად x-სთვის.

წილადი რაციონალური ფუნქციის ძირითადი ნაწილიმისი პოვნა მოსახერხებელია წილადის მთელი ნაწილის ხაზგასმით:

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის დახრილი ასიმპტოტები

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 საათზე	x, შემდეგ სწორი

მაისი y 2 x 5 არის სასურველი ასიმპტოტი. ◄

ირაციონალური ფუნქციის ძირითადი ნაწილიპრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას მოსახერხებელია ფუნქციის წარმოდგენის მეთოდების გამოყენება x-ისთვის ტეილორის ფორმულით.

მაგალითი 2. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ირიბი ასიმპტოტი

x4 3 x 1

x-ზე.

x 4 o1

x-სთვის, შემდეგ სწორი ხაზი		y x 4 არის სასურველი ასიმპტოტი.

		ირაციონალური
		f x 3		მოსახერხებელი მოსაძებნად
	ax2 bx c და		ax3 bx2 cx d

გამოიყენეთ რადიკალური გამოხატვის სრული კვადრატის ან სრული კუბის გამოყოფის მეთოდი.

მაგალითი 3. იპოვეთ f x x 2 6 x 14 ფუნქციის გრაფიკის დახრილი ასიმპტოტები x და x.

რადიკალურ გამოხატულებაში ვირჩევთ სრულ კვადრატს

x 3 2

5 . ფუნქციის გრაფიკიდან გამომდინარე

f x სიმეტრიულია

სწორ ხაზთან შედარებით x 3 და

შემდეგ f x ~

x-ზე.

x 3 2 5

ასე რომ, ეს სწორია

y x 3 არის

ასიმპტოტა x-ზე და სწორი ხაზი y 3 x

ასიმპტოტი ზე

x. ◄

ასიმპტოტების მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ძირითადი ნაწილის იზოლირების მეთოდი.

მაგალითი 4. იპოვეთ f x 4 x 2 x 2 ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

f x 2

ეს არის ფუნქცია

აქვს ასიმპტოტი

y 2 x

და ასიმპტოტი

y 2 x

x .◄-ზე

ტრანსცენდენტული ფუნქციებისთვისორივე მეთოდი მისაღებია

ასიმპტოტების შემდეგ პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას.

შენიშვნა 1. ასიმპტოტების შესწავლისას ირაციონალური, ტრანსცენდენტული ფუნქციები, და ფუნქციები, რომელთა ანალიტიკური გამოხატულება შეიცავს მოდულს,მიზანშეწონილია განიხილოს ორი შემთხვევა: x და x. ასიმპტოტების ერთობლივი შესწავლა x-ზე და x-ზე შეიძლება გამოიწვიოს შეცდომები კვლევაში. x-ის ზღვრების ან ძირითადი ნაწილის პოვნისას აუცილებელია x t ცვლადის შეცვლა.

2.4. ფუნქციის გრაფიკისა და მისი ასიმპტოტების ფარდობითი პოზიცია

ა) თუ y f x ფუნქციას აქვს ასიმპტოტა x-ზე,

არის დიფერენცირებადი და მკაცრად ამოზნექილი ქვევით სხივზე x x 0, შემდეგ გრაფიკზე

ფუნქციის ფიკი დევს ასიმპტოტის ზემოთ (ნახ. 1.1).

ბ) თუ y f x ფუნქციას აქვს ასიმპტოტა x-ზე,

არის დიფერენცირებადი და მკაცრად ამოზნექილი ზევით სხივზე x x 0, მაშინ

ფუნქციის გრაფიკი დევს ასიმპტოტის ქვემოთ (ნახ. 1.2).

გ) შეიძლება არსებობდეს ფუნქციის გრაფიკის ქცევის სხვა შემთხვევები, როგორც ის მიდრეკილია ასიმპტოტისკენ. მაგალითად, შესაძლებელია, რომ ფუნქციის გრაფიკმა ასიმპტოტას უსასრულო რაოდენობის ჯერ გადაკვეთა (ნახ. 1.3 და 1.4).

მსგავსი განცხადება მართალია x-ისთვისაც.

ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის თვისებების შესწავლამდე ფუნქციის გრაფიკისა და მისი ასიმპტოტების ფარდობითი პოზიციები შეიძლება განისაზღვროს o 1 ნიშნით ძირითადი ნაწილის გამოყოფის მეთოდში.

მაგალითი 5. განსაზღვრეთ გრაფიკის ფარდობითი პოზიცია

ფუნქცია f x 2 x 2 3 x 2 და მისი ასიმპტოტები. x 1

0 x-ზე, მაშინ ფუნქციის გრაფიკი დევს ასიმპტომურის ქვემოთ

თქვენ 2 x 5. ◄

მაგალითი 6. განსაზღვრეთ გრაფიკის ფარდობითი პოზიცია

ფუნქციები f x

x4 3 x 1

და მისი ასიმპტოტები x-ისთვის.

x 2 1

თანასწორობიდან

x აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y x 4 ასიმპტოტის ქვემოთ. ◄

მაგალითი 7. განსაზღვრეთ f x x 2 6 x 14 ფუნქციის გრაფიკის ფარდობითი პოზიცია და მისი ასიმპტოტები.

ვინაიდან f x x 3 (იხ. მაგალითი 3), მაშინ

x 3 2 5 x 3

ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ასიმპტოტის ზემოთ y x 3 x-ზე და x-ზე. ◄

მაგალითი 8. განსაზღვრეთ გრაფიკის ფარდობითი პოზიცია

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 და მისი ასიმპტოტები.

როგორც x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6, შემდეგ გამოიყენეთ

a x 2 3 14 x 6,

b x 2 3, ვიღებთ f x x 2

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

განსხვავება დადებითია x-ზე

და უარყოფითი x-ზე

მაშასადამე, x-ზე ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y x 2 ასიმპტოტის ქვემოთ, ხოლო x-ზე, y x 2 ასიმპტოტის ზემოთ.◄

ასიმპტოტების შესწავლის ლიმიტების გამოთვლის მეთოდი არ იძლევა საშუალებას შეაფასოს ფუნქციის გრაფიკისა და მისი ასიმპტოტების ფარდობითი პოზიცია.

3. ფუნქციის გრაფიკის დახაზვაგრაფიკის ესკიზის აგება, ვერტიკალური და

დახრილი ასიმპტოტები, ფუნქციის გრაფიკის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები. ფუნქციისა და ასიმპტოტების გრაფიკის ფარდობითი პოზიციის გათვალისწინებით აგებულია გრაფიკის ესკიზი. თუ ფუნქციის გრაფიკი დევს ასიმპტოტის ზემოთ (ქვემოთ) x-ზე, მაშინ, თუ ვივარაუდებთ, რომ

არსებობს წერტილი x 0 ისეთი, რომ x x 0 წერტილებს შორის არ არის გადახრის წერტილები,

ჩვენ ვხვდებით, რომ ფუნქცია ამოზნექილია ქვევით (ზემოთ), ანუ ასიმპტოტისკენ. ანალოგიურად, შეიძლება ვიწინასწარმეტყველოთ ამოზნექის მიმართულება ასიმპტოტის მიმართ ვერტიკალური ასიმპტოტებისთვის და ასიმპტოტის x-ზე. თუმცა, როგორც ზემოთ მოყვანილი მაგალითი გვიჩვენებს

ფუნქცია y x sin 2 x, ასეთი დაშვებები შეიძლება არ იყოს x

4. მზარდი და კლების ფუნქციის სფეროები. მინიმალური და მაქსიმალური ქულები

განმარტება 3.	ფუნქცია f x ეწოდება	იზრდება
(კლება) ინტერვალზე a, b, ასეთის არსებობის შემთხვევაში		x1, x2 a, b,
ისეთი, რომ x 1 x 2	არის უთანასწორობა	f x1 f x2
(f x1 f x2).

ფუნქცია f x დიფერენცირებადი a, b ინტერვალზე

დნება (მცირდება) a, b, თუ და მხოლოდ თუ ინტერვალზე

ფუნქცია f x.

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა. თუ

წერტილი ყოფილი-

f x ფუნქციის რხევა, მაშინ ან ამ ეტაპზე

f x 0 0, ან

წარმოებული არ არსებობს.

საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის.

f x განსხვავება-

1. იყოს 0 ისეთი, რომ ფუნქცია

არის რადიაციული x 0 წერტილის პუნქციურ მიმდებარე ტერიტორიაზე

და უწყვეტი

x 0 წერტილში. მაშინ,

ა) თუ მისი წარმოებული იცვლება მინუს პლუსზე, როდესაც ხელახლა

პროგრესი წერტილის გავლით		x 0,

			x x 0, x 0, შემდეგ x 0 არის მაქსიმალური წერტილი
	x 0 ნებისმიერისთვის
ფუნქციები f x ;
	ბ) თუ მისი წარმოებული იცვლება პლიუს მინუსზე ხელახლა
პროგრესი წერტილის გავლით		x 0,
			იმათ. f x 0 ნებისმიერი x x 0, x 0,
			x x 0, x 0, შემდეგ x 0 არის მინიმალური წერტილი
	x 0 ნებისმიერისთვის

ფუნქციები f x.

მოდელის მაგალითები მოიცავს y x (ნახ. 2.1) და

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

საჭიროების შემთხვევაში - კანონის შესაბამისად, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის გრაფიკის ესკიზის აგების ტექნიკას და მოვიყვანთ განმარტებით მაგალითებს.

თემა: გამეორება

გაკვეთილი: ფუნქციის გრაფიკის დახატვა (ფრაქციულ-კვადრატული ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით)

ჩვენი მიზანია დავხატოთ წილადი კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი. მაგალითად, ავიღოთ ფუნქცია, რომელსაც უკვე ვიცნობთ:

მოცემულია წილადი ფუნქცია, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს კვადრატულ ფუნქციებს.

ესკიზის ტექნიკა შემდეგია:

1. აირჩიეთ მუდმივი ნიშნის ინტერვალები და განსაზღვრეთ ფუნქციის ნიშანი თითოეულზე (სურათი 1)

ჩვენ დეტალურად განვიხილეთ და გავარკვიეთ, რომ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ODZ-ში, შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მხოლოდ მაშინ, როდესაც არგუმენტი გადის ODZ-ის ფესვებსა და წყვეტის წერტილებში.

მოცემული ფუნქცია y არის უწყვეტი მის ODZ-ში, მივუთითოთ ODZ:

მოდი ვიპოვოთ ფესვები:

გამოვყოთ ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები. ჩვენ ვიპოვეთ ფუნქციის ფესვები და განსაზღვრების დომენის წყვეტის წერტილები - მნიშვნელის ფესვები. მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ყოველი ინტერვალის განმავლობაში ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს.

ბრინჯი. 1. ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები

თითოეულ ინტერვალზე ფუნქციის ნიშნის დასადგენად, შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს, ჩაანაცვლოთ იგი ფუნქციაში და განსაზღვროთ მისი ნიშანი. Მაგალითად:

ინტერვალზე ფუნქციას აქვს პლუს ნიშანი

ინტერვალზე ფუნქციას აქვს მინუს ნიშანი.

ეს არის ინტერვალის მეთოდის უპირატესობა: ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიშანს ერთ საცდელ ეტაპზე და ვასკვნით, რომ ფუნქციას ექნება იგივე ნიშანი მთელ შერჩეულ ინტერვალზე.

თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ დააყენოთ ნიშნები ავტომატურად, ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლის გარეშე, ამისათვის, განსაზღვროთ ნიშანი უკიდურეს ინტერვალში და შემდეგ შეცვალოთ ნიშნები.

1. ავაშენოთ გრაფიკი თითოეული ფესვის სიახლოვეს. შეგახსენებთ, რომ ამ ფუნქციის ფესვები და:

ბრინჯი. 2. დიაგრამა ფესვების სიახლოვეს

ვინაიდან ერთ წერტილში ფუნქციის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე, მრუდი ჯერ ღერძის ზემოთაა, შემდეგ გადის ნულზე და შემდეგ მდებარეობს x-ღერძის ქვეშ. მომენტში პირიქითაა.

2. ავაშენოთ გრაფიკი თითოეული ODZ-ის შეწყვეტის სიახლოვეს. შეგახსენებთ, რომ ამ ფუნქციის მნიშვნელის ფესვები და:

ბრინჯი. 3. ფუნქციის გრაფიკი ODZ-ის შეწყვეტის წერტილების სიახლოვეს

როდესაც ან წილადის მნიშვნელი პრაქტიკულად ნულის ტოლია, ეს ნიშნავს, რომ როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობა იხრება ამ რიცხვებზე, წილადის მნიშვნელობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. ამ შემთხვევაში, როდესაც არგუმენტი უახლოვდება სამეულს მარცხნივ, ფუნქცია დადებითია და მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, მარჯვნივ ფუნქცია უარყოფითია და სცილდება მინუს უსასრულობას. დაახლოებით ოთხი, პირიქით, მარცხნივ ფუნქცია მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, ხოლო მარჯვნივ ტოვებს პლუს უსასრულობას.

აგებული ესკიზის მიხედვით შეგვიძლია გარკვეული ინტერვალებით გამოვიცნოთ ფუნქციის ქცევის ხასიათი.

ბრინჯი. 4. ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი

განვიხილოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი ამოცანა - ფუნქციის გრაფიკის ესკიზის აგება წერტილების სიახლოვეს უსასრულობაში, ანუ როცა არგუმენტი მიდრეკილია პლუს-მინუს უსასრულობისკენ. ამ შემთხვევაში მუდმივი ვადების უგულებელყოფა შეიძლება. Ჩვენ გვაქვს:

ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფაქტის ჩანაწერი:

ბრინჯი. 5. უსასრულობის წერტილების სიახლოვეს ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი

ჩვენ მივიღეთ ფუნქციის მიახლოებითი ქცევა მისი დეფინიციის მთელ დომენზე, შემდეგ ჩვენ გვჭირდება კონსტრუქციის დახვეწა წარმოებულის გამოყენებით.

მაგალითი 1 - დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი:

ჩვენ გვაქვს სამი წერტილი, რომლის მეშვეობითაც ფუნქციას შეუძლია შეცვალოს ნიშანი არგუმენტის გავლისას.

ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის ნიშნებს თითოეულ ინტერვალზე. ჩვენ გვაქვს პლუსი უკიდურეს მარჯვენა ინტერვალზე, შემდეგ ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება, რადგან ყველა ფესვს აქვს პირველი ხარისხი.

ჩვენ ვაშენებთ გრაფიკის ჩანახატს ODZ-ის ფესვების და წყვეტის წერტილების სიახლოვეს. გვაქვს: ვინაიდან ერთ წერტილში ფუნქციის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე, მრუდი ჯერ ღერძის ზემოთაა, შემდეგ გადის ნულს და შემდეგ მდებარეობს x ღერძის ქვეშ. როდესაც ან წილადის მნიშვნელი პრაქტიკულად ნულის ტოლია, ეს ნიშნავს, რომ როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობა ამ რიცხვებისკენ მიისწრაფვის, წილადის მნიშვნელობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. ამ შემთხვევაში, როდესაც არგუმენტი უახლოვდება მინუს ორს მარცხნივ, ფუნქცია უარყოფითია და მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, მარჯვნივ ფუნქცია დადებითია და ტოვებს პლუს უსასრულობას. დაახლოებით ორი იგივეა.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

ცხადია, წარმოებული ყოველთვის ნულზე ნაკლებია, შესაბამისად, ფუნქცია მცირდება ყველა სექციაში. ასე რომ, განყოფილებაში მინუს უსასრულობიდან მინუს ორამდე ფუნქცია მცირდება ნულიდან მინუს უსასრულობამდე; განყოფილებაში მინუს ორიდან ნულამდე ფუნქცია მცირდება პლუს უსასრულობიდან ნულამდე; განყოფილებაში ნულიდან ორამდე ფუნქცია მცირდება ნულიდან მინუს უსასრულობამდე; სექციაში ორიდან პლუს უსასრულობამდე ფუნქცია მცირდება პლუს უსასრულობიდან ნულამდე.

მოდით ილუსტრაციით:

ბრინჯი. 6. ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი მაგალითად 1

x-ზე, შემდეგ gra-

y 2 x 5. იმიტომ რომ

fic ფუნქციები დევს

ასიმპტოტის ზემოთ

მაგალითი 2 - დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი:

ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკის ჩანახატს წარმოებულის გამოყენების გარეშე.

პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ მოცემული ფუნქცია:

ჩვენ გვაქვს ერთი წერტილი, რომლის მეშვეობითაც ფუნქციას შეუძლია შეცვალოს ნიშანი არგუმენტის გავლისას.

გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული ფუნქცია კენტია.

ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის ნიშნებს თითოეულ ინტერვალზე. ჩვენ გვაქვს პლუსი ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე, შემდეგ ნიშანი იცვლება, რადგან ფესვს აქვს პირველი ხარისხი.

ჩვენ ვაშენებთ გრაფიკის ჩანახატს ფესვის სიახლოვეს. გვაქვს: ვინაიდან ერთ წერტილში ფუნქციის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, მრუდი ჯერ ღერძის ქვეშაა, შემდეგ გადის ნულს და შემდეგ მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ.

ახლა ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკის ჩანახატს უსასრულობის წერტილების სიახლოვეს, ანუ როცა არგუმენტი მიდრეკილია პლუს-მინუს უსასრულობამდე. ამ შემთხვევაში მუდმივი ვადების უგულებელყოფა შეიძლება. Ჩვენ გვაქვს:

ზემოაღნიშნული ნაბიჯების შესრულების შემდეგ უკვე წარმოვიდგენთ ფუნქციის გრაფიკს, მაგრამ უნდა დავაზუსტოთ იგი წარმოებულის გამოყენებით.

„წარმოებული ამოცანები“ - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. როგორ წარმოგიდგენიათ მყისიერი სიჩქარე? მყისიერი სიჩქარის პრობლემა. წ. როგორ წარმოგიდგენიათ მყისიერი სიჩქარე? ?X=x-x0. რაც ითქვა, ჩაწერილია ფორმაში. პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრეთ ჩვენი კვლევის „ტერიტორია“. A l g o r i t m სიჩქარე v თანდათან იზრდება.

„წარმოებული ფუნქციის შესწავლა“ - ქვემეხი ისვრის ჰორიზონტის კუთხით. ვარიანტი 1 A B D ვარიანტი 2 G B B. მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება მეშკოვსკაიას საშუალო სკოლა მათემატიკის მასწავლებელი კოვალევა ტ.ვ. ფუნქცია განსაზღვრულია სეგმენტზე [-4;4]. როგორ არის დაკავშირებული წარმოებული და ფუნქცია? პასუხები: წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის შესწავლაზე: გამადიდებელი და კლებადი ფუნქციები. დავალება გახსოვთ ამბავი ბარონ მიუნჰაუზენის შესახებ?

"კომპლექსური ფუნქციის წარმოებული" - რთული ფუნქცია. რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესი. მარტივი ფუნქციის წარმოებული. რთული ფუნქციის წარმოებული. კომპლექსური ფუნქცია: მაგალითები:

„წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლაში“ - 6. -1. 8. ფუნქციის კრიტიკული წერტილების ამოცნობა ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკის გამოყენებით. 1. =. 1646 წლის 1 ივლისი - 1716 წლის 14 ნოემბერი, დათბობა. ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ნიშანი. განსაზღვრეთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშანი ინტერვალებზე.

”გაკვეთილი რთული ფუნქციის წარმოებულზე” - რთული ფუნქციის წარმოებული. გამოთვალეთ წერტილის სიჩქარე: ა) t დროს; ბ) t=2 წმ მომენტში. იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები: , თუ. ბრუკ ტეილორი. იპოვეთ ფუნქციის დიფერენციალი: x-ის რომელ მნიშვნელობებზე მოქმედებს ტოლობა. წერტილი მოძრაობს სწორხაზოვნად კანონის მიხედვით s(t) = s(t) = (s არის გზა მეტრებში, t არის დრო წამებში).

„წარმოებულის განმარტება“ - 1. დადასტურება: f(x+ ?x). მოდით, u(x), v(x) და w(x) იყოს დიფერენცირებადი ფუნქციები რაღაც ინტერვალში (a; b), C არის მუდმივი. f(x). სწორი ხაზის განტოლება კუთხური კოეფიციენტით: ნიუტონის ბინომიალური ფორმულის გამოყენებით გვაქვს: თეორემა. შემდეგ: რთული ფუნქციის წარმოებული.

სულ არის 31 პრეზენტაცია

თემა: გამეორება

ესკიზის ტექნიკა შემდეგია:

მოცემული ფუნქცია y არის უწყვეტი მის ODZ-ში, მივუთითოთ ODZ:

მოდი ვიპოვოთ ფესვები:

ბრინჯი. 1. ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები

ინტერვალზე ფუნქციას აქვს პლუს ნიშანი

ინტერვალზე ფუნქციას აქვს მინუს ნიშანი.

ბრინჯი. 2. დიაგრამა ფესვების სიახლოვეს

ბრინჯი. 3. ფუნქციის გრაფიკი ODZ-ის შეწყვეტის წერტილების სიახლოვეს

ბრინჯი. 4. ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი

განვიხილოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი ამოცანა - ფუნქციის გრაფიკის ესკიზის აგება წერტილების სიახლოვეს უსასრულობაში, ე.ი. როდესაც არგუმენტი მიდრეკილია პლუს ან მინუს უსასრულობისკენ. ამ შემთხვევაში მუდმივი ვადების უგულებელყოფა შეიძლება. Ჩვენ გვაქვს:

ზოგჯერ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფაქტის ჩანაწერი:

ბრინჯი. 5. უსასრულობის წერტილების სიახლოვეს ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი

მაგალითი 1 - დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი:

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდით ილუსტრაციით:

ბრინჯი. 6. ფუნქციის გრაფიკის ესკიზი მაგალითად 1

მაგალითი 2 - დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი:

პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ მოცემული ფუნქცია:

გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული ფუნქცია კენტია.

ახლა ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკის ჩანახატს წერტილების სიახლოვეს უსასრულობაში, ე.ი. როდესაც არგუმენტი მიდრეკილია პლუს ან მინუს უსასრულობისკენ. ამ შემთხვევაში მუდმივი ვადების უგულებელყოფა შეიძლება. Ჩვენ გვაქვს:

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

ვირჩევთ წარმოებულის მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს: at . ODZ აქ. ამრიგად, გვაქვს წარმოებულის მუდმივი ნიშნის სამი ინტერვალი და საწყისი ფუნქციის მონოტონურობის სამი მონაკვეთი. მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები თითოეულ ინტერვალზე. Როდესაც წარმოებული დადებითია, ფუნქცია იზრდება; როდესაც წარმოებული უარყოფითია, ფუნქცია მცირდება. ამ შემთხვევაში - მინიმალური ქულა, რადგან წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე; პირიქით, მაქსიმალური ქულა.