ലോഗരിതം എങ്ങനെയാണ് കണക്കാക്കുന്നത്? ലോഗരിതം. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ (സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും)
അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. അങ്ങനെ സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു എനമ്പർ ലഭിക്കാൻ ബി(ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമേ ഉള്ളൂ).
ഈ ഫോർമുലേഷനിൽ നിന്ന് കണക്കുകൂട്ടൽ പിന്തുടരുന്നു x=log a b, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് a x =b.ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 8 = 3കാരണം 8 = 2 3 . ലോഗരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് അത് ന്യായീകരിക്കാൻ സാധ്യമാക്കുന്നു ബി=എ സി, പിന്നെ സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എതുല്യമാണ് കൂടെ. ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എന്ന വിഷയവുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ളതാണെന്നും വ്യക്തമാണ്.
ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ പോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയും കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾസാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക. എന്നാൽ ലോഗരിതം പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകളല്ല എന്ന വസ്തുത കാരണം, അവരുടെ സ്വന്തം പ്രത്യേക നിയമങ്ങൾ ഇവിടെ ബാധകമാണ്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.
ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും.
കൂടെ രണ്ട് ലോഗരിതം എടുക്കാം അതേ അടിസ്ഥാനത്തിൽ: ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുകഒപ്പം ലോഗ് എ വൈ. അപ്പോൾ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും:
ലോഗ് a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
ലോഗ് എ(x 1 . x 2 . x 3 ... x കെ) = ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക 1 + ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക 2 + ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക 3 + ... + ലോഗ് a x k.
നിന്ന് ലോഗരിതം ഘടക സിദ്ധാന്തംലോഗരിതം ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി കൂടി ലഭിക്കും. ലോഗിൻ ചെയ്യുന്നത് പൊതുവായ അറിവാണ് എ 1= 0, അതിനാൽ
ലോഗ് എ 1 /ബി=ലോഗ് എ 1 - ലോഗ് ഒരു ബി= - ലോഗ് ഒരു ബി.
ഇതിനർത്ഥം ഒരു സമത്വം ഉണ്ടെന്നാണ്:
ലോഗ് എ 1 / ബി = - ലോഗ് എ ബി.
രണ്ട് പരസ്പര സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതംഒരേ കാരണത്താൽ അടയാളം കൊണ്ട് മാത്രം പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കും. അതിനാൽ:
ലോഗ് 3 9= - ലോഗ് 3 1 / 9 ; ലോഗ് 5 1 / 125 = -ലോഗ് 5 125.
നമുക്ക് തുടങ്ങാം ഒന്നിൻ്റെ ലോഗരിതം സവിശേഷതകൾ. അതിൻ്റെ രൂപീകരണം ഇപ്രകാരമാണ്: ഏകതയുടെ ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, ലോഗ് എ 1=0ഏതെങ്കിലും a>0, a≠1. തെളിവ് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല: മേൽപ്പറഞ്ഞ വ്യവസ്ഥകൾ a>0, a≠1 എന്നിവയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും ഒരു 0 =1 ആയതിനാൽ, ലോഗരിതം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഉടൻ തന്നെ തെളിയിക്കേണ്ട സമത്വ ലോഗ് a 1=0 പിന്തുടരുന്നു.
പരിഗണിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം: ലോഗ് 3 1=0, ലോഗ്1=0 ഒപ്പം .
നമുക്ക് അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടിയിലേക്ക് പോകാം: സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം, അടിത്തറയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഒന്നിന് തുല്യം, അതാണ്, ലോഗ് a a=1 a>0, a≠1 എന്നതിന്. തീർച്ചയായും, ഏതെങ്കിലും a എന്നതിന് 1 =a ആയതിനാൽ, ലോഗരിതം ലോഗ് a = 1 ൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ തുല്യത ലോഗ് 5 5=1, ലോഗ് 5.6 5.6, lne=1 എന്നിവയാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ഒപ്പം 
.
രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം x, y എന്നിവ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം: log a (x y)=ലോഗ് a x+log a y, a>0 , a≠1 . ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ബിരുദത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ കാരണം a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, പ്രധാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി പ്രകാരം ഒരു ലോഗ് a x =x, ഒരു ലോഗ് a y =y, തുടർന്ന് ഒരു ലോഗ് a x ·a ലോഗ് a y =x·y. അങ്ങനെ, ഒരു ലോഗ് a x+log a y =x·y, അതിൽ നിന്ന്, ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, തുല്യത തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.
ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കാം: ലോഗ് 5 (2 3)=ലോഗ് 5 2+ലോഗ് 5 3 ഒപ്പം 
.
ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം എന്ന ഗുണത്തെ x 1, x 2, ..., x n എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ പരിമിത സംഖ്യ n ൻ്റെ ഗുണനത്തിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം. ലോഗ് a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= ലോഗ് എ x 1 +ലോഗ് എ x 2 +…+ലോഗ് എ x എൻ . ഈ സമത്വം പ്രശ്നങ്ങളില്ലാതെ തെളിയിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം മൂന്നിൻ്റെ തുക ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംഅക്കങ്ങൾ 4, ഇ, കൂടാതെ.
രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം x ഉം y ഉം ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫോർമുലയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ a>0, a≠1, x, y എന്നിവ ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്. ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുതയും ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഫോർമുലയും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: മുതൽ 
, പിന്നെ ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം.
ലോഗരിതം ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: 
.
നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം സ്വത്ത്. ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതം, ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ബേസ് മോഡുലസിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെയും ലോഗരിതത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ശക്തിയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതാം: log a b p =p·log a |b|, ഇവിടെ a>0, a≠1, b, p എന്നിവ ഡിഗ്രി b p അർത്ഥമാക്കുന്നതും b p >0 എന്നതുമായ സംഖ്യകളാണ്.
ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പോസിറ്റീവ് ബി എന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി b എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു log a b ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, തുടർന്ന് b p =(a log a b) p , അധികാരത്തിൻ്റെ സ്വത്ത് കാരണം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം p·log a b ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ നമ്മൾ b p =a p·log a b എന്ന സമത്വത്തിലേക്ക് വരുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, log a b p =p·log a b എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.
നെഗറ്റീവ് ബി ഈ പ്രോപ്പർട്ടി തെളിയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. നെഗറ്റീവ് b എന്നതിനുള്ള log a b p എന്ന പദപ്രയോഗം p എന്ന എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ എന്ന് ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു (ബി പിയുടെ മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, അല്ലാത്തപക്ഷം ലോഗരിതം അർത്ഥമാക്കില്ല), ഈ സാഹചര്യത്തിൽ b p =|b| പി. പിന്നെ b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, എവിടെ നിന്ന് ലോഗ് a b p =p·log a |b| .
ഉദാഹരണത്തിന്, 
കൂടാതെ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
മുമ്പത്തെ വസ്തുവിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു റൂട്ടിൽ നിന്നുള്ള ലോഗരിതം സ്വത്ത്: nth റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ്റെ ലോഗരിതം കൊണ്ട് 1/n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, 
, എവിടെ a>0, a≠1, n – സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, ഒന്നിൽ കൂടുതൽ, b>0.
തെളിവ് തുല്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (കാണുക), അത് ഏത് പോസിറ്റീവ് ബിക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്, കൂടാതെ ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം സ്വത്തും: 
.
ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: 
.
ഇനി നമുക്ക് തെളിയിക്കാം ഒരു പുതിയ ലോഗരിതം അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലദയയുള്ള 
. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമത്വ ലോഗ് c b=log a b·log c a യുടെ സാധുത തെളിയിച്ചാൽ മതി. അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി, b എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു log a b ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, തുടർന്ന് log c b=log c a log a b . ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ഇത് ശേഷിക്കുന്നു: ലോഗ് സി എ ലോഗ് എ ബി =ലോഗ് എ ബി ലോഗ് സി എ. ഇത് സമത്വ ലോഗ് തെളിയിക്കുന്നു c b=log a b·log c a, അതായത് ഒരു പുതിയ ലോഗരിതം ബേസിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യവും തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് കാണിക്കാം: കൂടാതെ 
.
ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം "സൗകര്യപ്രദമായ" അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് പ്രകൃതിയിലേക്ക് മാറാം അല്ലെങ്കിൽ ദശാംശ ലോഗരിതംലോഗരിതം പട്ടികയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും. ഒരു പുതിയ ലോഗരിതം ബേസിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം, ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മറ്റ് ബേസുകളുള്ള ചില ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയുമ്പോൾ തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു.
പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നു പ്രത്യേക കേസ്ഫോമിൻ്റെ c=b ഉള്ള ഒരു പുതിയ ലോഗരിതം ബേസിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള ഫോർമുലകൾ 
. ഇത് ലോഗ് എ ബി, ലോഗ് ബി എ - എന്നിവ കാണിക്കുന്നു. ഉദാ, 
.
ഫോർമുലയും പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട് 
, ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഞങ്ങളുടെ വാക്കുകൾ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, ഫോമിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഇത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. നമുക്ക് ഉണ്ട് 
. ഫോർമുല തെളിയിക്കാൻ 
ലോഗരിതം a ൻ്റെ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിന് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി: 
.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ താരതമ്യ സവിശേഷതകൾ തെളിയിക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു.
ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും b 1, b 2, b 1 എന്നിവ തെളിയിക്കാം ലോഗ് a b 2 , ഒപ്പം a> 1 ന് - അസമത്വ ലോഗ് a b 1 അവസാനമായി, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റുചെയ്ത ഗുണങ്ങളിൽ അവസാനത്തേത് തെളിയിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗത്തിൻ്റെ തെളിവിലേക്ക് നമുക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്താം, അതായത്, ഒരു 1 >1, 2 >1, 1 എന്നിവ തെളിയിക്കും. 1 യഥാർത്ഥ ലോഗ് a 1 b>ലോഗ് a 2 b ആണ്. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ ശേഷിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകൾ സമാനമായ തത്ത്വമനുസരിച്ച് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് വിപരീത രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഒരു 1 >1, a 2 >1, a 1 എന്നിവയ്ക്ക് വേണ്ടിയാണെന്ന് കരുതുക 1 യഥാർത്ഥ ലോഗ് a 1 b≤log a 2 b ആണ്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ അസമത്വങ്ങളെ ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം 
ഒപ്പം 
യഥാക്രമം, അവയിൽ നിന്ന് അത് യഥാക്രമം b a 1 ≤log b a 2 ഉം log b a 1 ≥log b a 2 ഉം പിന്തുടരുന്നു. തുടർന്ന്, ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ അനുസരിച്ച്, തുല്യതകൾ b log b a 1 ≥b log b a 2, b log b a 1 ≥b log b a 2 എന്നിവ പിടിക്കണം, അതായത് a 1 ≥a 2. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ a 1 എന്ന അവസ്ഥയ്ക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തി
ഗ്രന്ഥസൂചിക.
- കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. മറ്റുള്ളവയും ആൾജിബ്രയും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
- ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതിക വിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).
ലോഗരിതം, ലോഗരിതം ഗ്രാഫ്, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, കൂടുന്നതും കുറയുന്നതും എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് പരിഗണിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ, പവർ സീരീസ് വികാസവും പ്രാതിനിധ്യവും.
ലോഗരിതം നിർവ്വചനം
അടിസ്ഥാന a ഉള്ള ലോഗരിതം y യുടെ ഒരു ചടങ്ങാണ് (x) = ലോഗ് എ x, ബേസ് a: x ഉള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് വിപരീതം (y) = a y.
ദശാംശ ലോഗരിതംഒരു സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ് 10 : ലോഗ് x ≡ ലോഗ് 10 x.
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം e യുടെ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്: ln x ≡ ലോഗ് ഇ x.
2,718281828459045...
;
.
y = x എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിനെ മിറർ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്നാണ് ലോഗരിതം ഗ്രാഫ് ലഭിക്കുന്നത്. ഇടതുവശത്ത് y ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ ഉണ്ട് (x) = ലോഗ് എ xനാല് മൂല്യങ്ങൾക്കായി ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനങ്ങൾ: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
ഒപ്പം a = 1/8
. എപ്പോൾ എന്ന് ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു > 1
ലോഗരിതം ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. x കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് വളർച്ച ഗണ്യമായി കുറയുന്നു. ചെയ്തത് 0
< a < 1
ലോഗരിതം ഏകതാനമായി കുറയുന്നു.
ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ
ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, വർദ്ധിക്കുന്നു, കുറയുന്നു
ലോഗരിതം ഒരു ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനമാണ്, അതിനാൽ ഇതിന് തീവ്രതയില്ല. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
| ഡൊമെയ്ൻ | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| മോണോടോൺ | ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു | ഏകതാനമായി കുറയുന്നു |
| പൂജ്യങ്ങൾ, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| x = ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റുകൾ തടസ്സപ്പെടുത്തുക 0 | ഇല്ല | ഇല്ല |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
സ്വകാര്യ മൂല്യങ്ങൾ
അടിസ്ഥാന 10-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ദശാംശ ലോഗരിതംകൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് ഇവിളിച്ചു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം:
ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകുന്ന ലോഗരിതം ഗുണങ്ങൾ:
ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രധാന സ്വത്തും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും
അടിസ്ഥാന മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഫോർമുല
ലോഗരിതംഒരു ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്. ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ, ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.
പൊട്ടൻഷ്യേഷൻലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീത ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്. പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത്, തന്നിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാനം പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ നടത്തുന്ന പ്രകടനത്തിൻ്റെ അളവിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.
ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ തെളിവ്
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും വിപരീത ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്വത്ത് പരിഗണിക്കുക
.
പിന്നെ
.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കാം
:
.
അടിസ്ഥാന മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഫോർമുല നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.
;
.
c = b അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്കുണ്ട്:
വിപരീത പ്രവർത്തനം
a ബേസ് ചെയ്യാനുള്ള ഒരു ലോഗരിഥത്തിൻ്റെ വിപരീതം ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്.
എങ്കിൽ, പിന്നെ
എങ്കിൽ, പിന്നെ
ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്
മോഡുലസ് x ൻ്റെ ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
N-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>
ഒരു ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അത് അടിത്തറയിലേക്ക് ചുരുക്കണം ഇ.
;
.
ഇൻ്റഗ്രൽ
ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ചാണ് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നത്: .
അതിനാൽ,
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക z:
.
നമുക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ പ്രകടിപ്പിക്കാം zമൊഡ്യൂൾ വഴി ആർവാദവും φ
:
.
തുടർന്ന്, ലോഗരിതം ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
.
അഥവാ
എന്നിരുന്നാലും, വാദം φ
അദ്വിതീയമായി നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. ഇട്ടാൽ
, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്,
അപ്പോൾ അത് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾക്ക് ഒരേ സംഖ്യയായിരിക്കും എൻ.
അതിനാൽ, ലോഗരിതം, ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന നിലയിൽ, ഒരൊറ്റ മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷനല്ല.
പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം
വിപുലീകരണം നടക്കുമ്പോൾ:
റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.
ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കും ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു, ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം. ആദ്യം നമ്മൾ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ മനസ്സിലാക്കും. അടുത്തതായി, ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അവയുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നോക്കാം. ഇതിനുശേഷം, മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളുടെ തുടക്കത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയ മൂല്യങ്ങളിലൂടെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും. അവസാനമായി, ലോഗരിതം പട്ടികകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് പഠിക്കാം. മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തവും വിശദമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.
പേജ് നാവിഗേഷൻ.
നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു
ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ വളരെ വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും നിർവഹിക്കാൻ സാധിക്കും നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.
അതിൻ്റെ സാരാംശം a c എന്ന രൂപത്തിൽ ബി സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നതാണ്, അതിൽ നിന്ന്, ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യ c എന്നത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യമാണ്. അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വ ശൃംഖല ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമാനമാണ്: log a b=log a a c =c.
അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് ഒരു c = b എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു, കൂടാതെ c സംഖ്യ തന്നെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമാണ്.
മുൻ ഖണ്ഡികകളിലെ വിവരങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ലോഗരിതം അടിത്തറയുടെ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയാൽ നൽകുമ്പോൾ, ലോഗരിതം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും - ഇത് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ കാണിക്കാം.
ഉദാഹരണം.
ലോഗ് 2 2 −3 കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ e 5,3 എന്ന സംഖ്യയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.
ലോഗ് 2 2 −3 =−3 എന്ന് ഉടനടി പറയാൻ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ബേസ് 2-ന് −3 പവറിന് തുല്യമാണ്.
അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു: lne 5.3 =5.3.
ഉത്തരം:
ലോഗ് 2 2 −3 =-3, lne 5,3 =5,3.
ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള b എന്ന സംഖ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ ശക്തിയായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, a c എന്ന രൂപത്തിൽ b എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രാതിനിധ്യം കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. മിക്കപ്പോഴും ഈ പ്രാതിനിധ്യം വളരെ വ്യക്തമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ 1, അല്ലെങ്കിൽ 2, അല്ലെങ്കിൽ 3, ൻ്റെ ശക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ...
ഉദാഹരണം.
ലോഗരിതംസ് ലോഗ് 5 25 കണക്കാക്കുക, ഒപ്പം .
പരിഹാരം.
25=5 2, ഇത് ആദ്യ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ലോഗ് 5 25=ലോഗ് 5 5 2 =2.
നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. സംഖ്യയെ 7 ൻ്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 
(ആവശ്യമെങ്കിൽ കാണുക). അതിനാൽ, 
.
ഇനി പറയുന്ന രൂപത്തിൽ മൂന്നാമത്തെ ലോഗരിതം മാറ്റിയെഴുതാം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത് കാണാൻ കഴിയും 
, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു 
. അതിനാൽ, ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം 
.
ചുരുക്കത്തിൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
ഉത്തരം:
ലോഗ് 5 25=2 , 
ഒപ്പം .
ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ആവശ്യത്തിന് വലിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഉള്ളപ്പോൾ, അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല. ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ ചില ശക്തിയായി അത്തരമൊരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഇത് സഹായിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഈ ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുക.
ഉദാഹരണം.
ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.
ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം ഉടനടി വ്യക്തമാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവും അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവും ഉൾപ്പെടുന്നു: log 1 1=log a a 0 =0, log a =log a a 1 =1. അതായത്, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു സംഖ്യ 1 അല്ലെങ്കിൽ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ലോഗരിതം യഥാക്രമം 0, 1 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.
ഉദാഹരണം.
ലോഗരിതങ്ങളും log10 ഉം എന്തിന് തുല്യമാണ്?
പരിഹാരം.
മുതൽ, ലോഗരിതം എന്ന നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു 
.
രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ 10 അതിൻ്റെ അടിത്തറയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ പത്തിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, lg10=lg10 1 =1.
ഉത്തരം:
ഒപ്പം lg10=1 .
നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് (മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ചചെയ്തത്) സമത്വ ലോഗ് a a p =p ഉപയോഗിക്കുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.
പ്രായോഗികമായി, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി എളുപ്പത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. 
, ഇത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിനോട് യോജിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലയുടെ ഉപയോഗം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
ഉദാഹരണം.
ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.
ഉത്തരം:
.
മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.
അറിയപ്പെടുന്ന മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളിലൂടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു
ഈ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങൾ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന വിഷയം തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഇവിടെ പ്രധാന വ്യത്യാസം, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം മറ്റൊരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ മൂല്യം അറിയപ്പെടുന്നു. വ്യക്തതയ്ക്കായി നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം. ലോഗ് 2 3≈1.584963 എന്ന് നമുക്ക് അറിയാമെന്ന് പറയാം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലോഗ് 2 6 കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചെറിയ പരിവർത്തനം നടത്തി: ലോഗ് 2 6=ലോഗ് 2 (2 3)=ലോഗ് 2 2+ലോഗ് 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതിയായിരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, തന്നിരിക്കുന്നവയിലൂടെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ വിശാലമായ ആയുധശേഖരം ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.
ഉദാഹരണം.
ലോഗ് 60 2=a, ലോഗ് 60 5=b എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ 27 മുതൽ ബേസ് 60 വരെയുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.
അതിനാൽ നമുക്ക് ലോഗ് 60 27 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. 27 = 3 3, പവർ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം കാരണം യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം, 3·ലോഗ് 60 3 എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.
അറിയപ്പെടുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലോഗ് 60 3 എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. 60 60=1 എന്ന സമത്വ ലോഗ് എഴുതാൻ അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, ലോഗ് 60 60=log60(2 2 3 5)= ലോഗ് 60 2 2 +ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5= 2·ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5 . അങ്ങനെ, 2 ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5=1. അതിനാൽ, ലോഗ് 60 3=1−2·ലോഗ് 60 2−ലോഗ് 60 5=1−2·a−b.
അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു: ലോഗ് 60 27=3 ലോഗ് 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
ഉത്തരം:
ലോഗ് 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
ഫോമിൻ്റെ ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ അർത്ഥം പ്രത്യേകം പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്. 
. ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അവ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. സാധാരണയായി, യഥാർത്ഥ ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന്, ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, അവ 2, e അല്ലെങ്കിൽ 10 ബേസുകളിലൊന്നിൽ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു, കാരണം ഈ ബേസുകൾക്ക് അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അളവിൽ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ലോഗരിതം പട്ടികകളുണ്ട്. കൃത്യത. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.
ലോഗരിതം പട്ടികകളും അവയുടെ ഉപയോഗങ്ങളും
ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിനായി ഉപയോഗിക്കാം ലോഗരിതം പട്ടികകൾ. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം പട്ടിക, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പട്ടിക, ഡെസിമൽ ലോഗരിതം പട്ടിക. ദശാംശ സംഖ്യാ സംവിധാനത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാന പത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ പഠിക്കും.
1,000 മുതൽ 9,999 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ (മൂന്ന് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളോടെ) പതിനായിരത്തിലൊന്നിൻ്റെ കൃത്യതയോടെ കണ്ടെത്താൻ അവതരിപ്പിച്ച പട്ടിക നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ദശാംശ ലോഗരിതം പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള തത്വം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും - ഇത് ഈ രീതിയിൽ വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് log1.256 കണ്ടെത്താം.
ദശാംശ ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ ഇടത് നിരയിൽ, 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആദ്യ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്, 1.2 (വ്യക്തതയ്ക്കായി ഈ നമ്പർ നീല നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ മൂന്നാമത്തെ അക്കം (അക്ക 5) ഇരട്ട വരിയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ സംഖ്യ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായ 1.256 (അക്ക 6) ൻ്റെ നാലാമത്തെ അക്കം ഇരട്ട വരിയുടെ വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ സംഖ്യ ഒരു പച്ച വര ഉപയോഗിച്ച് വൃത്താകൃതിയിലാണ്). അടയാളപ്പെടുത്തിയ വരിയുടെയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ നിരകളുടെയും കവലയിൽ ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ സെല്ലുകളിലെ അക്കങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഈ സംഖ്യകൾ ഓറഞ്ചിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു). അടയാളപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ദശാംശ ലോഗരിതം നാലാമത്തെ ദശാംശ സ്ഥാനത്തിന് കൃത്യമായ മൂല്യം നൽകുന്നു, അതായത്, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
മുകളിലുള്ള പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും അതുപോലെ 1 മുതൽ 9.999 വരെയുള്ള ശ്രേണിക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്നവയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? അതെ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് കാണിക്കാം.
നമുക്ക് lg102.76332 കണക്കാക്കാം. ആദ്യം നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ നമ്പർ: 102.76332=1.0276332·10 2. ഇതിനുശേഷം, മാൻ്റിസയെ മൂന്നാം ദശാംശ സ്ഥാനത്തേക്ക് വൃത്താകൃതിയിലാക്കണം, നമുക്കുണ്ട് 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, യഥാർത്ഥ ദശാംശ ലോഗരിതം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, അതായത്, നമ്മൾ log102.76332≈lg1.028·10 2 എടുക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. അവസാനമായി, ദശാംശ ലോഗരിതം lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 എന്ന പട്ടികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം lg1.028 ൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. തൽഫലമായി, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ പ്രക്രിയയും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
ഉപസംഹാരമായി, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെയും ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളിലേക്ക് പോകാനും പട്ടികയിൽ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനും ശേഷിക്കുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താനും ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി.
ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ലോഗ് 2 3 കണക്കാക്കാം. ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് . ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ log3≈0.4771, log2≈0.3010 എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു. അങ്ങനെ, 
.
ഗ്രന്ഥസൂചിക.
- കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. മറ്റുള്ളവയും ആൾജിബ്രയും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
- ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതിക വിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).
നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.
വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും
ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.
ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.
എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:
- നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.
നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:
- ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ, അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവൻ്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ എന്നിവയുമായി നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
- കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
- ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
- നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ
നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.
ഒഴിവാക്കലുകൾ:
- ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമങ്ങൾ, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്തെ സർക്കാർ അധികാരികളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
- ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.
വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം
നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.
കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു
നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.