ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಘಾತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಇ

ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ, ಸರಿ? ಗಣಿತಜ್ಞರು ನಿಮಗೆ ದೀರ್ಘವಾದ, ಗೊಂದಲಮಯವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲು ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವಾಗ, ಈ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಎಂದರೆ ಬೆಳವಣಿಗೆ

ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಎಂದರೆ ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆ. ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆ, e x ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಮಯವನ್ನು ಲಿಂಕ್ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: 3 ವರ್ಷಗಳು 100% ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ 1 ವರ್ಷವು 300% ನಲ್ಲಿ, "ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ" ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಶೇಕಡಾವಾರು ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (4 ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ 50%) ಬದಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಶೇಕಡಾವನ್ನು 100% ಎಂದು ಹೊಂದಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ (ಇದು 2 ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ 100% ತಿರುಗುತ್ತದೆ). 100% ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಮಯದ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು:

ಇ x = ಇ ಶೇಕಡಾ * ಸಮಯ = ಇ 1.0 * ಸಮಯ = ಇ ಸಮಯ

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ e x ಎಂದರೆ:

• x ಯುನಿಟ್ ಸಮಯದ ನಂತರ ನನ್ನ ಕೊಡುಗೆ ಎಷ್ಟು ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ (100% ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ).
• ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ನಂತರ ನಾನು ಇ 3 = 20.08 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು "ವಸ್ತುಗಳನ್ನು" ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇನೆ.

e x ಒಂದು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು ಅದು x ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೆ ಸಮಯ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ e ನ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, ವಿರುದ್ಧ ಪದಕ್ಕೆ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಪದವಾಗಿದೆ. ಚಮತ್ಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು; ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಲಾಗರಿಥ್ಮಸ್ ನ್ಯಾಚುರಲಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಎನ್ ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷೇಪಣ.

ಮತ್ತು ಈ ವಿಲೋಮ ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧದ ಅರ್ಥವೇನು?

• ಇ x ನಮಗೆ ಸಮಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಮತ್ತು ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
• ln(x) ನಮಗೆ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಅಥವಾ ಆದಾಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

• ಇ 3 20.08. ಮೂರು ಅವಧಿಗಳ ನಂತರ, ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಕ್ಕಿಂತ 20.08 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು.
• ln(08/20) ಸರಿಸುಮಾರು 3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು 20.08 ಪಟ್ಟು ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಿಮಗೆ 3 ಅವಧಿಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (ಮತ್ತೆ, 100% ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ).

ಇನ್ನೂ ಓದುತ್ತಿದ್ದೀರಾ? ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪಲು ಬೇಕಾದ ಸಮಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಎಣಿಕೆ

ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಿದ್ದೀರಾ - ಅವು ವಿಚಿತ್ರ ಜೀವಿಗಳು. ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಂಕಲನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅವರು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರು? ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ನೋಡೋಣ.

ln(1) ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮ? ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ: ನಾನು ಹೊಂದಿರುವದಕ್ಕಿಂತ 1x ಹೆಚ್ಚು ಪಡೆಯಲು ನಾನು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಕಾಯಬೇಕು?

ಶೂನ್ಯ. ಶೂನ್ಯ. ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ. ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಮ್ಮೆ ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ಹಂತ 1 ರಿಂದ ಹಂತ 1 ಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

• ಲಾಗ್ (1) = 0

ಸರಿ, ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಲಭ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ 1/2 ಉಳಿದಿರಲು ನಮಗೆ ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? 100% ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ, ln(2) ಎಂದರೆ ಅದು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ನಾವು ಸಮಯವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸೋಣ(ಅಂದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಮಯವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ), ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

• ln (1/2) = -ln (2) = -0.693

ತಾರ್ಕಿಕ, ಸರಿ? ನಾವು 0.693 ಸೆಕೆಂಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ (ಟೈಮ್ ಬ್ಯಾಕ್) ಹೋದರೆ, ಲಭ್ಯವಿರುವ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ln (1/3) = -ln (3) = -1.09. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಸಮಯಕ್ಕೆ 1.09 ಬಾರಿ ಹಿಂತಿರುಗಿದರೆ, ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸರಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? 1 ರಿಂದ -3 ರವರೆಗಿನ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ವಸಾಹತು "ಬೆಳೆಯಲು" ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ! ನೀವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾ ಎಣಿಕೆ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ನೀವು? ನೀವು ಗರಿಷ್ಠ (ಎರ್...ಕನಿಷ್ಠ) ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಚಿಕ್ಕ ಕ್ರಿಟ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ನೀವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾ ಎಣಿಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

• ln(ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ) = ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

"ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ" ಎಂದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವುದೇ ಸಮಯ ಕಾಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುಣಾಕಾರವು ಕೇವಲ ಉಲ್ಲಾಸದಾಯಕವಾಗಿದೆ

ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಬೆಳೆಯಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಕೇವಲ ln (4) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಪಲ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ (ln(2) ಯೂನಿಟ್‌ಗಳ ಸಮಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ) ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದು (ಇನ್ನೊಂದು ln(2) ಯುನಿಟ್‌ಗಳ ಸಮಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ):

• 4 ಬಾರಿ ಬೆಳೆಯುವ ಸಮಯ = ln(4) = ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತೆ ಡಬಲ್ = ln(2) + ln(2)

ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ. ಯಾವುದೇ ಬೆಳವಣಿಗೆ ದರ, 20 ಎಂದು ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 10x ಹೆಚ್ಚಳದ ನಂತರ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಥವಾ 4 ಪಟ್ಟು ಬೆಳವಣಿಗೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ 5 ಬಾರಿ. ಅಥವಾ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ನಂತರ 6.666 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡಿ?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A ಬಾರಿ B ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗ್ (A) + ಲಾಗ್ (B) ಆಗಿದೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಈ ಸಂಬಂಧವು ತಕ್ಷಣವೇ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು 30x ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಒಂದು ಸಿಟ್ಟಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ln(30) ಅನ್ನು ಕಾಯಬಹುದು ಅಥವಾ ಟ್ರಿಪ್ಲಿಂಗ್‌ಗಾಗಿ ln(3) ಅನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ 10x ಗಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ln(10) ಅನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು (ಮತ್ತು ಅದು ಮಾಡುತ್ತದೆ).

ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ln(5/3) ಎಂದರೆ: 5 ಬಾರಿ ಬೆಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಅದರ 1/3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, 5 ಪಟ್ಟು ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ln (5). 1/3 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವು -ln(3) ಯುನಿಟ್‌ಗಳ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

ಇದರರ್ಥ: ಇದು 5 ಬಾರಿ ಬೆಳೆಯಲಿ, ತದನಂತರ ಆ ಮೊತ್ತದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿರುವ ಹಂತಕ್ಕೆ "ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ", ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು 5/3 ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಚಿತ್ರ ಅಂಕಗಣಿತವು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ: ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಮಯದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯು ಸಮಯದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಸರಿ, ಖಂಡಿತ," ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ, "ಬೆಳವಣಿಗೆಯು 100% ಆಗಿದ್ದರೆ ಇದೆಲ್ಲವೂ ಒಳ್ಳೆಯದು, ಆದರೆ ನಾನು ಪಡೆಯುವ 5% ಬಗ್ಗೆ ಏನು?"

ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ. ನಾವು ln() ನೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ "ಸಮಯ" ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಡ್ಡಿದರ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, e x ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದೇ X. ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು 100% ಗೆ ಹೊಂದಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾವು ಮುಕ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು 30x ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: ln(30) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು 3.4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ ಇದರರ್ಥ:

• ಇ x = ಎತ್ತರ
• ಇ 3.4 = 30

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಅರ್ಥ "3.4 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ 100% ಆದಾಯವು 30x ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ." ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

• ಇ x = ಇ ದರ* ಸಮಯ
• ಇ 100% * 3.4 ವರ್ಷಗಳು = 30

ಬೆಟ್ * ಸಮಯ 3.4 ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ ನಾವು "ಬೆಟ್" ಮತ್ತು "ಸಮಯ" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು 30x ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, 5% ಬಡ್ಡಿ ದರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಕಾಯಬೇಕು?

• ln(30) = 3.4
• ದರ * ಸಮಯ = 3.4
• 0.05 * ಸಮಯ = 3.4
• ಸಮಯ = 3.4 / 0.05 = 68 ವರ್ಷಗಳು

ನಾನು ಈ ರೀತಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇನೆ: "ln(30) = 3.4, ಆದ್ದರಿಂದ 100% ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಇದು 3.4 ವರ್ಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾನು ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ."

• 3.4 ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ 5% = .05 * 68 = 3.4.

ಗ್ರೇಟ್, ಸರಿ? ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬಡ್ಡಿ ದರ ಮತ್ತು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಿಸಬಹುದು.

ತಂಪಾದ ಉದಾಹರಣೆ: ಎಪ್ಪತ್ತೆರಡರ ನಿಯಮ

ಎಪ್ಪತ್ತೆರಡರ ನಿಯಮವು ಗಣಿತದ ತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ನಿಮ್ಮ ಹಣವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುತ್ತೇವೆ (ಹೌದು!), ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ನಾವು ಅದರ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ 100% ಬಡ್ಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಹಣವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಅಯ್ಯೋ. ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನೀವು ವಾರ್ಷಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೀರಾ? ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಈ ಸೂತ್ರವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲವೇ? ಹೌದು, ಆದರೆ 5%, 6% ಅಥವಾ 15% ನಂತಹ ನೈಜ ಬಡ್ಡಿದರಗಳಿಗೆ, ವಾರ್ಷಿಕ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥೂಲ ಅಂದಾಜು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉಮ್, ಸರಿಸುಮಾರು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಸಂಚಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನಟಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ: 100% ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬಹುದು? ln(2) = 0.693. 100% ರಷ್ಟು ನಿರಂತರ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಮೊತ್ತವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಲು ಇದು 0.693 ಯುನಿಟ್‌ಗಳ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಷಗಳು).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಡ್ಡಿ ದರವು 100% ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ 5% ಅಥವಾ 10% ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ ಏನು?

ಸುಲಭವಾಗಿ! ಬೆಟ್ * ಸಮಯ = 0.693 ರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ದರ * ಸಮಯ = 0.693
• ಸಮಯ = 0.693 / ಪಂತ

ಬೆಳವಣಿಗೆಯು 10% ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳಲು 0.693 / 0.10 = 6.93 ವರ್ಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 100 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ, ನಂತರ ನಾವು "0.10" ಗಿಂತ "10" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು:

• ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ = 69.3 / ಬೆಟ್, ಅಲ್ಲಿ ಪಂತವನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ 5% ದರದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ, 69.3 / 5 = 13.86 ವರ್ಷಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, 69.3 ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಲಾಭಾಂಶವಲ್ಲ. 2, 3, 4, 6, 8 ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ 72 ಅನ್ನು ನಿಕಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ.

• ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ = 72 / ಬೆಟ್

ಇದು ಎಪ್ಪತ್ತೆರಡರ ನಿಯಮ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಟ್ರಿಪಲ್ ಮಾಡಲು ಸಮಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ln(3) ~ 109.8 ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದು

• ಟ್ರಿಪಲ್ ಮಾಡಲು ಸಮಯ = 110 / ಬೆಟ್

ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. "72 ರ ನಿಯಮ" ಬಡ್ಡಿದರಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೇನು?

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈಗ ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಇದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಎನ್ ಅನ್ನು ಬೆಳೆಯಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ನೀವು ln(x) ಅನ್ನು ನೋಡಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, "X ಬಾರಿ ಬೆಳೆಯಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ" ನೆನಪಿಡಿ. ಮುಂಬರುವ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು e ಮತ್ತು ln ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ ಇದರಿಂದ ಗಣಿತದ ತಾಜಾ ಪರಿಮಳವು ಗಾಳಿಯನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ.

ಅನುಬಂಧ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಫ್ ಇ

ತ್ವರಿತ ರಸಪ್ರಶ್ನೆ: ln(e) ಎಂದರೇನು?

• ಗಣಿತದ ರೋಬೋಟ್ ಹೇಳುತ್ತದೆ: ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ln(e) = 1 ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
• ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ವ್ಯಕ್ತಿ: ln(e) ಎನ್ನುವುದು "e" ಬಾರಿ ಬೆಳೆಯಲು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಸುಮಾರು 2.718). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಖ್ಯೆ e ಸ್ವತಃ 1 ರ ಅಂಶದಿಂದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ln(e) = 1.

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಿ.

ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 9, 2013

ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ: "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 11 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೋಧನಾ ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
9–11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಕೈಪಿಡಿ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ"
10–11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಕೈಪಿಡಿ "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್"

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು

ಹುಡುಗರೇ, ಕೊನೆಯ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಸ, ವಿಶೇಷ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ - ಇ ಇಂದು ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲವು 0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಂದು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $\ln(n)$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ನಮೂದು ನಮೂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: $\log_e(n)=\ln(n)$.
ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಲೋಮಗಳಾಗಿವೆ, ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ: $y=e^x$.
$y=x$ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
$y=x$ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಪಾಯಿಂಟ್ (0;1) ನಲ್ಲಿ $y=e^x$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು 45° ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಂತರ (1;0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಸಹ 45&ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡೂ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು $y=x$ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮಾಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವೂ ಅಲ್ಲ.
3. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
4. ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ.
5. ಯಾವುದೇ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲ.
6. ನಿರಂತರ.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಪೀನ.
9. ಎಲ್ಲೆಡೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಗುವುದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

ಉದಾಹರಣೆ.
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: $x=4$ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ $y=\ln(2x-7)$.
ಪರಿಹಾರ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು $y=f(kx+m)$ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
ಉತ್ತರ: 2.

ಉದಾಹರಣೆ.
$х=е$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $y=ln(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
$x=a$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು $y=\frac(x)(e)$ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.
ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: $y=x^6-6*ln(x)$.
ಪರಿಹಾರ.
$D(y)=(0;+∞)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್.
ನೀಡಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
ಪಾಯಿಂಟ್ $х=-1$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $x=1$. ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಪಾಯಿಂಟ್ $x=1$ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ನಂತರ $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
ಉತ್ತರ: ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (0;1], ರೇ $ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ)