Модультай квадрат тэгшитгэл, шийдлийн жишээ. Тооны модуль (тооны үнэмлэхүй утга), тодорхойлолт, жишээ, шинж чанар

Оюутнуудын хувьд хамгийн хэцүү сэдвүүдийн нэг бол модулийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явдал юм. Эхлээд энэ нь юутай холбоотой болохыг олж мэдье? Жишээлбэл, яагаад ихэнх хүүхдүүд квадрат тэгшитгэлийг самар шиг эвддэг мөртлөө модуль гэх мэт нарийн төвөгтэй ойлголтоос маш их асуудалтай байдаг вэ?

Миний бодлоор эдгээр бүх бэрхшээлүүд нь модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тодорхой томъёолол байхгүйтэй холбоотой юм. Тиймээс, шийдэж байна квадрат тэгшитгэл, оюутан эхлээд ялгах томьёо, дараа нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглах хэрэгтэй гэдгийг баттай мэддэг. Хэрэв тэгшитгэлд модуль олдвол яах вэ? Бид тодорхой тайлбарлахыг хичээх болно шаардлагатай төлөвлөгөөтэгшитгэл нь модулийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тохиолдолд үйлдлүүд. Бид тохиолдол бүрийн хувьд хэд хэдэн жишээ өгөх болно.

Гэхдээ эхлээд санацгаая модулийн тодорхойлолт. Тиймээс, тоог модуль болгоно аэнэ тоог өөрөө if гэж нэрлэдэг асөрөг бус ба -а, хэрэв тоо атэгээс бага. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

|а| = a хэрэв a ≥ 0 ба |a| = -a хэрэв a< 0

Модулийн геометрийн утгын талаар ярихдаа бодит тоо бүр тооны тэнхлэг дээрх тодорхой цэгтэй тохирч байгааг санах нь зүйтэй. зохицуулах. Тэгэхээр, модуль буюу тоон үнэмлэхүй утга нь энэ цэгээс тоон тэнхлэгийн гарал үүсэл хүртэлх зай юм. Зайг үргэлж эерэг тоогоор зааж өгдөг. Тиймээс аливаа сөрөг тооны модуль нь эерэг тоо юм. Дашрамд хэлэхэд, энэ үе шатанд ч олон оюутнууд төөрөлдөж эхэлдэг. Модуль нь ямар ч тоог агуулж болох боловч модулийг ашигласны үр дүн үргэлж эерэг тоо байдаг.

Одоо тэгшитгэлүүдийг шийдвэрлэхэд шууд шилжье.

1. |x| хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье = c, энд c нь бодит тоо. Энэ тэгшитгэлийг модулийн тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болно.

Бид бүх бодит тоог гурван бүлэгт хуваадаг: тэгээс их, тэгээс бага, гурав дахь бүлэг нь 0 тоо. Бид шийдлийг диаграмм хэлбэрээр бичнэ.

(±c, хэрэв c > 0 бол

Хэрэв |x| = c, тэгвэл x = (0, хэрэв c = 0 бол

(хэрэв байгаа бол үндэс байхгүй< 0

1) |x| = 5, учир нь 5 > 0, дараа нь x = ±5;

2) |x| = -5, учир нь -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, дараа нь x = 0.

2. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = b, энд b > 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд модулийг арилгах шаардлагатай. Бид үүнийг дараах байдлаар хийдэг: f(x) = b эсвэл f(x) = -b. Одоо та үүссэн тэгшитгэл бүрийг тусад нь шийдэх хэрэгтэй. Хэрэв анхны тэгшитгэлд байгаа бол b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, учир нь 4 > 0, дараа нь

x + 2 = 4 эсвэл x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, учир нь 11 > 0, дараа нь

x 2 – 5 = 11 эсвэл x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 үндэс байхгүй

3) |x 2 – 5x| = -8, учир нь -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = g(x). Модулийн утгын дагуу ийм тэгшитгэл нь шийдлүүдтэй байх болно баруун хэсэгтэгээс их буюу тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. g(x) ≥ 0. Дараа нь бид:

f(x) = g(x)эсвэл f(x) = -g(x).

1) |2х – 1| = 5x – 10. 5x – 10 ≥ 0 бол энэ тэгшитгэл үндэстэй болно. Эндээс ийм тэгшитгэлийн шийдэл эхэлнэ.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Шийдэл:

2x – 1 = 5x – 10 эсвэл 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Бид O.D.Z-г нэгтгэдэг. Үүний шийдэл нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

X = 11/7 үндэс нь O.D.Z.-д тохирохгүй, 2-оос бага, харин x = 3 нь энэ нөхцлийг хангаж байна.

Хариулт: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Энэ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдье:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Шийдэл:

x – 1 = 1 – x 2 эсвэл x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 эсвэл x = 1 x = 0 эсвэл x = 1

3. Бид шийдэл болон O.D.Z.-г нэгтгэдэг:

Зөвхөн x = 1 ба x = 0 үндэс тохиромжтой.

Хариулт: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| хэлбэрийн тэгшитгэл = |g(x)|. Ийм тэгшитгэл нь дараах хоёр тэгшитгэлтэй тэнцүү байна f(x) = g(x) эсвэл f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2х – 5|. Энэ тэгшитгэл нь дараах хоёртой тэнцүү байна.

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 эсвэл x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 эсвэл x = 4 x = 2 эсвэл x = 1

Хариулт: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Орлуулах аргаар шийдсэн тэгшитгэлүүд (хувьсагчийн орлуулалт). Энэхүү шийдлийн аргыг тодорхой жишээгээр тайлбарлахад хамгийн хялбар байдаг. Тэгэхээр, модультай квадрат тэгшитгэл өгье.

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Модулийн шинж чанараар x 2 = |x| 2, тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Орлуулах |x|-г хийцгээе = t ≥ 0, тэгвэл бид дараах байдалтай байна:

t 2 – 6t + 5 = 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, t = 1 эсвэл t = 5 болохыг олж мэдье. Орлуулах руу буцъя:

|x| = 1 эсвэл |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Хариулт: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Өөр нэг жишээг харцгаая:

x 2 + |x| – 2 = 0. Модулийн шинж чанараар x 2 = |x| 2, тиймээс

|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x|-г орлуулъя = t ≥ 0, тэгвэл:

t 2 + t – 2 = 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид t = -2 эсвэл t = 1 болно. Орлуулах руу буцъя:

|x| = -2 эсвэл |x| = 1

Үндэс байхгүй x = ± 1

Хариулт: x = -1, x = 1.

6. Өөр нэг төрлийн тэгшитгэл бол "нийлмэл" модультай тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлд "модуль доторх модультай" тэгшитгэлүүд орно. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг модулийн шинж чанарыг ашиглан шийдэж болно.

1) |3 – |x|| = 4. Бид хоёр дахь төрлийн тэгшитгэлтэй ижил аргаар ажиллах болно. Учир нь 4 > 0, дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг авна.

3 – |x| = 4 эсвэл 3 – |x| = -4.

Одоо тэгшитгэл болгонд x модулийг илэрхийлээд дараа нь |x| = -1 эсвэл |x| = 7.

Бид үүссэн тэгшитгэл бүрийг шийддэг. Эхний тэгшитгэлд үндэс байхгүй, учир нь -1< 0, а во втором x = ±7.

Хариулт x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийддэг.

3 + |x + 1| = 5 эсвэл 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 эсвэл x + 1 = -2. Үндэс байхгүй.

Хариулт: x = -3, x = 1.

Бас байдаг бүх нийтийн аргамодультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ бол интервалын арга юм. Гэхдээ бид үүнийг дараа нь авч үзэх болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Бид математикийг сонгодоггүйТүүний мэргэжил, тэр биднийг сонгодог.

Оросын математикч Ю.И. Манин

Модультай тэгшитгэл

Сургуулийн математикийн шийдвэрлэхэд хамгийн хэцүү асуудал бол модулийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэл юм. Учир нь амжилттай шийдэлИйм тэгшитгэлийн хувьд та модулийн тодорхойлолт, үндсэн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, оюутнууд ийм төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой.

Үндсэн ойлголт ба шинж чанарууд

Бодит тооны модуль (үнэмлэхүй утга).гэж тэмдэглэсэн бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

TO энгийн шинж чанаруудмодуль нь дараахь харилцааг агуулна.

Анхаар, Сүүлийн хоёр шинж чанар нь тэгш хэмийн хувьд хүчинтэй байна.

Түүнээс гадна, хэрэв, хаана, дараа нь болон

Илүү төвөгтэй модулийн шинж чанарууд, модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд үр дүнтэй ашиглаж болно, Дараах теоремоор томъёолно.

Теорем 1.Аливаа аналитик функцүүдийн хувьдТэгээд тэгш бус байдал нь үнэн юм

Теорем 2.Тэгш байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэнэ.

Теорем 3.Тэгш байдал тэгш бус байдалтай адил.

“Тэгшитгэлүүд, модулийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан."

Модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Хамгийн түгээмэл сургуулийн математикмодультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга, модулийн өргөтгөл дээр суурилсан. Энэ арга нь бүх нийтийнх юм, гэхдээ ерөнхий тохиолдолд түүнийг ашиглах нь маш төвөгтэй тооцоолол хийхэд хүргэдэг. Үүнтэй холбогдуулан оюутнууд бусад зүйлийг мэддэг байх ёстой, илүү үр дүнтэй аргуудИйм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техник. Тухайлбал, теоремуудыг хэрэглэх ур чадвартай байх шаардлагатай, энэ нийтлэлд өгсөн.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд. (1)

Шийдэл. Бид (1) тэгшитгэлийг "сонгодог" арга буюу модулиудыг илрүүлэх аргыг ашиглан шийднэ. Ингэхийн тулд тооны тэнхлэгийг хувааяцэгүүд болон интервалд хувааж, гурван тохиолдлыг авч үзье.

1. Хэрэв , , , , тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна. Үүнээс үүдэн гарч байна. Гэхдээ энд олсон утга нь (1) тэгшитгэлийн язгуур биш юм.

2. Хэрэв, Дараа нь (1) тэгшитгэлээс бид олж авнаэсвэл .

Түүнээс хойш тэгшитгэлийн үндэс (1).

3. Хэрэв, тэгвэл (1) тэгшитгэл хэлбэрийг авнаэсвэл . Үүнийг тэмдэглэе.

Хариулт: , .

Дараагийн тэгшитгэлийг модуль ашиглан шийдвэрлэхдээ бид ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үр ашгийг нэмэгдүүлэхийн тулд модулиудын шинж чанарыг идэвхтэй ашиглах болно.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Түүнээс хойш ба Дараа нь тэгшитгэлээс үүснэ. Энэ талаар, , , ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг. Эндээс бид авдаг. Гэсэн хэдий ч, тиймээс анхны тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Түүнээс хойш. Хэрэв бол ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг.

Эндээс бид авдаг.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийг тэнцүү хэлбэрээр дахин бичье. (2)

Үүссэн тэгшитгэл нь төрлийн тэгшитгэлд хамаарна.

Теорем 2-ыг харгалзан үзвэл (2) тэгшитгэл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү гэж үзэж болно. Эндээс бид авдаг.

Хариулт: .

Жишээ 5.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Тийм ч учраас, Теорем 3-ын дагуу, энд тэгш бус байдал байнаэсвэл .

Жишээ 6.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Ингэж бодъё. Учир нь, тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг авна, (3)

Хаана . (3) тэгшитгэл нь өвөрмөц утгатай тул эерэг үндэс Тэгээд . Эндээс бид анхны тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг олж авна.Мөн .

Жишээ 7. Тэгшитгэлийг шийд. (4)

Шийдэл. Тэгшитгэлээс хойшнь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна:Мөн , тэгвэл (4) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хоёр тохиолдлыг авч үзэх шаардлагатай.

1. Хэрэв , тэгвэл эсвэл .

Эндээс бид , ба .

2. Хэрэв , тэгвэл эсвэл .

Түүнээс хойш.

Хариулт: , , , .

Жишээ 8.Тэгшитгэлийг шийд . (5)

Шийдэл.Түүнээс хойш ба , дараа нь . Эндээс ба тэгшитгэлээс (5) дараах нь ба , i.e. Энд бид тэгшитгэлийн системтэй байна

Гэсэн хэдий ч энэ тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй байна.

Хариулт: үндэс байхгүй.

Жишээ 9. Тэгшитгэлийг шийд. (6)

Шийдэл.Хэрэв бид тэмдэглэвэл, тэгвэл (6) тэгшитгэлээс бид олж авна

Эсвэл . (7)

(7) тэгшитгэл нь хэлбэртэй тул энэ тэгшитгэл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. Эндээс бид авдаг. Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл .

Хариулт: .

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд. (8)

Шийдэл.Теорем 1-ийн дагуу бид бичиж болно

(9)

(8) тэгшитгэлийг харгалзан бид (9) тэгш бус байдал хоёулаа тэнцүү болж хувирдаг гэж дүгнэж байна. тэгшитгэлийн систем байдаг

Гэхдээ 3-р теоремын дагуу дээрх тэгшитгэлийн систем нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү байна.

(10)

Тэгш бус байдлын системийг шийдэж (10) бид олж авна. Тэгшитгэлгүй байдлын систем (10) нь тэгшитгэл (8)-тай тэнцүү тул анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай.

Хариулт: .

Жишээ 11. Тэгшитгэлийг шийд. (11)

Шийдэл.ба гэж байг, тэгвэл (11) тэгшитгэлээс тэгшитгэл гарна.

Үүнийг дагадаг ба . Тиймээс энд тэгш бус байдлын систем бий болно

Энэ тэгш бус байдлын тогтолцооны шийдэл ньМөн .

Хариулт: , .

Жишээ 12.Тэгшитгэлийг шийд. (12)

Шийдэл. (12) тэгшитгэлийг модулиудыг дараалан өргөтгөх аргаар шийднэ. Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

1. Хэрэв , тэгвэл .

1.1. Хэрэв , тэгвэл ба , .

1.2. Хэрэв, тэгвэл. Гэсэн хэдий ч, тиймээс энэ тохиолдолд (12) тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

2. Хэрэв , тэгвэл .

2.1. Хэрэв , тэгвэл ба , .

2.2. Хэрэв , дараа нь ба .

Хариулт: , , , , .

Жишээ 13.Тэгшитгэлийг шийд. (13)

Шийдэл.Учир нь зүүн тал(13) тэгшитгэл нь сөрөг биш бол . Үүнтэй холбогдуулан тэгшитгэл (13)

эсвэл хэлбэрийг авдаг.

тэгшитгэл гэдгийг мэддэг хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байнаМөн , Бид үүнийг олж авах болно, . Учир нь, тэгвэл (13) тэгшитгэл нэг үндэстэй байна.

Хариулт: .

Жишээ 14. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх (14)

Шийдэл.Түүнээс хойш ба , дараа нь ба . Үүний үр дүнд (14) тэгшитгэлийн системээс бид дөрвөн тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Дээрх тэгшитгэлийн системийн үндэс нь тэгшитгэлийн системийн үндэс юм (14).

Хариулт: ,, , , , , , , .

Жишээ 15. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх (15)

Шийдэл.Түүнээс хойш. Үүнтэй холбогдуулан (15) тэгшитгэлийн системээс бид хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна

Тэгшитгэлийн эхний системийн язгуур нь ба , хоёр дахь системээс бид ба .

Хариулт: , , , .

Жишээ 16. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх (16)

Шийдэл.(16) системийн эхний тэгшитгэлээс .

Түүнээс хойш . Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье. Учир нь, Тэр, ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг, , эсвэл .

Хэрэв та утгыг орлуулах юм болсистемийн эхний тэгшитгэлд (16), дараа нь , эсвэл .

Хариулт: , .

Асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй холбоотой, модулийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан, зөвлөгөө өгч чадах уу сургалтын хэрэглэгдэхүүнсанал болгож буй уран зохиолын жагсаалтаас.

1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Энх тайван ба боловсрол, 2013. – 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: нарийн төвөгтэй байдлын даалгаврууд. – М.: CD "Librocom" / URSS, 2017. – 200 х.

3. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: асуудал шийдвэрлэх стандарт бус аргууд. – М.: CD "Librocom" / URSS, 2017. – 296 х.

Асуулт хэвээр байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Точилкина Юлия

Уг ажил нь модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргыг танилцуулсан.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

"59-р дунд сургууль"

Модультай тэгшитгэл

Хийсвэр ажил

Гүйцэтгэсэн 9А ангийн сурагч

MBOU "59-р дунд сургууль" Барнаул

Точилкина Юлия

Удирдагч

Захарова Людмила Владимировна,

математикийн багш

MBOU "59-р дунд сургууль" Барнаул

Барнаул 2015 он

Оршил

Би есдүгээр ангид сурдаг. Энэ хичээлийн жилд би үндсэн сургуулийн төгсөлтийн гэрчилгээ авах ёстой. Шалгалтанд бэлтгэхийн тулд бид Д.А.Мальцевын математикийн цуглуулгыг худалдаж авсан. 9-р анги. Цуглуулгатай танилцаж байхдаа би зөвхөн нэг төдийгүй хэд хэдэн модулийг агуулсан тэгшитгэлийг олж мэдсэн. Багш надад болон манай ангийнханд ийм тэгшитгэлийг "үүрлэсэн модуль" тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг тайлбарлав. Энэ нэр нь бидэнд ер бусын санагдаж байсан бөгөөд шийдэл нь эхлээд харахад нэлээд төвөгтэй байв. "Модулиар тэгшитгэл" гэсэн миний ажлын сэдэв ингэж гарч ирэв. Би энэ сэдвийг илүү гүнзгий судлахаар шийдсэн, ялангуяа энэ нь төгсгөлд шалгалт өгөхөд надад хэрэг болно хичээлийн жилтэгээд 10, 11-р ангид хэрэг болно гэж бодож байна. Дээрх бүх зүйл нь миний сонгосон сэдвийн хамаарлыг тодорхойлдог.

Ажлын зорилго:

1. Санаж үз янз бүрийн аргамодультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
2. Төрөл бүрийн аргуудыг ашиглан үнэмлэхүй утгын тэмдэг агуулсан тэгшитгэлийг шийдэж сур

Сэдэв дээр ажиллахын тулд дараахь ажлуудыг боловсруулсан болно.

Даалгаварууд:

1. "Бодит тооны модуль" сэдвээр онолын материалыг судлах.
2. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх, олж авсан мэдлэгээ бодлого шийдвэрлэх замаар нэгтгэх.
3. Ахлах сургуульд модулийн тэмдгийг агуулсан янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ олж авсан мэдлэгээ ашиглах

Судалгааны объект:модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд

Судалгааны сэдэв:модультай тэгшитгэл

Судалгааны аргууд:

Онолын : судалгааны сэдвээр уран зохиол судлах;

Интернет - мэдээлэл.

Шинжилгээ уран зохиолын судалгаанаас олж авсан мэдээлэл; модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гарсан үр дүн янз бүрийн арга замууд.

Харьцуулалт Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд нь модуль бүхий янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тэдгээрийг ашиглах оновчтой байдлын сэдэв юм.

"Бид ямар нэг юм цохих үед л бодож эхэлдэг." Пол Валерий.

1. Үзэл баримтлал, тодорхойлолт.

"Модуль" гэсэн ойлголтыг сургуулийн математикийн хичээлийн олон хэсэгт, жишээлбэл, ойролцоо тооны үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг судлахад өргөн ашигладаг; геометр, физикийн хувьд вектор ба түүний урт (векторын модуль) гэсэн ойлголтуудыг судалдаг. Модулийн үзэл баримтлалыг дээд боловсролын байгууллагуудад суралцдаг дээд математик, физик, техникийн шинжлэх ухааны хичээлүүдэд ашигладаг.

"Модуль" гэдэг үг нь "хэмжих" гэсэн утгатай латин "modulus" гэсэн үгнээс гаралтай. Энэ үг нь олон утгатай бөгөөд зөвхөн математик, физик, технологид төдийгүй архитектур, програмчлал болон бусад нарийн шинжлэх ухаанд хэрэглэгддэг.

Энэ нэр томъёог Ньютоны шавь Котес санал болгосон гэж үздэг. Модулийн тэмдгийг 19-р зуунд Вейерштрасс нэвтрүүлсэн.

Архитектурт модуль нь тухайн архитектурын бүтцэд зориулагдсан анхны хэмжилтийн нэгж юм.

Технологийн хувьд энэ нь хэрэглэгддэг нэр томъёо юм янз бүрийн бүс нутагуян хатан байдлын модуль, оролцооны модуль гэх мэт янз бүрийн коэффициент, хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход үйлчилдэг технологи.

Математикийн хувьд модуль нь хэд хэдэн утгатай боловч би үүнийг тооны үнэмлэхүй утга гэж үзэх болно.

Тодорхойлолт 1: Бодит тооны модуль (үнэмлэхүй утга).А энэ тоог өөрөө if гэж нэрлэдэгА ≥0, эсвэл эсрэг тоо -мөн хэрэв А тэгийн модуль нь тэг байна.

Модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ модулийн шинж чанарыг ашиглах нь тохиромжтой.

5,6,7-р шинж чанаруудын нотолгоог авч үзье.

Мэдэгдэл 5. Тэгш байдал │ a+b │=│ a │+│ b │ бол үнэнав ≥ 0.

Баталгаа. Үнэн хэрэгтээ, энэ тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгосны дараа бид │-ийг олж авна a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,

a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², эндээс │ ab │= ab

Мөн сүүлчийн тэгш байдал хэзээ үнэн байх болноав ≥0.

Мэдэгдэл 6. Тэгш байдал │ a-c │=│ a │+│ c │ бол үнэнав ≤0.

Баталгаа. Үүнийг батлахын тулд тэгш байдлын хувьд хангалттай

│ а+в │=│ а │+│ в │ в-г - в, дараа нь а· (- в ) ≥0, ав ≤0 гэж солино.

Мэдэгдэл 7. Тэгш байдал │ a │+│ b │= a+b -д тоглосон a ≥0 ба b ≥0.

Баталгаа . Дөрвөн хэргийг авч үзсэн a ≥0 ба b ≥0; a ≥0 ба c А ≥0-д; А В a ≥0 ба b ≥0.

(a-c) ≥0-д.

Геометрийн тайлбар

|а| - энэ нь координаттай цэгээс координатын шугам дээрх зай юмА , гарал үүсэл рүү.

|-a| |а|

A 0 a x

|a|-ийн утгын геометрийн тайлбар |-a|=|a| гэдгийг тодорхой баталж байна

Хэрвээ 0 бол координатын шулуун дээр тэгээс тэнцүү зайд модулиуд нь тэнцүү a ба –a хоёр цэг байна.

a=0 бол координатын шулуун дээр |a| 0 цэгээр илэрхийлнэ.

Тодорхойлолт 2: Модультай тэгшитгэл гэдэг нь үнэмлэхүй утгын тэмдгийн доор (модуль тэмдгийн дор) хувьсагч агуулсан тэгшитгэл юм. Жишээ нь: |x +3|=1

Тодорхойлолт 3: Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь түүний бүх үндсийг олох, эсвэл үндэс байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм.

2. Шийдвэрлэх аргууд

Модулийн тодорхойлолт, шинж чанараас харахад модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь:

1. Модулийг "өргөжүүлэх" (өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтыг ашиглах);
2. Модулийн геометрийн утгыг ашиглах (өмч 2);
3. График шийдлийн арга;
4. Эквивалент хувиргалтыг ашиглах (шинж чанар 4.6);
5. Хувьсагчийг солих (энэ нь 5 өмчийг ашигладаг).
6. Интервалын арга.

Би хангалттай шийдсэн олон тооныжишээнүүд, гэхдээ би энэ ажилд зөвхөн цөөн хэдэн жишээг толилуулж байна, миний бодлоор, янз бүрийн аргаар шийдэгдсэн ердийн жишээнүүд, учир нь бусад нь бие биенээ давхарддаг тул модультай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгохын тулд үүнийг ойлгох шаардлагагүй болно. шийдэгдсэн бүх жишээг авч үзье.

Тэгшитгэл ШИЙДЭХ | f(x)| =а

тэгшитгэлийг авч үзье f(x)| =а, Р

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг модулийн тодорхойлолтоор шийдэж болно.

Хэрэв А тэгвэл тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

Хэрэв a= 0 бол тэгшитгэл нь f(x)=0-тэй тэнцүү байна.

Хэрэв a>0 бол тэгвэл тэгшитгэл нь олонлогтой тэнцүү байна

Жишээ. |3x+2|=4 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

|3x+2|=4, дараа нь 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

ХАРИУЛТ: -2;2/3.

МОДУЛИЙН ГЕОМЕТРИЙН ШИНЖ АШИГЛАСАН ТЭГШИГТҮҮДИЙГ ШИЙДЭХ.

Жишээ 1. /x-1/+/x-3/=6 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь Ox тоон тэнхлэг дээрх бүх цэгүүдийг олох гэсэн үг бөгөөд тус бүрээс 1 ба 3 координаттай цэгүүд хүртэлх зайны нийлбэр нь 6-тай тэнцүү байна.

Сегментээс нэг ч цэг алгаэнэ нөхцлийг хангахгүй, учир нь заасан зайн нийлбэр нь 2. Энэ сегментийн гадна талд 5 ба -1 гэсэн хоёр цэг байна.

1 1 3 5

Хариулт: -1;5

Жишээ 2. |х тэгшитгэлийг шийд 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Шийдэл.

x 2 +x-5= a, тэгвэл / a /+/ a-4 гэж тэмдэглэе /=10. Үхрийн тэнхлэг дээрх цэгүүдийг тус бүрийн хувьд 0 ба 4 координаттай цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь 10-тай тэнцүү байхаар олъё. Энэ нөхцөл -4 ба 7-оор хангагдсан байна.

3 0 4 7

Тэгэхээр x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7

X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0

X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Хариулт: -4;-2; 1; 3.

Тэгшитгэл ШИЙДЭХ | f(x)| = | g(x)|.

1. оноос хойш | a |=|in |, хэрэв a= in, дараа нь | хэлбэрийн тэгшитгэл f(x)| = | g(x )| нийттэй тэнцүү байна

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх | x –2| = |3 – x |.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:

x – 2 = 3 – x (1) ба x – 2 = –3 + x (2)

2 х = 5 –2 = –3 – буруу

X = 2.5 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

ХАРИУЛТ: 2.5.

Жишээ 2.

|х тэгшитгэлийг шийд 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн хоёр тал сөрөг биш учраасквадрат болгох нь тэнцүү хувиргалт юм:

(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2

(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,

(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,

(6х-22)(2х 2 -18)=0,

6х-22=0 эсвэл 2х 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Хариулт: -3; 3; 11/3.

ҮЗЭЛТИЙН ТЭГШИГЧИЛГИЙН ШИЙДЭЛ | f(x)| = g(x).

Эдгээр тэгшитгэлийн ялгаа ба| f(x)| = a баруун тал нь бас хувьсагч байгаа нь. Мөн энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Тиймээс модуль нь сөрөг тоотой тэнцүү байх боломжгүй тул та сөрөг биш эсэхийг шалгах хэрэгтэй.№1 )

1 арга зам

Тэгшитгэлийн шийдэл | f(x)| = g(x ) тэгшитгэлийн шийдлийн багц болгон бууруулнатэгш бус байдлын шударга байдлыг шалгах g(x Үл мэдэгдэхийн олдсон утгуудын хувьд )>0.

Арга 2 (модулийн тодорхойлолтоор)

оноос хойш | f(x)| = g(x) бол f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) бол f(x)

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх |3 x –10| = x - 2.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна:

ХАРИУЛТ: 3; 4.

ТЭГШИГЧИЛГИЙН ШИЙДЭЛ |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Энэ төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл нь модулийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Функц бүрийн хувьд f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) тодорхойлолтын ерөнхий мужийг интервалд хувааж, тодорхойлолтын муж, түүний тэг ба тасалдлын цэгийг олох шаардлагатай бөгөөд тус бүрд нь f функцууд орно. 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) тэмдэгээ хадгална. Дараа нь модулийн тодорхойлолтыг ашиглан олсон талбай бүрийн хувьд бид энэ интервал дээр шийдэх ёстой тэгшитгэлийг олж авна. Энэ аргыг "интервалын арга»

Жишээ.

|x-2|-3|x+4|=1 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Дэд модуль илэрхийллүүд тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг олъё

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Тооны шугамыг х интервалд хуваая

Тэгшитгэлийг шийдэх нь гурван системийг шийдэхэд хүргэдэг.

ХАРИУЛТ: -15, -1.8.

АГУУЛСАН тэгшитгэлийг ШИЙДЭХ ГРАФИК АРГАМОДУЛИЙН ТЭМДЭГ.

Нарийвчлал нь сонгосон нэгж сегмент, харандааны зузаан, шугамын огтлолцох өнцөг гэх мэт зэргээс хамаардаг тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга нь ойролцоо байна. Гэхдээ энэ арга нь өгөгдсөн тэгшитгэлд хэдэн шийдэл байгааг тооцоолох боломжийг олгодог.

Жишээ. |х - 2| тэгшитгэлийг графикаар шийд + |x - 3| + |2х - 8| = 9

Шийдэл. Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя

y=|x - 2| + |x - 3| + |2х - 8| ба y=9.

График бүтээхийн тулд та үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй энэ функцинтервал бүр дээр (-∞; 2); [3/2; ∞ )

Хариулт: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Мөн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эквивалент хувиргалтын аргыг ашигласан f(x)| = | g(x)|.

ЦОГЦОЛБОР модультай тэгшитгэлүүд

Өөр нэг төрлийн тэгшитгэл бол "нийлмэл" модультай тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлд "модуль доторх модультай" тэгшитгэлүүд орно. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж болно.

Жишээ 1.

||||x| тэгшитгэлийг шийд – |–2| –1| –2| = 2.

Шийдэл.

Модулийн тодорхойлолтоор бид:

Эхний тэгшитгэлийг шийдье.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдье.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | –2 = 1,

| x | = 3 ба | x | = 1,

x = 3; x = 1.

Хариулт: 1; 3; 7.

Жишээ 2.

|2 – |x + 1|| тэгшитгэлийг шийд = 3.

Шийдэл.

Шинэ хувьсагч оруулж тэгшитгэлийг шийдье.

зөвшөөрөх | x + 1| = y, дараа нь |2 – y | = 3, эндээс

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе:

(1) | x + 1| = –1 – шийдэл байхгүй.

(2) | x + 1| = 5

ХАРИУЛТ: –6; 4.

Жишээ 3.

Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ | 2 | x | -6 | = 5 - х?

Шийдэл. Эквивалент схемийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдье.

Тэгшитгэл | 2 | x | -6 | = 5 нь системтэй тэнцүү байна:

Энэ нийтлэлд бид нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийх болно тооны үнэмлэхүй утга. Бид тооны модулийн янз бүрийн тодорхойлолтыг өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж, график дүрслэлийг өгөх болно. Үүний зэрэгцээ авч үзье янз бүрийн жишээТодорхойлолтоор тооны модулийг олох. Үүний дараа бид модулийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсааж, зөвтгөх болно. Өгүүллийн төгсгөлд бид комплекс тооны модулийг хэрхэн тодорхойлж, олох талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Тооны модуль - тодорхойлолт, тэмдэглэгээ, жишээ

Эхлээд бид танилцуулъя тооны модулийн тэмдэглэгээ. Бид a тооны модулийг гэж бичнэ, өөрөөр хэлбэл дугаарын зүүн ба баруун талд босоо зураас тавьж модулийн тэмдгийг үүсгэнэ. Хэд хэдэн жишээ хэлье. Жишээлбэл, −7 модулийг дараах байдлаар бичиж болно; модуль 4.125 гэж бичигдэх ба модуль нь маягтын тэмдэглэгээтэй байна .

Модулийн дараах тодорхойлолт нь бодит тооны олонлогийн бүрдүүлэгч хэсгүүд болох , тиймээс , бүхэл тоо, рационал ба иррационал тоонуудыг хэлнэ. Бид комплекс тооны модулийн талаар ярих болно.

Тодорхойлолт.

a тооны модуль– энэ нь өөрөө а тоо, хэрэв а эерэг тоо бол, эсвэл −a тоо, эсрэг тоо a, хэрэв a - сөрөг тоо, эсвэл 0 бол a=0 .

Тооны модулийн дуут тодорхойлолтыг ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичдэг , энэ оруулга нь хэрэв a>0 , хэрэв a=0 , хэрэв a<0 .

Бичлэгийг илүү авсаархан хэлбэрээр танилцуулж болно . Энэ тэмдэглэгээ нь хэрэв (a нь 0-ээс их эсвэл тэнцүү), хэрэв a<0 .

Орц нь бас бий . Энд бид a=0 байх тохиолдлыг тусад нь тайлбарлах ёстой. Энэ тохиолдолд тэг нь өөрөөсөө эсрэг тоо гэж тооцогддог тул −0=0 байна.

өгье тооны модулийг олох жишээтодорхойлсон тодорхойлолтыг ашиглан. Жишээлбэл, 15 ба тоонуудын модулиудыг олъё. Олж эхэлцгээе. 15 тоо эерэг тул түүний модуль нь тодорхойлолтоор энэ тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, . Тооны модуль гэж юу вэ? Сөрөг тоо тул түүний модуль нь тоон эсрэг талын тоо, өөрөөр хэлбэл тоотой тэнцүү байна . Ийнхүү, .

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд бид тооны модулийг олоход практикт ашиглахад маш тохиромжтой нэг дүгнэлтийг танилцуулж байна. Тооны модулийн тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч ирнэ тооны модуль нь түүний тэмдгийг харгалзахгүйгээр модулийн тэмдгийн доорх тоотой тэнцүү байна, мөн дээр дурдсан жишээнүүдээс энэ нь маш тодорхой харагдаж байна. Энэхүү мэдэгдэл нь тооны модулийг яагаад дууддагийг тайлбарладаг тооны үнэмлэхүй утга. Тэгэхээр тооны модуль ба абсолют утга нь нэг бөгөөд ижил байна.

Тооны модуль нь зай

Геометрийн хувьд тооны модулийг гэж тайлбарлаж болно зай. өгье зайгаар дамжих тооны модулийг тодорхойлох.

Тодорхойлолт.

a тооны модуль– энэ нь координатын шулуун дээрх эх цэгээс a тоотой харгалзах цэг хүртэлх зай юм.

Энэ тодорхойлолт нь эхний догол мөрөнд өгөгдсөн тооны модулийн тодорхойлолттой нийцэж байна. Энэ зүйлийг тодруулъя. Эхлэлээс эерэг тоонд харгалзах цэг хүртэлх зай нь энэ тоотой тэнцүү байна. Тэг нь гарал үүсэлтэй тохирч байгаа тул гарал үүсэлээс 0 координаттай цэг хүртэлх зай нь тэгтэй тэнцүү байна (нэг нэгж сегментийн аль нэг хэсгийг бүрдүүлдэг нэг сегментийг биш, харин нэг нэгж сегментийг салгах шаардлагагүй. О цэгээс координат 0 цэг рүү хүрэх). Гарал үүсэлээс сөрөг координаттай цэг хүртэлх зай нь уг цэгээс координат нь эсрэг тоо болох цэг хүртэлх зайтай тэнцүү тул энэ цэгийн координатын эсрэг талын тоотой тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 9-ийн тооны модуль нь 9-тэй тэнцүү, учир нь эхээс координат 9-тэй цэг хүртэлх зай нь естэй тэнцүү байна. Өөр нэг жишээ хэлье. −3.25 координаттай цэг нь О цэгээс 3.25 зайд байрладаг тул .

Тооны модулийн тодорхойлсон тодорхойлолт нь хоёр тооны зөрүүний модулийг тодорхойлох онцгой тохиолдол юм.

Тодорхойлолт.

Хоёр тооны зөрүүний модуль a ба b нь a ба b координаттай координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, координатын шулуун дээрх A(a) ба B(b) цэгүүдийг өгвөл А цэгээс В цэг хүртэлх зай нь a ба b тоонуудын зөрүүний модультай тэнцүү байна. Хэрэв бид O цэгийг (гарал үүсэл) В цэг гэж авбал энэ догол мөрний эхэнд өгөгдсөн тооны модулийн тодорхойлолтыг авна.

Арифметик квадрат язгуур ашиглан тооны модулийг тодорхойлох

Хааяа тохиолддог арифметик квадрат язгуураар модулийг тодорхойлох.

Жишээлбэл, −30 тоонуудын модулийг тооцоолж, энэ тодорхойлолтыг үндэслэнэ. Бидэнд байгаа. Үүний нэгэн адил бид гуравны хоёрын модулийг тооцоолно. .

Арифметик квадрат язгуураар дамжуулан тооны модулийн тодорхойлолт нь энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд өгсөн тодорхойлолттой нийцэж байна. Үүнийг үзүүлье. a эерэг тоо, −a нь сөрөг тоо байг. Дараа нь Тэгээд , хэрэв a=0 байвал .

Модулийн шинж чанарууд

Модуль нь хэд хэдэн онцлог үр дүнтэй байдаг - модулийн шинж чанарууд. Одоо бид тэдгээрийн гол бөгөөд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг зүйлийг танилцуулах болно. Эдгээр шинж чанаруудыг зөвтгөхдөө бид зайны хувьд тооны модулийн тодорхойлолтод найдах болно.

Модулийн хамгийн тод шинж чанараас эхэлцгээе - Тооны модуль нь сөрөг тоо байж болохгүй. Шууд утгаараа энэ шинж чанар нь дурын тооны a гэсэн хэлбэртэй байна. Энэ шинж чанарыг зөвтгөхөд маш хялбар байдаг: тооны модуль нь зай бөгөөд зайг сөрөг тоогоор илэрхийлэх боломжгүй.

Дараагийн модулийн шинж чанар руу шилжье. Хэрэв энэ тоо тэг байвал тухайн тооны модуль тэг болно. Тодорхойлолтоор тэгийн модуль нь тэг юм. Бодит тоо бүр координатын шугам дээрх нэг цэгтэй холбоотой тул тэг нь координатын шугамын өөр цэгтэй тохирдоггүй. Үүнтэй ижил шалтгаанаар тэгээс өөр тоо нь гарал үүслээс өөр цэгтэй тохирч байна. Мөн эх цэгээс О цэгээс бусад цэг хүртэлх зай нь тэг биш, учир нь эдгээр цэгүүд давхцаж байвал хоёр цэгийн хоорондох зай тэг болно. Дээрх үндэслэл нь зөвхөн тэгийн модуль нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг баталж байна.

Үргэлжлүүл. Эсрэг тоонууд нь тэнцүү модультай, өөрөөр хэлбэл ямар ч тооны a. Үнэн хэрэгтээ координатууд нь эсрэг тоонууд болох координатын шулуун дээрх хоёр цэг нь гарал үүсэлээс ижил зайд байрладаг бөгөөд энэ нь эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү гэсэн үг юм.

Модулийн дараах шинж чанар нь: Хоёр тооны үржвэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулийн үржвэртэй тэнцүү байна, тэр бол, . Тодорхойлолтоор a, b тоонуудын үржвэрийн модуль нь a·b бол, эсвэл −(a·b) бол тэнцүү байна. Бодит тоог үржүүлэх дүрмээс харахад a ба b тоонуудын модулиудын үржвэр нь a·b, , эсвэл −(a·b) if -тэй тэнцүү байх нь тухайн шинж чанарыг нотолж байна.

b-д хуваах коэффициентийн модуль нь тооны модулийн модулийг b-д хуваасантай тэнцүү байна., тэр бол, . Модулийн энэ шинж чанарыг зөвтгөж үзье. Тооцоолуур нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү тул. Өмнөх өмчийн ачаар . Үлдсэн зүйл бол тооны модулийн тодорхойлолтын дагуу хүчинтэй тэгш байдлыг ашиглах явдал юм.

Модулийн дараах шинж чанарыг тэгш бус байдлаар бичнэ. , a, b, c нь дурын бодит тоонууд. Бичсэн тэгш бус байдал нь үүнээс өөр зүйл биш юм гурвалжны тэгш бус байдал. Үүнийг тодорхой болгохын тулд координатын шулуун дээрх A(a), B(b), C(c) цэгүүдийг авч, оройнууд нь нэг шулуун дээр байрлах муудсан ABC гурвалжинг авч үзье. Тодорхойлолтоор ялгааны модуль нь AB сегментийн урттай тэнцүү, - АС сегментийн урт ба - CB сегментийн урттай тэнцүү байна. Гурвалжны аль ч талын урт нь нөгөө хоёр талын уртын нийлбэрээс хэтрэхгүй тул тэгш бус байдал үнэн болно. , тиймээс тэгш бус байдал нь бас үнэн юм.

Сая нотлогдсон тэгш бус байдал нь хэлбэрээр илүү түгээмэл байдаг . Бичгийн тэгш бус байдлыг ихэвчлэн дараах томъёогоор модулийн тусдаа өмч гэж үздэг. Хоёр тооны нийлбэрийн модуль нь эдгээр тооны модулийн нийлбэрээс хэтрэхгүй" Харин b-ийн оронд −b-г тавиад c=0 гэж авбал тэгш бус байдлаас шууд үүснэ.

Комплекс тооны модуль

өгье комплекс тооны модулийн тодорхойлолт. Үүнийг бидэнд өгөх болтугай нийлмэл тоо, алгебрийн хэлбэрээр бичигдсэн бөгөөд энд x ба y нь өгөгдсөн нийлмэл тооны z-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг төлөөлж буй зарим бодит тоо бөгөөд төсөөллийн нэгж юм.

Латин хэлнээс шууд орчуулсан (модуль) нэр томъёо нь "хэмжих" гэсэн утгатай. Энэ ойлголтыг английн эрдэмтэн Р.Котес математикт нэвтрүүлсэн. Мөн Германы математикч K. Weierstrass модулийн тэмдгийг нэвтрүүлсэн - бичих үед энэ ойлголтыг илэрхийлдэг тэмдэг.

Энэ ойлголтыг ерөнхий боловсролын сургуулийн 6-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт математикийн хичээлд анх удаа судалж байна. Нэг тодорхойлолтоор бол модуль нь бодит тооны үнэмлэхүй утга юм. Өөрөөр хэлбэл, бодит тооны модулийг олохын тулд та түүний тэмдгийг хаях хэрэгтэй.

Графикийн үнэмлэхүй утга Агэж тэмдэглэсэн |а|.

Энэ ухагдахууныг ялгах гол онцлог нь үргэлж сөрөг бус хэмжигдэхүүн байдагт оршино.

Бие биенээсээ зөвхөн тэмдгээр ялгаатай тоонуудыг эсрэг тоо гэнэ. Хэрэв утга эерэг байвал түүний эсрэг тал нь сөрөг, тэг нь түүний эсрэг байна.

Геометрийн утга

Хэрэв бид модулийн тухай ойлголтыг геометрийн үүднээс авч үзвэл энэ нь координатын гарал үүслээс өгөгдсөн цэг хүртэлх нэгж сегментээр хэмжигдэх зайг илэрхийлнэ. Энэхүү тодорхойлолт нь судалж буй нэр томъёоны геометрийн утгыг бүрэн харуулж байна.

Графикаар үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: |a| = ОА.

Үнэмлэхүй үнэ цэнийн шинж чанарууд

Доор бид энэ ойлголтын бүх математик шинж чанарууд, түүнийг шууд илэрхийлэл хэлбэрээр бичих аргуудыг авч үзэх болно.

Модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онцлог

Хэрэв бид модуль агуулсан математикийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх талаар ярих юм бол тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд та энэ тэмдгийг нээх хэрэгтэй гэдгийг санах хэрэгтэй.

Жишээлбэл, үнэмлэхүй утгын тэмдэг нь зарим математик илэрхийллийг агуулсан бол модулийг нээхээс өмнө одоогийн математик тодорхойлолтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

|A + 5| = A + 5, хэрэв, A нь тэгээс их эсвэл тэнцүү.

5-А, хэрэв, утга нь тэгээс бага.

Зарим тохиолдолд тэмдэг нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд хоёрдмол утгагүй илчлэгдэж болно.

Өөр нэг жишээг харцгаая. Үнэмлэхүй утга нь 5 байх бүх тоон утгыг тэмдэглэх координатын шугамыг байгуулцгаая.

Эхлээд та координатын шугамыг зурж, түүн дээр координатын гарал үүслийг тэмдэглэж, нэгж сегментийн хэмжээг тохируулах хэрэгтэй. Үүнээс гадна шулуун шугам нь чиглэлтэй байх ёстой. Одоо энэ мөрөнд нэгж сегментийн хэмжээтэй тэнцэх тэмдэглэгээг хийх шаардлагатай байна.

Тиймээс, энэ координатын шугам дээр 5 ба -5 гэсэн утгатай хоёр сонирхолтой цэг байх болно.