ლოგარითმისა და მაჩვენებლის თვისებები. ბუნებრივი ლოგარითმი და რიცხვი ე. გამოსახულებები რთული რიცხვების მეშვეობით

სულაც არ არის ცუდი, არა? სანამ მათემატიკოსები ეძებენ სიტყვებს, რათა მოგაწოდოთ გრძელი, დამაბნეველი განმარტება, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ მარტივ და ნათელს.

რიცხვი e ნიშნავს ზრდას

რიცხვი e ნიშნავს უწყვეტ ზრდას. როგორც წინა მაგალითში ვნახეთ, e x საშუალებას გვაძლევს დავაკავშიროთ პროცენტი და დრო: 3 წელი 100%-იანი ზრდის შემთხვევაში იგივეა, რაც 1 წელი 300%-ით, თუ ვივარაუდებთ, რომ "შერეული პროცენტი".

თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ნებისმიერი პროცენტული და დროის მნიშვნელობები (50% 4 წლის განმავლობაში), მაგრამ უმჯობესია დააყენოთ პროცენტი 100% მოხერხებულობისთვის (გამოდის 100% 2 წლის განმავლობაში). 100%-ზე გადასვლით ჩვენ შეგვიძლია ფოკუსირება მხოლოდ დროის კომპონენტზე:

e x = e პროცენტი * დრო = e 1.0 * დრო = e დრო

ცხადია, e x ნიშნავს:

• რამდენად გაიზრდება ჩემი წვლილი დროის x ერთეულის შემდეგ (100% უწყვეტი ზრდის გათვალისწინებით).
• მაგალითად, 3 დროის ინტერვალის შემდეგ მე მივიღებ e 3 = 20,08-ჯერ მეტ „ნივთს“.

e x არის სკალირების ფაქტორი, რომელიც გვიჩვენებს, თუ რა დონემდე გაიზრდებით x დროის განმავლობაში.

ბუნებრივი ლოგარითმი ნიშნავს დროს

ბუნებრივი ლოგარითმი არის e-ის შებრუნებული, საპირისპირო ტერმინი. უცნაურობებზე საუბარი; ლათინურად მას უწოდებენ logarithmus naturali, აქედან მოდის აბრევიატურა ln.

და რას ნიშნავს ეს ინვერსია ან საპირისპირო?

• e x საშუალებას გვაძლევს შევცვალოთ დრო და მივიღოთ ზრდა.
• ln(x) საშუალებას გვაძლევს ავიღოთ ზრდა ან შემოსავალი და გავარკვიოთ მისი გენერირების დრო.

Მაგალითად:

• e 3 უდრის 20.08. სამი პერიოდის შემდეგ გვექნება 20,08-ჯერ მეტი, ვიდრე დავიწყეთ.
• ln(08/20) იქნება დაახლოებით 3. თუ გაინტერესებთ 20.08-ჯერ ზრდა, დაგჭირდებათ 3 დროის პერიოდი (ისევ, 100% უწყვეტი ზრდის ვარაუდით).

ისევ კითხულობს? ბუნებრივი ლოგარითმი გვიჩვენებს სასურველ დონემდე მისასვლელად საჭირო დროს.

ეს არასტანდარტული ლოგარითმული რაოდენობა

თქვენ გაიარეთ ლოგარითმები - ისინი უცნაური არსებები არიან. როგორ მოახერხეს გამრავლების მიმატებად გადაქცევა? რაც შეეხება გამოკლებად დაყოფას? მოდით შევხედოთ.

რის ტოლია ln(1)? ინტუიციურად ჩნდება კითხვა: რამდენ ხანს უნდა დაველოდო, რომ მივიღო 1x მეტი ვიდრე მაქვს?

Ნული. Ნული. Არაფერს. ერთხელ უკვე გაქვს. 1 დონიდან პირველ დონეზე გადასვლას დიდი დრო არ სჭირდება.

• ჟურნალი (1) = 0

კარგი, რაც შეეხება წილადის მნიშვნელობას? რამდენი დრო დაგვჭირდება, რომ დარჩენილი რაოდენობის 1/2 დაგვრჩეს? ჩვენ ვიცით, რომ 100% უწყვეტი ზრდის შემთხვევაში, ln(2) ნიშნავს გაორმაგებისთვის საჭირო დროს. Თუ ჩვენ დრო უკან დავაბრუნოთ(ანუ დაველოდოთ დროის უარყოფით რაოდენობას), მაშინ მივიღებთ იმის ნახევარს, რაც გვაქვს.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

ლოგიკურია, არა? თუ დავბრუნდებით (დროის უკან) 0,693 წამამდე, ჩვენ ვიპოვით ხელმისაწვდომ თანხას. ზოგადად, შეგიძლიათ გადაატრიალოთ წილადი და მიიღოთ უარყოფითი მნიშვნელობა: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. ეს ნიშნავს, რომ თუ დროში დავბრუნდებით 1.09-ჯერ, ჩვენ ვიპოვით მიმდინარე რიცხვის მხოლოდ მესამედს.

კარგი, რაც შეეხება უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმს? რამდენი დრო სჭირდება ბაქტერიების კოლონიის "გაზრდის" 1-დან -3-მდე?

Ეს შეუძლებელია! თქვენ ვერ მიიღებთ უარყოფით ბაქტერიებს, არა? თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ნულის მაქსიმუმი (ა... მინიმალური), მაგრამ არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლიათ მიიღოთ უარყოფითი რიცხვი ამ პატარა არსებებიდან. უარყოფითი ბაქტერიების რაოდენობას უბრალოდ აზრი არ აქვს.

• ln(უარყოფითი რიცხვი) = განუსაზღვრელი

"გაუზუსტებელი" ნიშნავს, რომ არ არის დრო, რომელსაც დასჭირდება ლოდინი უარყოფითი მნიშვნელობის მისაღებად.

ლოგარითმული გამრავლება უბრალოდ სასაცილოა

რამდენი დრო დასჭირდება ოთხჯერ გაზრდას? რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ln(4). მაგრამ ეს ძალიან მარტივია, ჩვენ სხვა გზით წავალთ.

თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ოთხმაგი ზრდა, როგორც გაორმაგება (საჭიროებს დროის ln(2) ერთეულს) და შემდეგ ისევ გაორმაგებას (საჭიროებს დროის სხვა ln(2) ერთეულს):

• 4-ჯერ ზრდის დრო = ln(4) = გაორმაგების დრო და შემდეგ ისევ გაორმაგება = ln(2) + ln(2)

საინტერესოა. ნებისმიერი ზრდის ტემპი, ვთქვათ 20, შეიძლება ჩაითვალოს გაორმაგებად 10-ჯერ გაზრდის შემდეგ. ან იზრდება 4-ჯერ, შემდეგ კი 5-ჯერ. ან გასამმაგდება და შემდეგ იზრდება 6,666-ჯერ. ნახე ნიმუში?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A-ჯერ B-ის ლოგარითმი არის log(A) + log(B). ამ ურთიერთობას მაშინვე აქვს აზრი, როდესაც განიხილება ზრდის თვალსაზრისით.

თუ გაინტერესებთ 30x ზრდა, შეგიძლიათ დაელოდოთ ln(30) ერთ სხდომაზე, ან დაელოდოთ ln(3) გასამმაგებას და შემდეგ სხვა ln(10) 10x-ს. საბოლოო შედეგი იგივეა, ასე რომ, რა თქმა უნდა, დრო უნდა დარჩეს მუდმივი (და ასეც ხდება).

რაც შეეხება გაყოფას? კონკრეტულად, ln(5/3) ნიშნავს: რამდენი დრო დასჭირდება 5-ჯერ გაზრდას და ამის შემდეგ 1/3-ის მიღებას?

შესანიშნავია, ზრდა 5-ჯერ არის ln(5). 1/3-ჯერ გაზრდას დასჭირდება -ln(3) ერთეული დრო. Ისე,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

ეს ნიშნავს: ნება მიეცით გაიზარდოს 5-ჯერ და შემდეგ „დაბრუნდით დროში“ იქამდე, სადაც ამ თანხის მხოლოდ მესამედი რჩება, ასე რომ თქვენ მიიღებთ 5/3 ზრდას. ზოგადად გამოდის

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

ვიმედოვნებ, რომ ლოგარითმების უცნაური არითმეტიკა შენთვის აზრს იწყებს: ზრდის ტემპების გამრავლება ხდება ზრდის დროის ერთეულების დამატება, ხოლო გაყოფა ხდება დროის ერთეულების გამოკლება. არ არის საჭირო წესების დამახსოვრება, შეეცადეთ გაიგოთ ისინი.

ბუნებრივი ლოგარითმის გამოყენება თვითნებური ზრდისთვის

რა თქმა უნდა, - ამბობთ თქვენ, - ეს ყველაფერი კარგია, თუ ზრდა 100%-ია, მაგრამ რა შეიძლება ითქვას იმ 5%-ზე, რომელსაც მე ვიღებ?

Არაა პრობლემა. "დრო", რომელსაც ჩვენ ვიანგარიშებთ ln()-ით არის რეალურად საპროცენტო განაკვეთისა და დროის კომბინაცია, იგივე X e x განტოლებიდან. ჩვენ უბრალოდ გადავწყვიტეთ დავაყენოთ პროცენტი 100%-ზე სიმარტივისთვის, მაგრამ თავისუფლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნებისმიერი რიცხვი.

ვთქვათ, გვინდა მივაღწიოთ 30x ზრდას: ავიღოთ ln(30) და მივიღოთ 3.4 ეს ნიშნავს:

• e x = სიმაღლე
• e 3.4 = 30

ცხადია, ეს განტოლება ნიშნავს "100% ანაზღაურება 3.4 წლის განმავლობაში იძლევა 30x ზრდას." ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს განტოლება შემდეგნაირად:

• e x = e განაკვეთი*დრო
• e 100% * 3.4 წელი = 30

ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ "ფსონის" და "დროის" მნიშვნელობები, სანამ ფსონი * დრო რჩება 3.4. მაგალითად, თუ ჩვენ გვაინტერესებს 30-ჯერადი ზრდა, რამდენ ხანს მოგვიწევს ლოდინი 5%-იანი საპროცენტო განაკვეთით?

• ln(30) = 3.4
• მაჩვენებელი * დრო = 3.4
• 0.05 * დრო = 3.4
• დრო = 3.4 / 0.05 = 68 წელი

მე ასე ვმსჯელობ: "ln(30) = 3.4, ასე რომ, 100%-იანი ზრდისას დასჭირდება 3.4 წელი. თუ ზრდის ტემპს გავაორმაგებ, საჭირო დრო განახევრდება."

• 100% 3.4 წლის განმავლობაში = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% 1.7 წელიწადში = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% 6.8 წლის განმავლობაში = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% 68 წელზე მეტი = .05 * 68 = 3.4.

დიდი, არა? ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი საპროცენტო განაკვეთით და დროით, რადგან მათი პროდუქტი მუდმივი რჩება. თქვენ შეგიძლიათ გადაიტანოთ ცვლადი მნიშვნელობები რამდენიც გსურთ.

მაგარი მაგალითი: სამოცდათორმეტის წესი

სამოცდათორმეტის წესი არის მათემატიკური ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ რამდენი დრო დასჭირდება თქვენი ფულის გაორმაგებას. ახლა ჩვენ გამოვიტანთ მას (დიახ!) და უფრო მეტიც, შევეცდებით გავიგოთ მისი არსი.

რამდენი დრო დასჭირდება თქვენი ფულის გაორმაგებას ყოველწლიურად 100% პროცენტით?

უი. ჩვენ გამოვიყენეთ ბუნებრივი ლოგარითმი უწყვეტი ზრდის შემთხვევისთვის და ახლა წლიურ შეერთებაზე საუბრობთ? ეს ფორმულა არ გახდება უვარგისი ასეთი შემთხვევისთვის? დიახ, ასე იქნება, მაგრამ რეალური საპროცენტო განაკვეთებისთვის, როგორიცაა 5%, 6% ან თუნდაც 15%, განსხვავება წლიურ შერევასა და უწყვეტ ზრდას შორის მცირე იქნება. ასე რომ, უხეში შეფასება მუშაობს, ჰმ, უხეშად, ასე რომ ჩვენ ვითომ გვაქვს სრულიად უწყვეტი დარიცხვა.

ახლა კითხვა მარტივია: რამდენად სწრაფად შეგიძლიათ გააორმაგოთ 100%-იანი ზრდით? ln(2) = 0.693. ჩვენი თანხის გაორმაგებას 100%-იანი უწყვეტი ზრდით სჭირდება 0,693 ერთეული დრო (წლები ჩვენს შემთხვევაში).

მაშ, რა მოხდება, თუ საპროცენტო განაკვეთი არ არის 100%, მაგრამ ვთქვათ 5% ან 10%?

მარტივად! ვინაიდან ფსონი * დრო = 0.693, ჩვენ გავაორმაგებთ თანხას:

• მაჩვენებელი * დრო = 0.693
• დრო = 0.693 / ფსონი

გამოდის, რომ თუ ზრდა არის 10%, გაორმაგებას დასჭირდება 0,693 / 0,10 = 6,93 წელი.

გამოთვლების გასამარტივებლად, მოდით გავამრავლოთ ორივე მხარე 100-ზე, შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ "10" და არა "0.10":

• გაორმაგების დრო = 69.3 / ფსონი, სადაც ფსონი გამოხატულია პროცენტულად.

ახლა დროა გავაორმაგოთ 5%, 69.3 / 5 = 13.86 წლით. თუმცა, 69.3 არ არის ყველაზე მოსახერხებელი დივიდენდი. ავირჩიოთ ახლო რიცხვი, 72, რომელიც მოსახერხებელია 2, 3, 4, 6, 8 და სხვა რიცხვებზე გაყოფისთვის.

• გაორმაგების დრო = 72 / ფსონი

რაც სამოცდათორმეტის წესია. ყველაფერი დაფარულია.

თუ თქვენ გჭირდებათ დროის გასამმაგებლად გამონახვა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ln(3) ~ 109.8 და მიიღოთ

• დრო სამმაგად = 110 / ფსონი

რაც კიდევ ერთი სასარგებლო წესია. „72-ის წესი“ ეხება საპროცენტო განაკვეთების ზრდას, მოსახლეობის ზრდას, ბაქტერიულ კულტურას და ყველაფერს, რაც ექსპონენტურად იზრდება.

Რა არის შემდეგი?

იმედი მაქვს, რომ ბუნებრივი ლოგარითმი ახლა გასაგებია თქვენთვის - ის აჩვენებს დროს, რომელიც სჭირდება ნებისმიერი რიცხვის ექსპონენციურად გაზრდას. მე ვფიქრობ, რომ მას ბუნებრივს უწოდებენ, რადგან e არის ზრდის უნივერსალური საზომი, ამიტომ ln შეიძლება ჩაითვალოს უნივერსალურ გზად იმის დასადგენად, თუ რამდენი ხანი სჭირდება ზრდას.

ყოველ ჯერზე, როცა ხედავთ ln(x-ს), დაიმახსოვრეთ "დრო, რომელიც სჭირდება X-ჯერ გაზრდას." მომავალ სტატიაში მე აღვწერ e და ln-ს ერთად ისე, რომ მათემატიკის სუფთა სურნელი ავსებს ჰაერს.

დანართი: ე.-ის ბუნებრივი ლოგარითმი

სწრაფი ვიქტორინა: რა არის ln(e)?

• მათემატიკის რობოტი იტყვის: ვინაიდან ისინი განსაზღვრულია, როგორც ერთმანეთის ინვერსია, აშკარაა, რომ ln(e) = 1.
• გააზრებული ადამიანი: ln(e) არის რამდენჯერმე უნდა გაიზარდოს "e" ჯერ (დაახლოებით 2,718). თუმცა, თავად რიცხვი e არის ზრდის მაჩვენებელი 1-ის კოეფიციენტით, ამიტომ ln(e) = 1.

ნათლად იფიქრე.

2013 წლის 9 სექტემბერი

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "ბუნებრივი ლოგარითმები. ნატურალური ლოგარითმის საფუძველი. ნატურალური რიცხვის ლოგარითმი"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-11 კლასისთვის
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 9-11 კლასებისთვის "ტრიგონომეტრია"
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 10-11 კლასებისთვის "ლოგარითმები"

რა არის ბუნებრივი ლოგარითმი

ბიჭებო, ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ ახალი, სპეციალური ნომერი - დღეს გავაგრძელებთ ამ ნომრით მუშაობას.
ჩვენ შევისწავლეთ ლოგარითმები და ვიცით, რომ ლოგარითმის საფუძველი შეიძლება იყოს 0-ზე მეტი რიცხვი. დღეს ჩვენ ასევე განვიხილავთ ლოგარითმს, რომლის ფუძეა რიცხვი e. ასეთ ლოგარითმს ჩვეულებრივ უწოდებენ ბუნებრივ ლოგარითმს. მას აქვს საკუთარი აღნიშვნა: $\ln(n)$ არის ბუნებრივი ლოგარითმი. ეს ჩანაწერი უდრის ჩანაწერს: $\log_e(n)=\ln(n)$.
ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები შებრუნებულია, მაშინ ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუნქციის შებრუნებული: $y=e^x$.
შებრუნებული ფუნქციები სიმეტრიულია $y=x$ სწორი ხაზის მიმართ.
მოდით გამოვსახოთ ბუნებრივი ლოგარითმი ექსპონენციალური ფუნქციის გამოსახვით $y=x$ სწორი ხაზის მიმართ.

აღსანიშნავია, რომ $y=e^x$ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე (0;1) არის 45&°. მაშინ ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკზე ტანგენტის დახრის კუთხე (1;0) ასევე ტოლი იქნება 45&°. ორივე ეს ტანგენტი პარალელური იქნება $y=x$ წრფისა. მოდით დავხატოთ ტანგენტების დიაგრამა:

$y=\ln(x)$ ფუნქციის თვისებები

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. არც ლუწია და არც კენტი.
3. იზრდება განმარტების მთელ დომენში.
4. არ შემოიფარგლება ზემოდან, არ შემოიფარგლება ქვემოდან.
5. არ არსებობს უდიდესი ღირებულება, არ არსებობს მინიმალური მნიშვნელობა.
6. უწყვეტი.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. ამოზნექილი ზევით.
9. ყველგან განსხვავებული.

უმაღლესი მათემატიკის კურსში დადასტურებულია რომ შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული არის მოცემული ფუნქციის წარმოებულის ინვერსია.
მტკიცებულებაში შესვლას დიდი აზრი არ აქვს, მოდით დავწეროთ ფორმულა: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

მაგალითი.
გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა: $y=\ln(2x-7)$ წერტილში $x=4$.
გამოსავალი.
ზოგადად, ჩვენი ფუნქცია წარმოდგენილია $y=f(kx+m)$ ფუნქციით, შეგვიძლია გამოვთვალოთ ასეთი ფუნქციების წარმოებულები.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
გამოვთვალოთ წარმოებულის მნიშვნელობა საჭირო წერტილში: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
პასუხი: 2.

მაგალითი.
დახაზეთ $y=ln(x)$ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსი $х=е$ წერტილში.
გამოსავალი.
კარგად გვახსოვს ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის განტოლება $x=a$ წერტილში.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
ჩვენ თანმიმდევრულად ვიანგარიშებთ საჭირო მნიშვნელობებს.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ წერტილის ტანგენტური განტოლება არის $y=\frac(x)(e)$ ფუნქცია.
გამოვსახოთ ბუნებრივი ლოგარითმი და ტანგენსი.

მაგალითი.
გამოიკვლიეთ ფუნქცია ერთფეროვნებისა და უკიდურესობისთვის: $y=x^6-6*ln(x)$.
გამოსავალი.
$D(y)=(0;+∞)$ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.
ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
წარმოებული არსებობს ყველა x-სთვის განმარტების დომენიდან, მაშინ არ არსებობს კრიტიკული წერტილები. მოდი ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
წერტილი $x=-1$ არ ეკუთვნის განმარტების დომენს. მაშინ გვაქვს ერთი სტაციონარული წერტილი $x=1$. ვიპოვოთ გაზრდისა და კლების ინტერვალები:

წერტილი $x=1$ არის მინიმალური წერტილი, შემდეგ $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
პასუხი: ფუნქცია მცირდება სეგმენტზე (0;1], ფუნქცია იზრდება $ სხივზე)