ഗാസ് രീതി പ്രയോഗിച്ചു. ഗാസ് രീതി

ഗാസ് രീതിലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAE) സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മികച്ചതാണ്. മറ്റ് രീതികളേക്കാൾ ഇതിന് നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

• ഒന്നാമതായി, അനുയോജ്യതയ്ക്കായി സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം മുൻകൂട്ടി അന്വേഷിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല;
• രണ്ടാമതായി, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒത്തുപോകുന്നതും സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഡീജനറേറ്റ് അല്ലാത്തതുമായ SLAE-കൾ മാത്രമല്ല, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം സംഭവിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കാം. അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല അല്ലെങ്കിൽ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്;
• മൂന്നാമതായി, ഗാസ് രീതി താരതമ്യേന ഒരു ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു ഒരു ചെറിയ തുകകമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ലേഖനത്തിന്റെ ഹ്രസ്വ അവലോകനം.

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുകയും ചില നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അടുത്തതായി, ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിനായി ഗാസ് രീതിയുടെ അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നു, അതായത്, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക്, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണവും സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റും അല്ല. പൂജ്യത്തിന് തുല്യം. അത്തരം സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഗാസ് രീതിയുടെ സാരാംശം ഏറ്റവും വ്യക്തമായി കാണാം, അതിൽ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ തുടർച്ചയായ ഉന്മൂലനം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഗൗസിയൻ രീതിയെ അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു. കാണിക്കാം വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഉപസംഹാരമായി, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗാസിയൻ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു, അതിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ചതുരാകൃതിയിലോ അപചയമോ ആണ്. അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന് ചില സവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും നൊട്ടേഷനും.

n അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള p രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക (p n ന് തുല്യമായിരിക്കും):

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ എവിടെയാണ്, അക്കങ്ങൾ (യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ) സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളാണ്.

എങ്കിൽ , അപ്പോൾ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥയെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ, അല്ലാത്തപക്ഷം - വൈവിധ്യമാർന്ന.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡന്റിറ്റികളായി മാറുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു SLAU തീരുമാനം.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത, അല്ലാത്തപക്ഷം - പൊരുത്തമില്ലാത്ത.

ഒരു SLAE-ക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്. ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു അനിശ്ചിതത്വം.

സിസ്റ്റം എഴുതിയിട്ടുണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു കോർഡിനേറ്റ് ഫോംഅതിന് രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ
.

ഈ സംവിധാനം മാട്രിക്സ് ഫോംറെക്കോർഡുകൾക്ക് ഫോം ഉണ്ട്, എവിടെ - SLAE യുടെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്, - അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ നിരയുടെ മാട്രിക്സ്, - സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ്.

സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് കോളം (n + 1)-ആം നിരയായി ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് എ-ലേക്ക് ചേർത്താൽ, നമുക്ക് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലഭിക്കും. വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ്രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. സാധാരണയായി, വർദ്ധിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് T എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ നിരയെ ബാക്കിയുള്ള നിരകളിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബ വരയാൽ വേർതിരിക്കുന്നു, അതായത്,

സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് എ എന്ന് വിളിക്കുന്നു അധഃപതിക്കുകഅതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ. എങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് A എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത.

ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിന്റ് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നതിന് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമുണ്ടെങ്കിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ

• രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റുക,
• ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും അനിയന്ത്രിതവും പൂജ്യമല്ലാത്തതുമായ യഥാർത്ഥ (അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ) സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക,
• ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലും മറ്റ് സമവാക്യത്തിന്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കുക, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ,

അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരേ പരിഹാരങ്ങളുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥമായത് പോലെ, പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത) തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വരികളുള്ള പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളെ അർത്ഥമാക്കും:

• രണ്ട് സ്ട്രിംഗുകൾ മാറ്റുന്നു
• മാട്രിക്സ് T യുടെ ഏതെങ്കിലും വരിയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക ,
• മാട്രിക്സിന്റെ ഏതെങ്കിലും വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് മറ്റൊരു വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഗാസ് രീതിയുടെ വിവരണത്തിലേക്ക് പോകാം.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ, അതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഡീജനറേറ്റ് അല്ല, ഗോസ് രീതി.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പ്രദായത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയാൽ ഞങ്ങൾ സ്കൂളിൽ എന്തുചെയ്യും .

ചിലർ അങ്ങനെ ചെയ്യുമായിരുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ചേർത്തുകൊണ്ട് ശ്രദ്ധിക്കുക ഇടത് വശംആദ്യത്തേത്, വലതുവശത്ത് - വലതുവശത്ത്, നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x 2, x 3 എന്നിവ ഒഴിവാക്കാനും ഉടൻ x 1 കണ്ടെത്താനും കഴിയും:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം x 1 \u003d 1 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അവയെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങളിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ x 3 വേരിയബിൾ ഒഴിവാക്കി x 2 കണ്ടെത്താനാകും:

ലഭിച്ച മൂല്യം x 2 \u003d 2 ഞങ്ങൾ മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, ശേഷിക്കുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 കണ്ടെത്തുന്നു:

വേറെ ചിലർ ചെയ്യുമായിരുന്നു.

അജ്ഞാതമായ x 1 എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം, കൂടാതെ ഈ വേരിയബിളിനെ അവയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് x 2 മായി ബന്ധപ്പെട്ട് സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം, അതിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ x 2 വേരിയബിളിനെ ഒഴിവാക്കുന്നതിന് ലഭിച്ച ഫലം മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 3 =3 എന്ന് കാണാൻ കഴിയും. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു , ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

പരിചിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ, അല്ലേ?

ഇവിടെ ഏറ്റവും രസകരമായ കാര്യം, രണ്ടാമത്തെ പരിഹാര രീതി പ്രധാനമായും അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതിയാണ്, അതായത്, ഗാസ് രീതി. ഞങ്ങൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ (ആദ്യം x 1, അടുത്തത് x 2) പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അവ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ബാക്കി സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അവയെ ഒഴിവാക്കി. അവസാന സമവാക്യം ഒരു അജ്ഞാത വേരിയബിൾ മാത്രം അവശേഷിപ്പിക്കുന്ന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കൽ നടത്തി. അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു നേരിട്ടുള്ള ഗാസ് രീതി. മുന്നോട്ട് നീക്കൽ പൂർത്തിയായ ശേഷം, അവസാന സമവാക്യത്തിലെ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് അവസരമുണ്ട്. അതിന്റെ സഹായത്തോടെ, അവസാനത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, അടുത്ത അജ്ഞാത വേരിയബിൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേതിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു റിവേഴ്സ് ഗാസ് രീതി.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിലെ x 2, x 3 എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരേ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്:

വാസ്തവത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഒഴിവാക്കാനും അത്തരമൊരു നടപടിക്രമം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്തപ്പോൾ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന സൂക്ഷ്മതകൾ ഉണ്ടാകുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, SLAU-ൽ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ, അജ്ഞാതമായ x 1 വേരിയബിളില്ല (മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അതിന്റെ മുന്നിലുള്ള ഗുണകം പൂജ്യമാണ്). അതിനാൽ, ഈ അജ്ഞാത വേരിയബിളിനെ ബാക്കിയുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിന് x 1 നെ സംബന്ധിച്ചുള്ള സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയില്ല. ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാനുള്ള വഴി സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റുക എന്നതാണ്. പ്രധാന മെട്രിക്സുകളുടെ ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വേരിയബിൾ ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ട്, ഈ സമവാക്യം നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള സ്ഥാനത്തേക്ക് പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്താൽ മതി , അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് x 1 നുള്ള ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനും സിസ്റ്റത്തിന്റെ ബാക്കി സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് ഒഴിവാക്കാനും കഴിയും (രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ x 1 ഇതിനകം ഇല്ലെങ്കിലും).

നിങ്ങൾക്ക് സംഗ്രഹം ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

നമുക്ക് വിവരിക്കാം ഗാസ് രീതി അൽഗോരിതം.

ഫോമിന്റെ n അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് n ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് , അതിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യമല്ല.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് നേടാനാകുമെന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും. സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഗുണിച്ച ആദ്യ സമവാക്യം ചേർക്കുക, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ആദ്യം ഗുണിച്ചതിനെ ചേർക്കുക, അങ്ങനെ, ആദ്യത്തേത് nth സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും

എവിടെ , എ .

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ മറ്റ് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്താൽ നമ്മൾ അതേ ഫലത്തിലേക്ക് എത്തും. അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 1 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു.

അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പക്ഷേ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം മാത്രം, അത് ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് രണ്ടാമത്തേത് ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുക, നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് രണ്ടാമത്തേത് ഗുണിച്ച് ചേർക്കുക, അങ്ങനെ, രണ്ടാമത്തേത് n-ആം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും

എവിടെ , എ . അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 2 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് മുതൽ.

അടുത്തതായി, ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഭാഗവുമായി സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അജ്ഞാതമായ x 3 ഇല്ലാതാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകുന്നു.

അതിനാൽ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള കോഴ്സ് തുടരുന്നു

ഈ നിമിഷം മുതൽ, ഞങ്ങൾ ഗാസ് രീതിയുടെ വിപരീത ഗതി ആരംഭിക്കുന്നു: അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ x n കണക്കാക്കുന്നു, ലഭിച്ച മൂല്യം x n ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x n-1 കണ്ടെത്തുന്നു, അങ്ങനെ ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് x 1 കണ്ടെത്തുന്നു. സമവാക്യം.

ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ അൽഗോരിതം വിശകലനം ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം.

ഗാസിയൻ രീതി.

തീരുമാനം.

കോഫിഫിഷ്യന്റ് a 11 പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള ഗതിയിലേക്ക് പോകാം, അതായത്, ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഇല്ലാതാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങളിൽ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കുക, യഥാക്രമം , കൊണ്ട് ഗുണിച്ച്, ഒപ്പം :

അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഇല്ലാതാക്കി, നമുക്ക് ഒഴിവാക്കലിലേക്ക് പോകാം x 2 . സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ ഒപ്പം :

ഗാസ് രീതിയുടെ ഫോർവേഡ് കോഴ്സ് പൂർത്തിയാക്കാൻ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 ഒഴിവാക്കേണ്ടതുണ്ട്. നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങളിലേക്ക് യഥാക്രമം, ഇടത്, ഇടത് എന്നിവ ചേർക്കാം വലത് വശംമൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം ഗുണിച്ചാൽ :

നിങ്ങൾക്ക് ഗാസ് രീതിയുടെ വിപരീത കോഴ്സ് ആരംഭിക്കാം.

നമുക്കുള്ള അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ,
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്,
രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന്
ആദ്യം മുതൽ.

പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡന്റിറ്റികളായി മാറുന്നു, അതിനർത്ഥം ഗാസ് രീതിയുടെ പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

ഉത്തരം:

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അതേ ഉദാഹരണത്തിന്റെ പരിഹാരം ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ നൽകും.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക ഗാസിയൻ രീതി.

തീരുമാനം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് . ഓരോ നിരയ്ക്കും മുകളിൽ, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അത് മാട്രിക്സിന്റെ ഘടകങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഇവിടെ ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള ഗതി, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഒരു ട്രപസോയ്ഡൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ ചെയ്ത അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതിന് സമാനമാണ് ഈ പ്രക്രിയ. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത് ബോധ്യപ്പെടും.

നമുക്ക് മാട്രിക്സ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അങ്ങനെ ആദ്യ നിരയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് പൂജ്യമാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്, ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക കൂടാതെ യഥാക്രമം:

അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ, മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാകും. ഇത് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 2 ഒഴികെയുള്ളതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക, ഗുണിച്ചാൽ ഒപ്പം :

സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ അവസാന വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്, അവസാന വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ :

ഈ മാട്രിക്സ് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്

നേരിട്ടുള്ള നീക്കത്തിന് ശേഷം നേരത്തെ ലഭിച്ചതാണ്.

പിന്നോട്ട് തിരിയാൻ സമയമായി. നൊട്ടേഷന്റെ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ, ഗാസ് രീതിയുടെ വിപരീത ഗതിയിൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം ഉൾപ്പെടുന്നു, അങ്ങനെ മാട്രിക്സ് ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

വികർണ്ണമായി, അതായത് രൂപം സ്വീകരിച്ചു

ചില സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്.

ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഗൗസ് രീതിക്ക് സമാനമാണ്, എന്നാൽ ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് അവസാനത്തേയ്ക്കല്ല, അവസാനത്തേത് മുതൽ ആദ്യത്തേത് വരെ.

മൂന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ആദ്യത്തെയും വരികളിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് അവസാന വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക , പിന്നെയും പിന്നെയും യഥാക്രമം:

ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെയും ആദ്യ വരികളിലെയും ഘടകങ്ങളിലേക്ക് യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കാം:

ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീത ചലനത്തിന്റെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ, ഗുണിച്ചാൽ, ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു , അതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഉത്തരം:

കുറിപ്പ്.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കണം, കാരണം ഇത് തികച്ചും തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ദശാംശങ്ങൾ റൗണ്ട് ചെയ്യരുതെന്ന് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നല്ലത് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾപോകുക സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

ഉദാഹരണം.

ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക .

തീരുമാനം.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത പദവിയുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക (x 1, x 2, x 3 അല്ല, x, y, z ). നമുക്ക് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് പോകാം:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ x ഒഴിവാക്കുക:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ അജ്ഞാതമായ y ഒന്നുമില്ല, കൂടാതെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ y ഉണ്ട്, അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുന്നു:

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള ഗതി അവസാനിച്ചു (ഈ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ, മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ y ഒഴിവാക്കേണ്ടതില്ല).

നമുക്ക് തിരിച്ചു പോകാം.

അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ,
അവസാനഘട്ടത്തിൽ നിന്ന്


നമുക്കുള്ള ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്

ഉത്തരം:

X=10, y=5, z=-20.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം, അതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഡീജനറേറ്റ് ആണ്, ഗോസ് രീതി.

പ്രധാന മാട്രിക്സ് ചതുരാകൃതിയിലോ ചതുരാകൃതിയിലോ ഉള്ള സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾക്ക് പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലായിരിക്കാം, ഒരൊറ്റ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ അനുയോജ്യത അല്ലെങ്കിൽ പൊരുത്തക്കേട് സ്ഥാപിക്കാൻ ഗോസ് രീതി നിങ്ങളെ എങ്ങനെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും, കൂടാതെ അതിന്റെ അനുയോജ്യതയുടെ കാര്യത്തിൽ, എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും (അല്ലെങ്കിൽ ഒരൊറ്റ പരിഹാരം) നിർണ്ണയിക്കുക.

തത്വത്തിൽ, അത്തരം SLAE-കളുടെ കാര്യത്തിൽ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയ അതേപടി തുടരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഉണ്ടാകാനിടയുള്ള ചില സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിശദമായി ചിന്തിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

നമുക്ക് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം.

അതിനാൽ, ഗോസ് രീതിയുടെ ഫോർവേഡ് റൺ പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം രൂപം പ്രാപിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. കൂടാതെ സമവാക്യങ്ങളൊന്നും കുറച്ചില്ല (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യും). ഒരു യുക്തിസഹമായ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: "അടുത്തതായി എന്തുചെയ്യണം"?

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുടെയും ആദ്യ സ്ഥാനത്തുള്ള അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇവ x 1, x 4, x 5 എന്നിവയാണ്. സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് ഭാഗങ്ങളിൽ, അജ്ഞാതമായ x 1, x 4, x 5 എന്നീ വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രം ഞങ്ങൾ അവശേഷിക്കുന്നു, ശേഷിക്കുന്ന പദങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ മാറ്റുന്നു:

സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തുള്ള അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകാം. - അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ:

അതിനുശേഷം, ഞങ്ങളുടെ SLAE യുടെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുടെയും ശരിയായ ഭാഗങ്ങളിൽ അക്കങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, നമുക്ക് ഗാസ് രീതിയുടെ വിപരീത ഗതിയിലേക്ക് പോകാം.

നമുക്കുള്ള സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്ന അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം

നമ്പറുകൾ നൽകുന്നു വിവിധ അർത്ഥങ്ങൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും വിവിധ പരിഹാരങ്ങൾസമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. അതായത്, നമ്മുടെ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

എവിടെ - അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ.

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും.

ഉദാഹരണം.

തീരുമാനിക്കുക ഏകതാനമായ സംവിധാനംരേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ ഗാസിയൻ രീതി.

തീരുമാനം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x ഒഴിവാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, യഥാക്രമം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങളിലേക്ക് ചേർക്കുക, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ, ഗുണിച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ - ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യം, ഗുണിച്ചാൽ:

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ y ഒഴിവാക്കുന്നു:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന SLAE സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ് .

സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x, y എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ മാത്രം ഞങ്ങൾ വിടുന്നു, കൂടാതെ z എന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുള്ള നിബന്ധനകൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു:

രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ, അത് പരിഹരിക്കപ്പെടണം (സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തെയും ഒരു സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്ന അജ്ഞാതമായ hi യുടെ അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക).

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഇവ ചെയ്യാമെന്ന് നമുക്കറിയാം:

1) പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല (ആവുക പൊരുത്തമില്ലാത്ത).
2) അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.
3) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കുക.

ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളതോ പൊരുത്തമില്ലാത്തതോ ആയ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ക്രാമറിന്റെ നിയമവും മാട്രിക്സ് രീതിയും അനുയോജ്യമല്ല. ഗാസ് രീതി – രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏത് സിസ്റ്റത്തിനും പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ശക്തവും ബഹുമുഖവുമായ ഉപകരണം, ഏത് എല്ലാ സാഹചര്യത്തിലുംഉത്തരത്തിലേക്ക് ഞങ്ങളെ നയിക്കുക! മൂന്ന് കേസുകളിലും രീതിയുടെ അൽഗോരിതം ഒരേ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ക്രാമർ, മാട്രിക്സ് രീതികൾക്ക് ഡിറ്റർമിനന്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഗൗസ് രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിന് ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്, ഇത് പ്രൈമറി സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും ഇത് ആക്സസ് ചെയ്യാൻ കഴിയും.

വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് പരിവർത്തനങ്ങൾ ( ഇതാണ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് - അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ്, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു കോളം)ഗാസ് രീതിയിലുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ:

1) കൂടെ ട്രോക്കിമെട്രിക്സ് കഴിയും പുനഃക്രമീകരിക്കുകസ്ഥലങ്ങൾ.

2) മാട്രിക്സിന് ആനുപാതികമായി (അല്ലെങ്കിൽ) ഉണ്ടെങ്കിൽ (അതുപോലെ പ്രത്യേക കേസ്സമാനമാണ്) സ്ട്രിംഗുകൾ, തുടർന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു ഇല്ലാതാക്കുകമാട്രിക്സിൽ നിന്ന്, ഒന്നൊഴികെ ഈ എല്ലാ വരികളും.

3) പരിവർത്തന സമയത്ത് മാട്രിക്സിൽ ഒരു പൂജ്യം വരി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടെങ്കിൽ, അതും പിന്തുടരുന്നു ഇല്ലാതാക്കുക.

4) മാട്രിക്സ് കാൻ വരി ഗുണിക്കുക (വിഭജിക്കുക)പൂജ്യം ഒഴികെ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യകളിലേക്ക്.

5) മാട്രിക്സിന്റെ വരിയിലേക്ക്, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മറ്റൊരു സ്ട്രിംഗ് ചേർക്കുക, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഗാസ് രീതിയിൽ, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെ മാറ്റില്ല.

ഗാസ് രീതി രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. "ഡയറക്ട് മൂവ്" - പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഒരു "ത്രികോണ" സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക: പ്രധാന ഡയഗണലിന് താഴെയുള്ള വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് നീക്കുക ). ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത്തരത്തിലുള്ളത്:

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യുക:

1) ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ x 1 ലെ ഗുണകം K ന് തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത്, മുതലായവ. ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങൾ ഓരോ സമവാക്യത്തെയും (അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ, സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ) അജ്ഞാതമായ x 1 എന്നതിന്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അത് ഓരോ സമവാക്യത്തിലും ഉള്ളത്, K കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. അതിനുശേഷം, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുക ( അജ്ഞാതർക്കും സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾക്കുമുള്ള ഗുണകങ്ങൾ). രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ x 1-ൽ നമുക്ക് ഗുണകം 0 ലഭിക്കും. മൂന്നാമത്തേത് രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ആദ്യത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നു, അതിനാൽ ആദ്യത്തേത് ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾക്കും, അജ്ഞാതമായ x 1 ഉള്ളത് വരെ, ഒരു ഗുണകം 0 ഉണ്ടാകില്ല.

2) അടുത്ത സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുക. ഇത് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യമായിരിക്കട്ടെ, x 2-ലെ ഗുണകം M-ന് തുല്യമാണ്. എല്ലാ "സബോർഡിനേറ്റ്" സമവാക്യങ്ങളുമായും ഞങ്ങൾ മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ തുടരുന്നു. അങ്ങനെ, എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും അജ്ഞാതമായ x 2 "കീഴിൽ" പൂജ്യങ്ങളായിരിക്കും.

3) അവസാനത്തെ അജ്ഞാതവും രൂപാന്തരപ്പെട്ടതുമായ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദം ശേഷിക്കുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ അടുത്ത സമവാക്യത്തിലേക്കും മറ്റും കടന്നുപോകുന്നു.

1. « വിപരീതം»ഗാസ് രീതി - ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നേടുന്നു ("താഴെ നിന്ന് മുകളിലേയ്ക്ക്" പോകുന്നു). അവസാനത്തെ "താഴ്ന്ന" സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു ആദ്യ പരിഹാരം ലഭിക്കും - അജ്ഞാതമായ x n. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ A * x n \u003d B എന്ന പ്രാഥമിക സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, x 3 \u003d 4. "അപ്പർ" അടുത്ത സമവാക്യത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും അടുത്ത അജ്ഞാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അത് പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 - 4 \u003d 1, അതായത്. x 2 \u003d 5. അജ്ഞാതമായ എല്ലാ കാര്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നത് വരെ.

ഉദാഹരണം.

ചില രചയിതാക്കൾ ഉപദേശിക്കുന്നതുപോലെ, ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതുകയും പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ മുകളിൽ ഇടത് "പടി" നോക്കുന്നു. അവിടെ നമുക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കണം. ആദ്യത്തെ കോളത്തിൽ ആരും ഇല്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം, അതിനാൽ വരികൾ പുനഃക്രമീകരിച്ച് ഒന്നും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, യൂണിറ്റ് ഒരു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് സംഘടിപ്പിക്കണം. ഇത് സാധാരണയായി പല തരത്തിൽ ചെയ്യാം. നമുക്ക് ഇത് ഇതുപോലെ ചെയ്യാം:
1 ഘട്ടം . ആദ്യ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുന്നു, അത് -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അതായത്, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയെ മാനസികമായി -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്തു, രണ്ടാമത്തെ വരി മാറിയില്ല.

ഇപ്പോൾ മുകളിൽ ഇടതുവശത്ത് "മൈനസ് ഒന്ന്", അത് ഞങ്ങൾക്ക് തികച്ചും അനുയോജ്യമാണ്. +1 നേടാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് ഒരു അധിക പ്രവർത്തനം നടത്താൻ കഴിയും: ആദ്യ വരിയെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (അതിന്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുക).

2 ഘട്ടം . 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു.ആദ്യത്തെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു.

3 ഘട്ടം . ആദ്യ വരി -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, തത്വത്തിൽ, ഇത് സൗന്ദര്യത്തിനാണ്. മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളവും മാറ്റി രണ്ടാം സ്ഥാനത്തേക്ക് മാറ്റി, അങ്ങനെ, രണ്ടാമത്തെ “ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള യൂണിറ്റ് ഉണ്ടായിരുന്നു.

4 ഘട്ടം . മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക്, രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുക, 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

5 ഘട്ടം . മൂന്നാമത്തെ വരി 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ പിശക് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു അടയാളം (പലപ്പോഴും ഒരു അക്ഷരത്തെറ്റ്) ഒരു "മോശം" അടിവരയാണ്. അതായത്, നമുക്ക് താഴെ (0 0 11 |23) പോലെ എന്തെങ്കിലും ലഭിച്ചാൽ, അതനുസരിച്ച്, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, തുടർന്ന് വലിയ പങ്ക്സംഭാവ്യത, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഗതിയിൽ ഒരു പിശക് സംഭവിച്ചതായി വാദിക്കാം.

ഞങ്ങൾ ഒരു റിവേഴ്സ് നീക്കം നടത്തുന്നു, ഉദാഹരണങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ, സിസ്റ്റം തന്നെ പലപ്പോഴും മാറ്റിയെഴുതില്ല, കൂടാതെ സമവാക്യങ്ങൾ "നൽകിയ മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് എടുത്തതാണ്". റിവേഴ്സ് നീക്കം, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, "താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്" പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, സമ്മാനം മാറി:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, അതിനാൽ x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

ഉത്തരം:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

നിർദ്ദിഷ്ട അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് അതേ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 5 കൊണ്ടും മൂന്നാമത്തേത് 3 കൊണ്ടും ഹരിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 0.64 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 0.4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക, നമുക്ക് "സ്റ്റെപ്പ്ഡ്" ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

അങ്ങനെ, കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയയിൽ ഒരു പിശക് അടിഞ്ഞുകൂടിയതിനാൽ, നമുക്ക് x 3 \u003d 0.96 അല്ലെങ്കിൽ ഏകദേശം 1 ലഭിക്കും.

x 2 \u003d 3, x 1 \u003d -1.

ഈ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾ ഒരിക്കലും കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകില്ല, കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടൽ പിശകുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും നിങ്ങൾക്ക് ഫലം ലഭിക്കും.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി പ്രോഗ്രാം ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്, അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾഅജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ, കാരണം പ്രായോഗികമായി (സാമ്പത്തികവും സാങ്കേതികവുമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ) ഒരാൾക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളല്ലാത്ത ഗുണകങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങള്ക്ക് ഭാഗ്യം നേരുന്നു! ക്ലാസ്സിൽ കാണാം! ട്യൂട്ടർ.

blog.site, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തിയാൽ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

1. ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം

1.1 ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആശയം

നിരവധി വേരിയബിളുകളിൽ ഒരേസമയം നിരവധി സമവാക്യങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്ന ഒരു വ്യവസ്ഥയാണ് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം. m സമവാക്യങ്ങളും n അജ്ഞാതങ്ങളും അടങ്ങുന്ന രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം (ഇനി SLAE എന്ന് വിളിക്കുന്നു) രൂപത്തിന്റെ ഒരു സംവിധാനമാണ്:

ഇവിടെ a ij സംഖ്യകളെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, b i സംഖ്യകൾ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളാണ്, AIJഒപ്പം ബി ഐ(i=1,..., m; b=1,..., n) അറിയപ്പെടുന്ന ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ x 1 ,…, x n- അജ്ഞാതം. ഗുണകങ്ങളുടെ നൊട്ടേഷനിൽ AIJആദ്യത്തെ സൂചിക i സമവാക്യത്തിന്റെ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തെ സൂചിക j എന്നത് ഈ ഗുണകം നിൽക്കുന്ന അജ്ഞാത സംഖ്യയാണ്. x n എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിന് വിധേയമാണ്. അത്തരമൊരു സിസ്റ്റം കോം‌പാക്റ്റ് മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്: AX=B.ഇവിടെ A എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് ആണ്, പ്രധാന മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു;

അജ്ഞാത xj ന്റെ കോളം വെക്‌ടറാണ്.
സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ ഒരു നിര വെക്റ്റർ bi.

മാട്രിക്സ് X (n കഷണങ്ങൾ) ലെ വരികൾ പോലെ മാട്രിക്സ് A യിൽ നിരവധി നിരകൾ ഉള്ളതിനാൽ, A * X എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഉൽപ്പന്നം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് A ആണ്, സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ ഒരു കോളം അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു

1.2 ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ക്രമപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് (വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ), വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം അവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും യഥാർത്ഥ തുല്യതയായി മാറുന്നു.

അജ്ഞാതമായ x1=c1, x2=c2,..., xn=cn എന്നിവയുടെ n മൂല്യങ്ങളാണ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം, സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും യഥാർത്ഥ തുല്യതകളാക്കി മാറ്റുന്നു. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏത് പരിഹാരവും ഒരു മാട്രിക്സ് കോളമായി എഴുതാം

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ സ്ഥിരതയെന്നും പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ പൊരുത്തക്കേടെന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ജോയിന്റ് സിസ്റ്റത്തിന് അദ്വിതീയമായ പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ ഡിഫനിറ്റ് എന്നും ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ അനിശ്ചിതത്വം എന്നും വിളിക്കുന്നു. പിന്നീടുള്ള സാഹചര്യത്തിൽ, അതിന്റെ ഓരോ പരിഹാരങ്ങളെയും സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഗണത്തെ പൊതുവായ പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അത് സ്ഥിരതയുള്ളതാണോ അതോ പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. സിസ്റ്റം അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

ഒരേ പൊതുവായ പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ രണ്ട് സിസ്റ്റങ്ങളെ തുല്യ (തത്തുല്യം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവയിലൊന്നിന്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും മറ്റൊന്നിനുള്ള പരിഹാരമാണെങ്കിൽ സിസ്റ്റങ്ങൾ തുല്യമാണ്, തിരിച്ചും.

ഒരു പരിവർത്തനം, അതിന്റെ പ്രയോഗം സിസ്റ്റത്തെ മാറ്റുന്നു പുതിയ സംവിധാനം, യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായതിനെ തത്തുല്യമായ അല്ലെങ്കിൽ തത്തുല്യമായ പരിവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളായി വർത്തിക്കാൻ കഴിയും: സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുടെയും ഗുണകങ്ങൾക്കൊപ്പം മാറ്റുക, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

എല്ലാ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തെ ഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

x1=x2=x3=…=xn=0 എന്നത് സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമായതിനാൽ ഒരു ഏകീകൃത സിസ്റ്റം എപ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്. ഈ പരിഹാരത്തെ ശൂന്യമോ നിസ്സാരമോ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2. ഗൗസിയൻ എലിമിനേഷൻ രീതി

2.1 ഗാസിയൻ എലിമിനേഷൻ രീതിയുടെ സാരാംശം

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ക്ലാസിക്കൽ രീതി അജ്ഞാതങ്ങളെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതിയാണ് - ഗാസ് രീതി(ഇതിനെ ഗാസിയൻ എലിമിനേഷൻ രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു). പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഒരു സ്റ്റെപ്പ് (അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണ) രൂപത്തിന്റെ തുല്യമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുമ്പോൾ, വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണിത്. അവസാന (സംഖ്യ പ്രകാരം) വേരിയബിളുകൾ.

ഗൗസിയൻ പരിഹാര പ്രക്രിയ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും നീക്കങ്ങൾ.

1. നേരിട്ടുള്ള നീക്കം.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, നേരിട്ടുള്ള നീക്കം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ നടപ്പിലാക്കുന്നു, വരികൾക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ വഴി, സിസ്റ്റം ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായോ അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണാകൃതി, അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കുക. അതായത്, മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയിലെ ഘടകങ്ങളിൽ, പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്തു, അത് വരികൾ ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട് ഏറ്റവും മുകളിലത്തെ സ്ഥാനത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, കൂടാതെ ക്രമാനുഗതമായ ശേഷം ലഭിക്കുന്ന ആദ്യ വരി ശേഷിക്കുന്ന വരികളിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും അതിനെ ഒരു കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ വരികളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും ആദ്യ ഘടകത്തിന്റെയും ആദ്യ വരിയിലെ ആദ്യ ഘടകത്തിന്റെയും അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ മൂല്യം, അങ്ങനെ അതിന് താഴെയുള്ള കോളം പൂജ്യമാക്കുന്നു.

സൂചിപ്പിച്ച പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ആദ്യ വരിയും ആദ്യ നിരയും മാനസികമായി ക്രോസ് ചെയ്ത് പൂജ്യം വലിപ്പമുള്ള മാട്രിക്സ് നിലനിൽക്കുന്നതുവരെ തുടരും. ആദ്യ നിരയിലെ ഘടകങ്ങളിൽ ചില ആവർത്തനങ്ങളിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒന്ന് കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, അടുത്ത നിരയിലേക്ക് പോയി സമാനമായ പ്രവർത്തനം നടത്തുക.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ (ഫോർവേഡ് റൺ), സിസ്റ്റം ഒരു സ്റ്റെപ്പ് (പ്രത്യേകിച്ച്, ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള) രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ചുവടെയുള്ള സിസ്റ്റം ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ളതാണ്:

,

ഗുണകങ്ങൾ aii സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന (മുൻനിര) ഘടകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

(a11=0 ആണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ വരികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുക എ 11 0 ന് തുല്യമായിരുന്നില്ല. ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം മാട്രിക്സിൽ ഒരു പൂജ്യം കോളം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്).

ആദ്യത്തേത് ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും അജ്ഞാതമായ x1 ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തെ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു (സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക

കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിനൊപ്പം ടേം ബൈ ടേം ചേർക്കുക (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ടേം കൊണ്ട് ടേം കുറയ്ക്കുന്നു ആദ്യം ഗുണിച്ചാൽ ). തുടർന്ന് നമ്മൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ഗുണിച്ച് സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യത്തേത് ടേം പ്രകാരം മൂന്നാമത്തെ പദത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ കുറയ്ക്കുക). അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി ആദ്യ വരിയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു ഐ-ആം വരി, വേണ്ടി i= 2, 3, …,എൻ.

ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

- സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസാന m-1 സമവാക്യങ്ങളിലെ അജ്ഞാതർക്കും സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾക്കുമുള്ള ഗുണകങ്ങളുടെ പുതിയ മൂല്യങ്ങൾ, അവ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

അങ്ങനെ, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ആദ്യ ലീഡിംഗ് മൂലകം a 11 ന് കീഴിലുള്ള എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും നശിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു

0, രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം, രണ്ടാമത്തെ ലീഡിംഗ് മൂലകത്തിന് കീഴിലുള്ള മൂലകങ്ങളെ നശിപ്പിക്കുന്നു a 22 (1) (ഒരു 22 (1) 0 ആണെങ്കിൽ), തുടങ്ങിയവ. ഈ പ്രക്രിയ തുടർന്നുകൊണ്ടേയിരിക്കുന്നു, അവസാനം ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തെ (m-1) ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ത്രികോണാകൃതിയിലേക്ക് ചുരുക്കും.

സിസ്റ്റത്തെ ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, പൂജ്യം സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്. 0=0 ഫോമിന്റെ തുല്യത, അവ നിരസിക്കപ്പെട്ടു. ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ

ഇത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പൊരുത്തക്കേടിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇത് ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള കോഴ്സ് പൂർത്തിയാക്കുന്നു.

2. റിവേഴ്സ് മൂവ്.

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, റിവേഴ്സ് മൂവ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ നടത്തപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ സാരാംശം അടിസ്ഥാനപരമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളും അടിസ്ഥാനമല്ലാത്തവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു അടിസ്ഥാന സംവിധാനം നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക, അല്ലെങ്കിൽ, എല്ലാ വേരിയബിളുകളും അടിസ്ഥാനമാണെങ്കിൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏക പരിഹാരം സംഖ്യാപരമായി പ്രകടിപ്പിക്കുക.

ഈ നടപടിക്രമം അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (അതിൽ ഒന്ന് മാത്രം) മുമ്പത്തെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ "പടികൾ" മുകളിലേക്ക് പോകുന്നു.

ഓരോ വരിയും കൃത്യമായി ഒരു അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുമായി യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, അവസാനത്തേത് (മുകളിൽ) ഒഴികെ, സാഹചര്യം അവസാന വരിയുടെ കാര്യം കൃത്യമായി ആവർത്തിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധിക്കുക: പ്രായോഗികമായി, സിസ്റ്റത്തിലല്ല, മറിച്ച് അതിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിന്റെ വരികളിൽ എല്ലാ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളും നടത്തുന്നു. ഗുണകം a11 1 ന് തുല്യമായിരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് (സമവാക്യങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും a11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക).

2.2 ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് SLAE പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, SLAE പരിഹരിക്കാൻ ഗാസിയൻ രീതി എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

ഉദാഹരണം 1. മൂന്നാം ഓർഡറിന്റെ SLAE പരിഹരിക്കുക.

ഗുണകങ്ങളെ പൂജ്യമായി സജ്ജമാക്കുക

രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികളിൽ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അവയെ യഥാക്രമം 2/3, 1 എന്നിവ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആദ്യ വരിയിലേക്ക് ചേർക്കുക:

16-18 നൂറ്റാണ്ടുകളുടെ തുടക്കം മുതൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് തീവ്രമായി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങി, അതിന് നന്ദി, നമ്മുടെ ജീവിതത്തിൽ വളരെയധികം മാറ്റങ്ങൾ സംഭവിച്ചു. ഈ അറിവില്ലാതെ കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യ നിലനിൽക്കില്ല. പരിഹാരങ്ങൾക്കായി വെല്ലുവിളി നിറഞ്ഞ ജോലികൾ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളും വിവിധ ആശയങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും പരിഹാര രീതികളും സൃഷ്ടിച്ചു. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളും അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാർവത്രികവും യുക്തിസഹവുമായ രീതികളിലും സാങ്കേതികതകളിലും ഒന്നാണ് ഗാസ് രീതി. മെട്രിക്സ്, അവയുടെ റാങ്ക്, ഡിറ്റർമിനന്റ് - സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ എല്ലാം കണക്കാക്കാം.

എന്താണ് SLAU

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, SLAE എന്ന ആശയം ഉണ്ട് - രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം. അവൾ എന്തിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു? സാധാരണയായി x, y, z, അല്ലെങ്കിൽ x 1, x 2... x n, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ചിഹ്നങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന, ആവശ്യമുള്ള n അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള m സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണിത്. ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അജ്ഞാതമായ എല്ലാ അജ്ഞാതരെയും കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഒരേ എണ്ണം അജ്ഞാതങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ n-th ഓർഡർ സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

SLAE പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ രീതികൾ

എ.ടി വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾഅത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ സെക്കൻഡറി വിദ്യാഭ്യാസം പഠിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും ഇവ രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്, അതിനാൽ ഏതെങ്കിലും നിലവിലുള്ള രീതിഅവയ്ക്കുള്ള ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ അധികം സമയമെടുക്കില്ല. ഒരു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു സമവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞ് യഥാർത്ഥമായതിന് പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ ഇത് ഒരു സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി പോലെയാകാം. അല്ലെങ്കിൽ ടേം ബൈ ടേം കുറയ്ക്കലും കൂട്ടിച്ചേർക്കലും. എന്നാൽ ഗാസ് രീതി ഏറ്റവും എളുപ്പവും സാർവത്രികവുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. അജ്ഞാതരായ എത്ര വേണമെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് സാധ്യമാക്കുന്നു. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഈ സാങ്കേതികവിദ്യ യുക്തിസഹമായി കണക്കാക്കുന്നത്? എല്ലാം ലളിതമാണ്. മാട്രിക്സ് രീതി നല്ലതാണ്, കാരണം അനാവശ്യമായ പ്രതീകങ്ങൾ അജ്ഞാത രൂപത്തിൽ തിരുത്തിയെഴുതാൻ നിരവധി തവണ ആവശ്യമില്ല, ഗുണകങ്ങളിൽ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയാൽ മതി - നിങ്ങൾക്ക് വിശ്വസനീയമായ ഫലം ലഭിക്കും.

എവിടെയാണ് SLAEകൾ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലെ വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റുകളാണ് SLAE യുടെ പരിഹാരം. ഞങ്ങളുടെ ഹൈടെക് കമ്പ്യൂട്ടർ യുഗത്തിൽ, ഗെയിമുകളുടെയും മറ്റ് പ്രോഗ്രാമുകളുടെയും വികസനത്തിൽ അടുത്ത് ഏർപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ആളുകൾക്ക് അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും അവ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതെന്താണെന്നും ഫലത്തിന്റെ കൃത്യത എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാമെന്നും അറിയേണ്ടതുണ്ട്. മിക്കപ്പോഴും, പ്രോഗ്രാമർമാർ പ്രത്യേക ലീനിയർ ബീജഗണിത കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു, ഇതിൽ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉൾപ്പെടുന്നു. നിലവിലുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണക്കാക്കാൻ ഗൗസ് രീതി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. മറ്റ് ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളും സാങ്കേതികതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

SLAE അനുയോജ്യത മാനദണ്ഡം

അത്തരമൊരു സംവിധാനം അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ പരിഹരിക്കാനാകൂ. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ Ax=b എന്ന രൂപത്തിൽ SLAE അവതരിപ്പിക്കുന്നു. rang(A) rang(A,b) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അതിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, (A,b) എന്നത് ഒരു വിപുലീകൃത ഫോം മാട്രിക്സ് ആണ്, അത് സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിയെഴുതി മാട്രിക്സ് എയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും. ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

ഒരുപക്ഷേ ചില നൊട്ടേഷൻ പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമല്ല, അതിനാൽ എല്ലാം ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം: x+y=1; 2x-3y=6. 2 അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഇതിൽ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ. അതിന്റെ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടാകൂ. ഒരു റാങ്ക് എന്താണ്? സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെ എണ്ണമാണിത്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 2 ആണ്. മാട്രിക്സ് എയിൽ അജ്ഞാതർക്ക് സമീപം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, കൂടാതെ “=” ചിഹ്നത്തിന് പിന്നിലുള്ള ഗുണകങ്ങളും വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സുമായി യോജിക്കും.

എന്തുകൊണ്ട് SLAE മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

തെളിയിക്കപ്പെട്ട ക്രോണെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് അനുയോജ്യത മാനദണ്ഡത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഗൗസിയൻ കാസ്കേഡ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് മാട്രിക്സ് പരിഹരിക്കാനും മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തിനും ഏക വിശ്വസനീയമായ ഉത്തരം നേടാനും കഴിയും. ഒരു സാധാരണ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് അതിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണെങ്കിലും അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്.

മാട്രിക്സ് പരിവർത്തനങ്ങൾ

മെട്രിക്സുകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, അവയുടെ ഘടകങ്ങളിൽ എന്ത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താമെന്ന് അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിരവധി പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുണ്ട്:

• സിസ്റ്റത്തെ ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റിയെഴുതുകയും അതിന്റെ പരിഹാരം നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, പരമ്പരയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളെയും ഒരേ ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ കഴിയും.
• ഒരു മാട്രിക്സ് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനായി, രണ്ട് സമാന്തര വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാം. പ്രധാന ഡയഗണലിനൊപ്പം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒന്നായി മാറുകയും ശേഷിക്കുന്നവ പൂജ്യങ്ങളായി മാറുകയും ചെയ്യുന്നുവെന്ന് കാനോനിക്കൽ ഫോം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
• മാട്രിക്സിന്റെ സമാന്തര വരികളുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊന്നിലേക്ക് ചേർക്കാം.

ജോർദാൻ-ഗൗസ് രീതി

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ്, ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്റെ സാരാംശം അജ്ഞാതങ്ങളെ ക്രമേണ ഇല്ലാതാക്കുക എന്നതാണ്. നമുക്ക് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അനുയോജ്യതയ്ക്കായി സിസ്റ്റം പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഗാസിയൻ സമവാക്യം വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. അജ്ഞാതമായ ഓരോന്നിനും സമീപം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഗുണകങ്ങൾ ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സ് എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം കുറവാണെങ്കിൽ, കാണാതായ മൂലകത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത് "0" നൽകണം. അറിയപ്പെടുന്ന എല്ലാ പരിവർത്തന രീതികളും മെട്രിക്സിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഗുണനം, ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ, വരികളുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ പരസ്പരം ചേർക്കൽ, മറ്റുള്ളവ. ഓരോ വരിയിലും "1" മൂല്യമുള്ള ഒരു വേരിയബിൾ ഉപേക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ പൂജ്യമായി കുറയ്ക്കണം. കൂടുതൽ കൃത്യമായ ധാരണയ്ക്കായി, ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം ഗാസ് രീതി പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

2x2 സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ലളിതമായ സംവിധാനം എടുക്കാം, അതിൽ 2 അജ്ഞാതങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

നമുക്ക് അത് ഒരു ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സിൽ മാറ്റിയെഴുതാം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ. പ്രധാന ഡയഗണലിനൊപ്പം യൂണിറ്റുകൾ ഉണ്ടാകുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, മാട്രിക്സ് ഫോമിൽ നിന്ന് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു: 1x+0y=b1, 0x+1y=b2, ഇവിടെ ബി1, ബി2 എന്നിവ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങളാണ്.

1. വർദ്ധിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യ ഘട്ടം ഇപ്രകാരമായിരിക്കും: രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ അജ്ഞാതമായ ഒന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിന്, ആദ്യ വരി -7 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് യഥാക്രമം ചേർക്കുകയും വേണം.
2. ഗാസ് രീതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് മാട്രിക്സ് കൊണ്ടുവരുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ, ആദ്യ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അതേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുകയും രണ്ടാമത്തെ വേരിയബിൾ നീക്കം ചെയ്യുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ വരി കുറയ്ക്കുകയും ആവശ്യമായ ഉത്തരം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു - SLAE യുടെ പരിഹാരം. അല്ലെങ്കിൽ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയെ -1 എന്ന ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ ഘടകങ്ങൾ ആദ്യ വരിയിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇതുതന്നെയാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ജോർദാൻ-ഗാസ് രീതിയിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ആവശ്യമായ ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ അത് വീണ്ടും എഴുതുന്നു: x=-5, y=7.

SLAE 3x3 പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

നമുക്ക് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഏറ്റവും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്ന സംവിധാനത്തിന് പോലും ഉത്തരം കണക്കുകൂട്ടാൻ ഗാസ് രീതി സാധ്യമാക്കുന്നു. അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ രീതിശാസ്ത്രത്തിലേക്ക് കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ പരിശോധിക്കുന്നതിന്, മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തെ ഒരു വിപുലീകരിച്ച മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുകയും അത് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ തുടങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തേക്കാൾ കൂടുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

1. ആദ്യം നിങ്ങൾ ആദ്യ നിരയിൽ ഒരു ഒറ്റ മൂലകവും ബാക്കി പൂജ്യങ്ങളും ഉണ്ടാക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അതിൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ചേർക്കുക. ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി അതിന്റെ യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നുവെന്നത് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് - ഇതിനകം പരിഷ്കരിച്ച രൂപത്തിൽ.
2. അടുത്തതായി, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അതേ അജ്ഞാതനെ നീക്കം ചെയ്യുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയുടെ ഘടകങ്ങളെ -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവയെ മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ അവയുടെ യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് - ഇതിനകം മാറ്റങ്ങളോടെ. ഫലത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മാട്രിക്സിന്റെ പ്രധാന ഡയഗണലിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ആദ്യത്തേത് ലഭിച്ചു, ബാക്കിയുള്ളവ പൂജ്യങ്ങളാണ്. കുറച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ കൂടി, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം വിശ്വസനീയമായി പരിഹരിക്കപ്പെടും.
3. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ വരികളുടെ മറ്റ് ഘടകങ്ങളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഘട്ടങ്ങൾ ഒന്നായി കൂട്ടിച്ചേർക്കാം. ഡയഗണലിലെ നെഗറ്റീവ് ഒഴിവാക്കുന്നതിന് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ -1 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആവശ്യമായ ഫോമിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മൂന്നാമത്തെ വരി കൊണ്ടുവന്നു.
4. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരി കാനോനികലൈസ് ചെയ്യുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ മൂലകങ്ങളെ -3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അവയെ മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. രണ്ടാമത്തെ വരിയും നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയതായി ഫലത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. കുറച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ കൂടി ചെയ്യാനും ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യാനും ഇത് ശേഷിക്കുന്നു.
5. വരിയുടെ രണ്ടാമത്തെ ഘടകത്തിൽ നിന്ന് 0 ആക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയെ -3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആദ്യ വരിയിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.
6. അടുത്ത നിർണായക ഘട്ടം, രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ ആവശ്യമായ ഘടകങ്ങൾ ആദ്യ വരിയിലേക്ക് ചേർക്കുക എന്നതാണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് മാട്രിക്സിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപവും അതിനനുസരിച്ച് ഉത്തരവും ലഭിക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ 4x4 സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാമുകൾ. നിലവിലുള്ള ശൂന്യമായ സെല്ലുകളിലേക്ക് അജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ ഡ്രൈവ് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ ഓരോ പ്രവർത്തനവും വിശദമായി വിവരിച്ച് പ്രോഗ്രാം ആവശ്യമായ ഫലം ഘട്ടം ഘട്ടമായി കണക്കാക്കും.

താഴെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള നിർദ്ദേശംഈ ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, അജ്ഞാതർക്കുള്ള സ്വതന്ത്ര ഗുണകങ്ങളും നമ്പറുകളും ശൂന്യമായ സെല്ലുകളിൽ നൽകുന്നു. അങ്ങനെ, നമ്മൾ കൈകൊണ്ട് എഴുതുന്ന അതേ ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സ് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ആവശ്യമായ എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും നടത്തുന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഉത്തരം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂർണ്ണസംഖ്യകളല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കണം. ചിലപ്പോൾ പരിഹാരം ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ നിന്നായിരിക്കാം.

പരിഹാരത്തിന്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നു

ഫലത്തിന്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നതിന് ജോർദാൻ-ഗൗസ് രീതി നൽകുന്നു. ഗുണകങ്ങൾ ശരിയായി കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫലം സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇടതു വശംസമവാക്യങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടണം വലത് വശം, "തുല്യ" ചിഹ്നത്തിന് ശേഷം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഉത്തരങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സിസ്റ്റം വീണ്ടും കണക്കാക്കണം അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന SLAE പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രീതി പ്രയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് പകരം വയ്ക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ ടേം-ബൈ-ടേം കുറയ്ക്കൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു വലിയ സംഖ്യയുള്ള ഒരു ശാസ്ത്രമാണ് വിവിധ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾപരിഹാരങ്ങൾ. എന്നാൽ ഓർക്കുക: നിങ്ങൾ ഏത് പരിഹാര രീതി ഉപയോഗിച്ചാലും ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമായിരിക്കണം.

ഗാസ് രീതി: SLAE പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പിശകുകൾ

തീരുമാന സമയത്ത് രേഖീയ സംവിധാനങ്ങൾസമവാക്യങ്ങൾ, മാട്രിക്സ് രൂപത്തിലേക്ക് ഗുണകങ്ങളുടെ തെറ്റായ കൈമാറ്റം പോലുള്ള പിശകുകൾ മിക്കപ്പോഴും സംഭവിക്കാറുണ്ട്. സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ ചില അജ്ഞാതർ നഷ്‌ടമായ സിസ്റ്റങ്ങളുണ്ട്, തുടർന്ന്, വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സിലേക്ക് ഡാറ്റ കൈമാറുമ്പോൾ അവ നഷ്‌ടപ്പെടാം. തൽഫലമായി, ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫലം യഥാർത്ഥവുമായി പൊരുത്തപ്പെടണമെന്നില്ല.

അന്തിമഫലം തെറ്റായി എഴുതുന്നതാണ് പ്രധാന തെറ്റുകളിലൊന്ന്. ആദ്യത്തെ ഗുണകം സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്നുള്ള ആദ്യത്തെ അജ്ഞാതവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമെന്ന് വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കണം, രണ്ടാമത്തേത് - രണ്ടാമത്തേത് മുതലായവ.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഗാസ് രീതി വിശദമായി വിവരിക്കുന്നു. ഇത് ഉണ്ടാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾശരിയായ ഫലം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക. കൂടാതെ, ഇത് സാർവത്രിക പ്രതിവിധിഏതെങ്കിലും സങ്കീർണ്ണതയുടെ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വിശ്വസനീയമായ ഉത്തരം തിരയാൻ. അതുകൊണ്ടായിരിക്കാം SLAE പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ഗാസ് രീതി എളുപ്പമാണ്!എന്തുകൊണ്ട്? പ്രശസ്ത ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോഹാൻ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസ്, തന്റെ ജീവിതകാലത്ത്, എക്കാലത്തെയും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായും, ഒരു പ്രതിഭയായും, "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ രാജാവ്" എന്ന വിളിപ്പേരുമായും അംഗീകാരം നേടി. നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്നതുപോലെ സമർത്ഥമായ എല്ലാം ലളിതമാണ്!വഴിയിൽ, സക്കറുകൾ മാത്രമല്ല, പ്രതിഭകളും പണത്തിൽ വീഴുന്നു - 10 ഡച്ച്മാർക്കുകളുടെ ബില്ലിൽ (യൂറോ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്) ഗൗസിന്റെ ഛായാചിത്രം പ്രദർശിപ്പിച്ചിരുന്നു, സാധാരണ തപാൽ സ്റ്റാമ്പുകളിൽ നിന്ന് ഗൗസ് ഇപ്പോഴും ജർമ്മനികളെ നോക്കി നിഗൂഢമായി പുഞ്ചിരിക്കുന്നു.

ഗൗസ് രീതി ലളിതമാണ്, അതിൽ വൈദഗ്ധ്യം നേടാൻ അഞ്ചാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥിയുടെ അറിവ് മതി. കൂട്ടാനും ഗുണിക്കാനും കഴിയണം!അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി പലപ്പോഴും സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര തിരഞ്ഞെടുപ്പുകളിൽ അധ്യാപകർ പരിഗണിക്കുന്നത് യാദൃശ്ചികമല്ല. ഇത് ഒരു വിരോധാഭാസമാണ്, പക്ഷേ ഗാസ് രീതി വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഏറ്റവും വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ആശ്ചര്യപ്പെടാനൊന്നുമില്ല - ഇതെല്ലാം രീതിശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചാണ്, കൂടാതെ രീതിയുടെ അൽഗോരിതത്തെക്കുറിച്ച് ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന രൂപത്തിൽ ഞാൻ പറയാൻ ശ്രമിക്കും.

ആദ്യം, ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ഞങ്ങൾ കുറച്ച് ചിട്ടപ്പെടുത്തുന്നു. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഇവ ചെയ്യാനാകും:

1) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കുക.
2) അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.
3) പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല (ആവുക പൊരുത്തമില്ലാത്ത).

പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ശക്തവും ബഹുമുഖവുമായ ഉപകരണമാണ് ഗാസ് രീതി ഏതെങ്കിലുംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. നമ്മൾ ഓർക്കുന്നത് പോലെ ക്രാമർ നിയമവും മാട്രിക്സ് രീതിയുംസിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളതോ പൊരുത്തമില്ലാത്തതോ ആയ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനുയോജ്യമല്ല. അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി എന്തായാലുംഉത്തരത്തിലേക്ക് ഞങ്ങളെ നയിക്കുക! ഈ പാഠത്തിൽ, കേസ് നമ്പർ 1 (സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരേയൊരു പരിഹാരം) എന്നതിനായുള്ള ഗാസ് രീതി ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പരിഗണിക്കും, ലേഖനം പോയിന്റ് നമ്പർ 2-3 ന്റെ സാഹചര്യങ്ങൾക്കായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. രീതി അൽഗോരിതം തന്നെ മൂന്ന് സാഹചര്യങ്ങളിലും ഒരേ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

പാഠത്തിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ലളിതമായ സംവിധാനത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?
ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അത് പരിഹരിക്കുക.

എഴുതുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് സിസ്റ്റം:
. ഏത് തത്വമനുസരിച്ചാണ് ഗുണകങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്, എല്ലാവർക്കും കാണാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. മാട്രിക്സിനുള്ളിലെ ലംബ രേഖയ്ക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥമില്ല - ഇത് ഡിസൈൻ എളുപ്പമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്ട്രൈക്ക്ത്രൂ മാത്രമാണ്.

റഫറൻസ് :ഓർമ്മിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു നിബന്ധനകൾലീനിയർ ആൾജിബ്ര. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ്അജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ മാത്രമുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ്: . വിപുലീകരിച്ച സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ്സിസ്റ്റത്തിന്റെ അതേ മാട്രിക്സും കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഒരു നിരയും ആണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: . ഏത് മെട്രിക്സിനെയും സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കാം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതിയതിനുശേഷം, അത് ഉപയോഗിച്ച് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവ എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

1) സ്ട്രിംഗുകൾമെട്രിക്സ് കഴിയും പുനഃക്രമീകരിക്കുകസ്ഥലങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഗണനയിലുള്ള മാട്രിക്സിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ സുരക്ഷിതമായി പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും:

2) മാട്രിക്സിൽ ആനുപാതികമായ (ഒരു പ്രത്യേക കേസായി - സമാനമായ) വരികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് പിന്തുടരുന്നു ഇല്ലാതാക്കുകമാട്രിക്സിൽ നിന്ന്, ഒന്നൊഴികെ ഈ എല്ലാ വരികളും. ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക . ഈ മാട്രിക്സിൽ, അവസാനത്തെ മൂന്ന് വരികൾ ആനുപാതികമാണ്, അതിനാൽ അവയിലൊന്ന് മാത്രം വിട്ടാൽ മതി: .

3) പരിവർത്തന സമയത്ത് മാട്രിക്സിൽ ഒരു പൂജ്യം വരി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടാൽ, അതും പിന്തുടരുന്നു ഇല്ലാതാക്കുക. ഞാൻ വരയ്ക്കില്ല, തീർച്ചയായും, പൂജ്യം രേഖ അതിലെ വരയാണ് പൂജ്യങ്ങൾ മാത്രം.

4) മാട്രിക്സിന്റെ വരി ആകാം ഗുണിക്കുക (വിഭജിക്കുക)ഏത് നമ്പറിനും പൂജ്യമല്ലാത്തത്. ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ ആദ്യ വരി -3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതും രണ്ടാമത്തെ വരി 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതും നല്ലതാണ്: . ഈ പ്രവർത്തനം വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, കാരണം ഇത് മാട്രിക്സിന്റെ കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു.

5) ഈ പരിവർത്തനം ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. മാട്രിക്സിന്റെ വരിയിലേക്ക്, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മറ്റൊരു സ്ട്രിംഗ് ചേർക്കുക, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഒരു പ്രായോഗിക ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക: ആദ്യം, ഞാൻ പരിവർത്തനം വളരെ വിശദമായി വിവരിക്കും. ആദ്യ വരിയെ -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: , ഒപ്പം രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യ വരി -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുന്നു: . ഇപ്പോൾ ആദ്യ വരി "പിന്നിൽ" -2 കൊണ്ട് വിഭജിക്കാം: . നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ചേർത്തിരിക്കുന്ന വരി LI – മാറിയിട്ടില്ല. എപ്പോഴുംലൈൻ മാറ്റി, അതിൽ ചേർത്തിരിക്കുന്നു യു.ടി.

പ്രായോഗികമായി, തീർച്ചയായും, അവർ അത്ര വിശദമായി വരയ്ക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ ചെറുതായി എഴുതുക:

ഒരിക്കൽ കൂടി: രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർത്തു. വരി സാധാരണയായി വാമൊഴിയായോ ഡ്രാഫ്റ്റിലോ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു, അതേസമയം കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ മാനസിക ഗതി ഇതുപോലെയാണ്:

"ഞാൻ മാട്രിക്സ് വീണ്ടും എഴുതുകയും ആദ്യ വരി വീണ്ടും എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു: »

ആദ്യ കോളം ആദ്യം. താഴെ എനിക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഞാൻ മുകളിലുള്ള യൂണിറ്റിനെ -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു: രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ആദ്യത്തേത് ചേർക്കുക: 2 + (-2) = 0. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഞാൻ ഫലം എഴുതുന്നു: »

“ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ കോളം. മുകളിൽ -1 തവണ -2: . രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞാൻ ആദ്യത്തേത് ചേർക്കുന്നു: 1 + 2 = 3. രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞാൻ ഫലം എഴുതുന്നു: »

"മൂന്നാം നിരയും. മുകളിൽ -5 തവണ -2: . രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞാൻ ആദ്യ വരി ചേർക്കുന്നു: -7 + 10 = 3. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഞാൻ ഫലം എഴുതുന്നു: »

ദയവായി ഈ ഉദാഹരണത്തെക്കുറിച്ച് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചിന്തിക്കുകയും ക്രമാനുഗതമായ കണക്കുകൂട്ടൽ അൽഗോരിതം മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യുക, നിങ്ങൾ ഇത് മനസ്സിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഗാസ് രീതി പ്രായോഗികമായി "നിങ്ങളുടെ പോക്കറ്റിൽ" ആണ്. പക്ഷേ, തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ഈ പരിവർത്തനത്തിനായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെ മാറ്റില്ല

! ശ്രദ്ധ: കൃത്രിമത്വം കണക്കാക്കുന്നു ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല, മെട്രിക്‌സുകൾ "സ്വയം" നൽകുന്ന ഒരു ടാസ്‌ക് നിങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, "ക്ലാസിക്" ഉപയോഗിച്ച് മെട്രിക്സ്ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾ മെട്രിക്സിനുള്ളിൽ എന്തെങ്കിലും പുനഃക്രമീകരിക്കരുത്!

നമുക്ക് നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. അവൾ പ്രായോഗികമായി കഷണങ്ങളായി തകർന്നിരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അത് കുറയ്ക്കാം സ്റ്റെപ്പ് വ്യൂ:

(1) ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു. വീണ്ടും: എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ ആദ്യ വരി -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത്? ചുവടെ പൂജ്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, അതായത് രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ ഒരു വേരിയബിൾ ഒഴിവാക്കുക.

(2) രണ്ടാമത്തെ വരിയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദ്ദേശ്യം – മാട്രിക്സ് സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക: . ചുമതലയുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ, അവർ നേരിട്ട് ഊന്നിപ്പറയുന്നു ഒരു ലളിതമായ പെൻസിൽ കൊണ്ട്"ഗോവണി", കൂടാതെ "പടികളിൽ" സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന അക്കങ്ങൾ സർക്കിൾ ചെയ്യുക. "സ്റ്റെപ്പ്ഡ് വ്യൂ" എന്ന പദം തന്നെ ശാസ്ത്രീയവും സൈദ്ധാന്തികവുമല്ല വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യംഅത് പലപ്പോഴും വിളിക്കപ്പെടുന്നു ട്രപസോയ്ഡൽ കാഴ്ചഅഥവാ ത്രികോണ കാഴ്ച.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിച്ചു തത്തുല്യമായസമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റം:

ഇപ്പോൾ സിസ്റ്റം എതിർ ദിശയിൽ "അൺവിസ്റ്റഡ്" ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് - താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്, ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു റിവേഴ്സ് ഗാസ് രീതി.

താഴ്ന്ന സമവാക്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം പൂർത്തിയായ ഫലം ഉണ്ട്: .

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക, അതിൽ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന "y" മൂല്യം പകരം വയ്ക്കുക:

മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ ഗാസിയൻ രീതി ആവശ്യമായി വരുമ്പോൾ ഏറ്റവും സാധാരണമായ സാഹചര്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സ് എഴുതാം:

പരിഹാരത്തിന്റെ ഗതിയിൽ ഞങ്ങൾ വരുന്ന ഫലം ഇപ്പോൾ ഞാൻ ഉടൻ വരയ്ക്കും:

ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം. നടപടിയെടുക്കാൻ എവിടെ തുടങ്ങണം?

ആദ്യം, മുകളിൽ ഇടത് നമ്പർ നോക്കുക:

മിക്കവാറും എപ്പോഴും ഇവിടെ ഉണ്ടായിരിക്കണം യൂണിറ്റ്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, -1 (ചിലപ്പോൾ മറ്റ് അക്കങ്ങളും) യോജിക്കും, എന്നാൽ എങ്ങനെയെങ്കിലും പരമ്പരാഗതമായി ഒരു യൂണിറ്റ് സാധാരണയായി അവിടെ സ്ഥാപിക്കുന്നു. ഒരു യൂണിറ്റ് എങ്ങനെ സംഘടിപ്പിക്കാം? ഞങ്ങൾ ആദ്യ നിരയിലേക്ക് നോക്കുന്നു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പൂർത്തിയായ യൂണിറ്റ് ഉണ്ട്! പരിവർത്തനം ഒന്ന്: ഒന്നും മൂന്നും വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക:

ഇപ്പോൾ ആദ്യ വരി പരിഹാരത്തിന്റെ അവസാനം വരെ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും. ഇപ്പോൾ സുഖമായി.

മുകളിൽ ഇടതുവശത്തുള്ള യൂണിറ്റ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഈ സ്ഥലങ്ങളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

"ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള" പരിവർത്തനത്തിന്റെ സഹായത്തോടെയാണ് പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നത്. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരി (2, -1, 3, 13) കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ഒന്നാം സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യം ലഭിക്കാൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? വേണം രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കുക. മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയെ -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു: (-2, -4, 2, -18). ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി (വീണ്ടും മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഡ്രാഫ്റ്റിൽ) കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നടത്തുന്നു, രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി ചേർക്കുന്നു, ഇതിനകം -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഫലം രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരി (3, 2, -5, -1) കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ആദ്യ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യം ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ് മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ആദ്യ വരി -3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. മാനസികമായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയെ -3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു: (-3, -6, 3, -27). ഒപ്പം മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി -3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു:

ഫലം മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

പ്രായോഗികമായി, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാധാരണയായി വാക്കാൽ നടത്തുകയും ഒരു ഘട്ടത്തിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

എല്ലാം ഒരേസമയം എണ്ണേണ്ടതില്ല. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ക്രമവും ഫലങ്ങളുടെ "ഉൾപ്പെടുത്തലും" സ്ഥിരതയുള്ളസാധാരണയായി ഇതുപോലെ: ആദ്യം ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി മാറ്റിയെഴുതുന്നു, നിശബ്ദമായി സ്വയം പഫ് ചെയ്യുന്നു - സ്ഥിരതയോടെ ഒപ്പം ശ്രദ്ധയോടെ:


മുകളിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ മാനസിക ഗതി ഞാൻ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയെ -5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു (എല്ലാ അക്കങ്ങളും ബാക്കിയില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ). അതേ സമയം, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയെ -2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കാരണം എന്താണ് എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവ്, വിഷയങ്ങൾ എളുപ്പമുള്ള പരിഹാരം:

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ഇവിടെ ഒരു പൂജ്യം കൂടി നേടേണ്ടതുണ്ട്:

ഇതിനായി മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുന്നു, അത് -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു:


ഈ പ്രവർത്തനം സ്വയം വിശകലനം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക - രണ്ടാമത്തെ വരിയെ മാനസികമായി -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നടത്തുക.

അവസാനം നടത്തിയ പ്രവർത്തനം ഫലത്തിന്റെ ഹെയർസ്റ്റൈലാണ്, മൂന്നാമത്തെ വരിയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യമായ പ്രാരംഭ സംവിധാനം ലഭിച്ചു:

അടിപൊളി.

ഇപ്പോൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീത ഗതി വരുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് "അഴിഞ്ഞുവീഴുന്നു".

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം പൂർത്തിയായ ഫലം ഉണ്ട്:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം നോക്കാം: . "z" എന്നതിന്റെ അർത്ഥം ഇതിനകം അറിയാം, ഇങ്ങനെ:

ഒടുവിൽ, ആദ്യ സമവാക്യം: . "Y", "Z" എന്നിവ അറിയപ്പെടുന്നു, കാര്യം ചെറുതാണ്:

ഉത്തരം:

ആവർത്തിച്ച് സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഏത് സമവാക്യ സംവിധാനത്തിനും, കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരം പരിശോധിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്, അത് ആവശ്യമാണ്, ഭാഗ്യവശാൽ, ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും വേഗതയുള്ളതുമല്ല.

ഉദാഹരണം 2

ഇത് സ്വയം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം, ഫിനിഷിംഗ് സാമ്പിൾ, പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഒരു ഉത്തരം.

നിങ്ങളുടെ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് നടപടി ഗതിഎന്റെ പ്രവർത്തനരീതിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലായിരിക്കാം, ഇത് ഗാസ് രീതിയുടെ സവിശേഷതയാണ്. എന്നാൽ ഉത്തരങ്ങൾ ഒന്നായിരിക്കണം!

ഉദാഹരണം 3

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതുകയും പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ മുകളിൽ ഇടത് "പടി" നോക്കുന്നു. അവിടെ നമുക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കണം. ആദ്യത്തെ കോളത്തിൽ ആരും ഇല്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം, അതിനാൽ വരികൾ പുനഃക്രമീകരിച്ച് ഒന്നും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, യൂണിറ്റ് ഒരു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് സംഘടിപ്പിക്കണം. ഇത് സാധാരണയായി പല തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ഞാൻ ഇത് ചെയ്തു:
(1) ആദ്യ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുന്നു, അത് -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അതായത്, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയെ മാനസികമായി -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്തു, രണ്ടാമത്തെ വരി മാറിയില്ല.

ഇപ്പോൾ മുകളിൽ ഇടതുവശത്ത് "മൈനസ് ഒന്ന്", അത് ഞങ്ങൾക്ക് തികച്ചും അനുയോജ്യമാണ്. +1 ലഭിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് ഒരു അധിക ആംഗ്യ പ്രകടനം നടത്താം: ആദ്യ വരിയെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (അതിന്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുക).

(2) 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി മൂന്നാം നിരയിലേക്ക് ചേർത്തു.

(3) ആദ്യ വരി -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, തത്വത്തിൽ, ഇത് സൗന്ദര്യത്തിന് വേണ്ടിയുള്ളതാണ്. മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളവും മാറ്റി രണ്ടാം സ്ഥാനത്തേക്ക് മാറ്റി, അങ്ങനെ, രണ്ടാമത്തെ “ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള യൂണിറ്റ് ഉണ്ടായിരുന്നു.

(4) 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു.

(5) മൂന്നാമത്തെ വരി 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു.

ഒരു കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു മോശം അടയാളം (പലപ്പോഴും ഒരു അക്ഷരത്തെറ്റ്) ഒരു "മോശം" അടിവരയാണ്. അതായത്, നമുക്ക് താഴെയുള്ളത് പോലെ എന്തെങ്കിലും ലഭിച്ചാൽ, അതനുസരിച്ച്, , പിന്നീട് ഉയർന്ന തോതിലുള്ള സംഭാവ്യതയോടെ, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഗതിയിൽ ഒരു പിശക് സംഭവിച്ചതായി വാദിക്കാം.

ഞങ്ങൾ റിവേഴ്സ് മൂവ് ചാർജ് ചെയ്യുന്നു, ഉദാഹരണങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ, സിസ്റ്റം തന്നെ പലപ്പോഴും മാറ്റിയെഴുതില്ല, കൂടാതെ സമവാക്യങ്ങൾ "നൽകിയ മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് എടുത്തതാണ്". റിവേഴ്സ് മൂവ്, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അതെ, ഇതാ ഒരു സമ്മാനം:

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 4

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, ഇത് കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്. ആരെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായാൽ കുഴപ്പമില്ല. പാഠത്തിന്റെ അവസാനം മുഴുവൻ പരിഹാരവും ഡിസൈൻ മാതൃകയും. നിങ്ങളുടെ പരിഹാരം എന്റേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം.

അവസാന ഭാഗത്ത്, ഗോസ് അൽഗോരിതത്തിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു.
സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചിലപ്പോൾ ചില വേരിയബിളുകൾ കാണുന്നില്ല എന്നതാണ് ആദ്യത്തെ സവിശേഷത, ഉദാഹരണത്തിന്:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സ് എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാം? പാഠത്തിൽ ഈ നിമിഷത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ ഇതിനകം സംസാരിച്ചു. ക്രാമർ ഭരണം. മാട്രിക്സ് രീതി. സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകരിച്ച മാട്രിക്സിൽ, കാണാതായ വേരിയബിളുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് ഞങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങൾ ഇടുന്നു:

വഴിയിൽ, ഇത് വളരെ എളുപ്പമുള്ള ഉദാഹരണമാണ്, കാരണം ആദ്യ നിരയിൽ ഇതിനകം ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ട്, കൂടാതെ കുറച്ച് പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനുണ്ട്.

രണ്ടാമത്തെ സവിശേഷത ഇതാണ്. പരിഗണിക്കപ്പെട്ട എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളിലും, ഞങ്ങൾ “പടികളിൽ” -1 അല്ലെങ്കിൽ +1 സ്ഥാപിച്ചു. മറ്റ് നമ്പറുകൾ ഉണ്ടാകുമോ? ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ അവർക്ക് കഴിയും. സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക: .

ഇവിടെ മുകളിൽ ഇടത് "ഘട്ടത്തിൽ" നമുക്ക് ഒരു ഡ്യൂസ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ആദ്യ നിരയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു - മറ്റൊന്ന് രണ്ട്, ആറ്. മുകളിൽ ഇടതുവശത്തുള്ള ഡ്യൂസ് ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാകും! ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്: രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കുക; മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ആദ്യ വരി -3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. അങ്ങനെ, ആദ്യ നിരയിൽ നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പൂജ്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

അല്ലെങ്കിൽ ഇതുപോലെ സോപാധിക ഉദാഹരണം: . ഇവിടെ, രണ്ടാമത്തെ “റംഗിലെ” ട്രിപ്പിൾ നമുക്ക് അനുയോജ്യമാണ്, കാരണം 12 (നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കേണ്ട സ്ഥലം) ബാക്കിയില്ലാതെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനം നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക്, രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുക, -4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പൂജ്യം ലഭിക്കും.

ഗാസ് രീതി സാർവത്രികമാണ്, പക്ഷേ ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ട്. മറ്റ് രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പഠിക്കുക (ക്രാമർ രീതി, മാട്രിക്സ് രീതി) അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ആദ്യമായി ആകാം - വളരെ കർശനമായ അൽഗോരിതം ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഗൗസ് രീതിയിൽ ആത്മവിശ്വാസം തോന്നുന്നതിനായി, നിങ്ങൾ "നിങ്ങളുടെ കൈ നിറയ്ക്കുക" കൂടാതെ കുറഞ്ഞത് 5-10 സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും വേണം. അതിനാൽ, ആദ്യം ആശയക്കുഴപ്പം, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശകുകൾ ഉണ്ടാകാം, ഇതിൽ അസാധാരണമോ ദുരന്തമോ ഒന്നുമില്ല.

ജാലകത്തിന് പുറത്ത് മഴ പെയ്യുന്ന ശരത്കാല കാലാവസ്ഥ .... അതിനാൽ, എല്ലാവർക്കും കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണംസ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനായി:

ഉദാഹരണം 5

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് നാല് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള നാല് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

പ്രായോഗികമായി അത്തരമൊരു ചുമതല അത്ര വിരളമല്ല. ഈ പേജ് വിശദമായി പഠിച്ച ഒരു ചായക്കടയ്ക്ക് പോലും ഇത്തരമൊരു സംവിധാനം അവബോധപൂർവ്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം മനസ്സിലാകുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി സമാനമാണ് - കൂടുതൽ പ്രവർത്തനം.

സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത (പൊരുത്തമില്ലാത്തത്) അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ള കേസുകൾ, പൊതുവായ പരിഹാരമുള്ള പൊരുത്തമില്ലാത്ത സിസ്റ്റങ്ങളും സിസ്റ്റങ്ങളും എന്ന പാഠത്തിൽ പരിഗണിക്കുന്നു. അവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഗാസ് രീതിയുടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം ശരിയാക്കാം.

നിങ്ങള്ക്ക് ഭാഗ്യം നേരുന്നു!

പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും:

ഉദാഹരണം 2: തീരുമാനം : നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം.


പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി:
(1) ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് -2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു. ആദ്യ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു. ശ്രദ്ധ!ഇവിടെ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കാൻ ഇത് പ്രലോഭിപ്പിച്ചേക്കാം, കുറയ്ക്കാൻ ഞാൻ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നില്ല - പിശകിന്റെ സാധ്യത വളരെയധികം വർദ്ധിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ വെറുതെ മടക്കിക്കളയുന്നു!
(2) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളം മാറ്റി (-1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ). രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ മാറ്റി. കുറിപ്പ്“പടികളിൽ” ഞങ്ങൾ ഒന്നിൽ മാത്രമല്ല, -1 ലും സംതൃപ്തരാണ്, അത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
(3) മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക്, രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുക, 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
(4) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളം മാറ്റി (-1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ). മൂന്നാമത്തെ വരി 14 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു.

വിപരീത നീക്കം:

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 4: തീരുമാനം : ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതുകയും പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുന്നു:

പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി:
(1) രണ്ടാമത്തെ വരി ആദ്യ വരിയിൽ ചേർത്തു. അങ്ങനെ, ആവശ്യമുള്ള യൂണിറ്റ് മുകളിൽ ഇടത് "ഘട്ടത്തിൽ" ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.
(2) 7 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി മൂന്നാം നിരയിലേക്ക് ചേർത്തു.

രണ്ടാമത്തെ "ഘട്ടം" കൊണ്ട് എല്ലാം മോശമാണ് , അതിനുള്ള "സ്ഥാനാർത്ഥികൾ" 17 ഉം 23 ഉം അക്കങ്ങളാണ്, ഞങ്ങൾക്ക് ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ -1 ആവശ്യമാണ്. പരിവർത്തനങ്ങൾ (3), (4) എന്നിവ ആവശ്യമുള്ള യൂണിറ്റ് നേടുന്നതിന് ലക്ഷ്യമിടുന്നു

(3) രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.
(4) മൂന്നാമത്തെ വരി, -3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു.
(3) 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച രണ്ടാമത്തെ വരി നാലാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു.
(4) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളം മാറ്റി. നാലാമത്തെ വരി 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് മൂന്നാമത്തെ വരിക്ക് പകരം സ്ഥാപിച്ചു.
(5) മൂന്നാമത്തെ വരി നാലാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് -5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

വിപരീത നീക്കം: